miércoles, 18 de marzo de 2009

La divergencia de un tensor II

Asociado con el concepto de la divergencia está un teorema famoso debido a Gauss, conocido como el teorema de la divergencia, el cual clásicamente (en el Análisis Vectorial) se expresa mediante la siguiente igualdad que relaciona a una integral de superficie evaluada sobre una superficie cerrada (un cubo, una esfera, una pirámide, etc.) con una integral evaluada sobre el volumen encerrado dentro de dicha superficie:



En esta fórmula, del lado izquierdo tenemos un campo vectorial F del cual obtenemos la divergencia del mismo mediante la aplicación del operador diferencial nabla ∇, tras lo cual llevamos a cabo una integración en torno a cierto volumen, y del lado derecho tenemos una integral de superficie llevada a cabo sobre una superficie cerrada (el círculo abrazando los dos signos integrales se usa para indicar precisamente que se trata de una superficie cerrada) con la cual evaluamos el flujo neto de líneas de fuerza que están atravesando dicha superficie cerrada.

La derivación de la fórmula clásica que expresa el teorema de la divergencia no es un asunto difícil. Para obtenerla, consideramos una región del espacio que está inmersa en un campo vectorial F (el cual puede representar las líneas de fuerza de un campo eléctrico, las líneas de fuerza de un campo magnético, la velocidad de las moléculas del aire moviéndose en cierta dirección del viento, etc.) Subdividimos esta región volumétrica en pequeños “cubitos” iguales de volumen dV y determinamos el flujo neto de líneas de fuerza entrando a través de una cara del cubito y saliendo por la cara opuesta:





Si hay divergencia dentro del cubito, entonces la densidad de líneas de fuerza que salen por la cara opuesta será mayor que la densidad de líneas de fuerza que entran por la cara principal, pero si la densidad es la misma entonces no hay divergencia alguna en esa dirección. Tenemos que considerar además la cara superior del cubito y la cara inferior por la posibilidad de que aunque no haya divergencia alguna en el sentido frontal-trasero del cubito sí pueda haber divergencia en el sentido superior-inferior. Y tenemos que considerar también las caritas laterales para determinar si hay un incremento o decremento en las líneas de fuerza que puedan estar entrando o saliendo por las caras laterales. Hecho esto, vamos juntando los demás cubitos tomando en cuenta que el flujo de líneas de fuerza que salen por la cara de un cubito debe ser igual al flujo de líneas de fuerza que entran por esa misma cara cuando se considera al cubito adyacente, pero por estar orientadas ambas caras en sentidos opuestos los vectores normales de superficie n a dichas caras apuntarán en direcciones opuestas y los efectos se cancelarán. Al final, nos quedaremos con tan sólo la parte exterior de las caras de los cubitos que coinciden con la superficie del volumen bajo consideración.

Un caso especial que nos interesa sobremanera del teorema de la divergencia es aquél en el cual no hay divergencia alguna del campo vectorial F, lo cual termina siendo evaluado como:

∇·F = 0

Cuando esto ocurre, entonces la integral del lado izquierdo en la fórmula que tenemos arriba del teorema de la divergencia termina siendo cero, dejándonos tan sólo con lo siguiente:



Esto significa que en donde no hay divergencia el flujo neto de líneas de fuerza que atraviesan una superficie cerrada es igual a cero. Si hay líneas de fuerza en la región, entonces hay tantas líneas de fuerza atravesando una superficie cerrada de dicha región como líneas de fuerza saliendo de la misma, lo cual dá un flujo neto de cero.

Si queremos extender el teorema de la divergencia hacia la Teoría de la Relatividad, la fórmula dada arriba no nos es suficiente ya que está definida para un espacio tri-dimensional. En el caso que nos ocupa, la Teoría de la Relatividad, necesitaríamos definir a la divergencia en un espacio de cuatro dimensiones, a la cual podemos llamar la 4-divergencia.

La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿podemos extender el teorema de la divergencia hacia el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad? Esto equivale a preguntarnos primero si podemos replantear el teorema de la divergencia en notación tensorial, la herramienta matemática que nos permite “saltar” del limitado espacio tri-dimensional hacia un espacio multi-dimensional de cualquier número de dimensiones.

