miércoles, 18 de marzo de 2009

10: Una teoría libre de asimetrías y de paradojas

Cuando un novicio en la Teoría de la Relatividad es confrontado por vez primera con algo que va tan decididamente en contra de su sentido común, en contra de su intuición, lo primero que puede ocurrírsele es que posiblemente en la teoría hay fallos que permiten suponer que la teoría está equivocada, que es una teoría errónea. Esta fue precisamente la actitud en la que incurrieron no sólo aprendices de ciencias sino físicos eminentes en los tiempos de Einstein cuando el famoso físico presentó al mundo su teoría por vez primera. Los críticos de Einstein, que fueron bastantes en su época, aminoraron conforme nuevos experimentos empezaron a confirmar la teoría (la predicción teórica de la existencia del positrón y con ello de la antimateria hecha por el físico inglés P.A.M. Dirac al unificar la mecánica cuántica con la Teoría Especial de la Relatividad es uno de esos triunfos), pero de cualquier modo aún en nuestros tiempos hay quienes dudan sobre la integridad de la Teoría de la Relatividad, y una de las cosas que los hace entrar en dudas es la presencia de paradojas tales como la famosa paradoja de los gemelos. Estas paradojas parecen hacer resaltar las asimetrías que se obtendrían en los resultados logrados con ciertos experimentos.

En realidad, la Teoría Especial de la Relatividad es una teoría consistente completamente libre de asimetrías y de paradojas. Las supuestas paradojas a la larga terminan siendo problemas matemáticos mal planteados o razonamientos mal formulados, llevando a conclusiones erróneas.

Una de las “paradojas” más frecuentemente citada es la “paradoja del corredor y el granero”, la cual veremos aquí en detalle. Esta paradoja involucra a un super-atleta ficticio que puede correr a velocidades cercanas a la velocidad de la luz y el cual lleva consigo una pértiga o garrocha (como las usadas en las competencias para dar el salto que tiene por objetivo superar una barra transversal situada a gran altura), aunque en otros textos lo que lleva consigo es una escalera. El objetivo es meter dentro de un granero pequeño que mide 5 metros de largo una escalera que mide 10 metros de largo, lo cual parece físicamente imposible, pero que se antoja posible si el corredor va desplazándose a una velocidad cercana a la velocidad de la luz con lo cual la escalera que lleva consigo experimenta una contracción relativista de longitud.

En el siguiente dibujo tenemos al corredor sosteniendo en su brazo una escalera de 10 metros de largo:





En el siguiente dibujo tenemos al corredor en reposo frente al granjero ambos viendo un granero con una puerta frontal de entrada y una puerta trasera de salida (abierta) el cual mide 5 metros de longitud y dentro del cual el corredor planea meter la escalera de 10 metros:





El corredor se sitúa ahora a gran distancia del granero y empieza a correr a gran velocidad hacia la puerta de entrada del mismo hasta adquirir una velocidad igual a 13/15 de la velocidad de la luz (v = 0.866c) antes de llegar con la escalera a la puerta frontal del granero.

Desde la perspectiva del granjero, el cual se considera a sí mismo en reposo, la longitud de la escalera se ha contraído a la mitad, se ha contraído de 10 metros a 5 metros de acuerdo con la fórmula:

L = L’ √1 - (V/c)²

L = (10 metros) √1 - (0.866c/c)²

L = 5 metros

El corredor entra con la escalera y en el momento en que está adentro con la escalera un viento cierra la puerta frontal del granero. En ese instante, una escalera de 10 metros está metida dentro de un granero de 5 metros, por puros efectos de contracción relativista de longitud:





Todo parece en orden desde el punto de vista del granjero. La escalera cupo perfectamente dentro del granero. Sin embargo, desde la perspectiva del corredor, la situación resulta ser completamente diferente si el corredor se considera a sí mismo en reposo y considera al granero moviéndose hacia él a una gran velocidad de 0.866c. Al aplicar la fórmula de contracción relativista de longitud al granero, el corredor decide que es el granero el que se ha contraído a la mitad, o sea que el granero en vez de medir 5 metros mide 2.5 metros:





