tag:blogger.com,1999:blog-41777030792216445192024-03-21T09:04:04.888-07:00La Teoría de la RelatividadESTE ES UN TRABAJO BAJO CONSTRUCCIONArmando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comBlogger77125tag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-24171537715126552632009-03-18T23:56:00.000-07:002009-12-17T15:58:43.125-08:00Indice<a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/prologo.html"><span style="font-style: italic;">Prólogo</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">1.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/1-el-movimiento-absoluto.html"><span style="font-style: italic;">El movimiento absoluto</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">2</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/2-un-descubrimiento-sorprendente.html"><span style="font-style: italic;">Un descubrimiento sorprendente</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">3.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/3-la-fisica-es-parada-de-cabeza.html"><span style="font-style: italic;">La física es parada de cabeza</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">4.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/4-las-consecuencias-directas-de-la.html"><span style="font-style: italic;">Las consecuencias directas de la teoría</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">5</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/5-el-experimento-que-antecedio-la.html"><span style="font-style: italic;">El experimento que antecedió a la teoría</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">6.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/6-el-espacio-y-el-tiempo-unificados.html"><span style="font-style: italic;">Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">7.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/7c-las-transformaciones-de-lorentz.html"><span style="font-style: italic;">Las transformaciones de Lorentz</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">8</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/04/7-representaciones-matriciales.html"><span style="font-style: italic;">Representaciones matriciales</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">9.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/7b-suma-relativistica-de-velocidades.html"><span style="font-style: italic;">Suma relativista de velocidades</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">10.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/7-una-teoria-libre-de-asimetrias-y-de.html"><span style="font-style: italic;">Una teoría libre de asimetrías y de paradojas</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">11.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/9b-el-efecto-doppler-relativistico.html"><span style="font-style: italic;">El efecto Doppler relativista</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">12</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/11-dinamica-relativistica.html"><span style="font-style: italic;">Dinámica relativista</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">13.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/12-la-ecuacion-mas-famosa-de-einstein.html"><span style="font-style: italic;">La ecuación más famosa de Einstein</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">14</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/fisica-atomica-relativista.html"><span style="font-style: italic;">Física atómica relativista</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">15.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/7d-invariantes.html"><span style="font-style: italic;">Invariantes</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">16.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/rotaciones-y-transformaciones.html"><span style="font-style: italic;">Rotaciones y transformaciones</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">17</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/los-4-vectores.html"><span style="font-style: italic;">Los 4-vectores I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">18</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/los-4-vectores-ii.html"><span style="font-style: italic;">Los 4-vectores II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">19</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/15-el-germen-de-una-idea.html"><span style="font-style: italic;">El germen de una idea</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">20</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/8-el-principio-de-equivalencia.html"><span style="font-style: italic;">El principio de equivalencia</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">21</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/10-relatividad-general-dos-predicciones.html"><span style="font-style: italic;">Predicciones, confirmaciones y reflexiones</span></a><br /><span style="font-weight: bold;"></span><br /><span style="font-weight: bold;">22</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/18-el-calculo-tensorial.html"><span style="font-style: italic;">Introducción al cálculo tensorial</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">23.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/21-el-calculo-tensorial-ii_18.html"><span style="font-style: italic;">Tensores de orden superior y mixtos</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">24.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/21-el-calculo-tensorial-ii.html"><span style="font-style: italic;">Aritmética de tensores</span><br /></a><br /><span style="font-weight: bold;">25</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/24b-propiedades-de-los-tensores.html"><span style="font-style: italic;">Propiedades de los tensores</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">26</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/20-el-tensor-metrico.html"><span style="font-style: italic;">El tensor métrico</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">27</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/24b-gimnasia-de-indices.html"><span style="font-style: italic;">Gimnasia de índices</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">28</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/23b-la-derivada-covariante-de-un-tensor.html"><span style="font-style: italic;">La derivada covariante de un tensor I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">29</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-derivada-covariante-de-un-tensor-ii.html"><span style="font-style: italic;">La derivada covariante de un tensor II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">30</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-derivada-covariante-de-un-tensor-iii.html"><span style="font-style: italic;">La derivada covariante de un tensor III</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">31</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-derivada-covariante-de-un-tensor-iv.html"><span style="font-style: italic;">La derivada covariante de un tensor IV</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">32</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/el-determinante-del-tensor-metrico.html"><span style="font-style: italic;">El determinante del tensor métrico</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">33</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/24-la-divergencia-del-tensor-t.html"><span style="font-style: italic;">La divergencia de un tensor I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">34</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-divergencia-de-un-tensor-ii.html"><span style="font-style: italic;">La divergencia de un tensor II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">35</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/el-tensor-energia-tension.html"><span style="font-style: italic;">El tensor energía-tensión</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">36</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/electrodinamica-relativista.html"><span style="font-style: italic;">Electrodinámica relativista I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">37</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/electrodinamica-relativista-ii.html"><span style="font-style: italic;">Electrodinámica relativista II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">38</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/electrodinamica-relativista-iii.html"><span style="font-style: italic;">Electrodinámica relativista III</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">39</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/04/24-la-ruta-geodesica.html"><span style="font-style: italic;">La ruta geodésica I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">40</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-ruta-geodesica-ii.html"><span style="font-style: italic;">La ruta geodésica II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">41</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-ruta-geodesica-iii.html"><span style="font-style: italic;">La ruta geodésica III</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">42</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/el-transporte-paralelo.html"><span style="font-style: italic;">El transporte paralelo</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">43</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-derivada-absoluta.html"><span style="font-style: italic;">La derivada absoluta</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">44</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/25a-el-tensor-de-riemann.html"><span style="font-style: italic;">El tensor de Riemann I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">45</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/el-tensor-de-riemann-ii.html"><span style="font-style: italic;">El tensor de Riemann II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">46</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-ecuacion-de-desviacion-geodesica.html"><span style="font-style: italic;">La ecuación de desviación geodésica</span><br /></a><br /><span style="font-weight: bold;">47</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-geometria-euclideana-y-la-teoria.html"><span style="font-style: italic;">La geometría Euclideana y la Relatividad</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">48</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/25b-el-tensor-de-ricci.html"><span style="font-style: italic;">Los tensores de Ricci y Einstein I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">49</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/los-tensores-de-ricci-y-einstein-ii.html"><span style="font-style: italic;">Los tensores de Ricci y Einstein II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">50</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/25b-la-reduccion-los-limites-clasicos.html"><span style="font-style: italic;">La reducción a los límites clásicos</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">51</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/25c-orbitas-planetarias-relativistas.html"><span style="font-style: italic;">Orbitas planetarias relativistas</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">52</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/25e-la-solucion-de-schwarzschild-i.html"><span style="font-style: italic;">La solución de Schwarschild I</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">53</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-solucion-de-schwarzschild-ii.html"><span style="font-style: italic;">La solución de Schwarzschild II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">54</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-solucion-de-schwarzschild-iii.html"><span style="font-style: italic;">La solución de Schwarzschild III</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">55.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/11-el-abandono-de-la-accion-distancia.html"><span style="font-style: italic;">El abandono de la “acción a distancia”</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">56</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/28-los-agujeros-negros.html"><span style="font-style: italic;">Los agujeros negros: Génesis</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">57</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/28b-los-agujeros-negros-ii_18.html"><span style="font-style: italic;">Los agujeros negros estáticos</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">58</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/28b-los-agujeros-negros-ii.html"><span style="font-style: italic;">Los agujeros negros dinámicos</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">59</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/28c-los-agujeros-negros-iii.html"><span style="font-style: italic;">Los agujeros negros: Evaporación</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">60</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/28e-los-agujeros-negros-v.html"><span style="font-style: italic;">Los agujeros negros: Entropía generalizada</span><br /></a><br /><span style="font-weight: bold;">61</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/28f-radiacion-gravitacional.html"><span style="font-style: italic;">Radiación gravitacional</span><br /></a><br /><span style="font-weight: bold;">62</span>. <a style="font-style: italic;" href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/29-cosmologia-relativista.html">Cosmología relativista I</a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">63</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/cosmologia-relativista-ii.html"><span style="font-style: italic;">Cosmología relativista II</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">64</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/la-gravedad-cuantica-y-la-escala-de.html"><span style="font-style: italic;">Las escalas de Planck</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">65.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/axiomatizacion-de-la-teoria-de-la.html"><span style="font-style: italic;">Axiomatización de la Teoría Relativista</span><br /></a><br /><span style="font-weight: bold;">66</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/30-el-puente-einstein-rosen.html"><span style="font-style: italic;">El puente Einstein-Rosen</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">67</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/cosmologia-cuantica.html"><span style="font-style: italic;">Cosmología Cuántica</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">68.</span> <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/20-perspectivas-futuras.html"><span style="font-style: italic;">Perspectivas futuras</span></a><br /><br /><a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/bibliografia.html"><span style="font-weight: bold;">Bibliografía</span></a><br /><br /><a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/enlaces-wikipedia.html"><span style="font-weight: bold;">Enlaces Wikipedia</span><br /></a><br /><span style="font-weight: bold;font-family:arial;" >Apéndices</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Apéndice I</span>. <a style="font-style: italic;" href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/apendice-i-el-papel-original-de.html">El papel original de Einstein de 1905<br /></a><br /><span style="font-weight: bold;">Apéndice II</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/a2-la-ecuacion-de-onda-electromagnetica.html"><span style="font-style: italic;">La ecuación de onda electromagnética</span><br /></a><br /><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;">Apéndice III</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/apendice-iv-el-manuscrito-original-de.html"><span style="font-style: italic;">Relatividad General: Manuscritos originales</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Apéndice IV</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/a6-la-ecuacion-de-onda-relativista-de.html"><span style="font-style: italic;">La ecuación de onda relativista de Dirac</span></a><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Apéndice V</span>. <a href="http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/a5-programas-de-simulacion.html"><span style="font-style: italic;">Programas de simulación computarizada</span></a>Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-78916348589317956542009-03-18T23:54:00.000-07:002009-12-18T15:14:24.338-08:00PrólogoSurge este trabajo ante una ausencia de texto alguno en español acerca de la Teoría de la Relatividad que abarque no sólo la aplicación de las fórmulas fundamentales (que es algo a lo que se limitan muchos libros de texto) sino la filosofía fundamental sobre lo que es realmente la Teoría de la Relatividad, cómo se fueron desarrollando las ideas hasta llegar a ella.<br /><br />Resulta lamentable que muchos libros de texto sobre este tema se limitan a reproducir algunas fórmulas aplicando dichas fórmulas a unos cuantos ejemplos particulares, dejándole al estudiante muchas dudas e inclusive cierto grado de perplejidad ante lo que parecen ser efectos sacados de un baúl de trucos de magia y paradojas aparentes que hacen dudar sobre las bases de la teoría. Aunado a lo anterior se enfrenta el obstáculo de que los efectos físicos que son consecuencia directa de la Teoría de la Relatividad no son apreciables en nuestra experiencia cotidiana dado que tales efectos sólo salen a relucir a velocidades comparables a la velocidad de la luz, la cual es extraordinariamente alta (300 mil kilómetros por segundo). Si la velocidad de la luz fuese de unos 2 mil kilómetros por segundo, seguramente estaríamos acostumbrados a sus efectos y la Teoría Especial de la Relatividad sería comprendida en sus efectos hasta por un niño de primaria por la familiaridad diaria con sus consecuencias.<br /><br />La ausencia de un buen libro introductorio en español e inclusive en inglés que le permita al lector no sólo comprender lo que es la relatividad sino que además le permita llevar a cabo la resolución de problemas numéricos o inclusive problemas generalizados es notoria. Así tenemos libros introductorios escritos para el público en general como el libro <span style="font-style: italic;">The Relativity Explosion</span> de Martin Gardner, el cual intenta describir de manera detallada las filosofías que están detrás de las conclusiones y descubrimientos de la Teoría de la Relatividad, pero el cual por su ausencia de fórmulas y números aplicados sobre dichas fórmulas a casos particulares deja a sus lectores funcionalmente iletrados en lo que es la relatividad. Después de leer en su totalidad tal libro lo más seguro es que no podrán resolver ni siquiera un solo problema así sea sencillo que involucre fenómenos relativistas. Por otro lado, tenemos libros de texto universitarios como el libro <span style="font-style: italic;">Foundations of Modern Physics</span> de Paul A. Tipler, el cual en las 51 páginas de las que consta el primer capítulo del libro enseña de manera concisa a sus lectores a resolver problemas simbólicos y numéricos relacionados con la Teoría Especial de la Relatividad, pero no recurre para nada a los diagramas espacio-tiempo concebidos originalmente por Hermann Minkowski, tan esenciales para poder obtener una perspectiva geométrica sobre los fenómenos relativistas. La didáctica utilizada por Tipler es una didáctica puramente algebraica, y al prescindir por completo de los diagramas espacio-tiempo limita las perspectivas de entendimiento de sus lectores, sobre todo en asuntos que involucran la simultaneidad, un fenómeno que se puede captar claramente en un diagrama espacio-tiempo. Por si esta deficiencia fuese poca, el libro de Tipler no dá ni siquiera la más remota pista a sus lectores acerca de lo que trata la Teoría General de la Relatividad. Los diagramas espacio-tiempo sí son utilizados en el libro <span style="font-style: italic;">Física</span> (en su versión en Español) de los autores Francis W. Sears y Mark W. Zemansky, lo cual dá una buena perspectiva geométrica a los lectores sobre la interpretación de los fenómenos relativistas, pero lo que por un lado generosamente dán con los diagramas espacio-tiempo (a los cuales llaman diagramas Brehme) por el otro lado lo quitan al omitir (seguramente por la naturaleza introductoria del libro aunque se trate de un texto universitario) totalmente no sólo la derivación de las fórmulas de transformación Lorentz-Fitzgerald sino toda la filosofía básica que subyace a los postulados básicos de la Teoría de la Relatividad, como tampoco hacen mención alguna a lo más elemental que yace detrás de la Teoría General de la Relatividad. De este modo, la perspectiva filosófica y la perspectiva algebraica son sacrificadas en aras de la perspectiva geométrica. Por otro lado, el libro <span style="font-style: italic;">Space, Time and Gravity</span> de Robert M. Wald no lleva a cabo ni siquiera una introducción decente a los diagramas espacio-tiempo en menos de las cinco páginas que le dedica a tal cosa, para luego saltar directamente hacia la Teoría General de la Relatividad presentando un conjunto de fórmulas que los lectores no tienen ni siquiera la más remota idea de dónde pudieron haber salido. Los materiales propios requeridos para el estudio de la Teoría de la Relatividad se encuentran tan dispersos que inclusive en el venerable libro “Mathematical Methods for Physicists” de George Arfken (tercera edición, 1985) el importantísimo <span style="font-style: italic;">tensor de Riemann</span>, tan fundamental para la geometría diferencial y el estudio del espacio-tiempo curvo, en vez de cubrirse en una sección dedicada única y exclusivamente a dicho tema, es relegado a uno de varios problemas en el capítulo 3.2 del libro, sin hablarse después más del asunto. ¡Y este es precisamente el libro de texto convencional usado por años en las universidades para educar a los físicos en el uso de las herramientas matemáticas que todo físico necesita para poder continuar adelante con estudios más especializados! Y si no les enseñan en este libro mucho sobre el tema, ¿entonces en dónde esperan que lo puedan aprender si no es que por cuenta propia? El libro <span style="font-style: italic;">Física Moderna</span> de Ronald Gautreau y William Savin (de la Serie de Compendios Schaum) podría haber sido una buena opción, excepto que no dá una génesis coherente sobre el desarrollo de las ideas que condujeron a la Teoría Especial de la Relatividad ni habla en lo absoluto acerca de los diagramas de Minkowski ni toca para nada el tema de la Teoría General de la Relatividad. Y el libro <span style="font-style: italic;">Física para estudiantes de Ciencias e Ingeniería</span> de Robert Resnick y David Halliday es todavía peor en el sentido de que simplemente se limita a reproducir varias de las fórmulas propias de la relatividad, y sin entrar en detalle sobre los orígenes filosóficos de la teoría y sin incluír mención alguna acerca de la existencia de los diagramas espacio-tiempo enfatiza la aplicación de las fórmulas a los ejemplos numéricos sobre los cuales se pueden aplicar directamente las fórmulas sin entender realmente lo que está sucediendo, lo cual tiene la desventaja de que hay muchos problemas sencillos que se pueden postular en un curso introductorio que no pueden ser resueltos con la mera aplicación de fórmulas aprendidas como dogmas traídos por un ser superior, problemas para los cuales es necesario comprender exactamente lo que está sucediendo. No se puede tratar de resolverlo todo o inclusive una ínfima parte del todo simplemente multiplicando o diviendo por √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> como acostumbran hacerlo muchos principiantes. Si no se sabe cómo fue obtenida una fórmula, menos se sabrá como modificar la fórmula para aquellos casos en los que el problema sea alterado un poco. Esta metodología para lo único que es buena es para memorizar, no para comprender, y ha sido la causante de que muchos estudiantes que simplemente se limitan a aplicar las fórmulas terminen con la impresión equivocada de que la relatividad es algo repleto de efectos casi mágicos, posibles ilusiones ópticas, o ultimadamente que se trata de una teoría equivocada. Y muchos que frustrados tratan de aprender por cuenta propia lo que es la Teoría de la Relatividad frecuentemente se topan en las pocas bibliotecas técnicas que hay en México con libros sobre el tema que el asunto es tratado de una manera rigurosa e inclusive pedante en la cual se obscurecen conceptos esenciales con formalismo notacional que no ilustra mucho lo que se está estudiando. De este modo, en lugar del estilo relajado utilizado por matemáticos como Henri Poincaré que se explayaban en sus trabajos dando todo tipo de ejemplos ilustrativos esforzándose por hacerle entender a sus lectores las ideas que se les quería transmitir, lo que se tiene en muchos casos son textos que adoptan un rigorismo axiomático en el cual no se proporciona un solo ejemplo ilustrativo y que sólo se limitan a la derivación de teoremas a partir de los axiomas y definiciones que se van dando, siguiendo el método moderno para la publicación de trabajos científicos inspirado por el grupo Bourbaki con el cual se elimina todo lo que no es considerado estricta y absolutamente indispensable, eliminándose muchos pasos intermedios que se suponen “obvios”, aunque ello implique dejar a los lectores con muchas dudas. Si antes se tenía un formalismo moderado con el cual se dificultaba captar la naturaleza esencial de las ideas transmitidas, con el formalismo axiomático riguroso de hoy en día en muchos casos no se tiene ni siquiera la más remota idea de las posibles aplicaciones o la posible trascendencia de aquello de lo que se está hablando. En el camino de forjar una teoría generalizada en grado extremo, abstracta por excelencia, con un conjunto mínimo de axiomas y postulados, definiendo algunos términos básicos, derivando teoremas empleando estrictamente las reglas de la lógica simbólica, obtener resultados y corolarios y continuar derivando teoremas sin un solo ejemplo ilustrativo e inclusive sin recurrir a un solo diagrama, puede quedar la impresión en muchos de que en ese largo recorrido se están pasando por alto o se están perdiendo ideas importantes. Los rigoristas de hoy han olvidado que si no se le puede poner números a aquello de lo que se está hablando en realidad se sabe muy poco o tal vez no se sepa nada acerca de lo que se está hablando, y a ellos se les podría recordar la máxima de Lord Kelvin quien señaló: “Yo digo frecuentemente que cuando uno puede medir aquello de lo cual se está hablando, y expresarlo en números, entonces uno sabe algo acerca de ello”. Procediendo de una manera rigurosamente axiomática, formalista, bastarían tan sólo unas dos o tres páginas para decirle al lector que todo lo que tenga que ver con la Teoría General de la Relatividad se puede derivar de tan sólo dos ecuaciones:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4sX2hInI2Jy7O-3MPDSw-nguyoae9AqxShyphenhyphen4VyYtzvZS8E2euHtGhUZGtyqGPCfe28KikrGeRJZKEzqMmPlLzyfp9gxa61lNE38dCXDkab2WkOpTMvWAif8nvViNW-tlw1WRGyFS1DkM/s1600-h/ecuaciones_fundamentales_teoria_de_la_relatividad.png"><img style="cursor: pointer; width: 289px; height: 122px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4sX2hInI2Jy7O-3MPDSw-nguyoae9AqxShyphenhyphen4VyYtzvZS8E2euHtGhUZGtyqGPCfe28KikrGeRJZKEzqMmPlLzyfp9gxa61lNE38dCXDkab2WkOpTMvWAif8nvViNW-tlw1WRGyFS1DkM/s400/ecuaciones_fundamentales_teoria_de_la_relatividad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5399944646547775554" border="0" /></a><br /></div><br /><br />lo cual es cierto. E inclusive, adentrándonos en el rigorismo, podríamos comenzar postulando a la siguiente cantidad conocida como la <span style="font-weight: bold;">acción</span> (el integrando es un concepto físico importante conocido como el <span style="font-style: italic;">Lagrangiano</span>) como punto de partida de la Teoría General de la Relatividad:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRsHc5-wg8L-J-jeSjsMWadw0ipMpj2VuG1nIEFJEoHPXWjdNSRi4xomm8y86SOT4ubatyJhkXkyM6mT9-HwtLgwXpnx1HVbg588SzZ03XP19PIu7zigpxIlwqzQP8lA1qH8yNj4JcPuc2/s1600-h/Lagrangiano_Relatividad_General.png"><img style="cursor: pointer; width: 390px; height: 95px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRsHc5-wg8L-J-jeSjsMWadw0ipMpj2VuG1nIEFJEoHPXWjdNSRi4xomm8y86SOT4ubatyJhkXkyM6mT9-HwtLgwXpnx1HVbg588SzZ03XP19PIu7zigpxIlwqzQP8lA1qH8yNj4JcPuc2/s400/Lagrangiano_Relatividad_General.