miércoles, 18 de marzo de 2009

28B: Los agujeros negros estáticos

Habiendo estudiado las maneras mediante las cuales se puede formar un agujero negro en alguna parte del Universo, lo cual como hemos visto dependerá substancialmente de la masa inicial de la estrella así como del hecho de que se forme estáticamente o a partir de una estrella en rotación, ha llegado el momento adecuado para intentar explicar la naturaleza de dichos objetos recurriendo a Relatividad General, y el punto de partida usual es la solución esférica encontrada por Karl Schwarzschild a las ecuaciones de campo de la Relatividad General:





Es común encontrar que en algunos textos los dos últimos términos:

[ r² dθ² + (r² sen²) (dφ)² ]

son simplificados de la manera siguiente:

[ r² dθ² + (r² sen²) (dφ)² ] = r² [dθ² + (sen²) (dφ)²] = r² dΩ²

en donde Ω es lo que se conoce como un ángulo sólido, un término que resultará familiar para quienes hayan tomado un curso de geometría esférica.

Conforme r se acerca al valor 2GM/c², el coeficiente de dt² (ignoraremos por el momento el valor de la constante absoluta c que no es indispensable para nuestro análisis) se acerca a cero, mientras que el coeficiente de dr² se va acercando al infinito. Por un buen tiempo, no se tuvo la certeza de que la singularidad “infinita” en el punto r = 2GM/c² conocido como el radio de Schwarzschild rs fuese una singularidad física real, tangible, que no pudiera ser atravesada por un observador cayendo hacia el agujero negro, o que simplemente fuese lo que suele llamarse una singularidad en la coordenada. Un ejemplo familiar de una singularidad en la coordenada es el que ocurre para el valor de r = 0 cuando estamos utilizando coordenadas polares (r, θ), con lo cual nos encontramos con una indeterminación matemática para la especificación de dicho punto. En este caso, basta con una transformación de coordenadas polares a coordenadas Cartesianas (rectangulares) para eliminar la singularidad. Otro ejemplo parecido lo encontramos cuando queremos llevar a cabo la proyección de la superficie de una esfera sobre un plano como ocurre con la proyección de Mercator:





Considérese la siguiente tentativa de llevar a cabo la proyección de la superficie de una esfera sobre un plano:





En este caso, no sólo φ = 0 y φ = son la misma línea (dándole la vuelta a la esfera a través de los polos), sino que inclusive las líneas θ = 0 y θ = π... ¡representan el mismo punto! En efecto, el polo norte de la esfera tiene coordenadas:

θ = 0

0 ≤ φ ≤ 2π

y aunque φ puede tomar cualquier valor para θ = 0, todos estos valores representan el mismo punto. Para un caso así, encontrar otro tipo de coordenadas que resuelva el problema no es un asunto fácil. A manera de ejemplo, si queremos intentar una proyección estereográfica de la superficie de una esfera sobre un plano de coordenadas polares, el cual tendría la desventaja de ser infinitamente grande:





nos encontraremos con una nueva singularidad, situada precisamente en el polo en el cual ambas superficies están en contacto.

El fallo radica, pues, no en las ecuaciones físicas de la teoría sino en el tipo de coordenadas que se están utilizando. Por lo general, una singularidad en una de las coordenadas indica un problema matemático, no un problema físico real, y el problema matemático puede ser eliminado por una transformación de las coordenadas.

La solución original encontrada por Schwarzschild solo describe lo que ocurre en la región exterior del horizonte de evento. Pero no nos dice nada sobre lo que ocurre en el interior. Aunque desde un principio se sospechó que la singularidad en el punto 2GM/c² era una singularidad de la coordenada y no una singularidad física real, esto no se pudo demostrar sino hasta fines de la década de los cincuentas cuando se encontró un sistema de coordenadas capaz de remover la singularidad matemática (de lo cual se hablará posteriormente), tras lo cual se fueron descubriendo otros tipos de coordenadas capaces también de remover la singularidad matemática.

