miércoles, 18 de marzo de 2009

20: Introducción al cálculo tensorial

La formulación básica de la Teoría General de la Relatividad es una formulación matemática en notación tensorial, usando tensores, y es por ello que se vuelve necesario dar una idea de lo que son estos objetos matemáticos que llamamos tensores. En vez de empezar con una definición axiomática (formal) de lo que es un tensor, postpondremos dicha definición para después, empezando en cambio con una definición intuitiva.

Aunque sin algo que le corresponda en el mundo físico real, podemos definir matemáticamente en un plano de dos dimensiones un “campo de números” como el siguiente:

φ = 0.2x + 0.1y

De este modo, al par (x,y) = (1,1) le corresponde el número φ = 0.3, y así sucesivamente. Tabulando algunos números y poniéndolos en el plano tendríamos una distribución de números como la que se muestra a continuación:





A cada punto en el plano x-y le corresponde un número. Así, podemos “sembrar” un campo de números, de escalares, con lo que tenemos un campo de escalares o simplemente un campo escalar.

Una cantidad escalar Q, la cual no tiene dirección ni sentido y se representa con un simple número (como la masa m de un cuerpo o su temperatura T) es un tensor de orden cero. Esta cantidad, por ser un simple número, permanece igual ya sea que se le considere en un espacio de dos dimensiones, de tres dimensiones, o inclusive en un espacio que posea cualquier número de dimensiones.

Una cantidad vectorial V, a la cual definitivamente le podemos asignar dirección y sentido (como la velocidad que lleva un avión moviéndose horizontalmente hacia la derecha a una velocidad de 30 metros por segundo y hacia arriba a 40 metros por segundo) y se representa como una n-pla de números (un par de números ordenados cuando se trata de un vector en dos dimensiones, un triplete de números ordenados cuando se trata del mismo vector trazado en tres dimensiones, un cuádruple ordenado de números cuando se trata de un vector trazado en un espacio cuatri-dimensional, etc.) es un tensor de orden uno en un espacio n-dimensional.

Una cantidad tensorial Trs en donde empleamos dos sub-índices es una extensión de los conceptos anteriores, también a un espacio n-dimensional, denotado como tensor de orden dos. Los componentes Tij de un tensor de orden dos se pueden representar mediante ese arreglo rectangular de números conocido como matriz:





En todo lo que hemos señalado anteriormente, hemos supuesto que al hablar de un tensor de orden cero (una cantidad escalar), un tensor de orden uno (una cantidad vectorial) o un tensor de orden dos, estamos haciendo referencia a algo que es representado en el espacio n-dimensional como un punto, como en el caso de la masa que se representada simbólicamente con su centro de masa especificado en cierta posición, o como el vector velocidad de un avión que en un instante dado se especifica sobre cierto punto de origen (no necesariamente el punto de origen del sistema de coordenadas utilizado para representar el vector con la flechita usual) el cual va cambiando de lugar conforme el avión se va trasladando de un punto a otro. Pero hay muchas situaciones físicas en las cuales se vuelve necesario extender las definiciones anteriores.

Supóngase que estamos midiendo la temperatura no de una esferita metálica muy pequeña que por su tamaño está completamente a la misma temperatura, sino de una placa metálica rectangular uno de cuyos bordes laterales está tocando un horno con los otros tres bordes tocando un recipiente de agua. Al llevarse a cabo una transmisión del calor del borde caliente a los tres bordes fríos, no podemos hablar de que toda la placa esté a una sola temperatura. Un punto de la placa estará a una temperatura T1, otro punto de la placa estará a una temperatura T2, otro punto de la placa estará a una temperatura T3, en fin, teóricamente hay una cantidad infinitamente grande de puntos dentro de la placa, y cada uno de ellos tendrá su propia temperatura en un momento dado (la distribución de temperaturas en un caso así tratándose de una placa rectangular se obtiene mediante una ecuación diferencial que involucra derivadas parciales de segundo orden conocida como la ecuación de Laplace). En este caso, tenemos un ejemplo de lo que viene siendo un campo escalar en un plano, con cada punto en el plano especificando un valor escalar distinto (que en este caso es la temperatura) para el plano. Si representamos la distribución de temperaturas en la placa rectangular poniendo a la placa en un plano de coordenadas y asignándo a la tercera coordenada el valor de la temperatura en cada punto de la placa, tendremos algo como lo siguiente:





