miércoles, 18 de marzo de 2009

Gimnasia de índices

Con la ayuda de un tensor métrico g = (gαβ) que sea válido dentro de cierto espacio N-dimensional podemos convertir a un tensor contravariante T = (Ti) de orden 1 en un tensor covariante del mismo orden T = (Ti) con el simple hecho de tomar el producto interno del tensor T con el tensor métrico g formando el producto gT = Tg y aplicando la convención de sumación igualando el índice superior del tensor T con uno de los índices inferiores del tensor métrico g (para un tensor métrico cuya representación sea una matriz diagonal no importa cuál de los dos índices se seleccione ya que el resultado será el mismo), un procedimiento que ya habíamos definido como contracción. La operación de convertir a un tensor del tipo T = (Ti) en un tensor del tipo T = (Ti) es conocida como bajado de índice (en inglés se le llama index lowering). Del mismo modo, con la ayuda de un tensor métrico conjugado g-1 = (gαβ) que sea válido dentro de cierto espacio N-dimensional podemos convertir a un tensor covariante T = (Ti) de orden 1 en un tensor contravariante del mismo orden T = (Ti) con el simple hecho de tomar el producto interno del tensor T con el tensor métrico conjugado g-1 formando el producto g-1 T = Tg-1 y aplicando la convención de sumación. La operación de convertir a un tensor del tipo (Ti) en un tensor del tipo (Ti) es conocida como subida de índices (en inglés se le llama index raising).

Para convertir a un tensor del tipo (Ti) en un tensor del tipo (Ti), o sea para bajar el índice del tensor, utilizamos un tensor métrico g = (gij) como se muestra a continuación en notación tensorial de componentes:

gkj Tj = Tk

Obsérvese que al bajar el índice del tensor T con la ayuda del tensor métrico, en virtud de haberse llevado a cabo una operación de contracción el super-índice j del tensor ha pasado a ser el sub-índice k. El índice que ha sido bajado siempre toma la letra del otro índice del tensor métrico que no ha participado en la operación.

Del mismo modo, para convertir a un tensor del tipo (Ti) en un tensor del tipo (Ti), o sea para subir el índice del tensor, utilizamos el tensor métrico conjugado g-1 = (gij) como se muestra a continuación:

gkj Tj = Tk

Nuevamente, obsérvese que al subir el índice j con la ayuda del tensor métrico conjugado, en virtud de haberse llevado a cabo una operación de contracción el sub-índice j del tensor ha pasado a ser un super-índice k. El índice que ha sido subido siempre toma la letra del otro índice del tensor métrico conjugado que no ha participado en la operación.

PROBLEMA: Escribir los tensores producidos por las siguientes operaciones:

a) girTr jk

b) Tαμγ gβμ

c) gαμTμβγ

d) gγμTαβμ

e) glsTijk s

f) gαβ gir Tμβrεγ

g) gαβ gδε Tμβε

h) ΛirTjrk

En cada caso, nos fijamos en el índice del tensor métrico g (o del tensor métrico conjugado g-1 en su caso) que sea igual al índice del tensor T que va a ser subido o bajado, y una vez subido o bajado deberá utilizar la otra letra que caracterizaba al tensor métrico con la cual se produjo la operación.

a) En esta operación vamos a subir un índice, el índice r:

girTr jk = girTr jk = Tijk

b) En esta operación vamos a bajar un índice, el índice μ:

Tαμγ gβμ = Tαμγ gβμ = Tα βγ

c) En esta operación vamos a bajar un índice, el índice μ:

gαμTμβγ = gαμTμβγ = Tα β γ

Obsérvese con cuidado cómo el tensor resultante está definido por los sub-índices α y γ así como por el super-índice β. Sin embargo, lo que importa es la posición relativa de los índices (arriba o abajo), no su identificador tipográfico.