De acuerdo con el corredor, no existe forma alguna en la cual pueda caber dentro del granero, metiendo una escalera que mide cuatro veces más que la longitud de 2.5 metros del granero. Según él, cuando apenas han entrado los primeros 2.5 metros de la escalera llenando completamente los 2.5 metros que mide el granero, al soplar el viento cerrando la puerta frontal ésta se cierra y los resultados son poco menos que agradables para el corredor:





Obviamente, aquí tenemos algo que parece anómalo, algo que parece una asimetría total de la situación, ya que mientras que para el granjero la escalera cabe perfectamente dentro del granero para el corredor es imposible que pueda caber. ¿Quién de los dos tiene la razón? ¿O estará incorrecta la Teoría Especial de la Relatividad?

La paradoja anterior resulta de la aplicación ciega de una fórmula, la fórmula relativista para la contracción de longitud, sin tomar en cuenta las condiciones bajo las cuales fue derivada dicha fórmula. La solución correcta de los problemas que involucran efectos relativísticos jamás ha dependido de la aplicación ciega de fórmulas, sino de una inspección de las condiciones de cada problema en particular. Esta paradoja debe servir de advertencia sobre las pifias en las que se puede caer si se opta ir por lo sencillo aplicando fórmulas fijas a todo tipo de casos sin considerar las diferencias que pudiera haber habido en la obtención de las fórmulas y la naturaleza del problema sobre el cual se está aplicando cierta fórmula (lo mismo es válido para todas las matemáticas, la física, la química, y las ciencias en general).

La ruta de salida fuera de las paradojas radica en aquellos eventos en los cuales observadores situados en marcos de referencia distintos puedan estar en total y común acuerdo. En la paradoja del corredor y el granero, el primer evento en el que tanto un acompañante corriendo adelante del super-atleta situado justo a un lado de la punta de la escalera (la parte de la escalera que va a entrar primero al granero) y el granjero estático situado justo a la entrada del granero se pueden poner de acuerdo es cuando la punta de la escalera está entrando por la puerta frontal del granero. No existen dos marcos de referencia distintos en los cuales la punta de la escalera esté entrando y no esté entrando por la puerta frontal al mismo tiempo en que el acompañante del corredor y el granjero están justo uno enfrente del otro. En realidad el problema que tenemos a la mano consiste de tres eventos diferentes. Y para el análisis de dichos eventos podemos recurrir a las ecuaciones de transformación de Lorentz. Es precisamente aquí en donde nos pueden dar una perspectiva algebraica del problema (podemos obtener además una perspectiva geométrica ilustrativa recurriendo a los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, pero llevaremos a cabo primero el análisis de la situación mediante las transformaciones de Lorentz en virtud de que con ellas podemos hacer cálculos numéricos que no son tan fáciles de hacer sobre papel de gráfica). El análisis requiere también dar por perdido definitivamente y para siempre el concepto erróneo de la simultaneidad absoluta, ya que en el contexto relativista dos eventos que son simultáneos dentro de un marco de referencia no son simultáneos en otro a menos de que ambos marcos de referencia estén en completo reposo el uno frente al otro.

Veamos nuevamente la situación desde la perspectiva del corredor, empezando por el primer evento. Tanto el corredor como el granjero se han rodeado de acompañantes rodeando al corredor (uno a un lado de la punta de la escalera y otro a un lado del pie de la escalera) y rodeando al granero (uno situado en la puerta de entrada y otro situado en la puerta de salida) para cerciorarse de lo que está sucediendo. En el primer evento, la puerta frontal del granero está abierta y el corredor está entrando con su escalera de 10 metros dentro del granero:





Se ha puesto al pie de los dibujos una regla de medir azul de 10 metros de longitud extendida a lo largo de la escalera que va rastreando lo que está sucediendo desde la perspectiva del corredor. Como la regla de medir viaja a la misma velocidad y en la misma dirección que el corredor, el corredor no debe detectar ninguna contracción de dicha regla. Ahora veamos el segundo evento también desde la perspectiva del corredor, cuando la escalera después de haber entrado al granero por la puerta de entrada frontal está llegando hacia la salida trasera casi tocando los bordes de la misma:





Obsérvese que el granjero está parado a la salida del granero, no a la entrada, ya que no le es posible estar en dos lugares diferentes al mismo tiempo. Él lo único que ve es la punta de la escalera que ha llegado a la salida trasera del granero, y está completamente ignorante de lo que está sucediendo a la entrada. Y lo que está sucediendo a la entrada no es simultáneo con lo que el granjero está viendo en la puerta trasera de salida del granero. Obsérvese la barra de color café (incompleta) que le indica al acompañante frontal del corredor la llegada de la escalera a la salida del granero cuya longitud parece haberse contraído.