PROBLEMA: Expresar el teorema de la divergencia usando notación tensorial.

Defínase un campo tensorial de orden uno F = (Fα), y denótese como nα al vector unitario normal que va asociado a cualquier punto sobre una superficie cerrada S que encierra a un volumen V. Entonces, en notación tensorial, el teorema de la divergencia puede ser escrito de la siguiente manera:



En el lado izquierdo tenemos una operación de contracción tensorial llevada a cabo sobre la derivada del tensor F (obsérvese que no es una diferenciación covariante), mientras que en el lado derecho tenemos un producto escalar de dos tensores, el tensor contravariante Fk y el tensor covariante nk. Hemos logrado expresar el teorema de la divergencia en notación tensorial, y por lo tanto debe ser válido en todos los marcos de referencia.

Tenemos ya el teorema de la divergencia en notación tensorial. ¿Pero podemos extenderlo hacia un espacio N-dimensional que incluya al 4-espacio de la Teoría de la Relatividad? La respuesta es afirmativa. Todo lo que tenemos que hacer es reemplazar a la integral triple por una N-integral (una integral cuádruple tratándose del 4-espacio de la Teoría de la Relatividad) y reemplazar a la integral doble por una integral N-1. La invariante Fk,k es la divergencia de Fk. Y la invariante Fknk es el producto escalar de Fk y nk análoga al producto A·n en notación vectorial.

PROBLEMA: Determinar si los siguientes campos vectoriales exhiben divergencia.

a) F = 5 i - 3 j + 7 k + 2 l

b) V = [(x3)² - 1] e1 + 4 (x2e2 - 2 (x1 + x2 + x4e3 - 8 e4

a) En este 4-espacio estamos utilizando los vectores de base ortogonales i, j, k y l cuyas propiedades son:

i·i = j·j = k·k = l·l = 1

i·j = i·k = i·l = j·k = j·l = k·l = 0

La 4-divergencia para el campo vectorial dado es:

∇·F = Fα,α = Fi,i + Fj,j + Fk,k + Fl,l

Fα,α = ∂Fi/∂xi + ∂Fj/∂xj + ∂Fk/∂xk + ∂Fl/∂xl

Siendo F = Fα = (5, -3, 7, 2) un campo vectorial cuyas componentes son todas constantes numéricas, tenemos entonces:

Fα,α = 0 + 0 + 0 + 0

Fα,α = 0

Siendo la divergencia igual a cero, este campo vectorial no exhibe divergencia alguna en ninguna región del 4-espacio, de modo tal que en cualquier superficie cerrada el flujo neta de líneas de fuerza que entran a dicha superficie será igual al flujo neto de líneas de fuerza que salen de dicha superficie.

b) Este problema es casi idéntico al anterior. Lo único que realmente cambia es que en vez de utilizar para los vectores unitarios de base la notación i, j, k y l estamos usando la notación e1, e2, e3 y e4 en coordenadas generalizadas, que a fin de cuentas viene representando exactamente lo mismo.

La 4-divergencia para el campo vectorial dado V es:

∇·V = Vα,α = V1,1 + V2,2 + F3,3 + F4,4

Vα,α = ∂V1/∂x1 + ∂V2/∂x2 + ∂V3/∂x3 + ∂V4/∂x4

Vα,α = 0 + 8 + 0 + 0

Vα,α = 8

En este caso, el campo vectorial V exhibe una divergencia que podemos ver que ocurre a lo largo de la coordenada generalizada x2, la cual es positiva. Esto significa que las líneas de fuerza van aumentando en intensidad en el sentido positivo de la coordenada x2, posiblemente como resultado de alguna fuerza de atracción que hace que las partículas se aceleren en dicha dirección. No hay divergencia alguna en el sentido de la coordenada x1, ni en el sentido de las coordenadas x3 y x4.

Hemos logrado redefinir al teorema de la divergencia para un espacio multi-dimensional. Pero no debemos olvidar que el teorema de la divergencia fue desarrollado dentro del contexto de un espacio tri-dimensional Euclideano, ciertamente plano. ¿Pero podemos redefinirlo para que sea válido también dentro de un espacio multi-dimensional curvo?

PROBLEMA: Obtener la fórmula para el teorema de la divergencia en el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad.