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372081181306251810" border="0" /></a><br /></div><br /><br />habido el hecho de que a partir de la <span style="font-style: italic;">extremización</span> de la acción (con la ayuda del <span style="font-style: italic;">cálculo de variaciones</span> que es esencialmente un refinamiento del procedimiento para obtener máximos y mínimos mediante el cálculo infinitesimal) se pueden derivar axiomáticamente las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General. Pero nadie en su sano juicio esperaría que algún lector sin experiencia previa en el asunto empiece a resolver de buenas a primeras problemas a partir de los anteriores enunciados matemáticos como lo haría alguien que haya tomado un buen curso previo sobre la materia. Se pueden tomar las ecuaciones anteriores como postulados, y con unas cuantas definiciones que se vayan agregando en el camino, se pueden ir derivando teoremas y <span style="font-style: italic;">lemmas</span> y corolarios con los cuales se pueden seguir derivando más teoremas y más lemmas y más corolarios, y así la cosa <span style="font-style: italic;">hasta el infinito</span>. Pero... ¿realmente se entiende aquello de lo que se está hablando? La derivación mecánica de resultados aplicando las reglas de la lógica es algo que, estrictamente hablando, lo puede hacer cualquier máquina programada para ello. Pero hasta la fecha son pocos, inclusive los más optimistas en el campo de la inteligencia artificial, los que esperan realmente que de una máquina aplicando a ciegas las leyes de la derivación lógica pueda salir una idea nueva.<br /><br />Aún otro obstáculo en el estudio independiente de la Teoría de la Relatividad lo constituye el hecho de que un mismo símbolo es usado frecuentemente para representar conceptos totalmente diferentes, como la letra griega <span style="font-style: italic;">delta</span> minúscula δ que es usada para representar el <span style="font-weight: bold;">símbolo delta de Kronecker</span> δ<sub>ij</sub>, y es usada también para denotar la <span style="font-weight: bold;">derivada absoluta</span>, y es usada también para denotar la <span style="font-weight: bold;">función delta de Dirac</span>, y en el cálculo de variaciones se utiliza para representar la <span style="font-weight: bold;">variación</span> de una integral a ser extremizada, lo cual desde luego podría ser solventado inventando una cantidad creciente de nuevos símbolos que a fin de cuentas sólo reemplazarían una complejidad por otra (la primera opción, retener un mismo símbolo para representar cosas distintas, parece ser mejor que la segunda). La contraparte son las definiciones matemáticas para las cuales no hay una convención universalmente aceptada, como el hecho de que en muchos libros los componentes de los vectores covariantes son representados con índices subscriptos (sub-índices) y los componentes de los vectores contravariantes son representados con índices superscriptos (super-índices), mientras que en muchos otros libros se lleva a cabo precisamente lo contrario representando los componentes de los vectores covariantes con índices superscriptos y los componentes de los vectores contravariantes con índices subscriptos; o como ocurre con los símbolos de Christoffel que no sólo son representados con la notación usual <span style="font-style: italic;">gamma</span> Γ<sub>ijk</sub> y Γ<sup>i</sup><sub>jk</sub> sino que también son representados con paréntesis rectangulares [ij,k] y con notación de corchetes { }, lo cual sólo aumenta la confusión en los iniciados al ir de un texto a otro.<br /><br />Un libro muy bueno que tal vez sea una excepción a la regla de los libros pedantes, fanfarrones o incompletos sobre el tema de la Teoría General de la Relatividad es el libro <span style="font-style: italic;">Relativity</span> de Bernard F. Schutz, el cual tiene la enorme ventaja de que incluye al final del libro pistas y soluciones a los ejercicios de práctica propuestos en el libro, con los cuales el estudiante autodidacta puede ver por sí mismo qué tan bien ha comprendido el material. Desafortunadamente, además de que este libro es un libro en inglés que aún (2009) no ha sido traducido al español, este libro no está disponible en la gran mayoría de las bibliotecas técnicas y universitarias de la República Mexicana, y ello además de que se trata de un libro impreso no en los Estados Unidos sino en Inglaterra o Australia o algún otro país miembro del Commonwealth, lo que dificulta aún más obtener el libro.<br /><br />Otro problema en intentar comprender realmente de lo que trata la Teoría de la Relatividad frecuentemente es que la tarea es complicada por maestros que no saben explicar bien aquello de lo cual saben mucho, o peor aún que saben dar explicaciones perfectamente claras acerca de cosas sobre las cuales saben y entienden muy poco. Estoy convencido de que la única razón por la cual una persona se resigna a perder miles de horas de su corta vida calentando mesabancos sin aprender mucho o inclusive nada de aquellos malos maestros de los cuales debería de estar aprendiendo muchas ideas nuevas, privándose a la vez de otras satisfacciones que podría obtener de la vida, es porque tiene que cumplir con un requisito obligatorio aplicado por igual a todos los estudiantes, aguantando a esos malos maestros como un mal necesario de la vida ante los cuales solo queda resignarse mientras los cursos académicos felizmente lleguen a su fin.<br /><br />Otro estorbo en la difusión de las ideas fundamentales que hay detrás de la Teoría de la Relatividad es la formidable (e injustificada) reputación de que se trata de una teoría extremadamente complicada para la cual se necesita ser un genio para poder comprenderla. Una anécdota que viene al caso es una entrevista realizada al Profesor Arthur Stanley Eddington, en la cual el entrevistador pregunta: “Profesor Eddington, ¿es cierto que sólo hay tres personas en el mundo que entienden la teoría de Einstein?”, a lo cual supuestamente Eddington le responde: “¿quién es la tercera?”<br /><br />Como si todo lo que ya se ha señalado no fuesen suficientes intimidaciones, obstáculos e impedimentos para dificultarle al principiante el tratar de aprender por cuenta propia los aspectos relevantes de la Teoría de la Relatividad, otro problema con el que nos topamos es que no sólo hay autores que omiten pasos de desarrollo que tal vez para ellos serán muy obvios pero que no son nada obvios para quien está tratando de entender cada paso, sino que inclusive incurren en lo que parecen ser traspiés sin dar justificación alguna a la lógica empleada por ellos para asentar tales traspiés dándolos como hechos ciertos e incontestables. Un ejemplo entre muchos lo podemos tomar del reverenciado libro <span style="font-style: italic;">A First Course in General Relativity</span> del muy respetado y alabado autor Bernard F. Schutz, en donde podemos leer en la sección <span style="font-weight: bold;">10.7</span> de su libro titulada “Realistic stars and gravitational collapse” una derivación del <span style="font-style: italic;">momentum de Fermi</span> que invoca al principio de incertidumbre de Heisenberg para asentar que para un electrón encerrado en una caja de volumen <span style="font-weight: bold;">V</span>, el momentum de dicho electrón es incierto por una cantidad del orden de (ecuación 10.71 en el libro):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">Δp = hV<sup style="font-weight: bold;">-1/3</sup></span><br /></div><br />que viene siendo lo mismo que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">Δp ·<span style="font-weight: bold;"> </span></span><span style="font-weight: bold;">V</span><sup style="font-weight: bold;"><sup>3</sup></sup><span style="font-size:130%;">= h</span><br /></div><br />en donde <span style="font-weight: bold;">h</span> es la <span style="font-style: italic;">constante de Planck</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">h</span> = 6.626·10<sup>-34</sup> Joule·segundo<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">h</span> = 4.136·10<sup>-15</sup> eV·segundo<br /></div><br />Lo primero que salta a la vista es que la ecuación dada por Schultz <span style="font-style: italic;">es dimensionalmente incorrecta</span>. No existe forma alguna en la cual se puedan compaginar las unidades. Ello deriva del hecho de que la relación usual de la incertidumbre de Heisenberg es una fórmula <span style="font-style: italic;">unidimensional</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:130%;" lang="EN-US"><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 102);">Δp · Δx ≥ h/4π</span></span><br /></div><br />El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser extendido rigurosamente, desde luego, de una dimensión a tres dimensiones. Pero la fórmula así obtenida no se asemeja a la fórmula dada por Schutz. En una ciencia en la que hasta diferencias numéricas minúsculas en las masas de dos elementos distintos -después de la tercera o la cuarta cifras significativas- son importantes para calcular la enorme cantidad de energía liberada mediante el proceso de conversión de masa a energía, estas omisiones en las que con toda la naturalidad del mundo una potencia lineal es reemplazada por una potencia cúbica o viceversa son francamente imperdonables. Y si el lector intenta justificar por sí mismo la fórmula dada por Schutz, encontrará que el 99 por ciento de los libros que pueda consultar le darán la fórmula de Heisenberg en su versión unidimensional, no en su versión tridimensional, y cuando se la dan es probable que se la den como parte de un ejercicio puesto al final del libro para el cual no se dá la solución alguna dentro del libro. Complicando aún más las cosas está el hecho de que la derivación dada por Schutz ni siquiera es la derivación usual que se dá al momentum de Fermi, ya que mientras que Schutz parte del principio de incertidumbre de Heisenberg la derivación usual de la fórmula que se dá en la gran mayoría de los libros de Mecánica Cuántica para el momentum de Fermi recurre a la especificación de niveles energéticos extendidos a lo que llamamos una <span style="font-style: italic;">esfera de Fermi</span> encerrada dentro de una <span style="font-style: italic;">superficie de Fermi</span>:<br /><br />http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy<br /><br />Por lo que podemos ver, la derivación dada por Schutz es una derivación muy <span style="font-style: italic;">sui generis</span>, partiendo de una base que para él parece estar totalmente justificada y que no requiere mayores explicaciones al lector, y si lo que Schutz omitió en su libro resulta ser muy claro para él entonces se supone que debe ser también muy claro para todos sus lectores y para los maestros que adopten su libro como libro de texto, aunque desafortunadamente esto no sea el caso.<br /><br />Otro punto de contención que se puede formular en contra de muchos textos “clásicos” es el hecho de que asumen demasiadas cosas por enseñadas o explicadas en otros textos considerados más elementales. Un ejemplo lo podemos ver en la segunda edición del libro “Classical Electromagnetic Radiation” de Jerry B. Marion y Mark A. Heald en el Apéndice C “Fundamental Constants”, en donde para la carga eléctrica e del electrón se proporciona un valor de 4.803·10<sup>-10</sup> statcoulombs, y debajo de dicho valor proporciona un valor de e² = 1.440·10<sup>-13</sup> MeV-cm sin dar mayores explicaciones al respecto, lo cual puede dejar perplejo al lector. Pero no sólo no proporciona explicación alguna en dicho apéndice sobre el por qué o la forma en la cual se llevó a cabo esta conversión, tampoco dentro del libro hace mención alguna al respecto, suponiendo que la razón para esto seguramente fue enseñada en otros textos más elementales. Pero la gran mayoría de los textos considerados más elementales no hace tampoco mención alguna sobre el origen de esto, suponiendo que tal cosa será cubierta en mayor detalle en textos considerados más avanzados como el de Marion-Heald, y lo peor del caso es que en los textos considerados más elementales el sistema de unidades utilizado es el SI del cual la unidad de carga eléctrica statcoulomb no forma parte (el valor que utilizan es el de 1.6·10<sup>-19</sup> coulomb, el cual está relacionado con el statcoulomb mediante la conversión 1 coulomb = 3·10<sup>9</sup> statcoulombs). Esto puede confundir y desesperar a cualquier principiante que se encuentra a sí mismo perdiendo una gran parte de su tiempo enfrascado en la conversión de unidades, algo en lo que no debería haber problema alguno. Y como éste caso se pueden citar millares de ejemplos en los cuales en textos considerados autosuficientes se utiliza información para la cual se dán muchas cosas por conocidas previamente aunque no haya razón para suponer que necesariamente tales cosas fueron enseñadas previamente en la gran mayoría de los cursos considerados más elementales. Una razón utilizada por muchos autores para no entrar en detalles aclaratorios sobre cosas que ameritan una mayor explicación es el argumento (yo lo llamaría más bien excusa, pretexto) de “la falta de espacio”. Afortunadamente, en Internet no se trabaja con tales limitaciones, y es posible explayarse de un modo que muchas casas editoras no lo permitirían. Naturalmente, si muchos libros en el mercado resultan demasiado crípticos para el lector ordinario por todas aquellas cosas omitidas por “la falta de espacio”, siempre existe la posibilidad de que tales libros evantualmente sean desplazados y pierdan una buena parte del mercado, reemplazados por materiales de mayor extensión que se pueden encontrar en Internet inclusive de manera gratuita.<br /><br />Soy de la opinión de que el énfasis en rigorismo y en invención continua de notación matemática cada vez más elaborada y compleja tiene que ver directamente con el hecho de que en la actualidad no se estén dando ya los espectaculares avances que se estaban dando a principios del siglo XX en las ciencias básicas. A cambio de tanto rigorismo y tanto formalismo aplicado casi a ciegas lo que estamos obteniendo son teorías sumamente complejas como la <span style="font-weight: bold;">teoría de las supercuerdas</span> (<span style="font-style: italic;">string theory</span>) que no han servido para proponer ni siquiera un solo experimento con el cual se pueda descubrir algo nuevo y confirmar así la teoría, en contraste con las ecuaciones originales de James Clerk Maxwell y de Albert Einstein a partir de las cuales se predijeron muchos efectos que posteriormente fueron confirmados en los laboratorios.<br /><br />No sé si haya un libro en inglés que subsane todas las deficiencias que han sido señaladas anteriormente. Si lo hay, no tengo conocimiento del mismo. Pero ciertamente tal libro no parece estar disponible para su venta en español; al menos yo no he visto un libro tal en las librerías dedicadas a la venta de textos universitarios y temas de índole técnica. Es por ello que, aprovechando la facilidad de poder llegar a través de Internet a un auditorio amplio, he decidido recopilar los materiales que se encuentran dispersos aquí y allá para presentarlos de una manera coherente y entendible.<br /><br />He tratado de mantener los materiales agrupados y seleccionados de modo tal que puedan ser comprensibles con un mínimo de estudios matemáticos. Pero no he tratado de incluírlo todo. Debe tomarse en cuenta que un curso completo sobre la Teoría de la Relatividad requeriría de un libro como el libro <span style="font-style: italic;">Gravitation</span> de más de 1,200 páginas:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjODgFRqdpKTp5tGkvehAjFFu8VWBJVVOgsG9JH3kvOfNeM-JsY6gn9E5Klb4IZMnBGrJ6U9FDUGxiTAWq5SD0qW6db6IsjA68OICNVwAN5eHWlJ3V150edc9KnLoX9RdpG3P7vXB8c9m7D/s1600-h/libro_Gravitation.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 323px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjODgFRqdpKTp5tGkvehAjFFu8VWBJVVOgsG9JH3kvOfNeM-JsY6gn9E5Klb4IZMnBGrJ6U9FDUGxiTAWq5SD0qW6db6IsjA68OICNVwAN5eHWlJ3V150edc9KnLoX9RdpG3P7vXB8c9m7D/s400/libro_Gravitation.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5346905498225336690" border="0" /></a><br /></div><br /><br />de Charles W. Misner, Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler (considerado por los estudiosos como la “Biblia” de la Relatividad General y conocido también entre la comunidad científica como el “Directorio Telefónico” por su grosor), siendo éste un libro que se utiliza a nivel de estudios de Doctorado en Física. No es el propósito de esta obra ser enciclopédica cubriéndolo absolutamente todo. Sin embargo, con los materiales que he incluído, al menos los que no son especialistas en el tema tendrán cierta idea sobre aquello de lo cual están hablando estos libros de texto avanzados, y tal vez hasta podrán entender algunas cosas en dichos libros, lo cual siempre es mejor que no entender absolutamente nada y no tener la menor idea sobre aquello de lo cual trata una de las teorías más revolucionarias de nuestros tiempos.<br /><br />Tal vez haya frases o comentarios dentro de este trabajo que a algunos lectores les parecerán demasiados obvias e inclusive superfluas. Por ejemplo, en varias partes el lector tal vez encontrará una referencia a cierto objeto moviéndose todo el tiempo en la misma dirección y sentido, y al ver esto tal vez se dirá a sí mismo: “¿Por qué se habla aquí de un objeto que se está moviendo en la misma dirección y sentido? ¿Es que acaso un objeto puede moverse en cierta dirección pero en diferente sentido?”. La respuesta que a veces sorprende a muchos está ejemplificada en el siguiente diagrama:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDL6lgTOLYsVSM_p7AxJkGCqI2sfZnzMV06zVfvOdKv1iCwMwqEIqiJ34sXxp1MXwywMmwmMDLU27uiq7QBVTECkXCmEyy0pDQyzimLXZgFnpTxBbygH2gFX5sWnSdaMcLhpVR5Xptj5_o/s1600-h/direccion_y_sentido.png"><img style="cursor: pointer; width: 309px; height: 166px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDL6lgTOLYsVSM_p7AxJkGCqI2sfZnzMV06zVfvOdKv1iCwMwqEIqiJ34sXxp1MXwywMmwmMDLU27uiq7QBVTECkXCmEyy0pDQyzimLXZgFnpTxBbygH2gFX5sWnSdaMcLhpVR5Xptj5_o/s400/direccion_y_sentido.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322446936956468018" border="0" /></a><br /><div style="text-align: left;"><br /><br />En este caso, tenemos un cuerpo <span style="font-weight: bold;">A</span> que está moviéndose siguiendo una <span style="font-weight: bold;">dirección</span> <span style="font-style: italic;">hacia la derecha</span>. Pero el <span style="font-weight: bold;">sentido</span> en el que está moviéndose dicho cuerpo es realmente hacia donde lo está jalando el cuerpo <span style="font-weight: bold;">B</span>, que es <span style="font-style: italic;">hacia abajo</span>. Al hablar de un cuerpo que está moviéndose en la misma dirección y sentido, se está hablando de un cuerpo que se está moviendo <span style="font-style: italic;">en la misma dirección y en el mismo sentido</span>, literalmente hablando. Existen también otras definiciones con diferencias sutiles que desafortunadamente muchos maestros omiten señalar ya sea por olvido o por ignorancia, como el hecho de que utilizamos la palabra <span style="font-weight: bold;">área</span> cuando nos referimos al espacio comprendido dentro de una figura geométrica <span style="font-style: italic;">plana</span> y utilizamos la palabra<span style="font-weight: bold;"> superficie</span> cuando nos referimos al mismo espacio comprendido dentro de los bordes de una figura geométrica tridimensional (como lo es el caso de la superficie de una pelota); o como el hecho de que no es lo mismo <span style="font-weight: bold;">velocidad</span> que <span style="font-weight: bold;">rapidez</span>, ya que para definir la velocidad de un objeto generalmente la damos señalando la<span style="font-style: italic;"> dirección</span> hacia la cual se está desplazando dicho objeto o por lo menos le asignamos <span style="font-style: italic;">un signo</span> positivo o negativo (por ejemplo un signo positivo cuando se trata de un cuerpo moviéndose hacia la derecha o un signo negativo cuando se trata del mismo cuerpo moviéndose en sentido contrario, hacia la izquierda) pero para definir la rapidez del mismo objeto simplemente damos la <span style="font-style: italic;">magnitud</span> de la velocidad (por ejemplo, 5 metros por segundo) sin hacer referencia alguna a la dirección hacia la cual se está moviendo el objeto. Hay aún otras definiciones cuyo uso puede causar confusión en quienes adolecen de una mala enseñanza en sus estudios de secundaria y bachillerato, como la diferencia entre el concepto de <span style="font-style: italic;">masa</span> y el concepto de <span style="font-style: italic;">peso</span> (la masa es algo intrínseco, invariable, medido en kilogramos, propio de un objeto cualesquiera que ocupe un lugar en el espacio y que inclusive pueda estar flotando en el espacio, mientras que el peso es la atracción ejercida por la gravedad sobre una masa, de forma tal que una masa de una tonelada -mil kilogramos- puede tener un peso igual a cero al estar flotando fuera del sistema solar, mientras que una masa de unos cuantos gramos puede tener un peso considerable sobre la superficie de un planeta como Júpiter). Y así como éstos hay otros detalles y expresiones similares empleadas aquí que vistas a fondo no son tan superfluas.<br /></div></div><br />En donde lo he considerado conveniente, he metido problemas de ejercicios de práctica que el lector puede intentar resolver por sí mismo antes de irse un poco más abajo del mismo para ver su solución. En ningún caso he incluído problema o ejercicio para el que yo no dé solución alguna, porque es mi objetivo <span style="font-style: italic;">no dejar con dudas a los lectores</span>. Y esto aplica a toda la obra.<br /><br />He tratado también de recurrir a todo el arsenal disponible de elementos didácticos y pedagógicos para poder mantener centrada la atención del lector sobre el tema que se está discutiendo, incluyendo numerosas figuras y diagramas así como el uso de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar la importancia de algo en específico; y del mismo modo me he permitido agregar pasos extra en la derivación de resultados que frecuentemente son omitidos en los textos impresos. Aunque en una cadena de razonamientos hay muchas explicaciones y muchos pasos que son más que obvios para el maestro o para el especialista, pasos que son omitidos en la publicación de trabajos científicos, muchas veces hay cosas que no son tan obvias para los que están iniciando por vez primera el estudio de una rama nueva del conocimiento, y es aquí en donde cualquier explicación adicional o comentarios extra pueden ser de gran ayuda para ayudarle al lector a comprender mejor una idea sin dejarle dudas sobre la misma, y de esto es de lo que trata a fin de cuentas todo el esfuerzo que se ha estado llevando a cabo en esta obra. La obligación del maestro no es dar explicaciones <span style="font-style: italic;">elegantes</span>, su obligación es dar explicaciones <span style="font-weight: bold;">entendibles</span>, su obligación es <span style="font-style: italic;">enseñar</span>, y en la medida en que el maestro pueda lograr esto habrá cumplido (o fracasado) en su misión fundamental que consiste en la transmisión de conocimientos. Las explicaciones elegantes, concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco entendibles) se pueden dejar para la publicación de trabajos científicos para cuya lectura se supone que los lectores están familiarizados e inclusive son expertos en el tema.<br /><br />Se ha hecho lo posible por hacer esta obra autosuficiente, proporcionando dentro de la misma las herramientas necesarias para poder avanzar sin necesidad de tener que estar buscando en las bibliotecas y en las librerías otros libros de texto de difícil obtención que recurren incluso a notación diferente que puede resultar confusa. Los materiales de referencia externos, cuando son citados aquí, son materiales que se pueden obtener rápidamente con una conexión a Internet.<br /><br />Como será obvio conforme el lector se adentre en el estudio de la materia, Einstein no formuló por cuenta propia todo lo que tiene que ver con la Teoría de la Relatividad, se tuvo que apoyar en los trabajos de otros científicos de primer nivel como Bernhard Riemann (el matemático que asentó sobre bases firmes la geometría diferencial y formalizó el estudio de las geometrías no-Euclideanas), James Clerk Maxwell (el padre del electromagnetismo), Gregorio Ricci y su alumno Tullio Levi-Civita (creadores del cálculo tensorial) y Hermann Minkowski (descubridor de la interpretación geométrica de la Teoría de la Relatividad a través de los diagramas espacio-tiempo), y la labor ha tenido que ser continuada por científicos de la talla de Stephen Hawking y Roger Penrose. Pero el mérito de haber utilizado todas las herramientas disponibles en su tiempo para consolidar una de las teorías más brillantes del siglo XX es indiscutiblemente suyo, y ese es un mérito que nadie le va a negar.<br /><br />Aunque al tratar sobre el tema de la Teoría Especial de la Relatividad se ha tratado de hacer el menor uso posible de las herramientas propias del cálculo infinitesimal, la transición hacia la Teoría <span style="font-style: italic;">General</span> de la Relatividad requiere forzosamente de algunos conocimientos básicos del cálculo infinitesimal, y no sólo del cálculo infinitesimal sino de otra rama de las matemáticas conocida como el <span style="font-weight: bold;">cálculo tensorial</span> (cuyos fundamentos son cubiertos en esta obra). Esta es la naturaleza de la bestia. De cualquier modo, hay mucho material que puede ser entendido aún por quienes no cuentan con estas herramientas matemáticas, se ha hecho aqui un esfuerzo adicional por lograrlo.<br /><br />Como corresponde a una obra de esta extensión, se ha suministrado al final de la misma una Bibliografía que incluye textos que van desde los más elementales hasta los que suelen considerarse más avanzados. También dentro de la Bibliografía, y reflejando el impacto que está teniendo la enciclopedia universal virtual <span style="font-style: italic;">Wikipedia</span> como vasto repositorio de información suministrando una cantidad creciente de conocimientos en todas las áreas del saber humano, accesibles gratuitamente y en forma instantánea a todas horas del día, se ha proporcionado la lista de enlaces en los cuales los lectores pueden encontrar otras referencias de apoyo a los materiales condensados en esta obra. Dicha lista ha sido puesta acomodando los enlaces siguiendo un orden similar al cual se van tratando los temas dentro de esta obra. En dicha lista los lectores encontrarán tanto enlaces Wikipedia en Español como enlaces Wikipedia en Inglés, esto en virtud de que los enlaces Wikipedia en Inglés por lo general tienen información más actualizada o están algo más completos que los enlaces Wikipedia en Español sobre los mismos temas, especialmente tratándose de temas en ciencia y tecnología, e inclusive hay ciertos temas que aparecen publicados en los enlaces Wikipedia en Inglés pero que no aparecen aún en los enlaces Wikipedia en Español. Siendo la Wikipedia una base de datos en proceso continuo de evolución, al igual que el mismo Internet, vale la pena tener todas las referencias y enlaces posibles de la misma tanto en Español como en Inglés para poder buscar así en uno algo que no se pueda encontrar en otro. La Wikipedia tiene otra ventaja adicional que la pone por encima de otros enlaces que se pudieran facilitar: <span style="font-style: italic;">persistencia</span>. ¿En cuantas ocasiones el lector no se llegó a encontrar con la desagradable sorpresa de que después de encontrar un enlace interesante regresó tiempo después solo para descubrir que dicho enlace ya no existía y que posiblemente hasta el sitio en el que se encontraba alojado el enlace tampoco existe, habiendo sido borrada toda la información junto con todas las imágenes? Esta es la principal razón por la cual me he abstenido en esta obra de citar enlaces cuya duración a largo plazo no esté garantizada.