miércoles, 18 de marzo de 2009

La reducción a los límites clásicos

Para situaciones en las que la gravedad es muy débil, en las que la curvatura del espacio-tiempo es muy pequeña, la Relatividad General debe incluír a la Teoría Especial de la Relatividad como una aproximación de primer orden, como un caso especial en el cual la Relatividad General debe reducirse la formulación matemática de un espacio-tiempo plano, debe reducirse a las transformaciones de Lorentz.

¿Y cómo se logra ésto?

Se logra considerando una región de espacio-tiempo que sea lo suficientemente pequeña como para que dentro de la misma el espacio-tiempo pueda considerarse como plano. La transición de un espacio-tiempo curvo a un espacio-tiempo plano como el que nos describen los diagramas espacio-tiempo de Minkowski se puede visualizar en la forma en que lo muestra la siguiente figura en grado ascendente (se recuerda al lector que la representación pictórica que se está dando abajo es incompleta en virtud de que el espacio-tiempo plano representado en el dibujo superior es un espacio-tiempo plano bi-dimensional típico de los diagramas de Minkowski, siendo que el espacio-tiempo real es cuatri-dimensional; sin embargo, esta representación es suficiente para nuestros fines didácticos):





En otras palabras, aunque el espacio-tiempo sea curvo globalmente, el espacio-tiempo puede tomarse como plano localmente. Esto es desde el punto de vista matemático. Y de hecho fue así como Einstein empezó a obtener la formulación matemática de la Relatividad General, generalizando hacia un espacio-tiempo curvo lo que se sabía que era cierto matemáticamente para un espacio-tiempo plano, lo cual requirió recurrir a las herramientas del cálculo infinitesimal.

Y desde el punto de vista físico, la inclusión de la Teoría Especial de la Relatividad dentro de la Relatividad General es obvia porque todo marco de referencia que esté en caída libre en un campo gravitacional puede considerarse Lorentziano. Puesto de otra manera, así como dentro de un elevador herméticamente sellado un ocupante en su interior no tiene forma experimental de saber si por fuera el elevador está siendo acelerado en el espacio libre por un motor silencioso o si el elevador se encuentra en reposo en un campo gravitacional (principio de equivalencia de la Relatividad General), del mismo modo el ocupante del elevador no tiene forma experimental de saber si por fuera el elevador está flotando en el espacio interestelar o si el elevador está en caída libre en un campo gravitacional, que resultaría dentro del elevador en un entorno de “”gravedad cero” como el que experimentan los astronautas que están orbitando alrededor de la Tierra en la estación espacial internacional o como el que experimentó el famoso físico inglés Stephen Hawking dentro de un avión cayendo a gran velocidad hacia la Tierra:





Lo anterior es en lo que respecta a la inclusión de la Teoría Especial de la Relatividad dentro de la Relatividad General. Pero no sólo la Relatividad General debe incluír dentro de sí a la Teoría Especial de la Relatividad. También debe reducirse, para el caso específico en el cual el campo gravitacional no es muy intenso y para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz, a la mecánica clásica, a la mecánica de Sir Isaac Newton, aunque esté basada en conceptos filosóficos diferentes. Si hemos de aceptar las ecuaciones de campo de la Relatividad General como válidas, estas ecuaciones se tienen que reducir al límite clásico para un campo gravitacional débil, y el límite clásico es la ley de la gravitación universal de Newton a la cual deben incluír como caso especial:





Podemos visualizar en torno a la Tierra un campo de fuerza apuntando hacia el centro de la Tierra y que “jala” a todos los objetos en el espacio cercanos a la Tierra hacia ella por la fuerza de atracción de la gravedad:




El problema que enfrentamos para comparar las predicciones de la Relatividad General con la mecánica clásica Newtoniana es que, en la Relatividad General, el concepto de fuerza de atracción entre dos cuerpos ha sido desterrado por completo porque tal fuerza de atracción nunca existió. ¿Entonces cómo podemos comparar ambos conceptos? Tenemos aquí un dilema que sólo puede ser solventado si en vez de recurrir al concepto de “fuerza” de atracción gravitacional recurrimos a argumentos basados en la energía del campo gravitacional. Y la energía del campo gravitacional está dada por lo que viene siendo la energía potencial del campo gravitacional o simplemente el potencial gravitacional de la Tierra, designado frecuentemente como U en la mecánica clásica. Este concepto representa la diferencia de energía que posee un cuerpo a cierta distancia r1 de la Tierra y la energía que posee a otra distancia r2 menor o mayor. Puesto que para mover un cuerpo alejándolo de la Tierra hay que aplicar cierta cantidad de energía, lo cual equivale a llevar a cabo un trabajo definido clásicamente como:

