miércoles, 18 de marzo de 2009

28F: Radiación gravitacional

De acuerdo con la teoría electromagnética clásica basada en las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell, la aceleración de cualquier partícula que posea una carga eléctrica producirá una radiación, ya sea que la aceleración se lleve a cabo con la partícula moviéndose en línea recta aumentando su velocidad o que la aceleración se lleve a cabo con la partícula manteniendo la magnitud de su velocidad constante pero cambiando continuamente la dirección de su movimiento (lo cual equivale también a una aceleración, en este caso de carácter vectorial). Podemos darnos una idea sobre cómo se produce esta radiación tomando una carga eléctrica e impartiéndole una aceleración brusca a partir de un momento t = 0, quitándole poco tiempo después la aceleración a la carga eléctrica.

Antes de imprimirle una aceleración a una carga eléctrica, podemos imaginarnos a las “líneas de fuerza” que usualmente asociamos con el campo eléctrico de la carga como emanando radialmente en forma simétrica del centro de la carga. Pero al imprimirle una aceleración brusca a la carga, estas “líneas de fuerza” que se extienden geométricamente hasta el infinito no pueden moverse a la par con la carga en virtud de que el “golpe aceleratorio” no puede ser transmitido sobre dichas líneas a una velocidad mayor que la velocidad de la luz de acuerdo con la Teoría Especial de la Relatividad. Tenemos entonces una “zona” en la cual la continuidad radial de las “líneas de fuerza ” parece haber sido distorsionada:


Alineación al centro


Al habérsele quitado la aceleración a la carga, y cerca de la misma, las “líneas de fuerza” retoman su aspecto simétrico radial dentro de lo que podríamos llamar una “zona de post-aceleración”, el mismo aspecto que tenían antes de que la carga fuese acelerada, fijando la “radialidad” que será emanada hacia afuera desde la carga en líneas rectas. Pero lejos de la carga, las líneas rectas del campo eléctrico corresponden a las que emanaban de la carga antes de ser acelerada. Tenemos entonces una zona que equivale a un “casco esférico” que irá creciendo radialmente hacia afuera alejándose de la carga:





La zona que va creciendo, la “zona de radiación”, es precisamente la portadora de la radiación electromagnética producida por la carga. Una carga eléctrica en reposo, e inclusive una carga eléctrica moviéndose a velocidad constante, no produce radiación electromagnética alguna. Se requiere impartirle una aceleración a la carga para que se pueda producir la radiación electromagnética. Esta radiación electromagnética, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, es portadora de cierta cantidad de energía, la cual no sale de la nada sino que tiene que ser suministrada en el proceso de aceleración de la carga, venciendo lo que pudiéramos llamar una especie de “inercia eléctrica”, esto es, la oposición de la carga a ser acelerada. Y esta energía de carácter electromagnético radiada hacia el exterior puede ser vista como una onda electromagnética, o puede ser vista como un espectro continuo de paquetes de energía, los fotones. Al acelerar una carga eléctrica, en efecto, se crean fotones.

Como ya se señaló, la radiación electromagnética emanada por una carga eléctrica acelerada se puede obtener manteniendo a una carga a la misma velocidad pero cambiándole su dirección continuamente. Este es precisamente el mecanismo mediante el cual se produce la radiación del tipo conocida como Bremsstrahlung que significa “radiación de frenado”, producida cuando un electrón (una carga eléctrica elemental negativa) pasa lo suficientemente cerca de un núcleo atómico (el cual contiene protones, cargas eléctricas elementales positivas) que por el efecto de la atracción eléctrica de cargas opuestas es desviado de su curso, emitiendo radiación electromagnética:





El tercer tipo de radiación electromagnética a causa de una aceleración ocurre cuando una carga eléctrica es frenada totalmente en su movimiento, lo cual equivale a una aceleración negativa, pero aceleración al fin y al cabo. Este es precisamente el mecanismo que utilizamos para producir los rayos-X en los hospitales, impactando electrones de alta energía (acelerados con una fuente de alto voltaje) en contra de una superficie sólida:





Un aspecto interesante en la radiación electromagnética obtenida a partir de una carga eléctrica acelerada es que no es posible determinar a partir de la misma si la carga eléctrica era una carga positiva o negativa. Esta información se pierde por completo al emanarse la energía en forma de fotones.

Podemos derivar a partir de las ecuaciones de Maxwell fórmulas específicas para la radiación electromagnética obtenida a partir de un mecanismo de aceleración, esto se puede consultar en cualquier buen texto de Electrodinámica Clásica (o inclusive en Internet).