Como podemos ver, la placa tendrá su temperatura máxima de 500 grados en el punto (i,j) = (20,0), y la temperatura en cada punto de la placa va descendiendo (y con ello la altura de la superficie que une las alturas de las temperaturas) conforme nos vamos alejando de dicho punto que es el más caliente. Este es un ejemplo de un campo escalar en dos dimensiones.

Si lo deseamos, podemos utilizar un cubo metálico en lugar de una placa metálica poniendo uno de los lados del cubo en contacto completo con el horno y los otros cinco lados en contacto con un medio frío. Nuevamente, dentro del cubo tenemos una distribución distinta de temperaturas en el espacio tridimensional, tenemos entonces un ejemplo de lo que viene siendo un campo escalar en un espacio de tres dimensiones.

Además de poder asignar un escalar a cada punto en el espacio para representar cierta situación física, podemos también asignar un vector a cada punto en el espacio para representar algo que no puede ser representado con un solo punto. Un ejemplo de ello es el flujo de una corriente de agua que está entrando de un torbellino. Obviamente, dentro de un torbellino, cada molécula del agua apuntará hacia una dirección diferente, y el comportamiento del conjunto no puede ser representado con un solo vector. Se necesita todo un enjambre de vectores para poder representar la situación. Este enjambre de vectores es lo que nos define un campo vectorial. A continuación tenemos la representación gráfica de tal torbellino mediante un campo vectorial:





Obsérvese que el torbellino es más intenso en el centro, por el grosor y la longitud con la que hemos representado las flechas vectoriales de la velocidad asignadas a cada uno de los puntos en el plano. Lo que tenemos arriba es la representación gráfica de un campo vectorial en un espacio de dos dimensiones, el cual a veces se puede representar matemáticamente como una función vectorial V(x,y) en la que a cada punto del plano identificado con la coordenada x y con la coordenada y se le asigna un valor específico V al vector ligado a dicho punto.

Para ciertos problemas, la interpretación del campo vectorial puede requerir un poco más de imaginación, como es el caso del siguiente campo vectorial:





En una situación física real, en donde los fenómenos ocurren no en un plano sino en un espacio de tres dimensiones, obviamente requerimos un campo vectorial en un espacio de tres dimensiones, representado como V(x,y,z) Si lo deseamos, aunque nuestra intuición geométrica no nos ayude, podemos extender este concepto matemáticamente a un campo vectorial en un espacio de n-dimensiones.

V ( x1 , x2, x3 , ... , xn)

Así como hemos hablado de campos escalares y de campos vectoriales, podemos hablar también acerca de campos tensoriales. Del mismo modo en que lo hicimos con las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales, a cada punto en un plano podemos asignarle un tensor. Esta es esencialmente la idea detrás de un campo tensorial. Si lo hacemos en un plano, estaríamos hablando de un campo tensorial en un espacio de dos dimensiones. Si lo hacemos en un espacio tridimensional, estaríamos hablando de un campo tensorial en un espacio de tres dimensiones. Y si lo hacemos matemáticamente podemos hablar de un campo tensorial en un espacio de n-dimensiones.

En la Teoría General de la Relatividad, el fondo del asunto se maneja con un campo tensorial de cuatro dimensiones.