W = F · dr

entonces al caer el cuerpo hacia la Tierra esa energía potencial acumulada se convierte en energía de movimiento. Por convención, decimos que al caer un cuerpo hacia la tierra cae de un potencial mayor hacia un potencial menor. También por convención, el potencial gravitacional producido por un cuerpo como la Tierra a una distancia infinitamente grande se toma como cero. Esto quiere decir que el potencial U de la Tierra siempre tendrá un valor negativo, puesto que sólo puede hacerse más negativo del valor de cero que tiene en el infinito. Por lo tanto, el potencial estará dado por:

U = - F · dr

en donde F es la fuerza de atracción universal propuesta por Newton. La expresión para la energía potencial de un cuerpo situado a una distancia r del centro de la Tierra en comparación con la energía potencial del cuerpo situado a una distancia infinitamente grande (y la cual es cero) se puede obtener de la siguiente manera (estamos agregándole un signo negativo a la fuerza de atracción puesto que, por convención, se asigna un signo menos cuando la fuerza es de atracción y un signo más cuando la fuerza es de repulsión):





en donde como paso intermedio hemos utilizado la integral elemental del cálculo infinitesimal:



El potencial U sólo depende de la distancia que hay del cuerpo al centro de la Tierra. A cierta distancia r fija, el potencial es el mismo. Podemos imaginar, superimpuestas sobre el campo de fuerza gravitacional de la Tierra, esferas concéntricas imaginarias que poseen el mismo potencial:





Con el propósito de “desconectar” a un cuerpo pequeño del efecto que dicho cuerpo produce sobre el campo gravitacional de la Tierra, y con el propósito de darle más importancia al efecto que la misma Tierra produce en el cuerpo sobre el cual está ejerciendo atracción gravitacional, se acostumbra hablar del potencial gravitacional U por unidad de masa m designándolo como φ, de modo tal que al hablar del potencial gravitacional φ (también designado como Φ) lo estamos haciendo con la siguiente fórmula:

φ = -GM/r

Ya se ha señalado que en la Relatividad General todo lo controla la métrica que define al elemento de línea infinitesimal ds² entre dos puntos cercanos. Se puede demostrar que para un campo gravitacional suficientemente débil, esta distancia entre dos puntos cercanos puede ser escrita de la siguiente manera recurriendo a la ayuda de las coordenadas Cartesianas (la obtención de esta fórmula se llevará a cabo cuando estudiemos posteriormente en mayor detalle la métrica de Schwarzschild):

ds² = (1 + 2φ/c²) (cdt)² - (1 - 2φ/c²) (dx² + dx² + dz²)

en donde φ es el potencial clásico Newtoniano que hemos definido arriba.

PROBLEMA: Demostrar que, para un campo gravitacional φ sumamente débil, el elemento de línea ds² se reduce al intervalo relativista de un espacio-tiempo plano.

Si el potencial gravitacional es sumamente débil, entonces φ « 1 y podemos despreciarlo en la relación anterior, obteniendo:

ds² = (cdt)² - dx² - dy² - dz²

Este es precisamente el intervalo relativista de un espacio-tiempo plano (Lorentziano) en el cual se aplican las transformaciones de Lorentz, lo cual era de esperarse ya que la Relatividad General incorpora a la Teoría Especial de la Relatividad.

En un gráfico tri-dimensional que nos muestre cómo el potencial de la Tierra se va haciendo cada vez más negativo conforme un cuerpo se va acercando a la Tierra, tenemos la siguiente perspectiva:





Lo que no alcanzamos a ver en el diagrama de arriba es que una vez que un cuerpo ha llegado a la superficie de la Tierra, si en vez de tocar una superficie sólida le toca entrar por la boca de un pozo que llega hasta el centro de la Tierra continuando su viaje, el potencial no disminuirá sino que aumentará, y de hecho en el centro de la Tierra el potencial es cero lo cual concuerda con el hecho de que en el centro de la Tierra no hay fuerza de gravedad alguna. Esto lo podemos ver mejor en el siguiente diagrama que nos ilustra el potencial de la Tierra hasta su interior así como el potencial de otro cuerpo en cercanía a la misma (por ejemplo la Luna):





PROBLEMA: Descomponer la métrica (dada aquí en unidades geometrizadas haciendo c = 1):

ds² = (1 + 2φ) dt² - (1 - 2φ) (dx² + dx² + dz²)

en dos partes, una parte Lorentziana y una parte no-Lorentziana.