No tenemos que batallar mucho para resolver este problema. Todo lo que tenemos que hacer es tomar la fórmula obtenida en la entrada anterior para la evaluación de la divergencia de un campo tensorial general F:



Pasamos el denominador que está en el lado derecho de esta ecuación hacia el lado izquierdo:



y nos preparamos así para llevar a cabo una integración cuádruple en ambos lados sobre un 4-volumen:



Simplificaremos la notación del 4-volumen infinitesimal con la siguiente abreviatura más compacta:

d4x = dx1dx2dx3dx4

con la cual tenemos:



Si ponemos atención, veremos que el lado derecho de esta ecuación no involucra diferenciación covariante alguna, sólo involucra derivadas parciales simples, y por lo tanto podemos aplicar la versión tensorial del teorema de la divergencia substituyendo el lado derecho de la ecuación que se lleva a cabo sobre un 4-volumen por la integral cerrada sobre la 4-superficie:



Este resultado que acabamos de obtener demuestra que el teorema de la divergencia también es aplicable hacia un espacio multi-dimensional como el espacio-tiempo curvo de la Relatividad General. La aplicación de la fórmula requiere del lado izquierdo de la ecuación el cálculo de la divergencia Fα;α (¡utilizando la derivada covariante!) sobre un 4-volumen (un volumen propio en el sentido utilizado en la Teoría de la Relatividad) y el cálculo del “flujo” sobre una 3-superficie (una superficie propia en el sentido utilizado en la Teoría de la Relatividad).

¿Qué interpretación geométrica (visual) podemos darle a un teorema que relaciona una “3-superficie” con un “4-volumen”?

Del mismo modo en el que una esfera tri-dimensional encierra un volumen acotado por la superficie de la esfera, una 3-esfera o hiperesfera encierra un 4-volumen, quedando definido de modo categórico el “interior” y el “exterior” de la hiperesfera. Así como la 2-esfera es la superficie bi-dimensional en el espacio tri-dimensional Euclideano (x,y,z) dada por la ecuación:

x² + y² + z² = r²

en donde r es el radio de la esfera, del mismo modo la 3-esfera es la superficie tri-dimensional en el 4-espacio Euclideano (x,y,z,w) dada por la ecuación:

x² + y² + z² + w² = r²

en donde r es el radio de la 3-esfera. Es importante recalcar que la 2-esfera del 3-espacio es incapaz de poder encerrar un 4-volumen finito en un 4-espacio en virtud de que con cuatro coordenadas disponibles en el 4-espacio, la ecuación de la 2-esfera:

x² + y² + z² = r²

se puede mantener como válida para un valor finito del radio r pese a que la cuarta coordenada (w) puede ser variada desde -∞ hasta +∞, aceptando volúmenes infinitos. Se requiere forzosamente de una (N-1)-superficie para poder encerrar un N-volumen.

Pero la 3-esfera no es la única superficie que podemos definir geométricamente (o mejor dicho, matemáticamente) en un 4-espacio. Del mismo modo en el que un cubo-tridimensional encierra un volumen acotado por tres pares de caras que definen a la superficie total del cubo, un hipercubo cuatri-dimensional encierra un 4-volumen acotado por cuatro pares de caras que definen a la 3-superficie de un hipercubo. Como no es posible dibujar en un pedazo de papel plano (o en el monitor de una computadora) un hiper-cubo, nos conformaremos con dibujar una de las “caras” de una de las hipersupericies que encierran al 4-volumen. Lo haremos sobre un diagrama espacio-tiempo como corresponde a la perspectiva geométrica de la Teoría de la Relatividad en la que la “cuarta coordenada” es la coordenada del tiempo:





Las hipersuperficies de las que estamos hablando aquí son unas “superficies” muy curiosas, ya que están medidas no en metros cuadrados ni en centímetros cuadrados sino en metros cúbicos o en centímetros cúbicos. ¡Y el 4-volumen está medido no en metros cúbicos sino en metros cuárticos!

