miércoles, 18 de marzo de 2009

La derivada covariante de un tensor I

Los tensores, al igual que otros objetos matemáticos, también pueden ser diferenciados con las herramientas del cálculo infinitesimal. Sin embargo, hay que tomar aquí ciertas precauciones. Considérese un tensor covariante T = (Tp(x(t))) en donde la notación nos indica que para las operaciones que vamos a llevar a cabo este tensor está definido a lo largo de una curva x(t) expresada en ecuaciones paramétricas tales como (x1= 1+2t², x2=-4+5t, x3= 6t). Si la derivada de un tensor ha de estar bien definida, no basta con que apliquemos las reglas del cálculo infinitesimal que ya conocemos para obtener algo que podríamos sentirnos tentados a llamar “la derivada de un tensor”. Es necesario que el resultado obtenido también se comporte como un tensor, es necesario que también se transforme de acuerdo con la definición del tensor bajo un cambio de coordenadas. Si esto no ocurre, la operación no nos sirve de nada, porque al no poderse transformar “la derivada del tensor” como un tensor bajo un cambio de coordenadas, entonces una ecuación tensorial que involucre derivadas de los mismos no será independiente de un cambio de coordenadas, contraviniendo la principal razón para recurrir al uso de tensores que es para poder escribir relaciones matemáticas como las que ocurren en la Relatividad General, independientes del sistema de coordenadas utilizado. Y resulta que la diferenciación ordinaria de un tensor no nos produce un tensor.

PROBLEMA: Demostrar que la derivada de un tensor covariante de orden uno T = (Tp) no es un tensor.

Si T = (Tp) es un tensor covariante, entonces de acuerdo a la definición de tensor:



Diferenciando el tensor T con respecto a xk:



Aplicando la regla de la cadena a la inversa con el fin de que el primer término se transforme de acuerdo con la definición del tensor:



Reacomodando:



El primer término en el lado derecho de la igualdad efectivamente transforma de acuerdo con la definición del tensor, pero el segundo término resaltado en amarillo parece resistir cualquier intento de manipulación para lograr que también transforme de acuerdo con la definición del tensor. La derivada ordinaria del tensor T podría haber sido también un tensor, de no haber sido por este término adicional que ha aparecido como consecuencia de la aplicación de la regla de Leibnitz (la diferencial del producto de dos cantidades es igual a la primera por la diferencial de la segunda más la segunda por la diferencial de la primera). Lo que tenemos obviamente ya no es un tensor, porque no se transforma como un tensor, no cumple con la definición básica del tensor.

A menos de que estemos dispuestos a llevar a cabo alguna redefinición de la derivada del tensor, tal parece que hemos llegado hasta donde podíamos haber llegado, tal parece que nos tendríamos que conformar con la simple aritmética de tensores que ya hemos visto, limitados a efectuar la suma, la diferencia y el producto de tensores (además de las operaciones adicionales de contracción).

Buscando solventar este problema, el matemático Elwin Bruno Christoffel propuso la única salida posible: redefinir el concepto de derivada de tensor agregando justo el término adicional requerido para cancelar el término extra que aparece en la diferenciación ordinaria del tensor, haciéndolo de tal manera que se preserve la independencia de coordenadas que los tensores nos ofrecen en su notación compacta. Esta propuesta la dió a conocer al mundo en 1869 en su papel titulado “Über die Transformation der homogen Differentialausdrücke zweiten Grades”, y el “término de corrección” es conocido en lo que hoy se conoce en el análisis tensorial como los símbolos de Christoffel del primer género y del segundo género, los cuales están definidos mediante tres índices y los cuales son obtenidos a su vez del tensor métrico del espacio bajo consideración. Junto con los símbolos de cuatro índices introducidos por Bernhard Riemann (empleados en la definición del tensor de Riemann) los símbolos son conocidos hoy como los símbolos Riemann-Christoffel.

Naturalmente, al crear una nueva definición de la derivada de tensor que no concuerda con la diferenciación ordinaria, ya no se le puede seguir llamando derivada, llamándosele por lo tanto la derivada covariante (no hay nada que esté definido como “derivada contravariante”, tal cosa no existe).

La presencia de los símbolos de Christoffel en la derivada covariante de un tensor garantizan que ésta derivada covariante también será un tensor, asegura que también se transformará como un tensor de acuerdo a la definición fundamental del tensor, porque bajo la transformación el símbolo de Christoffel adquiere un término que cancela el término problemático que impediría que la derivada covariante pueda transformarse como un tensor. Ese término extra es el que surge de la otra parte de la derivada covariante, que es la derivada parcial del tensor. Esta es la verdadera razón que dió origen a los símbolos de Christoffel.