La descomposición requerida se muestra a continuación:

ds² = dt² + 2φ dt² - dx² - dy² - dz² - 2φ (dx² + dx² + dz²)

ds² = dt² - dx² - dx² - dz² + 2φ {dt² - dx² - dx² - dz²}

La parte en rojo es la parte Lorentziana, propia de un espacio-tiempo plano en el cual se aplica la Teoría Especial de la Relatividad, mientras que la parte en rojo es la parte propia de un espacio-tiempo curvo. Obsérvese que si el potencial φ es igual a cero, lo cual equivale a decir que estamos en una región del espacio-tiempo en donde para fines prácticos no hay atracción gravitacional, el espacio-tiempo es plano.

Estrictamente hablando, la Teoría General de la Relatividad de Einstein no fue la primera en darse a conocer públicamente. Ya en 1912 y en 1913 el físico teórico finlandés Gunnar Nordström había propuesto dos teorías distintas. La primera fue rápidamente descartada, mientras que la segunda se convirtió en el primer ejemplo de una teoría métrica de la gravedad en la cual los efectos de la gravedad eran tratados por completo en términos de la geometría de un espacio-tiempo curvo. Ninguna de las dos teorías fue capaz de corroborar las observaciones teóricas y experimentales, aunque de cualquier manera la primera es de interés porque condujo al desarrollo de la segunda, y la segunda es de interés no sólo porque constituyó un avance importante en el camino hacia la Relatividad General sino porque se trata de una teoría autoconsistente y autosuficiente de la gravedad, y aún es utilizada en los salones de clases con fines didácticos sobre cómo derivar y cómo explicar las predicciones de una teoría métrica de la gravedad. La teoría gravitacional de Nordström hizo su aparición justo cuando físicos teóricos prominentes tales como el mismo Nordström en Helsinki, Max Abraham en Milán, Gustav Mie en Alemania y Albert Einstein en Praga estaban ocupados tratando de crear teorías alternas para la descripción de la gravedad. Todos estos investigadores, incluyendo al mismo Einstein, empezaron sus esfuerzos intentando modificar la versión en la teoría de campo de la teoría gravitacional de Newton que tan buenos resultados había dado clásicamente. En las teorías del campo gravitacional derivadas de la filosofía Newtoniana, la ecuación de campo es obtenida de la ecuación de Poisson ∇²φ = 4πGρ, siendo φ el potencial gravitacional, ρ la densidad de masa y ∇² el operador Laplaciano tri-dimensional, en conjunción con la ecuación del movimiento de Newton que nos dice que la aceleración de una partícula está dada por el gradiente de su potencial gravitacional, o sea da/dt = - ∇φ. Una teoría gravitacional de este tipo no puede ser relativista porque la ecuación de movimiento se basa en un tiempo “absoluto” de coordenada t en lugar de utilizar un tiempo propio (local) τ medido por un observador local viajando junto con la partícula en movimiento. Un defecto de la teoría de Nordström es que en caso de que la masa concentrada inicialmente en un objeto aislado fuese dispersada como consecuencia de una explosión, la ecuación de campo de Nordström requiere que el potencial gravitacional repartido en todo el espacio sea “puesto al día” instantáneamente (sin que la velocidad de la luz sea un limitante para ello) en conformidad con la filosofía Newtoniana de la “acción a distancia”. Hermann Minkowski, el cual fue profesor de Einstein, ya había bosquejado una teoría vectorial de la gravedad desde 1908, pero en 1902 Max Abraham destacó que ninguna teoría de este tipo (vectorial) podía admitir órbitas estables (siendo incapaz de explicar, por ejemplo, la estabilidad del sistema solar), siendo esta una razón por la cual Nordström giró su atención hacia teorías escalares de la gravedad, mientras que Einstein decidió explorar campos tensoriales.

