La derivada covariante de un tensor III

En esta entrada aprovecharemos las simplificaciones obtenidas al final de la entrada previa para poder obtener los símbolos de Christoffel de segundo género cuando se trata de tensores métricos cuya matriz es una matriz diagonal.

PROBLEMA: Determinar los símbolos de Christoffel de segundo género para las coordenadas cilíndricas.

Para las coordenadas cilíndricas:

(x¹, x², x³) = (r, φ, z)

el elemento de línea es:

ds² = dr² + r²dθ² + dz²

con lo cual las componentes diagonales del tensor métrico son:

g₁₁ = 1____g₂₂ = r²____g₃₃ = 1

Puesto que tanto g₁₁ como g₃₃ son constantes, de acuerdo con lo que vimos en la entrada previa los únicos símbolos de Christoffel que no son cero los tendremos para p = 2. Usando las fórmulas simplificadas, estos son:

PROBLEMA: Determinar los símbolos de Christoffel de segundo género para las coordenadas esféricas.

Para las coordenadas esféricas:

(x¹, x², x³) = (r, φ, z)

el elemento de línea es:

ds² = dr² + r²dθ² + r² sen²θ dθ²

con lo cual las componentes diagonales del tensor métrico son:

g₁₁ = 1____g₂₂ = r²____g₃₃ = r² sen² θ

Puesto que tanto g₁₁ es constante, de acuerdo con lo que vimos en la entrada previa los únicos símbolos de Christoffel que no son cero los tendremos para p = 2 o p = 3. Usando las fórmulas simplificadas, estos son:

Los símbolos de Christoffel NO son tensores. Sin embargo, cabe hacernos la siguiente pregunta: si queremos pasar de un sistema de coordenadas a otro, ¿cuáles serán entonces las propiedades de transformación de los símbolos de Christoffel, tanto del primer género como del segundo género?

PROBLEMA: Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de primer género.

La naturaleza del problema consiste en obtener el procedimiento requerido para transformar un símbolo de Christoffel de primer género Γ_abc a su correspondiente símbolo de Christoffel Γ_abc. (con una barra encima de la letra gamma). El punto de arranque para la solución empieza, desde luego, con la ley tensorial de transformación para el tensor métrico:

Tenemos que obtener tres derivadas parciales del tensor métrico con respecto a cada una de las coordenadas del sistema hacia el cual se va a llevar el símbolo de Christoffel a ser transformado. Aplicando la regla de Leibniz para la diferencial del producto de tres funciones:

d(uvw) = uv·dw + uw·dv + vw·du

y aplicando también la regla de la cadena a ∂g_pq /∂x^m, la primera derivada parcial será:

Aplicando la misma regla de Leibniz, podemos obtener las otras dos derivadas parciales. Sin embargo, podemos ahorrarnos algo de trabajo si simplemente tomamos la expresión para la primera derivada que acabamos de obtener y aplicamos una permutación cíclica de los índices para obtener la segunda derivada:

j → k

k → m

m → j

que resulta ser:

Otra permutación cíclica de los índices:

k → m

m → j

j → k

nos produce la tercera derivada:

Restando ∂g_jk/∂x^m de la suma de ∂g_km/∂x^j y ∂g_mj/∂x^k, multiplicando por 1/2 y metiendo las definiciones de los símbolos de Christoffel de primer género, obtenemos la siguiente ley de transformación:

con la que el símbolo de Christoffel de primer género Γ_pqr es transformado a Γ_jkm. Obsérvese que si no fuese por el segundo término en el lado derecho, los símbolos de Christoffel se transformarían también como tensores. Pero no son tensores, ya que fueron de hecho concebidos como el “factor de corrección” requerido para que la derivada de un tensor pueda ser redefinida como derivada covariante de modo tal que esta también sea un tensor.

PROBLEMA: Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género.

