miércoles, 18 de marzo de 2009

A4: Relatividad General: Manuscritos originales

Se recomienda en la lectura de esta entrada el llevar a cabo la ampliación de cada fotografía para poder ver con mayor claridad las notas manuscritas que aparecen en el cuaderno de apuntes de Albert Einstein, su cuaderno de apuntes de Zurich que fue descubierto entre sus pertenencias cuando falleció en 1955.

En la entrada “El germen de una idea” están expuestas algunas consideraciones con las cuales una mente inquisitiva puede ir sospechando que la relatividad y la gravedad no son cosas independientes la una de la otra, que existe una conexión íntima entre ambas que debe ser investigada a fondo. Pero una cosa es considerar el aspecto cualitativo de una idea que va tomando forma, y otra cosa es expresar dicha idea matemáticamente. Una investigación sobre cómo el concepto de la Relatividad General fue tomando forma matemáticamente puede resultar muy instructivo porque nos puede clarificar la manera en la que las herramientas existentes se fueron incorporando a la construcción de la nueva teoría.

El Profesor John D. Norton, del Centro para la Filosofía de la Ciencia del Departamento de Historia y Filosofía de la Ciencia de la Universidad de Pittsburgh nos comenta lo siguiente: “En el más de medio siglo del trabajo de Einstein en la ciencia, un descubrimiento destaca sobre todos los demás como su más grande triunfo. Es su teoría general de la relatividad. En ella, Einstein encontró una nueva manera de pensar de la gravedad que jala a las manzanas de sus árboles y que mantiene a la Luna en órbita alrededor de la Tierra. No hay fuerzas jalando sobre ellas, notó. Están simplemente respondiendo a la curvatura en la fábrica geométrica del espacio y el tiempo. El descubrimiento de esta teoría es de alguna manera algo más que mera ciencia. No se trata del ajuste de una fórmula a un conjunto de datos o del sucumbir al peso de evidencia incontestable. La relatividad general fue un triunfo de imaginación creadora. A través de la misma, Einstein encontró la frontera de la ciencia y el arte. Allí escribió ecuaciones enlazando el espacio, el tiempo, la materia y la gravedad de manera tan bella como los sonetos de Shakespeare, pero escrito en el lenguaje universal de las matemáticas. La evidencia que favorece a la relatividad general no es tan fuerte o tan detallada como la que habla a nombre de la mecánica cuántica. Sin embargo favorecemos a la relatividad general simplemente porque ningún concepto tan hermoso debería estar equivocado. Y sobrevive porque ningún teórico en las muchas décadas desde 1915 ha sido lo suficientemente imaginativo para encontrar una teoría que sea mejor que la relatividad general. Cada vez que se concibe una nueva prueba gana la teoría de Einstein”.

Dos años después de la publicación de su trabajo en el cual develó al mundo su Teoría Especial de la Relatividad en 1905, Einstein empezó a trabajar sobre algo que había quedado pendiente, el asunto de los marcos de referencia acelerados que no era cubierto con el estudio relativista de los marcos de referencia limitados a moverse a velocidad constante el uno con respecto al otro. Esta búsqueda le consumió ocho años, de 1907 a 1915, en la que algunas temporadas fueron períodos de calma y otras fueron períodos de actividad intensa. Se considera que la transición definitiva hacia la Relatividad General ocurrió entre el verano de 1912, cuando Einstein se movió de Praga a Zurich, y los inicios de 1913. Si pudiésemos escoger un tiempo en el cual pudiéramos ver a Einstein trabajando en su nueva teoría de Relatividad General, sería este período de tiempo, el cual quedó documentado en su cuaderno de apuntes de Zurich. Es sobre este cuaderno de apuntes donde enfocaremos nuestra atención, porque es aquí en donde podemos ver el desarrollo de la Relatividad General como un concepto matemátco y no simplemente como un concepto filosófico.

El cuaderno de apuntes de Einstein tiene una característica curiosa: después de haber dado entrada a una serie de apuntes empezando desde la primera página, y de haber consumido varias docenas de páginas en dichos apuntes, súbitamente Einstein le da la vuelta a su cuaderno de apuntes y comienza a meter entradas empezando desde la última página yéndose hacia el interior del cuaderno, hasta que se le acaba el espacio cuando los contenidos finales de lo que pudiéramos llamar la “segunda parte” se encuentran con los contenidos finales de lo que pudiéramos llamar la “primera parte”.