La ecuación de campo que se obtiene de la teoría gravitacional de Nordström:

R = 24πT

para la cual en el lado derecho se utiliza la traza del tensor energía-tensión T (con contribuciones de la masa-energía sumadas a las contribuciones energéticas de cualquier campo no-gravitacional) manifiesta un parecido extraordinario con las ecuaciones (tensoriales) de campo de Einstein y constituye un avance histórico significativo en la historia de la Ciencia porque por vez primera tenemos una ecuación de campo para la cual en el lado izquierdo tenemos una cantidad de naturaleza puramente geométrica refiriéndose a una curvatura espacial (el escalar de Ricci R es la traza del tensor de Ricci R que a su vez es una especie de traza del tensor de curvatura de Riemann R de orden cuatro), mientras que en el lado derecho tenemos una cantidad que es puramente física, la traza del tensor energía-tensión T. Al tomar conocimiento de los resultados correspondientes a la segunda teoría de Nordström, Einstein manifestó un entusiasmo exhuberante porque no sólo las ecuaciones son elegantes y sencillas, también implican una consecuencia importante que sería incorporada dentro de la Relatividad General: las ecuaciones de campo para el vacío implican que, en ausencia total de masa-energía, la curvatura debe ser cero.

La teoría del campo gravitacional de Nordström, por ser una teoría escalar, predice la misma aceleración para una partícula de prueba sumergida en un campo gravitacional que la predicha por la filosofía Newtoniana (la cual es también una teoría escalar), o sea GM/r², mientras que la teoría del campo gravitacional de Einstein, por ser una teoría tensorial, predice una aceleración que además del término GM/r² adiciona otro término que es proporcional no a la inversa del cuadrado sino a la inversa del cubo de la distancia. Interesantemente, la teoría gravitacional de Nordström predice un desplazamiento de frecuencia (corrimiento al rojo) gravitacional idéntico al predicho por la teoría Einsteniana. Sin embargo, no predice deflexión alguna de la luz a consecuencia del efecto de un campo gravitacional. La solución de la ecuación de Nordström para el vacío produce la siguiente métrica:



en donde φ es una perturbación conformal ocasionada sobre la métrica del espacio-tiempo plano (Lorentziano). Si llevamos a cabo una expansión del exponencial mediante series de Taylor reteniendo únicamente el término de primer orden, la métrica se vuelve entonces:



siendo:

η11 = 1___η22 = η33 = η44 = - 1

ηij = 0_ para i ≠ j

en la cual podemos identificar a φ como el potencial gravitacional Newtoniano clásico. Como el concepto de la fuerza de atracción gravitacional no existe en las teorías de campo, la aproximación que llevan a cabo la mayoría de las teorías gravitacionales a la mecánica Newtoniana (partiendo del conocimiento de que la gravitación Newtoniana se puede tomar como una aproximación en el límite clásico de las teorías modernas de gravitación) se lleva a cabo sobre una expresión como la última que acabamos de escribir, y es sobre ella que llevaremos a cabo la reducción de la Relatividad General al límite clásico Newtoniano en donde esperamos obtener una coincidencia de resultados.

A continuación analizaremos el movimiento de una partícula en caída libre en un campo gravitacional. Denotemos el 4-momentum de la partícula como p. Para todas las demás partículas de prueba con excepción de los fotones (que carecen de masa en reposo) este 4-momentum es igual a m0U en donde U es la 4-velocidad. El movimiento de la partícula se lleva a cabo a lo largo de la ruta geodésica, satisfaciéndose por lo tanto la ecuación geodésica que puede ser simbolizada de cualquiera de las siguientes maneras:







Sabemos que el tiempo propio τ es un parámetro afín, y que si es multiplicado por una constante cualquiera seguirá siendo un parámetro afín que puede ser simbolizado más generalmente como λ. Esto significa que si dividimos a τ entre el masa propia m0 (que es una constante invariable) tendremos el parámetro afín τ/m0. Se sigue que dx/d(τ/m0) es un 4-vector que también satisface la ecuación geodésica. Pero por la definición del 4-momentum, p = dx/dτ. Esto nos permite escribir la ecuación del movimiento para la partícula del modo siguiente:



Esta es la ecuación geodésica escrita en función del 4-momentum p en lugar de la 4-velocidad U. En un 4-espacio, esta ecuación geodésica representa en realidad un sistema de 4 ecuaciones distintas, una para cada coordenada:



Explícitamente:



La primera ecuación representa la ecuación geodésica correspondiente a la componente temporal mientras que las tres ecuaciones restantes corresponden a las componentes espaciales, en conformidad con la designación de las coordenadas (ct, x, y, z). Cabe señalar que este sistema de ecuaciones geodésicas puede ser utilizado no sólo para partículas materiales sino también para fotones, ya que aunque los fotones carecen de masa en reposo m0 sí poseen en cambio un momentum bien definido (p = E/c). En el desarrollo que llevaremos a cabo aquí, consideraremos partículas materiales que poseen una masa inercial m0 (masa en reposo).

