miércoles, 18 de marzo de 2009

Propiedades de los tensores

Los tensores tienen algunas propiedades que nos resultan extremadamente útiles en la simplificación de expresiones ahorrándonos una buena cantidad de tiempo. Una de dichas propiedades es la propiedad de simetría que caracteriza a los tensores simétricos.

Decimos que dos tensores son simétricos con respecto a dos índices covariantes o contravariantes cuando sus componentes respectivos son iguales tras un intercambio de índices.

De este modo, si para un tensor T = (Tmprqs) tenemos que Tmprqs = Tpmrqs, decimos que el tensor es simétrico en los índices m y p. Si el tensor es simétrico con respecto a dos índices contravariantes cualesquiera y dos índices covariantes cualesquiera, se dice que el tensor es simétrico.

PROBLEMA: (a) ¿Es simétrico un tensor contravariante de orden tres T = (Tabc) en un espacio de dos dimensiones, en donde sus componentes en cierto punto adquieren los siguientes valores?:

T111 = 7 , T211 = 3 , T121 = 3 , T221 = 0

T112 = 7 , T212 = -2 , T122 = -2 , T222 = 5

(b) ¿Es simétrico un tensor covariante de orden dos U = (Uij) en un espacio de cinco dimensiones para el cual sus componentes adquieren los siguientes valores?:

U11 = a, U12 = -p, U13 = 3u, U14 = -t, U15 = -m²

U21 = -p, U22 = b, U23 = cpt, U24 = b + d, U25 = -c

U31 = 3u, U32 = cpt, U33 = j, U34 = -b, U35 = t

U41 = -t, U42 = b + d, U43 = -b, U44 = e, U45 = -u

U51 = -m², U52 = -c, U53 = t, U54 = -u, U55 = b

(a) Puesto que, en todos los casos, el intercambio entre el primer índice y el segundo índice nos resulta en el mismo valor numérico para el componente del tensor, independientemente del valor que tenga el otro índice al ser mantenido constante:

T211 = 3 = T121

T212 = -2 = T122

podemos afirmar que el tensor es simétrico en el primer y segundo índices en el punto en donde sus componentes adquieren esos valores. Sin embargo, no podemos afirmar que el tensor sea simétrico en todo el espacio bi-dimensional disponible de puntos, porque para ello necesitaríamos tener a la mano la expresión matemática que define a dicho tensor. Por otro lado, el tensor no es simétrico respecto al segundo y el tercer índices al ser diferentes los siguientes componentes:

T121 = 3 , T112 = 7

T221 = 0 , T212 = -2

El tensor tampoco es simétrico respecto al primero y el tercer índices al ser diferentes los siguientes componentes:

T112 = 7 , T211 = 3

T122 = -2 , T221 = 0

(b) Puesto que, en todos los casos, el intercambio entre los dos índices nos resulta en el mismo valor simbólico para el componente del tensor:

U12 = U21 = -p

U13 = U31 = 3u

U14 = U41 = -t

U15 = U51 = -m²

U23 = U32 = cpt

U24 = U42 = b + d

U25 = U52 = -c

U34 = U43 = -b

U45 = U54 = -u

podemos afirmar que el tensor es simétrico, y es simétrico en todo el espacio 5-dimensional.

Aunque esto último lo resolvimos aplicando estrictamente la definición de simetría sin recurrir a ayudas visuales (algo que le gusta mucho a los practicantes de la matemática pura), podemos aprovechar en ventaja nuestra el hecho de que el tensor es un tensor de orden dos, acomodando sus componentes en una matriz cuadrada 5x5 en la cual la simetría salta a relucir casi de inmediato:



Obsérvese la simetría de los componentes con respecto a la diagonal principal cuyos componentes han sido puestos de color rojo, una simetría en la cual se reflejan como si estuviesen puestos frente a un espejo.

Desafortunadamente, este método visual fracasa al tratar de extenderlo hacia tensores de orden tres en adelante. Por esta misma razón no pudimos utilizarlo en la primera parte del problema en el caso del tensor contravariante T = (Tabc) de orden tres. Afortunadamente, una buena cantidad de los tensores que manejamos en la Teoría General de la Relatividad resultan ser precisamente de orden dos.

