miércoles, 18 de marzo de 2009

La solución de Schwarzschild III

La métrica de Schwarzschild, una solución exacta a las ecuaciones de campo de la Relatividad General, no sólo sirve para analizar el movimiento orbital de los planetas y demás cuerpos celestes en torno a astros capaces de generar un campo gravitacional intenso. También se puede utilizar para el análisis, desde la perspectiva relativista, de otros fenómenos tales como la caída libre de los cuerpos hacia un cuerpo central.

Ya desde tiempos de Galileo se había establecido que sobre la superficie de la Tierra todos los cuerpos caen con la misma rapidez, trátese de un elefante, de un ratón o de una pluma (en el caso de la pluma, su caída suave se debe a la resistencia del aire, pero si la pluma se mete dentro de un tubo al que se le ha extraído todo el aire la pluma al caer en el vacío cae con la misma rapidez que la rapidez con la cual cae un elefante), y la explicación clásica dada es que siendo la aceleración gravitacional g igual a la fuerza de atracción gravitatoria F ejercida por la Tierra sobre la masa (g = F/m, de la fórmula Newtoniana F = ma), a una masa mayor m corresponde una fuerza de atracción mayor F manteniéndose de este modo la aceleración g constante:





En realidad, es posible deducir por simple lógica que todos los cuerpos dejados caer desde alturas iguales deben ir cayendo con la misma rapidez sobre la superficie de la Tierra sin importar sus masas mediante una consideración simple que nos lleva a una paradoja. Supóngase que tenemos dos masas desiguales, una de 2 kilos y otra de 1 kilo. Si los cuerpos han de caer con mayor rapidez tanto más masa tengan, entonces la masa de 2 kilos debe caer con mayor rapidez que la masa de 1 kilo al dejarlos caer por separado. Pongamos ahora la masa de 1 kilo debajo de la masa de 2 kilos dejando caer la combinación. Puesto que la masa de 1 kilo cae con menor rapidez que la masa de 2 kilos, la primera debe retardar la caída de la masa de 2 kilos, y por lo tanto la combinación debe caer con una rapidez menor que la que correspondería a la masa de 2 kilos. Sin embargo, si consideramos la combinación total de masas, esta representa una masa total de 3 kilos, y por lo tanto debería caer con una rapidez mayor que la que correspondería a una masa de 2 kilos. O sea, que debería caer a dos velocidades distintas, lo cual no es posible. La única salida de esta paradoja es aceptar que todos los cuerpos caen con la misma aceleración (la tradición relata que el mismo Galileo se subió hasta lo más alto de la torre de Pisa dejando caer dos cuerpos de masas diferentes para que un ayudante suyo verificara abajo que ambos cuerpos llegaban al suelo al mismo tiempo).

Si la Relatividad General está en lo correcto, entonces debemos esperar que también haga una predicción similar a lo que ya se conoce, o sea que todos los cuerpos deben caer con la misma aceleración sobre la superficie de la Tierra. Puesto que esta es una caída libre dirigida hacia el centro de la Tierra a lo largo de una coordenada radial, debemos estudiarla como una trayectoria geodésica radical. Para estudiar trayectorias radiales bajo la métrica de Schwarzschild que describe la curvatura del espacio-tiempo generada por un cuerpo central estático de masa M, tomamos la métrica:

ds² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr² - r² dθ - r² sen² θ dφ²

y puesto que estamos interesados aquí en movimientos puramente radiales, los diferenciales de las coordenadas angulares dθ y dφ serán iguales a cero. Esto nos deja únicamente con lo siguiente:

ds² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr²

Matemáticamente hablando, lo que tenemos aquí es una 2-superficie, puesto que dos variables es justo lo que necesitamos para describir una superficie empotrada en el 4-espacio relativista, siendo en este caso las variables t y r. Expresada mediante el tiempo propio τ, la fórmula se convierte en:

(cdτ)² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr²

Esta fórmula nos permite calcular el transcurso total del tiempo propio (tiempo local) a lo largo de una trayectoria radial que corresponde a incrementos en las coordenadas dt y dr. De la métrica, haciendo un reacomodo ligero:

(cdτ)² = [(r - 2GM/rc²)/r] c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr²

podemos ver que el la representación matricial del tensor métrico g que corresponde a este elemento de línea es la siguiente:



Del tensor métrico podemos obtener de inmediato el tensor métrico conjugado g-1 que viene siendo:



Con el fin de poder utilizar coordenadas generalizadas (notación de índices), haremos x1 = t y x2 = r. Ya hemos visto que un sistema de ecuaciones geodésicas se puede expresar de la siguiente manera (usaremos el parámetro general como se acostumbra en muchos textos, el cual se puede reemplazar posteriormente por el tiempo propio τ o por un elemento de arco de la trayectoria):



en donde hay una sumación implícita en cada par de índices repetidos en el segundo término de acuerdo a la convención de sumación. Puesto que estamos trabajando con dos coordenadas, nuestro sistema de ecuaciones geodésicas consistirá únicamente de dos ecuaciones.

Para el cálculo de los símbolos de Christoffel podemos utiizar la relación general que es (obsérvese la permutación cíclica de los índices siguiendo el sentido de las manecillas del reloj de término a término dentro de los paréntesis):



Tomando las derivadas parciales de los componentes de nuestro tensor métrico encontramos que los únicas derivadas que no son iguales a cero son las siguientes:



A estas alturas resulta obvio que conforme vayamos ampliando nuestro análisis las constantes G y c que iremos arrastrando nos irán consumiendo tiempo de escritura así como espacio disponible en nuestro campo de lectura volviendo la notación confusa y engorrosa. Es por ello que, para hacer un análisis cualitativo, nos conviene recurrir a unidades geometrizadas haciendo la simplificación G = c = 1, y si por alguna razón tenemos que llevar a cabo análisis numéricos exactos (o aproximados) para situaciones reales podemos revertir a las unidades convencionales dándoles a G y a c los valores que les corresponden a dichas constantes universales en el sistema de unidades que estemos empleando. Con esto, las derivadas anteriores vienen quedando así:



Utilizando estas derivadas parciales geometrizadas podemos obtener los símbolos de Christoffel que vienen siendo:



Substituyendo estos símbolos de Christoffel en la relación general geodésica y revirtiendo a la notación convencional de las coordenadas dejando de lado las coordenadas generalizadas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones para las rutas geodésicas sobre la 2-superficie que estamos analizando:



Aunque estas dos ecuaciones pueden ser integradas en forma cerrada, exacta, los resultados no se prestan mucho a la manipulación analítica. También pueden ser integradas numéricamente utilizando pequeños incrementos de longitud para cualquier posición y trayectoria inicial, y esto es de hecho lo que se lleva a cabo en programas de simulación computarizada como los programas que se citan en los Apéndices a esta obra. Esto nos permite generar fácilmente rutas geodésicas en términos de r como función de t. Si hacemos esto, descubriremos que invariablemente las rutas se van hacia un t infinitamente grande conforme r se va acercando a 2GM/c² (o bien, 2M en unidades geometrizadas). Esto nos lleva naturalmente a preguntarnos si en dicho punto tenemos una singularidad real o si lo que tenemos es un punto “mal-comportado” en nuestro sistema de coordenadas (como el Polo Norte en los mapamundis). La 2-superficie bajo consideración tiene una curvatura Gaussiana invariante en cada punto de las coordenadas (variando de un punto a otro). Para obtener la curvatura Gaussiana intrínseca K para esta 2-superficie se pueden utilizar los componentes del tensor métrico g y sus primeras y segundas derivadas. Las primeras derivadas ya fueron obtenidas arriba en el curso de la obtención de los símbolos de Christoffel. Las únicas derivadas de segundo orden que no son cero resultan ser las siguientes (en unidades geometrizadas):



Con lo que tenemos aquí, no resulta difícil demostrar que la curvatura Gaussiana intrínseca K para esta métrica es la siguiente:



Esto significa que en r= 2M la curvatura Gaussiana (que es independiente de las coordenadas seleccionadas para describir cualquier 2-superficie) es:

K = - 2M/[(2M)3] = - 1/4M²

Puesto que la curvatura Gaussiana tiene un valor finito en r = 2M, la singularidad no es una singularidad física real, se trata más bien de un fallo de las coordenadas empleadas. La única singularidad real de la 2-superficie que estamos estudiando ocurre en el punto r = 0 en donde la curvatura Gaussiana explota volviéndose infinita.