En las coordenadas Cartesianas de un plano bi-dimensional, el elemento infinitesimal de área sobre el cual podemos llevar a cabo una integración está dado por:

dA = dx dy

Y en un espacio tri-dimensional, los elementos infinitesimales de superficie posibles en coordenadas Cartesianas sobre los cuales podemos llevar a cabo una integración son los siguientes:

dS = dx dy

dS = dx dz

dS = dy dz

Hasta aquí estamos hablando de elementos infinitesimales de 2-superficie (se acostumbra usar también la palabra 2-especie para definir este concepto). En un espacio 4-dimensional, podemos definir también elementos infinitesimales de 2-superficie, siendo posibles seis en coordenadas generalizadas:

dS = dx1 dx2

dS = dx1 dx3

dS = dx1 dx4

dS = dx2 dx3

dS = dx2 dx4

dS = dx3 dx4

Sin embargo, si de lo que estamos hablando es de elementos infinitesimales de 3-superficie, estos serán los siguientes en el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad (para mayor simplicidad, igualaremos la constante c de la velocidad de la luz a la unidad, con lo cual podemos escribir la coordenada temporal simplemente como dt en lugar de cdt):

d3S = dx dy dz

d3S = dt dy dz

d3S = dx dt dz

d3S = dx dy dt

Hay pues cuatro pares de caras para definir las hipersuperficies del hipercubo. En el diagrama de arriba que muestra un 4-volumen acotado por cuatro hipersuperficies, se muestran dos caras de la hipersuperficie xyz (denotadas en el diagrama simplemente como hiper-superficie x1
e hiper-superficie x2 ante la imposibilidad de poder dibujar en el plano las otras dos coordenadas) en las cuales el triplete (x,y,z) permanece constante conforme variamos la coordenada t, y las dos caras de la hipersuperficie tyz (denotadas en el diagrama simplemente como hiper-superficie t1 e hiper-superficie t2 ante la imposibilidad de poder dibujar en el plano las otras dos coordenadas) en las cuales el triplete (t,y,z) permanece constante conforme variamos la coordenada x.

Si tenemos un flujo cuatri-dimensional F = (Ft,Fx,Fy,Fz) atravesando un hipercubo como el mostrado parcialmente en el diagrama, entonces para el cálculo del total neto de dicho flujo que aparece en el lado derecho de la ecuación del teorema de la divergencia tensorial podemos definir vectores normales unitarios n perpendiculares a cada una de las hipersuperficies al igual que como se acostumbra hacerlo en el Análisis Vectorial. Para el diagrama de arriba, tendremos los siguientes vectores normales a cada una de las cuatro hipersuperficies:





Obsérvese que el vector unitario normal a la hiper-superficie t1 tiene un signo opuesto (negativo) al de la hiper-superficie t2 (positivo) en virtud de que esta normal “hacia afuera” del 4-volumen apunta “hacia atrás” en el tiempo. Y en lo que respecta al vector unitario normal a la hiper-superficie x1, este tiene signo negativo porque la hipersuperficie está orientada en dirección opuesta a la hiper-superficie x2.

Para calcular el flujo neto a través del hipercubo mostrado, hay que calcular el flujo a través de los cuatro pares de hipersuperficies. En el caso del diagrama mostrado arriba, el cálculo involucra la suma de las siguientes integrales (todas son integrales triples, pero se ha utilizado un solo símbolo para simplificar la notación; y del mismo modo se ha omitido la raíz cuadrada del determinante g en virtud de que siendo g un número la raíz cuadrada de dicho número también lo es y podemos sacarlo fuera de la integral):





Podemos definir otra hiper-región del 4-volumen acotada por la hiper-superficie y1 y la hiper-superficie y2 así como por la hiper-superficie z1 y la hiper-superficie z2 evaluando el flujo con la siguiente totalización de integrales:





Podemos juntar bajo un mismo proceso de integración el cálculo del flujo de un campo vectorial F a través de las hipersuperficies de dos caras opuestas del hipercubo de la manera siguiente:





En este caso, Ft(t2) es la componente de flujo del campo vectorial F que atraviesa la hiper-cara del hipercubo al salir fuera del 4-volumen en la misma dirección en la cual está orientada la cara, mientras que Ft(t1) es la componente de flujo del campo vectorial F que atraviesa la cara opuesta del hipercubo. Si el flujo neto (sumado) de ambas caras es cero, entonces hay tantas líneas de fuerza entrando como líneas de fuerza saliendo a través de dicho par de caras opuestas del hipercubo.