La Relatividad General, estando basada e inspirada en la teoría del campo electromagnético de Maxwell, postulando también un campo gravitacional, nos lleva a sospechar de inmediato en la posibilidad de que una masa que sea acelerada pueda ser capaz de producir un efecto similar al que produce una carga eléctrica. Y así es, en efecto. A partir de sus ecuaciones para el campo gravitacional, en un trabajo publicado en 1918 en el cual utilizó lo que podemos llama relatividad general linearizada, Einstein demostró que cuando una masa es acelerada dicha masa tiene que dar origen a campos de gravedad que varían con el tiempo, alejándose de la masa a la velocidad de la luz como ondulaciones en el espacio-tiempo. Así como un objeto cargado eléctricamente genera ondas electromagnéticas en proporción a su carga y aceleración, del mismo modo se puede esperar que una masa en movimiento genere rizos gravitacionales (distorsiones geométricas en el entramado espacio-tiempo del Universo) en proporción a su masa y aceleración como lo muestra la siguiente figura en la cual tenemos a una masa acelerada que está atravesando una región de espacio-tiempo plano (Lorentziana):





Si una masa experimenta un cambio súbito, el rizo gravitacional resultante tomará la forma de un pulso breve, como el que se produce cuando arrojamos una piedra a un estanque de agua tranquilo. Pero si la masa está sujeta a un cambio periódico, repetitivo, los rizos gravitacionales se sostendrán como la onda continua portadora de una señal de televisión. Tendremos entonces lo que se conoce como ondas gravitacionales, o lo que es lo mismo, una radiación gravitacional. De cualquier manera, la amplitud (o altura) de la onda gravitacional irá disminuyendo conforme aumenta la distancia de la fuente. Un ejemplo de un caso en el cual podríamos tener una onda gravitacional repetitiva sería el siguiente en el cual tenemos a un planeta masivo en órbita en torno a otro planeta masivo:





En este caso, no se requiere llevar a cabo un análisis matemático detallado a partir de las ecuaciones de campo de la Relatividad General para darse cuenta de que la frecuencia de la onda gravitacional que está siendo emanada del sistema será la misma que la frecuencia de la órbita del planeta en torno al cuerpo central. Aquí podemos hacer una observación importante. Si toda onda de cualquier índole es portadora de información, portadora de energía, entonces esa energía tiene que salir necesariamente de algún lado. En este caso, la onda gravitacional sólo puede ser sostenida a expensas de una variación en la órbita del planeta que está girando, cayendo poco a poco en espiral hacia el astro central. En pocas palabras, las órbitas de los planetas en torno a una estrella no pueden ser eternas como lo supuso Newton. La Luna está cayendo hacia la Tierra así como todos los planetas están cayendo hacia el Sol. Afortunadamente, para nosotros, la cantidad de energía emanada a consecuencia de la radiación gravitacional es astronómicamente insignificante. Mucho antes de que se pueda detectar cambio alguno en las órbitas de los planetas del sistema solar, el Sol habrá dejado de brillar por completo. Podemos obtener una estimación muy cruda del tiempo que le toma a un sistema el perder su energía a causa de la radiación gravitacional con la siguiente fórmula (consúltese la página 981 del libro Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler):



en donde Torbita es el período orbital y Rs es el radio de Schwarzschild de la masa central. Tomando para el Sol un radio de Schwarzschild Rs igual a 3 kilómetros, en el caso de la Tierra tenemos un cociente R/Rs aproximadamente 5·107, y obtenemos un tiempo t igual a 1020 años, o sea:

100,000,000,000,000,000,000 años

por lo que la caída en espiral de la Tierra hacia el Sol o de la Luna hacia la Tierra a causa de la radiación gravitacional no son cosas que nos deban causar mucha preocupación. Para que la caída en espiral pueda ser detectable, se requiere de un sistema con un cuerpo o con un par de cuerpos extraordinariamente masivos, como lo es el caso del sistema binario púlsar Hulse-Taylor:





en donde se han detectado diferencias medibles que han confirmado la pérdida de energía gravitacional a causa de la radiación hacia el espacio exterior de ondas gravitacionales. De hecho, esta es considerada como la primera confirmación experimental, en base a mediciones astronómicas, del fenómeno relativista de radiación gravitacional.

El punto usual de partida para el estudio teórico de la radiación gravitacional, la Relatividad General linearizada, radica en un esquema de aproximación en el cual las contribuciones no-lineares a la métrica del espacio-tiempo son ignoradas, lo cual simplifica el estudio de muchos problemas. Esto se lleva a cabo considerando al tensor métrico g como la suma de una solución a las ecuaciones de Einstein, casi por lo general la métrica del espacio-tiempo plano de Lorentz (o de Minkowski, que es lo mismo) usualmente denotada como η, sumada a una perturbación al campo usualmente denotada como h:

g = η + h

La perturbación h es manejada con los métodos usuales de la teoría de la perturbación, que comprende métodos matemáticos que son utilizados para encontrar una solución aproximada a un problema que no puede ser resuelto exactamente, comenzando con la solución exacta a un problema parecido. En notación de componentes:

gμν = ημν + hμν

siendo hμν la desviación de la métrica g de la métrica del espacio-tiempo plano h. Puesto que tanto la métrica g como la métrica η del espacio-tiempo plano son simétricas, la relación anterior nos indica que la perturbación h también debe serlo.