Una vez definidos los tensores simétricos, podemos definir los tensores hemi-simétricos o semi-simétricos. En la literatura es muy frecuente encontrarse estos tensores referidos como tensores anti-simétricos. Sin embargo, esta última definición sugiere una antisimetría cuando en realidad sigue habiendo cierto tipo de simetría en los componentes del tensor, razón por la cual aquí retendremos aquí la convención de llamarlos tensores hemi-simétricos (skew-symmetric) aunque esta definición será acompañada por la más frecuentemente usada palabra de anti-simetría.

Decimos que dos tensores son hemi-simétricos con respecto a dos índices covariantes o contravariantes cuando sus componentes respectivos son iguales en magnitud pero opuestos en signos tras un intercambio de índices.

Una de las propiedades más obvias de un tensor es que cuando es hemi-simétrico con respecto a dos de sus índices p y q entonces todas sus componentes tendrán un valor de cero para p = q. En el caso de un tensor de orden dos en su representación matricial, esto es lo que identificamos como “una diagonal principal puesta a ceros”.

PROBLEMA: Demostrar que los componentes de un tensor hemi-simétrico en sus índices p y q deben ser iguales a cero para p = q.

La demostración es trivial, y la llevaremos a cabo con un tensor T covariante de orden dos. Si el tensor es hemisimétrico con respecto a dos de sus índices p y q, entonces por su propia definición debemos tener:

Tpq = - Tqp

Para el caso p = q tenemos entonces:

Tpp = - Tpp

Pero la única forma en la cual esto puede ser cierto es con (Tpp) = 0. Se concluye que los componentes de un tensor que es hemi-simétrico en sus índices p y q deben ser iguales a cero para p = q.

En general, si para un tensor T = (Tmprqs) tenemos que Tmprqs = - Tpmrqs, entonces el tensor es hemi-simétrico en los índices m y p. Si el tensor es hemi-simétrico con respecto a dos índices contravariantes cualesquiera o dos índices covariantes cualesquiera, se dice que el tensor es hemi-simétrico.

Por lo que acabamos de ver arriba, si un tensor T = (Tmprqs) es hemi-simétrico en dos índices como los índices m y r, entonces haciendo m = r tenemos que (Tmpmqs) = 0 para todas las combinaciones posibles de los índices restantes.

PROBLEMA: ¿Es hemi-simétrico un tensor covariante de orden dos V = (Vij) en un espacio de cuatro dimensiones en donde sus componentes adquieren los siguientes valores?:

V11 = 0, V12 = - b, V13 = d, V14 = - c

V21 = b, V22 = 0, V23 = - c, V24 = - d

V31 = - d, V32 = c, V33 = 0, V34 = - b

V41 = c, V42 = d, V43 = b, V44 = 0

Comparando los valores, encontramos que para en todos los casos en los que los dos índices son iguales los componentes tienen un valor de cero:

V11 = V22 = V33 = V44 = 0

Por otro lado, comparando todas las posibilidades de combinación restantes cuando los índices son diferentes, todos resultan tener signos opuestos:

V12 = - V21 , V13 = - V31 , V14 = - V41

V23 = - V32 , V24 = - V42

V34 = - V43

Concluímos entonces que el tensor V es un tensor hemi-simétrico.

Aunque este último problema también lo resolvimos aplicando estrictamente la definición sin recurrir a ayudas visuales, aprovechando en ventaja nuestra el hecho de que el tensor es un tensor de orden dos podemos acomodar sus componentes en una matriz cuadrada 4x4 en la cual haciendo a = 0 la hemi-simetría salta a relucir casi de inmediato:



De nueva cuenta, este método visual fracasa al tratar de extenderlo hacia tensores de orden tres en adelante.