Sumando todas las contribuciones de las caras opuestas del hipercubo, 4 pares de caras en total, obtenemos el flujo neto de líneas de fuerza a través del hipercubo como lo indica el lado derecho de la ecuación de arriba para el teorema de la divergencia en un espacio multi-dimensional:





Sólo nos falta un detalle por aclarar. Para que el teorema de la divergencia que acabamos de derivar extendido hacia un espacio 4-dimensional que puede ser curvo o plano sea creíble como enunciado tensorial, tenemos que demostrar que el elemento infinitesimal de 4-volumen que aparece en el lado izquierdo de la ecuación:



es una invariante, algo que no hemos hecho. Esto lo demostraremos con los siguientes dos problemas.

PROBLEMA: Demostrar que



en donde g = det G, es un tensor relativo.

Partiendo del tensor métrico g, los elementos gpq de dicho tensor a partir de los cuales se obtiene el determinante g de la representación matricial de los componentes de dicho tensor se transforman tensorialmente de acuerdo con la relación:



Tomando determinantes en ambos lados de la ecuación tenemos entonces:



en donde hemos aplicado como paso intermedio la bien conocida propiedad de los determinantes que nos dice que el determinante del producto de dos matrices cuadradas de igual tamaño A y B es igual al producto de los determinantes de cada matriz, o sea |AB| = |A||B|.

Pero |∂xp/∂xj| es simplemente el Jacobiano J de la transformación. A manera de ejemplo, el Jacobiano J de las coordenadas rectangulares (x,y,z) con respecto a las coordenadas esféricas (r,θ,φ) se acostumbra representarlo de modo más explícito de la siguiente manera:



Otra forma de representar el Jacobiano, en este caso usando coordenadas generalizadas para un espacio multi-dimensional, es la siguiente:



que representa en general:



De este modo, podemos regresar a la relación en la que estábamos trabajando escribiéndola de la siguiente manera:

g = J · J g

g = J² g

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:



Esto nos demuestra que la raíz cuadrada del determinante g del tensor métrico g es un tensor relativo. En el caso en el cual el Jacobiano sea igual a la unidad, el tensor relativo será simplemente un tensor común y corriente sin una constante de “amplificación”.

PROBLEMA: Demostrar que:



es una invariante.

Empezaremos la demostración con la siguiente relación:



Usando el resultado del problema anterior, podemos escribir la relación de la siguiente manera:



El Jacobiano J para esta transformación escrito en forma abreviada será simplemente J = |∂x/∂x|:



Y en base a la bien conocida relación del cálculo multivariables:



Esto se simplifica a lo siguiente:



Con esto, lo que tenemos en el lado derecho es simplemente el elemento infinitesimal de volumen dV en un espacio N-dimensional. Se concluye que:



En palabras llanas, el elemento infinitesimal de volumen en el espacio N-dimensional en la forma en la que se ha definido arriba es una invariante.

Siendo el elemento infinitesimal de volumen dV una invariante en el espacio N-dimensional, si Φ es también una invariante se concluye que:



Del mismo modo, repitiendo los mismos pasos, podemos obtener un enunciado similar para la invariancia de las superficies en el espacio N-dimensional, con lo cual el lado derecho de la ecuación del teorema de la divergencia para un espacio N-dimensional ya sea plano o curvo queda plenamente justificado desde el punto de vista tensorial.

Así, la 4-divergencia de un campo tensorial V de orden uno que en un espacio multi-dimensional plano está definida bajo la siguiente fórmula general de contracción tensorial (obsérvese el uso de la coma que indica diferenciación parcial simple):



quedará ahora redefinida para espacio multi-dimensional curvo como (obsérvese el uso del semicolon en lugar de la coma que indica diferenciación covariante):



Hemos logrado redefinir exitosamente el concepto de la divergencia hacia un espacio multi-dimensional que puede ser plano o curvo, y en el camino hemos logrado extender también el teorema de la divergencia hacia estos espacios multi-dimensionales. Pero hasta ahora lo hemos hecho manejando únicamente campos tensoriales (vectoriales) expresados como tensores contravariantes de orden uno. Esto no nos será suficiente en el estudio de la Relatividad General. Téngase en cuenta que en la Teoría de la Relatividad debemos considerar que hemos pasado del 4-vector energía-momentum (un tensor de orden uno) al tensor contravariante de segundo orden energía-tensión T = (Tμν), de modo tal que en la Teoría de la Relatividad tenemos que extender el concepto de la divergencia de un tensor hacia un tensor de orden dos.