Aunque el efecto es minúsculo, si la Relatividad General está en lo correcto entonces el Universo entero debería estar bañado en ondas gravitacionales. Sin embargo, el mismo Einstein jamás las tomó muy en serio, mirándolas como meros artefactos matemáticos, posibles en teoría pero nunca lo suficientemente intensas como para poder tener consecuencias medibles, un punto de vista compartido por muchos de sus contemporáneos como Sir Arthur Eddington que comentó en términos derogatorios: “Las ondas gravitacionales se propagan a la velocidad del pensamiento”.

Además de la confirmación que se pueda obtener por medios astronómicos acerca de la existencia de radiación gravitacional, se han llevado y se siguen llevando a cabo experimentos en laboratorios en la misma Tierra para poder detectar ondas gravitacionales que puedan ser emanadas de eventos cósmicos catastróficos tales como la colisión de dos agujeros negros, de lo cual tenemos como ejemplo la siguiente composición generada por una simulación de computadora que nos muestra la colisión de dos agujeros negros así como las ondas de choque que se espera que una colisión así produzca en la fábrica del espacio-tiempo del Universo:





Uno de tales laboratorios en Tierra, el más relevante, consta de dos estaciones situadas en ciudades diferentes de Estados Unidos, el LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) que tiene relativamente poco tiempo de haber sido puesto en operación:





No se pueden soslayar las enormes dificultades técnicas que se han tenido que enfrentar para poder construír laboratorios en la Tierra con instrumental que sea lo suficientemente preciso para poder detectar ondas gravitacionales generadas en el espacio exterior. Imaginemos que a varios miles de años-luz de la Tierra ocurre el equivalente de un tsunami cósmico. Al recorrer la onda de choque gravitacional generada por el cataclismo la enorme distancia que nos separa del evento hasta nosotros, su influencia sobre nuestro espacio-tiempo habrá disminuído a tal grado que conforme pase por la Tierra su influencia será tanta como ocasionar que una distancia entre la Tierra y su estrella más cercana, nuestro Sol, se altere momentáneamente por el grosor de un pelo humano. Un instrumento lo suficientemente sensible como para detectar tal cambio tiene que ser lo suficientemente sensible como para detectar un cambio en la distancia entre la Tierra y el Sol de la anchura de un átomo, aproximadamente la millonésima de un protón por metro. Estos son los obstáculos que tuvo que enfrentar el pionero en la detección de ondas gravitacionales en Tierra, Joseph Weber, cuyos instrumentos hoy en día asemejan crudos prototipos que jamás podrían haber logrado su objetivo. De su primer dispositivo terminado en 1965, un detector cilíndrico de aluminio de un metro de diámetro y 3.5 toneladas de peso alrededor del cual se hallaban una serie de cristales piezoeléctricos los cuales generaban un voltaje cuando la barra oscilaba de tamaño:





el propio Weber sostenía que el aparato era capaz de detectar deformaciones de tan sólo una parte de 1016, lo que supone la cienava parte del diámetro de un núcleo atómico, lo cual parece dudoso en nuestros tiempos. Aunque el consenso de la comunidad científica es que Joseph Weber parece haber fracasado en sus esfuerzos por detectar radiación gravitacional, no se le puede negar el mérito de haber sido el primero en intentarlo. Hoy en día, siguiendo en cierta forma el ejemplo de Albert Michelson que en sus esfuerzos por detectar el movimiento de la Tierra a través del hipotético éter se vió obligado a recurrir al fenómeno óptico de la interferometría porque sólo de esa manera podía obtener la precisión necesaria para llegar a una evaluación conclusiva, del mismo modo se está recurriendo en la actualidad a la interferometría apoyada con rayos láser y mediciones de tiempos llevadas a cabo con relojes atómicos.