De este modo, a cada punto en un espacio cuatri-dimensional con coordenadas ( x1 , x2, x3 , x4) le podemos asignar un tensor cuatri-dimensional. Y cada punto, en el caso de un tensor Trs en donde los sub-índices r y s corran de uno a cuatro (o de cero a tres, que es lo mismo), tendrá asignado un total de 16 valores numéricos, las componentes del tensor.

Frecuentemente, al manejar temas relacionados con la Teoría General de la Relatividad, se recurre frecuentemente a una simplificación notacional conocida como la convención de sumación de Einstein, con la cual debemos estar familiarizados si queremos entender los libros especializados sobre el tema de la Teoría General de la Relatividad.

La convención de sumación, la cual en ciertos casos reemplaza al familiar símbolo de sumación Σ (letra griega sigma mayúscula) utilizado para representar sumaciones:



nos propone que cuando en una expresión tengamos un término en dicha expresión con índices repetidos sobre los cuales se lleva a cabo una suma, en lugar de utilizar el símbolo de sumación Σ podemos prescindir del símbolo dejando que los índices repetidos se conviertan en los indicadores de la sumación, debiendo especificar (en caso de que no se sobreentienda) el número n de veces en que se habrá de llevar a cabo la sumación.

La convención sólo es válida para índices repetidos, de modo tal que el siguiente símbolo:

AijBk

no representa sumación alguna, y en este caso los índices i, j y k son llamados índices libres. Cuando hay una sumación, los índices utilizados para representar dicha sumación son conocidos como índices monigote (dummy indexes).

Para adquirir destreza en tan importante simplificación notacional, a continuación veremos unos problemas de práctica.

PROBLEMA: Expandir la fórmula aibi para n=6.

En el término tenemos repetido el índice i, y por lo tanto este es el índice monigote, de modo tal que de acuerdo a la convención de sumación aquí tenemos una sumación que debe ser expandida a:

a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 + a5b5 + a6b6

PROBLEMA: Escribir completamente la expresión Rijki (n=4). ¿Cuáles son los índices libres?

En el término tenemos repetido el índice i que es el índice sobre el cual se debe llevar a cabo la sumación:

R1jk1 + R2jk2 + R3jk3 + R4jk4

Los índices libres son j y k, con lo cual si también para ellos se tiene n=4 hay un total de 16 expresiones como la anterior para todas las combinaciones posibles de números.

PROBLEMA: Simplificar notacionalmente lo siguiente con la convención de sumación, especificando el valor de n:

a13b13 + a23b23 + a33b33

La expresión condensada con la convención de sumación será:

ai3bi3__(n = 3)

Como puede verse, la convención de sumación es el equivalente de un sistema de taquigrafía con el que podemos reducir todo lo que tenemos que escribir al estar manejando un tema como el que nos ocupa.

PROBLEMA: Escribir completamente la expresión aiixk para n=4.

aiixk = a11xk + a22xk + a33xk + a44xk

aiixk = (a11 + a22 + a33 + a44) xk

PROBLEMA: Escribir completamente la expresión aijxj para n=4.

aijxj = ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ai4x4

PROBLEMA: Escribir de la manera más compacta que se pueda el siguiente sistema de ecuaciones que representan una transformación linear:

y1 = c11x1+ c12x2

y2 = c21x1+ c22x2

Usando la convención de sumación, podemos llevar a cabo la primera simplificación en cada una de las ecuaciones:

y1 = c1jxj

y2 = c2jxj

La segunda simplificación sobre lo mismo la podemos llevar a cabo usando el índice libre:

yi = cijxi

PROBLEMA: Escribir explícitamente el sistema de ecuaciones representado en forma compacta mediante la convención de sumación como

Ti = airTr__(n = 4)

Llevando a cabo la expansión sumatoria sobre el índice monigote r que es el índice repetido:

Ti = ai1T1 + ai2T2 + ai3T3 + ai4T4

El índice libre nos proporciona cuatro ecuaciones de transformación:

T1 = a11T1 + a12T2 + a13T3 + a14T4

T2 = a21T1 + a22T2 + a23T3 + a24T4

T3 = a31T1 + a32T2 + a33T3 + a34T4

T4 = a41T1 + a42T2 + a43T3 + a44T4

En este último problema, si suponemos que lo que se está describiendo es algo así como una transformación de Lorentz de un marco de referencia S de un observador a otro marco de referencia S' de otro observador, el lector se habrá dado cuenta de que en lugar de utilizarse las comillas individuales para denotar cada componente transformado (por ejemplo z al ser transformado a z') se están utilizado barras (líneas) horizontales puestas sobre cada componente (así T3 es transformado a T3). Aunque en muchos textos sobre la Teoría General de la Relatividad y sobre el Cálculo Tensorial el uso de las comillas se sigue reteniendo para tal propósito, el aferrarse a la simbología de las comillas tiene sus inconvenientes. El principal inconveniente es que las comillas no sólo son más difíciles de distinguir en comparación con las barras horizontales superiores, sino que en expresiones en las cuales se utilizan junto con superíndices (por ejemplo, R'2) hay ocasiones en las cuales las comillas incluso se pueden confundir con el número “1”. Encima de ello, está el hecho de que dentro de la Teoría General de la Relatividad, en donde se tiene que hacer uso intensivo de las herramientas del cálculo infinitesimal, la comilla se puede utilizar para indicar la derivada de una función como en el ejemplo siguiente:

y' = dy/dx

Es por ello que, para reducir lo más que se pueda las posibles confusiones en la lectura de las expresiones matemáticas, se ha preferido recurrir aquí al uso de las barras superiores. De cualquier manera, no debe quedar duda en el lector de que en muchos otros textos en donde se mantiene el uso de las comillas para denotar a los componentes de un objeto tras un cambio de coordenadas, la comilla es completamente equivalente a la barra horizontal superior que estamos utilizando aquí. De este modo, las siguientes dos expresiones ambas representan lo mismo:



Se deben formular también aquí las siguientes dos advertencias sobre la convención de sumación de Einstein:

(1) La convención de sumación solo es aplicable a índices repetidos, como lo es el caso de la expresión AiAi que no puede ser “simplificada” a (Ai)² porque pierde totalmente su sentido original que es:

AiAi = A1A1 + A2A2 + A3A3 + A4A4 + ... + AnAn

AiAi = A1² + A2² + A3² + A4² + ... + A²n

(2) La convención de sumación solo es aplicable a un índice que aparece no más de dos veces en una expresión. Un término como AiiXi no representa sumación alguna. Sin embargo, un término cualquiera puede contener más de un par de índices repetidos, sobre lo cual no hay restricción alguna.

PROBLEMA: Suponiendo que (dx0,dx1,dx2,dx3) = (dt, dx, dy, dz) y que

ds² = gij dxi dxj__(n = 4),

llevar a cabo la expansión de ds².

En este caso tenemos dos índices monigote, i y j. Llevando a cabo la expansión de acuerdo con lo que nos dicta la convención de sumación para índices repetidos, tendremos lo siguiente:

ds² = g00(dx0)(dx0) + g01(dx0)(dx1) + g02(dx0)(dx2) + g03(dx0)(dx3)
+ g10(dx1)(dx0) + g11(dx1)(x1) + g12(dx1)(dx2) + g13(dx1)(dx3)
+ g20(dx2)(dx0) + g21(dx2)(dx1) + g22(dx2)(dx2) + g23(dx2)(dx3)
+ g30(dx3)(dx0) + g21(dx3)(dx1) + g32(dx3)(dx2) + g33(dx3)(dx3)

Reemplazando los dxr por las coordenadas que representan:





Si hacemos gij = 0 para todos los casos en los que los índices son diferentes (i≠j), y hacemos g00 = -1, g11 = 1, g22 = 1 y g33 = 1, lo anterior se reduce a:

ds² = -(dt + (dx + (dy)2 + (dz

Esto nos debe parecer ya familiar. Es la distancia (intervalo) infinitesimal entre dos eventos diferentes muy cercanos el uno al otro que ocurren en un espacio-tiempo relativístico plano (Lorentziano). Y esto solo ocurre cuando los índices en el símbolo gij son iguales y corresponden a los valores de los gij que se han indicado arriba y los valores gij son iguales a cero cuando los índices en el símbolo son diferentes (i≠j). Si a estas alturas el lector está empezando a sospechar que esto es lo que produce la diferencia fundamental entre un espacio-tiempo plano y un espacio-tiempo curvo, estará en lo correcto.

Además de la convención de sumación de Einstein, tenemos un símbolo que se utiliza frecuentemente en la simplificación notacional, el delta de Kronecker δij, definido de la manera siguiente:

δ ij = 1__para i = j

δ ij = 0__para i ≠ j

PROBLEMA: Llevar a cabo la expansión de

δij xi xj__(n = 3)

Aplicando la definición del delta de Kronecker, tenemos:

δ ij xi xj = 1x1 x1 + 0x1 x2 + 0x1 x3 + 0x2 x1 + 1x2 x2 + 0x2 x3 + 0x3 x1 + 0x3 x2 + 1x3 x3

δ ij xi xj = x1 x1 + x2 x2 + x3 x3

δ ij xi xj = (x1)² + (x2)² + (x3

Expuestas las ideas y conceptos anteriores, definimos ahora formalmente a un vector covariante Tr en un espacio de n-dimensiones (o más rigurosamente, un tensor coavariante de orden 1 en un espacio de n-dimensiones) como toda aquella n-pla (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de componentes que puedan ser transformados a otra n-pla de componentes (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de acuerdo con la siguiente relación:



en donde usamos el símbolo para denotar la diferenciación parcial de una variable con respecto a otra de varias variables que son mantenidas constantes al llevar a cabo la diferenciación parcial como lo muestra el siguiente ejemplo:

u = xy²exz



Obsérvese con cuidado que, en virtud de los índices repetidos que tenemos en la definición del tensor covariante de orden uno, la convención de sumación ha entrado automáticamente en acción sobre el índice monigote r. Sin la convención de sumación, esta expresión se escribe (metiendo el símbolo sigma de sumación) como:

Ti = Σ r (∂xr/x i) Tr____r=1, 2, 3, ... , n

Para un espacio de dos dimensiones, la anterior definición de un vector covariante (que por lo pronto llamaremos simplemente vector) nos produce la siguiente relación de transformaciones llevando a cabo la sumación sobre el índice monigote j (el índice repetido):

Ti = (x1/x i) T1 + (x2/x i) T2

que a su vez nos produce las siguientes relaciones a través del índice libre i:

T1 = (x1/x1) T1 + (x2/x1) T2___para i=1

T2 = (x1/x2) T1 + (x2/x2) T2___para i=2

Consideremos un vector T = (T1,T2) = (4,3) en un espacio de dos dimensiones para el cual la transformación de coordenadas está dada por los siguientes valores:

x1/x1 = 0.500___ x2/x1 = -0.866

x1/x2 = 0.866___ x2/x2 = 0.500

Entonces la transformación de los componentes del vector T= (T1,T2) = T(4,3) hacia los componentes del vector que le corresponde T = (T1,T2) después de la transformación estará dada por el siguiente conjunto de ecuaciones:

T1 = 0.5 T1 - 0.866 T2

T2 = 0.866 T1 + 0.5 T2

Poniendo números:

____T1 = 0.5 T1 - 0.866 T2

____T1 = (0.500) 4 + (-0.866) 3

____T1 = 2.0 -2.6 = -0.6

____T2 = 0.866 T1 + 0.5 T2

____T2 = (0.866) 4 + (0.500) 3

____T2 = 3.464 + 1.5 = 4.964

Es así como obtenemos el nuevo vector T = (T1,T2) = (-0.6, 4.964).