En el tercer evento, la parte trasera de la escalera (detrás del corredor) ya está adentro del granero, pero la parte frontal de la escalera (delante del corredor) también ha salido fuera del granero. Es importante notar que tampoco el corredor puede estar al mismo tiempo en la parte frontal y en la parte trasera de la escalera al mismo tiempo. El acompañante que va detrás del corredor es el que alcanza a ver el soplo del viento que cierra la puerta frontal del granero, con lo cual la longitud total de la escalera ha pasado por el granero sin problema alguno, de modo tal que también para el corredor la escalera ha cabido perfectamente dentro del granero, y no hay discrepancia alguna tomando en cuenta que los eventos que son simultáneos para un observador en un marco de referencia no son simultáneos para el observador en el otro marco de referencia, lo cual tiene que ver directamente con el hecho de que si la escalera llevara un reloj en su parte frontal y un reloj en su parte trasera aunque los relojes estén perfectamente sincronizados para el corredor dichos relojes estarán fuera de sincronía para el granjero, fuera de sincronía por un tiempo LV/c²:





Obsérvese la barra de color café en el marco de referencia del granjero que indica la llegada de la parte trasera de la escalera a la entrada del granero confirmándole al amigo del granjero situado a la entrada del granero una contracción relativista de longitud de la escalera.

¿Y qué sucedería si el corredor frenase bruscamente su velocidad al ir entrando al granero? ¿Seguiría cabiendo la escalera? Claro que no. Al bajar abruptamente el corredor su velocidad los tiempos diferentes en el frente y en la parte trasera de la escalera (de acuerdo con el granjero) se reducirían a cero, y al igualarse los marcos de referencia la escalera experimentaría una expansión de longitud recuperando sus 10 metros originales en ambos marcos de referencia. La única manera en la cual la escalera puede mantener su longitud contraída a 5 metros es con el corredor manteniendo una velocidad constante de 0.866c.

Habiendo visto la explicación cualitativa de la situación, veamos cómo se puede llegar a tales conclusiones a partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz. Identifiquemos las coordenadas dentro del marco de referencia S del granjero como (x, y, z, t) y las coordenadas dentro del marco de referencia S’ del corredor como (x’, y’, z’, t’). En virtud de que no hay movimiento alguno a lo largo de los otros dos ejes Cartesianos (y,z), podemos trabajar simplemente con las coordenadas (x,t) de S y (x’,t’) de S’.

Ahora analizaremos en detalle la famosa paradoja de los gemelos, la cual fue propuesta originalmente por el mismo Einstein y la cual fue utilizada por sus detractores para negarle validez y credibilidad a la Teoría de la Relatividad.

Vayamos al caso de un viajero A en una nave espacial que se está moviendo a gran velocidad con respecto a otro observador B que se considera a sí mismo en reposo y que llevando en una mano un reloj C' apunta dentro de su nave espacial un rayo de luz hacia arriba siendo devuelto por un espejo desde el techo hacia el piso de la nave espacial. Un observador B que vea pasar a la nave espacial a gran velocidad y el cual tenga en su plataforma de reposo relojes C1 y C2 que estén perfectamente sincronizados medirá en A una dilatación del tiempo en la nave espacial:









Pero ahora llevemos a cabo una inversión de la situación, lo cual siempre podemos hacer puesto que la Teoría de la Relatividad nos afirma precisamente que no hay observadores privilegiados. Veamos las cosas como las vería el viajero A de la nave espacial al considerarse a sí mismo en reposo, viendo pasar al observador B ante él a gran velocidad. Entonces A, desde su perspectiva, debería ser él quien detecta una dilatación del tiempo y no B. Con esto, los escépticos podría argumentar: ¿No es esto una asimetría? ¿No es esto una paradoja manifiesta? ¿No es esto una inconsistencia que nos debe llevar a desechar la teoría?