<br /><br />Como una muestra de la revolución informática que está ocurriendo desde que Internet irrumpió en la vida del hombre del Tercer Milenio, en algunas partes de esta obra se hace referencia a un nuevo medio de diseminación de trabajos científicos que está adquiriendo cada día mayor renombre. Se trata de <a href="http://www.arxiv.org/">arXiv</a>, administrado por la Universidad de Cornell y financiado en parte por la National Science Foundation. Dados los costos involucrados en el pago de la compra o descarga via Internet de papeles cientificos publicados por las organizaciones profesionales establecidas, los cuales pueden irse acumulando rapidamente poniendo en aprietos los bolsillos de los academicos e investigadores que no son precisamente gente rica (un contrasentido considerando que en su gran mayoría los autores que envían sus trabajos para ser publicados en estos medios no lo hacen con fines de lucro), aunado a la lentitud con la cual puede tardar en aparecer publicado algún resultado importante mientras el trabajo es revisado por un equipo de colegas (proceso conocido como <span style="font-style: italic;">revisión por pares</span> conocido en inglés como <span style="font-style: italic;">peer review</span>), todo esto está motivando a que la preferencia hacia los medios clásicos de publicación vaya menguando y que la atención se esté trasladando cada vez con mayor frecuencia a recursos más modernos en Internet tales como arXiv. En muchos campos de las matemáticas y la física, casi todos los artículos científicos de importancia se están colocando ya en arXiv. A la fecha de septiembre de 2007, arXiv contenía más de 440.000 trabajos imprimibles, lo que supone que miles de ellos son añadidos cada mes. Su existencia fue uno de los factores que condujo a que se precipitara la actual revolución en la forma en que se efectúan las publicaciones científicas, conocido como el “movimiento de libre acceso”, con la posibilidad de una eventual desaparición de las revistas científicas tradicionales que pueden terminar siguiendo el camino recorrido por los dinosaurios en su extinción. Los matemáticos profesionales y los científicos cargan regularmente sus artículos en arXiv.org para que haya un acceso mundial y algunas veces para que se revise antes de que sean publicadas en revistas. Aunque la falta de revisión por pares suscita alguna preocupación, no se considera un obstáculo para los usuarios de arXiv, ya que muchos autores son cuidadosos con sus contribuciones, y la mayoría de los <span style="font-style: italic;">e-prints</span> también se envían a revistas científicas para que sean publicadas, pero algunos trabajos, incluidos algunos artículos influyentes, se quedan solo como e-prints y jamás son publicados en una revista científica. Un ejemplo bien conocido de esto último es una prueba de la <span style="font-style: italic;">conjetura de la geometrización de Thurston</span> que resuelve finalmente la famosa <span style="font-style: italic;">conjetura de Poincaré</span> como caso particular, enviada por Grigori “Grisha” Perelman el 11 de noviembre de 2002 bajo el título “<a href="http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159">The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications</a>”.<cite class="" id="CITEREFPerelman.2C_Grisha2002"></cite> Perelman parecía satisfecho de renunciar a una publicación tradicional revisada por pares, alegando que “Si alguien está interesado en mi forma de resolver los problemas, está todo ahí (refiriéndose a arXiv), dejemos que entren y lo lean”.<br /><br />En las entradas en esta obra en donde se trata el tema de la electrodinámica relativista, en lugar de la extensión del sistema de unidades MKS hacia el área del electromagnetismo convencionalizado conocido todo en conjunto como el sistema de unidades SI, se ha escogido al sistema Gaussiano de unidades. Aunque la gran mayoría de los lectores seguramente han sido expuestos al sistema MKS de unidades de uso tan común en la resolución de problemas prácticos de ingeniería, cuyas unidades son de un orden de magnitud que resulta útil en la discusión de efectos medibles a la escala de laboratorio (volts, amperes, webers/m², etc.), en el estudio de la interacción de la radiación electromagnética con los constituyenes elementales de la materia (átomos, fotones, etc.) resulta más conveniente adoptar el sistema Gaussiano de unidades. Una consecuencia en la adopción del sistema Gaussiano de unidades es que fórmulas que le resultan familiares a muchos estudiantes como la fórmula <span style="font-weight: bold;">B</span> = μ<span style="font-weight: bold;">H</span> en el sistema Gaussiano se tome simplemente como la igualdad <span style="font-weight: bold;">B</span> = <span style="font-weight: bold;">H</span> sin que se vea a la constante de permeabilidad magnética μ presente. Pero la ausencia de μ en esta fórmula en el sistema Gaussiano de unidades se debe a la forma en la cual ha sido definido dicho sistema de unidades. Aún otra consecuencia es que la familiar fórmula que define al <span style="font-style: italic;">vector de Poynting</span> como el producto cruz <span style="font-weight: bold;">S</span> = <span style="font-weight: bold;">E</span><span style="font-weight: bold;">x</span><span style="font-weight: bold;">H</span> se convierte en la fórmula <span style="font-weight: bold;">S</span> = (c/4π)<span style="font-weight: bold;">E</span><span style="font-weight: bold;">x</span><span style="font-weight: bold;">H</span>, haciendo que entre en el panorama la constante que simboliza a la velocidad de la luz. Sin embargo, este factor multiplicativo de c/4π resulta conveniente en los desarrollos que son llevados a cabo en el estudio de la electrodinámica clásica. (De cualquier forma, para convertir una fórmula del sistema de unidades SI al sistema Gaussiano de unidades basta reemplazar la permitividad eléctrica del espacio libre ε<sub>0</sub> con 1/4π y la permeabilidad magnética μ<sub>0</sub> con 4π.) Otra razón que justifica la adopción del sistema Gaussiano de unidades al tratar el tópico de la electrodinámica relativista es que una gran cantidad de libros de texto a nivel universitario y a nivel postgrado adoptan el sistema Gaussiano de unidades, y el adoptar aquí el sistema MKS puede causar confusión posterior al estar consultando varios textos, y esta sea tal vez la mejor razón de todas para no tratar de desviarse de algo que se ha convertido en una costumbre extendida.<br /><br />Se han incluído como parte de los apéndices de esta obra tanto el texto completo (en inglés) del primer trabajo que le fue publicado a Einstein en 1905 con el cual dió a conocer al mundo la Teoría Especial de la Relatividad, así como las copias más relevantes de su cuaderno de apuntes en el cual fue desarrollando a lo largo de dos años en forma manuscrita sus ideas principales acerca de la Teoría General de la Relatividad, la cual fue publicada en octubre de 1915. Se ha relegado también a los apéndices material importante que complementa las ideas expuestas en el interior de la obra o que expande el material expuesto hacia nuevos horizontes pero que no es indispensable para poder dar continuidad a lo que se está leyendo cuando se está siguiendo el orden de las entradas puestas en esta obra.<br /><br />Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de Wikipedia, este trabajo es una pequeña contribución al ambicioso objetivo de <span style="font-weight: bold;">un mundo en el que todas las personas y cualquier persona tengan libre acceso a la suma total de los conocimientos de la humanidad</span>.<br /><br />Aprovecho la ocasión para expresar mi más profundo agradecimiento a Roger Cortesi, quien generosamente proporcionó los medios para la generación automatizada a través de <span style="font-weight: bold;">LaTeX</span> de la tipografía requerida para la construcción de fórmulas matemáticas que hasta la fecha no pueden ser generadas automáticamente por ninguno de los navegadores de Internet (<span style="font-style: italic;">browsers</span>) convencionales.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">IMPORTANTE</span>: Este es un trabajo construcción, y sólo se considerará terminado cuando este último párrafo no aparezca aquí haciendo esta advertencia. Los huecos que aparezcan aquí y allá a espera de ser llenados en esta obra son la consecuencia inevitable de ser algo que está siendo elaborado simultáneamente en partes diferentes. Aunque conforme se van acumulando los materiales están siendo sometidos a un proceso de revisión continua, es inevitable que en una obra de esta magnitud surjan equivocaciones, errores tipográficos e inclusive fallos de lógica, por lo que agradeceré cualquier observación que se me haga llegar al respecto así como cualquier sugerencia para mejorías.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-38311337062407553542009-03-18T23:50:00.000-07:002009-12-09T12:01:52.172-08:00El movimiento absoluto<div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFKjvwOWq2u7zmosjbUeb7Q1BcmwO33pf3EI140uidTHf6QmPSAf_79pVHoEG3uOnK8FPNIYlqLdM17VLv-CwhVZvNHkeULrtXfDgvVzY7P4oGO6XgEs97eEx8NYtyja3aY6dFSlkc9y-5/s1600-h/tren.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 199px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFKjvwOWq2u7zmosjbUeb7Q1BcmwO33pf3EI140uidTHf6QmPSAf_79pVHoEG3uOnK8FPNIYlqLdM17VLv-CwhVZvNHkeULrtXfDgvVzY7P4oGO6XgEs97eEx8NYtyja3aY6dFSlkc9y-5/s400/tren.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314581115113528546" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Empezamos nuestra disertación con un viajero que se acaba de subir a un tren de pasajeros en una estación de ferrocarriles y se acaba de acomodar en su asiento el cual está justo a un lado de una ventana que dá una vista hacia afuera. Una vez que el <span style="font-style: italic;">porter</span> se ha asegurado de que todos los pasajeros le han entregado sus boletos de viaje y que están ya en sus lugares asignados, el tren se pone en movimiento enfilándose hacia su destino:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgthsEQEARQlxicbjcf70g8eR7yl9dzkRcGaNhhzPDh4FQZTP1kmXuqlsgjl1xrK3IbszbnRvlWb4uaTrXYR1QtbPcr7zf39uJYPzXEg8ekDI9PyQa5zwL7ctM1-ue6uR_83IzJmb_QHd6v/s1600-h/tren_en_movimiento.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgthsEQEARQlxicbjcf70g8eR7yl9dzkRcGaNhhzPDh4FQZTP1kmXuqlsgjl1xrK3IbszbnRvlWb4uaTrXYR1QtbPcr7zf39uJYPzXEg8ekDI9PyQa5zwL7ctM1-ue6uR_83IzJmb_QHd6v/s400/tren_en_movimiento.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314581439297826354" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El viajero se dá cuenta de que el vagón de ferrocarril en el que viaja está en movimiento porque la vista que recibe del exterior le muestra que todo lo que observa de afuera, casas, praderas, edificios, llanos, granjas, etc., parece crear la ilusión de estarse desplazando todo junto en una dirección contraria a la dirección hacia la cual se está moviendo el ferrocarril. Al caer la noche, los pasajeros bajan las cortinas de las ventanas para poder dormir, y todo lo que se siente es el vaivén del ferrocarril conforme avanza sobre las vías de acero.<br /><br />Es aquí cuando el viajero se percata de que al estar cerradas las cortinas, al no tener una vista directa desde el vagón hacia el exterior, ha perdido su punto de referencia visual con el cual podía darse cuenta sin el menor asomo de duda que el vagón de pasajeros en el que viaja estaba en movimiento sobre las vías del tren.<br /><br />De cualquier manera, él sabe que el pesado tren está en movimiento porque se está meciendo de un lado a otro produciendo vibraciones sensibles no sólo al oído sino al tacto, clara señal de que el tren mantiene cierto tipo de movimiento.<br /><br />Ahora llevaremos a cabo un experimento <span style="font-style: italic;">gedanken</span>, un experimento realizado por completo dentro de la tranquilidad de nuestro pensamiento pero que no por ello deja de tener repercusiones completamente válidas para el mundo real en que vivimos como las podría tener un experimento llevado a cabo con instrumentos y aparatos costosos. Vamos a suponer que todas las ventanas del tren han sido selladas herméticamente de modo tal que será imposible tener la menor pista de que el tren está en movimiento por alguna señal visual llegada del exterior. El interior del tren se encuentra perfectamente iluminado por el sistema de energía eléctrica autónomo del convoy de ferrocarriles, pero no es posible ver hacia afuera porque el vagón es en efecto una caja herméticamente sellada.<br /><br />¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagón que nos transporta?<br /><br />Lo primero que se nos ocurre es la confirmación que nos dá el vaivén del vagón meciéndose de un lado a otro. Esto nos confirma que estamos en movimiento. Pero esta confirmación se debe a las imperfecciones de las vías del ferrocarril que no están situadas sobre una superficie horizontal perfectamente plana. En nuestro experimento gedanken, imaginemos que las vías del ferrocarril están colocadas sobre una superficie extensa perfectamente plana de modo tal que el vagón no tiene por qué mecerse de un lado a otro, e imaginaremos tambié que el tren se mueve siempre hacia adelante sin virar en lo más mínimo ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. De este modo el convoy de vagones se mueve sin mecerse de un lado a otro, y así hemos perdido otra pista que nos indicaba que estamos en movimiento. Pero aún nos queda el ruido estridente que producen las ruedas de acero del ferrocarril tallando sobre las vías de acero en las que se mueve. Sin embargo esto se puede solucionar sellando acústicamente el vagón de ferrocarril de modo tal que no sea posible percibir ruido alguno llegado del exterior, con lo cual estaremos viajando en un tren perfectamente blindado en contra de ruidos (si el viajero es sordo, tal blindaje acústico no será necesario).<br /><br />Tal vez se nos ocurra hacer trampa con un amigo situado en el exterior que a través de un teléfono celular nos llame del exterior y nos confirme que el tren está en movimiento. Pero supondremos que no contamos con tal ayuda.<br /><br />Supóngase que el tren es un tren bala de diseño ultramoderno que está viajando a una velocidad extremadamente elevada con respecto al suelo, digamos a unos 500 kilómetros por hora. Se nos podría ocurrir otra cosa; se nos podría ocurrir saltar hacia arriba dentro del vagón de ferrocarril para no tener contacto alguno con el piso del mismo por algunos segundos, en la creencia de que al estar separados del piso por ese breve lapso de tiempo suspendidos en el aire el vagón continuará con su movimiento rápido de 500 kilómetros por segundo mientras que nosotros iremos quedando atrás, y al caer tocando nuevamente el piso estaremos en una posición más atrás de la posición desde la cual habíamos saltado. Sin embargo, al hacer esto, descubrimos que ésto no funcionará tampoco, caeremos exactamente en el mismo sitio desde el cual saltamos hacia arriba. Esto se debe a que si bien el tren se está moviendo a una rapidez elevada, a 500 kilómetros por hora, nosotros con los pies puestos firmemente sobre el piso del vagón también nos estaremos moviendo a los mismos 500 kilómetros por hora, y al despegarnos del piso del tren seguiremos moviéndonos a la misma velocidad de 500 kilómetros por hora, porque en un vagón perfectamente blindado no hay nada que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilómetros por hora. Esto es algo que nos garantiza una de las leyes de Newton que nos dice que todo cuerpo permanece en estado de reposo o en su movimiento rectilíneo mientras no intervenga una fuerza externa que modifique dicho estado de reposo o de movimiento rectilíneo, y en un vagón perfectamente sellado no hay fuerza horizontal alguna actuando en contra nuestra que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilómetros por hora. Si el vagón estuviera al descubierto, sin techo y sin paredes, entonces al saltar hacia arriba la fuerza del aire exterior actuando como un viento en contra de nosotros nos haría caer más atrás, pero esto se debe a que al saltar y despegarnos del piso del vagón por breves instantes el vagón ya no nos puede seguir arrastrando con la misma velocidad al no tener nosotros ya el momentum para sobreponernos a la resistencia del aire. En un vagón perfectamente sellado, no hay corrientes de aire que nos puedan mover de un lado a otro cuando saltamos, así que un brinco hacia arriba nos hará caer en el mismo punto del cual saltamos. Esta es una experiencia que tal vez muchos habrán compartido cuando al estar viajando dentro de un camión de pasajeros circulando por la carretera saltaron hacia arriba creyendo que iban a caer un poco más atrás y cayeron en el mismo lugar del cual saltaron.<br /><br />Al fallar lo anterior, nuevamente, volvemos a formularnos la pregunta de antes:<br /><br />¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagón que nos transporta?<br /><br />Si hemos sido raptados, anestesiados, y despertamos después en un vagón de ferrocarril perfectamente sellado del exterior, lo primero que desearíamos saber es si el tren en el que viajamos está en movimiento. Pero sin pista visual alguna y sin pista acústica alguna, tal cosa se antoja problemática. Es entonces cuando tratamos de recurrir a la física, cuando tratamos de recurrir a cierto experimento mecánico que nos permita darnos cuenta de que estamos en movimiento. Aquí se vale de todo. Se vale sacar balanzas, agujas colgando de hilos delgados, medidores de presión barométrica, en fin, todos los instrumentos y aparatos que se nos pueda ocurrir.<br /><br />Sin embargo, conforme hacemos experimento tras experimento, encontramos que no hay absolutamente nada de índole mecánica que nos confirme que nos estamos moviendo, por la sencilla razón de que todos nuestros instrumentos y aparatos mecánicos están en reposo frente a nosotros moviéndose exactamente a la misma velocidad a la cual nos estamos desplazando en el tren. Adentro del vagón perfectamente blindado, todo se encuentra en un reposo tan perfecto como el reposo en el que nos encontraríamos afuera en un laboratorio escolar.<br /><br />Aquí seguramente habrá críticos que dirán que esta es una situación altamente hipotética, altamente idealizada, de un experimento imposible de llevarse a cabo. Sin embargo, esto no es así, ya que para llegar a las mismas conclusiones todo lo que tenemos que hacer es subirnos a una nave espacial y salir fuera de la órbita terrestre. Estamos en la nave espacial, y de repente al asomarnos por una de las ventanas de la misma vemos pasar un asteroide a gran velocidad muy cerca de nosotros el cual casi se estrella contra nuestra nave. Aquí decimos: “Qué rápido se está moviendo el asteroide”. Pero un naúfrago espacial varado en el asteroide muy bien nos podría decir “Qué rápido se está moviendo esa nave espacial”. Tanto nosotros como el naúfrago espacial varado en el asteroide podríamos enfrascarnos en un debate diciendo que es el otro el que se está moviendo a gran velocidad. ¿Pero cuál de los dos tiene la razón? En realidad, ninguno, no a menos de que exista un experimento mecánico que permita determinar<span style="font-weight: bold;"> de modo absoluto</span> quién es el que se está moviendo. Y para que la respuesta sea válida, tendría que existir algún <span style="font-weight: bold;">punto de referencia absoluto</span>, algo que por su misma naturaleza pudieramos clasificar en un <span style="font-weight: bold;">estado de reposo absoluto</span>, con respecto al cual tanto nosotros como el náufrago espacial podríamos dirimir el asunto sobre quién es el que realmente se está moviendo, porque podría muy bien suceder que si bien nosotros y el náufrago espacial varado en el asteroide nos estamos viendo el uno al otro moviéndonos en direcciones opuestas a gran velocidad el uno con respecto al otro, ninguno de los dos realmente está en reposo <span style="font-style: italic;">con respecto a otro punto de referencia absoluto</span> si es que pudiera existir una cosa así.<br /><br />En base a lo anterior, los siguientes tres puntos de vista para dos naves espaciales que se encuentran en el espacio viajando en direcciones opuestas producirán los mismos resultados numéricos para cualquier tipo de experimento mecánico que se pueda llevar a cabo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKj2VJztdbFMO6TrQm4CI6V81TdnAKVFpL3aTahR4G6jTzCbTiYyIpDkxO-KHP__W4BADFk7N7P2xH_zHSf-6_Tk5Xhy5poP8lAAOOYW5FQC8QmxkgWCTTzyjyiobTrcNY1XrKXrIGhHiM/s1600-h/movimiento_relativo_1.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 166px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKj2VJztdbFMO6TrQm4CI6V81TdnAKVFpL3aTahR4G6jTzCbTiYyIpDkxO-KHP__W4BADFk7N7P2xH_zHSf-6_Tk5Xhy5poP8lAAOOYW5FQC8QmxkgWCTTzyjyiobTrcNY1XrKXrIGhHiM/s400/movimiento_relativo_1.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319092205631381778" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM34z0iOLgXTNw08YEv3qZVXgf4P5UQdx-cL1xMNGX9v52h6OFuusiDpOwX5_vgo6eFIdCrTqjKKsDlgUcDOZL-vnrsSIqopdbMID4Yt6AJl_toScxQjKerMuAnfFCJDIQ1_E5s2mieGAp/s1600-h/movimiento_relativo_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 166px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM34z0iOLgXTNw08YEv3qZVXgf4P5UQdx-cL1xMNGX9v52h6OFuusiDpOwX5_vgo6eFIdCrTqjKKsDlgUcDOZL-vnrsSIqopdbMID4Yt6AJl_toScxQjKerMuAnfFCJDIQ1_E5s2mieGAp/s400/movimiento_relativo_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319092458716143858" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEVrVNWWoN3w4djDak1Vgq7-hyKrnQThEU6jS01GeGMuNlz3cmrlaWmm6fm5NGC7H1tuEKKJ3drmLeq4wtkEKV7Duu0RN-ptc3wTUxZq6MpljdrSvNJNNgUO-zMQ-RHbPR_4I951Cp4yNz/s1600-h/movimiento_relativo_3.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 166px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEVrVNWWoN3w4djDak1Vgq7-hyKrnQThEU6jS01GeGMuNlz3cmrlaWmm6fm5NGC7H1tuEKKJ3drmLeq4wtkEKV7Duu0RN-ptc3wTUxZq6MpljdrSvNJNNgUO-zMQ-RHbPR_4I951Cp4yNz/s400/movimiento_relativo_3.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319092796748114994" border="0" /></a><br /></div><br />En el primer caso, la nave inferior se considera a sí misma que está parada flotando en el espacio, mientras que ve pasar por encima de ella a otra nave espacial viajando a una velocidad de 500 metros por segundo, a la cual el tripulante de la nave inferior le dice “yo estoy parado flotando en el espacio, eres tú el que se está moviendo”. En el segundo caso, el tripulante de la nave que pasa por arriba, le contesta: “eso no es cierto, yo soy el que está detenido flotando en el espacio, eres tú el que se está moviendo a una velocidad de 500 metros por segundo. Y en el tercer caso, con respecto a un tercer observador externo a ambas naves, las dos se están moviendo en sentidos opuestos cada una con una velocidad de 250 metros por segundo. ¿Quién tiene la razón? Todos, y a la vez ninguno. Todos tienen la razón porque al no poder detectarse el movimiento absoluto los tres anteriores supuestos son igualmente válidos. Y todos están equivocados si insisten en afirmar cada uno que su punto de vista es el correcto y los demás están en el error.<br /><br />Por lo pronto, y regresando a nuestro vagón blindado de ferrocarril en la tierra, tenemos que aceptar querámoslo o no que no existe experimento alguno de índole mecánica que nos permita saber si nos estamos moviendo. Esto era algo que ya se sabía desde los tiempos de Galileo y que fué formalizado tiempo después por Newton con sus leyes con las cuales dió inicio a la mecánica clásica tal y como la conocemos hoy en día.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">No existe ningún experimento de índole mecánica que nos pueda indicar que estamos en moviento.</span><br /><br />Lo que acabamos de enunciar tiene alcances y repercusiones mucho más profundas que lo muchos pudieran suponer. Regresemos al viajero que está en un vagón del ferrocarril en movimiento. Un observador estacionario situado a un lado de las vías del ferrocarril que tenga sus pies plantados firmemente sobre la Tierra podría sentirse tentado a decirle en voz alta al viajero: “Indudablemente que tú eres el que se está moviendo. No puedes argumentar que el ferrocarril está parado y que son las vías del ferrocarril las que se están moviendo en sentido contrario junto con todo lo que tú estás viendo moverse a través de tu ventana de observación, incluyendo los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las praderas, todo incluyéndome a mí. Yo soy el que está parado, y tú indudablemente eres el que se está moviendo”.<br /><br />El argumento anterior podría parecer razonable a primera vista. Sin embargo, es una falacia.<br /><br />Supóngase que hemos construído un ferrocarril cuyas vías han sido colocadas siguiendo la ruta del ecuador de la Tierra. Supóngase ahora que el ferrocarril se pone en movimiento <span style="font-style: italic;">en sentido contrario al sentido de rotación de la Tierra</span>.<br /><br />La Tierra, en virtud de su movimiento de rotación alrededor de su eje, movimiento que dá origen a los días y las noches, dá un giro completo en 24 horas. Usando radianes como medida de desplazamiento angular, la velocidad angular <span style="font-weight: bold;">ω</span> de rotación de la Tierra será entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">ω </span>= 2<span style="font-weight: bold;">π</span> radianes/24 horas<br /><br /><span style="font-weight: bold;">ω </span>= 72.722 * 10<sup>-6</sup> radianes/segundo<br /></div><br />Por otro lado, la velocidad tangencial <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">T</sub> en la superficie de un cuerpo en rotación que está girando a una velocidad angular <span style="font-weight: bold;">ω </span>a una distancia <span style="font-weight: bold;">r</span> del eje de rotación de dicho cuerpo está dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">ω</span> = <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">T</sub> /<span style="font-weight: bold;"> r</span><br /></div><br />Suponiendo para la Tierra un radio medio en su ecuador de <span style="font-weight: bold;">r</span> = 6.37 * 10<sup>6</sup> metros, la velocidad tangencial <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">T </sub>en la superficie del ecuador de la Tierra con respecto a su eje de rotación será entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">T</sub> <span style="font-weight: bold;"></span>= <span style="font-weight: bold;">ω</span><span style="font-weight: bold;">r</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">T</sub> = (72.722 * 10<sup>-6</sup> radianes/segundo)(6.37 * 10<sup>6</sup> metros)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">T</sub> = 463.24 metros / segundo<br /></div><br />Si el ferrocarril se pone en marcha <span style="font-style: italic;">en sentido contrario al movimiento de rotación de la Tierra</span> a una velocidad de 463.24 metros por segundo, y si empieza el viaje al mediodía con el Sol directamente encima, entonces el Sol parecerá estacionario sin moverse un solo milímetro. Para alguien flotando en el espacio encima del ferrocarril, la bóveda celeste parecerá estacionaria, y todo lo demás fuera del ferrocarril parecerá estarse moviendo, incluyendo las vías sobre las cuales está montado el ferrocarril, los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las praderas, los lagos, incluyendo desde luego al observador estacionario en la Tierra que le decía al viajero que era él quien estaba en reposo absoluto. Fuera del ferrocarril, para todos, amanecerá y anochecerá, los días transcurrirán como siempre, mientras que para el viajero dentro del ferrocarril el Sol seguirá puesto encima de él sin moverse para nada. De repente, el viajero en el ferrocarril parece haberse convertido en el observador privilegiado que se siente tentado a decir que él sí está en estado de reposo absoluto.