miércoles, 18 de marzo de 2009

Los 4-vectores II

Si hemos podido reformular el espacio-tiempo como un 4-vector, y si hemos podido hacer lo mismo con la energía y el momentum, entonces nos debe ser posible postular la existencia de otros 4-vectores realizables dentro de la Teoría de la Relatividad. Uno de ellos resulta ser lo que se conoce como el 4-vector velocidad. Para poder definir el 4-vector velocidad, mejor conocido como la 4-velocidad, usamos como punto de partida el 4-vector espacio-tiempo y extendemos el concepto de velocidad que estábamos acostumbrados a utilizar en la física clásica, el cual nos dice que para un móvil cuya posición x varía con el tiempo su velocidad instantánea es:

u = dx/dt

Si el móvil se está desplazando en un espacio tri-dimensional y si sus componentes de posición en cualquier instante dado de tiempo son:

x = (x1, x2, x3)

en donde (x1, x2, x3) puede representar la posición bajo el conjunto usual de coordenadas rectangulares Cartesianas (x, y, z) pero también puede representar la posición bajo otro conjunto de coordenadas tales como las coordenadas esféricas (r, φ, θ), entonces su velocidad instantánea en este espacio tri-dimensional se obtiene tomando la derivada con respecto al tiempo de cada una de las tres componentes:



Por convención, a este vector velocidad clásico tri-dimensional se le asigna una dirección y sentido tangente a la curva en el punto en donde es evaluado, apuntando hacia la dirección a la cual se está moviendo la partícula en el momento en que se encuentra en dicho punto.

Pero en la física relativista, la posición instantánea de una partícula está representada en un espacio 4-dimensional como un punto cualquiera en la línea del mundo que la partícula va trazando en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski. La pregunta entonces es, ¿con respecto a qué podemos tomar la derivada de esa 4-posición para poder definir la 4-velocidad relativista, si el tiempo ha dejado de ser absoluto en la Teoría de la Relatividad? La respuesta a este dilema resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Recurrimos al tiempo propio medido por un reloj que se está desplazando junto con el móvil. Si bien es cierto que el tiempo ha dejado de ser absoluto y avanzará de modo distinto para varios observadores moviéndose el uno con respecto al otro, el tiempo propio, simbolizado como τ, siempre seguirá siendo el mismo para un viajero que se esté desplazando a lo largo de su línea del mundo. Siendo el tiempo propio una invariante, esto nos garantiza que la derivada con respecto al tiempo propio de cualquier 4-vector también será un 4-vector. De este modo, definimos a la 4-velocidad de la manera siguiente:



siendo este 4-vector un vector tangente a la curva (línea del mundo) en el punto en donde es evaluado, como el siguiente vector tangente de color rojo (aunque la figura está hecha en un plano, téngase en cuenta que la línea del mundo representada por la curva de color negro es una línea trazada en un espacio de cuatro dimensiones):



Al familiarizarnos con el fenómeno relativista de la dilatación del tiempo obtuvimos la siguiente relación entre el tiempo propio τ medido en un sistema en reposo y el tiempo medido por un observador en movimiento relativo con respecto al observador en reposo:

t = γτ

Tomando infinitesimales, tenemos lo siguiente:

dτ = dt/γ

En un sistema de coordenadas Cartesianas, si tomamos el vector posición para fijar un punto en el espacio cuatri-dimensional:

[ct, x, y, z]

entonces la 4-velocidad correspondiente la obtendremos tomando la derivada de cada una de las componentes con respecto al tiempo propio τ:

U = [d(ct)/dτ, dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ]

Sustituyendo dτ por dt/γ:

U = [cγ, γ(dx/dt), γ(dy/dt), γ(dz/dt)]

Pero:

ux = dx/dt

uy = dy/dt

uz = dz/dt

Entonces:

U = [γc, γux, γuy, γuz]

Si multiplicamos ambos miembros de esta igualdad por la masa propia del cuerpo que se está desplazando a lo largo de una línea del mundo con esta velocidad U tendremos entonces:

m0U = [γm0c, γm0ux, γm0uy, γm0uz]

Reescribiendo el primer componente en el lado derecho:

m0U = [γm0c²/c, γm0ux, γm0uy, γm0uz]

podemos identificar de inmediato al término γm0c² como la energía relativista total E, y del mismo modo podemos identificar a γm0ux como el momentum relativista en el eje-x, γm0uy como el momentum relativista en el eje-y, y γm0uz como el momentum relativista en el eje-z, o sea:

m0U = [E/c, px, py, pz]

Pero el lado derecho es lo que ya habíamos definido como el 4-momentum o el 4-vector energía-momentum. Esto significa que la masa propia de un cuerpo m0 multiplicada por su 4-velocidad U es igual al 4-momentum del cuerpo:

P = m0U

Queda claro que el 4-momentum es una consecuencia directa del 4-vector espacio-tiempo. Esta es la razón de fondo del por qué las leyes de transformación de la energía-momentum son tan parecidas a las transformaciones de Lorentz.