Si en la métrica de Schwarzschild consideramos a un observador situado en el “infinito”, podemos ver que conforme r va tomando valores grandes el coeficiente de dt² va tomando el valor de -1. Por otro lado, las coordenadas espaciales r, θ y φ para un observador en reposo permanecen constantes con el transcurso del tiempo, de modo tal que los diferenciales dr, dθ y dφ toman el valor de cero para un observador en reposo situado a una buena distancia del cuerpo. Con esto, el tiempo propio de un observador en reposo situado en el infinito se puede considerar aproximadamente igual a la coordenada tiempo de la métrica Schwarzschild, y cualquier afirmación que se haga concerniente a t o dt también será aplicable para el tiempo que está midiendo en su reloj el observador situado en reposo en la lejanía.

Haciendo ds² = 0 en la métrica de Schwarzschild, podemos estudiar el comportamiento de un rayo de luz cerca del horizonte de evento, tal y como será visto por un observador en reposo viendo lo que sucede desde el “infinito”. Podemos simplificar nuestro análisis si consideramos que el rayo viaja a lo largo de una geodésica nula (de tipo luminoso) radial, ya sea directamente hacia el agujero negro y alejándose directamente de él, con lo cual las coordenadas θ y φ del rayo de luz no cambiarán. Con esto podemos eliminar los últimos dos términos en la métrica de Schwarzschild quedándonos únicamente con la siguiente expresión:



Tomando el valor de c = 1 para simplificar nuestro análisis, obtenemos lo siguiente tras la extracción de la raíz cuadrada:



Podemos ver claramente que conforme r se aproxima a 2GM, dt/dr empieza a crecer aumentando hasta el infinito. Este es un efecto de dilatación del tiempo. Cualquier mensaje enviado por medio de una señal luminosa desde las afueras del horizonte de evento a un observador en reposo situado lejos del agujero negro será “estirado”. Entre más cerca se encuentre el emisor de la señal luminosa al radio que define al horizonte de evento (rs = 2GM/c²) tanto más “estirado” le llegará el mensaje al observador situado en la lejanía. La frecuencia de una señal luminosa repetitiva experimentará un corrimiento al rojo gravitacional llevándole una cantidad menor de información por unidad de tiempo (medido por el reloj del observador-receptor situado en la lejanía). Cuando el emisor se encuentra muy cercano al horizonte de evento, el corrimiento al rojo gravitacional es tan grande que la señal luminosa enviada hacia afuera para fines prácticos desaparece. Por esta razón el horizonte de evento es llamado algunas veces el horizonte de corrimiento al rojo infinito. Este es en esencia el mismo argumento esgrimido a partir de los tiempos del mismo Karl Schwarzschild para identificar al horizonte de evento como una superficie de la cual a la luz no le sería posible escapar.

Como se afirmó al principio de esta entrada, las coordenadas esféricas simples utilizadas por Schwarzschild para definir la métrica en el exterior del agujero negro resultaron insuficientes para manejar el interior a causa de la singularidad matemática en el punto r = 2GM/c². Este problema fue solventado con la invención de un nuevo conjunto de coordenadas, las coordenadas Kruskal-Szkeres, inventadas por Martin Kruskal y George Szkeres, las cuales permiten la descripción matemática de lo que ocurre en un agujero negro tanto fuera del horizonte de evento como dentro del horizonte de evento. Estas coordenadas se obtienen partiendo de las coordenadas de Schwarzschild (t,r,θ,φ) y la métrica de Schwarzschild:

ds² = (1 - 2GM/rc²)(cdt)² - (1 - 2GM/rc²) -1(dr)² - (r²)(dθ)²

- (r² sen² θ)(dφ)²

reemplazando la variable t y la variable r por las siguientes coordenadas T y R para la región exterior del agujero negro:



y reemplazando la variable t y la variable r por las siguientes coordenadas T y R para la región interior del agujero negro:



siendo la métrica Kruskal-Szkeres la siguiente:



Haciendo un ligero cambio de variables, tenemos la representación esquemática usual con la cual se tiene un diagrama conocido como el diagrama Kruskal-Szkeres:





La diferencia entre las coordenadas que corresponden a la métrica de Schwarzschild y las coordenadas Kruskal-Szkeres se hace manifiesta al estudiar el comportamiento de los conos de luz típicos del diagrama espacio-tiempo de Minkowski conforme un observador se va acercando al horizonte de evento. Mientras que en las coordenadas de Schwarzschild los conos de luz se van cerrando cerca de la superficie que corresponde al horizonte de evento:





al usar las coordenadas Kruskal-Szkeres los conos de luz se van inclinando pero sin cerrarse, reflejando un comportamiento más creíble:





Además de las coordenadas Kruskal-Szkeres creadas para investigar lo que ocurre en el interior de un agujero negro, hay otras coordenadas tales como las coordenadas Eddington-Finkelstein adaptadas para el estudio de geodésicas radiales del tipo luminoso (tipo nulo), o sea para el estudio de lo que ocurre con fotones moviéndose directamente hacia o alejándose de la masa central del agujero negro, para las cuales definimos una nueva coordenada designada como la coordenada tortuga, definida de la siguiente manera (en los textos que tratan sobre estas coordenadas se acostumbra igualar la velocidad de la luz a la unidad como es típico cuando se utilizan unidades geometrizadas):



Obsérvese que esta coordenada va tomando el valor de -∞ conforme la distancia radial se va acercando al radio de Schwarzschild. Ahora definimos las coordenadas de entrada nula y salida nula de la siguiente manera:

v = t + r*

u = t - r*

Las coordenadas de entrada nula están especificadas por v = constante mientras que las coordenadas de salida nula están especificadas por u = constante.

De este modo, las coordenadas de entrada Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando t con v, y al hacerlo la métrica de entrada Eddington-Finkelstein está dada por:



Del mismo modo, las las coordenadas de salida Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando t con u, y al hacerlo la métrica de salida Eddington-Finkelstein está dada por:



Para investigar lo que ocurre sobre un objeto que va encaminado hacia un agujero negro, además del uso de las coordenadas Eddington-Finkelstein y las coordenadas Kruskal-Szkeres, Edwin Taylor y John Archibald Wheeler propusieron en su libro Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity publicado en el año 2000 un marco de referencia bautizado con el nombre de marco lluvia (rain frame), un marco de referencia que está en caída libre hacia un agujero negro cuya simplicidad lo hace útil para el aprendizaje y para cuya definición se utilizan por lo menos dos partículas de prueba enviadas desde el infinito con una velocidad inicial de cero directamente hacia el agujero negro a lo largo de una dirección radial, ambas partículas situadas a la misma distancia radial del centro del agujero negro y con sus relojes sincronizados al mismo tiempo, cayendo hacia el agujero negro como si fuesen gotas de lluvia (de allí el nombre del marco de referencia). Una de las ideas principales detrás de estas coordenadas es que al utilizar dos “gotas de lluvia” (no necesariamente objetos líquidos) como partículas de prueba, midiendo separaciones tales como la separación AA’ y la separación BB’ un observador en caída libre hacia el agujero negro puede deducir dentro de su marco de referencia (su marco lluvia) la coordenada r. El mismo método puede ser utilizado inclusive si el observador ha penetrado dentro del horizonte de evento, midiendo la distancia CC’:





Podemos imaginarnos en las afueras del horizonte de evento y en torno a un agujero negro varias esferas imaginarias concéntricas que llamaremos “cascos” mantenidos estacionarios de alguna manera sin caer hacia el agujero negro. Un observador externo se puede imaginar situado sobre la superficie de uno de estos cascos adyacentes. En una región suficientemente pequeña de cualquiera de estos cascos podemos considerar al espacio-tiempo como plano, Lorentziano, en el cual se pueden aplicar los principios de la Teoría Especial de la Relatividad. Dos o más partículas de prueba situadas en el mismo “casco” estarán ambas a la misma distancia radial del centro del agujero negro, y tendrán sincronizados sus relojes a la misma hora, los cuales permanecerán sincronizados todo el tiempo inclusive al atravesar las partículas el horizonte de evento y al encaminarse hacia la singularidad por estar situadas ambas a la misma distancia del centro del agujero negro.

Puesto que la coordenada del tiempo es especialmente problemática dentro de las coordenadas de Schwarzschild para analizar movimientos a través y dentro del horizonte de evento, la reemplazamos por el tiempo propio de la partícula de prueba, el tiempo que va midiendo un reloj situado a un lado de la partícula que está en caída libre. Si consideramos el tiempo registrado por un mismo reloj en el mismo lugar en uno de los cascos en donde tengamos dr = 0, dθ = 0 y dφ = 0, entonces el tiempo que registra el reloj es el tiempo propio Lorentziano. Reescribiendo la métrica de Schwarzschild utilizando el tiempo propio en lugar de la distancia del intervalo relativista ds (emplearemos unidades geometrizadas con las cuales la constante de gravitación universal y la velocidad de la luz c ambas toman el valor de 1):



tenemos entonces para el tiempo propio de este marco derivado de la métrica de Schwarzschild lo siguiente:



Tomando la raíz cuadrada obtenemos una expresión para dts:



Del mismo modo podemos obtener una expresión para la distancia drs en la coordenada r considerando dos eventos simultáneos que tienen lugar en la misma dirección radial de dos cascos esféricos separados una distancia infinitesimal dr, la cual resulta ser:



Localmente, con las coordenadas ts y rs de un punto en un casco, la métrica para un marco de referencia en un casco se puede expresar como:

dτ² = dts² - drs² - r² dθ² - r² sin² θ dφ²

Si definimos al marco lluvia como un marco de referencia que está en caída libre hacia un agujero negro, la coordenada tiempo del marco lluvia se puede obtener mediante la aplicación de las ecuaciones de transformación de Lorentz a las coordenadas del casco en las afueras del horizonte de evento:

dtr = γ(dts - β drs)

drr = γ(drs - β dts)

en donde γ = 1 / √1 - β² siendo β = - √2M/r la velocidad del marco de lluvia con respecto al casco. De este modo, podemos obtener las coordenadas lluvia tomando en consideración la curvatura del espacio-tiempo entre las coordenadas de un casco y las coordenadas Schwarzschild debido a la cercanía del agujero negro (se han omitido aquí varios pasos intermedios):

dtr = dt - βγ² dr

drr = γ² dr - β dt

siendo la métrica lluvia la siguiente:

dτ² = dtr² - drr² - r² dθ² - r² sin² θ dφ²

En coordenadas Schwarzschild, la velocidad de una gota de lluvia, definida la gota de lluvia como un objeto en caída libre cayendo radialmente hacia un agujero negro desde el infinito partiendo de una velocidad de cero, medida por un observador situado en uno de los cascos atravesados por la gota de lluvia, y definido el marco lluvia como el marco de referencia en el cual la gota de lluvia se encuentra en reposo, es la siguiente:



Existen disponibles gratuitamente en Internet programas de simulación que nos permiten analizar visualmente lo que ocurre en un marco de referencia como el marco lluvia. Uno de ellos es el programa ejecutable elaborado por el proyecto Open Source Physics, del cual se dan algunos detalles en uno de los apéndices titulado “Programas de simulación computarizada”, el cual se recomienda obtener a la mayor brevedad posible para poder experimentar con las métricas y los marcos de referencia utilizados dentro de la Relatividad General.