<br /><br />Siguiendo un impulso egocentrista, podríamos sentirnos tentados a afirmar que la Tierra es el centro del cosmos, dándole a la Tierra una condición de reposo absoluto y negando el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol. Esta fue precisamente la cuestión por la cual el físico italiano Galileo Galilei fue acosado por la Santa Inquisición, en tiempos en los que por motivos religiosos se consideraba al hombre como el centro de la Creación, el centro del cosmos, con la bóveda celeste girando en torno suyo certificando su posición privilegiada como criatura predilecta de Dios. Lo único que pudo hacer Galileo después de ser obligado a negar el movimiento de rotación de la Tierra fue exclamar en voz baja: “Y sin embargo se mueve”.<br /><br /><span style="font-style: italic;">Sin embargo</span>, ni aún compensando por el movimiento de rotación de la Tierra con un ferrocarril construído siguiendo la ruta del ecuador le sería posible a un el viajero dentro del ferrocarril considerarse a sí mismo como un observador privilegiado en reposo absoluto, en virtud de que la Tierra no sólo tiene un movimiento de rotación en torno a su eje sino que además <span style="font-style: italic;">tiene un movimiento de traslación alrededor del Sol</span>, precisamente el movimiento que dá origen a las estaciones del año.<br /><br />Fracasando en nuestros intentos por encontrar en la Tierra un punto de referencia absoluto con respecto al cual el movimiento absoluto se pueda medir, podríamos sentirnos tentados a asignarle al Sol un papel privilegiado, considerándolo como el centro del Universo. De esto es de lo que trata la creencia en la teoría <span style="font-weight: bold;">heliocéntrica</span> (el Sol es el centro del cosmos) sostenida inclusive por los astrónomos Copérnico y Kepler que se encargaron de darle la puntilla a la teoría <span style="font-weight: bold;">geocéntrica</span> (la Tierra es el centro del cosmos). Pero esto a la postre resulta ser también una ilusión, por el hecho de que el Sol no es más que una estrella más dentro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, habiendo muchas otras estrellas albergando otros sistemas solares, <span style="font-style: italic;">todos los cuales resultan estar también en movimiento dentro de la Vía Láctea</span>.<br /><br />El anterior fracaso podría llevar a algunos a intentar proclamar a la Vía Láctea, nuestra propia galaxia, como el centro del cosmos, el centro del Universo. Pero nuestra galaxia no es la única galaxia del Universo. En nuestra mira de observación con la ayuda de nuestros instrumentos actuales hay billones y billones de otras galaxias, a ninguna de las cuales puede asignársele una posición privilegiada por el hecho de que<span style="font-style: italic;"> todas las galaxias se están separando la una de la otra debido a la expansión continua del cosmos</span>. Y esta es una expansión que tampoco tiene un “centro de origen”, un centro de la explosión inicial que hoy conocemos como el “Big Bang”.<br /><br />Parece que hemos agotado todas las posibilidades de poder detectar el movimiento absoluto recurriendo a referencias astronómicas además de tratar de recurrir a experimentos de índole mecánica. Sin embargo, a principios del siglo XX, había una esperanza basada en un descubrimiento sobre otro tipo de fenómenos físicos, un descubrimiento que llevó a físicos de primera línea a postular la existencia de una substancia universal conocida como el<span style="font-weight: bold;"> éter</span>, con respecto al cual debería ser posible en principio determinar el movimiento absoluto no por medios mecánicos, sino <span style="font-style: italic;">por medios ópticos</span>, usando rayos de luz.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-25672292244392694512009-03-18T23:45:00.000-07:002010-06-30T11:15:48.559-07:00Un descubrimiento sorprendenteDescartada totalmente la posibilidad de poder determinar <span style="font-style: italic;">por medio de algún experimento propio de la mecánica</span> si algo está en estado de movimiento con respecto a algún punto de referencia que pudiera considerarse absoluto, en cierto momento renació la esperanza de que tal cosa pudiera lograrse no por medios mecánicos sino<span style="font-weight: bold;"> por medios ópticos</span> llevados a cabo dentro de un vagón de ferrocarril perfectamente blindado. Es aquí cuando entra en el panorama el físico matemático James Clerk Maxwell, el cual asentó firmemente sobre bases matemáticas los principios básicos del electromagnetismo enunciados desde los tiempos de Faraday, enunciando las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo con las cuales ganó para sí mismo la inmortalidad en la comunidad científica:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiG-TH87Qpdox9bux0MOFp3Ojgq1GA36sGvp1qudhyphenhyphenJz9zIGF2GDrx5w6sssXLWZW7QSMMUsIxbjPNB4mkZhygtEh5snKjrDjiQo4-RjFC8F_YUPvE3qvEhVtXU7uzf3B-_pHxdnwVIAmzJ/s1600-h/ecuaciones_de_Maxwell.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 216px; height: 312px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiG-TH87Qpdox9bux0MOFp3Ojgq1GA36sGvp1qudhyphenhyphenJz9zIGF2GDrx5w6sssXLWZW7QSMMUsIxbjPNB4mkZhygtEh5snKjrDjiQo4-RjFC8F_YUPvE3qvEhVtXU7uzf3B-_pHxdnwVIAmzJ/s400/ecuaciones_de_Maxwell.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317544127721629426" border="0" /></a><br /></div><br />Estas cuatro fórmulas están elaboradas en notación <span style="font-weight: bold;">vectorial</span> (las cantidades <span style="font-weight: bold;">D</span>, <span style="font-weight: bold;">B</span>, <span style="font-weight: bold;">E</span>, <span style="font-weight: bold;">H</span> y <span style="font-weight: bold;">J</span> son <span style="font-style: italic;">vectores</span>, o mejor dicho <span style="font-weight: bold;">campos vectoriales</span> en analogía con las líneas de fuerza que representan un campo gravitacional, y como tales son cantidades que tienen dirección y sentido como el viento que sopla en las praderas), lo cual simplifica enormemente el pronunciamiento de las mismas debido a que el enunciamiento es independiente del tipo de coordenadas (Cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.) que se utilicen en el estudio de algún fenómeno electromagnético particular. La primera ecuación nos dice esencialmente que el flujo neto (divergencia) de las líneas de fuerza eléctrica que salen (o entran) de cualquier recipiente cerrado depende de la densidad de la carga eléctrica<span style="font-weight: bold;"> ρ</span> que encierra dicho recipiente (para un recipiente dentro del cual no hay carga eléctrica alguna almacenada en su interior, el flujo neto de las líneas de fuerza eléctrica sobre toda la superficie del recipiente es cero); la segunda ecuación nos dice que todas las líneas de fuerza de un campo magnético (como las de un imán) forman siempre un bucle cerrado (no existen monopolos magnéticos, esto es, una partícula de la cual salgan líneas de fuerza de un campo magnético correspondientes al polo Norte de un imán, y otra partícula de la cual salgan líneas de fuerza de un campo magnético correspondientes al polo Sur del imán) y por lo tanto la divergencia de las líneas del campo magnético es siempre cero (el flujo neto de las líneas de fuerza del campo magnético que entren a cualquier recipiente cerrado restado del flujo de las líneas de fuerza del campo magnético que salgan del mismo recipiente será exactamente igual a cero en todos los casos); mientras que la tercera y la cuarta ecuación nos dicen que todo campo eléctrico que varíe con el tiempo producirá campos magnéticos rotacionales del mismo modo que todo campo magnético que varíe con el tiempo producirá a su vez campos eléctricos rotacionales.<br /><br />Se puede demostrar a partir de las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell, como el mismo Maxwell lo descubrió por vez primera, que la velocidad de una onda electromagnética <span style="font-style: italic;">en el vacío</span> que consta de un campo eléctrico <span style="font-weight: bold;">E</span> y un campo magnético <span style="font-weight: bold;">B</span> perpendiculares el uno al otro y alternantes sinusoidalmente en el tiempo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj41xHSoLdcCNVFkHx0eAk00T5vgjf62kOSqAxWTTO3VhvXz1jgQckgEUr9uPXZrRBImwVTapDMRMyCnilYPsvrcfQanc9SmSMefZvaYMh8VhvD9znVOCNKl3DRKgNaA8wvlEzQKDJrh7Nk/s1600-h/ondas_electromagneticas_1.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 149px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj41xHSoLdcCNVFkHx0eAk00T5vgjf62kOSqAxWTTO3VhvXz1jgQckgEUr9uPXZrRBImwVTapDMRMyCnilYPsvrcfQanc9SmSMefZvaYMh8VhvD9znVOCNKl3DRKgNaA8wvlEzQKDJrh7Nk/s400/ondas_electromagneticas_1.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319816805416535554" border="0" /></a><br /></div><br /><br />depende única y exclusivamente de la <span style="font-style: italic;">permitividad eléctrica del vacío</span> <span style="font-weight: bold;">ε</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub> y de la <span style="font-style: italic;">permeabilidad magnética del vacío</span> <span style="font-weight: bold;">μ</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub>, y la velocidad para dicha onda electromagnética debe ser:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkfWkhH_YWPjHib9AScu-lxJwaO4ixdNfcF3IodK_wJS246_eSfDzGkv7FQX1aBcNrzIImoIw7Vf23o5owrhq1p_lyT_cWb8MO8dTtcw8goPpmtFHM-N2X62N1VCyYRm8t7jbW4ha-Q_0/s1600/velocidad_onda_electromagnetica_en_el_vacio.png"><img style="cursor: pointer; width: 110px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkfWkhH_YWPjHib9AScu-lxJwaO4ixdNfcF3IodK_wJS246_eSfDzGkv7FQX1aBcNrzIImoIw7Vf23o5owrhq1p_lyT_cWb8MO8dTtcw8goPpmtFHM-N2X62N1VCyYRm8t7jbW4ha-Q_0/s400/velocidad_onda_electromagnetica_en_el_vacio.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5488631746478729922" border="0" /></a><br /></div><br />Los valores experimentales para estos parámetros ya eran conocidos en los tiempos de Maxwell, de modo tal que no fué para él ningún problema llevar a cabo una substitución de dichos valores para poder saber cuál era la velocidad de una onda electromagnética propagándose en el vacío.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">En el sistema de unidades SI (MKS) se aceptan generalmente como válidos los siguientes valores experimentales para la permitividad eléctrica y para la permeabilidad magnética del vacío:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">ε<sub>0</sub> = 8.854 <span style="white-space: nowrap;"><span style="white-space: nowrap; margin-left: 0.25em; margin-right: 0.15em;">×</span></span> 10<sup>-12</sup> farad/metro<br /><br />μ<sub>0</sub> = 12.5664<span style="white-space: nowrap;"><span style="white-space: nowrap; margin-left: 0.25em; margin-right: 0.15em;">×</span></span> 10<sup>-7</sup> henry/metro<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Determínese, a partir de estos valores experimentales, la velocidad de una onda electromagnética propagándose en el vacío</span>.<br /><br />Puesto que las unidades SI del <span style="font-style: italic;">farad</span> y el <span style="font-style: italic;">henry</span> son algo crípticas para quienes no están familiarizados con estas unidades, las pondremos en una forma más convencional acorde con las unidades que se utilizan en la Mecánica.<br /><br />Empezaremos con la unidad del farad. De la teoría básica del campo eléctrico, la capacitancia C de un condensador es igual a la carga eléctrica Q almacenada por el condensador dividida entre el voltaje V que hay entre las terminales del condensador, según la fórmula C = Q/V. Esto significa que, dimensionalmente, un farad es igual a un coulomb de carga eléctrica dividido entre un volt:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 farad = 1 couloumb/volt<br /></div><br />Entonces la unidad de la permitividad eléctrica es:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 farad/metro = 1/(1 coulomb/volt) = 1 coulomb/volt·metro<br /></div><br />Pero el voltaje V se define como el trabajo W hecho sobre una unidad de carga Q para moverla de un punto con un potencial V<sub>1</sub> a otro punto con un potencial V<sub>2</sub>, dividido entre el valor de la carga, o sea V = W/Q. Y el trabajo mecánico se define como el producto de la fuerza aplicada (medida en newtons) por la distancia recorrida (medida en metros). Entonces, dimensionalmente hablando, una unidad de voltaje es igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 volt = 1 newton·metro/coulomb<br /></div><br />Entonces podemos escribir la unidad dimensional de la permitividad eléctrica del modo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 coulomb/(1 newton·metro/coulomb)·metro<br /></div><br />O sea:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 farad/metro = 1 coulomb²/newton·metro²<br /></div><br />De este modo:<br /><br /><div style="text-align: center;">ε<sub>0</sub> = 8.854 <span style="white-space: nowrap;"><span style="white-space: nowrap; margin-left: 0.25em; margin-right: 0.15em;">×</span></span> 10<sup>-12</sup> coulomb²/newton·metro²<br /></div><br />Ahora trabajaremos con la unidad del henry. El henry es la unidad utilizada para medir la <span style="font-style: italic;">inductancia</span> eléctrica L de una bobina, de acuerdo con la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:180%;">ε</span> = - L di/dt<br /></div><br />De modo que, dimensionalmente hablando:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 volt = 1 henry · (1 ampere/segundo)<br /></div><br />Pero un ampere de corriente eléctrica es por definición igual a un coulomb por segundo de carga eléctrica Q atravesando una superficie imaginaria:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 ampere = 1 coulomb/segundo<br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 volt = 1 henry · (1 coulomb/segundo)/segundo)<br /></div><br />Despejando para la unidad del henry:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 henry = 1 volt · segundo²/coulomb<br /></div><br />Entonces la unidad dimensional SI para la permeabilidad magnética μ<sub>0</sub> puede escribirse en la siguiente forma igualmente válida:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 henry/metro = 1 volt · segundo²/coulomb · metro </div><br />De este modo, utilizando el equivalente “mecánico” del volt obtenido en el caso de la permitividad eléctrica, podemos escribir la permeabilidad magnética del modo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">μ<sub>0</sub> = 12.5664<span style="white-space: nowrap;"><span style="white-space: nowrap; margin-left: 0.25em; margin-right: 0.15em;">×</span></span> 10<sup>-7</sup> newton · segundo²/coulomb²<br /></div><br />Podemos proceder a la aplicación de la fórmula de Maxwell para la velocidad de una onda electromagnética verificando al mismo tiempo la correcta cancelación y simplificación de unidades:<br /><br /><div style="text-align: center;">μ<sub>0</sub> ε<sub>0</sub> =<br />(12.5664·10<sup>-7</sup> <span style="color: rgb(255, 0, 0);">newton</span>·seg²/<span style="color: rgb(51, 51, 255);">coulomb²</span>)(8.854·10<sup>-12</sup> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">coulomb²</span>/<span style="color: rgb(255, 0, 0);">newton</span>·metro²)<br /></div><br /><div style="text-align: center;">μ<sub>0</sub> ε<sub>0</sub> = 1.1126·10<sup>-17</sup> segundo²/metro²<br /></div><br />Finalmente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-style: italic;">v</span>² = 1/μ<sub>0</sub> ε<sub>0</sub> = 1/1.1126·10<sup>-17</sup> segundo²/metro²<br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-style: italic;">v</span> = 1/(3.356·10<sup>-9</sup> segundo/metro)<br /><br /><span style="font-style: italic;">v</span> = 299,795,638 metros/segundo<br /></div><br />Este resultado seguramente habrá llamado de inmediato la atención de Maxwell, porque <span style="font-style: italic;">esta es precisamente la velocidad de la luz en el vacío</span>. Y puesto que la luz viaja en el vacío a esta velocidad, Maxwell concluyó de inmediato que <span style="font-weight: bold;">la luz puede ser considerada como una onda electromagnética que consta de campos eléctrico y magnético alternantes</span>. A la velocidad de la luz se le identifica comúnmente en la actualidad con la letra <span style="font-style: italic;">c</span>, de modo tal que la conclusión de Maxwell puede ser enunciada de la siguiente manera con el significado filosófico que ello conlleva:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha59q9pxYkTNHpsaRCCQFhsUJzA0pMMziYszXu5aTZ36hi_4CxzsXVMMnx-VzpvFNzPhJC36_jCXmb6uXiYAXn3cr9xORFOp1cjm_nJSthuZ4y3NDdle619O_OSU0vXzFAmDDMFfGHknKo/s1600-h/velocidad_de_la_luz_como_onda_electromagnetica.png"><img style="cursor: pointer; width: 298px; height: 85px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha59q9pxYkTNHpsaRCCQFhsUJzA0pMMziYszXu5aTZ36hi_4CxzsXVMMnx-VzpvFNzPhJC36_jCXmb6uXiYAXn3cr9xORFOp1cjm_nJSthuZ4y3NDdle619O_OSU0vXzFAmDDMFfGHknKo/s400/velocidad_de_la_luz_como_onda_electromagnetica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314584581220498754" border="0" /></a><br /></div><br />Este descubrimiento sorprendente presentó casi de inmediato un problema fundamental. Siempre que hablamos de la velocidad de algo lo hacemos tomando otra cosa como <span style="font-style: italic;">referencia</span> para medir dicha velocidad. Si decimos que algo, por ejemplo un avión, tiene una velocidad de 10 metros por segundo, entonces debe de estarse moviendo a 10 metros por segundo <span style="font-style: italic;">con respecto a otra cosa</span>, en el caso del avión, con respecto al suelo. No tiene sentido ni lógica alguna hablar acerca de la velocidad de algo utilizando ese algo como <span style="font-style: italic;">su propia referencia</span> del mismo modo que no tiene sentido alguno hablar acerca de una línea paralela cuando no existe otra línea recta con respecto a la cual se pueda compararla para decir que es paralela, del mismo modo que no podemos decir que algo se encuentra “arriba” cuando no hay nada “abajo” de ese algo. Y el resultado obtenido no es algo que podamos reinterpretar a nuestro antojo, ya que la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del vacío son atributos propios <span style="font-style: italic;">universales</span> del mismo vacío que darán los mismos valores en cualquier parte del Universo en donde nos encontremos.<br /><br />Lo interesante de la fórmula de Maxwell es que <span style="font-weight: bold;">la velocidad de la luz aparecía como un valor único, constante, invariable</span>. ¿Pero con respecto a qué? Los físicos clásicos entrenados en la filosofía del universo mecanístico de Newton, presionados a proponer alguna salida al dilema sobre qué exactamente significaba esa velocidad de la luz considerada como una onda electromagnética no tardaron en inventar el medio en el cual se transmitía dicha onda, y la respuesta natural dada en aquél entonces fue que esa era la velocidad de la luz <span style="font-style: italic;">con respecto al</span><span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;"> </span>éter</span> (la palabra aquí no tiene ninguna relación con el compuesto químico óxido de etilo del mismo nombre con fórmula química (C<sub>2</sub>H<sub>2</sub>)<sub>2</sub>O que es utilizado como anestésico por los doctores, sino con la idea de lo que es <span style="font-style: italic;">etéreo</span>, celestial, algo llenando a la bóveda celeste de confín a confín). Para formular tal proposición se tomó en cuenta que, si de acuerdo con el resultado obtenido por Maxwell, la luz es una onda electromagnética, entonces para poder propagarse de un lado a otro tenía que hacerlo sobre el medio en el cual supuestamente estaba vibrando, del mismo modo en que los sonidos que escuchamos todos los días no son más que ondas acústicas formadas por compresiones y enrarecimientos del aire sumamente rápidas (en el vacío del espacio exterior en donde no hay aire, tampoco hay sonido alguno), del mismo modo en que ocurre en una “ola” de gente en cuya producción participan espontáneamente miles de aficionados presentes en un partido de futbol levántandose de sus asientos por breves instantes cuando les toca ser parte de la “ola”. Sin la presencia de los aficionados en las gradas, esas “olas” no se dán, del mismo modo que sin la presencia del aire no es posible que se produzca sonido alguno. Siendo la luz una onda electromagnética, el concepto del éter parecía una suposición lógica y natural. La postulación de la existencia del éter no sólo era deseable para suponer al éter como el medio a través del cual se propagan las ondas magnéticas luminosas, también era deseable desde el punto de vista filosófico e inclusive religioso, ya que permite evadir el tema del <span style="font-weight: bold;">vacío total</span>, ese vasto espacio entre los planetas, entre los sistemas solares y entre las galaxias en el cual a nuestra vista no parece haber absolutamente nada. Desde tiempos de la antigüedad, el vacío total ha sido una idea cuya sola mención a causado angustia e inclusive espanto entre filósofos y religiosos de renombre, porque el vacío total representa la nada, la ausencia de todo. El omnipresente éter, invisible a nuestros ojos, era la solución científica ideal con la cual la ciencia podía reconfortar a los preocupados por tal cuestión haciéndoles saber que el vacío total, el vacío absoluto, era algo que no existía, porque las vastas regiones del cosmos en donde no parecía haber nada de materia estaban repletas de éter, así que siempre había algo que llenaba “los espacios vacíos”.<br /><br />El éter, aunque debía ser capaz de poder “vibrar” (para poder transmitir las ondas electromagnéticas luminosas), debía permanecer completamente inmóvil con respecto a todos los objetos materiales, más bien los objetos materiales eran los que se movían a través de él, como el movimiento de una coladera a través del agua. Aunque el éter fuese una substancia invisible, incorpórea, una substancia que no puede ser vista directamente, escuchada, tocada, olida o paladeada, el movimiento absoluto de los planetas con respecto al éter debía ser detectable recurriendo a experimentos hechos con rayos de luz.<br /><br />Al éter se le suponía como algo completamente rígido, indeformable de confín a confín del Universo. Sus propiedades no podían ser menos que fantásticas. Tenía que poseer una rigidez extraordinaria para poder dar apoyo a ondas electromagnéticas de una frecuencia tan elevada como la poseída por los colores de la luz del espectro visible (en las guitarras y en todos los instrumentos de cuerda, para producir los sonidos más agudos, los de mayor frecuencia, la tensión de la cuerda que los produce tiene que ser mayor que la tensión de la cuerda requerida para producirlos sonidos graves, en virtud de que la velocidad de las ondas en una cuerda tensa es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda), pero pese a esta extraordinaria rigidez el éter no parecía tener efecto alguno sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol cuyas órbitas se podían predecir clásicamente con un buen nivel de precisión usando las fórmulas de Newton para la atracción gravitacional entre el Sol y los planetas, ignorando en dichas fórmulas cualquier efecto de retardo que el éter pudiese producir en los movimientos de los planetas. A diferencia del agua en los océanos de la Tierra, en los cuales se forman corrientes internas, en el éter cósmico no había tales “corrientes de éter”. El éter era uno solo, inamovible, como si fuese un bloque infinitamente grande de hielo, de modo que si algún observador <span style="font-style: italic;">privilegiado</span> pudiera situarse en estado de reposo absoluto con respecto al éter en cualquier ciudad de la Tierra, podía tener la seguridad de que también estaba en reposo absoluto con respecto al éter <span style="font-style: italic;">en cualquier parte del Universo</span>. El éter era el marco de referencia ideal con respecto al cual se podía medir el movimiento absoluto. Y aparentemente también era inmune a los cambios de temperatura así como químicamente inerte, ya que no parecía haber substancia alguna conocida con la cual el éter pudiera reaccionar químicamente. Pero no sólo era el éter algo completamente rígido a través del universo entero e inmune a los cambios de temperatura así como químicamente inerte. También era completamente poroso y permeable, estaba metido dentro de todo, inclusive dentro de las cajas fuertes de los bancos suizos o en vagones sellados de ferrocarriles en movimiento. El éter podía estar en cualquier parte en donde pudiera producirse un rayo de luz. El mismo Maxwell determinó para el éter una densidad específica de 9.36·10<sup>-19</sup>, un coeficiente de rigidez de 842.8, y una estimación de que la densidad del aire a una distancia infinita de la Tierra era 1.8·10<sup>327</sup> veces menor que la densidad por él estimada del éter. Pero no había científico alguno que se atreviera a aventurar una hipótesis sobre cuál era la substancia de la cual pudiera estar constituído el éter, ya que en la química de aquellos tiempos no se conocía elemento alguno que pudiera tener tan fantásticas propiedades. En realidad, la única razón de ser del éter era servir como medio universal de conducción para las ondas electromagnéticas del mismo modo que el aire sirve como medio de conducción para las ondas acústicas.<br /><br />La universalidad y absoluta rigidez del éter permitió suponer que la velocidad de la luz <span style="font-style: italic;">con respecto al éter</span> tal vez pudiera utilizarse como el <span style="font-weight: bold;">punto de referencia absoluto</span> para la determinación del movimiento absoluto que no se había podido encontrar por medios puramente mecánicos hasta entonces. Aquél cuya velocidad fuera igual que la velocidad <span style="font-weight: bold;">c</span> de 300 mil kilómetros por segundo podría considerarse a sí mismo en estado de reposo absoluto <span style="font-style: italic;">con respecto al éter</span>, mientras que todo aquél cuya velocidad fuese mayor o menor que la velocidad de la luz podría considerarse a sí mismo en estado de movimiento con respecto al nuevo estándard de referencia, el éter. Y de este modo habría también una manera de determinar quién o quiénes están en <span style="font-style: italic;">estado de reposo</span> o en <span style="font-style: italic;">estado de movimiento</span> con respecto a este nuevo parámetro.