d) En esta operación vamos a subir un índice, el índice μ:

gγμTαβμ = gγμTαβμ = Tαβγ

e) En esta operación vamos a bajar un índice, el índice s:

glsTijk s = glsTijk s = Tijkl

f) Este problema es una aplicación del tensor métrico g y del tensor métrico conjugado g-1 en la cual utilizamos el tensor métrico g para bajar el índice β del tensor T y en la cual utilizamos el tensor métrico conjugado g-1 para subir el índice ε del tensor T:

gαβ giε Tμβrεγ = gαβ Tμβirγ = gαβ Tμβirγ = Tμiαrγ

Obsérvese que esta aplicación combinada del tensor métrico con el tensor métrico conjugado no cambia en lo absoluto el orden del tensor. Aquí empezamos con un tensor de orden cinco y terminamos con un tensor de orden cinco. Puesto que, generalmente hablando, los índices son índices monigote en la cual el símbolo utilizado para denotarlos carece de importancia, una operación combinada como la que hemos llevado a cabo no resulta de gran utilidad.

g) Este problema es una aplicación repetida del tensor métrico g en la cual utilizamos el tensor métrico para bajar los dos índices β y ε del tensor T:

gαβ gδε Tμβε = gαβ gδε Tμβε = gαβ gδε Tδμβ = gαβ gδε Tδμβ = Tαδμ

Esta operación tomó un tensor contravariante de orden tres, y nos produjo un tensor mixto covariante de orden dos y contravariante de orden uno. Una operación tensorial de este tipo puede ser y de hecho resulta ser de gran utilidad en aplicaciones prácticas.

h) En este problema aparece un ligero cambio de notación, sugiriendo que el tensor métrico en este caso es un tensor especial, el tensor Λ que corresponde a un espacio-tiempo relativista plano (Lorentziano). Puesto que ésto lo único que hace es especificar las componentes del tensor que corresponden a dicho 4-espacio, esto no cambia en nada la naturaleza matemática de las operaciones tensoriales que estamos llevando a cabo.

ΛirTjrk = ΛirTjrk = T j ik

PROBLEMA: En cada uno de los siguientes casos, determinar el tipo de tensor métrico (o tensores métricos, en caso de que se requieran varios) que necesitamos para llevar a cabo la conversión requerida:

1) Tαβγδ Tβαγδ

2) Tαβγδερλ Tαβγδερλ

3) Tαβγδερλ Tαβγδερλ

4) Tαβγδερλ Tαβγδερλ

5) FαβFλβ FαβFλβ

6) Fαβρλ Hγδεω Fαβρλ Hγδεω

1) En este caso basta con un tensor métrico ordinario g = (gμν):

Tβαγδ = gβνTανγδ

2) En este caso requerimos un tensor métrico conjugado g-1 = (gαβ):

Tαβγδερλ = gενTαβγδνρλ

3) En este caso, puesto que tenemos que subir dos índices, requerimos de dos tensores métricos conjugados:

Tαβγδερλ = gεμ gρν Tαβγδμνλ = gεμ Tαβγδμνλ gρν

4) En este caso, puesto que tenemos que subir tres índices, requerimos de tres tensores métricos conjugados, quedando especificadas las operaciones de la siguiente manera:

Tαβγδερλ = gαx gβy gγz Txyzδερλ

5) En este caso requerimos de un solo tensor métrico para bajar el índice α que corresponde al primer factor Fαβ en el término FαβFλβ:

FαβFλβ = gαν FνβFλβ

6) En este caso necesitamos dos tensores métricos, un tensor métrico para bajar el índice β de F, y un tensor métrico conjugado para subir el índice ε de H:

Fαβρλ Hγδεω = ( gβμ Fαμρλ )(gεν Hγδνω)

Es muy importante no confundir el uso de un tensor métrico como g para subir (o bajar) índices con el uso de Λ para llevar a cabo una transformación de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’. En este último caso no hay subida ni bajada de índices; si empezamos con un tensor covariante de orden dos seguiremos con un tensor covariante de orden dos después de la transformación en la cual empleamos a Λ. Esto lo aclararemos con unos ejemplos.