Puesto que los símbolos de Christoffel de segundo género se obtienen a partir de los símbolos de Christoffel de primer género, para lo cual se utiliza el tensor métrico conjugado g^-1 para subir el tercer índice, no debe causar asombro de que una vez obtenida la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de primer género en el problema anterior recurramos al tensor métrico conjugado aplicándolo sobre dicho resultado para poder obtener la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género.

En este caso, utilizamos la relación que nos define al tensor métrico conjugado como un tensor, la cual es:

Utilizamos esta relación en la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de primer género que obtuvimos en el problema anterior, la parte izquierda de la relación en el lado izquierdo de la ecuación y la parte derecha de esta relación en el lado derecho de la ecuación:

En el lado izquierdo de esta ecuación el tensor métrico conjugado g^nm eleva al tercer índice m del símbolo de Christoffel de primer género Γ_jkm convirtiéndolo en un símbolo de Christoffel de segundo género con el super-índice n:

Lo mismo sucede en el lado derecho de la ecuación en donde el tensor métrico conjugado eleva al tercer índice del símbolo de Christoffel de primer género convirtiéndolo en uno de segundo género. Obsérvese que hemos agrupado dos simplificaciones, las cuales nos resultan en la siguiente ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género:

Obsérvese que si no fuese por el segundo término en el lado derecho, los símbolos de Christoffel de segundo género se transformarían también como tensores.

PROBLEMA: Demostrar la siguiente relación:

Para demostrar la relación proporcionada, usaremos la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género obtenida en el problema anterior. Si multiplicamos ambos lados de dicha ley por ∂x^m/∂xⁿ, tenemos entonces, introduciendo en el lado derecho los deltas Kronecer δ^m_s y δ^m_p:

Esto se simplifica de inmediato a lo siguiente:

Despejando esto último para ∂²x^m/∂x^j∂x^k obtenemos la relación pedida.

Este último resultado nos posibilita llevar a cabo una demostración importante, la demostración de que la derivada covariante de un tensor es un tensor.

PROBLEMA: Demostrar que la derivada covariante de un tensor es un tensor.

Para la resolución de este problema podemos utilizar ya sea un tensor covariante o un tensor contravariante. La demostración que será llevada a cabo aquí utilizará un tensor contravariante; en el caso del tensor covariante la demostración es casi idéntica con modificaciones triviales en los pasos.

Considérese el tensor contravariante T = (T^p) de orden uno. Siendo un tensor, entonces debe obedecer la regla fundamental de transformación:

Tomaremos ahora la derivada parcial de este tensor con respecto a x ^k:

Utilizaremos ahora la regla de la cadena en el lado derecho de la expresión:

Tomamos ahora la derivada del producto de las dos cantidades ∂x ⁱ/∂x^r y T^r:

Utilizaremos ahora la relación obtenida en el problema anterior, con la cual obtenemos lo siguiente:

Puesto que, por la regla de la cadena:

Y puesto que, por la misma definición de tensor para el caso de un tensor contravariante de orden uno:

la expresión que estamos desarrollando se convierte en:

Factorizando el lado derecho, reacomodando los términos, renombrando índices según se requiera y utilizando la propiedad de simetría de los símbolos de Christoffel, llegamos a lo siguiente:

Obsérvese bien la forma en la cual se han puesto tanto el lado izquierdo como el lado derecho de la relación. Del lado izquierdo, lo que tenemos es ni más ni menos que la derivada covariante del tensor T = (T^p) en el sistema de coordenadas de barra. Y lo que tenemos del lado derecho es ni más ni menos que la derivada covariante del tensor original T en el sistema de coordenadas original (sin la barra). Esto significa que la relación se reduce a:

Lo que nos está diciendo esto esencialmente es que la derivada covariante del tensor contravariante de orden uno T = (T^p), simbolizada mediante el semicolon como T_;k = (T^p_;k), se transforma justo como lo requieren las propiedades de la definición de un tensor. Queda demostrado entonces que la derivada covariante de un tensor es también un tensor. Esto, desde luego, se lo debemos a la ayuda de los símbolos de Christoffel que nos dieron la “corrección” necesaria para poder definir a la derivada covariante de un tensor.