miércoles, 18 de marzo de 2009

El germen de una idea

Bernhard Riemann, el fundador de la geometría moderna, considerado por muchos como el padre de la geometría diferencial, no vivió el tiempo suficiente para ver el nacimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, lo cual tuvo lugar en 1905, 39 años después de su muerte, y por lo tanto jamás tuvo conocimiento alguno de efectos físicos relativistas tales como la contracción de longitud o de conceptos tales como un espacio-tiempo cuatri-dimensional. Cierto es que consolidó las herramientas matemáticas necesarias para el estudio de espacios geométricos de cualquier número de dimensiones, pero jamás estableció formalmente una conexión directa entre sus propias contribuciones a la matemática teórica y la aplicación de dichos conceptos al mundo real.

Sin embargo, Riemann, al igual que otros pensadores de su tiempo, se encontraba insatisfecho con la postulación de la ley de la gravitación universal de Newton enunciada por vez primera en 1687, se resistía a creer en la existencia real de una fuerza totalmente invisible actuando entre dos cuerpos, responsable de producir una atracción entre dichos cuerpos en razón directa del producto de sus masas. Cierto, ya para su tiempo las leyes de Newton habían trabajado admirablemente bien en la explicación de muchos fenómenos astronómicos y en la predicción de sucesos tales como el retorno del cometa Halley (el regreso del Halley en 1759 constituyó en su día un espectacular triunfo de la teoría de Newton). El difirendo no era tanto con la confirmación exitosa de dicha ley, sino más bien una cuestión de fondo filosófico, con la renuencia en aceptar la realidad de esa fuerza gravitatoria invisible entre dos cuerpos propuesta por Newton.

Fueron precisamente estas dudas las que llevaron a Riemann a considerar la posibilidad de que tal fuerza de gravedad ni siquiera existía, que la atracción entre dos cuerpos se debía no a fuerza alguna actuando entre ellos a través del espacio interestelar, una acción-a-distancia, sino a un efecto estrictamente geométrico, a la contracción del espacio existente entre dos cuerpos. Esta era una diferencia muy sutil pero revolucionaria para su época. Para Newton, el espacio era absoluto, invariable, y si dos cuerpos flotando en el espacio separados una distancia de 10 metros se acercaban entre sí por su atracción gravitatoria a una distancia de 4 metros, los diez metros originales seguían allí, eran los cuerpos los que habían consumido seis metros de dicho espacio al acercarse el uno al otro. Pero para Riemann, los cuerpos no se movían para nada de sus posiciones originales, lo que sucedía era que el espacio entre ellos se había contraído.

Desafortunadamente, Riemann jamás pudo concretar estas ideas porque lo que visualizaba era una contracción del espacio tridimensional, y lo que se necesitaba era un espacio de cuatro dimensiones, no de tres. Pero la sospecha estaba sembrada, y Riemann le dejó al mundo las herramientas matemáticas para explorarla.

No es difícil darse cuenta de cómo Einstein pudo haber llegado a la conclusión de que la atracción gravitacional entre dos cuerpos pudiera deberse a efectos relativistas, tomando como punto de partida la Teoría Especial de la Relatividad. Para ello, imaginemos a nuestro proverbial viajero en el ferrocarril en su marco de referencia S', e imaginemos también a un lado de las vías del ferrocarril no a uno sino a varios observadores en el marco de referencia S separados distancias iguales. Supongamos también que al pie de cada uno de estos observadores hay dos esferas metálicas iguales separadas diez metros entre sí.

Si el viajero pasa frente al primer observador a muy baja velocidad, a paso de tortuga, él también verá el primer par de esferas separadas diez metros. Supongamos ahora que el tren aumenta su velocidad hasta alcanzar una velocidad igual a la mitad de la velocidad de la luz (0.5c). Al pasar frente al siguiente par de esferas, las verá más próximas la una a la otra. La Teoría Especial de la Relatividad predice esto, y la distancia reducida puede ser calculada sin dificultad alguna utilizando la fórmula para la contracción de longitud.

Ahora supongamos que el tren en el que se traslada nuestro viajero aumenta su velocidad de 0.5c a 0.8c. Al hacer esto, el tren dejó de moverse a una velocidad constante, se tuvo que acelerar para poder cambiar su velocidad de 0.5c a 0.8c. La longitud entre el siguiente par de esferas metálicas será más pequeña que la distancia de separación que había visto entre las esferas anteriores.

Tras esto, supongamos nuevamente que el tren en el que se traslada nuestro viajero cambia su velocidad de 0.8c a 0.9c, acelerándose nuevamente. La longitud entre el siguiente par de esferas metálicas será todavía más pequeña que la distancia de separación que había visto entre las esferas anteriores. Esto lo podemos visualizar en los siguientes diagramas:




Cambiemos ahora a nuestro viajero a un carrousel girando cada vez con mayor rapidez, pasando cada vez más rápido frente a un solo y mismo observador en tierra el cual en su marco de referencia S' tiene a sus pies a dos esferas metálicas separadas diez metros. Al volver a pasar el viajero frente al observador una y otra vez a una velocidad cada vez mayor, abriendo y cerrando sus ojos sólo cuando pasa frente a las esferas, para él las esferas se están acercando como si hubiese un efecto de atracción entre las mismas. Pero para el observador en tierra, las dos esferas en reposo frente a él siguen separadas a una misma distancia de diez metros. Lo que sucede, tal y como lo imaginara Riemann, no es que las esferas se estén atrayendo la una a la otra como si fuesen imanes, es el espacio entre las esferas el que está haciéndose más pequeño. Esto explica la misteriosa “fuerza de atracción” entre dos cuerpos postulada por Newton, redefiniéndola como la consecuencia directa de una disminución del espacio, o mejor dicho del espacio-tiempo, entre dos cuerpos.