En realidad, no hay paradoja alguna. El problema es que distintos observadores obtendrán distintos resultados con respecto el uno del otro dependiendo de la naturaleza del experimento que estén llevando a cabo. En los diagramas de arriba, el observador B tiene dos relojes diferentes C1 y C2 perfectamente sincronizados en su plataforma de observación, mientras que el viajero en la nave espacial tiene un solo reloj. Suponiendo que los relojes C1 del observador B y C' del viajero A en la nave espacial coincidan con una misma lectura de cero cuando el reloj C1 y el reloj C' están justo uno arriba del otro, y en esta coincidencia ambos A y B estarán de acuerdo, entonces al pasar el único reloj C' del viajero A de la nave espacial justo por encima del reloj C2 del observador B, ambos tendrán lecturas diferentes, y en esto ambos también estarán perfectamente de acuerdo. No se trata de ilusiones ópticas. Se trata de efectos físicos reales, detectables y medibles con instrumentos científicos de alta precisión.

Para que el viajero en la nave espacial A pueda tener una perspectiva similar a la que tiene el observador B que se considera a sí mismo estacionario, sería necesario que el viajero A en la nave espacial también tuvierse dos relojes diferentes en el piso de su nave espacial perfectamente sincronizados entre sí a la misma hora, a los cuales podemos llamar C'1 y C'2. Pero al ocurrir esto, y al no existir la simultaneidad absoluta (lo cual para ser posible requiere necesariamente de la existencia del movimiento absoluto que no existe de acuerdo a la Teoría de la Relatividad), por los mismos efectos relativistas el observador B verá los dos relojes C'1 y C'2 del viajero A en la nave espacial fuera de sincronía. En otras palabras, mientras que para el viajero A de la nave espacial sus relojes C'1 y C'2 están perfectamente sincronizados, para el observador B esos relojes están todo el tiempo fuera de sincronía entre sí. Y del mismo modo, desde la perspectiva del viajero A en la nave espacial, los dos relojes C1 y C2 del observador B que para el observador B estarán en perfecta sincronía para el viajero A de la nave espacial también estarán fuera de sincronía. En esto existe una simetría total. Y si llevamos a cabo los cálculos tanto para uno como para otro considerando primero al viajero A de la nave espacial en movimiento y al observador B en reposo, y después al viajero A de la nave espacial en reposo y al observador B en movimiento, los resultados obtenidos serán consistentes con lo que predicen las fórmulas de la Teoría de la Relatividad. No hay paradoja alguna.

Pero queda otra interrogante. Si el tiempo marcha más lentamente en un marco de referencia que en otro, ¿entonces quién es el que estará envejeciendo más rápidamente si después de una larga separación ambos vuelven a coincidir en el mismo punto? ¿El viajero A de la nave espacial o el observador B? Esta es precisamente la “paradoja de los gemelos”. La respuesta a esta interrogante tiene que ver directamente con la respuesta a la pregunta sobre cuál de los dos fue el que se puso en movimiento con respecto al otro suponiendo que ambos estaban en reposo dentro del mismo marco de referencia. Esta es la parte crucial que resuelve la “paradoja de los gemelos”. Supongamos que al principio ambos el viajero A en la nave espacial y el observador B estaban en reposo el uno frente al otro, con sus relojes perfectamente sincronizados. En un momento dado, la nave espacial despega de la plataforma y empieza su viaje. Pero para poder adquirir cierta velocidad, por pequeña o grande que ésta sea, la nave espacial tiene que cambiar de un estado de reposo hasta adquirir dicha velocidad. En pocas palabras, tiene que acelerar. Pero al acelerar, la nave espacial en la que viaja A deja de estar en el ámbito cubierto por la Teoría Especial de la Relatividad. Su situación tiene que ser estudiada y analizada por la Teoría General de la Relatividad. Al acelerar, el viajero A de la nave espacial experimenta fuerzas de aceleración sobre su cuerpo que el observador B en reposo en la plataforma de lanzamiento no experimenta. Y si después de enfilar hacia un planeta distante el viajero A de la nave espacial decide regresar para encontrarse de nuevo con el observador B, entonces no sólo tendrá que aminorar la velocidad de su nave reduciéndola a cero y con ello cayendo dentro de un marco de referencia acelerado que tiene que ser analizado bajo la Teoría General de la Relatividad, sino que tendrá que acelerar en sentido contrario para enfilarse hacia su encuentro con el observador B. Y si quiere detenerse a platicar con el observador B, tendrá que desacelerar nuevamente experimentando las fuerzas de desaceleración que sentirá en el proceso. La Teoría General de la Relatividad predice que en un marco de referencia acelerado o en presencia de un campo gravitacional intenso, los relojes marcharán más lentamente. De este modo, después de encontrarse de nuevo, el viajero A de la nave espacial y el observador B, aunque hayan sido gemelos idénticos al despedirse y separarse el uno del otro al emprender A su largo viaje, tendrán edades distintas.