En el límite clásico, si la partícula tiene una velocidad no-relativista en las coordenadas de la métrica:

ds² = (1 + 2φ/c²) (cdt)² - (1 - 2φ/c²) (dx² + dx² + dz²)

podemos encontrar una forma aproximada para la ecuación geodésica. Consideraremos primero la componente que corresponde a la primera coordenada, la coordenada temporal, cuya ecuación geodésica será:



En virtud de tratarse de una partícula no-relativista, podemos considerar a la componente temporal de 4-momentum, p1, mucho mayor que cualquiera de las componentes espaciales del 4-momentum pi, o sea p1 » pi. Esto podemos verlo de la relación relativista fundamental para el 4-momentum:

p = (pα) = γm0(Uα) = (γm0c, γm0u) = (γm0c, γm0ux, γm0uy, γm0uz)

p = γm0(c, ux, uy, uz)

Esto significa que podemos ignorar en la sumatoria (requerida en los índices repetidos por la convención de sumación) términos que incluyan a p2, p3 y p4, términos tales como:

Γ122(p2

Por otro lado, puesto que estamos considerando una partícula material moviéndose a velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz, tenemos entonces que V/c « 1, con lo cual:

γ = 1/√1 - V²/c² ≈ 1

Esta aproximación tendrá como consecuencia que el factor γ no aparecerá en nuestros resultados finales.

Trabajaremos a continuación sobre el primer término de la primera ecuación geodésica, con la notación:



Tenemos entonces, usando las aproximaciones ya señaladas:



Puesto que estamos considerando partículas materiales clásicas moviéndose a velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz, tenemos entonces que:

Δt = γΔτ ≈ Δτ

De este modo, tenemos lo siguiente:



Es así como la ecuación geodésica para la primera coordenada (la coordenada temporal) puede ser escrita como la siguiente aproximación relativista a la mecánica clásica:


Esto nos requiere calcular el símbolo de Christoffel Γ111, lo cual se puede hacer con la fórmula general que define a los símbolos de Christoffel de segundo género (obsérvese la permutación cíclica de los índices siguiendo el sentido de las manecillas del reloj de término a término dentro de los paréntesis)::



Puesto que la métrica g es diagonal, tanto [gαβ] como [gαβ] son diagonales, y los elementos diagonales de [gαβ] son los recíprocos de [gαβ]. De este modo, g tiene un valor diferente de cero únicamente para β = 1, de modo tal que siendo g11 = 1 + 2φ/c² la fórmula general para Γ111 se reduce simplemente a:


en donde O([φ/c²]²) agrupa otros términos en del orden cuadrático y mayores, los cuales consideraremos despreciables.

Tenemos ya la expresión que corresponde al símbolo de Christoffel Γ111 para la métrica. Al nivel de orden más bajo en la velocidad y en φ, podemos reemplazar a (p1)² en la expresión:


por m0²c² recordando la igualdad que vimos en nuestra introducción de los 4-vectores:

(E/c)² - p² = m0²c²

así como por el valor que acabamos de obtener para Γ111 llegando entonces a lo siguiente:



dp1/dτ = - m0 ∂φ/dτ

Esto nos dice que para un campo gravitacional φ que no está variando con el tiempo, o sea:

∂φ/dτ = 0

se tiene entonces que dp1/dτ = 0, o sea que p1 tampoco varía con el tiempo. Puesto que p1 es la componente temporal del vector 4-momentum que representa la energía de la partícula, esto significa que la energía se conserva a menos de que el campo gravitacional esté variando con el tiempo. Este es el mismo resultado que se obtiene en la mecánica clásica Newtoniana, la conservación de la energía en un campo gravitacional.