Dado un tensor T = (Tab) cualesquiera, podemos obtener a partir del mismo un tensor simétrico Ts mediante la siguiente regla sencilla:

Ts = (Ts) = (Tab + Tba)/2

Esta definición se encuentra con la suficiente frecuencia como para darle la siguiente notación especial en la cual la simetría sobre un par de componentes se denota mediante paréntesis curvos en los índices de los componentes:


PROBLEMA: A partir de la definición anterior, demostrar que no es posible transformar un tensor anti-simétrico en un tensor simétrico.

Un tensor anti-simétrico T = (Tab) será aquél para el cual Tab = - Tba. En la definición que se ha dado:

T(ab) = (Tab + Tba)/2 = (- Tba + Tba)/2 = 0

No es posible, por lo tanto, obtener un tensor simétrico a partir de un tensor anti-simétrico.

Dado un tensor T = (Tab) cualesquiera, podemos obtener a partir del mismo un tensor anti-simétrico Ta mediante la siguiente regla sencilla:

Ta = (Ta) = (Tab - Tba)/2

Esta definición se encuentra con la suficiente frecuencia como para darle la siguiente notación especial en la cual la anti-simetría sobre un par de componentes se denota mediante paréntesis cuadrados en los índices de los componentes:


Como esta forma de obtener un tensor anti-simétrico a partir de un tensor T cualesquiera es a veces vista con desconfianza por quienes no se toman el tiempo para verificar esta última aserción, se llevarán a cabo aquí algunos pasos extra para quienes no estén convencidos del enunciado. Supóngase que la matriz [T] que representa a los componentes del tensor T es la siguiente:



Entonces, puesto que la operación de invertir los índices p y q equivale matricialmente a intercambiar los renglones por las columnas, si hacemos esto obteniendo una segunda matriz y la restamos de la primera obtenemos el siguiente resultado:



Como puede verse, el resultado de la operación de restar Tqp de Tpq nos produce una matriz en la cual todos los elementos en la diagonal principal de la matriz que corre de la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha han sido reducidos a cero, y con respecto a esta diagonal principal los elementos opuestos tienen la misma magnitud pero el signo contrario. Claramente, esta es una matriz anti-simétrica (hemi-simétrica).

PROBLEMA: A partir de la definición anterior que se ha dado para la obtención de un tensor anti-simétrico, demostrar que no es posible transformar un tensor simétrico en un tensor anti-simétrico.

Un tensor simétrico T = (Tab) será aquél para el cual Tab = Tba. Usando la definición que se ha dado arriba para un tensor anti-simétrico:

T[ab] = (Tab - Tba)/2 = (Tba - Tba)/2 = 0

No es posible, por lo tanto, obtener un tensor anti-simétrico a partir de un tensor simétrico.

Tenemos además varios resultados basados en las propiedades ya señaladas que nos pueden ser de utilidad en la simplificación de los cálculos matemáticos.

PROBLEMA: Demostrar que cualquier tensor puede ser expresado como la suma de dos tensores, uno de los cuales es simétrico y el otro de los cuales es anti-simétrico (hemi-simétrico) en un par de índices covariantes (o contravariantes).

Considérese el tensor contravariante T = (Tpq) y considérese la siguiente igualdad aritmética:

Tpq = (Tpq + Tqp)/2 + (Tpq - Tqp)/2

Por la definición dada arriba, el tensor S = (Spq) formado por la siguiente operación de componentes tensoriales:

S(pq) = (Tpq + Tqp)/2

es un tensor simétrico, o sea:

S = (Spq) = (Sqp)

Por otro lado, vimos también arriba que el tensor A = (Apq) formado por la siguiente operación de componentes tensoriales:

A[pq] = (Tpq - Tqp)/2

es un tensor anti-simétrico (hemi-simétrico), o sea:

Apq = - Aqp

Entonces, todo tensor T puede ser expresado como la suma de un tensor simétrico S y un tensor anti-simétrico (hemi-simétrico) A:

T = S + A

Un tensor que sea simétrico bajo un sistema de coordenadas seguirá siendo simétrico bajo cualquier otro sistema de coordenadas después de haberse llevado a cabo la transformación. Lo mismo se puede decir de un tensor anti-simétrico. La preservación de la simetría (o de la anti-simetría) es una propiedad interna del tensor, independiente del sistema de coordenadas que esté siendo utilizado.