PROBLEMA: Demostrar que la transformación de Lorentz llevada a cabo sobre un 4-vector puede ser considerada como una transformación tensorial.

Nuestro punto de partida serán las transformaciones de Lorentz para un movimiento que se lleva a cabo a lo largo del eje-x común a ambos marcos de referencia S y S’:

x’ = γ(x - Vt) = γx - γVt

t’ = γ(t - Vx/c²) = - (γV/c²) x + γt

Esto lo podemos poner dimensionalmente en las mismas unidades (metros, en el sistema MKS) de la siguiente manera:

x’ = γ(x - Vt) = γx - γVt

ct’ = γ(t - Vx/c²) = - (γV/c) x + γct

Estas transformaciones actúan sobre un 2-vector que podemos llamar U, convirtiéndolo en otro 2-vector que podemos llamar U, lo cual expresado en coordenadas generalizadas es:

U = (U1, U2) = (x, ct)

U = (U1, U2) = (x’, ct’)

De este modo, la transformación llevada a cabo se puede representar de la siguiente manera:



o de la siguiente manera, empleando coordenadas generalizadas:



Basta con hacer:



para tener a la mano lo que es ni más ni menos una transformación tensorial que cumple con la definición del tensor:



En este caso empezamos con una transformación generalizada que supone un tensor covariante. Pero igual podríamos haber empezado con la transformación empleando como punto de partida un tensor contravariante. Lo importante es mantener una consistencia conforme a lo largo de un desarrollo un tensor covariante se vaya convirtiendo en contravariante o viceversa.

La misma transformación (con movimiento relativo entre ambos marcos de referencia a lo largo del eje-x común) extendida a un 4-espacio, el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad, es la siguiente en donde se ha hecho la simplificación β = V/c:



Podemos representar cada uno de los componentes de esta matriz Lorentziana con notación mixta, utilizando un super-índice para designar el renglón al que pertenece el elemento y un sub-índice para designar a la columna:



A continuación se muestra la manera en la cual se lleva a cabo la transformación de Lorentz sobre un 4-vector poniéndose como paso intermedio la sumación que es activada en virtud del índice repetido:



Si en lugar de un 4-vector tenemos un tensor contravariante de orden dos F = (Fαβ), podemos convertir uno de los índices del tensor de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’ de la siguiente manera:



Pero tratándose no de vectores (tensores de orden uno) sino de tensores de orden dos, la transformación en uno solo de los índices no nos basta para llevar a cabo una transformación completa, tenemos que transformar los dos índices, lo cual significa que tenemos que emplear nuevamente a Λ para llevar a cabo una segunda transformación sobre el otro índice:



De este modo, con la ayuda de Λ podemos pasar los componentes del tensor F de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’, y aunque aquí hemos llevado a cabo una manipulación de índices empleando a Λ como tensor métrico (Lorentziano), el tensor F sigue siendo un tensor contravariante de orden dos, tal y como lo esperaríamos de una expresión que involucra tensores.

PROBLEMA: Suponiendo que tenemos un tensor F = (Fμν) definido en un 4-espacio Lorentziano, escríbase explícitamente la expresión para llevar a cabo la conversión del componente F11 del tensor de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’.

Llevando a cabo la sumación sobre el primer índice (μ) según la prescripción dada arriba, obtenemos la suma de cuatro términos:



Llevando a cabo ahora la sumación sobre el segundo índice (ν) tendremos ahora el siguiente resultado, al expandirse cada término anterior a cuatro términos dando un total de 16 términos:



Una inspección detallada de este resultado nos revela que el componente transformado de F11 puede ser obtenido mediante las operaciones especificadas por la siguiente fórmula matricial:

F = ΛFΛT

PROBLEMA: Supóngase que se nos ha proporcionado el siguiente tensor F:



Obténgase el componente F42 del tensor F en el sistema de referencia S’ suponiendo que se le ha aplicado al tensor F una transformación de Lorentz.