Para poder graficar la distancia radial en función del tiempo propio τ, nos gustaría poder eliminar a t de nuestro sistema de dos ecuaciones geodésicas. Para poder hacerlo, observamos que si en la primera ecuación geodésica definimos a la variable T como T = dT/dλ, podemos escribir a dicha ecuación geodésica del modo siguiente:



Esta es ya una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en T con coeficientes variables, teniendo la forma convencional:



La solución de la ecuación viene siendo la siguiente:



La integral en el exponencial es simplemente:

ln(r) - ln(r - 2M)

con lo cual el resultado viene siendo:



Supóngase ahora que nuestra partícula de prueba está inicialmente estacionaria en r = R y que la soltamos dejándola caer en caída libre. Podemos considerar en cierta forma al punto r = R como el “apogeo” de la órbita radial. Nuestro parámetro afín λ es proporcional al tiempo propio τ a lo largo de la trayectoria, y el valor que le asignemos a k determinará el factor de escala entre λ y τ. De la ecuación métrica original (en unidades geometrizadas):

(dτ)² = (1 - 2M/r) dt² - (1 - 2/r) -1 dr²

sabemos que en el “apogeo” r = R en donde la velocidad inicial dr/dτ = 0 debemos tener:

(dτ)² = (1 - 2M/R) dt² - (1 - 2/r) -1 dr²

dτ/dt = √1 - 2M/R

Multiplicando esto por la derivada previa dt/dλ tenemos entonces:



Por lo tanto, para poder escalar nuestro parámetro afín λ al tiempo propio τ para esta órbita radial, necesitamos hacer:

k = √1 - 2M/R

de modo que (representando la distancia inicial R de color azul para distinguirla de la coordenada variable r):



Esto implica que el valor inicial de dt/dλ en el “apogeo” es 1/√1 - 2M/R, y naturalmente dr/dλ en dicho punto es igual a cero. Substituyendo este resultado en la segunda ecuación geodésica nos dá una sola ecuación que nos relaciona al parámetro radial r y al parámetro afín λ que hemos hecho equivalente al tiempo propio τ, de modo tal que podemos escribir lo siguiente (en unidades geometrizadas):



En el “apogeo” r = R en donde dr/dτ es igual a cero, podemos borrar este término que aparece en el numerador dentro del paréntesis del lado derecho, obteniendo de este modo simplemente:



Esta es una medida de la aceleración de la partícula de prueba a lo largo del parámetro radial r. Aún antes de que resolvamos la penúltima ecuación para cualquier valor de r, resulta claro que puede ser integrada para darnos la ruta geodésica desde cualquier trayectoria inicial, y podemos confirmar que atraviesa suavemente a través del valor “mal comportado” (a causa de las coordenadas utilizadas) r = 2M como una función del tiempo propio τ. Esto al principio puede parecer sorprendente, puesto que el denominador en el lado derecho de la penúltima ecuación contiene 1-2M/r (lo cual resulta en una división por cero), así que parecería que la segunda derivada de r con respecto a τ, d²r/dτ², estalla justo en el punto r = 2M. Sin embargo, un análisis posterior demuestra que el cuadrado de dr/dτ, o sea el término (dr/dτ)² que habíamos “borrado” arriba, invariablemente se convierte en (1 - 2M/R) precisamente en r = 2M, con lo cual el numerador de la antepenúltima ecuación se vuelve cero también, y como bien lo saben los matemáticos, la división de cero entre cero, o sea 0/0, aún como una operación límite, no es igual ni al infinito (∞) ni a cero (0).