Pese a las enormes dificultades técnicas que parece haber para poder detectar radiación gravitacional, debemos tomar en cuenta que existe un fenómeno físico de sobra conocido por los ingenieros en electrónica que se dedican al diseño, la construcción y el mantenimiento de equipos transmisores y receptores de radio y televisión: la resonancia. Es un hecho ineludible el que una gran variedad de sistemas físicos tienen lo que se llama una frecuencia natural de resonancia, y si se les hace “vibrar” a dicha frecuencia el comportamiento oscilatorio del sistema puede aumentar a tal grado que la cosa se puede salir fuera de control. Un ejemplo dramático de un sistema mecánico que empezó a vibrar a su frecuencia natural de resonancia hasta que el sistema terminó autodestruyéndose es el puente de Tacoma Narrows en los Estados Unidos:





Otro ejemplo más mundano de un objeto que tiene su propia frecuencia natural de vibración es la horquilla metálica que utilizan los médicos, la cual cuando es golpeada produce un sonido característico (un “tono” musical) propio de la frecuencia natural de vibración de la horquilla (el tono de la horquilla que se muestra a continuación es ajustable mediante los contrapesos montados sobre los ejes cuya posición se puede ajustar):




En el caso de las transmisoras de señales de radio y televisión, en su quintaesencia todas ellas operan sobre un mismo principio, un circuito tanque formado por un inductor eléctrico L y un capacitor eléctrico C, cuyos valores determinan automáticamente la frecuencia de transmisión de una señal que conocemos como canal (la cual es invariable y es asignada individualemente por cada gobierno a cada empresa) que a su vez es radiada a través de una antena para ser recibida por un receptor el cual debe ser sintonizado con un circuito tanque similar a la misma frecuencia de la señal que se quiere recibir:





En la figura de arriba, en donde se le ha agregado al circuito tanque del receptor una resistencia eléctrica R que representa las pérdidas de energía por disipación en el sistema además de un medidor de voltaje e para medir la amplitud del voltaje de la señal recibida, podemos ver que la frecuencia del circuito tanque del receptor puede ser variada mediante un capacitor (o condensador) eléctrico variable destacado por la flechita en el diagrama que nos indica que se trata de un componente eléctrico ajustable o sintonizable. Como ya se dijo, la frecuencia natural de resonancia f0 del circuito tanque depende única y exclusivamente de los valores de L y C, y está dada por la fórmula:

f0 = 1/2π√LC

Si a un circuito tanque que tiene conectados en serie un inductor L, un capacitor C y una resistencia R le aplicamos un voltaje alterno de frecuencia variable, al variar la frecuencia no tardaremos en toparnos con cierta frecuencia en la cual la corriente eléctrica media cuadrática Irms (root mean square o rms, una especie de promedio matemático para una corriente eléctrica alterna senoidal) del circuito adquiere un valor máximo precisamente en la frecuencia natural de resonancia del circuito ω0 = 1/√LC:





De las gráficas de las curvas de resonancia podemos ver que la amplitud de la corriente Irms (en este caso medida en milliamperes o mA) en el punto de resonancia ω0 depende única y exclusivamente del valor de la resistencia R, a menores valores de R tanto mayor será la amplitud. Y de hecho, teóricamente, si no hubiese resistencia eléctrica alguna en el circuito, la amplitud de la corriente Irms sería infinita en el punto de resonancia.

Veamos ahora el caso de dos masas M conectadas mediante un resorte, las cuales también podrían ser cargas eléctricas (en cuyo caso las representamos con la letra Q, siendo una de ellas positiva y la otra negativa):





Si se trata de dos cargas eléctricas Q y -Q, entonces al estar “vibrando” dichas cargas y puesto que se trata de un movimiento oscilatorio se generará una onda senoidal electromagnética que será radiada fuera del sistema, la cual tendrá la misma frecuencia que la frecuencia característica a la cual están oscilando las cargas acercándose y alejándose la una de la otra. Pero si se trata de dos masas M, entonces lo que será radiado será una onda gravitacional de una frecuencia muy específica.

Supóngase ahora que tenemos dos masas iguales M conectadas mediante un resorte y situadas a cierta distancia del par de masas oscilante. Entonces, en principio, este par de masas puede actuar como un receptor y amplificador de la onda gravitacional que está emanando del par de masas oscilante si la frecuencia natural del sistema receptor es la misma que la frecuencia de la onda gravitacional que está siendo recibida (en pocas palabras, si ambos sistemas están sintonizados a la misma frecuencia):