Para adentrarnos en la resolución de esta aparente paradoja, llevaremos a cabo primero la resolución de unos problemas poniéndole números al asunto.

PROBLEMA: Un observador O’ que se mueve con una velocidad 0.8c respecto a una plataforma espacial en la Tierra en la cual está su hermano gemelo viaja a la estrella Alfa Centauro, la cual se encuentra a una distancia de 4 años-luz de la Tierra. Tan pronto llega a la estrella, da un giro de 180 grados dándole vuelta a la nave y emprende su viaje de regreso a la misma velocidad. ¿Cómo se compara la edad del observador O’ a su regreso a la Tierra con la de su hermano gemelo que permaneció en la Tierra?

La distancia medida en años-luz es la distancia que recorre un rayo de luz en cierta cantidad de años. Llamémosla L. Entonces, re-escribiéndola de una manera ligeramente distinta:

c = L/4 años

L = (4 años)·c

Para el observador estacionario O en la Tierra, la duración del viaje de ida de su hermano viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro será:

Δtida = distancia /velocidad

Δtida = L /(o.8c)

Δtida = (4 años)·c /(o.8c)

Δtida = 5 años

Puesto que el viaje de regreso se efectúa a la misma velocidad, el tiempo total para el observador O en la plataforma espacial en la Tierra será:

Δtida y vuelta = 10 años

Para el viajero O’ el intervalo de tiempo propio (medido por el viajero con su reloj) entre la salida de la plataforma y su llegada a la estrella, utilizando la expresión para la dilatación del tiempo, es:

Δt’ida = Δtida1 - V²/c²

Δt’ida = (5 años) 1 - (0.8)²

Δt’ida = 3 años

De este modo, el tiempo total de duración del viaje (ida y vuelta) medido por el gemelo viajero O’ es:

Δt’ida y vuelta = 6 años

Por lo tanto, al volver a la Tierra, el gemelo viajero O’ será 4 años más joven que O. Obsérvese con detenimiento que si el viajero en su trayecto de ida está viajando con respecto a su hermano gemelo O en la Tierra en el sentido positivo (+) del eje-x, al darle la vuelta a la estrella estará viajando con respecto al mismo observador en el sentido negativo (-) del eje-x. Este giro, al ser representado geométricamente en un diagrama espacio-tiempo, equivale a una rotación del marco de referencia de O’. Entonces el viaje de O’ es equivalente al de dos observadores inerciales diferentes aunque se trate de la misma persona, uno que se mueve con velocidad V = +0.8c y el otro que se mueve con una velocidad V = -0.8c. Existe una asimetría manifiesta entre los dos observadores, ya que el giro del gemelo viajero es un giro real, experimenta aceleraciones medibles, en contraste con el aparente giro que el gemelo viajero observa de O en la Tierra y el cual no experimenta aceleración alguna durante todo el viaje llevado a cabo por O’.

En la siguiente figura se ha bosquejado un diagrama espacio-tiempo superimpuesto sobre la descripción pictórica del viaje. La línea trazada desde la Tierra llegando hasta la estrella Alfa Centauri en la parte media de la figura a un ángulo de 45 grados (con respecto a la vertical) así como la línea trazada desde la estrella Alfa Centauri llegando hasta la Tierra también a un ángulo de 45 grados (con respecto a la vertical) pero en sentido inverso representan las trayectorias seguidas por un rayo de luz. Las otras dos líneas del universo que representan a la nave viajera forman un ángulo menor a 45 grados con respecto a la vertical, como corresponde a un objeto que viaja a una velocidad menor que la velocidad de la luz.