Los mismos cálculos los podríamos haber llevado a cabo empleando notación matricial:



Ahora calcularemos la longitud ║T║ del vector T= (4,3):

____T║² = 4² + 3² = 25

____T║ = 5

Veamos ahora cuál es la longitud del vector ║T║:

____T║² = (-0.6)² + (4.964)² = 0.36 + 24.64 = 25.0

____T║ = 5

El vector T tiene la misma longitudTque la que tiene el vector T. Y este resultado no aplica únicamente al vector T= (4,3) bajo este cambio de coordenadas. Aplica a cualquier vector bajo este cambio de coordenadas, lo cual no es difícil de demostrar:

T║² = (T1)² + (T2

T║² = [(0.500) T1 + (-0.866) T2]² + [(0.866) T1 + (0.500) T2)]²

T║² = 0.25T1² - 0.433T1T2 + 0.75T2 ² + 0.75T1² + 0.433T1T2 + 0.25T2²

T║² = (T1)² + (T2

T║² = ║T║²

No todas las transformaciones tienen esta propiedad de preservar intacta la longitud de un vector. El lector puede comprobarlo dando otros valores numéricos a las transformaciones y llevando a cabo sus propios cálculos.

Si ponemos énfasis en la representación matricial de las operaciones que hemos llevado a cabo, representando a la matriz como M, podemos ver a dicha matriz como un operador (o más propiamente dicho, como un operador matricial) que al ser aplicado sobre un vector T en un sistema de coordenadas (x1,x2) lo transforma en otro vector T relativo a otro sistema de coordenadas ( x'1,x'2). Y como la longitud de un vector cualesquiera es preservada bajo el cambio de coordenadas ordenado por la transformación del ejemplo que acabamos de ver, no nos queda ninguna duda de que para dicho ejemplo el vector en sí permanece invariante. Y si un vector cualesquiera puede permanecer invariante bajo cierto cambio de coordenadas como es el caso del ejemplo que acabamos de ver, se sobreentiende que también un campo vectorial permanecerá invariante bajo dicha transformación. Este es precisamente el tipo de transformaciones que necesitamos en una Teoría General de la Relatividad, aplicadas sobre los vectores de un espacio de cuatro dimensiones (4-vectores), porque bajo este tipo de transformaciones las leyes de la Naturaleza permanecen invariantes. Este es ni más ni menos el principio de covariancia, extendido de la Teoría Especial de la Relatividad a la Teoría General de la Relatividad. El principio adquiere ahora una naturaleza universal.

PROBLEMA: Expresar en notación de matriz las ecuaciones de transformación para un tensor covariante de orden uno para N = 3.

Representando a los tensores como vectores columna, las ecuaciones de transformación se pueden representar en forma matricial de la siguiente manera:





Con un ligero cambio de notación, introducimos ahora formalmente la definición de un vector contravariante Tq en un espacio de n-dimensiones (o más rigurosamente, un tensor contravariante de orden 1) como toda aquella n-pla (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de componentes que puedan ser transformados a otra n-pla de componentes (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de acuerdo con la siguiente relación:



Sin la convención de sumación, esto se escribe explícitamente como:

(T) i = Σ r (∂xi/xr) Tr____r=1, 2, 3, ... , n

Se hace hincapié aquí en que los índices superscriptos en cada uno de los componentes T i no indican exponenciación matemática, sólo denotan la posición de cada componente del vector contravariante dentro de la n-pla ordenada (esto al principio puede ser causa de mucha confusión al igual que el empleo de la convención de sumación de Einstein para notación tensorial).