En la física clásica, un asunto de la mayor prioridad lo constituyen las cantidades que son conservadas, tales como la masa, la energía, la cantidad de momentum angular en un movimiento circular y la carga eléctrica de un cuerpo. Del mismo modo, en la Teoría de la Relatividad obviamente estamos interesados en el estudio de los cuerpos en movimiento, y ello incluye a las cantidades que se puedan conservar en el curso del movimiento de un cuerpo de un punto a otro ya sea en un espacio tri-dimensional (Newtoniano), en un 4-espacio relativista, o en un espacio N-dimensional general (lo cual es matemáticamente posible). En lenguaje sofisticado, usualmente nos referimos a tales cosas como isometrías, que son maneras de mover las cosas de modo tal que preserven su tamaño y su forma. Una manera de hacerlo, a lo largo de una ruta geodésica, es mediante el uso de los vectores Killing. Un ejemplo sencillo de esto lo tenemos si a la longitud geográfica cada punto de la costa de Africa le sumamos 30 grados, lo cual tiene como única consecuencia la rotación del continente alrededor del globo terráqueo (a lo largo del Ecuador) sin alterar su tamaño ni su forma. En cambio, si sumamos 30 grados a la latitud de cada punto, la forma del continente se distorsionaría de manera notable. El vector coordenada longitud es un vector Killing, mientras que el vector coordenada latitud no lo es. Como otro ejemplo de un campo vectorial Killing tenemos a un campo vectorial en un círculo que apunta en sentido contrario a las manecillas del reloj y que tiene la misma longitud en cada punto, puesto que al mover a cada punto del círculo a lo largo de dicho campo vectorial tal cosa tiene como único efecto la rotación del círculo sin alterar nada. Expresado en forma sencilla y más general, un campo vectorial Killing es simplemente un campo vectorial que preserva la métrica g. Cada campo vectorial Killing implica la existencia de una cantidad que se conserva a lo largo de una ruta geodésica. Otra forma (más geométrica) de verlo es como un campo vectorial sobre una hoja Riemanniana que preserva el tensor métrico. Formalmente, el campo vectorial de Wilhelm Karl Joseph Killing (conocido más comunmente como el campo vectorial de Killing) es simplemente un vector V = (Vα) para el cual si se satisface la siguiente ecuación a lo largo de una ruta geodésica:



entonces a lo largo de dicha geodésica tendremos una cantidad conservada pα tal que:

pαVα = constante

Como podemos verlo en el uso del semicolon en los sub-índices de la ecuación que define al campo vectorial Killing, la definición se basa totalmente en la definición de la derivada covariante. En virtud de que un vector Killing está definido siempre a lo largo de una ruta geodésica, recordando la definición que se dió de la derivada Lie en la entrada titulada “La derivada absoluta” no debe sorprendernos el hecho de que al vector de Killing se le pueda dar una definición matemática elegante y concisa como un campo vectorial V para el cual la derivada Lie de la métrica g con respecto a V se desvanece:



Un campo vectorial de Killing está determinado de manera única por un vector en cada punto y por su gradiente en dicho punto, o sea por todas las derivadas covariantes del campo de Killing en dicho punto.

En una región del espacio-tiempo en donde para fines prácticos hay una ausencia notoria de masa-energía, con el consecuente hecho de que todas las 16 componentes del tensor energía-tensión T = (Tμν) son iguales a cero, la ecuación tensorial básica de la Relatividad General:

G = 8πGT

adquiere la forma:

G = 0

en donde 0 es el tensor cero 0. Pero el tensor de curvatura de Einstein G es igual a:

G = R - ½gR

en donde R = (Rμν) es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de Ricci y g = (gμν) es el tensor métrico. Entonces:

R - ½gR = 0

o bien:

R = ½gR

Puesto que el escalar de Ricci R es un simple número, vemos que en el espacio vacío el tensor de Ricci es esencialmente equivalente al tensor métrico.

Es muy importante tener en cuenta que, aunque el escalar de Ricci sea un simple número, es un número que generalmente hablando dependerá del lugar específico en el espacio-tiempo curvo que esté bajo consideración. Así, mientras que para un punto específico (x1, x2, x3, x4) el escalar de Ricci poseerá el valor numérico a, en otro punto diferente (x’1, x’2, x’3, x’4) el escalar de Ricci podrá poseer otro valor numérico b. En efecto, el escalar de Ricci representa un campo escalar, un campo escalar que convive con el campo tensorial en el cual está situado el espacio-tiempo curvo que estamos analizando.

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