En la primera página del cuaderno de apuntes en donde encontramos material formal podemos ver un resumen de los elementos que incorporan ya la visión geométrica del espacio-tiempo de Minkowski, el aspecto cuatri-dimensional a la relatividad y la electrodinámica empezando con las cuatro coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, ict) = (x1, x2, x3, x4) y partiendo de las mismas hacia escalares, 4-vectores y las operaciones matemáticas permisibles sobre lo mismo.





El desarrollo de los conceptos continúa en una forma parecida a lo largo de las siguientes 13 páginas, después de lo cual dá un giro dramático:





en el cual sin aviso anticipado de la transición encontramos una noción fundamental de la Relatividad General, la noción del elemento de línea escrito en el tope de la página:





Los coeficientes Gμν nos permiten calcular el intervalo relativista entre dos eventos separados por diferencias infinitesimales de coordenadas dxμ. Si estos coeficientes representan intervalos espacio-tiempo no cubiertos por una geometría plana (Euclideana), lo que tenemos aquí es la inclusión de efectos gravitacionales sobre el espacio-tiempo en la forma considerada por la Teoría General de la Relatividad. Posiblemente esta es la primera ocasión en la cual Einstein escribió esta expresión para simbolizar un “elemento de línea” infinitesimal. Los coeficientes Gμν de lo que hoy conocemos como el tensor métrico son escritos con una letra G mayúscula. Unas cuantas páginas después Einstein reemplazó la letra G mayúscula substituyéndola por la letra g minúscula, lo cual se mantuvo como su notación convencional que es también la notación convencional usada hoy en día. Asentada esta idea, la tarea era determinar como ésta cantidad gμν, el tensor métrico, una cantidad que expresada en forma matricial posee 16 componentes, pudiera estar conectada con masas físicas, lo cual debería ser expresable en lo que llamamos “ecuaciones del campo gravitacional”, el equivalente relativista de la teoría Newtoniana de la gravedad. Aquí Einstein selecciona un Spezialfall, un caso especial, en el cual los coeficientes del tensor métrico se revierten a los valores característicos de la Teoría Especial de la Relatividad, exceptuando el componente G44 = c2. Tras esto, Einstein intenta aplicar la ecuación del campo gravitacional de su teoría de 1912 de campos estáticos gravitacionales. El análisis continúa en la siguiente página en donde se formula las preguntas propias de un principiante. La primera pregunta Ist dies invariant? (¿Es esto invariante?) la hace en relación con la divergencia de coordenadas del tensor métrico, y el cálculo efectuado de inmediato demuestra que no lo es.


En la página anterior así como en la siguiente podemos apreciar que un objeto primordial del análisis que se está llevando a cabo es el determinar cómo estas cantidades son transformadas bajo un cambio de coordenadas. En estas notas podemos ver que Einstein aún no hace uso de las técnicas del cálculo diferencial absoluto, hoy mejor conocido como el cálculo tensorial, de Ricci y Levi-Civita, y en vez de ello se apoya en métodos más viejos desarrollados por Beltrami para investigar qué cantidades invariantes pueden ser formadas a partir de una cantidad escalar φ.





El análisis continúa en las siguientes tres páginas en donde encontramos una de las páginas más fascinantes:





En este análisis Einstein encuentra apoyo para varias de sus ideas en la física clásica, la misma física que estaba siendo objeto de profundas modificaciones con la Teoría de la Relatividad. En la página Einstein deriva como un ejercicio ya conocido desde mucho tiempo atrás un resultado clásico: Si un cuerpo de masa m es libre para moverse inercialmente excepto que su movimiento esté restringido a llevarse a cabo en una superficie curva, ¿cuál es la curva trazada por el movimiento del cuerpo sobre dicha superficie? (Podemos imaginar al objeto totalmente cubierto de tinta con la cual va dejando un rastro de su trayectoria al recorrer la superficie curva.) De la física clásica el resultado viene siendo una geodésica de la superficie, una curva que representa la menor distancia posible, o bien “la curva más derecha posible”.