Si podemos hacer variar de alguna manera la frecuencia natural de resonancia del sistema receptor, entonces podemos tener una especie de “radio” con el que podemos “sintonizar” una una señal gravitacional de frecuencia muy específica descartando todas las demás frecuencias, al igual que como ocurre cuando sintonizamos un canal de televisión en donde todos los demás canales excepto el canal seleccionado son eliminados al caer fuera de la frecuencia a la cual tenemos sintonizado el televisor. De este modo, podemos “sintonizar” directamente hacia los efectos de una sola señal gravitacional descartando a todas las demás. Si a esto añadimos que en el espacio exterior tenemos en las estrellas púlsares fuentes de ondas gravitacionales de frecuencias repetitivas muy específicas como ocurre en el caso de los sistemas binarios en donde una de las estrellas generalmente posee una masa enorme (por ser una estrella de neutrones o un agujero negro):





entonces se nos abre un nuevo horizonte de posibilidades. A modo de ejemplo, la púlsar PSR J0437-4715 tiene un período preciso de rotación cada 5.75 milisegundos. Una vez detectada una púlsar y habiéndose medido su radiofrecuencia a través de un radiotelescopio, cabe esperar que la púlsar también esté emitiendo ondas gravitacionales de la misma frecuencia, capaces de ser detectadas y medidas por un “resonador” construído para tal efecto. Pero no sólo las púlsares emiten una señal de radiofrecuencia con una frecuencia natural de sistema muy específica. También se distinguen por ser los relojes más estables de todo el Universo, incluyendo los relojes atómicos de alta precisión hechos por el hombre, con una estabilidad de una parte en 1014 ó 1015. Esto nos permite intentar construír “resonadores” mecánicos o electromecánicos que sean susceptibles de ser sintonizados a la misma frecuencia a la que está “vibrando” el púlsar. Y al igual que una antena de radio, es susceptible orientar estos resonadores apuntándolos hacia la fuente a ser investigada, como si fuesen pequeñas antenas gravitacionales. No es necesario tomar muy en serio las ilustraciones dadas arriba mostrando un tranmisor gravitacional y un receptor gravitacional construídos con dos masas M conectadas con un resorte, porque aquí lo que importa no es tanto la forma en la que esté construído el sistema mecánico (o electromecánico) sino su frecuencia natural de resonancia o la capacidad de poder variar dicha frecuencia. Esto nos dá un amplio espectro de diseños posibles, cada uno con sus ventajas y con sus desventajas. Sin embargo, un detector-receptor gravitacional ubicado sobre la superficie de la Tierra debe contender con el problema de tener que evitar que una señal causada por radiación gravitacional pueda ser confundida con el ruido causado por las numerosas vibraciones de origen mecánico que se dan en la Tierra, desde las vibraciones causadas por el tráfico vehicular sobre el pavimento de las calles hasta las vibraciones de mayor envergadura de las cuales los detectores sísmicos pueden dar fé, lo cual requiere necesariamente de programas computacionales basados en matemáticas sofisticadas como la Transformada Rápida de Fourier basada en el algoritmo Cooley-Tukey FFT para extraer señales del ruido aleatorio, aunque un problema técnico de esta índole también se puede solventar colocando el detector-receptor en órbita en el espacio en donde no hay vibraciones mecánicas más que las que pueda producir el propio satélite.

Aunque, en principio, es posible construír un sistema de intercomunicación utilizando ondas de gravedad en lugar de ondas electromagnéticas, las dificultades técnicas involucradas en una empresa de esta naturaleza son de tal magnitud que casi estamos obligados a conformarnos con lo que ya tenemos basado en la radiación electromagnética. Además, puesto que tanto las ondas gravitacionales como las ondas electromagnéticas se propagan con la misma velocidad, la velocidad de la luz, no hay nada que justifique dejar algo que ya tenemos y que nos funciona muy bien desde frecuencias de radio de amplitud modulada (AM) que empiezan desde los 100 Kilohertz llegando hasta las frecuencias superaltas en el orden de los Gigahertz, reemplazándolo por una quimera cuyas únicas ventajas tal vez sean que no es afectada por interferencias eléctricas además de que pueda abrir una nueva banda de radiocomunicación (o mejor dicho, gravitocomunicación).

Las ondas gravitacionales son transversales, como lo son las ondas luminosas y las ondas sonoras; “vibran” en ángulos rectos a la dirección hacia la cual se están desplazando. Para poder apreciar cómo esto afecta su interacción con la materia, supóngase que tenemos cuatro masas acomodadas en un plano horizontal en los cuatro extremos de un compás, y que una onda gravitacional atraviesa el plano desde arriba. En cierto momento, la distancia entre las masas Norte-Sur disminuye y la distancia entre las masas Este-Oeste. Media longitud de “onda gravitacional” después, ocurre precisamente lo contrario. Y si la onda gravitacional atraviesa las masas no perpendicularmente al plano sino en una dirección a lo largo del plano, por ejemplo en la dirección Este-Oeste, entonces no tiene efecto alguno sobre las masas en la dirección de su movimiento; las masas Este-Oeste permanecen fijas en su posición mientras que la distancia entre las masas Norte-Sur aumenta y disminuye periódicamente conforme la onda gravitacional atraviesa por el plano. Esto tiene una implicación directa para nosotros. Podemos decir que las ondas gravitacionales están polarizadas. En las siguientes dos ilustraciones tenemos en el primer renglón un círculo conformado por masas de prueba situados en un plano de modo tal que es atravesado perpendicularmente, con lo cual las masas se acercan y se alejan en la forma oscilatoria mostrada, mientras que en el segundo renglón tenemos a la onda gravitacional atravesando al plano de modo tal que la polarización de la misma se hace evidente:





Como ya se mencionó, así como un objeto cargado eléctricamente genera ondas electromagnéticas en proporción a su carga y aceleración, del mismo modo se puede esperar que una masa en movimiento genere rizos gravitacionales en proporción a su masa y aceleración. Sin embargo, hay una diferencia importante entre ambos fenómenos. La tercera ley de Newton, conocida como la ley de la inercia nos dice a toda acción corresponde una reacción de igual intensidad y dirección contraria, la aceleración de una masa en cierta dirección debe ser acompañada por la aceleración de otra masa en la dirección contraria, con el momentum (la masa por la velocidad) en ambas direcciones siendo iguales. Esto significa que en un sistema binario si una masa genera ondas gravitacionales la otra masa del sistema también debe generar las suyas propias, de modo tal que las ondas gravitacionales de ambas masas tienden a cancelarse. En cierta forma, esto es una consecuencia del principio de la conservación de la energía expresado tensorialmente por la ecuación:

Tμν,ν = ∂Tμν/∂xν = 0

la cual elimina la posibilidad de que pueda haber radiación de monopolo en una teoría linearizada de radiación gravitacional del mismo modo que la conservación de la carga elimina la posibilidad de que pueda haber radiación de monopolo en la teoría del electromagnetismo. Sin embargo, puesto que las masas no están en el mismo lugar, la cancelación nunca es perfecta. La cantidad de radiación gravitacional que logra escapar del sistema depende ya sea del arreglo geométrico de las masas discretas o de la forma geométrica del cuerpo emisor, medido por lo que se ha designado como el momento de cuadrupolo (en similitud al concepto del mismo nombre cuando se trata de cargas eléctricas). Un objeto totalmente simétrico, como una pelota de futbol sóccer, tiene un momento de cuadrupolo igual a cero, mientras que una pelota de futbol Americano tiene un momento de cuadrupolo grande, al menos para la rotación en torno a su eje de simetría corto. Para fines de cálculo cuando tenemos que trabajar con cuadrupolos eléctricos o gravitacionales, el concepto fundamental que manejamos es el del tensor de cuadrupolo Qij:



el cual representa las nueve cantidades especificadas para un sistema de cargas o masas discretas:

Qij = Σ n qn (3xi xj - r² δij)

mientras que para un sistema continuo con una densidad de carga o de masa ρ(x) la expresión equivalente para cada uno de los nueve componentes del tensor de cuadrupolo se obtiene reemplazando la sumatoria por una integral:

Qij = ρ(x) (3xi xj - r² δij) d3x

El momento de cuadrupolo Qij tiene nueve componentes, pero debido a la relación de simetría:

Qij = Qji

únicamente seis de estas componentes son independientes. Más aún, por la propiedad de la traza de la diagonal principal de la matriz que representa al tensor, de acuerdo con la cual la suma de los elementos diagonales es igual a cero:

Q11 + Q22 + Q33 = 0

únicamente cinco de estas componentes son independientes.

PROBLEMA: Para un sistema de particulas discretas, demostrar que la traza del tensor de cuadrupolo es igual a cero.

Empezamos con la relación:

Qij = Σ n qn (3xi xj - r² δij)

Para resolver el problema, igualamos los dos sub-índices del tensor Qij:

i = j = k

con lo cual de hecho inicializamos una operación de contracción del tensor activando la convención de sumación, lo cual nos resultará en un escalar. Sumando sobre k como nos lo pide la convención de sumación al llevarse a cabo la contracción:

Σ k Qkk = Σ k [ Σ n qn (3xk xk - r² δkk) ]

Puesto que en una doble sumatoria podemos intercambiar el orden de las sumatorias sin que se nos altere el doble sumando final, podemos reescribir lo anterior de la manera siguiente:

Σ k Qkk = Σ n qn [3 Σ k (xk)² - r² Σ kkk) ]

Pero:

r² = x1² + x2² + x3²

Σ kkk) = δ11 + δ22 + δ33 = 1 + 1+ 1 = 3

Entonces:

Σ k Qkk = Σ n qn [3 r² - 3 r²] = 0

Q11 + Q22 + Q33 = 0

Los multipolos eléctricos tienen su origen en la definición básica del potencial Φ producido por una carga eléctrica q a una distancia R de dicha carga:



siendo ε la permitividad eléctrica del espacio en el cual está situada la carga (ε0 en el caso del espacio vacío). En el caso de dos cargas eléctricas:





el potencial total Φ en un punto dado es simplemente la suma de los potenciales Φ1 y Φ2 producidos por cada carga en dicho punto (esta es una de las grandes ventajas del uso del concepto del potencial sobre el concepto de la fuerza eléctrica):