<br /><br />Volviendo nuevamente a una nave espacial con forma de vagón de ferrocarril perfectamente blindado, sin necesidad de ver hacia el exterior bastaría con que alguien echara mano de una linterna encendiéndola para enviar un rayo de luz de un extremo a otro de la nave, y si la velocidad de ese rayo de luz medida de alguna manera resultara ser igual a la velocidad de la luz obtenida mediante las ecuaciones de Maxwell, entonces el ocupante de la nave espacial podría dar por hecho el encontrarse por alguna maravillosa casualidad en un estado de reposo absoluto. Por otro lado, si para una persona exterior a la nave espacial tal como un viajero varado en un asteroide dicha nave espacial pasara a gran velocidad junto a ella, la velocidad de la luz disparada desde la linterna dentro de la nave espacial tendría que ser necesariamente diferente según el náufrago viajando en el asteroide se moviese rápidamente con respecto a la nave espacial en la misma dirección o en dirección contraria al haz saliendo de la linterna dentro de la nave espacial. En caso de moverse con una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> en dirección <span style="font-style: italic;">contraria</span> a la dirección del haz que sale de la linterna dentro de la nave espacial con una velocidad <span style="font-weight: bold;">c</span>, el náufrago espacial en el asteroide debería ver al rayo de luz moverse con una rapidez todavía mayor igual a <span style="font-weight: bold;">c+V</span>, mientras que en caso de moverse con una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span><span style="font-style: italic;"> en la misma dirección</span> del haz que sale de la linterna con una velocidad <span style="font-weight: bold;">c</span> debería ver al rayo de luz moverse con una rapidez menor igual a <span style="font-weight: bold;">c-v</span>. (moviéndose a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> igual a <span style="font-weight: bold;">c</span>, el náufrago espacial estaría avanzando a la par con el rayo de luz que le parecería estático). Y en principio podría estarse moviendo tan rápido que inclusive hasta podría dejar atrás al rayo de luz después de alcanzarlo. Por fin había una forma de poder determinar experimentalmente quién se estaba moviendo y con respecto <span style="font-style: italic;">a qué</span> se estaba moviendo, todo en base a un simple rayo de luz, todo en base a cualquier experimento óptico que pudiese utilizar rayos de luz para la determinación del movimiento absoluto con respecto a la nueva vara de medición. Todo gracias al éter. El problema de la determinación del movimiento absoluto parecía resuelto. Al menos en apariencia.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-53504958083034381582009-03-18T23:40:00.000-07:002009-12-09T12:11:39.931-08:00La física es parada de cabezaClásicamente, antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, el mundo basado en los conceptos del tiempo absoluto que marcha por igual en todo el Universo, invariable, y el espacio absoluto, también invariable, siendo ambos conceptos completamente independientes el uno del otro, era un mundo mucho más sencillo. En este mundo, para ubicar a un objeto puntual en el espacio tri-dimensional, utilizando coordenadas Cartesianas para ello, bastaba con especificar tres números para que la posición del objeto puntual quedara identificada de modo unívoco, como el siguiente punto <span style="font-weight: bold;">P</span> especificado por las coordenadas (<span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">x</span>, <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">y</span>, <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">z</span>) = (2, 3, 5), medidas a partir de un origen de referencia con coordenadas (<span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">x</span>, <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">y</span>, <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">z</span>) = (0, 0, 0):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPfr3lM1zRZNFuDuQhgp0ebR21-vWl7Av0wyB3VeYmh1cVzhGseY0pVtiGruLc8985qaCmlYGLOF0RAG-Fz9_Zfo_HYXQfMD1z-REg_JNhs2-gZdg1xcBGSwKtAJzcwEO0nhCSsX4LZ1Vy/s1600-h/ejemplo_vector_en_tres_dimensiones.gif"><img style="cursor: pointer; width: 385px; height: 380px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPfr3lM1zRZNFuDuQhgp0ebR21-vWl7Av0wyB3VeYmh1cVzhGseY0pVtiGruLc8985qaCmlYGLOF0RAG-Fz9_Zfo_HYXQfMD1z-REg_JNhs2-gZdg1xcBGSwKtAJzcwEO0nhCSsX4LZ1Vy/s400/ejemplo_vector_en_tres_dimensiones.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351659162440271026" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Con esta convención, si el objeto ubicado en el punto <span style="font-weight: bold;">P</span> empezaba a desplazarse a lo largo de uno de los ejes, digamos el eje <span style="font-style: italic; color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">y</span>, a una velocidad constante V, digamos de unos 4 metros por segundo, su posición nueva medida a partir de un tiempo t = 0 se podía obtener fácilmente simplemente sumando la cantidad Vt al valor original en dicha coordenada. De este modo, al haber transcurrido un tiempo de t = 3 segundos, el objeto se habría desplazado una distancia de Vt = 12 metros, y sus nuevas coordenadas serían:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = 2 metros (permanece igual)<br /><br />y’ = y + Vt = 3 metros + (4 metros/<span style="color: rgb(0, 153, 0);">segundo</span>) (3 <span style="color: rgb(0, 153, 0);">segundos</span>) = 15 metros<br /><br />z’ = 5 metros (permanece igual)<br /></div><br />(Obsérvese cómo se cancelan las dimensiones de las unidades, puestas en color verde, para siempre dar en la respuesta final las unidades correctas. Añadir todas las unidades desde un principio en la solución de cualquier problema matemático, cancelándolas según se requiera, es una buena forma de darse cuenta de que no se están cometiendo errores; llevando la <span style="font-style: italic;">contabilidad</span> correcta de las dimensiones. Si en la respuesta final de un problema un estudiante obtiene metros/segundo cuando esperaba obtener kilogramos por metro cúbico ello le indicará que hubo un error, el cual puede ser corregido de inmediato con sólo ver en dónde fue en donde las unidades se salieron fuera de control.)<br /><br />De este modo, considerando a dos observadores distintos moviéndose uno con respecto al otro a una velocidad constante V, con un observador <span style="font-weight: bold;">O</span> en reposo en su propio <span style="color: rgb(255, 0, 0);">sistema</span> de coordenadas rectangulares (x,y,z) al que indistintamente llamaremos también <span style="font-weight: bold;">marco de referencia</span> <span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">S</span> y otro observador <span style="font-weight: bold;">O’</span> en movimiento junto con su propio sistema de coordenadas rectangulares (x’,y’,z’) al que llamaremos <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">S’</span>, para pasar de un sistema de coordenadas al otro simplemente echábamos mano de las <span style="font-weight: bold;">transformaciones de Galileo</span> deducidas como se hizo en el ejemplo de arriba recurriendo a la lógica elemental. Si el movimiento relativo se lleva a cabo a lo largo de un eje común entre ambos, digamos el eje-x, y si suponemos que el marco de referencia S’ es el que se está moviendo de izquierda a derecha:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCN76ad-SjdEqjcUjcwiLVJaVwcKpIeTCVHyuu_WgQ1XDktfzZojXcIDybbnKgshyphenhyphenzBnsPVB1EMK_vH11W65-3Vppx2V-NWPfH_7VG9cPm64gBzyqpqFTrxD5dFInVVSAI90wb4lkpXf9G/s1600-h/marcos_de_referencia_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 290px; height: 215px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCN76ad-SjdEqjcUjcwiLVJaVwcKpIeTCVHyuu_WgQ1XDktfzZojXcIDybbnKgshyphenhyphenzBnsPVB1EMK_vH11W65-3Vppx2V-NWPfH_7VG9cPm64gBzyqpqFTrxD5dFInVVSAI90wb4lkpXf9G/s400/marcos_de_referencia_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331338345228921042" border="0" /></a><br /></div><br /><br />entonces es fácil ver que las transformaciones de Galileo para pasar las coordenadas de un punto fijo situado en el marco de referencia S’ a las coordenadas que le corresponden en el marco de referencia S deben ser:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + Vt’<br /><br />y = y’<br /><br />z = z’<br /></div><br />Aunque nos parezca superfluo, por completitud introduciremos el <span style="font-style: italic;">tiempo universal</span> t como un cuarto componente en el conjunto ordenado de componentes de cada sistema de coordenadas. Así, para el observador O un punto cualquiera en su sistema de coordenadas estará especificado como (x,y,z,t), y para el observador O’ otro punto cualquiera en su sistema de coordenadas estará especificado como (x’,y’,z’,t’), y el conjunto completo de transformaciones de Galileo para llevar a cabo la conversión de un punto cualquiera en S’ a las coordenadas que le corresponden en S serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + Vt’<br /><br />y = y’<br /><br />z = z’<br /><br />t = t’<br /></div><br />Hemos supuesto que ambos observadores están provistos de metros y relojes de forma tal que pueden medir las coordenadas de los <span style="font-weight: bold;">eventos</span> o acontecimientos que les toque presenciar. Hemos supuesto también que ambos ajustan sus relojes de modo tal que cuando pasen el uno frente al otro en x = x’ = 0 la lectura en sus relojes será t = t’ = 0. El uso de las transformaciones de Galileo quedará más claro con la resolución de los siguientes problemas.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil S’ son (x’,y’,z’,t’) = (4,7,2,0). ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario S para un tiempo t = 3 segundos y para un tiempo t = 5 segundos si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a V = 4 metros/segundo?</span><br />Para un tiempo de t’ = 3 segundos, las coordenadas en S se obtienen como:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + Vt’ = 4 metros + (4 metros/segundo)(3 segundos) = 16 metros<br /><br />y = y’ = 7 metros<br /><br />z= z’ = 2 metros<br /><br />t = t’ = 3 segundos<br /></div><br />Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (16,7,2,3).<br /><br />Para un tiempo de t’ = 5 segundos, las coordenadas en S se obtienen como:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + Vt’ = 4 metros + (4 metros/segundo)(5 segundos) = 24 metros<br /><br />y = y’ = 7 metros<br /><br />z = z’ = 2 metros<br /><br />t = t’ = 5 segundos</div><br />Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (16,7,2,3).<br /><br />Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en S’ se va desplazando más y más hacia la derecha. Las coordenadas en el <span style="font-style: italic;">eje-y</span> y en el<span style="font-style: italic;"> eje-z </span>se mantienen iguales puesto que no hay movimiento alguno fuera del que se lleva a cabo a lo largo del eje de las equis.<br /><br />Hemos considerado en la resolución del problema anterior que el marco de referencia S’ es el que se está moviendo de izquierda a derecha (en el sentido positivo del eje-x) a velocidad V, pero <span style="font-style: italic;">la resolución del problema hubiera sido exactamente la misma si hubiéramos considerado al observador O’ fijo y al marco de referencia S moviéndose de derecha a izquierda en el sentido del eje-y</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZWby6qFBGmQXv1CqiB4srUmQF8WlK1oC6MAlSxYziUdSEHazX3TYXhvSMtby4z1ciURQc5CiM02Kbap8Tf_g2TZA-2Zu8OWR7rtdTWP1bEg-yzcx9xZxYyxwsBQD-lQPtOc2jZvmNKUa6/s1600-h/marcos_de_referencia_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 318px; height: 215px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZWby6qFBGmQXv1CqiB4srUmQF8WlK1oC6MAlSxYziUdSEHazX3TYXhvSMtby4z1ciURQc5CiM02Kbap8Tf_g2TZA-2Zu8OWR7rtdTWP1bEg-yzcx9xZxYyxwsBQD-lQPtOc2jZvmNKUa6/s400/marcos_de_referencia_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331347867757890866" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Para pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’, las transformaciones de Galileo serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = x - Vt<br /><br />y’ = y<br /><br />z’ = z<br /><br />t’ = t<br /></div><br />Obsérvese el cambio de signo que se tuvo que hacer, ya que esta es una transformación <span style="font-style: italic;">inversa</span> a la anterior.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil S son (x,y,z,t) = (3,1,8,0). ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario S</span>’<span style="font-style: italic;"> para un tiempo t = 5 segundos y para un tiempo t = 10 segundos si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a V = 2 metros/segundo?</span><br /><br />El punto fijo se encuentra ahora en el marco de referencia S. Para un tiempo de t = 5 segundos, las coordenadas en S se obtienen como:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = x - Vt = 3 metros - (2 metros/segundo)(5 segundos) = -7 metros<br /><br />y’ = y = 1 metro<br /><br />z’ = z = 8 metros<br /><br />t’ = t’ = 5 segundos<br /></div><br />Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (-7,1,8,5).<br /><br />Para un tiempo de t = 10 segundos, las coordenadas en S se obtienen como:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = x - Vt = 3 metros - (2 metros/segundo)(10 segundos) = -17 metros<br /><br />y’ = y = 1 metro<br /><br />z’ = z = 8 metros<br /><br />t’ = t = 10 segundos</div><br />Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (-17,1,8,10).<br /><br />Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en S se va desplazando más y más <span style="font-style: italic;">hacia la izquierda</span>, en el sentido <span style="font-style: italic;">negativo</span> del eje-x.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un pasajero de un tren que se mueve a 20 metros/segundo para frente a un hombre que se encuentra en la plataforma de la estación en un tiempo que para ambos es t = t’ = 0. Diez segundos después de que el tren lo pasa, el hombre de la plataforma encuentra que un pájaro que vuela a lo largo de la vía y en la misma dirección del tren está a 500 metros de distancia. ¿Cuáles son las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero?</span><br /><br />Las coordenadas asignadas al pájaro por el hombre en la plataforma de la estación son<br /><br /><div style="text-align: center;">(x, y, z , t) = (500 metros, 0, 0, 10 segundos)<br /></div><br />Pasando del sistema de referencia S al sistema de referencia S’ y de acuerdo con las transformaciones de Galileo, la distancia x del pájaro al pasajero, medida por éste es:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = x - Vt = 500 metros - (20 metros/segundo) (10 segundos)<br /></div><br /><div style="text-align: center;">x’ = 300 metros<br /></div><br />Entonces las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero son:<br /><br /><div style="text-align: center;">(x’, y’, z’ , t’ ) = (300 metros, 0, 0, 10 segundos)<br /></div><br />Al pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’, las <span style="font-weight: bold;">transformaciones de velocidad</span>, <span style="font-style: italic;">según Galileo</span>, basadas en incrementos Δ de las coordenadas, serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δx’ = Δx - Δ(Vt) = Δx - VΔt<br /><br />Δx’/Δt = Δx/Δt - VΔt/Δt<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>(dividiendo entre Δt)<br /><br />Δx’/Δt’ = Δx/Δt - V<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>(Δt = Δt’)<br /><br />u’<sub>x</sub> = u<sub>x</sub> - V<br /></div><br />Y del mismo modo:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δy’/Δt = Δy/Δt<br /><br />Δy’/Δt’ = Δy/Δt<br /><br />u’<sub>y</sub> = u<sub>y</sub><br /></div><br /><br /><div style="text-align: center;">Δz’/Δt = Δz/Δt<br /><br />Δz’/Δt’ = Δz/Δt<br /><br />u’<sub>z</sub> = u<sub>z</sub><br /></div><br />Por otra parte, al pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’, las <span style="font-weight: bold;">transformaciones de aceleración</span>, <span style="font-style: italic;">según Galileo</span>, basadas en incrementos Δ de las velocidades con respecto a incrementos iguales de tiempo, serán (la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia permanece constante y no cambia con respecto al tiempo transcurrido):<br /><br /><div style="text-align: center;">Δu’<sub>x</sub>/Δt = Δu<sub>x</sub>/Δt - <span style="color: rgb(255, 0, 0);">ΔV/Δt</span><br /><br />Δu’<sub>x</sub>/Δt’ = Δu<sub>x</sub>/Δt<br /><br />a’<sub>x</sub> = a<sub>x</sub><br /></div><br /><div style="text-align: center;">a’<sub>y</sub> = a<sub>y</sub><br /><br />a’<sub>z</sub> = a<sub>z</sub><br /></div><br />El hecho de que la aceleración de un cuerpo medida clásicamente tanto por un observador estacionario como por un observador móvil sea la misma implica que las leyes de Newton basadas en la fórmula <span style="color: rgb(51, 51, 255);">fuerza igual a masa por aceleración</span> (<span style="font-weight: bold;">F = ma</span>) <span style="font-style: italic;">permanecerán las mismas en todos los marcos de referencia al pasar de un marco de referencia a otro</span>, y por lo tanto los experimentos basados en las leyes de la mecánica clásica basadas a su vez en los conceptos del espacio absoluto y el tiempo absoluto no nos sirven para detectar el movimiento absoluto, confirmando lo que ya habíamos visto al principio de esta obra. El movimiento absoluto no se puede detectar a través de experimentos mecánicos. Pero se suponía que se podía detectar a través de experimentos <span style="font-style: italic;">ópticos</span> usando rayos de luz. Para eso estaba el éter, para darnos un marco de referencia universal e inmóvil con respecto al cual era posible concebir el movimiento absoluto. De este modo, la velocidad de la luz, predicha teóricamente mediante las fórmulas del electromagnetismo de James Clerk Maxwell, parecía zanjar de una vez por todas la cuestión sobre el asunto del movimiento absoluto.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Considérese una masa M atada a un resorte que se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento, y la cual cuando el resorte no está estirado ni comprimido se encuentra a una distancia x</span><sub style="font-style: italic;">0</sub><span style="font-style: italic;"> de la pared a la que está anclado el otro extremo del resorte. Clásicamente, la fuerza de tensión F ejercida por el resorte sobre la masa M cuando es estirado a una distancia x de la pared está dada por la relación que nos dice que dicha fuerza es directamente proporcional a la distancia x-x</span><sub style="font-style: italic;">0</sub><span style="font-style: italic;">:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">F = -k(x-x<sub>0</sub>)<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Esta fuerza cuando está desbalanceada produce una aceleración sobre la masa M que está dada por la ley de Newton F = Ma (fuerza igual a masa por aceleración). Demostrar que esta fórmula es invariante bajo las transformaciones de Galileo.</span><br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHlJFBYmxZcRNkru8QwcyVkM-Lfkt13sNONQ56bRcyE8mK0isnBq_xfUJDhpd_qYYF6woaRaL09Q4Mv4lLXAOMGn1XZ_dpntNnDZNqgvLSldwfyXCOzAUo9iXw8L3tmAZMiFa5PQLJT-WF/s1600-h/resorte_oscilante.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 291px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHlJFBYmxZcRNkru8QwcyVkM-Lfkt13sNONQ56bRcyE8mK0isnBq_xfUJDhpd_qYYF6woaRaL09Q4Mv4lLXAOMGn1XZ_dpntNnDZNqgvLSldwfyXCOzAUo9iXw8L3tmAZMiFa5PQLJT-WF/s400/resorte_oscilante.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5332368210207134290" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Considerando el movimiento de la masa M a lo largo del eje-x, la ecuación del movimiento de la masa determinada por un observador en reposo con respecto a la superficie es:<br /><br /><div style="text-align: center;">F = Ma<br /><br />-k(x - x<sub>0</sub>) = Ma<sub>x</sub><br /></div><br />Usando las transformaciones de Galileo para determinar la ecuación del movimiento encontrada por un segundo observador moviéndose a una velocidad V con respecto al primero:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + Vt’<br /><br />x<sub>0</sub> = x’<sub>0</sub> + Vt’<br /><br />a<sub>x</sub> = a’<sub>x</sub><br /></div><br />obtenemos la siguiente ecuación del movimiento para el segundo observador:<br /><br /><div style="text-align: center;">-k(x’- x’<sub>0</sub><sub></sub>) = Ma’<sub>x</sub><br /></div><br />Puesto que la ecuación del movimiento para el segundo observador tiene la misma forma que la ecuación del movimiento para el primer observador, la ecuación del movimiento es <span style="font-style: italic;">invariante</span> bajo las transformaciones de Galileo. Esto confirma que no se puede detectar el movimiento absoluto haciendo experimentos mecánicos con resortes.<br /><br />En general, se dice que hay <span style="font-weight: bold;">invariancia en una ecuación</span> cuando esta presenta la misma forma al ser determinada por dos observadores distintos moviéndose el uno con respecto al otro. En la teoría clásica se supone que las medidas de espacio y tiempo obtenidas por dos observadores están relacionadas por las transformaciones de Galileo.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Suponiendo que los sistemas de referencia S y S’ además de estarse moviendo a una velocidad relativa V</span><sub style="font-style: italic;">x</sub><span style="font-style: italic;"> el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes x-x’ se están moviendo también a una velocidad relativa V</span><sub style="font-style: italic;">y</sub><span style="font-style: italic;"> el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes y-y’ y a una velocidad relativa V</span><sub style="font-style: italic;">z</sub><span style="font-style: italic;"> el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes z-z’, ¿cuáles serán las transformaciones de las coordenadas? ¿Cuáles serán las transformaciones de velocidad? ¿Cuáles serán las transformaciones de aceleración?</span><br /><br />Puesto que el movimiento relativo V<sub>x</sub> es independiente de los movimientos relativos V<sub>y</sub> y V<sub>z</sub> del mismo modo que el movimiento relativo V<sub>y</sub> es independiente del movimiento relativo V<sub>z</sub>, la extensión natural de las transformaciones de Galileo hacia un espacio de <span style="font-weight: bold;">tres dimensiones</span> serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + V<sub>x </sub>t’<br /><br />y = y’ + V<sub>y </sub>t’<br /><br />z = z’ + V<sub>z </sub>t’<br /><br />t = t’<br /></div><br />Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones anteriores obtenemos las transformaciones de velocidad:<br /><br /><div style="text-align: center;">u<sub>x</sub> = u’<sub>x</sub> + V<sub>x</sub><br /><br />u<sub>y</sub> = u’<sub>y</sub> + V<sub>y</sub><br /><br />u<sub>z</sub> = u’<sub>z</sub> + V<sub>z</sub><br /></div><br />Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones de velocidad obtenemos las transformaciones de aceleración:<br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>x</sub> = a’<sub>x</sub><br /><br />a<sub>y</sub> = a’<sub>y</sub><br /><br />a<sub>z</sub> = a’<sub>z</sub><br /></div><br />PROBLEMA: Suponiendo que las coordenadas de un punto P’ en S’ son (x’, y’, z’) = (7, 4, 9) en un tiempo t = t’ = 0, y que (V’<sub>x</sub>, V’<sub>y</sub>, V’<sub>z</sub>) = (3, 5, -2), ¿cuáles serán las coordenadas de dicho punto en un tiempo t’ = 6?<br /><br />Las coordenadas en el sistema de referencia S de tres dimensiones serán de acuerdo con los resultados anteriores:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + V<sub>x </sub>t’ = 7 + (3) (6) = 25<br /><br />y = y’ + V<sub>y </sub>t’ = 4 + (5) (6) = 34<br /><br />z = z’ + V<sub>z </sub>t’ = 9 + (-2) (6) = -3<br /></div><br />Las coordenadas del punto P en el sistema de referencia S serán entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">(x, y, z, t) = (25, 34, -3, 6)<br /></div><br />La mecánica clásica, construída sobre las columnas del espacio absoluto y el movimiento absoluto, invariante bajo las transformaciones de Galileo, daba lugar a que las ecuaciones de Newton permanecieran iguales al pasar de un sistema de referencia a otro. Era un entorno cómodo, consistente, con el que todos estaban contentos. El único “pero” que se le podía poner a este esquema era que al intentar extender los conceptos de la mecánica clásica al estudio de los fenómenos propios del electromagnetismo (del cual no se sabía casi nada en los tiempos de Galileo y Newton) empezaban a surgir inconsistencias y asimetrías que no se habían visto en el estudio de la mecánica Newtoniana. Si se suponía que era posible medir el movimiento absoluto de todos los objetos del universo con respecto a un simple rayo de luz, el asunto matemático de repente se había vuelto extraordinariamente complejo. Uno de los primeros en darse cuenta de las complejidades matemáticas que se habían venido encima con la suposición del movimiento absoluto basado en el concepto del éter fue un físico alemán de nombre Albert Einstein. Suponiendo el movimiento absoluto como válido, las mismas fórmulas del electromagnetismo de Maxwell tenían que ser revisadas y modificadas para tomar en cuenta los diferentes resultados experimentales que podrían esperar obtener diferentes observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro y por lo tanto en movimientos diferentes con respecto a un rayo de luz. La revisión requería introducir asimetrías en las fórmulas de Maxwell para dar cabida en ellas a <span style="font-style: italic;">observadores privilegiados</span> cuyo estado de reposo absoluto se encontrase en concordancia exacta con la dirección y la velocidad teórica de un rayo de luz. Estas asimetrías no existían en las fórmulas de Maxwell, puesto que dichas fórmulas no situaban a ningún observador en un plano preferencial con respecto al otro, las fórmulas tal y como estaban dadas por Maxwell eran igualmente válidas para todos los observadores sin cambio alguno. Pero con la velocidad de la luz fijada como una vara de medición absoluta con respecto al éter, las fórmulas de Maxwell habían dejado de ser universales, habían dejado de ser simétricas. Uno de los ejemplos más claros de ello lo es la <span style="font-weight: bold;">ecuación de onda electromagnética</span>, obtenida de las ecuaciones de Maxwell de la teoría electromagnética y representada en su forma más compacta por la siguiente fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfuCferfkzxgnCgGmlEc3e07zZjwDPxNoKwJAw24Z8D0WLXh7YSWGeqEINtZpAduOXWj3JdFY99qmDy-Et4jXW4SafqR9C7AC7-7pUBlZV6su3l1FIggSQv9yEd3qLfzgSRvxh7yjLLa46/s1600-h/ecuacion_de_onda_electromagnetica_abreviada.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 137px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfuCferfkzxgnCgGmlEc3e07zZjwDPxNoKwJAw24Z8D0WLXh7YSWGeqEINtZpAduOXWj3JdFY99qmDy-Et4jXW4SafqR9C7AC7-7pUBlZV6su3l1FIggSQv9yEd3qLfzgSRvxh7yjLLa46/s400/ecuacion_de_onda_electromagnetica_abreviada.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331751204216980898" border="0" /></a><br /></div><br />Esta fórmula en la que el <span style="font-style: italic;">operador Laplaciano</span> (<span style="font-weight: bold;">∇</span>) actuando sobre la onda electromagnética φ representa de manera concisa lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfi9SlFGI1sN89CsMJDFqNv4-cOgGLoXRuwRSycYKUp9Oii8P4-dvmPLkDOvn5Vs_Iz3wguxAAzhEsFrWsx6RxikiuDkQoRFyxO_PlZB60kyZtnkVt_AFiAe27ALSpwiIBGMPk3sTc97qB/s1600-h/operador_Laplaciano.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 246px; height: 56px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfi9SlFGI1sN89CsMJDFqNv4-cOgGLoXRuwRSycYKUp9Oii8P4-dvmPLkDOvn5Vs_Iz3wguxAAzhEsFrWsx6RxikiuDkQoRFyxO_PlZB60kyZtnkVt_AFiAe27ALSpwiIBGMPk3sTc97qB/s400/operador_Laplaciano.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331752161889137634" border="0" /></a><br /></div><br />se puede expresar en forma más explícita como:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijUF2aGyN4reLexh3Nn2ar3uuI2IZPYMXfIrdaEPBDpyQfn6DTt0vbEXRtvhuqJNwJCYsTjAPw6X6E-Nfa3v8om5Qib9UwdfTzkoPqesHXGFOG-WPjVxaCdVcFw5cUrQz09YufsdZfBFL1/s1600-h/ecuacion_de_onda_electromagnetica_explicita.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 322px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijUF2aGyN4reLexh3Nn2ar3uuI2IZPYMXfIrdaEPBDpyQfn6DTt0vbEXRtvhuqJNwJCYsTjAPw6X6E-Nfa3v8om5Qib9UwdfTzkoPqesHXGFOG-WPjVxaCdVcFw5cUrQz09YufsdZfBFL1/s400/ecuacion_de_onda_electromagnetica_explicita.