Hablaremos ahora de la suerte que encontraría una persona que cayese en un agujero negro encaminándose directamente hacia la singularidad del agujero negro, la cual sería terrible, en virtud de lo que se conoce como las fuerzas de marea (tidal forces). Si bien en la Tierra se requiere escalar a grandes alturas sobre la superficie para poder encontrar disminuciones apreciables en la aceleración g provocada por la gravedad de la Tierra como las predichas clásicamente por la mecánica Newtoniana:





al ir en camino hacia un hoyo negro estas diferencias se vuelven perceptibles primero en cuestión de unos cuantos metros y luego en cuestión de centímetros y milímetros continuando así el proceso hasta el infinito. A manera de ejemplo, la diferencia gravitacional evaluada sobre una longitud (medida como una diferencia de alturas) de tan sólo dos metros estando situados a unos 5 mil kilómetros de un agujero negro que posea una masa-energía equivalente a cincuenta masas solares es (usando un valor de 1.99·1030 kilogramos para la masa del Sol) :



= (6.63·1021) (3.2·10-20) = 212 metros/seg²

Comparada con la gravedad sobre la superficie de la Tierra de g = 9.8 m/seg², ésta sería una fuerza de estiramiento más de veinte veces mayor que la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra. Y conforme un viajero se va aproximando más y más al centro del agujero negro, esta fuerza va aumentando considerablemente. Como consecuencia de que una persona entre de pies a un agujero negro en camino hacia la singularidad matemática que está en el centro del mismo, será estirada de pies a cabeza, transformada en un hilo delgado hasta convertirse en la línea ideal de Euclides con un grosor de cero y estirada hasta volverse infinitamente larga:





Cuando el agujero negro no es eléctricamente neutro, cuando tiene una carga eléctrica, la solución de Schwarzschild deja de ser válida. En este caso, en la solución a las ecuaciones de campo encontramos que tenemos no uno sino dos horizontes separados. Uno de ellos es el horizonte de evento usual, y el otro es un horizonte interno al horizonte de evento, llamado horizonte de Cauchy. Definiendo al radio de Schwarzschild de la manera usual como rs = 2GM/c², la métrica que corresponde al campo gravitacional de un cuerpo simétricamente esférico de masa M con una carga eléctrica neta Q (positiva ó negativa), descubierta por Hans Reissner y Gunnar Nordström entre 1916 y 1918, es la siguiente:



siendo Ω el ángulo sólido y siendo rQ una escala de longitud que corresponde a la carga eléctrica del cuerpo, la cual está dada por la relación:



PROBLEMA
: ¿A qué se reduce la métrica Reissner-Nordström para el caso en el cual el agujero negro está desprovisto de carga eléctrica?

En una situación así, tenemos Q = 0 con lo cual rQ = 0, y la métrica Reissner-Nordström se reduce a la métrica de Schwarzschild.

En el límite cuando la carga eléctrica del agujero negro tiende a cero, podemos recuperar también la teoría clásica Newtoniana de la gravedad conforme el cociente rs/r se aproxima a cero, ya que en tal caso la métrica ds² se convierte en la métrica de Lorentz usual para la Teoría Especial de la Relatividad.

En la práctica el cociente rs/r es casi siempre muy pequeño. Para la Tierra su radio Schwarzschild es de aproximadamente nueve milímetros (o tres octavos de pulgada), lo cual es insignificante en comparación con el radio de la Tierra, de modo tal que las correcciones relativistas a la gravedad Newtoniana son de únicamente una parte en mil millones. El único lugar en donde el cociente rs/r adquiere valores significativos es en las estrellas de neutrones y en los agujeros negros.