Esto esta ya muy cerca de la idea central detrás de la Teoría General de la Relatividad, la idea de que los cuerpos se mueven sobre una superficie cuatri-dimensional de un espacio-tiempo curvo siguiendo una ruta geodésica. En la física clásica tal y como fue desarrollada por Newton, una masa se mueve libremente en el espacio excepto que está restringida a moverse en una superficie bi-dimensional empotrada en un espacio tri-dimensional como lo tenemos arriba, mientras que en la Teoría General de la Relatividad una masa se mueve libremente en el espacio-tiempo al estar en caída libre de modo tal que la gravedad actúa sobre ella a través de la curvatura del espacio-tiempo. En la física clásica, la trayectoria espacial de un cuerpo es la geodésica de una superficie bi-dimensional, trazando la curva de menor longitud posible sobre dicha superficie, mientras que en la Teoría General de la Relatividad la trayectoria es una trayectoria espacio-tiempo, la cual es una geodésica del espacio-tiempo trazando una curva de intervalo espacio-tiempo extremo en el espacio-tiempo.

En las notas podemos ver cómo se lleva a cabo el análisis. La superficie es definida primero como un campo escalar f en el espacio, la cual es definida dándole un valor constante a f. Al no estarse moviendo el cuerpo a una velocidad constante siguiendo una trayectoria rectilínea, al no estar en un marco de referencia Lorentziano propio de la Teoría Especial de la Relatividad, entonces debe de estarse acelerando, y la ecuación de movimiento del cuerpo trasladándose sobre dicha superficie está determinada por el vector aceleración del cuerpo que expresado en sus componentes espaciales es igual a (d2x/dt2, d2y/dt2, d2z/dt2), la cual es proporcional a la fuerza de reacción sobre dicha superficie y la cual es ortogonal (formando ángulos rectos) con respecto a dicha superficie, siendo proporcional al gradiente matemático de f, o sea a (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z), lo cual está resumido brevemente en el siguiente apunte:





Inmediatamente después de este apunte encontramos una derivación recurriendo al cálculo de variaciones. Si una masa puntual moviéndose sobre una superficie obedece estas ecuaciones de movimiento, entonces la longitud espacial de la trayectoria trazada sobre dicha superficie, ds, debe tener un valor extremo (el cual puede ser un máximo o un mínimo). Los cálculos continúan hasta que llegamos a una página que se junta con lo que había sido puesto desde el final del cuaderno de notas procediendo hacia el interior:





Por la manera en la cual fueron puestos los apuntos, aquí se vuelve necesario voltear el cuaderno de apuntes comenzando desde el otro lado, en donde encontramos una serie de páginas con computaciones llevadas a cabo sobre la física estadística térmica de la radiación del calor (la radiación del cuerpo negro), siendo la primera página la siguiente:





Al principio de la página podemos ver escrita la fórmula de Planck para la densidad de energía de la radiación térmica:



Después de nueve páginas como la anterior, Einstein continúa con sus apuntes empezándolos con un nuevo encabezado, titulado “Gravitación”, en donde Einstein entra de lleno al núcleo matemático de su Teoría General de la Relatividad alcanzado un avance considerable:





En esta página Einstein monta sus ecuaciones para la conservación de la energía-momentum para la materia continua en la Teoría de la Relatividad. Empieza con la ecuación de movimiento para una masa puntual, la ecuación geodésica, escrita en la forma de una ecuación Euler-Lagrange:





Einstein aplica lo anterior a una nube de partículas de polvo (sin interacción entre ellas) en caída libre para obtener lo que hoy reconocemos como la condición del desvanecimiento de la divergencia covariante del tensor energía-tensión Tμν:



Hasta este punto hay buena evidencia de que el conocimiento de Einstein sobre el cálculo tensorial no ha adquirido plenitud. Desconoce o no está seguro de que el operador que está actuando sobre Tμν es esta ecuación es un operador covariante. Para revisar el operador, reemplaza Tμν por el tensor gμν y entonces Einstein checa si el resultado es cero (0) o si es un 4-vector (0 oder Vierervektor), como hoy sabemos que debe serlo (cero) si el operador es covariante. El resultado es cero y Einstein se dá por satisfecho escribiendo Stimmt que significa “correcto”. Al llevar a cabo este procedimiento, Einstein recurriendo no a argumentaciones matemáticas sino a argumentaciones físicas acaba de obtener uno de los operadores covariantes básicos del cálculo tensorial.

Las siguientes páginas continúan con esfuerzos cada vez más elaborados para obtener y definir cantidades invariantes a partir del tensor métrico, presumiblemente para poder obtener un conjunto covariantes de ecuaciones de campo gravitacional. Un método utilizado repetidamente para lograr tal cosa es a través del determinante del tensor métrico, como lo hace en la siguiente página:





En esta página Einstein identifica un “tensor gravitacional hipotético” (vermuticher Gravitationstensor), muy posiblemente un candidato para tensor gravitacional en las ecuaciones de campo; o puesto que es cuadrático en las primeras derivadas del tensor métrico, un candidato para el tensor energía-tensión Tμν al que tal vez está haciendo mención.