Φ(r1,r2) = Φ1(r1) + Φ2 (r2)

Sin embargo, hay razones de peso por las cuales resulta conveniente obtener una fórmula para el potencial efectivo no en función de las distancias radiales r1 y r2 sino en función de una sola distancia R hacia un centro de origen de un sistema de coordenadas como se muestra en la figura de arriba. Pero como al calcular la distancia R en función de las distancias radiales r1 y r2 la expresión obtenida va en un denominador, al llevar a cabo la expansión por series de Taylor de la fórmula para Φ van apareciendo uno a uno los términos del monopolo, del dipolo, del cuadrupolo, y otros multipolos sucesivos.

Como ocurre con cualquier momento multipolo, si un momento de orden menor (monopolo o dipolo en este caso) no es igual a cero, entonces el valor del momento de cuadrupolo dependerá de la selección del origen del sistema de coordenadas. Un dipolo formado por dos cargas eléctricas de signos opuestos (que carece por lo tanto de monopolo), por ejemplo, puede tener un momento de cuadrupolo diferente de cero si el origen del sistema de coordenadas empleado es recorrido fuera del centro de la configuración (que en el caso de un dipolo se encuentra justo a la mitad de la distancia entre las dos cargas), o el momento de cuadrupolo puede ser reducido a cero colocando el origen del sistema de coordenadas en el centro de la configuración. En contraste, si los momentos de monopolo y de dipolo se desvanecen pero no así el momento del cuadrupolo (esto ocurre en el caso de cargas eléctricas de la misma magnitud pero con signos alternantes colocadas en las esquinas de un cuadrado), el momento de cuadrupolo es independiente de la selección del origen para el sistema de coordenadas.

Puesto que el cuadrupolo relativista es muy análogo al cuadrupolo eléctrico, no debe sorprendernos el hecho de que mientras que el potencial de un cuadrupolo eléctrico esté dado por la siguiente relación (Classical Electrodynamics, John David Jackson):



en el caso del cuadrupolo relativista la densidad de carga simplemente se reemplace con la densidad de masa para darnos el potencial gravitacional del cuadrupolo relativista que tras los cálculos tensoriales resulta ser:



Es importante tener presente que estas últimas dos relaciones representan potenciales estáticos, invariantes, para sistemas de cargas o masas fijas sin movimiento alguno, lo cual no puede producir radiación gravitacional alguna. Para que se nos produzca alguna radiación, es necesario poner lo anterior en movimiento, lo cual requiere que tanto la primera como la segunda derivadas de los potenciales con respecto al tiempo pueda estar definida y no sea igual a cero, y es aquí precisamente en donde el momento de cuadrupolo entra en acción.

Para un sistema continuo (en lugar de un sistema de partículas discretas), o sea un cuerpo como la Tierra, puesto que la Tierra está girando sobre su eje ésta tiene una forma oblatada (achatada en los polos), lo cual dá origen a un momento de cuadrupolo gravitacional, y aunque la contribución de este momento de cuadrupolo es extremadamente importante para satélites artificiales que están orbitando cerca de la Tierra, es menos importante para la Luna porque como podemos verlo en la relación de arriba, el término 1/r cúbico hace que el cuadrupolo relativista caiga rápidamente de valor. De cualquier modo, el momento de cuadrupolo de masas es importante en la Relatividad General porque si éste varía con el tiempo entonces puede producir radiación gravitacional semejante a la radiación electromagnética que se produce con los cambios de momentos de cuadrupolo eléctrico o magnético (específicamente, se requiere que la derivada de segundo orden con respecto al tiempo sea diferente de cero). El monopolo de masa representa la cantidad total de masa-energía en un sistema, la cual no puede variar con el tiempo, y por lo tanto es incapaz de poder producir radiación gravitacional alguna. De modo semejante, el dipolo de masa representa el centro de masa de un sistema, el cual tampoco varía con el tiempo y por lo tanto tampoco es capaz de poder producir radiación gravitacional alguna. Sin embargo, el cuadrupolo de masa sí puede variar con el tiempo, y es la contribución del menor orden posible a la radiación gravitacional.