Para resolver la ecuación analíticamente, observamos que la derivada con respecto a τ de la cantidad en los paréntesis cuadrados es igual a:



La expresión dentro de los paréntesis cuadrados en el lado derecho se desvanece sí y solo sí la ecuación:



es satisfecha, de modo tal que podemos concluír que la cantidad entre los paréntesis cuadrados en el lado izquierdo de la ecuación debe ser constante (haciéndose la observación aquí de que la singularidad en r = 2M debe poder ser removible mediante un cambio adecuado de coordenadas, lo cual fue logrado mediante las coordenadas Kruskal-Szkeres), y por lo tanto podemos considerar a dicha cantidad igual a la unidad (suponiendo que sea la unidad en cualquier punto de la trayectoria, que es en el apogeo para una trayectoria ligada). Por lo tanto, la relación de la inversa del cuadrado de la distancia:



es satisfecha en cualquier punto de la trayectoria. Tomando la cantidad entre los paréntesis cuadrados del lado izquierdo igual a la unidad, tenemos entonces:



Tomando la raíz cuadrada y reacomodando los términos:



Podemos llevar a cabo una integración inmediata sobre esto para obtener ya sea una respuesta analítica o una aproximación numérica. Si llevamos a cabo la integración desde una distancia r1 hasta una distancia r2, llegamos a lo siguiente:



Podemos simplificar este resultado mediante un cambio de variables, definiendo al seno inverso que tenemos en el segundo término como el coseno de algún ángulo α. Una definición de α que puede funcionar es:

cos(α) = 2r/R - 1

Esto implica que:



Insertando esto en la ecuación precedente nos dá el tiempo propio τ transcurrido entre r1 y r2 de la siguiente manera:



Esto nos demuestra que la ecuación:



tiene la misma forma cerrada de solución como la que encontramos en la caída libre radial de la mecánica Newtoniana (si identificamos a τ como el tiempo “absoluto”), o sea las relaciones paramétricas cicloidales que se estudian en la mecánica Newtoniana. Un graficado de r con respecto a τ corresponde a la posición de un punto en el “rin” (rim) de una rueda rodante de radio R/2, en donde α es el ángulo de la rueda. Se deduce de la derivación anterior que esta ecuación paramétrica también satisface la relación de la inversa del cuadrado de la distancia d²r/dτ² = - M/r² que es tan familiar a los principiantes en el estudio de la mecánica Newtoniana.

Podemos expresar también el tiempo correspondiente a la coordenada temporal de Schwarzschild (t) explícitamente en términos de α multiplicando las siguientes dos relaciones:



para dar:



Substituyendo la expresión paramétrica para r en esta ecuación, multiplicando a través por α e integrando ambos lados, obtenemos:



Esta integral puede ser evaluada explícitamente para dar:



Haciendo uso de la identidad trigonométrica:



la ecuación puede ser escrita de la siguiente manera:



en donde:

Q = √(R/2M) - 1

Antes de utilizar la fórmula que acabamos de obtener para llevar a cabo el graficado de la órbita radial, tenemos que tomar una precaución. En este punto, podemos hablar de una “región interior” para valores de r menores que 2M y de una “región exterior” para valores de r mayores que 2M. Para valores de α que correspondan a valores de r menores que 2M el argumento del logaritmo es negativo, y por lo tanto el valor del logaritmo está fuera por π. Esto ocurre porque, en tales casos, estamos integrando de α = 0 en donde r = R (que es mayor que 2M) a un valor de α que corresponde a r menor que 2M, y por lo tanto tenemos que efectuar una integración compleja (recurriendo a la teoría de las variables complejas) alrededor de la singularidad en r = 2M desplazando el resultado por ± π (suponiendo que la trayectoria de la integración compleja no dé una vuelta completa alrededor de la singularidad). Esto no es sorprendente, porque las coordenadas t son discontinuas en r = 2M, así que no podemos “transportar” sin ambigüedad el etiquetado de las coordenadas t de la región en donde r es mayor que 2M a la región en donde r es menor que 2M. En general, puesto que los coeficientes métricos son independientes de t, las etiquetas de t para eventos fuera de r = 2M pueden ser desplazadas por un valor constante sin afectar nuestros resultados, y del mismo modo las etiquetas de t para eventos dentro de r = 2M pueden ser desplazadas por un valor constante. Más aún, los desplazamientos para los etiquetados de t para las regiones interior y exterior son independientes el uno del otro debido a la discontinuidad en r = 2M. No habiendo una condición interior de frontera (boundary), estamos libres de seleccionar el desplazamiento interior de modo tal que t sea un valor real. La parte real del logaritmo natural de la variable compleja z -ln(z)- para cualquier valor de z es ln(|z|), de modo tal que podemos estipular simplemente que tomaremos el valor absoluto del argumento del logaritmo, o sea que podemos definir las coordenadas temporales mediante la siguiente relación (obsérvese que la única diferencia entre esta relación y la que tenemos arriba es que estamos tomando el valor absoluto del argumento del logaritmo natural):