Del mismo modo en que definimos a la 4-velocidad como la derivada de los cuatro componentes que forman las coordenadas del espacio-tiempo relativista, podemos definir también a la 4-aceleración, la cual no es más que la derivada con respecto al tiempo propio del móvil de la 4-velocidad:



Esta definición de aceleración es perfectamente válida para un cuerpo que siempre se está trasladando en movimiento rectilíneo en un espacio-tiempo plano (un marco de referencia Lorentziano), o sea el espacio-tiempo en el cual ocurre la fenomenología de la Teoría Especial de la Relatividad. Sin embargo, resultará ser insuficiente para poder manejar movimientos que ocurren en un espacio-tiempo curvo en los cuales el cuerpo está cambiando constantemente de dirección, como ocurre con el movimiento de los planetas en torno al Sol. Si intentamos usar esta definición de aceleración, las expresiones resultantes variarán en forma al pasar de un marco de referencia a otro. La única manera en la cual es posible continuar utilizando una definición de aceleración en este último caso consistirá en redefinir el vector clásico como un tensor, y en reemplazar la derivada con respecto al tiempo propio por otro tipo de derivada conocida como la derivada covariante.

La definición de un 4-espacio de uso general nos va preparando para el salto eventual que daremos de la Teoría Especial de la Relatividad a la Teoría General de la Relatividad, en donde seguiremos utilizando los 4-vectores, eso permanecerá inalterado. Lo único que cambiará será la matriz de transformación. La matriz de transformación que hemos estado utilizando hasta ahora es una basada en las transformaciones de Lorentz, propias de lo que llamamos un espacio-tiempo plano en donde los marcos de referencia se han estado moviendo el uno con respecto al otro a velocidad constante. Pero si los marcos de referencia han de estar acelerándose el uno con respecto al otro sin mantenerse una velocidad constante, es de suponerse que ello se verá reflejado directamente en la matriz de transformación de un marco de referencia a otro, una matriz basada ya no en las transformaciones de Lorentz sino en algo de carácter más general, propio de eso que llamamos un espacio-tiempo curvo.

Habiendo sido capaces de definir una 4-velocidad, un 4-momentum y una 4-aceleración en el espacio-tiempo Lorentziano, nos preguntamos ahora si es posible definir una 4-fuerza. La respuesta es afirmativa, y tal 4-vector es conocido como la 4-fuerza de Minkowski o simplemente como la 4-fuerza. Para definirla, empezaremos extendiendo la definición Newtoniana clásica de la fuerza como el cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo con respecto al tiempo, tomando en la derivada con respecto al tiempo tiempo propio τ:



La diferencia crucial de la 4-fuerza con respecto a la definición clásica es que esta última está especificada como un vector de tres componentes espaciales, mientras que la 4-fuerza relativista está especificada como un 4-vector:



Usando como guía los resultados intermedios obtenidos arriba, vemos que cada una de las cuatro componentes del 4-momentum se puede reemplazar de la siguiente manera:



Puesto que la derivada de un vector (en este caso con respecto al tiempo propio) es igual a la derivada de sus componentes, metiendo la derivada d/dτ tenemos:


Esta es esencialmente la definición de la 4-fuerza de Minkowski, para la cual podemos utilizar las siguientes abreviaturas para la identificación del primer componente Ft (el componente temporal) y los tres componentes espaciales Fx, Fy y Fz:



PROBLEMA: Encontrar las relaciones de tranformación para una 4-fuerza de Minkowski de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’.