En realidad, toda la acción del envejecimiento del hermano gemelo en la Tierra, visto desde la perspectiva del gemelo viajero, ocurre justo cuando O’ le dá la vuelta a la estrella para regresar a la Tierra. En ese lapso de tiempo, en esa rotación de los marcos de referencia de O’, el gemelo viajero ve a su hermano en la Tierra envejecer rápidamente.

Antes de despegar la nave, cuando los dos gemelos están juntos en la plataforma de lanzamiento en la Tierra, en estado de reposo el uno frente al otro, sus líneas del universo coinciden y marchan verticalmente hacia arriba en un diagrama espacio-tiempo. Pero al despegar la nave y emprender su trayectoria hacia Alfa Centauro, O’ toma su propio camino en el diagrama espacio-tiempo alejándose de su hermano gemelo, y al dar la vuelta de regreso para enfilarse hacia la Tierra su trayectoria en el mismo diagrama espacio-tiempo se invierte, hasta que llega a la Tierra para encontrarse con su hermano volviendo a coincidir sus líneas del universo:





Podemos identificar tres eventos distintos en el anterior diagrama espacio-tiempo trazado desde la perspectiva de O: (1) el gemelo viajero acelera súbitamente la nave hacia la estrella Alfa Centauro adquiriendo una velocidad V, (2) el gemelo desacelera y detiene la nave para encaminarla de regreso hacia la Tierra con una velocidad V igual a la velocidad con la cual llegó a Alfa Centauro, (3) el gemelo viajero llega a la Tierra y desacelera la nave deteniéndola para encontrarse con su hermano. Pero estos no son eventos como los que habíamos visto anteriormente al estudiar los fenómenos relativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud en los cuales la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia permanece igual todo el tiempo, con el diagrama espacio-tiempo de O’ superimpuesto sobre el diagrama espacio-tiempo de O haciéndolos coincidir en sus orígenes para t = t’ = 0. Se trata de otro tipo de eventos en los cuales el viajero gemelo O’ cambia de marcos de referencia, lo que no hace su hermano gemelo en la Tierra. La situación del gemelo viajero O’ es única porque a diferencia de su hermano gemelo O en la Tierra que permanece todo el tiempo en el mismo marco de referencia S, el gemelo viajero pasa por tres marcos de referencia distintos: el marco de referencia S que comparte con su hermano en la plataforma de lanzamiento antes de despegar, el marco de referencia S’ en el que viaja a una velocidad constante alejándose de la Tierra, y el marco de referencia S’’ en el que emprende su viaje de regreso a la Tierra en donde nuevamente vuelve al mismo marco de referencia S en el que se encuentra su hermano.

PROBLEMA: Con relación al problema anterior, supóngase que cada año (medido por el observador O en la plataforma espacial en la Tierra), éste le envía una señal luminosa a su gemelo viajero O’. ¿Cuántas señales recibe el gemelo viajero O’ en cada etapa de su recorrido? (En otras palabras, ¿qué vería realmente el gemelo viajero O si él mirara a su hermano O a través de un telescopio?)

Medido por O, el gemelo viajero llega a la estrella Alfa Centauro en 5 años. Para que la señal luminosa llegue a Alfa Centauro simultáneamente con O’, ésta debe ser enviada en un tiempo anterior deteminado por:

tiempo = distancia / velocidad

tiempo = (4 años)·c / c

tiempo = 4 años

Entonces una señal enviada por O en un tiempo suyo igual a un año llega a la estrella Alfa Centauro simultáneamente con el gemelo viajero O’. Puesto que el gemelo en la plataforma espacial en la Tierra le envía un total de 10 señales, a razón de una señal por año, las señales restantes le llegan todas al gemelo viajero O’ en su viaje de regreso.

PROBLEMA: En relación con los problemas anteriores, supóngase que cada año, además de las señales luminosas que el hermano gemelo desde la plataforma espacial en la Tierra le envía anualmente a su gemelo viajero O’, también el gemelo viajero le envía cada año una señal luminosa (en el tiempo propio de O, medido con su propio reloj) a O. Si la señal es enviada por O’ tan pronto como llega a la estrella, ¿cuál es el tiempo medido por el gemelo en la Tierra O, para que la señal sea recibida (es decir, qué vería el gemelo O si él mira a su hermano a través de un telescopio?