Hasta aquí están notoriamente ausentes las técnicas de Ricci y Levi-Civita para producir cantidades invariantes a partir de las derivadas del tensor métrico. No encontramos señales del tensor de curvatura de Riemann, un tensor de cuarto orden del cual sabemos que se pueden obtener las ecuaciones del campo gravitacional, el cual se repite que es un campo tensorial. Este vacío desaparece cuando unas cuantas páginas más adelante Einstein escribe al principio de la página la fórmula para el tensor de curvatura de Riemann utilizando la vieja notación del “símbolo de cuatro índices”, (ik, lm):





Sobre el uso de esta notacion matemática antigua para denotar al tensor de curvatura de Riemann, el relato anecdótico es que Einstein, quien no estaba familiarizado con los métodos del cálculo tensorial, aprendió por vez primera acerca de los mismos a través de su amigo el matemático Marcel Grossman, quien a su vez fue a la librería para encontrar las referencias a los métodos con los que se pudieran manejar sistemas arbitrarios de coordenadas. De acuerdo con dicha anécdota, tenemos una anotación puesta a un lado del tensor de Riemann que sugiere que fue Grossman el que le proporcionó la información sobre este tensor de curvatura a Einstein:



La nota dice “tensor de Grossman orden cuatro”.

De aquí en delante, Einstein procede en la forma moderna actual, llevando a cabo la contracción del tensor de Riemann de orden cuatro para obtener el tensor de Ricci de orden dos, el cual si ha de servirnos como un tensor gravitacional se debe reducir en un campo débil a la forma Newtoniana, se debe reducir al resultado clásico pre-relativista, lo cual requiere el desvanecimiento de tres de sus cuatro derivadas de segundo orden. En su primer fracaso en lograr tal objetivo, Einstein destaca esta condición para la forma del campo débil con el siguiente apunte:





usando las palabras Sollte verschwinden que significan “debería haberse desvanecido”.

El tratar de descubrir la manera en la cual pueda llevarse a cabo el desvanecimiento de los tres términos, las tres derivadas de segundo orden, con lo cual debemos poder obtener la forma Newtoniana para un campo débil, se convierte en un obstáculo para Einstein en las páginas que siguen.

Familiarizado ya con el tensor de curvatura de Riemann, lo que sigue a continuación son páginas y páginas de manipulación matemática laboriosa producidas por las investigaciones que Einstein está llevando a cabo, y en sus comentarios podemos ver su frustración de no poder ver claramente entre la montaña de símbolos que se van acumulando uno tras otro:





con su frase zu umstaendlich que significa “demasiado elaborado”.

Nada de lo anterior parece haber sido de ayuda alguna para obtener el límite clásico Newtoniano eliminando los tres términos no deseados del tensor de Ricci. Hoy manejamos este problema estipulando una restricción de los sistemas de coordenadas a aquellos sistemas en los cuales esperamos que aparezca el límite Newtoniano, lo cual tenemos que hacer de un modo o de otro ya que estamos partiendo de ecuaciones tensoriales generalmente covariantes y estamos tratando de obtener de las mismas ecuaciones generales unas ecuaciones de covariancia más restringida. Unas páginas después, Einstein parece haber captado la necesidad de hacer esto, parece estar consciente de las maniobras matemáticas requeridas para lograr obtener el límite Newtoniano. Esto lo vemos a partir de la siguiente página con el encabezado Nochmalige Berechnung des Ebenentensors que significa “Una vez más la computación del tensor de superficie” empezando nuevamente con la expresión para el tensor de Ricci:





Aquí Einstein hace ver claramente cuál es su objetivo. Una vez que lo logra, destaca que lo que falta es ya tan sólo (bleibt stehen) el término en el tensor para el límite Newtoniano.



Para lograrlo, Einstein estipula que su solución debe satisfacer la siguiente condición:



que hoy conocemos como la condición de coordenadas harmónicas, la cual es una condición utilizada para lograr obtener un subconjunto muy útil de coordenadas. Con esta condición, Einstein al fin logra obtener las ecuaciones clásicas en el límite Newtoniano, y satisfecho de haberlo logrado escribe lo siguiente en el borde inferior de la página:



que traducido significa “El resultado es seguro. Es válido para coordenadas que satisfacen la ecuación Δφ=0”. (Esta ecuación es una manera de expresar la condición harmónica.)