Por otro lado, como el viajero está moviéndose a velocidades cada vez mayores, se está acelerando, definida la aceleración como un cambio en la velocidad con respecto al tiempo en que aumentó (o disminuyó) dicha velocidad, lo cual encaja en la fórmula de Newton que nos dice que una fuerza F aplicada sobre una masa m es directamente proporcional a la aceleración a que produce sobre dicha masa, o sea F = ma. Tenemos pues una explicación geométrica, basada en efectos relativistas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, acerca de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos, bajo una situación en la que tenemos una aceleración como la que provoca una fuerza sobre una masa m.

Sin embargo, hay algo ausente. En esta explicación que se acaba de dar no intervienen para nada las masas de las esferas metálicas. Y sabemos que bajo el esquema de Newton la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas, y en tanto mayores sean las masas tanto mayor será la “fuerza gravitacional” entre las masas y por ende la aceleración que se producen entre sí al estar la una en presencia de la otra. Este es el gran salto que Riemann ya no pudo dar.

Para obtener el efecto de una contracción continua del espacio entre dos cuerpos como lo acabamos de ver, el viajero tiene que estarse moviendo no a una velocidad uniforme y constante con respecto al observador en tierra, sino a velocidades cada vez mayores, se tiene que estar acelerando, y en esta situación en la cual aparentemente hay un observador privilegiado (el que se está acelerando, ya que el observador en tierra no siente los efectos de ninguna aceleración) la filosofía básica detrás de la Teoría Especial de la Relatividad ya no es suficiente, la teoría tiene que ser ampliada de alguna manera para incluír marcos de referencia acelerados el uno con respecto al otro. Tenemos que abandonar el cómodo universo de movimientos rectilíneos uniformes a velocidad constante para extendernos hacia el ámbito de movimientos acelerados, lo cual desde la perspectiva matemática nos va a complicar las cosas al hacernos pasar de un entorno linear a un entorno no-linear, obligándonos a recurrir a las herramientas del cálculo infinitesimal para poder describir con números lo que está ocurriendo. Inclusive en la mecánica clásica, este salto es más que obvio si comparamos la gráfica de un cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniforme (recorriendo distancias iguales en tiempos iguales):





con la de un cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el cual la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido, o sea x = at²/2:





Y es importante tomar en cuenta también que no sólo un cuerpo que está en movimiento rectilíneo moviéndose siempre hacia adelante en la misma dirección pero cambiando su velocidad constantemente es capaz de experimentar una aceleración. También un cuerpo que se está moviendo a una velocidad constante pero que está cambiando continuamente su dirección experimenta una aceleración. En la siguiente gráfica trazada sobre un plano x-y en donde no se muestra a la variable tiempo tenemos una descripción de esto:





Podemos imaginarnos a un carro que está a una distancia r1 de un origen O moviéndose a una velocidad constante de 40 kilómetros por hora en la dirección indicada por el vector velocidad V1, el cual al llegar a un punto que está a una distancia r2 del origen se sigue moviendo a la misma velocidad de 40 kilómetros por hora pero ahora en la dirección indicada por el vector velocidad V2. La magnitud de la velocidad (la rapidez del vehículo) sigue siendo la misma, pero su dirección ha cambiado, y este cambio vectorial que podemos denotar como ΔV definitivamente tiene una longitud que podemos calcular como se muestra arriba, la cual al ocurrir en cierto tiempo Δt nos produce una aceleración a que podemos definir vectorialmente de la siguiente manera:



En esta fórmula, la cual considera la posibilidad de cambios bruscos en el sentido de la velocidad, tratamos de definirla en lo más cercano que pueda haber a un punto, de modo tal que al avanzar vectorialmente una cantidad muy pequeña ΔV en una cantidad muy pequeña de tiempo Δt, lo más pequeña posible, obtenemos lo más cercano que pueda haber a una aceleración vectorial del vehículo al pasar por dicho punto. Esta, desde luego, es la definición infinitesimal de una aceleración vectorial, usando diferenciales:



Un pasajero que viaje en un automóvil sabe que está experimentando este tipo de aceleración cuando está dando la vuelta en una esquina a gran velocidad, se dá cuenta de las fuerzas que el vehículo aplica sobre ella para hacerla cambiar de dirección junto con el vehículo. Este tipo de aceleración es precisamente la aceleración centrípeta que experimentan la Luna al girar en torno a la Tierra. Es precisamente el tipo de movimiento circular (o mejor dicho, elíptico) que una Teoría de la Relatividad intenta explicar pero sin recurrir a la suposición de fuerzas de atracción gravitacional, fuerzas invisibles que actúan “a distancia”.

La conexión crucial que tenía que ser establecida requirió igualar, filosóficamente y matemáticamente, los efectos relativistas observados por nuestro proverbial viajero en su marco de referencia acelerado con la aceleración provocada por un campo gravitacional, un campo gravitacional que geométricamente hablando no es más que una curvatura en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones causada a su vez por la presencia de masa-energía en dicho espacio cuatri-dimensional. Hecho esto, todo lo demás se obtiene como consecuencia directa de estas premisas básicas.

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