Los vectores covariantes y los vectores contravariantes siempre van de la mano juntos, y carece de sentido hablar de uno de ellos sin que haga acto de presencia el otro. En este sentido, la convención adoptada aquí de simbolizar a los componentes de los vectores covariantes con índices subscriptos y a los componentes de los vectores contravariantes con índices superscriptos utilizada en muchos libros es completamente arbitraria; igualmente podríamos haber adoptado la convención (también utilizada en muchos otros libros) de simbolizar a los componentes de los vectores covariantes con índices superscriptos y a los componentes de los vectores contravariantes con índices subscriptos. Lo importante es tener una manera simbólica de distinguir entre los vectores covariantes y los vectores contravariantes del mismo modo que en las ecuaciones de transformación de Lorentz empleadas en la Teoría Especial de la Relatividad utilizamos las comillas para distinguir los componentes del marco de referencia de un observador en movimiento con respecto al marco de referencia de un observador (en reposo); igual podríamos haber invertido la asignación de las comillas sin alterar la distinción que estamos haciendo entre los dos marcos de referencia.

En el espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones propio de la Teoría Especial de la Relatividad (marco de referencia Lorentziano o inercial), no tiene objeto alguno hacer una distinción entre vectores covariantes y vectores contravariantes (se aprovecha aquí la ocasión para señalar que la palabra covariante utilizada para la definición de vectores con índices superscriptos no tiene nada que ver con el principio de covariancia mencionado en la entrada “Invariantes”, lo cual lamentablemente también puede ser causa de muchas confusiones entre los principiantes); ambos son la misma cosa. Sin embargo, en el espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones propio de la Teoría General de la Relatividad, la diferencia entre un vector covariante y un vector contravariante se vuelve más que obvia. Esta es una de las complejidades inevitables que resultan de saltar de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo curvo.

Un observador que esté dentro de un elevador en caída libre en presencia de un campo gravitacional no se dará cuenta de ello haciendo experimentos con rayos de luz dentro de su elevador, porque todo estará en caída libre junto con él en un marco de referencia Lorentziano, su espacio-tiempo es plano. Pero un observador externo alejado de dicho campo gravitacional lo verá de un modo distinto, lo verá acelerándose en un espacio-tiempo curvo. Este salto de un entorno linear a un entorno curvo no-linear es lo que nos obliga a recurrir al uso del cálculo infinitesimal, al uso de ecuaciones diferenciales, específicamente a las derivadas parciales que requerimos para poder analizar los cambios que toman lugar en un espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones. En la Teoría Especial de la Relatividad, pasamos de un espacio-tiempo plano (marco de referencia S) a otro espacio-tiempo plano (marco de referencia S') o viceversa con la ayuda de las ecuaciones de transformación de Lorentz, pero en la Teoría General de la Relatividad pasamos de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo curvo o viceversa, o peor aún de un espacio-tiempo curvo a otro espacio-tiempo curvo complicando aún más el asunto. En la Teoría Especial de la Relatividad en donde siempre considerábamos a una partícula en movimiento rectilíneo uniforme trasladándose a velocidad constante, su línea del universo (world line) en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski siempre era una línea recta para cualquier observador. Pero en la Teoría General de la Relatividad en donde la partícula puede cambiar la dirección de su movimiento a causa de una aceleración producida por un campo gravitacional (como lo es el caso de los cometas) su línea del universo deja de ser una línea recta para todos los observadores externos, y entendiblemente requerimos de las herramientas del cálculo infinitesimal para poder analizar este movimiento no-linear.

El siguiente paso en las generalizaciones (abstracciones) que estaremos llevando a cabo consistirá en extender las definiciones que se han dado arriba del tensor covariante y del tensor contravariante hacia tensores de orden superior, construyendo una aritmética de tensores en base a las definiciones básicas y buscando en todo momento considerar aquellas transformaciones que puedan preservar intactas, invariables, ciertas características no de un campo escalar o de un campo vectorial sino de un campo tensorial, al igual que como lo hemos encontrado en los ejemplos puestos arriba para un campo vectorial. Esto requerirá entrar en mayor detalle en las herramientas del cálculo tensorial, lo cual será cubierto en entradas posteriores.

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