Las convenciones notacionales que se han dado arriba pueden ser anidadas dentro de tensores de orden mayor, por ejemplo:

T(ab)c = (Tabc + Tbac)/2

Tab[cd]ef = (Tabcdef - Tabdcef )/2

PROBLEMA: Escribir explícitamente en notación de componentes lo que simboliza la siguiente expresión tensorial compacta:

T(ab)c[de]

Expandiendo primero sobre la parte simétrica:

T(ab)c[de] = (Tabc[de] + Tbac[de])/2

Expandiendo a continuación sobre la parte anti-simétrica (hemi-simétrica) nos produce la expresión final explícita:

T(ab)c[de] = {Tabc[de] + Tbac[de]}/2

T(ab)c[de] = {(Tabcde - Tabced)/2+ (Tbacde - Tbaced )}/2

T(ab)c[de] = (Tabcde + Tbacde - Tabced- Tbaced )/4

PROBLEMA: Demostrar que el producto interno de un tensor simétrico U = (Uab) = (U(ab)) y de un tensor anti-simétrico V = (Vab) = (V[ab]) es igual a cero.

Llevaremos a cabo la demostración sobre un 3-espacio, expandiendo la doble sumatoria requerida de acuerdo a la convención de sumación por la presencia de dos pares de índices repetidos:



En el tercer paso se han destacado de color rojo los componentes del tensor anti-simétrico V que son iguales a cero cuando ambos índices son iguales, lo cual tiene como consecuencia desvanecer los términos en donde aparecen. Tras esto, recurrimos a las propiedades de simetría y hemi-simetría que nos relacionan los componentes internos de cada tensor de la siguiente manera:



Con esto tenemos entonces:



La generalización a un espacio N-dimensional cualesquiera se lleva a cabo fácilmente generalizando las razones por las cuales el producto interno de un tensor simétrico y un tensor anti-simétrico es igual a cero en un 3-espacio.

PROBLEMA: Demuéstrese que si un tensor A = (Apqrst) es simétrico (o hemi-simétrico) con respecto a sus dos índices p y q en un sistema de coordenadas, entonces permanecerá simétrico (o hemi-simétrico) con respecto a los mismos índices tras un cambio de coordenadas.

En virtud de que únicamente los índices p y q están involucrados, se llevará a cabo la demostración sobre un tensor T = (Tpq) con esos dos índices exclusivamente.

Como siempre, la demostración se llevará a cabo recurriendo a la definición formal del tensor. Suponiendo que el tensor T sea simétrico con respecto a un intercambio de los índices p y q, entonces Tpq = Tqp. Entonces:


Se concluye que la simetría de un tensor es preservada bajo un cambio de coordenadas.

Y si el tensor es hemi-simétrico con respecto a un intercambio de los índices p y q, entonces Tpq = - Tqp, con lo cual:



Se concluye que también la hemi-simetría de un tensor es preservada bajo un cambio de coordenadas.

PROBLEMA: Determínese si una cantidad A(j,k,m) que es una función de las coordenadas generalizadas xi y se transforma a otro sistema de coordenadas generalizadas x i
de acuerdo con la siguiente regla:



es un tensor. Si lo es, escríbase dicha cantidad en notación tensorial de componentes identificando el orden y el tipo.

Inspeccionando la transformación de cada componente, podemos ver que la cantidad cumple con todos los requerimientos de un tensor. En notación tensorial de componentes, esta cantidad se escribe como el tensor:

A = (Amjk)

tratándose por lo tanto de un tensor de orden tres, contravariante de orden uno y covariante de orden dos.

PROBLEMA: Determínese si una cantidad B(j,k,l,m) que es una función de las coordenadas generalizadas xi y se transforma a otro sistema de coordenadas generalizadas x i
de acuerdo con la siguiente regla:



es un tensor. Si lo es, escríbase dicha cantidad en notación tensorial de componentes identificando el orden y el tipo.