Desde el punto de vista geométrico, mientras que el tensor métrico nos describe sobre un espacio curvo (como la superficie de un globo) una especie de “derivada de primer orden” de la curvatura, los símbolos de Christoffel, definidos como están a partir de las derivadas covariantes del tensor métrico, nos describen una especie de “derivada de segundo orden” de la curvatura.

Dicho lo anterior, introduciremos ahora la definición de los símbolos del Christoffel del primer género ó de primera especie (first kind), caracterizados porque todos los índices que los caracterizan son sub-índices (subscriptos), estando simbolizados en la mayoría de los libros de texto con los siguientes dos tipos de notación:



Los símbolos de Christoffel del primer género, con todos los tres índices abajo, están definidos mediante la siguiente relación:



Introduciremos ahora una notación abreviada utilizada frecuentemente en muchos textos, razón por la cual conviene recordarla:



Con esta notación condensada, el símbolo de Christoffel del primer género se puede escribir de la manera siguiente:



Desafortunadamente, esta no es la única notación abreviada utilizada para la derivada parcial que queremos representar (ojalá y lo fuera). Existe otro tipo de notación, también utilizada ampliamente tanto en los libros de texto como en la literatura técnica, conocida como la notación de la coma, de acuerdo con la cual si vamos a llevar a cabo una diferenciación parcial de algo como gjk con respecto a la coordenada xμ, entonces representamos dicha diferenciación simplemente como gjk,μ. En otras palabras:



Con la notación condensada de “coma”, el símbolo de Christoffel del primer género se puede escribir de la manera siguiente:



Por si la anterior carga de simbología nueva no fuese suficiente, existe en otros libros la convención de que al utilizar el símbolo de la “coma” para indicar diferenciación se prescinda del uso de la coma por completo, “sobreentendiéndose” que la derivada parcial del tensor métrico g con respecto a la coordenada xμ será simbolizado con el sub-índice μ que corresponda puesto al final prescindiendo de la coma. O sea que la anterior fórmula se puede escribir igualmente en forma aceptable (aunque menos clara) como:



Esto último frecuentemente se escribe de la siguiente manera mediante un simple reacomodo de los términos con el único propósito de hacerlo más fácilmente memorizable (mnemónica) recurriéndose a la permutación cíclica de los sub-índices:

Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2

Con el fin de ir familiarizando aquí mismo al lector con los tipos de notación abreviada mencionada, se utilizarán indistintamente las formas abreviadas.

PROBLEMA: Verificar que si se intercambian los dos primeros índices en un símbolo de Christoffel del primer género, el componente obtenido es el mismo.

Puesto que el tensor métrico es simétrico, o sea:

gij = gji

Tomando derivadas parciales con respecto a las coordenadas xi, xj y xk obtenemos (utilizando la coma para abreviar la simbolización de la derivada parcial):

gij,k = gji,k___gjk,i = gkj,i___gki,j = gik,j

Puesto que:

Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2___Γjik = (- gij,k + gik,j + gkj,i)/2

obtenemos de inmediato que Γijk = Γjik. Este resultado nos es de utilidad en cualquier problema en donde queramos reducir los cálculos requeridos para la obtención de los símbolod de Christoffel del primer género.

PROBLEMA: Demuéstrese que en cualquier sistema de coordenadas, los símbolos de Christoffel del primer género se desvanecen sí y solo sí el tensor métrico tiene componentes constantes en dicho sistema de coordenadas.

Permutando los índices de los símbolos de Christoffel del primer género del arreglo (ijk):

Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2

al arreglo (jki) obtenemos lo siguiente:

Γjki = (- gjk,i + gki,j + gij,k)/2

Sumando ambas expresiones obtenemos lo siguiente:



Si el tensor métrico g tiene componentes constantes en cierto sistema de coordenadas, entonces todas las derivadas del tipo ∂gik /∂xk serán iguales a cero, y la única manera en la que la suma de los componentes Γijk y Γjki sea cero en todos los casos es que los símbolos de Christoffel sean iguales a cero en todos los casos.

La importancia de la definición que se ha dado a los símbolos de Christoffel que se obtienen a partir de un tensor métrico g es que si se conocen todos los componentes del tensor métrico g entonces a través de la definición se pueden obtener todos los símbolos de Christoffel del primer género. Y una vez obtenidos, podemos obtener la derivada covariante que estamos buscando, lo cual es nuestro propósito final.

PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel del primer género para la métrica Euclideana en coordenadas esféricas.

En coordenadas esféricas (x1,x2,x3) = (r,θ,φ), el elemento de línea ds² está dado por:

ds² = dr² + r²(dθ)² + r² sen²θ (dφ)²

ds² = (dx1)² + (x1)²(dx2)² + (x1)² sen2(x2) (dx3

Entonces los componentes del tensor métrico g, en su representación matricial explícita G, se pueden escribir de la siguiente manera:


Con los componentes del tensor métrico g en nuestras manos, el cálculo de los símbolos de Christoffel procede de manera directa. Empezaremos con la evaluación de Γ111 = Γrrr:

Γ111 = (- g11,1 + g11,1 + g11,1)/2

Γrrr = (- grr,r + grr,r + grr,r)/2

Γrrr = ( grr,r)/2 = (∂grr/∂r)/2 = 0

Tenemos que grr,r es igual a cero porque grr es una constante (1) cuya derivada es cero. Procediendo en forma similar, obtenemos otros símbolos de Christoffel:

-----------------

Γ221 = (- g22,1 + g21,2 + g12,2)/2

Γθθr = (- gθθ,r + gθr,θ + grθ,θ)/2

Γθθr = (- gθθ/∂r + gθr/∂θ + g/∂θ)/2

Γrrr = (- 2r)/2 = - r

-----------------

Γ212 = (- g21,2 + g22,1 + g21,2)/2

Γθrθ = (- gθr,θ + grθ,θ + gθθ,r)/2

Γθrθ = (- gθr/∂θ + g/∂θ + ∂gθθ/∂r)/2

Γθrθ = (gθθ/∂r)/2

Γθrθ = (2r)/2 = r

-----------------

Γ122 = (- g12,2 + g22,1 + g21,2)/2

Γrθθ = (- grθ,θ + gθθ,r + gθr,θ)/2

Γrθθ = (- g/∂θ + gθθ/∂r + gθr/∂θ)/2

Γrθθ = (2r)/2 = r

-----------------

Γ331 = (- g33,1 + g31,3 + g13,3)/2

Γφφr = (- gφφ,r + gφr,φ + g,φ)/2

Γφφr = (- gφφ/∂r + gφr/∂φ + g/∂φ)/2

Γφφr = - r sen²θ

-----------------

Γ323 = (- g32,3 + g23,3 + g33,2)/2

Γφθφ = (- gφθ,φ + gθφ + gφφ,θ)/2

Γφθφ = (gφφ/θ)/2

Γφθφ = (2r² senθ cosθ)/2

Γφθφ = r² senθ cosθ

Y del mismo modo, tenemos:

Γ332 = Γφφθ = - r² senθ cosθ

Γ133 = Γrφφ = r sen²θ

Γ313 = Γφrφ = r sen²θ

Γ233 = Γθφφ = r² senθ cosθ

siendo todos los demás símbolos de Christoffel iguales a cero.

La repetición de algunas de las respuestas anteriores nos hace sospechar que no es necesario evaluar individualmente todos y cada uno de los símbolos de Christoffel para todas las combinaciones posibles de componentes, de que por razones de simetría es posible acortar el trabajo.

PROBLEMA: Demostrar que los símbolos de Christoffel de primer género son simétricos en el intercambio de los dos primeros índices.

Tomamos la definición de los símbolos de Christoffel de primer género:

Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2

e intercambiamos los dos primeros índices, obteniendo:

Γjik = (- gji,k + gik,j + gkj,i)/2

En esta última expresión usamos la propiedad de simetría del tensor métrico
gpq = gqp:

Γjik = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2

Comparando las dos expresiones para Γijk y Γjik concluímos que los símbolos de Christoffel de primer género son simétricos en el intercambio de los dos primeros índices, o sea

Γijk = Γjik

Habiéndose definido ya los símbolos de Christoffel del primer género, ahora pasamos -con la ayuda del tensor métrico g para subir el tercer sub-índice- a la definición de los símbolos de Christoffel del segundo género, la cual como se ve depende de la definición dada previamente de los símbolos de Christoffel del primer género:

Γ i jk = girΓjkr

En realidad, esta segunda definición es hasta cierto punto trivial, porque no es más que una subida de índice con la ayuda del tensor métrico que ya habíamos estudiado previamente en la “Gimnasia de índices”.