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331752793915840226" border="0" /></a><br /></div><br />No es difícil demostrar que al aplicar las transformaciones de Galileo a la fórmula anterior, la ecuación toma el siguiente aspecto (se ha utilizado la sobre-línea encima de cada variable en lugar de la comilla para simplificar la notación):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXSDXTdgLZYBuzEZy5Wso0oy3jy453HkEXrHOe5M4mPhRSpIh9ujZOWUI5N-iJgyE82G2zLf4wF5cOfUDBpayAe3iz_csm6CyNYuQuAWnuQBltEoYCNFKtoCBiCGcRz7q68tzqcHgY8ZKg/s1600-h/ecuacion_de_onda_electromagnetica_asimetrica.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 326px; height: 140px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXSDXTdgLZYBuzEZy5Wso0oy3jy453HkEXrHOe5M4mPhRSpIh9ujZOWUI5N-iJgyE82G2zLf4wF5cOfUDBpayAe3iz_csm6CyNYuQuAWnuQBltEoYCNFKtoCBiCGcRz7q68tzqcHgY8ZKg/s400/ecuacion_de_onda_electromagnetica_asimetrica.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331753599076465906" border="0" /></a><br /></div><br />Claramente, esta fórmula es más compleja que la fórmula original. La única manera en la cual ésta fórmula puede simplificarse es haciendo la velocidad V = 0, lo cual significa regresar a la fórmula original <span style="font-style: italic;">válida para un observador que está en reposo con respecto al éter</span>. <span style="font-weight: bold;">El observador que está en reposo con respecto al éter siempre tendrá la fórmula más sencilla de todas</span>; es un observador <span style="font-style: italic;">privilegiado</span>. Todos los demás obtendrán fórmulas diferentes. Y esto cubre apenas las asimetrías con las que nos topamos al manipular la ecuación de onda electromagnética. Cualquier otra situación en la que estén involucradas fórmulas en las que basamos experimentos llevados a cabo con rayos de luz (o con ondas electromagnéticas de teléfonos celulares, radio y televisión) adquirirán asimetrías al pasar de un marco de referencia a otro.<br /><br />Por más que intentó restaurar con parches las ecuaciones de Maxwell que anteriormente mostraban una simetría perfecta, Albert Einstein lo único que encontró en cada nuevo intento fueron más asimetrías y más asimetrías. Simple y sencillamente no había forma alguna de restaurar las ecuaciones de Maxwell a su condición original como ecuaciones independientes del movimiento del observador. Esto llevó a Einstein a cuestionar las mismas bases de lo que entendemos por <span style="font-weight: bold;">movimiento absoluto</span>. En su esencia básica, todo movimiento, medido experimentalmente como una velocidad, definida como la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrer dicha distancia:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijXXGcVgRUDTyxXxPTJSIhmPBUcii7L8Uzlh97zz-SN4PgJZ3M2wD7gr6efgHJI0fZ2TZ1YhffyyZFkOmy9p4vDA9bIgospG6F0CpUPAXMpDIomaGpdcFolej-P7pkXfkHTj1pYhocJ0l4/s1600-h/definicion_de_velocidad.png"><img style="cursor: pointer; width: 284px; height: 79px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijXXGcVgRUDTyxXxPTJSIhmPBUcii7L8Uzlh97zz-SN4PgJZ3M2wD7gr6efgHJI0fZ2TZ1YhffyyZFkOmy9p4vDA9bIgospG6F0CpUPAXMpDIomaGpdcFolej-P7pkXfkHTj1pYhocJ0l4/s400/definicion_de_velocidad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314597701471378194" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><span style="font-style: italic;">presupone necesariamente que tanto la distancia como el tiempo son parámetros físicos absolutos, invariables</span>.<br /><br />Pero, ¿realmente podemos considerar la distancia entre dos objetos como algo invariable, absoluto? La lógica nos dice que sí, que dos personas que estén paradas la una frente a la otra medirán la misma longitud de un metro. ¿Y dos personas que se están moviendo la una con respecto a la otra, también medirán la misma longitud de un metro para la vara? El fundador mismo de la mecánica clásica, Isaac Newton, nos había afirmado que sí, y esto se había tomado casi como un dogma indiscutible por muchas décadas en reconocimiento al enorme calibre intelectual de Newton, algo que no era fácil de poner en entredicho en base a lo que nos sugiere nuestra propia intuición. Pero Newton fue más allá al afirmar que eso que nosotros llamamos tiempo también es algo absoluto, universal, en el sentido de que dos personas con relojes diferentes en sus manos y en reposo la una frente a la otra medirán el mismo lapso del tiempo que les marcan los relojes que si se ponen en movimiento la una frente a la otra inclusive hasta alcanzar velocidades extraordinariamente altas. Para Newton, la marcha del tiempo era algo universal, invariable, y si la marcha del tiempo era medida con relojes iguales sincronizados con elevada precisión el uno con respecto al otro, ambos deberían obtener los mismos lapsos de tiempo. Esto, el concepto del <span style="font-weight: bold;">tiempo absoluto</span>, aunque un poco menos obvio que el concepto de la <span style="font-weight: bold;">longitud absoluta</span>, también era tan obvio a nuestra intuición que simple y sencillamente no había razones para cuestionarlo. Pero el problema de aferrarnos a los conceptos de la <span style="font-style: italic;">longitud absoluta</span> y del <span style="font-style: italic;">tiempo absoluto</span> con su consecuencia directa que es el <span style="font-weight: bold;">movimiento absoluto</span> se traducía directamente en la destrucción de la simetría universal mostrada por las ecuaciones básicas del electromagnetismo de Maxwell. Podemos, si así lo deseamos, aferrarnos a los conceptos de la longitud absoluta y del tiempo absoluto, y toparnos con las mismas ecuaciones asimétricas para la teoría del electromagnetismo que Einstein trató de remendar inútilmente.<br /><br /><span style="font-style: italic;">O podemos, aunque nos cueste mucho trabajo hacerlo, y aunque vaya en contra de nuestro más elemental sentido común, prescindir por completo de los conceptos de la longitud absoluta y del espacio absoluto, y con ello del movimiento absoluto.</span><br /><br />Esto, desde luego, nos lleva nuevamente a la misma situación en la cual nos encontrábamos desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana, de que no es posible determinar quién es el que se está moviendo, definido el movimiento como algo contra lo que se pudiera decir que nos estamos moviendo. Pero tiene una consecuencia matemática extraordinariamente apetecible: todas las asimetrías que habían surgido en las ecuaciones de Maxwell desaparecen casi como por arte de magia, las ecuaciones básicas de la teoría del electromagnetismo retoman su caráter sencillo y universal. Pero para que esto ocurra, es necesario también que uno de los descubrimientos más sorprendentes de Maxwell, la constancia de la velocidad de la luz considerada como una onda electromagnética, permanezca invariable para distintos observadores aunque estén en movimiento relativo el uno con respecto al otro. En pocas palabras, <span style="font-weight: bold;">dos o más observadores que se estén moviendo en direcciones diferentes ambos medirán para un mismo rayo de luz la misma velocidad</span>, siendo esta precisamente la velocidad predicha por las ecuaciones de Maxwell. Convencido de que esta era la única salida posible para el enredo, Albert Einstein formuló los dos principios básicos sobre los cuales descansa la <span style="font-weight: bold;">Teoría Especial de la Relatividad</span>, conocida también como <span style="font-weight: bold;">Teoría Restringida de la Relatividad</span> o simplemente <span style="font-weight: bold;">Teoría Restringida</span> por estar limitada a fenómenos físicos en los cuales no hay aceleraciones entre dos observadores distintos sino únicamente movimientos relativos entre el uno y el otro llevándose a cabo a velocidad constante:<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">(I)</span> El movimiento absoluto no puede ser detectado, porque tal cosa no existe.<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">(II)</span> La velocidad de la luz es la misma para distintos observadores.<br /><br />El primer postulado nos confirma que el movimiento absoluto no sólo no puede ser detectado por medios mecánicos, lo cual ya se sabía desde los tiempos de Newton y Galileo, <span style="font-style: italic;">tampoco puede ser detectado por medios ópticos que involucren a la misma luz así como experimentos de índole eléctrica y magnética</span>, y de hecho no puede ser detectado por medio alguno, no puede ser determinado por ningún tipo de experimento de índole alguna que a alguien se le pueda ocurrir ahora o en el futuro.<br /><br />Y el segundo postulado es irónico porque a la vez que descarta la existencia de la longitud absoluta y del tiempo absoluto, sube a un pedestal privilegiado a un nuevo absoluto de la física, la velocidad de la luz, la cual será la misma e invariable en cualquier parte del universo para cualquier observador.<br /><br />Estos dos postulados sobre los cuales descansa la Teoría Especial de la Relatividad, tan sencillos como parecen, tienen repercusiones amplias y profundas, siendo causantes de una de las revoluciones intelectuales más profundas e importantes del siglo XX.<br /><br />Uno de los primeros triunfos inmediatos de la nueva teoría fue que la ecuación de onda electromagnética permanecía invariante al pasar de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’ o viceversa; o sea que si la ecuación original en el sistema S era:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijUF2aGyN4reLexh3Nn2ar3uuI2IZPYMXfIrdaEPBDpyQfn6DTt0vbEXRtvhuqJNwJCYsTjAPw6X6E-Nfa3v8om5Qib9UwdfTzkoPqesHXGFOG-WPjVxaCdVcFw5cUrQz09YufsdZfBFL1/s1600-h/ecuacion_de_onda_electromagnetica_explicita.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 322px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijUF2aGyN4reLexh3Nn2ar3uuI2IZPYMXfIrdaEPBDpyQfn6DTt0vbEXRtvhuqJNwJCYsTjAPw6X6E-Nfa3v8om5Qib9UwdfTzkoPqesHXGFOG-WPjVxaCdVcFw5cUrQz09YufsdZfBFL1/s400/ecuacion_de_onda_electromagnetica_explicita.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331752793915840226" border="0" /></a><br /></div><br />entonces en el sistema S’ la fórmula obtenida era:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyYreOXR2FTpJvCel8PJquvl4-EZxnDViXvfjJau2IFsOumD27gBn4qp0i9aotkh8wBoAVP9yIjJ5dQVoPV5aKfsPoVmtCH5umr3iIMjvwfdCMS8uFEu-ZnI_2Nx3RMyfmSOd3YzUyNqCq/s1600-h/ecuacion_de_onda_electromagnetica_simetrica.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 327px; height: 57px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyYreOXR2FTpJvCel8PJquvl4-EZxnDViXvfjJau2IFsOumD27gBn4qp0i9aotkh8wBoAVP9yIjJ5dQVoPV5aKfsPoVmtCH5umr3iIMjvwfdCMS8uFEu-ZnI_2Nx3RMyfmSOd3YzUyNqCq/s400/ecuacion_de_onda_electromagnetica_simetrica.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331758923688901762" border="0" /></a><br /></div><br /><br />¡Simetría total, por fin!<br /><br />Obviamente, las transformaciones requeridas para llevar a cabo la conversión de un marco de referencia a otro no podían estar basadas en las transformaciones de Galileo. Se requería <span style="font-style: italic;">un nuevo tipo de transformaciones</span> incorporando los principios de los dos postulados de la Teoría Especial de la Relatividad. Esto se verá posteriormente con mayor detalle.<br /><br />De este modo, al llevar a cabo experimentos de óptica con rayos de luz, desaparecía la posibilidad de poder detectar el movimiento absoluto con respecto al éter, y con ello desaparecía la necesidad de creer en la existencia del éter, al mismo tiempo que desaparecía el concepto del observador privilegiado. Pero había que pagar un costo por todo esto. De pronto las transformaciones de Galileo perdieron su carácter universal y sólo eran aproximadamente válidas a bajas velocidades (en comparación con la velocidad de la luz). La cinemática clásica tuvo que ser revisada a fondo y puesta al día. Y la dinámica basada en las leyes de Newton era insostenible en caso de no ser modificada adaptándola a los nuevos conceptos.<br /><br />En su trabajo original, publicado en 1905 en el tomo <span style="font-weight: bold;">17</span> de la publicación científica <span style="font-style: italic;">Annalen der Physik</span>, cuya página frontal tenemos a continuación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTjTiVslvaJlmjtmeswDaOactDhFwKM0VrWZrc5Nag9kQMj_bGpS4vni43SB8fFro8GKiZGmMXMHe35_oR-Diz8qFmXFehupIISTypAzbgltqgLsNiBLqpAnx0b3EGmRnWR6my-f90wb5Q/s1600-h/Annalen_der_Physik_1905_pagina_frontal.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 281px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTjTiVslvaJlmjtmeswDaOactDhFwKM0VrWZrc5Nag9kQMj_bGpS4vni43SB8fFro8GKiZGmMXMHe35_oR-Diz8qFmXFehupIISTypAzbgltqgLsNiBLqpAnx0b3EGmRnWR6my-f90wb5Q/s400/Annalen_der_Physik_1905_pagina_frontal.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328384103020407490" border="0" /></a><br /></div><br />y en cuyo interior tenemos el trabajo “Zur Elektrodynamik bewegter Korper” (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento) cuya introducción es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIwJWktzw9Yv75BXk60vI2TEi395qKVl0KWXOxoeONNDvQaK7-cVOwGl6kZsS1gXOsd-XbJyqOrvT3J4FI4RoS_HDWbs_lVIYu2F_8ap8znr8GYtpDkGUzhQ6ue7AEk96skGDzQg3FkVEa/s1600-h/primera_pagina_del_trabajo_introductorio_de_la_teoria_especial_de_la_relatividad.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 328px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIwJWktzw9Yv75BXk60vI2TEi395qKVl0KWXOxoeONNDvQaK7-cVOwGl6kZsS1gXOsd-XbJyqOrvT3J4FI4RoS_HDWbs_lVIYu2F_8ap8znr8GYtpDkGUzhQ6ue7AEk96skGDzQg3FkVEa/s400/primera_pagina_del_trabajo_introductorio_de_la_teoria_especial_de_la_relatividad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328387305919046882" border="0" /></a><br /></div><br />podemos leer lo siguiente:<br /><blockquote>“Es conocido que la electrodinámica de (James Clerk) Maxwell -como usualmente se entiende en el tiempo presente- cuando se aplica a los cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes en los fenómenos. Tómese, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor. El fenómeno observable aquí depende únicamente del movimiento relativo del conductor y el imán, mientras que el punto de vista acostumbrado hace una distinción aguda entre los dos casos en los cuales el uno o el otro de estos cuerpos está en movimiento...<br /><br />“Ejemplos de este tipo, junto con los intentos infructuosos para descubrir cualquier movimiento de la tierra relativo al “medio de luz” (<span style="font-style: italic;">aquí Einstein está haciendo una clara referencia al éter que supuestamente servía como medio de transporte para la luz</span>) sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, así como los de la mecánica, no poseen propiedades que correspondan a la idea del reposo absoluto (<span style="font-style: italic;">si el reposo absoluto no puede ser detectado, tampoco el movimiento absoluto</span>). Estos sugieren que, como ya se ha demostrado al primer orden para cantidades pequeñas, las mismas leyes de electrodinámica y óptica serán válidas para todos los marcos de referencia para los cuales las ecuaciones de la mecánica son sostenidos como válidos. Elevaremos esta conjetura (que será llamada de aquí en delante el “Principio de Relatividad”) a la categoría de un postulado, introduciendo también otro postulado, que es irreconciliable sólo en apariencia con el anterior, que la luz es propagada siempre en el espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor. Estos dos postulados son suficientes para la realización de una teoría simple y consistente de la electrodinámica de cuerpos en movimiento basada en la teoría de Maxwell para cuerpos estacionarios.”</blockquote><br /><span style="font-weight: bold;">Para beneficio e interés de los lectores, se ha reproducido íntegramente al final de esta obra la traducción inglesa del trabajo original con el cual Einstein dió a conocer al mundo desde Alemania la Teoría Especial de la Relatividad, puesto en el Apéndice I bajo el título “El papel original de Einstein de 1905”</span>.<br /><br />Bastan pues tan solo dos postulados sencillos, enunciados en unos cuantos renglones, para construír todo nuestro castillo de conocimientos sobre el tema de la Teoría Especial de la Relatividad (Einstein no utilizó el adjetivo “Especial” en su primer trabajo sobre el tema, esto lo incluiría posteriormente). Aquí tal vez podría preguntarse alguien, ¿y por qué razón Einstein hizo referencia posterior a esta teoría como la Teoría <span style="font-style: italic;">Especial</span> de la Relatividad? ¿Acaso estaba concebida para formar parte de un esquema más amplio? ¿Acaso la Teoría Especial de la Relatividad iba a formar parte de una teoría de mayor cobertura, una Teoría <span style="font-style: italic;">General</span> de la Relatividad? ¿Qué es entonces lo que está ausente de la Teoría Especial de la Relatividad?<br /><br />En efecto, cuando Einstein concibió la Teoría de la Relatividad en su primer formato, supo desde un principio que esta teoría tendría que formar parte necesariamente de un esquema más amplio, sabía que la Teoría de la Relatividad que había formulado no abarcaba algo que había quedado pendiente y que por lo tanto tendría que ser considerada como una Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br />Para saber qué es lo que había quedado ausente, trasladémonos de nuevo al vagón de ferrocarril herméticamente sellado en el que nuestro viajero se encontraba viajando y en el cual trataba de concebir infructuosamente alguna forma experimental con la cual pudiera saber si se estaba moviendo o no. En base a la Teoría Especial de la Relatividad, no existe experimento alguno que le pueda decir al viajero si se está moviendo o no, porque el movimiento absoluto no existe, siempre fue una quimera a la cual fuimos llevados por la forma tan simplificada en la cual opera nuestro sentido común:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4U2QQ_OBXmh6nmEwXJ8yV-dhgWD6s4uNCMnVDrKQAAau8WC5dLNt8s-VvzOxjXfGKA6w0AGJBtmjKhFn9uY3ZfW0AIxzSFXnUKntKazHn7kX0iqjPn8PQtsTJZmLSR8_NxHK-FK7fEW04/s1600-h/pasajero_en_tren_a_velocidad_constante.png"><img style="cursor: pointer; width: 398px; height: 161px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4U2QQ_OBXmh6nmEwXJ8yV-dhgWD6s4uNCMnVDrKQAAau8WC5dLNt8s-VvzOxjXfGKA6w0AGJBtmjKhFn9uY3ZfW0AIxzSFXnUKntKazHn7kX0iqjPn8PQtsTJZmLSR8_NxHK-FK7fEW04/s400/pasajero_en_tren_a_velocidad_constante.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327552183977861282" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Sin embargo, si el tren se acelera o decelera, por muy blindado que esté el tren por dentro el viajero sabe de inmediato que el tren ha cambiado de velocidad por las fuerzas que experimenta de súbito en el interior. Si lleva un reloj de bolsillo consigo colgando de una cadena y el reloj está suelto, la ligera elevación del reloj le indicará claramente que el vagón está experimentando un cambio de velocidad, un cambio susceptible de ser medido experimentalmente con instrumentos de medición:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-N31jIUw6XDCjr9wSlNnDB3rU_w_V20JpHLeE6U1NGNowZssmDU4V3PZkklCiSSp0JHdz9vXjCVtjcQCHTX0k1OUPX_Lt4TAly9htTrTwcXn-_USiDjHGzdgvxeHda-pk3GzwyRx_TGmC/s1600-h/pasajero_en_tren_a_aceleracion_constante.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 156px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-N31jIUw6XDCjr9wSlNnDB3rU_w_V20JpHLeE6U1NGNowZssmDU4V3PZkklCiSSp0JHdz9vXjCVtjcQCHTX0k1OUPX_Lt4TAly9htTrTwcXn-_USiDjHGzdgvxeHda-pk3GzwyRx_TGmC/s400/pasajero_en_tren_a_aceleracion_constante.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327552575737511602" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Esto parecería darle al ocupante del vagón de ferrocarril la condición de ser un <span style="font-style: italic;">observador privilegiado</span> con respecto a todos los demás observadores externos al tren que lo ven pasar rápidamente sobre las vías del ferrocarril, porque mientras los observadores externos se pueden considerar en estado de reposo el viajero en el vagón blindado se puede dar cuenta de cuándo el vagón está cambiando de velocidad. De lo que no puede darse cuenta es si el vagón se está moviendo a una velocidad <span style="font-style: italic;">constante</span> cuando se está moviendo a una velocidad constante, pero indudablemente que sí se puede dar cuenta de cuándo el vagón ha variado la velocidad de su marcha. Esto parece restaurar cierto <span style="font-style: italic;">status</span> de <span style="font-weight: bold;">observador privilegiado</span> al viajero que va dentro del vagón. Pero este es un asunto que involucra aceleraciones, cambios de velocidad, no velocidades constantes. Einstein dejó este asunto pendiente por algún tiempo mientras formulaba esa teoría más general que tomara en cuenta el caso de los cambios de velocidad, esa teoría que llegaría a ser conocida como la <span style="font-style: italic;">Teoría General de la Relatividad</span> de la cual la <span style="font-style: italic;">Teoría Especial de la Relatividad</span> es, perdonando la redundancia, un caso especial.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-22137521007240924962009-03-18T22:30:00.000-07:002009-12-09T12:00:09.807-08:00Las consecuencias directas de la teoríaSi tomamos como ciertos los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad y nos aferramos a ellos sin cuestionarlos, las consecuencias suelen tomar un carácter dramático para la forma de pensar a la cual estábamos acostumbrados. En realidad, para muchos pueden resultar un verdadero <span style="font-style: italic;">shock</span>.<br /><br />Empezaremos con el siguiente ejemplo que es tal vez uno de los ejemplos más simples que podamos concebir, en el cual tenemos a un experimentador viajando en un tren sin paredes y sin techo, con la plataforma descubierta, a una velocidad extremadamente alta de 100 mil kilómetros por segundo <span style="font-style: italic;">con respecto a las vías del tren</span>, el cual con una linterna acciona un rayo de luz que en el dibujo podemos ver que viaja de izquierda a derecha:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ16pTUyq-MDxnAcm_OTnphzgmq8d1kDEBw0g1IBBJSCVL4q_3CiY7TfEYy_MB3RFMHtQJnppq7gr77O5_Gno4wBoqLnfmFgO8NqTlTY1HbqiaJI1kQGtzkDkMrAHkpdOi6yU4BXVqw8qm/s1600-h/movimiento_relativo_con_luz.gif"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 156px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ16pTUyq-MDxnAcm_OTnphzgmq8d1kDEBw0g1IBBJSCVL4q_3CiY7TfEYy_MB3RFMHtQJnppq7gr77O5_Gno4wBoqLnfmFgO8NqTlTY1HbqiaJI1kQGtzkDkMrAHkpdOi6yU4BXVqw8qm/s400/movimiento_relativo_con_luz.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314613041303272018" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En la tierra tenemos un observador que ve pasar rápidamente al vagón a la velocidad de 100 mil kilómetros por segundo.<br /><br />El viajero que va en el tren con la plataforma al descubierto y el cual tiene una linterna reposando en sus manos, ve salir al rayo de luz de la linterna con una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo. Si tiene instrumentos a bordo esto es lo que él medirá.<br /><br />¿Y qué velocidad medirá para el mismo rayo de luz el observador que ve pasar el vagón a una velocidad de 100 mil kilómetros por segundo? Nuestro sentido común nos dice que la velocidad del rayo de luz de 300 mil kilómetros por segundo se sumará a la velocidad del vagón de 100 mil kilómetros por segundo resultándole en una velocidad de 400 mil kilómetros por segundo. Pero la Teoría de la Relatividad nos dice que<span style="font-style: italic;"> él también medirá una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo para el rayo de luz</span>. <span style="font-weight: bold;">Ambos miden para el mismo rayo de luz una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo</span>. ¿Entonces qué es lo que está sucediendo? Lo que está sucediendo es que la distancia que recorre el rayo de luz para el experimentador que viaja en el vagón y el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia <span style="font-style: italic;">son diferentes del tiempo y de la distancia que el observador en tierra mide experimentalmente</span>. En efecto, las distancias y los tiempos han dejado de ser unidades de medición absolutas. Lo único que no ha cambiado y que permanece invariable <span style="font-style: italic;">como una constante universal</span> es ese rayo de luz.<br /><br />Consideremos ahora otro experimento hipotético, en el cual tenemos un ferrocarril que se mueve a una velocidad extremadamente rápida, dentro del cual hay un pasajero <span style="font-weight: bold;">A</span> que tiene una linterna en su mano y que en un momento dado enciende y apaga su linterna con el objeto de enviar un pulso luminoso hacia un espejo que puede estar situado ya sea en el techo del vagón en el que viaja o en la pared contraria, siempre y cuando el pulso luminoso no sea enviado en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren o en dirección contraria, sino <span style="font-style: italic;">en una dirección perpendicular al sentido del movimiento del tren</span>.<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoMLm37qoOpsuepYXARqpGXeC_vEkRojDYEeHOyIoc_NzjwieR2ZuUY5Qk-9UQM3qpKHvjMbilRnB_t0Voj_qFgW7C70pc0XiZSgvT4gC0l9caRLCfmlqLJH9n7XmnTASHgO0uSrQlWYo4/s1600-h/rayo_de_luz_disparado_hacia_arriba.png"><img style="cursor: pointer; width: 102px; height: 274px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoMLm37qoOpsuepYXARqpGXeC_vEkRojDYEeHOyIoc_NzjwieR2ZuUY5Qk-9UQM3qpKHvjMbilRnB_t0Voj_qFgW7C70pc0XiZSgvT4gC0l9caRLCfmlqLJH9n7XmnTASHgO0uSrQlWYo4/s400/rayo_de_luz_disparado_hacia_arriba.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5318778643114344610" border="0" /></a><br /><div style="text-align: left;"><br /><br />Supondremos también que hay un observador externo <span style="font-weight: bold;">B</span> situado a un lado de las vías del ferrocarril que se ha puesto de acuerdo previamente con el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> en el tren en que el observador externo <span style="font-weight: bold;">B</span> es el que está en reposo y que el tren se está moviendo a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> de 0.6 metros por segundo. Puesto que la velocidad de la luz es extremadamente alta, para fines didácticos consideraremos una velocidad de la luz <span style="font-weight: bold;">c</span> igual a un metro por segundo, lo cual no altera las conclusiones básicas que estamos buscando.<br /><br />Es ya costumbre “encajonar” al viajero que se traslada en la plataforma móvil dentro de lo que llamamos un <span style="font-weight: bold;">marco de referencia</span> (la palabra inglesa es <span style="font-style: italic;">reference frame</span>) como si estuviese contenido dentro del marco de un cuadro en el cual está todo lo que se mueve junto con el viajero incluyendo al tren, su linterna, el aire que respira, el espacio tridimensional en el que está situado, en fin, todo incluyéndolo a él; como también es ya costumbre denotar dicho marco de referencia con la letra S'. Por otro lado, es ya costumbre “encajonar” el observador situado a un lado de las vías del ferrocarril y al cual consideramos en reposo dentro de su propio marco de referencia como también es ya costumbre denotar dicho marco de referencia con la letra S:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibH-Pl8hVIMicomM4fmN22n57fjRwxYinBpTN29qdUpQqMl9CbCkLmCVAFkG3xxIGDL0za6h6MGGUemsKQGh3d1_3hQn3iUT-CsYzC69H9poDwwDrIMayPX-pcZwVbMFboq9rbuu3doOeB/s1600-h/marcos_de_referencia_dos_observadores.gif"><img style="cursor: pointer; width: 372px; height: 308px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibH-Pl8hVIMicomM4fmN22n57fjRwxYinBpTN29qdUpQqMl9CbCkLmCVAFkG3xxIGDL0za6h6MGGUemsKQGh3d1_3hQn3iUT-CsYzC69H9poDwwDrIMayPX-pcZwVbMFboq9rbuu3doOeB/s400/marcos_de_referencia_dos_observadores.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319077190246741394" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> lleva consigo <span style="font-style: italic;">dentro de su marco de referencia </span>(que llamaremos S' siguiendo la costumbre usual) un reloj electrónico de alta precisión con el cual mide el tiempo total de ida y vuelta que el pulso luminoso tarda en recorrer la distancia <span style="font-weight: bold;">D</span> de la linterna hasta el espejo junto con el tiempo que tarda en regresar a su punto de origen. El tiempo que transcurre entre dos eventos que ocurren dentro de un mismo marco de referencia en el cual el observador está en reposo es conocido como <span style="font-weight: bold;">tiempo propio</span> (y también como <span style="font-style: italic;">tiempo local</span>).