Habiendo obtenido este resultado a satisfacción suya (y nuestra), Einstein procede a investigar la conservación de la energía y el momentum para las ecuaciones de campo gravitacional resultantes para el caso de los campos débiles, con lo cual todo se va desarrollando a plenitud. En la página con la cual concluye estas investigaciones, Einstein considera el caso especial de los campos estáticos (Statischer Spezialfall, que significa “caso especial estático”.)





En esta página podemos ver una suposición que a la larga resultó equivocada, repetida en las publicaciones de Einstein posteriores a este período, suficiente para anular los esfuerzos para dar un tratamiento moderno a lo que ocurre en el límite clásico Newtoniano. Einstein supuso que usando coordenadas adecuadas en el campo débil en el cual debe destacar el límite clásico Newtoniano, únicamente debería de variar con las coordenadas uno de los diez componentes del tensor métrico, la componente g44=c2, y todas las componentes restantes deberían permanecer constantes:





Haya sido o no la causa del comentario puesto al final de la página, Einstein escribe Spezialfall wahrscheinlich unrichtig (“caso especial aparentemente incorrecto”), tras lo cual la condición harmónica deja de ser mencionada en el resto del cuaderno de apuntes.

Lo anterior muy posiblemente fue lo que motivó a Einstein a buscar nuevas maneras de obtener el tensor gravitacional, y demostrando su habilidad creciente en el manejo de las técnicas del cálculo tensorial en las siguientes páginas llevó a cabo una nueva derivación del tensor gravitacional:





Aquí en esta página Einstein escribe una representación reducida del tensor de Ricci anotándola como un “tensor gravitacional supuesto”:





Ha seleccionado este tensor como un tensor gravitacional puesto que puede demostrar sin mayores problemas que tiene una covariancia amplia y que se reduce al límite clásico Newtoniano al asumir una nueva condición:



Sin embargo, esta suposición no sobrevive la página. En la siguiente página Einstein encuentra otra manera de extraer el límite clásico Newtoniano del tensor de Riemann:





Aquí Einstein no intenta escribir una nueva condición que selecciona directamente un subconjunto de coordenadas. En lugar de ello, esto estipula que estamos en un conjunto restringido de coordenadas tal que cierta cantidad necesariamente debe poder transformarse en la manera en la cual se transforman los tensores (de acuerdo con la definición básica de los mismos):



De este modo, Einstein puede demostrar que una expresión con forma clásica Newtoniana derivada del tensor de Riemann es también un tensor bajo la condición que ha sido impuesta. Sin embargo, esta tercera manera de utilizar el tensor de curvatura de Riemann no sobrevive muchas páginas. En su papel Entwurf publicado a mediados de 1913 con la ayuda de su amigo Grossmann, Einstein obtiene y publica ecuaciones de campo gravitacionales de covariancia desconocida que no son derivadas del tensor de Riemann. En las siguientes páginas del cuaderno de apuntes encontramos un resumen de la derivación de dichas ecuaciones abarcando dos páginas opuestas, las cuales muestra un orden y una pulcritud no mostrada por las otras páginas del cuaderno de apuntes, sugiriendo que fueron transcritas cuidadosamente y con mucha meticulosidad de otra parte después de que ya se habían obtenido los resultados mostrados. Los símbolos inferiores 0 y + que vemos abajo en algunas de las ecuaciones son utilizados como un auxiliar en el registro de unos cálculos complicados en los cuales los términos son expandidos y simplificados mediante manipulación algebraica:







Una vez que se han escrito estas ecuaciones, el cuaderno de notas deja de tener entradas relevantes, marcando un período agitado e incómodo en la vida de Einstein que duraría dos años antes de regresar a la búsqueda exitosa de las ecuaciones generalizadas del campo gravitacional covariante a finales de 1915. Lo último en tener cabida en el cuaderno de apuntes de Einstein es una formulación general covariante de las ecuaciones electrodinámicas de Maxwell:





Sin embargo,esta formulación general covariante de las ecuaciones de electrodinámica de Maxwell no tiene nada que ver con los conceptos de la Teoría General de la Relatividad desarrollados previamente en el cuaderno de apuntes. La unificación de la gravitación con el electromagnetismo sería llevada a cabo poco después por los matemáticos Theodor Kaluza (en 1919) y Oskar Klein (en 1926) postulando la existencia de una quinta dimensión adicional a las cuatro dimensiones consideradas en la Teoría de la Relatividad.

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