Es importante recalcar el hecho de que aunque la operación de elevación del tercer sub-índice en los símbolos de Christoffel del primer género siempre se hace con la ayuda del tensor métrico g y aunque se escriben de una manera parecida a como se escriben las expresiones propias del cálculo tensorial, los símbolos de Christoffel no son tensores. No pueden serlo, ya que fueron agregados precisamente como una “compensación” para poder definir una derivada tensorial. No pueden serlo, porque para obtenerlos es necesario obtener las derivadas parciales ordinarias del tensor métrico, las cuales no son tensores por las razones ya señaladas desde el principio de esta entrada. No pueden serlo porque no se transforman como los tensores bajo un cambio de coordenadas.

Precisamente ante la posibilidad de que los símbolos de Christoffel pudieran ser confundidos con tensores, anteriormente se utilizaba, además de la notación alterna [ij,k] con la cual se simbolizan los símbolos de Christoffel del primer género, la notación de corchetes para definir a los símbolos de Christoffel del segundo género:



Esta equivalencia entre ambas notaciones es fácil de recordar, porque el símbolo superior puesto entre los corchetes es el mismo que el superíndice en la notación Γ, y el par de símbolos puestos abajo en la notación entre corchetes es el mismo que el par puesto abajo en la notación Γ. Con la notación de corchetes, el ascenso de índice que convierte a un símbolo de Christoffel de primer género en uno de segundo género:

Γ i jk = girΓjkr

en notación de corchetes se viene escribiendo como:



Si hacemos una comparación entre ambos tipos de notación, podemos ver que el cambio de una notación a otra se puede llevar a cabo sin problema alguno puesto puesto que los símbolos para los super-índices y los sub-índices siguen el mismo orden y la misma nomenclatura en la notación de corchetes y paréntesis cuadrados.

Del mismo modo como se tuvo Γijk = Γjik para los símbolos de Christoffel del primer género, esta propiedad de simetría se aplica también a los símbolos de Christoffel del segundo género sobre los dos índices inferiores, o sea Γi jk = Γi kj.

Una vez familiarizados con los símbolos de Christoffel, si vamos a definir un nuevo tipo de derivada que vamos a llamar la derivada covariante de un tensor, la cual tendrá como propósito principal el producir algo que pueda ser transformado de acuerdo con la definición del tensor, este tipo de derivada no puede ser simbolizado con la misma “coma” que utilizamos para la definición de la diferenciación parcial ordinaria abreviada. Para ello, utilizamos el semicolon, o sea “;”.

Definimos formalmente a los componentes de la derivada covariante de un tensor contravariante T = (Ti) con respecto a una coordenada xk como:



Obsérvese cómo al principio en el lado derecho utilizamos un semicolon para indicar que se está tomando la derivada covariante del tensor T, mientras que dentro de la expresión que define a los componentes utilizamos una coma para denotar a la derivada parcial ∂Ti /∂xk. Esta es la diferencia notacional entre una derivada parcial ordinaria y una derivada covariante. Sin embargo, una vez que se ha sobreentendido al tratarse de obtener la derivada de un tensor hay que recurrir a la definición de la derivada covariante, en una buena cantidad de textos y publicaciones se prescinde del semicolon y se denota todas las derivadas mediante la coma. , y el tipo de derivada que hay que aplicar se saca mediante el contexto respondiento a la pregunta: ¿Se trata de un tensor, sí o no? Si es un tensor, hay que aplicar la derivada covariante. Y si no es un tensor, recurrimos a la diferenciación ordinaria. Es muy importante tener esto en mente con el fin de evitar confusiones y malentendidos.

Dada la anterior definición, definimos formalmente a los componentes de la derivada covariante de un tensor covariante T = (Ti) con respecto a una coordenada xk como:



Para sistemas rectangulares (coordenadas Cartesianas) los símbolos de Christoffel se reducen a cero, con lo cual derivadas covariantes se reducen a las derivadas parciales comunes.

Las definiciones dadas arriba se pueden extender a derivadas covariantes de tensores de orden mayor. En el caso más general, estamos hablando de la derivada covariante de un tensor mixto contravariante de orden M y covariante de orden N. La derivada covariante de un tensor cualquiera incrementa el orden covariante del tensor resultante en una unidad. De este modo, la derivada de un tensor mixto contravariante de orden siete y covariante de orden cuatro será un tensor de orden doce, aún contravariante de orden siete pero covariante de orden cinco.

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