Inspeccionando la transformación de cada componente, podemos ver que la cantidad cumple con todos los requerimientos de un tensor. En notación tensorial de componentes, esta cantidad se escribe como el tensor:

B = (Bklmj)

tratándose por lo tanto de un tensor de orden cuatro, contravariante de orden tres y covariante de orden uno.

PROBLEMA: Determínese si una cantidad T(j,k,m,n) que es una función de las coordenadas generalizadas xi y se transforma a otro sistema de coordenadas generalizadas x i
de acuerdo con la siguiente regla:



es un tensor. Si lo es, escríbase dicha cantidad en notación tensorial de componentes identificando el orden y el tipo.

Inspeccionando la transformación de cada componente, podemos ver que la cantidad no es un tensor puesto que no cumple con todos los requerimientos propios de la definición de un tensor. A continuación se destaca de color rojo las partes de la transformación que no cumplen con los requisitos estipulados:



Las operaciones matemáticas que podemos llevar a cabo con tensores, al igual que las operaciones matemáticas que podemos llevar a cabo con matrices, están limitadas a la suma, la resta, la multiplicación externa (producto externo), y en el caso de los tensores, la contracción. No es posible llevar a cabo una “división” entre dos tensores, tal cosa no está definida. Sin embargo, es posible hacer algo que aunque no constituya una división en sí, se trata de una aserción de carácter general que en ocasiones resulta útil en el desarrollo de operaciones tensoriales. Se trata de la ley del cociente, que enunciada brevemente nos dice que si en el producto interno de una cantidad X con un tensor B obtenemos un tensor C (o sea XB = C), entonces X debe ser un tensor también.

PROBLEMA: Demostrar que si X(p,q,r) es una cantidad tal que X(p,q,r)Uqnr = 0 para un tensor arbitrario U = (Uqnr ), entonces se debe tener X(p,q,r) = 0.

Puesto que Uqnr puede ser un tensor arbitrario cualquiera, podemos escoger un componente en particular de dicho tensor (por ejemplo, el componente para el cual q = 4 y r = 3) que no sea igual a cero, mientras que todos los demás componentes del tensor pueden ser considerados iguales a cero en nuestro ejemplo. Entonces:

X(p,4,3)U4n3 = 0

de modo tal que debemos tener necesariamente X(p,4,3)U4n3 = 0, ya que U4n3 no es igual a cero por hipótesis. Razonando de manera similar, para todas las demás combinaciones posibles de q y r debemos tener entonces que X(p,q,r) = 0, lo cual concluye la demostración.

PROBLEMA: Una cantidad T(p,q,r) es tal que bajo cierto sistema de coordenadas generalizadas xi se tiene lo siguiente:

T(p,q,r) Uqsr = Vsp

siendo tanto Uqsr como Vsp tensores. Demuéstrese que también T(p,q,r) es un tensor.

En un sistema transformado de coordenadas x i, tenemos lo siguiente:

T (j,k,l) U kml = Vsp

Entonces, puesto que tanto U = (Uqsr) como V = (Vsp) son tensores, recurriendo a la definición del tensor debemos tener:



o lo que es lo mismo:



Si llevamos a cabo la multiplicación interna de esto con ∂xn/∂xm, o sea multiplicando por ∂xn/∂xw, y efectuando la contracción w = m, obtenemos entonces lo siguiente:



Aplicando el efecto del delta Kronecker al super-índice s:



Aquí podemos aplicar directamente el resultado obtenido en el problema anterior. Puesto que Uqnr es un tensor arbitrario cualquiera, entonces lo que tenemos dentro de los paréntesis debe ser igual a cero:



Llevaremos a cabo ahora una segunda multiplicación interna de lo que tenemos arriba, en este caso por:



Esto nos produce el siguiente resultado:



o bien, aplicando
el efecto del delta Kronecker:



Esta es precisamente la definición de un tensor. Entonces T es un tensor. Esta es la ley del cociente en acción. Observando el posicionamiento de los índices, podemos ver que la notación apropiada para T como un tensor de orden tres viene siendo T = (Trpq).

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