Como ya se mencionó, cuando el agujero negro adquiere una carga eléctrica el horizonte de evento del agujero negro Schwarzschild se contrae y aparece afuera del mismo otro horizonte, lo cual, lo cual tenemos ilustrado en el siguiente dibujo:





Una consecuencia de la existencia de dos horizontes es que después del cambio en el espacio-tiempo que se experimenta al atravesar el primer horizonte se vuelve a experimentar otro cambio en el espacio-tiempo al cruzar el segundo horizonte con lo cual el espacio-tiempo vuelve a tomar sus características originales (exceptuando a la singularidad), de modo tal que al entrar en un agujero negro estático cargado eléctricamente es posible evadir la singularidad.

Los dos horizontes del agujero negro Reissner-Nordström pueden ser obtenidos igualando a cero la parte temporal de la métrica, o sea analizando la ecuación:



De aquí podemos obtener la siguiente ecuación cuadrática:



La condición rs = 2rQ es un caso en el cual los dos horizontes se confunden, produciéndose un estado degenerado, resultando en lo que se conoce como un agujero negro extremo. Por otro lado, si la carga eléctrica del agujero negro es lo suficientemente elevada, esto conduciría a la preocupante condición matemática en la cual rs se vuelve menor que 2rQ, produciéndonos un término imaginario a causa del valor negativo dentro del radical. Si a esto pudiera dársele una interpretación física, esto nos describiría una situación en la cual los dos horizontes desaparecen, dejando abierta (aparentemente) la posibilidad de que la singularidad en el centro del agujero negro quede expuesta a la vista de un observador externo, lo cual sería un acontecimiento significativo para el Universo entero porque el espacio-tiempo del Universo entraría en contacto directo con un punto en el cual el mismo espacio-tiempo ha dejado de existir, un suceso equiparable tan sólo con la unión de materia con antimateria. Sin embargo, en la opinión de muchos astrofísicos tal cosa no puede ocurrir en virtud de un principio conocido como la hipótesis del censor cósmico conjeturada y propuesta de manera informal por vez primera por Roger Penrose en 1969, una especie de “censura” con la cual el Universo “púdicamente” -como si se tratase de un padre ocultando la desnudez de su hija ante los ojos del mundo- impide que la singularidad del agujero negro pueda quedar expuesta de alguna manera, y en base a lo cual se supone que al crearse un agujero negro tras un colapso gravitacional se crea primero el horizonte de evento -que nos impide ver todo lo que se forme dentro del mismo al no poder escapar la luz del interior- y tras esto -después- se crea la singularidad. Más que un asunto de moralismo cósmico, esta censura vendría siendo una forma en la cual el Universo nos protege de lo que pueda ocurrir con la inherente impredictibilidad de las singularidades al ponerse en contacto con el Universo en virtud de que el comportamiento físico de las singularidades nos es desconocido por completo, y si las singularidades pudiesen ser observadas directamente desde el resto del espacio-tiempo, si hubiese singularidades desnudas, esto posiblemente nos conduciría a una pérdida del determinismo científico porque es imposible predecir el comportamiento del espacio-tiempo en el futuro causal de una singularidad, con lo cual la física perdería su capacidad predictiva al no poder basarse ya en el principio de causa y efecto.

De cualquier manera, es poco probable (aunque ciertamente posible) que un agujero negro del tipo Reissner-Nordstrøm pueda existir, en virtud de que para producir un agujero que posea una carga eléctrica el agujer negro se tiene que formar a partir de una estrella que también posea una carga eléctrica neta (positiva o negativa), lo cual no es muy probable que suceda ya que por lo general tras todos los procesos atómicos y sub-atómicos de compactación que están ocurriendo en el interior de las estrellas, con los cuales las cargas eléctricas positivas y negativas terminan siendo neutralizadas al irse fusionando las unas con las otras, consideradas las estrellas como un todo terminarían siendo eléctricamente neutras. Sin embargo, esto no excluye la posibilidad de que un cuerpo con una carga eléctrica neta (positiva ó negativa), sea devorado por el agujero negro, con lo cual la carga eléctrica pase a formar parte directamente del agujero negro.

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