El ejemplo más sencillo e importante de un sistema radiante de ondas gravitacionales es un par de agujeros negros con masas iguales compartiendo una órbita común el uno en torno al otro. Si colocamos el origen de nuestro sistema de coordenadas justo a la mitad de la distancia que hay entre los dos agujeros negros, y colocamos uno de los agujeros negros a una distancia unitaria a lo largo del eje-x, el sistema no tendrá momento dipolar, y el momento de cuadrupolo será simplemente:

Qij = M (3xi xj - 1² δij) = M (3xi xj - δij)

en donde M es la masa de cada agujero negro y xi es el vector unitario en la dirección-x. Conforme el sistema gira en su órbita común, el vector-x también estará en rotación, lo cual significa que tendrá una derivada de segundo orden con respecto al tiempo que no será igual a cero, y por lo tanto el sistema radiará ondas gravitacionales.

Así como los multipolos de carga y corriente eléctricas contribuyen al campo electromagnético, los multipolos de masa y corrientes-de-masa contribuyen al campo gravitacional de la Relatividad General, puesto que la Relatividad General también incluye efectos gravitomagnéticos. Los multipolos producidos por corrientes-de-masa variables también pueden producir radiación gravitacional. Sin embargo, las contribuciones de los multipolos de corrientes-de-masa serán típicamente mucho menores que las contribuciones del cuadrupolo de masa.

Es posible que pronto haya un evento cósmico capaz de generar ondas gravitacionales que sean lo suficientemente grandes como para poder dar hoy mismo una confirmación inequívoca del fenómeno, el cual radica en lo que ha sido bautizado como una hipernova, un tipo de supernova que teóricamente se debe producir cuando estrellas muy masivas (con masas superiores a las 100 masas solares) colapsan al final de sus vidas. El candidato a una explosión tal lo es la estrella Eta Carinae:





Esta estrella es increíblemente, casi imposiblemente, brillante, con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol, y con una masa por lo menos 100 veces mayor. Y es también extremadamente inestable, dando variaciones súbitas en luminosidad y cambios súbitos de aspecto que han causado en los astrónomos la impresión de que se trata del equivalente de un volcán que está listo para explotar. Algunos la han llamado “la estrella más peligrosa en el cielo”. Y aunque está situada a unos 7,500 años-luz de la Tierra, aún a esa distancia podría ocasionar un daño severo a los satélites que tenemos en órbita.

Si la detección de radiación gravitacional es tan sólo una cuestión de tiempo conforme refinamos y mejoramos el alcance de nuestros instrumentos, la superexplosión de una hipernova como Eta Carinae podría radiar una onda de choque gravitacional lo suficientemente grande como para ser detectada con lo que ya tenemos. Sin embargo, considerando que una hipernova ocurre en nuestra galaxia una vez cada 200 millones de años, se vuelve más atractivo ir refinando aún más la potencia de nuestros instrumentos para poder detectar radiación gravitacional generada por eventos de menor envergadura que esperar pacientemente a que alguna generación futura tenga la suerte de poder presenciar tales acontecimientos cuando llegan a ocurrir.

Aunque la radiación gravitacional sólo ha podido ser confirmada indirectamente a través de observaciones astronómicas, específicamente el sistema binario púlsar Hulse-Taylor, sería una verdadera sorpresa que no fuese detectada tarde o temprano ya que en realidad el único argumento que ha sido avanzado en contra de la posible existencia de ondas gravitacionales proviene del principio de Mach (basado a su vez en la filosofía de Leibniz), que en una de sus variantes afirma que el espacio vacío realmente debe ser vacío y que lo único de lo que tiene sentido hablar es de las posiciones relativas de los objetos que haya en dicho espacio; sin los cuales no es posible hacer afirmación alguna, y si en el espacio vacío no puede haber nada entonces tampoco debe haber ondas gravitacionales. Este argumento, desde luego, ha sido desacreditado por la Teoría del Campo Cuántico y la Electrodinámica Cuántica, los cuales nos afirman que el espacio “vacío” está siendo ocupado constantemente por partículas virtuales que aparecen de la nada y desaparecen tan pronto como llegaron, las mismas partículas que dan origen a la “evaporación” de los agujeros negros. Por otro lado, el espacio vacío sí está “lleno” de algo, está lleno de espacio-tiempo, aunque esto tiene la desventaja de sonar como un intento por regresar al viejo concepto del éter aunque reemplazando el concepto inicial con algo parecido pero más refinado. Puesto de otra manera, el movimiento absoluto no puede ser detectado ni siquiera por medios ópticos o electromagnéticos porque el “éter” no existe, esta es la base de la Teoría de la Relatividad; pero si el Universo está montado en un entramado gigantesco de espacio-tiempo, ¿acaso el movimiento absoluto (o mejor dicho, la aceleración absoluta) de un objeto no puede ser detectado relativo a este entramado? Sobre todo si el espacio-tiempo del Universo es el “medio de transmisión” sin el cual la propagación de los rizos gravitacionales sería imposible. Le dejaremos esta última pregunta a los filósofos de la ciencia.

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