Utilizaremos las siguientes relaciones de transformación de Lorentz:

t’ = γ(t - Vx/c²)

x’ = γ(x - Vt)

y’ = y

z’ = z

Empezaremos trabajando sobre la componente temporal de la 4-fuerza de Minkowski en el marco de referencia S’ en donde esta componente temporal F’t debe estar dada por la siguiente relación:



Recurriendo a la relación apropiada de transformación de Lorentz, tenemos que:



Tomando la derivada interior y utilizando la abreviatura β = V/c tenemos entonces:



Tomando ahora la otra derivada y reagrupando:



Pero lo que tenemos entre los paréntesis son las componentes temporal y espacial que corresponden a la 4-fuerza en el marco de referencia S, de modo que podemos asentar lo siguiente:

F’t = γFt - γβFx

F’t = γ(Ft - VFx/c)

Esta es nuestra primera relación de transformación para la 4-fuerza, correspondiente a la componente temporal. Ahora trabajaremos sobre la primera componente espacial de la 4-fuerza de Minkowski en el marco de referencia S’ en donde esta componente espacial F’x debe estar dada por la siguiente relación:



Recurriendo a la relación apropiada de transformación de Lorentz, tenemos que:



Tomando la derivada interior tenemos entonces:



Reagrupando y utilizando la abreviatura β = V/c tenemos entonces::



Nuevamente, lo que tenemos entre los paréntesis son las componentes espacial y temporal que corresponden a la 4-fuerza en el marco de referencia S, de modo que podemos asentar lo siguiente:

F’x = γFx - γβFt

F’x = γ(Fx - VFt/c)

Esta es nuestra segunda relación de transformación para la 4-fuerza, correspondiente a la primera componente espacial.

Las transformaciones correspondientes a las otras dos componentes espaciales son triviales:






De este modo, el conjunto de las transformaciones correspondientes a la 4-fuerza de Minkowski se puede resumir de la siguiente manera:

F’t = γ(Ft - VFx/c)

F’x = γ(Fx - VFt/c)

F’y = F’y

F’z = F’z

Ahora bien, haciendo una analogía con el intervalo relativista, podemos tomar el producto escalar de dos vectores A y B tal y como se define en el análisis vectorial Euclideano tradicional:



y definir un producto escalar relativista o 4-producto escalar de la siguiente manera:


Es extremadamente importante no confundir en ningún momento el producto escalar entre dos vectores del espacio tridimensional Euclideano y el 4-producto relativista, empezando por el hecho de que uno tiene únicamente signos positivos mientras que el otro tiene una combinación de signos positivos y negativos.

PROBLEMA: Usando la definición del 4-producto escalar relativista, demostrar que el 4-producto escalar del vector 4-velocidad consigo mismo es una invariante.

Empezaremos con la definición del 4-vector velocidad al cual denominaremos U:



cuyas componentes espaciales podemos representar del modo siguiente:



Usando la definición básica del “factor de corrección” γ así como la relación que nos proporciona cuantitativamente la dilatación del tiempo:

γ = 1/√1 - V²/c²

dt/dτ = γ

podemos obtener lo siguiente:



El 4-producto escalar relativista del vector velocidad U consigo mismo será:



Factorizando:



Pero la suma de términos cuadráticos dentro de los paréntesis cuadrados es igual al cuadrado de la magnitud del vector velocidad tri-dimensional Euclideana V. Entonces:



Factorizamos ahora de la siguiente manera:



Usando la relación explícita para γ, esto nos produce el siguiente resultado:



Puesto que la velocidad de la luz es una constante absoluta que permanece invariante para todos los marcos de referencia, se concluye que el 4-producto escalar del vector 4-velocidad consigo mismo es una invariante.

PROBLEMA: Usando la definición del 4-producto escalar relativista, demostrar que el 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo es una invariante.

Usando la 4-velocidad U del problema anterior, el vector 4-momentum lo podemos definir de la siguiente manera:

P = m0U

El 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo será entonces:

P · P = m0U · m0U

P · P = m0² [U · U]

Pero ya vimos en el problema anterior que U
·U = c². Entonces:

P · P = m0²

Puesto que tanto la masa propia
m0 como la velocidad de la luz son invariantes, se concluye que el 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo es una invariante.

PROBLEMA
: Si A es un 4-vector relativista, demostrar que:



En este caso:

A · A = a1 · a1 - a1 · a1 - a1 · a1 - a1 · a1

A · A = (a1)² - (a2)² - (a3)² - (a4

Tomando la derivada con respecto al tiempo propio:



Puesto que:

dA/dτ = [ da1/dτ , da2/dτ , da3/dτ , da4/dτ ]

recurriendo nuevamente a la notación del 4-producto escalar obtenemos el resultado pedido.