Esto nos dá valores reales (liberándonos de valores complejos o imaginarios) para el etiquetado de las coordenadas del tiempo que satisface la condición en la derivada en cada punto (excepto, claro está, en donde las coordenadas del tiempo son singulares en r = 2M). Estrictamente hablando, podríamos desplazar las coordenadas interiores aún más con cualquier constante real, de modo tal que la expresión anterior para la coordenada del tiempo de una partícula en caída libre no es la única, pero ciertamente es la más sencilla que aparea las etiquetas temporales (tanto la de la coordenada temporal t como la del tiempo propio τ). En base a la fórmula que hemos obtenido, la gráfica de la coordenada radial r, tanto para el tiempo propio τ como para el tiempo de coordenada t, con los tres expresados en metros (en unidades geometrizadas) es la siguiente:





En la gráfica (que en realidad son cuatro gráficas en una) podemos apreciar que el “apogeo” de la partícula que se ha dejado caer (el “apogeo” es el parámetro que podemos variar libremente) ha sido seleccionado en una distancia radial r = 10 metros (medida en unidades geometrizadas). Esta es la mitad del lado derecho de la gráfica, en donde tenemos de hecho dos gráficas, una para el tiempo de coordenada t medido por un observador situado suficientemente lejos del alcance del campo gravitacional, y la otra para el tiempo propio (local) τ medido por el reloj de un observador que viaja junto con la partícula que está en caída libre. Obsérvese que el tiempo también está especificado en unidades geometrizadas, o sea en metros. Hemos supuesto que al dejarse caer la partícula los tiempos de ambos observadores están sincronizados en t = τ = 0. Para un observador que viaja junto con la partícula, conforme la partícula avanza el viajero atraviesa la barrera r = 2M sin problema alguno mientras que su reloj que mide el tiempo τ sigue avanzando de modo normal encaminándose hacia la singularidad en r = 0. Sin embargo, lo que el observador externo ve es algo muy diferente, como lo manifiesta la discontinuidad en la medición del tiempo encontrada al llegar a r = 2M. Por su parte, la mitad del lado izquierdo de la gráfica muestra más bien los efectos de una inversión matemática que una situación física real, porque en este caso tenemos tiempos negativos que van haciéndose cada vez menos negativos (o más positivos) conforme la partícula va saliendo de la singularidad atravesando la barrera r = 2M hasta llegar al “apogeo”. Lo que nos muestra el lado izquierdo de la gráfica es el efecto tanto de la inversión t → - t como de la inversión τ → - τ. Una característica interesante de las trayectorias en esta gráfica es su simetría temporal. No sólo hay una ruta geodésica continua desde el “apogeo” hasta la singularidad en r = 0 pasando a través del radio r = 2M (medida en τ), también hay una ruta geodésica continua desde la singularidad en r = 0 pasando a través del radio r = 2M hasta llegar al “apogeo”. Esta simetría era de esperarse en virtud de la simetría temporal que exhiben las ecuaciones de campo en general y en especial la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, y como pronto lo veremos, una vez que una partícula ha entrado al interior de r = 2M, a la partícula ya no le será posible salir.

Si bien es cierto que la solución de Schwarzschild nos permite llevar a cabo el análisis de fenómenos tales como el análisis de las órbitas de los planetas en torno al Sol o la caída libre de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra, recuperando como aproximaciones a casos especiales las mismas fórmulas que las que habían sido obtenidas mediante la “vieja” mecánica Newtoniana, la solución de Schwarzschild también nos permite predecir otros efectos de índole puramente relativista cuya posibilidad ni siquiera es contemplada en la mecánica de Newton. Uno de tales fenómenos es la dilatación gravitacional del tiempo.