De acuerdo con la definición dada arriba, el componente F42 se obtiene mediante mediante la siguiente sumatoria doble:



La sumatoria sobre un índice nos produce cuatro términos, y la sumatoria sobre el otro índice nos produce cuatro términos en cada uno de los cuatro términos que ya teníamos, dándonos un total de 16 términos. En este caso resultará más ventajoso efectuar evaluaciones con los componentes del tensor dado primero sobre una sumatoria y después sobre la otra en lugar de llevar a cabo la expansión de todos los 16 términos dejando la substitución de componentes hasta el final. Empezaremos con la expansión de la sumatoria sobre el índice μ substituyendo de inmediato los componentes indicados:



Los componentes de Λ que son iguales a cero se han destacado de color rojo, habiendo tres de ellos que terminan nulificando tres de los términos de la sumatoria sobre μ. El otro componente es igual a la unidad, dejándonos un solo término sobre el cual podemos llevar a cabo ahora la expansión sobre el índice ν:



La substitución de valores nos produce entonces el siguiente resultado:



PROBLEMA: Continuando con el problema anterior, obténganse todos los demás componentes de dicho tensor F después de que se le ha aplicado una transformación de Lorentz

Las operaciones matemáticas involucradas en la transformación de Lorentz del tensor F que ya de por sí pueden ser tediosas se pueden manejar metódicamente en una forma más ordenada mediante la representación matricial de la transformación que viene siendo:

F = ΛFΛT

En mayor detalle, esto involucra las siguientes operaciones matriciales:



En virtud de la propiedad de asociatividad para la multiplicación de matrices (AB)C = A(BC), podemos multiplicar las primeras dos matrices y multiplicar la matriz resultante por la tercera matriz, o podemos multiplicar la segunda y tercera matrices multiplicando el resultado por la primera matriz, obteniendo en ambos casos el mismo resultado. Multiplicaremos aquí primero la segunda matriz por la tercera matriz:



La matriz que hemos obtenido la podemos multiplicar ahora por la primera matriz. Los elementos de la matriz resultante, que a su vez son los componentes del tensor F, son los siguientes:

F11 = 0___F12 = - E1___F13 = - γ(E2 - βB3)___F14 = - γ(E3 + βB2)

F21 = E1___F22 = 0___F23 = - γ(B3 - βE2)___F24 = γ(B2 + βE3)

F31 = γ(E2 - βB3)___F32 = γ(B3 - βE2)___F33 = 0___F34 = -B1

F41 = γ(E3 + βB2)___F42 = - γ(B2 + βE3)___F43 = B1___F44 = 0

Obsérvese que estos elementos, acomodados en una matriz, revelan que el tensor F es antisimétrico, al igual que como F lo es.

Puesto que las componentes de F deben ser iguales en forma a las componentes del tensor original, o sea:



entonces igualando componentes se puede ver que la transformación Lorentz del tensor F convirtiéndolo en un tensor F nos ha producido las siguientes relaciones de transformación:

E1 = E1___E2 = γ(E2 - βB3)___E3 = γ(E3 + βB2)

B1 = B1___B2 = γ(B2 + βE3)___B3 = γ(B3 - βE2)

Ahora considérese una métrica en la cual el intervalo relativista Lorentziano está definido de la siguiente manera:

ds² = c² dt² - dx² - dy² - dz²

Entonces, haciendo c = 1 como se acostumbra hacerlo con unidades geometrizadas dándonos:

ds² = dt² - dx² - dy² - dz²

la representación matricial que corresponde al tensor métrico que corresponde a este elemento de línea es la siguiente:



Esta es precisamente la métrica que utilizamos en un espacio-tiempo plano (Lorentziano) para subida y bajada de índices en un espacio tiempo Lorentziano. Si queremos subir o bajar índices, utilizamos a g. Pero si lo que queremos es llevar a cabo una transformación de Lorentz de un 4-vector o de un tensor pasándolo de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’, entonces utilizamos a Λ. Tanto g como Λ tienen cada uno su lugar respectivo.