<br /><br />Para fines ilustrativos usando números, supondremos que la distancia <span style="font-weight: bold;">D</span> del viajero hasta el espejo que tiene frente a él es de 4 metros. Entonces el pulso luminoso recorrerá un total de 8 metros en su trayecto de ida y vuelta:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFaSuYNTItz78jdwpg0RSqXvbYR30wh6qqsLlt6pQpc6bDNdGAiFU7FRvVVR2HynVXbD033DW8uX52XFWCpcp8rKZXHS2NKh7uACcBtLblnQtVQLQ0nluSiOgkaFV4c4MQp1D5xuPEs6j5/s1600-h/dilatacion_del_tiempo_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 150px; height: 350px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFaSuYNTItz78jdwpg0RSqXvbYR30wh6qqsLlt6pQpc6bDNdGAiFU7FRvVVR2HynVXbD033DW8uX52XFWCpcp8rKZXHS2NKh7uACcBtLblnQtVQLQ0nluSiOgkaFV4c4MQp1D5xuPEs6j5/s400/dilatacion_del_tiempo_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5318789306090005778" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Entonces el tiempo propio <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> que mide el viajero con su reloj entre la salida del pulso de luz de la linterna y el retorno del pulso después de haber sido reflejado por el espejo será igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">c = 2D / Δt'</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Δt' = 2D / c</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Δt'</span> = 8 metros / 1 metro por segundo<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Δt'</span> = 8 segundos<br /></div><br />Sin embargo, lo que observa el viajero dentro de su marco de referencia S' no es lo mismo que lo que observa la persona que está fuera del ferrocarril a un lado de las vías del tren en un marco de referencia que llamaremos S, la cual verá al pulso de luz recorrer una longitud <span style="font-style: italic;">mayor</span> que la que ve el viajero dentro del vagón:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZvoDCaHUy0XVDle_yvPyF18VTuW-5K7i72jwPSEP9Jj3HLXsf3VaLADXx_32XrZ6XjdfeFVb82TOFa5i5gA6pTFjC_nrhDd0StFiwpalLoDwcg2SdCPcZj_eutpPKy_Wl-nVLU6cBNwu6/s1600-h/dilatacion_del_tiempo_basica.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 266px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZvoDCaHUy0XVDle_yvPyF18VTuW-5K7i72jwPSEP9Jj3HLXsf3VaLADXx_32XrZ6XjdfeFVb82TOFa5i5gA6pTFjC_nrhDd0StFiwpalLoDwcg2SdCPcZj_eutpPKy_Wl-nVLU6cBNwu6/s400/dilatacion_del_tiempo_basica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337222997116496050" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Si el ferrocarril se está trasladando a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> igual a 0.6 metros por segundo, entonces la distancia <span style="font-weight: bold;">L</span> recorrida por el pulso luminoso será indudablemente mayor para el observador estacionario en el marco de referencia S que la distancia <span style="font-weight: bold;">2D</span> que el viajero ve que el pulso luminoso recorre en su marco de referencia S'. Sin embargo, por el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad, ambos deben medir la misma velocidad <span style="font-weight: bold;">c</span> para ese pulso luminoso. Entonces, ¿cómo puede el observador estacionario obtener la misma velocidad c para el pulso luminoso siendo que la longitud de recorrido que él mide es mayor que la longitud de recorrido para el viajero dentro del vagón? Pues midiendo <span style="font-style: italic;">un tiempo mayor</span> de recorrido <span style="font-weight: bold;">Δt</span> para el pulso luminoso que el tiempo <span style="font-weight: bold;">Δt' </span>medido por el viajero A. Este es un fenómeno relativista conocido como la <span style="font-weight: bold;">dilatación del tiempo</span>.<br /><br />Usando el Teorema de Pitágoras, el recorrido del rayo de luz se puede descomponer en una componente vertical y una componente horizontal:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjO1lwuIWeoxopK-rE4DcUaTCJOsr8A7BO5d41ZOkXrHvliPsR9K4KvXi7ei7frGTz2dfjJyrjZkiBBECjQnYJSQMFu3liWHV9io7lWqEJO68iQEyUUx_m0Pey5FTAcPWda4e6Gi4ghzjO8/s1600-h/dilatacion_del_tiempo_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 229px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjO1lwuIWeoxopK-rE4DcUaTCJOsr8A7BO5d41ZOkXrHvliPsR9K4KvXi7ei7frGTz2dfjJyrjZkiBBECjQnYJSQMFu3liWHV9io7lWqEJO68iQEyUUx_m0Pey5FTAcPWda4e6Gi4ghzjO8/s400/dilatacion_del_tiempo_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320591594658729826" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Veamos ahora las cosas desde la perspectiva del observador externo <span style="font-weight: bold;">B</span>, en el marco de referencia S, <span style="font-style: italic;">medidas en el tiempo propio del observador externo</span> <span style="font-weight: bold;">B</span>.<br /><br />Para el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>, el rayo de luz hace un recorrido triangular que, dentro de su marco de referencia, transcurre en un tiempo total <span style="font-weight: bold;">Δt</span> que necesariamente debe ser mayor que el tiempo propio <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> para que así ambos puedan medir para el rayo de luz la misma velocidad <span style="font-weight: bold;">c</span>. En algo en lo que ambos viajero y observador externo están completamente de acuerdo, además del hecho de que los dos miden para el pulso luminoso la misma velocidad <span style="font-weight: bold;">c</span>, es que el tren se está desplazando a la misma velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> de 0.6 metros por segundo.<br /><br />En su tiempo <span style="font-weight: bold;">Δt, </span>entre ambos <span style="font-style: italic;">eventos</span> del disparo y retorno del rayo de luz a su punto de origen, para el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> el tren habrá avanzado una distancia total <span style="font-weight: bold;">V</span><span style="font-weight: bold;">Δt</span>. Entonces la distancia que habrá avanzado el tren desde que el rayo de luz es disparado por el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta que llega al espejo situado en el lado contrario al viajero será la mitad, o sea <span style="font-weight: bold;">(V</span><span style="font-weight: bold;">Δt)/2</span>. También, en su marco de referencia S, el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> medirá para la distancia total recorrida por el rayo de luz desde que es disparado por el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta que regresa a su punto de origen una longitud total de <span style="font-weight: bold;">cΔt</span>. Entonces la distancia que habrá recorrido el rayo de luz desde que es disparado por el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta que llega al espejo situado en el lado contrario al viajero será la mitad de la trayectoria total, o sea <span style="font-weight: bold;">(c</span><span style="font-weight: bold;">Δt)/2)</span>. Podemos ver que la relación de longitudes, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, estará dada en base al siguiente triángulo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjInWAIKUf-pzEfiG-hX-YLcOMaHq6HgPWvoAtOGJiWRbhmlFrDcjRO8FK7eXpuYBAz6uU31KksWeSI16_KfgQuI4BYnLfgUCbwOG3LSpVMJqg0Wg0d-QPR0zIewzr6Zel3WqEXdpknTrLB/s1600-h/triangulo_para_derivacion_relativistica.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 200px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjInWAIKUf-pzEfiG-hX-YLcOMaHq6HgPWvoAtOGJiWRbhmlFrDcjRO8FK7eXpuYBAz6uU31KksWeSI16_KfgQuI4BYnLfgUCbwOG3LSpVMJqg0Wg0d-QPR0zIewzr6Zel3WqEXdpknTrLB/s400/triangulo_para_derivacion_relativistica.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319848536025678978" border="0" /></a><br /></div><br />y será:<br /><br /><div style="text-align: center;">(<span style="font-weight: bold;">c</span><span style="font-weight: bold;">Δt/2</span>)² = <span style="font-weight: bold;">D</span>² + (<span style="font-weight: bold;">V</span><span style="font-weight: bold;">Δt/2</span>)²<br /></div><br />Entonces, despejando para <span style="font-weight: bold;">Δt</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">Δt</span> = 2<span style="font-weight: bold;">D</span>/√<span style="text-decoration: overline;"> <span style="font-weight: bold;">c</span>² - <span style="font-weight: bold;">V</span>²</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Δt</span> = (8 metros)/√<span style="text-decoration: overline;">(1 metro/seg)² - (0.6 metro/seg)²</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Δt</span> = 8<span style="font-weight: bold;"></span>/0.8 segundos<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Δt</span> = 10 segundos<br /><div style="text-align: left;"><br />Así pues, para el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>, el rayo de luz tarda 10 segundos en recorrer el trayecto total de ida y vuelta. <span style="font-style: italic;">El tiempo que mide el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> se ha dilatado (expandido) en <span style="font-weight: bold;">B</span>, ya que el viajero <span style="font-weight: bold;">B</span> mide 8 segundos entre ambos eventos.</span> Al usar la palabra “dilatación”, no la estamos utilizando en el sentido de “retraso”, “dilación”, sino en el sentido de “aumento”, “expansión”.</div></div><br />Usando exactamente el mismo procedimiento que el que utilizamos para resolver este problema numérico, podemos obtener una fórmula general para la <span style="font-weight: bold;">dilatación del tiempo</span> (en la derivación de la fórmula se prescindirá del símbolo <span style="font-weight: bold;">Δ</span> al sobreentenderse que el tiempo t es una diferencia de tiempo transcurrido entre dos eventos):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4hvgpoDCvaeG-V_ENmemSAnoH9TCmXY0E_uLddLgTqm684BF-lAThR3YadVZ79vUwIvinIR0snBLyQ5yy8kY4IqK-E2uBMe1b94IYL9C6QV8ZI1sNlri6dwvrDKSusx4DhVuJ_G4DFqoB/s1600-h/derivacion_formula_dilatacion_del_tiempo.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 230px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4hvgpoDCvaeG-V_ENmemSAnoH9TCmXY0E_uLddLgTqm684BF-lAThR3YadVZ79vUwIvinIR0snBLyQ5yy8kY4IqK-E2uBMe1b94IYL9C6QV8ZI1sNlri6dwvrDKSusx4DhVuJ_G4DFqoB/s400/derivacion_formula_dilatacion_del_tiempo.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319081865855627890" border="0" /></a><br /></div></div></div><br /><br />Pero ya vimos que 2<span style="font-weight: bold;">D/c</span> es el tiempo <span style="font-weight: bold;">t'</span> que mide el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> entre ambos eventos. Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsPoMhyCtPdBYtsjCEqIzfNucggVamDtO1QreFwekyNG1J3sB59-adav_M5_74xTN2UcLd_chFdiX8qCI5PdiaKxueXtIuSlY7a_5skj7VK6LIH320zw0mWzWASX9MI54mvZXEeDCkCwOE/s1600-h/formula_dilatacion_del_tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 200px; height: 100px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsPoMhyCtPdBYtsjCEqIzfNucggVamDtO1QreFwekyNG1J3sB59-adav_M5_74xTN2UcLd_chFdiX8qCI5PdiaKxueXtIuSlY7a_5skj7VK6LIH320zw0mWzWASX9MI54mvZXEeDCkCwOE/s400/formula_dilatacion_del_tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319857518114812322" border="0" /></a><br /><br /><div style="text-align: left;">Usando los valores del numéricos del ejemplo, con <span style="font-weight: bold;">V</span>=0.6 metros/segundo y <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> = 8 segundos, encontramos que el tiempo del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> se dilata a un tiempo <span style="font-weight: bold;">Δt</span> de 10 segundos, lo cual nos verifica la fórmula.<br /><br />Supongamos ahora que tenemos en tierra espaciados a distancias iguales una serie de relojes <span style="font-style: italic;">sincronizados</span> que están en reposo cada uno de ellos con respecto a todos los demás:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuudIGRJBZyqfb89u-c_QNzmbrWhsFsbFZWhVj__ddM93_8Xwo_5rNNi-8zzSDryF7Ngb_u4zXLR2puIQSJfXrp9bBGY7CkQvVSDVS56-IhPmygRvL3D9ohh7szWQEb1FzgiOAcp8vyYbz/s1600-h/relojes_sincronizados.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 71px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuudIGRJBZyqfb89u-c_QNzmbrWhsFsbFZWhVj__ddM93_8Xwo_5rNNi-8zzSDryF7Ngb_u4zXLR2puIQSJfXrp9bBGY7CkQvVSDVS56-IhPmygRvL3D9ohh7szWQEb1FzgiOAcp8vyYbz/s400/relojes_sincronizados.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337232216694816738" border="0" /></a><br /></div><br />Al referirnos a estos relojes como relojes <span style="font-style: italic;">sincronizados</span> estamos hablando de relojes que no sólo marcan todos ellos la misma hora <span style="font-style: italic;">para el observador en reposo situado en tierra</span> sino que también avanzan a la par cada uno de ellos con respecto a los demás sin adelantarse ni retrasarse.<br /><br />Si repetimos los cálculos que hemos hecho arriba manteniendo constante (igual) la velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> usando trayectorias de recorrido más largas, comprobaremos que el tiempo dilatado <span style="font-weight: bold;">Δt</span> aumentará en forma <span style="font-style: italic;">directamente proporcional</span> al tiempo propio <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> medido dentro del vagón. O sea que si el reloj <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> marca 8 segundos justo cuando un reloj del observador enfrente de él marca un tiempo <span style="font-weight: bold;">Δt</span> de 10 segundos, entonces si el reloj <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> marca 16 segundos (el doble) entonces otro reloj en tierra que se encuentre directamente enfrente de él al tomarse la lectura estará marcando un tiempo <span style="font-weight: bold;">Δt</span> de 20 segundos, y si el reloj <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> marca 24 segundos (el triple) entonces otro reloj en tierra que se encuentre directamente enfrente de él al tomarse la lectura estará marcando un tiempo <span style="font-weight: bold;">Δt</span> de 30 segundos, en una forma sugerida por las siguientes figuras (los relojes sincronizados puestos a lo largo del sistema de referencia del observador en reposo se mantienen sincronizados en todo momento <span style="font-style: italic;">para el observador en reposo</span>; sin embargo y como lo veremos posteriormente, todos esos relojes aparecerán desincronizados para el observador en movimiento al ocurrir una pérdida relativista de la <span style="font-style: italic;">simultaneidad absoluta</span> con la cual lo que es simultáneo en un marco de referencia deja de serlo al ser visto desde otro marco de referencia):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6cxpcc1yL9q_enAg5eqlRAOXJiZw91uWxogvQrObrHvEFVlab2g2wogtFWdCYfy2VK34UwCzJomXJkFK2hr0aHdofusec8O4jUUpfDvrfYG4NTa7fU5egHNSvAGFbt_R5LwVDSorF8Wgx/s1600-h/dilatacion_linear_del_tiempo.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 357px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6cxpcc1yL9q_enAg5eqlRAOXJiZw91uWxogvQrObrHvEFVlab2g2wogtFWdCYfy2VK34UwCzJomXJkFK2hr0aHdofusec8O4jUUpfDvrfYG4NTa7fU5egHNSvAGFbt_R5LwVDSorF8Wgx/s400/dilatacion_linear_del_tiempo.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337228476460047218" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Todo esto nos indica que el <span style="font-style: italic;">factor de corrección</span> (que en este caso es igual a <span style="font-weight: bold;">Δt</span>/<span style="font-weight: bold;">Δt'</span> = 10/8 = 1.25) que debemos aplicar para obtener el tiempo en el marco de referencia en tierra <span style="font-weight: bold;">Δt</span> cuando conocemos el tiempo <span style="font-weight: bold;">Δt'</span> dentro del vagón es una cantidad constante, y por lo tanto<span style="font-style: italic;"> la transformación matemática requerida para pasar del marco de referencia del vagón al marco de referencia en tierra (o viceversa) debe ser una <span style="font-weight: bold;">transformación linear</span></span>. Haremos uso de esta observación cuando posteriormente llevemos a cabo la derivación de fórmulas de carácter general para poder movernos de un marco de referencia a otro.<br /><br />Analicemos ahora el ejemplo desde la perspectiva del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> estando ambos todavía de acuerdo en que el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> es el que se está desplazando a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> y el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> está en reposo.<br /></div></div><br />El viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> mide para el rayo de luz en su plataforma móvil con su reloj en mano una velocidad de <span style="font-weight: bold;">c</span> = 1 metro por segundo al recorrer dentro de su marco de referencia una distancia total (ida y vuelta) de 8 metros en 8 segundos. Pero al ser reflejado el rayo de luz y llegar a su punto de origen, encuentra que en ese mismo punto en el que ambos coinciden por un instante mientras el tren prosigue con su movimiento el reloj del observador <span style="font-weight: bold;">B</span> marca 10 segundos. Ambos siguen en completo acuerdo en que el tren se está moviendo a la misma velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> con respecto a ambos. La única forma posible en la que el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> pueda seguirle asignando al observador <span style="font-weight: bold;">B</span> una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> de 0.6 metros por segundo (en dirección opuesta) es que el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> determine desde su punto de vista una longitud <span style="font-style: italic;">menor</span> para el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> entre ambos eventos, ya que de no ser así le estaría midiendo una velocidad <span style="font-style: italic;">errónea</span> igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">6 metros / 8 segundos = 0.75 metros / segundo<br /></div><br />Entonces el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> también necesita un factor de corrección para compensar por la <span style="font-style: italic;">contracción de longitud</span> que está detectando. ¿Y de cuánto tiene que ser ese factor de corrección? Para poder seguirle midiendo al observador <span style="font-weight: bold;">B</span> una velocidad de 0.6 metros por segundo en ocho segundos, la distancia entre ambos eventos en la plataforma de <span style="font-weight: bold;">B</span> <span style="font-style: italic;">según el viajero</span> <span style="font-weight: bold;">A</span>, debe ser:<br /><br /><div style="text-align: center;">espacio = tiempo x velocidad<br /><br />espacio = (8 segundos) x (0.6 metros/segundo)<br /><br />espacio = 4.8 metros<br /></div><br />¡Para el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span>, una longitud de 6 metros del observador <span style="font-weight: bold;">B</span> parece haberse contraído a 4.8 metros! El factor de corrección para la <span style="font-style: italic;">contracción de longitud</span> debe ser entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">4.8 metros / 6 metros = 0.8<br /></div><br />El factor de corrección utilizado por el viajero móvil <span style="font-weight: bold;">A</span> para medir la<span style="font-style: italic;"> contracción de la longitud</span> en <span style="font-weight: bold;">B</span> resulta ser exactamente el inverso del factor de corrección utilizado por el observador <span style="font-weight: bold;">B </span>para poder determinar la <span style="font-style: italic;">dilatación del tiempo</span> de <span style="font-weight: bold;">A</span>, lo cual era de esperarse y no debe causarnos ningún asombro. Lo que para un observador es un fenómeno físico de dilatación del tiempo para el otro observador refiriéndose a los mismos eventos es un fenómeno físico de contracción de longitud.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">En la cinemática relativista, la contracción de la longitud es un corolario de la dilatación del tiempo, y viceversa. Ambas cosas siempre van de la mano</span>.<br /><br />El factor de corrección:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheAZpE7ceZVr4AKIGrS6GF249ximwWKim777V9Sr9JGQHDoPL9iwhAfVrmqc8x5B60jsgt_VOLohh-pqKpfmcIOt1EfkorSAj9LimY2Liqrd3k-9S_z4FWjR8fQMk_03aedKfCyzaKpyOz/s1600-h/factor_de_correccion.png"><img style="cursor: pointer; width: 107px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheAZpE7ceZVr4AKIGrS6GF249ximwWKim777V9Sr9JGQHDoPL9iwhAfVrmqc8x5B60jsgt_VOLohh-pqKpfmcIOt1EfkorSAj9LimY2Liqrd3k-9S_z4FWjR8fQMk_03aedKfCyzaKpyOz/s400/factor_de_correccion.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320574718087034594" border="0" /></a><br /></div><br />aparece con tanta frecuencia en problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, que con fines de simplificación notacional es representado con el símbolo <span style="font-weight: bold;">γ</span> (letra griega <span style="font-style: italic;">gamma</span>):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3bmwgeso181uu4zaA2K11qtqfUpy6LXMd0NfXleH5HMnKrMj4sugRtk3ChqOx1MLdZqtAMWuWh8A2Lv0EDjS03KphtHg2NwpY53nHukVLpNCs-FBjgHhgBlaJKpEulWyM0SikIxi9mhZ_/s1600-h/factor_gamma.png"><img style="cursor: pointer; width: 160px; height: 80px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3bmwgeso181uu4zaA2K11qtqfUpy6LXMd0NfXleH5HMnKrMj4sugRtk3ChqOx1MLdZqtAMWuWh8A2Lv0EDjS03KphtHg2NwpY53nHukVLpNCs-FBjgHhgBlaJKpEulWyM0SikIxi9mhZ_/s400/factor_gamma.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320574084139085490" border="0" /></a><br /></div><br />Con esto tenemos la siguiente relación simplificada para obtener la <span style="font-style: italic;">dilatación del tiempo</span> al pasar del marco de referencia a otro:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEAqyJovWqBZ1DDOD8eggUXjsZj6HUlCbisULsgni5gOe5eBLY_KYuXfRjP2EB760JEEEeEdWkvPr4JKny3zIY8QPTPtQiqWnQER1InDQGgbVv0Or2zTbnmoOfeIdw2065T-zAMsHjqIBY/s1600-h/dilatacion_del_tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 102px; height: 29px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEAqyJovWqBZ1DDOD8eggUXjsZj6HUlCbisULsgni5gOe5eBLY_KYuXfRjP2EB760JEEEeEdWkvPr4JKny3zIY8QPTPtQiqWnQER1InDQGgbVv0Or2zTbnmoOfeIdw2065T-zAMsHjqIBY/s400/dilatacion_del_tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329809254438958274" border="0" /></a><br /></div><br />Si simbolizamos al tiempo propio (tiempo local) del observador en reposo con la letra griega τ (tau), entonces la fórmula toma el siguiente aspecto que resulta más familiar para quienes estudian ciertos aspectos más avanzados de la Teoría de la Relatividad:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLBrQBPRupM7ycPKY5cRZCVg2xkNEAd4Giu-Co_X1Lcq9gtqpUks5EENDoOfK_XZKa5F5Py5u9PrcxgP0aGaJi3tet490vPaeM2PQ6dVrsgl7YZo1Q2Dk5HSrZY6_EiQlAiuRTac1TCyo/s1600-h/formula_de_definicion_de_la_dilatacion_del_tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 128px; height: 40px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLBrQBPRupM7ycPKY5cRZCVg2xkNEAd4Giu-Co_X1Lcq9gtqpUks5EENDoOfK_XZKa5F5Py5u9PrcxgP0aGaJi3tet490vPaeM2PQ6dVrsgl7YZo1Q2Dk5HSrZY6_EiQlAiuRTac1TCyo/s400/formula_de_definicion_de_la_dilatacion_del_tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5413325737936018450" border="0" /></a><br /></div><br />Del mismo modo, con el factor de corrección <span>γ</span> podemos escribir la siguiente relación simplificada para obtener la <span style="font-style: italic;">contracción de longitud</span> al pasar de un marco de referencia a otro:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0NRQifsAQGcp2i4lyGz-7MVPWzDpMXIGKMdis7jzumMithYUJDcRAhLMOFKF-2Bkm_B5JcIl1ET4ATrgtoSylNuXAwE6ng4wDobDBZZbuNLiswrhbfqXFQvMjcqx9E6R_fvoiWEkTW2gG/s1600-h/contraccion_de_longitud.png"><img style="cursor: pointer; width: 75px; height: 58px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0NRQifsAQGcp2i4lyGz-7MVPWzDpMXIGKMdis7jzumMithYUJDcRAhLMOFKF-2Bkm_B5JcIl1ET4ATrgtoSylNuXAwE6ng4wDobDBZZbuNLiswrhbfqXFQvMjcqx9E6R_fvoiWEkTW2gG/s400/contraccion_de_longitud.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329809984385030658" border="0" /></a><br /></div><br />Por otra parte, la cantidad V/c aparece también en el análisis de problemas de relatividad con tanta frecuencia que es común que sea abreviada con el símbolo <span style="font-weight: bold;">β</span> (letra griega <span style="font-style: italic;">beta</span>):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">β = V/c</span><br /></div><br />Hagamos el cálculo de la velocidad del rayo de luz tal y como es medida tanto por el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> como por el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>. Desde la perspectiva del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span>, el rayo de luz recorre dentro de su marco de referencia S' ocho metros (2<span style="font-weight: bold;">D</span>) en ocho segundos (<span style="font-weight: bold;">Δt'</span>). Entonces él mide una velocidad de:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">c</span> = <span style="font-weight: bold;">2D</span> / 2<span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;">Δt'</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">c</span> = (8 metros) / (8 segundos)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">c</span> = 1 metro/segundo<br /></div><br />Desde su perspectiva, el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> ve que el rayo de luz recorre una distancia dentro del marco de referencia del viajero A tanto en su trayectoria de ida como en su trayectoria de regreso una distancia que podemos obtener del triángulo de las distancias básicas:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3Fi61VX2PlnINfMVu4Nbw13pHJ1h3SfliX8dE9zE3HdXKTGVCTnVH532lrhAzXmz9N5rPwChkDR4jUUgW_hq_JZjwvJpXNU3HlQxyYc6mXrOOj0vKgNpQGzS3TXwrQjGd7wW3fLToFkYB/s1600-h/triangulo_para_resolucion_problema_relativistico.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 360px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3Fi61VX2PlnINfMVu4Nbw13pHJ1h3SfliX8dE9zE3HdXKTGVCTnVH532lrhAzXmz9N5rPwChkDR4jUUgW_hq_JZjwvJpXNU3HlQxyYc6mXrOOj0vKgNpQGzS3TXwrQjGd7wW3fLToFkYB/s400/triangulo_para_resolucion_problema_relativistico.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320588495279346898" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Podemos ver que para el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> el rayo en su trayectoria de ida recorre 5 metros, o sea que en su trayectoria total de ida y vuelta recorre 10 metros. Entonces para el observador B el rayo de luz tiene una velocidad de:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">c</span> = 10 metros / <span style="font-weight: bold;">Δt</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">c</span> = 10 metros / 10 segundos<br /><br /><span style="font-weight: bold;">c</span> = 1 metro/segundo<br /></div><br />Ambos viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> y observador B miden para el rayo de luz la misma velocidad, como era de esperarse.<br /><br />Como lo hemos visto, la parte matemática del problema no es tan difícil de resolver. Lo duro viene al considerar la parte filosófica. Cuando hablamos de contracción de longitud, ¿de qué estamos hablando realmente? ¿Se comprime una vara de medir conforme pasa volando a gran velocidad frente a nosotros? ¿Qué la comprime?