miércoles, 18 de marzo de 2009

La derivada covariante de un tensor II

Puesto que los símbolos de Christoffel son cruciales para poder definir la derivada de un tensor de modo tal que esta también sea un tensor, en esta entrada nos enfocaremos sobre algunas propiedades en la evaluación de los mismos.

PROBLEMA: Comprobar que los símbolos de Christoffel de segundo género son simétricos en el intercambio de los dos sub-índices.

Ya se demostró previamente que los símbolos de Christoffel de primer género son simétricos en el intercambio de los dos primeros índices, Γabc = Γbac. Puesto que los símbolos de Christoffel de segundo género son obtenidos a partir de los símbolos de Christoffel de primer género con la ayuda del tensor métrico conjugado g-1 :

girΓabr = Γiab

sin tocarse para nada los dos sub-índices que le dan la propiedad de simetría a los símbolos de Christoffel de primer género, se concluye que también los símbolos de Christoffel de segundo género son simétricos en el intercambio de sus dos sub-índices.

PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel de segundo género para la métrica en coordenadas polares.

El punto de partida es, como siempre, la definición del elemento de línea. Tratándose de las coordenadas polares, el elemento de línea es:

ds² = dr² + r²(dθ)²

Entonces los componentes del tensor métrico g que corresponden a este elemento de línea, acomodados en forma matricial, tienen el siguiente aspecto:



En coordenadas generalizadas, la simbolización de esto es la siguiente:



La obtención de los símbolos de Christoffel de segundo género para cualquier métrica requiere que primero se evalúen los símbolos de Christoffel de primer género, lo cual se hará a continuación con la definición básica en su forma mnemónica (memorizable):

Γ111 = (- g11,1 + g11,1 + g11,1)/2

Γrrr = (- grr,r + grr,r + grr,r)/2

Γrrr = ( grr,r)/2 = (∂grr/∂r)/2 = 0

Puesto que los símbolos de Christoffel del primer género son simétricos en el intercambio de sus primeros dos índices, una vez evaluado Γ121 = Γrθr no es necesario evaluar Γ211 = Γθrr ya que son iguales. Entonces:

Γ121 = (- g12,1 + g21,1 + g11,2)/2

Γr = (- grθ,r + gθr,r + grr,θ)/2

Γr = (- ∂g/∂r + gθr/∂r + grr/∂θ)/2

Γr = (0 + 0 + 0)/2 = 0 = Γθrr = Γ211

-----------------

Γ122 = (- g12,2 + g22,1 + g21,2)/2

Γrθθ = (- grθ,θ + gθθ,r + gθr,θ)/2

Γrθθ = (- ∂g/∂θ + gθθ/∂r + gθr/∂θ)/2

Γθ = (0 + 2r + 0)/2 = (2r)/2 = r = Γθrθ = Γ212

-----------------

Γ221 = (- g22,1 + g21,2 + g12,2)/2

Γθθr = (- gθθ,r + gθr,θ + grθ,θ)/2

Γθθr = (- ∂gθθ/∂r + gθr/∂θ + g/∂θ)/2

Γθθr = (- 2r + 0 + 0)/2 = (- 2r)/2 = - r

Continuando de la misma manera completamos los ocho símbolos de Christoffel para las coordenadas polares:

Γ112 = Γrrθ = (- ∂grr/∂θ + g/∂r + gθr/∂r)/2 = 0

Γ222 = Γθθθ = (- ∂gθθ/∂θ + gθθ/∂θ + gθθ/∂θ)/2 = (0 + 0 + 0)/2 = 0

Una vez que tenemos los símbolos de Christoffel de primer género, el siguiente paso consiste en elevar el tercer índice de los mismos para obtener los símbolos de Christoffel del segundo género, para lo cual necesitamos los componentes del tensor métrico conjugado g-1 , los cuales se obtienen obteniendo la inversa de la matriz que contiene los componentes del tensor métrico g. Puesto que la matriz G es diagonal, la inversa de dicha matriz se obtiene invirtiendo cada uno de los componentes a lo largo de la diagonal principal de g, dejando los demás componentes fuera de la diagonal iguales a cero:



o bien:



En este problema sólo hay tres símbolos de Christoffel de primer género que no son cero: Γ221 = Γθθr, y Γ122 = Γ212 = Γrθθ = Γθrθ. Todos los símbolos de Christoffel de primer género que son cero seguirán siendo cero tras la operación de elevación del índice. Aquellos que no lo son se muestran evaluados a continuación:

g11 Γ221 = grr Γθθr = (1)(- r)

Γ122 = Γrθθ = - r

g22 Γ122 = gθθ Γθ = (1/r²)(r)

Γ212 = Γθ= 1/r

Por la propiedad de simetría en los dos subíndices, este símbolo de Christoffel de segundo género es igual al símbolo de Christoffel de segundo género Γ221 = Γθθr = 1/r. Esto concluye la evaluación de los símbolos de Christoffel de segundo género para la métrica en coordenadas polares.

Puesto que mediante una transformación adecuada de las coordenadas, todo tensor métrico g cuya representación matricial tenga una forma como la siguiente:



puede ser convertido a un tensor métrico g cuya representación matricial es la de una matriz diagonal:



siempre y cuando se cumpla la propiedad de simetría gij = gji, podemos esperar entonces que todos los tensores métricos con los que habremos de trabajar en la Teoría de la Relatividad serán tensores “diagonales”, porque si no lo son ciertamente pueden ser puestos en dicha forma. Siendo así, cabe preguntarse entonces si podemos utilizar este hecho en ventaja nuestra para reducir la cantidad de cálculos requeridos para encontrar todos los símbolos de Christoffel que pertenezcan a cierta métrica dada. Ya vimos que en el caso de los símbolos de Christoffel tanto del primer género como del segundo género estos son simétricos en el intercambio de sus primeros dos índices, y con este solo hecho pudimos recortar la cantidad de cálculos requeridos. Teniendo a la mano el bono extra de que el tensor métrico sea diagonal, con todos los componentes iguales a cero para i ≠ j, debe de haber simplificaciones adicionales que podamos llevar a cabo para recortar aún más la cantidad de cálculos requeridos, y efectivamente tal cosa es posible.

PROBLEMA: Si g es un tensor métrico tal que gpq = 0 si p ≠ q, demostrar que para los símbolos de Christoffel de primer género:

1) Γpqr = (∂gpp/∂xp)/2 para p = q = r

2) Γpqr = - (∂gpp/∂xr)/2 para p = q ≠ r

3) Γpqr = (∂gpp/∂xq)/2 para p = r ≠ q

4) Γpqr = 0 para p, q, r distintos

Puesto que se trata de un tensor que ya está “diagonalizado”, la solución es directa recurriendo a la definición del símbolo de Christoffel de primer género:

Γpqr = (- gpq,r + gqr,p + grp,q)/2

Γpqr = (- ∂gpq/∂xr + ∂gqr/∂xp + ∂grp/∂xq)/2

1) En el caso en el que todos los índices son iguales, p = q = r, en la definición el primer término cancela al segundo término dejando únicamente al tercer término:

Γppp = (- ∂gpp/∂xp + ∂gpp/∂xp + ∂gpp/∂xp)/2

Γppp = (0 + ∂gpp/∂xp)/2 = (∂gpp/∂xp)/2

2) En el caso en el que los índices p y q son iguales ambos pero diferentes del índice r, dos de los términos son cero por ser el tensor métrico un tensor diagonal, con lo cual tenemos:

Γppr = (- ∂gpp/∂xr + ∂gpr/∂xp + ∂grp/∂xp)/2

Γppr = (- ∂gpp/∂xr + 0 + 0)/2 = - (∂gpp/∂xr)/2

3) En el caso en el que los índices p y r son iguales ambos pero diferentes del índice q, dos de los términos son cero por ser el tensor métrico un tensor diagonal, con lo cual tenemos:

Γpqp = (- ∂gpq/∂xp + ∂gqp/∂xp + ∂gpp/∂xq)/2

Γpqp = (0 + 0 + ∂gpp/∂xq)/2 = (∂gpp/∂xq)/2

4) Si los tres índices p, q y r son distintos, entonces los tres términos son cero por ser el tensor métrico un tensor diagonal.

Γpqr = (- ∂gpq/∂xr + ∂gqr/∂xp + ∂grp/∂xq)/2

Γpqr = (0 + 0 + 0)/2 = 0

PROBLEMA: Usando los resultados del problema anterior, y considerando de nuevo que g es un tensor métrico tal que gpq = 0 si p ≠ q, obtener los resultados que correspondan al caso de los símbolos de Christoffel de segundo género.