Medido por el gemelo en la Tierra O, su hermano O’ llega a la estrella en 5 años. Una señal luminosa enviada por O’ desde una estrella que está a una distancia de 4 años-luz de la Tierra llegará a la Tierra en 4 años (esto debe ser obvio). Entonces la señal luminosa enviada a O al llegar O’ a la estrella le llega en un tiempo igual a 5 años (el tiempo que tarda en llegar O’ a la estrella) más 4 años (el tiempo que tarda en llegar la señal luminosa a la Tierra). Por lo tanto, de las seis señales enviadas por O’, tres de ellas son recibidas por O durante los primeros nueve años (una cada tres años) y las tres restantes las recibe O en la Tierra durante el último año. Es importante tomar nota de lo que está sucediendo. Según el gemelo viajero, él le está enviando cada año una señal luminosa a su hermano en la Tierra, y sin embargo su hermano recibe tres de dichas señales no en el transcurso de tres años sino durante el último año. De nueva cuenta, nos topamos con la pérdida de la simultaneidad. Eventos que están igualmente espaciados en el tiempo en un marco de referencia en reposo no aparecen igualmente espaciados en el tiempo en un marco de referencia móvil.

Podemos obtener una mejor idea de lo que se ha tratado de enseñar en los dos problemas anteriores representando en diagramas de espacio-tiempo de Minkowski lo que sucede. En el caso de las señales luminosas igualmente espaciadas (en el tiempo propio de O) que son enviadas desde la Tierra al hermano viajero, la panorámica vista desde O es la siguiente (por simplicidad se han dibujado como líneas negras únicamente las líneas correspondientes a los ejes ct y ct’ omitiéndose las líneas que corresponderían al eje-x y al eje-x’):





Obsérvese que en el trayecto del viaje desde la Tierra hasta la estrella Alfa Centauro, y en virtud de que el intervalo de tiempo entre cada pulso luminoso enviado al gemelo viajero O’ se incrementa por el efecto relativista, la frecuencia de los pulsos recibidos por el hermano gemelo viajero disminuye considerablemente. Unicamente en el breve instante de tiempo en el que el gemelo viajero desacelera y detiene su marcha estando en reposo con respecto a su hermano gemelo la frecuencia de los pulsos luminosos enviados por el hermano gemelo desde la Tierra es igual a la frecuencia de los pulsos recibidos por el gemelo viajero. Pero al acelerar hacia la Tierra y en el trayecto del viaje desde la estrella Alfa Centauro hasta la Tiera, la frecuencia con la que el gemelo viajero O’ recibe los pulsos enviados por su hermano gemelo O desde la Tierra aumenta.

Por otro lado, en el caso de las señales luminosas igualmente espaciadas (en el tiempo propio del gemelo viajero O’) que son enviadas a la Tierra hacia el hermano viajero, la situación es la siguiente:





Puesto que en el viaje de ida el gemelo viajero recibe anualmente (según su reloj) una cantidad menor de pulsos luminosos que la que le está enviando su hermano desde la Tierra, disminuyendo la frecuencia de los pulsos, si se tratase de una señal monocromática continua (por ejemplo, de color verde) ésta experimentaría un corrimiento de frecuencia hacia el infrarrojo, o sea que tendría un desplazamiento Doppler. Y en su viaje de regreso el gemelo vería la señal monocromática con otro desplazamiento Doppler, pero esta vez hacia una mayor frecuencia, hacia el ultravioleta. Para ver el haz monocromático luminoso del mismo color con el que se lo está enviando su hermano desde la Tierra, tendría que detenerse manteniéndose en reposo con respecto a su hermano.

Podemos obtener otra perspectiva diferente de la paradoja de los gemelos llevando a cabo el análisis usando para ello el efecto relativista de la desincronización de los relojes.

PROBLEMA: Analizar los problemas antes expuestos sobre la paradoja de los gemelos llevando a cabo el análisis usando el efecto relativista de la desincronización de los relojes.