PROBLEMA: Demostrar que el 4-producto escalar entre el 4-vector velocidad y el 4-vector aceleración es igual a cero.

Siendo el 4-vector aceleración la derivada con respecto al tiempo propio del 4-vector velocidad, o sea:

dU/dτ

Podemos utilizar la relación obtenida en el problema anterior para poner:



Pero ya vimos en un problema anterior que U·U = c². Y como la derivada de una constante, en este caso con respecto al tiempo propio, es igual a cero, se concluye que:



Al estar hablando acerca de aceleraciones, podemos estarnos refiriendo a una de dos cosas diferentes: (1) una aceleración dirigida en el mismo sentido en el cual está apuntando el vector velocidad de un objeto que se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea, y (2) una aceleración que saca al objeto de su trayectoria rectilínea y lo desvía hacia otro lado. Para un objeto que se está acelerando, no hay marco de referencia alguno en el cual se le pueda considerar en reposo. Sin embargo, existe un marco de referencia inercial el cual momentáneamente tiene la misma velocidad que la del objeto que se está acelerando. Este marco de referencia es conocido como el sistema de referencia comóvil (en inglés, comoving reference frame) o, más apropiadamente, marco de reposo instantáneo (instantaneous rest frame) o marco de referencia comóvil momentáneo (momentarily comoving reference frame). Por un instante, este marco de referencia moviéndose a velocidad constante en movimiento rectilíneo coincide con el objeto que se está acelerando, y en ese instante de tiempo ambos tienen la misma velocidad y se dirigen en la misma dirección. Por eso se le llama comóvil. Una vez pasado ese instante, la partícula ya no se está comoviendo junto con el marco de referencia. Siendo el sistema de referencia comóvil un sistema de referencia que por un instante de tiempo se mueve junto con un objeto en movimiento a la misma velocidad que en ese instante lleva el objeto, respecto al sistema de referencia comóvil el objeto siempre está en reposo. Para cada instante de tiempo, habrá un sistema comóvil diferente para el objeto. En un espacio tri-dimensional Euclideano (no-relativista) esto tendrá un aspecto como el que se bosqueja en la siguiente figura en la cual el objeto se está desplazando a lo largo de una curva de color rojo y en la cual el vector T es la velocidad tangente en cada punto de la curva mientras que el vector N es el vector que apunta hacia el centro instantáneo de la curvatura de la trayectoria (el vector B es un vector perpendicular a ambos vectores T y N, formándose así un pequeño “sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas” que parece estar viajando con el objeto:





Normalmente se usa el sistema comóvil en el cual la partícula o el centro de gravedad del sólido ocupa el origen de coordenadas del sistema comóvil.

PROBLEMA: ¿Es el sistema de referencia comóvil un marco de referencia que viaja junto con el objeto que se está trasladando en un espacio-tiempo?

Si el objeto se desplaza a velocidad constante siguiendo un movimiento rectilíneo, entonces en cada punto de su trayectoria tiene tiene un marco de referencia en el que se encuentra instantáneamente en reposo que se puede considerar que “viaja” con él. Pero si el cuerpo se está acelerando cambiando de dirección, un marco de referencia ligado al objeto en movimiento también se estaría acelerando y dentro de dicho marco se experimentarían fuerzas de aceleración inexistentes en un marco en reposo. En este último caso, para cada instante de tiempo habrá un marco de referencia comóvil que ciertamente no “viaja” junto con el objeto.

En la mecánica relativista al igual que en la mecánica clásica, el objeto está en reposo respecto al sistema de referencia comóvil por lo que su velocidad espacial respecto al mismo será cero en todo momento, y por tanto la 4-velocidad sólo tendrá componente temporal:

V = (Vt, Vx, Vy, Vz) = (Vt, 0, 0, 0)

Desafortunadamente, el sistema de referencia comóvil no siempre puede asociarse a un sistema de coordenadas curvilíneas, y esto se debe a que no existe una equivalencia entre la clase de todos los posibles sistemas de coordenadas y la clase de todos los observadores posibles del espacio-tiempo. De cualquier modo, este sistema de referencia resulta útil al dar el salto de la Teoría Especial de la Relatividad hacia la Teoría General de la Relatividad en donde pasamos de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo curvo.

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