PROBLEMA: Dado el 4-vector contravariante P = (Pα) = (E/c, px, py, pz), obtener el 4-vector covariante P = (Pα) empleando el tensor métrico g del espacio-tiempo Lorentziano. Usar el resultado para obtener PαPα.

La operación requerida para bajar el índice es la siguiente:

Pμ = gμβPβ

Expandiendo la sumatoria sobre el 4-espacio:

Pμ = gμ1P1 + gμ2P2 + gμ3P3 + gμ4P4

Substituyendo valores:

P1 = g11P1 + 0 + 0 + 0 = (1)(E/c) = E/c

P2 = 0 + g22P2 + 0 + 0 = (- 1)(px) = - px

P3 = 0 + 0 + g33P3 + 0 = (- 1)(py) = - py

P4 = 0 + 0 + 0 + g44P4 = (- 1)(pz) = - pz

Con esto tenemos entonces:

(Pα) = (E/c, - px, - py, - pz)

Usando este resultado:

PαPα = P1P1 + P2P2 + P3P3 + P4P4

PαPα = (E/c)(E/c) + (px)(-px) + (py)(-py) + (pz)(- pz)

PαPα = (E/c)² - (px² + py² + pz²)

PαPα = (E/c)² - p·p

PROBLEMA: Usando el tensor métrico g propio del espacio-tiempo Lorentziano, y dado el siguiente tensor:



(1) Bajar el primer índice (α) obteniendo así el tensor Tαβ y (2) bajar el segundo índice obteniendo así el tensor Tαβ. (3) ¿Son iguales Tαβ y Tαβ? (4) ¿Cómo se pueden obtener Tαβ y Tαβ de Tαβ mediante operaciones matriciales? (5) Obtener el tensor Tαβ.

Para bajar el primer índice (α) utilizamos la relación:

Tαβ = gαμTμβ

Expandiendo la sumatoria sobre el 4-espacio:

Tαβ = gα1T + gα2T + gα3T + gα4T

Para α = 1 y β = 2:

T12 = g11T12 + g12T22 + g13T32 + g14T42 = g11T12 = (1)(b) = b

Para α = 2 y β = 1:

T21 = g21T11 + g22T21 + g23T31 + g24T41 = g22T21 = (-1)(e) = - e

Para α = 2 y β = 3:

T23 = g21T13 + g22T23 + g23T33 + g24T43 = g22T23 = (-1)(g) = - g

Del mismo modo:

T31 = gTμ1 = g33T31 = (-1)(i) = - i

T41 = gTμ1 = g44T41 = (-1)(m) = - m

Juntando todos los componentes de Tαβ en un arreglo matricial tenemos lo siguiente:



Matricialmente hablando, este resultado puede ser obtenido pre-multiplicando a la matriz que representa los componentes del tensor T contravariante con la matriz que representa a los componentes del tensor métrico g:



Para bajar el segundo índice (β) utilizamos la relación:

Tαβ = gμβTαμ

Expandiendo la sumatoria sobre el 4-espacio:

Tαβ = gTα1 + gTα2 + gTα3 + gTα4

Para α = 1 y β = 2:

T12 = g12T11 + g22T12 + g32T13 + g42T14 = g22T12 = (-1)(b) = - b

Para α = 2 y β = 1:

T21 = g11T21 + g21T12 + g31T23 + g41T24 = g11T21 = (1)(e) = e

Juntando en un arreglo matricial todos los componentes de Tαβ que se van generando con las sumatorias tenemos lo siguiente:



Matricialmente hablando, este resultado puede ser obtenido post-multiplicando a la matriz que representa los componentes del tensor T contravariante con la matriz que representa a los componentes del tensor métrico g:



La primera conclusión firme es que los tensores Tαβ y Tαβ no son iguales pese a que fueron obtenidos ambos del mismo tensor Tαβ. En ambos casos, vimos que el resultado se puede obtener de una manera más ordenada (y en cierta forma, más rápida) con la ayuda de operaciones matriciales. Para bajar el primer índice tuvimos que recurrir a una pre-multiplicación, mientras que para bajar el segundo índice tuvimos que recurrir a una post-multiplicación. Esto significa que la operación de descenso de índice se puede obtener mediante una de las siguientes operaciones matriciales:

[ gαμ][Tμβ] = [Tαβ]

[Tαμ][gμβ] = [Tαβ]

Obsérvese que en ambos casos los índices repetidos de cada matriz deben estar contiguos el uno al otro (apareados). Esto es lo que nos proporciona la clave para convertir las operaciones tensoriales de sumatorias en operaciones matriciales. Siendo así, podemos postular que para obtener un tensor covariante de orden dos a partir de un tensor contravariante de orden dos las operaciones matriciales que debemos llevar a cabo para bajar ambos índices están especificadas por el siguiente producto matricial múltiple:

[Tαβ] = [gαμ][Tμν][gνβ]

Llevando a cabo estas operaciones matriciales, obtenemos el siguiente resultado:



Una forma de verificar la integridad de los pasos que se están llevando a cabo en el desarrollo de una ecuación tensorial cuando en dicha ecuación se está utilizando notación de componentes, especialmente cuando se está llevando a cabo gimnasia de índices, es la observancia en el balanceo de los índices simbólicos, lo cual consiste en verificar que el balance de índices simbólicos del lado izquierdo de una igualdad tensorial coincida con el balance de índices simbólicos del lado derecho de dicha igualdad. Un ejemplo lo tenemos en la siguiente expresión tensorial:



En el lado izquierdo tenemos dos índices libres α y β que en un espacio N-dimensional pueden tomar cualquiera de N valores diferentes. En el lado derecho tenemos dos términos dentro de los paréntesis rectangulares, siendo el primer término FαλFλβ con un índice monigote λ. Al llevarse a cabo la contracción del término tensorial provocada por el índice repetido λ que activa a la convención de sumación, tras la suma desaparece el índice monigote y nos quedan únicamente los dos super-índices α y β que se corresponden con los índices libres α y β de Tαβ. En este caso, los índices están balanceados. Y en lo que respecta al segundo término, tenemos el producto de los factores FμλFμλ que con dos índices monigote repetidos (μ y λ) activa una doble sumatoria tras la cual nos quedan únicamente los dos índices libres superiores del tercer factor, gαβ, los cuales balancean también a los índices libres α y β de Tαβ. La ecuación, en lo que respecta al balanceo de índices, es correcta.

La verificación del balanceo de índices se puede llevar a cabo inclusive aunque no tengamos la menor idea del significado del enunciado que está especificando una expresión tensorial, como en el siguiente caso:



En el lado izquierdo de esta expresión tenemos un sub-índice μ en ∂μ que en combinación con el super-índice μ en Tμ activa a la convención de sumación al estar repetido el mismo índice, lo cual elimina dicho índice al llevarse a cabo la sumación implícita. El super-índice numérico 4 en d4x no es tomado en cuenta para nada al llevarse a cabo el balanceo de índices puesto que no es un índice libre ni es un índice monigote. Y en el lado derecho tenemos nuevamente como super-índice a μ que en Tμ activa a la convención de sumación al estar repetido el mismo índice en dSμ, eliminando también a dicho índice en el lado derecho de la expresión. La ecuación, en lo que respecta al balanceo de índices, es correcta. Se agregará aquí que ∂μ se interpreta como ∂/∂xμ
y que d4x se interpreta como el producto cuádruple de elementos diferenciales en las cuatro coordenadas generalizadas, o sea como (dx1)(dx2)(dx3)(dx4), mientras que la ecuación es la expresión tensorial del conocido teorema de Gauss generalizado del espacio tridimensional al 4-espacio.

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