Para obtener los símbolos de Christoffel de segundo género a partir de los símbolos de Christoffel de primer género, necesitamos los componentes del tensor métrico conjugado g-1. Si el tensor métrico g es un tensor “diagonal”, entonces el tensor métrico conjugado g-1 también lo será, y como ya lo vimos en la entrada titulada “El tensor métrico”, cada uno de sus componentes gii será obtenido de los componentes gii mediante la siguiente relación:

gii = 1/gii

Se recuerda que en esta simbolización específica no aplica la convención de sumación para índices repetidos.

De este modo, cuando r ≠ s:

Γs pq = gsr Γpqr = 0

porque gsr = 0 en el tensor métrico conjugado g-1 cuando r ≠ s.

Y por otro lado, cuando r = s:

Γs pq = gss Γpqs = (1/gss) Γpqs

= Γpqs /gss

Nuevamente, se recuerda que aquí no aplica la convención de sumación para índices repetidos.

Usando los resultados del problema anterior, podemos proceder a elevar los índices en cada uno de los casos indicados arriba cuando tal cosa sea factible:

1) En el caso en el que todos los índices son iguales, p = q = s, habíamos obtenido lo siguiente:

Γppp = (∂gpp/∂xp)/2

Entonces la elevación del tercer índice nos produce el siguiente símbolo de Christoffel de segundo género:

Γs pq = Γp pp = Γppp /gpp = [(∂gpp/∂xp)/2]/gpp

= [(∂gpp/∂xp)/gpp]/2

Es costumbre en los libros de texto de análisis tensorial agregar aquí un paso adicional de simplificación, recurriéndose a la definición de la derivada del logaritmo natural:



que cuando se trata de una función general de varias coordenadas toma la siguiente forma:



De este modo, para el caso en el que todos los índices son iguales, p = q = s, tenemos:



Se debe recalcar aquí que esta representación se dá en los textos únicamente por “elegancia matemática”, ya que al momento de efectuar los cálculos en realidad no vamos a tomar el logaritmo natural de nada. De cualquier manera, es mejor que el lector esté familiarizado con esta simbología porque seguramente volverá a encontrarla si continúa con estudios posteriores sobre el tema.

2) En el caso en el que los índices p y q son iguales ambos pero diferentes del índice s, habíamos obtenido lo siguiente:

Γpps = - (∂gpp/∂xs)/2

Entonces la elevación del tercer índice nos produce el siguiente símbolo de Christoffel de segundo género:

Γs pq = Γs pp = Γpps /gss = [- (∂gpp/∂xs)/2]/gss

= - [(∂gpp/∂xs)/gss]/2

En este caso, la simplificación simbólica mediante la derivada del logaritmo natural no es aplicable.

3) En el caso en el que los índices p y s son iguales ambos pero diferentes del índice q, habíamos obtenido lo siguiente:

Γpqp = (∂gpp/∂xq)/2

Entonces la elevación del tercer índice nos produce el siguiente símbolo de Christoffel de segundo género:

Γs pq = Γp pq = Γpqp /gpp = [(∂gpp/∂xq)/2]/gpp

= [(∂gpp/∂xq)/gpp]/2

Esta expresión sí se presta para la representación logarítmica simbólica. Es la siguiente:



4) En el caso en el que los tres índices p, q y r son distintos, habíamos obtenido lo siguiente:

Γpqs = 0

Puesto que la elevación del índice de algo cuya evaluación resultó ser cero deberá ser necesariamente también cero, se concluye que para el caso en el que todos los índices son distintos entonces:

Γs pq = 0

Los resultados que hemos logrado aquí nos permiten avanzar más rápidamente en la evaluación de los símbolos de Christoffel de segundo género que necesitamos para poder obtener, eventualmente, la derivada de un tensor. Podemos memorizar mejor estos “atajos” con una “tabla” como la siguiente teniendo siempre en mente que estos procedimientos abreviados de cálculo sólo son válidos para una métrica cuya representación matricial es la de una matriz diagonal:





Cada quien podrá desarrollar, según su propia experiencia, los trucos que le ayuden a memorizar mejor estas relaciones que son de gran utilidad.

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