La distancia entre la Tierra y la estrella Alfa Centauro, vista por el gemelo al viajar, es objeto de una contracción relativista con respecto a la distancia de 4 años-luz que ve su hermano gemelo en la Tierra, siendo dicha distancia en S’:

L = (4 años-luz) √1 - V²/c²

L = (4 años-luz) √1 - (0.8c)²/c²

L = 2.4 años-luz

Supóngase que hay un reloj en la estrella Alfa Centauro sincronizado con un reloj en el sistema de referencia S en la Tierra, de modo tal que ambos relojes marcan la misma hora. En el sistema de referencia S’ en el que viaja el gemelo viajero, el reloj en la estrella Alfa Centauro estará adelante del reloj en la Tierra por una cantidad LV/c², que en este caso es igual a:

LV/c² =

LV/c² =

Considérese al gemelo viajero en S’ llegando a la estrella Alfa Centauro. El reloj en dicha estrella está adelantado con respecto al reloj en la Tierra por


años. Al detenerse momentáneamente el gemelo viajero en la estrella Alfa Centauro y encontrarse en el sistema de referencia S, él debe observar que los dos relojes (el que está en la Tierra y el que está en la estrella Alfa Centauro) se encuentran sincronizados, porque todos los observadores en S están de acuerdo en la sincronización de los relojes que tienen en su sistema de referencia. Entonces, de alguna manera, en el tiempo insignificante (de acuerdo al gemelo viajero) que le llevó detenerse, su gemelo en la Tierra envejeció


años. Este tiempo, sumado al tiempo que transcurrió en la Tierra durante la travesía del gemelo viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro (5 años) hace al gemelo


años más viejo al momento de detenerse su gemelo en la estrella. Cuando el gemelo viajero emprende su viaje de regreso a la Tierra en el marco de referencia S’’, el reloj en la Tierra está adelante del reloj en Alfa Centauro por


años, y avanzará otros 5 años hasta que el gemelo viajero regresa a la Tierra. Al regresar a la Tierra y detenerse, el gemelo viajero estará en el sistema de referencia S en donde él debe observar que los dos relojes (el que está en la Tierra y el que está en la estrella Alfa Centauro) se encuentran sincronizados, porque todos los observadores en S están de acuerdo en la sincronización de los relojes que tienen en su sistema de referencia. Entonces, de alguna manera, en el tiempo insignificante (de acuerdo al gemelo viajero) que le llevó detenerse, su gemelo en la Tierra envejeció otros


años. Este tiempo, sumado al tiempo que transcurrió en la Tierra durante la travesía del gemelo viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro


hace al gemelo en la Tierra


años más viejo al momento de detenerse su gemelo en la estrella.

No es necesario conocer el comportamiento detallado de los relojes durante la aceleración para saber el efecto acumulativo. Sólo necesitamos la Teoría Especial de la Relatividad para saber que si los relojes en la Tierra y en la estrella Alfa Centauro están sincronizados con respecto al marco de referencia S, para el gemelo viajero en su viaje de ida el reloj en la Tierra estará retrasado con respecto al reloj en Alfa Centauro en una magnitud de LV/c², y en el viaje de regreso el reloj en la Tierra estará adelantado con respecto al reloj en Alfa Centauro también en una magnitud de LV/c².

Un cálculo más detallado y menos cualitativo acerca de la paradoja de los gemelos está disponible en el siguiente enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_los_gemelos

En realidad, desde antes de que Einstein expusiera formalmente por escrito sus dos postulados básicos acerca de la Teoría Especial de la Relatividad, ya había quienes sospechaban que los conceptos del tiempo absoluto, el espacio absoluto y el movimiento absoluto eran una ilusión que nos imponía nuestro propio “sentido común” tan propenso a fallar en muchas ocasiones. Sin embargo, al analizar tal posibilidad, eventualmente se topaban con estas aparentes paradojas resultado de la pérdida de la simultaneidad absoluta, y terminaban convencidos de que las paradojas indicaban claramente que una teoría así tenía que ser incorrecta. Uno de los grandes méritos de Einstein fue no haberse dejado desanimar por estas paradojas aparentes, sino buscar la resolución de las mismas sin dejarse vencer por resultados aparentemente contradictorios.

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