PROBLEMA: Un campo gravitacional generado por un cuerpo simétricamente esférico y estático de masa M produce una dilatación relativista del tiempo a una distancia fija r = R del centro del cuerpo. Obtener la fórmula para la dilatación del tiempo de índole gravitacional a partir de la métrica de Schwarzschild.

A una distancia fija r = R del centro del cuerpo, tanto dr como dθ y dφ se desvanecen de la métrica de Schwarzschild:

ds² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr² - r² dθ - r² sen² θ dφ²

dejándonos únicamente con lo siguiente:

ds² = (1 - 2GM/Rc²) c²dt²

En el lado izquierdo podemos hacer la substitución ds² = c²dτ² con lo cual:

dτ² = (1 - 2GM/Rc²)dt²

dτ² = (1 - 2GM/Rc²) dt²

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

dτ = √1 - 2GM/Rc² dt

Despejando para dt e integrando obtenemos la relación deseada:


De acuerdo con la fórmula exacta que hemos obtenido, a una distancia relativamente grande del cuerpo que está produciendo la curvatura del espacio-tiempo Δt = Δτ, y dos observadores en reposo el uno frente al otro medirán el mismo paso del tiempo de acuerdo a sus respectivos relojes que suponemos que están sincronizados. Pero si uno de ellos se acerca a un cuerpo que está produciendo un campo gravitacional, entonces la marcha del tiempo parecerá dilatada por el factor √1 - 2GM/Rc². Obsérvese que éste ya no es un factor Lorentziano √1 - V²/c². Lo que tenemos aquí es un efecto de índole puramente gravitacional que sólo pudo haber sido predicho por la Relatividad General (estrictamente hablando, la fórmula para la dilatación del tiempo gravitacional puede ser derivada de un modo más laborioso dentro de la Teoría Especial de la Relatividad considerando marcos de referencia acelerados, pero eventualmente tendríamos que invocar el Principio de Equivalencia para poder meter eventualmente la masa M y la constante de gravitación universal G dentro de nuestra fórmula final, que es a fin de cuentas lo mismo que hizo Einstein al desarrollar la Relatividad General).

PROBLEMA: Expresar la fórmula para la dilatación gravitacional del tiempo metiendo dentro de ella el potencial gravitacional Newtoniano clásico.

El potencial Newtoniano clásico φ producido por una masa M a una distancia r del cuerpo está definido como:

φ = - GM/R

de donde:

R = - GM/φ

con lo cual tenemos:



Es importante notar que Δt siempre será mayor que Δτ, y el tener un signo positivo ahora dentro del radical en el denominador no significa que esto vaya a cambiar, ya que puesto que por costumbre el potencial gravitacional siempre es especificado como una cantidad negativa, al momento de hacer substituciones numéricas ésto debe ser tomado en cuenta produciéndose de cualquier modo un radical menor a la unidad.

En su primer papel publicado en 1905 en donde Einstein formalizó por vez primera los principios de la Teoría Especial de la Relatividad sobre dos postulados, mencionó cómo un reloj puesto en el Ecuador debe correr más lentamente que un reloj puesto en uno de los polos de la Tierra por un factor γ = 1/√1 - V²/c², haciendo una estimación numérica aproximada del efecto tomando en cuenta la velocidad tangencial V de la Tierra en su Ecuador. Pero esta estimación no tomó en cuenta efecto gravitacional alguno al no existir aún en ese entonces la Teoría General de la Relatividad, lo cual no era de mayor consecuencia porque un reloj colocado en el Ecuador está situado (aproximadamente) a la misma distancia del centro de la Tierra que un reloj colocado en uno de los polos. Sin embargo, esta situación cambia al poner ambos relojes a alturas diferentes sobre la superficie de la Tierra. Si tenemos dos relojes con uno de ellos dando vueltas rápidamente en torno al otro ocasionando una medición de un tiempo dilatado para el reloj rotatorio, y si movemos el par de relojes a alturas diferentes situándolos primero lejos de la Tierra y después cerca de la misma, tendremos entonces una dilatación de tiempo combinada. Haciendo uso de la aproximación mediante expansión por series:

1/√1 - 2GM/Rc² =

[1 - 2GM/Rc²] -1/2 ≈ 1 - (- 1/2)(2GM/Rc²) + ... ≈ 1+ GM/Rc²

podemos representar el efecto combinado de la siguiente manera:





La fórmula que hemos obtenido para la dilatación gravitacional del tiempo nos plantea un serio dilema conforme nos vamos aproximando a la distancia radial r = 2GM/c² (en unidades geometrizadas, r = 2M), porque en este caso el numerador se va aproximando a cero, y para un observador externo alejado del campo gravitacional el tiempo propio del observador situado en la cercanía del campo gravitacional se va haciendo extensamente grande. Esto significa que si los dos observadores están inicialmente juntos, y uno de ellos le enviara al otro con un rayo láser una señal luminosa monocromática (de una sola frecuencia fija), puesto que la señal es en esencia una onda electromagnética la distancia entre cada ciclo de la onda (el período T de la onda) se iría ampliando y corriendo hacia el rojo y hacia el infrarrojo hasta que la frecuencia de la señal luminosa sería prácticamente cero, y de hecho sería igual a cero en el punto r = 2GM/c². Esto significa que para una superficie esférica de radio r = 2GM/c² en torno al cuerpo, la luz emitida desde dicha superficie no llegará jamás al observador externo, lo cual significa que, en efecto, la luz no podrá escapar. Y si la luz no puede escapar, no le será posible a alguien que haya entrado en esta barrera el poder enviar señales electromagnéticas de ningún tipo (luminosas, ondas de radio, rayos láser, rayos X, etc.) al exterior quedando incomunicado permanentemente del exterior. Esto es precisamente lo que nos lleva de modo ineludible hacia el estudio de los agujeros negros. Esta posibilidad tan contraria a nuestra experiencia cotidiana y a nuestra forma intuitiva de pensar fue lo que llevó a muchos científicos de reconocido prestigio a rechazar de plano la Teoría de la Relatividad por no creer que algo como esto fuese posible.

PROBLEMA: Obtener la fórmula que proporcione la longitud de onda λ de una señal luminosa como sería vista por un observador situado en la lejanía cuando la señal luminosa es emitida con una longitud de onda λ0 desde una linterna por un observador situado en reposo a una distancia r del centro de un cuerpo de masa M.

Puesto que la frecuencia de la señal luminosa es f = 1/T y c = fλ, entonces T = 1/f = λ/c, con lo cual tenemos:

Δt = λ/c____Δτ = λ0/c

que nos viene dando:



Cuando vemos al Sol todas las mañanas, ciertamente la luz solar nos está llegando a nosotros pese a que el Sol tiene una masa enorme capaz de mantener a nuestro planeta orbitando en torno suyo. ¿Por qué no vemos entonces el efecto predicho por la fórmula obtenida con la solución de Schwarzschild? Por la sencilla razón de que, como nos lo demuestra un cálculo breve y rápido, el radio r = 2GM/c² para el Sol está situado muy al interior de esta estrella. La mayor parte del Sol está situada afuera de este radio crítico, de modo tal que la energía luminosa que puede producir el Sol en su parte exterior a este radio nos puede llegar a nosotros sin problema alguno. Sin embargo, si fuera posible compactar de alguna manera la masa de un cuerpo celeste brillante de modo tal que toda ella quedara contenida dentro de su radio “crítico” r = 2GM/c², la estrella desaparecería de nuestra vista, ya no brillaría. Solo nos enteraríamos de su existencia al ser “jalados” por ella, y posiblemente ya para entonces sería demasiado tarde para poder escapar de su tracción gravitacional. Retomaremos este tema posteriormente cuando entremos en un estudio más detallado de estos cuerpos exóticos que hoy ya son aceptados por la Ciencia como algo cuya existencia es imposible de negar.

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