¿Es posible extender el concepto de la divergencia para que abarque tensores de orden general que inclusive puedan ser tensores mixtos?

La respuesta a esta pregunta es afirmativa, y la definición matemática de divergencia para un tensor general mixto con respecto a su k-índice contravariante es la siguiente que involucra la operación tensorial de contracción mediante la igualación de índices:



Ha llegado el momento de que, en base a lo que hemos visto arriba, le echemos un vistazo al tensor energía-impulso (o tensor energía-tensión) que aparece en la ecuación tensorial fundamental de la Teoría General de la Relatividad.

En la Teoría Especial de la Relatividad, en un espacio-tiempo plano, seguimos utilizando derivadas parciales para la obtención de la divergencia de un tensor, y la divergencia del tensor T = (Tμν) se acostumbra escribirla de la manera siguiente:

Tμν,ν

utilizando la notación de la coma para denotar las derivadas parciales. Por otro lado, la divergencia del tensor T = (Tμν), extendida hacia el espacio-tiempo curvo de la Relatividad General, resulta ser:

Tμν;ν

utilizando la notación del semicolon para denotar la derivada covariante. Este es un ejemplo de la regla “la coma va hacia un semicolon”, bajo la cual si tenemos algún enunciado que es válido en un espacio-tiempo plano (en un marco inercial de referencia) propio de la Teoría Especial de la Relatividad, entonces para escribir el enunciado de modo tal que sea válido dentro de la Relatividad General reemplazamos la coma por un semicolon, y en vez de evaluar derivadas parciales evaluamos derivadas covariantes.

El concepto de la divergencia del tensor energía-tensión T = (Tμν) juega un papel muy importante en todo lo que concierne a la Teoría de la Relatividad, porque expresa el principio de la conservación de la energía-momentum. Para la Teoría Especial de la Relatividad, esto se enuncia de la siguiente manera expresando la conservación local de la energía:

Tμν, ν = 0

Y para la Relatividad General, el enunciado equivalente de la conservación local de la energía-momentum es:

Tμν; ν = 0

Como puede verse, la diferencia entre ambas expresiones está en la coma y el semicolon. En el caso de la Teoría Especial de la Relatividad se aplica la diferenciación parcial ordinaria, mientras que en la Teoría General de la Relatividad se aplica la diferenciación covariante.

La importancia del hecho de que la divergencia del tensor energía-tensión T = (Tμν) pueda ser utilizada para resumir el principio de la conservación local de la energía (o mejor dicho, el principio de la conservación local de la energía-momentum) ha llevado a un segmento apreciable de la comunidad científica a considerar esto como “la tercera ley de la Relatividad General” (las otras dos siendo la ecuación tensorial básica y la ecuación geodésica).

En el estudio del tensor de Riemann se descubre que en lo que respecta al tensor de curvatura de Einstein G, el cual expresa tensorialmente la curvatura del espacio-tiempo, la divergencia del tensor de Einstein es igual a cero en todos los puntos de una métrica Riemanniana cualquiera. Si tomamos como base la ecuación tensorial básica de la Relatividad General:

G = 8πGT

entonces al expresar dicha ecuación tensorial en notación de componentes:

Gαβ = 8πGTαβ

y al tomar la derivada covariante de la misma en ambos lados efectuando al mismo tiempo una operación de contracción con la igualación de índices para así obtener en el lado izquierdo la divergencia del tensor de Einstein G y obtener del lado derecho la divergencia del tensor energía-tensión T:

Gαβ ; β = 8πGTαβ ; β

entonces si la divergencia del tensor de Einstein es cero la divergencia del tensor T necesariamente debe ser cero también. Esto significa que el hecho de que la divergencia del tensor de curvatura de Einstein sea cero automáticamente implica el principio de la conservación de la energía-momentum en la Teoría de la Relatividad, tanto la Especial como la General. Esto lo podemos expresar con una doble implicación lógica:

Gαβ ; β = 0 Tαβ ; β = 0

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