<br /><br />En realidad, la vara de medir en sí no se comprime. Es <span style="font-weight: bold;">todo el espacio</span> que viaja en ella y en torno a ella el que se achica. Se achica el espacio entre los átomos de la vara de medir, se achica longitudinalmente el cuerpo del observador <span style="font-weight: bold;">B</span>, absolutamente todo se achica, y es precisamente por ello que el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> no percibe cambio alguno en su marco de referencia dentro del cual para él todo sigue igual sin contracción alguna.<br /><br />De las fórmulas obtenidas, podemos ver que entre mayor sea la velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> tanto mayor será la contracción de longitud que el viajero a detecta en todo lo que corresponde al espacio del observador estacionario B. Si le fuera posible al viajero moverse a la velocidad de la luz, entonces de acuerdo con la fórmula todo el espacio del observador B desaparecería longitudinalmente, <span style="font-style: italic;">desaparecería del Universo</span>, lo cual ciertamente no va a ocurrir. <span style="font-weight: bold;">Ningún objeto material sólido puede moverse a una velocidad igual o mayor que la velocidad de la luz.</span> Sólo la luz puede moverse a la velocidad de la luz, y la luz no es ningún objeto material sólido, es energía electromagnética pura.<br /><br />Es importante enfatizar que lo que hemos visto no es una cuestión de ilusiones ópticas. Se trata de fenómenos reales que están ocurriendo en el mundo real. No nos damos cuenta de ello porque siendo la velocidad de la luz extremadamente alta, el factor <span style="font-weight: bold;">V²/c²</span> y con ello el factor de corrección sólo se vuelve importante para situaciones que se acercan a la velocidad de la luz. Pero los efectos son medibles. Un caso que ocurre cotidianamente tiene que ver con las <span style="font-style: italic;">partículas cósmicas</span> que constantemente están bombardeando la Tierra. Al chocar contra la atmósfera de la Tierra, cada una de las partículas cósmicas produce una estela de otras partículas subatómicas:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUtyC0D0DBoSpJeEOsDuLNtB5nEp841v82fmlqc18en3bsMmdsNCEXgEl_EQ28vZZEY9n7mbGVBPzCjXlc9gIc3roioXUtZo6Vi_bei83ALyQgp-1KDMuXRN2-YygSKlE_o8gAKWLOGxYe/s1600-h/rayos_cosmicos_1.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 281px; height: 350px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUtyC0D0DBoSpJeEOsDuLNtB5nEp841v82fmlqc18en3bsMmdsNCEXgEl_EQ28vZZEY9n7mbGVBPzCjXlc9gIc3roioXUtZo6Vi_bei83ALyQgp-1KDMuXRN2-YygSKlE_o8gAKWLOGxYe/s400/rayos_cosmicos_1.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319808973895503826" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En el siguiente dibujo podemos ver una representación de las partículas subatómicas que una partícula cósmica produce tras su choque con la atmósfera terrestre:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6hUV1SJMJ74WsEUh5kH37cI-a67oPjOjf_fvzAaWYO3OULnC6QPyo9Z6Sm-zhfTQYKoDE81-Kiw1RoUswbJwuFtHWuEz07frWS_gK-vNR4EZmliXpOZM5-mQ9TIjz4s3gMc3ZpgATTcX2/s1600-h/rayos_cosmicos_2.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 262px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6hUV1SJMJ74WsEUh5kH37cI-a67oPjOjf_fvzAaWYO3OULnC6QPyo9Z6Sm-zhfTQYKoDE81-Kiw1RoUswbJwuFtHWuEz07frWS_gK-vNR4EZmliXpOZM5-mQ9TIjz4s3gMc3ZpgATTcX2/s400/rayos_cosmicos_2.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319809505669750274" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Entre todas estas partículas subatómicas hay una que nos interesa, el muón <span style="font-weight: bold;">μ</span><sup>+</sup>, producido por el decaimiento del mesón <span style="font-weight: bold;">π</span><sup>+</sup> a su vez producido por el choque de la partícula cósmica con la atmósfera terrestre. Por experimentos llevados a cabo en laboratorios en la Tierra, se sabe que los muones cuando están reposo tienen un tiempo de vida medio de tan sólo 2 microsegundos, un tiempo extremadamente corto. Puesto que los muones son producidos a gran altura, muy pocos de ellos deberían llegar al nivel del mar. Sin embargo, los muones que se observan son muchos (esto se puede confirmar utilizando una <span style="font-style: italic;">cámara de niebla</span> de Wilson). Un muón viajando a una velocidad de 0.99 veces la velocidad de la luz (0.99<span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;">c</span>) alcanzaría a recorrer únicamente unos 600 metros en sus 2.2 microsegundos de vida. Sin embargo, en virtud de que el muón viaja a una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz, en el marco de referencia del muón el tiempo avanza mucho más lentamente. Su vida media de 2.2 microsegundos se ve incrementada en el marco de referencia de la Tierra por un factor de corrección de 16 (para una velocidad de 0.998<span style="font-weight: bold;">c</span>), aumentando hasta 16 microsegundos, y un muón viajando a la velocidad de 0.99<span style="font-weight: bold;">c</span> alcanza a recorrer 4,800 metros en este lapso de tiempo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaup-Rca-kcEfjt3qidzGvq1PnNlNhPLh1tRuVJKtPwmXkbZxQM41OCRvs5nIZfcjMrmXIbqEw5HvHhBYyCfjAU8gDM4cqzXOTmx4Rfk63YsIS_Hq3hY2S1MEWNf4V5Pzc7D4y3WriU_Rb/s1600-h/efectos_relativisticos_muon_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 330px; height: 295px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaup-Rca-kcEfjt3qidzGvq1PnNlNhPLh1tRuVJKtPwmXkbZxQM41OCRvs5nIZfcjMrmXIbqEw5HvHhBYyCfjAU8gDM4cqzXOTmx4Rfk63YsIS_Hq3hY2S1MEWNf4V5Pzc7D4y3WriU_Rb/s400/efectos_relativisticos_muon_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319814524593753154" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Sin embargo, desde la perspectiva del muón, viajando a un lado suyo, su vida media sigue siendo de 2.2 microsegundos. Lo que pasa es que la distancia que recorre el muón es menor por los efectos de la contracción relativista de la longitud. El muón no recorre los 4,800 metros, recorre únicamente 600 metros:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiv8UuMUWg__LwqT4_umGLrlaJO2k4aGKEhbG4HU2sJ7FJ-4loEhGZ_Tas6daiDdQ6h50IKhhUSb1m5V0U4_-YP95pPByDrTZ0O9VuTciD1MXoXs86Bk3U-9yewD74gYaYG9pqPyy9BrV4a/s1600-h/efectos_relativisticos_muon_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 330px; height: 168px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiv8UuMUWg__LwqT4_umGLrlaJO2k4aGKEhbG4HU2sJ7FJ-4loEhGZ_Tas6daiDdQ6h50IKhhUSb1m5V0U4_-YP95pPByDrTZ0O9VuTciD1MXoXs86Bk3U-9yewD74gYaYG9pqPyy9BrV4a/s400/efectos_relativisticos_muon_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319815419988644130" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Nuevamente, lo que para un observador se trata de una dilatación del tiempo, para el otro observador se trata de una contracción de longitud.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">En su primer papel en el cual dió a conocer al mundo su Teoría Especial de la Relatividad, Einstein escribió lo siguiente:</span><br /><blockquote>“Si en los puntos A y B de K hay relojes estacionarios que, vistos desde un sistema estacionario, están sincronizados, y si el reloj en A es movido con velocidad V a lo largo de la línea AB hacia B, entonces a su llegada a B los dos relojes no sincronizarán, el reloj movido de A hacia B estará detrás del otro que permaneció estacionario por ½ tV²/c² (hasta magnitudes de orden cuatro y mayor), siendo t el tiempo ocupado en la jornada de A hacia B.”<br /></blockquote><span style="font-style: italic;">Demostrar el enunciado anterior</span>.<br /><br />Al estar en la posición A, ambos relojes que llamaremos el reloj 1 y el reloj 2 coinciden en un mismo tiempo t<sub>1</sub> = t<sub>2</sub>. Al llegar el reloj viajero 1 de A a B, ambos relojes habrán acumulado tiempos diferentes t<sub>1</sub> ≠ t<sub>2</sub>, y la diferencia Δt acumulada entre ambos estará dada por la fórmula para la dilatación del tiempo:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δt = Δt’ / √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /><br />Δt = Δt’ { 1 - (V/c)² }<sup>-½</sup><br /></div><br />Podemos llevar a cabo la expansión por series de la expresión anterior recurriendo al <span style="font-style: italic;">teorema del binomio</span> que en su forma más general es enunciado de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">(a + x)<sup> n</sup> =<br /><br />a<sup>n</sup> + na<sup>n-1</sup>x + {n(n-1)/2!} a<sup>n-2</sup>x² + {n(n-1)(n-2)/3!} a<sup>n-3</sup>x<sup>3</sup> + ...<br /></div><br />Haciendo a=1 y tomando el exponente n como el exponente fraccionario negativo -½, tenemos la serie infinita:<br /><br /><div style="text-align: center;">(1 - x)<sup> -½</sup> = 1 + (½) x + ... <span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>para x ≤ 1<br /></div><br />con la cual:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δt = Δt’ { 1 + (½) (V/c)² + <span style="font-weight: bold; color: rgb(102, 51, 102);">O</span>(V/c)<sup>4</sup> }<br /></div><br />en donde <span style="font-weight: bold; color: rgb(102, 51, 102);">O</span>(V/c)<sup>4</sup> significa “los <span style="font-weight: bold; color: rgb(102, 51, 102);">O</span>tros términos residuales de la serie infinita sobre V/c de orden 4 o mayor”. Entonces, despreciando esos otros términos residuales de la serie:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δt = Δt’ { 1 + (½) (V/c)² }<br /><br />Δt = Δt’ + Δt’ (½) (V/c)²<br /><br />Δt - Δt’ = (½) Δt’ (V²/c²)<br /></div><br />Pero Δt - Δt’ es precisamente la diferencia entre los lapsos de tiempos Δt y Δt’ transcurridos entre los dos relojes, y como el lapso de tiempo Δt’ corresponde al reloj que se movió, vemos que esto será igual a la expresión dada por Einstein en su papel original.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">En el mismo papel elaborado por Einstein en donde aparece lo anterior, Einstein agregó lo siguiente:</span><br /><blockquote>“Entonces concluímos que un reloj de balanza puesto en el Ecuador deberá correr más lentamente, por una cantidad muy pequeña, que un reloj precisamente similar situado en uno de los polos bajo condiciones de otra manera idénticas.”</blockquote><span style="font-style: italic;">Calcúlese la diferencia de tiempos entre los dos relojes después de un siglo</span>.<br /><br />En medidas angulares, la Tierra gira sobre su propio eje 2π radianes en 24 horas. Su velocidad angular ω será entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">ω = 2π radianes / 24 horas<br /><br />ω = 72.722 · 10<sup>-6</sup> radianes/seg<br /></div><br />Tomando el radio medio de la Tierra como R = 6.37 · 10<sup>6</sup> metros, podemos estimar una velocidad tangencial en su ecuador igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = ωR<br /><br />V = (72.722 · 10<sup>-6</sup> radianes/seg)(6.37 · 10<sup>6</sup> metros)<br /></div><br /><div style="text-align: center;">V = 463.24 metros/seg<br /></div><br />El retardo de tiempo acumulado después de un siglo por el reloj que avanza a la anterior velocidad V será:<br /><br /><div style="text-align: center;">t = (½) t’ (V²/c²) = (½) t’ (V/c)²<br /><br />t = (½) (100 años) {(463.24 metros/seg) / (3 · 10<sup>8</sup> metros/seg)}²<br /><br />t = 3.8 · 10<sup>-3</sup> segundos<br /></div><br />Esta es una diferencia de tiempos muy pequeña que en los tiempos de Einstein era indetectable. Sin embargo, en los tiempos de hoy en los que contamos con relojes de precisión atómica, el experimento se puede llevar a cabo en cualquier momento subiendo a una persona a un avión llevando consigo un reloj de alta precisión. El experimento ya se ha efectuado, y los resultados son precisamente los que predice la Teoría de la Relatividad. Fue llevado a cabo por vez primera en 1971 por Joseph C. Hafele y R. Keating, los cuales se subieron con cuatro relojes atómicos de cesio a bordo de aviones comerciales dándole la vuelta a la Tierra primero en dirección Este y después haciendo otro viaje redondo en dirección Oeste, comparándose las lecturas de los mismos con la lectura de otro reloj idéntico en Tierra en la ciudad de Washington sincronizado inicialmente con los relojes viajeros. Al comparar las lecturas de los relojes atómicos después del viaje, los del avión y el de la Tierra, ya no estaban sincronizados. Los relojes atómicos que habían volado estaban ligeramente retrasados (muy ligeramente pero medible con dichos relojes, la diferencia de tiempos era de unas pocas centésimas de milésima de millonésima de segundo). Tras descontar ciertos efectos gravitatorios secundarios, y asumiendo que no hubo ningún error de medida, lo cual se comprobó controlando las condiciones y repitiendo el experimento varias veces, se concluyó que la única explicación posible venía por la Teoría de la Relatividad.<br />A un costo de 8 mil dólares por el experimento, de los cuales 7 mil 600 dólares fueron empleados para pagar los pasajes, la edición de septiembre de 1972 de la revista <span style="font-style: italic;">Scientific American</span><br />lo llamó la prueba más económica que se haya hecho sobre la relatividad. De hecho, son tantas las pruebas experimentales que se han llevado a cabo ya de diversas maneras confirmando las predicciones teóricas de la Teoría de la Relatividad, que un resultado negativo causaría en estos momentos una verdadera conmoción entre la comunidad científica.<br /><br />En tiempos recientes, los efectos relativistas de la dilatación del tiempo ocasionados por una rotación alrededor de la Tierra tienen que ser tomados en cuenta para hacer las correcciones numéricas necesarias para poder mantener sincronizados con la Tierra a los 24 satélites utilizados por el Sistema de Posicionamiento Global ó Global Positioning System (GPS), cada uno de los cuales le dá una vuelta completa a la Tierra cada 12 horas:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8Unb29uc1yr9QWb7igQhEkmnzYE5ADvMvRG3oIrNHvoCcWJWE2VktFaMkBf9SCg7B-xmRZ_leycFagjAK0z2dq9FWaBSp66ihgVHzGjMsVNl_ehZEh7KCLw4Hf_SGAbfOgfU33ZV3pOch/s1600-h/satelites+GPS.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 373px; height: 370px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8Unb29uc1yr9QWb7igQhEkmnzYE5ADvMvRG3oIrNHvoCcWJWE2VktFaMkBf9SCg7B-xmRZ_leycFagjAK0z2dq9FWaBSp66ihgVHzGjMsVNl_ehZEh7KCLw4Hf_SGAbfOgfU33ZV3pOch/s400/satelites+GPS.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5349933220260186530" border="0" /></a><br /></div><br /><br />en virtud de que dichos satélites, al estarse moviendo en el espacio en relación con los relojes atómicos que están en reposo en la Tierra, registran un tiempo que camina con mayor lentitud. El sistema de localización GPS requiere para su buen funcionamiento que los satélites estén sincronizados a un elevado nivel de precisión, lo cual es absolutamente necesario para permitirle a las personas en la Tierra que tengan receptores GPS (cada vez incorporados con mayor frecuencia como una función en teléfonos celulares de alto costo):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS2Lhf18hOhe_ZArBy2PX6p8Ig2pt-Dbkzg2rA2el9zp7RTcwC5hJvuRil841yikfhAEqZfdQ4uR62FlGtiUrKT5bsmr3lbrzbkbR34BdA3kpp6vZ4ko4EYVnQLmk04_ktkmHNwrVzJSE9/s1600-h/receptor_GPS_brunton-atlas-gps_38.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS2Lhf18hOhe_ZArBy2PX6p8Ig2pt-Dbkzg2rA2el9zp7RTcwC5hJvuRil841yikfhAEqZfdQ4uR62FlGtiUrKT5bsmr3lbrzbkbR34BdA3kpp6vZ4ko4EYVnQLmk04_ktkmHNwrVzJSE9/s400/receptor_GPS_brunton-atlas-gps_38.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5349934016894837938" border="0" /></a><br /></div><br /><br />el poder ubicar sus coordenadas geográficas con la exactitud requerida en base a las distancias de cada uno de los satélites cuyas señals alcanzan a llegar a un receptor de señales GPS. Aunque el efecto relativista es relativamente pequeño, los relojes atómicos son lo suficientemente precisos como para ser afectados por el efecto de la dilatación del tiempo, y las correcciones numéricas que se tienen que hacer son precisamente las que predice la Teoría de la Relatividad.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Una vara en movimiento de longitud L forma un ángulo θ con respecto a la horizontal. Si la vara se mueve a una velocidad V a lo largo de la dirección con respecto a la cual forma dicho ángulo, ¿cuál será la longitud de la vara y cuál será el ángulo que forma la vara con respecto a la horizontal para un observador en reposo que los ve pasar?</span><br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDPnIoUgWgdojkiqSBjj3N1iibh7zENI3t8gqrPbVGZL6Hk2BMimBEI3xzOclYeQxL9KOWrJNI0HglX7ydaGcGV0ZstZ3JTATtIxvRr6VEmun7oJ8B2vamvaTKrYoVAOCarLnsS9B_vcE/s1600-h/angulo_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 339px; height: 292px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDPnIoUgWgdojkiqSBjj3N1iibh7zENI3t8gqrPbVGZL6Hk2BMimBEI3xzOclYeQxL9KOWrJNI0HglX7ydaGcGV0ZstZ3JTATtIxvRr6VEmun7oJ8B2vamvaTKrYoVAOCarLnsS9B_vcE/s400/angulo_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5390666747549246610" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Puesto que las dimensiones de un objeto experimentan una contracción relativista por un factor √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span> en la dirección del movimiento, para un observador en reposo la componente horizontal de la vara habrá quedado reducida a una longitud de:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">L</span> cos(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>) √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /></div><br />mientras que la componente de la vara perpendicular a la dirección del movimiento, que es <span style="color: rgb(51, 51, 255);">L</span>sen(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>), permanecerá inalterada en ambos marcos de referencia. Por lo tanto, para el observador en reposo en el marco de referencia S, por el teorema de Pitágoras la longitud de la vara <span style="color: rgb(255, 0, 0);">L</span> en su marco de referencia será igual a la raíz cuadrática de la suma de los cuadrados de la componente vertical y de la componente horizontal contraída :<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">L</span>² = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">L</span>² sen²(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>) + (1 - V²/c²)(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">L</span>² cos²(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>))<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">L</span> = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">L</span> √<span style="text-decoration: overline;"> sen²(θ)</span><span style="text-decoration: overline;"> + cos²(θ)/γ²</span><br /></div><br />Y en lo que al ángulo respecta, el ángulo <span style="color: rgb(255, 0, 0);">θ</span> medido por el observador en S estará dado de:<br /><br /><div style="text-align: center;">Tan(<span style="color: rgb(255, 0, 0);">θ</span>) = [<span style="color: rgb(51, 51, 255);">L</span> sen(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>)]/[(L cos(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>))(√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span>)]<br /><br />Tan(<span style="color: rgb(255, 0, 0);">θ</span>) = γ Tan(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">θ</span> = Tan<sup>-1</sup>[γ Tan(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">θ</span>)]<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Dos observadores en los sistemas de referencia S y S’ sincronizan sus relojes para que den las mismas lecturas de t = 0 en sus orígenes cuando coinciden el uno frente al otro. El observador en S lee la lectura del reloj en S’ a través de un telescopio. ¿Cuál es el tiempo que lee del reloj en S’ cuando <span style="font-weight: bold;">su</span> reloj marca 20 minutos si V² = (8/9) c²?</span><br /><br />Este problema ilustra una complicación adicional que tenemos que tomar en cuenta en la resolución de ciertos problemas que tiene que ser agregada a los efectos propios de la relatividad: el tiempo finito empleado por la luz en llegar de un lugar a otro. Si nosotros desde la Tierra vemos con un telescopio un reloj en el planeta Marte sincronizado con el nuestro cuando los planetas están más cercanos, podemos tener la seguridad de que la lectura que veremos en el reloj de Marte con la ayuda de nuestro telescopio no será igual a la de nuestro reloj ya que la distancia que tiene que recorrer viajando a la velocidad de la luz la imagen del reloj es de unos 100 millones de kilómetros, y puesto que esa imagen no nos llega instantáneamente sino que es una imagen que tarda (100,000,000 Km)/(300,000 Km/seg) = 333 segundos = 6 minutos, la lectura que veremos es una <span style="font-style: italic;">imagen del pasado</span>, de algo que nos fue enviado 6 minutos antes y que tardó 6 minutos en llegarnos. De hecho, todo, <span style="font-weight: bold;">pero absolutamente todo lo que vemos</span>, <span style="font-style: italic;">son imágenes del pasado</span>. No hay imagen alguna de nada que vemos con nuestros ojos que nos llegue instantáneamente, inclusive de objetos cercanos a nosotros al alcance de nuestras manos, en virtud de la velocidad finita de la principal portadora de información, la luz. Vivimos en la ilusión de que todo lo que tenemos ante nosotros cerca de nosotros lo vemos justo cuando está ocurriendo, pero ello es una ilusión encubierta por el hecho de que las diferencias en los tiempos involucrados son tan pequeñas que para fines prácticos pueden ser consideradas despreciables, pero <span style="font-style: italic;">no son despreciables</span>. Afortunadamente, aunque la velocidad de la luz es finita, también es bastante elevada, de modo tal que no nos damos cuenta de que las imágenes que vemos en torno nuestro son imágenes de un pasado tanto mayor cuanto mayor sea la distancia que nos separa de lo que estamos viendo. En estos momentos vemos con nuestros telescopios, incluído el telescopio espacia Hubble, las imágenes de estrellas que ya no existen, que se apagaron hace millones de años. En el tiempo en que tardaron las imágenes de esas estrellas en llegarnos tales estrellas desaparecieron y ya no existen “hoy”.<br /><br />Regresando al problema que nos ocupa, podemos ver que ocurren <span style="font-weight: bold;">tres</span> eventos:<br /><br />1) Los dos observadores S y S’ están el uno frente al otro sincronizando sus relojes a un tiempo t = t = 0.<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEju-6ZCOjCyZZN5SJ1aZ61QPHMtTEAJ5laDnEzpdHMuv95O4zOkAnUBGfJAm0CwCgCw6Mu9x4iTq7et_q1Qxk9nRi4izieoeo6vzbokaSn4ZFOxB_vh6p2ZQx9CF9P4EzvHeOTaGDiZk2sr/s1600-h/evento_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 121px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEju-6ZCOjCyZZN5SJ1aZ61QPHMtTEAJ5laDnEzpdHMuv95O4zOkAnUBGfJAm0CwCgCw6Mu9x4iTq7et_q1Qxk9nRi4izieoeo6vzbokaSn4ZFOxB_vh6p2ZQx9CF9P4EzvHeOTaGDiZk2sr/s400/evento_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5336109447608543554" border="0" /></a><br /></div><br />2) El observador viajero S’ llega a cierto punto en su recorrido desde donde le envía una imagen de su reloj al observador en S.<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1TwbHd69Pb03dmWHmJJd7HVyhM82cmsqy1gQjVv7oKkWXlFuki6MeQWLX7A_4-WxMGa68pdAw8CxiYBhe9bETCw3_aH6mMhUPBB6OjRc8fI4bhX24ucAu1mU66qlXFxjshabQhIvcftyS/s1600-h/evento_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 121px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1TwbHd69Pb03dmWHmJJd7HVyhM82cmsqy1gQjVv7oKkWXlFuki6MeQWLX7A_4-WxMGa68pdAw8CxiYBhe9bETCw3_aH6mMhUPBB6OjRc8fI4bhX24ucAu1mU66qlXFxjshabQhIvcftyS/s400/evento_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5336109808511011346" border="0" /></a><br /></div><br />3) La imagen del reloj de S’ le llega al telescopio al observador en S a la vez que S’ continúa su recorrido.<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjyrt2qowQDkY1seywX8nCxgj3P4d0chB-IdCj8QEmn0uppYEONJgnnVzrl1yQiDMa-02hJqTJ_x4fMns9h0Ko5TDqGb6Qsm7PbzNY-Noj39Y76pkFNsuYztcUygUviCGKbRDSK8TJtg4h/s1600-h/evento_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 121px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjyrt2qowQDkY1seywX8nCxgj3P4d0chB-IdCj8QEmn0uppYEONJgnnVzrl1yQiDMa-02hJqTJ_x4fMns9h0Ko5TDqGb6Qsm7PbzNY-Noj39Y76pkFNsuYztcUygUviCGKbRDSK8TJtg4h/s400/evento_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5336110220792785154" border="0" /></a><br /></div><br />Nótese que el tiempo de S’ que lee el observador en S <span style="font-style: italic;">no</span> es la lectura que está marcando el reloj de S’ cuando le llega la imagen del reloj a S a los 20 minutos.<br /><br /><span style="font-style: italic;">Desde la perspectiva del observador en reposo</span>, el tiempo de 20 minutos en el cual el observador en S recibe la imagen del reloj de S’ debe ser igual al tiempo t<sub>1</sub> (= L/V) que tarda el viajero en S’ en llegar hasta el punto desde el cual le envía a S la imagen de su reloj, más el tiempo t<sub>2</sub> (= L/c) que tarda en llegarle dicha imagen a S, siendo L la <span style="font-style: italic;">distancia propia</span> medida por S:<br /><br /><div style="text-align: center;">20 minutos = t<sub>1</sub> + t<sub>2</sub><br /><br />20 minutos = L/V + L/c = (1/V + 1/c) L’ = (√<span style="text-decoration: overline;">9/8</span> + 1) L/c = (2.06) L/c<br /><br />L = (1,200 seg) (3·10<sup>8</sup> metros/seg) / 2.06 = 1.747·10<sup>11</sup> metros<br /></div><br />Esta es la distancia que ha recorrido S’ <span style="font-style: italic;">medida por S</span> cuando el primero le envía la imagen de su reloj a S.<br /><br />Sin embargo, para S’ esta distancia de está contraída por un factor<br /><br /><div style="text-align: center;"> √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span> = √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - (8/9)</span> = 1/3<br /></div><br />O sea que, desde <span style="font-style: italic;">su</span> perspectiva, S’ ha recorrido una distancia de L’ = 0.582·10<sup>11</sup> metros. Entonces el tiempo t’ que S tiene acumulado en su reloj al recorrer dicha distancia viajando a una velocidad de V = √<span style="text-decoration: overline;">(8/9)</span> c es:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’ = L’/V = (0.582·10<sup>11</sup> metros) / (0 2.8284·10<sup>8</sup> metros/seg)<br /><br />t = 205.8 segundos = 3.43 minutos<br /></div>Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-60687004397866138942009-03-18T22:15:00.000-07:002009-12-09T12:14:27.165-08:00El experimento que antecedió a la teoría<div style="text-align: right;"><span style="font-style: italic;">“¿Qué es el tiempo?” - en alguna ocasión</span><br /><span style="font-style: italic;">se le llegó a preguntar a Einstein, quizá</span><br /><span style="font-style: italic;">para meterlo en un aprieto filosófico.</span><br /><span style="font-style: italic;">“Es lo que medimos con el reloj” -</span> <span style="font-style: italic;">contestó.</span><br /></div><br /><br /><br />Es interesante el hecho de que la primera confirmación experimental de la Teoría Especial de la Relatividad se dió en 1881 cuando aún no existía dicha teoría e inclusive cuando Einstein apenas tenía dos años de edad (nació en 1879). La Teoría Especial de la Relatividad sería publicada 24 años después, en 1905, y cuando Einstein desde Europa dió a conocer al mundo su teoría ni siquiera parecía haber estado bien enterado de los resultados obtenidos en aquél famoso experimento llevado a cabo por vez primera en los Estados Unidos por el físico Albert Michelson 24 años atrás. Cuando Einstein elaboró su teoría no la concibió con la finalidad de explicar los resultados obtenidos por Michelson, la elaboró con el fin de liberar de asimetrías las ecuaciones básicas del electromagnetismo descubiertas por Maxwell.<br /><br />Cuando Michelson llevó a cabo su ahora ya famoso experimento, la intención de Michelson era determinar la rapidez con la cual se estaba moviendo la Tierra en el espacio en relación con ese medio estático, invisible y universal que se suponía que servía como medio de conducción para la transmisión de las señales luminosas, el éter, el cual había sido postulado por varios físicos de prestigio como la gran referencia cósmica con respecto a la cual el movimiento absoluto podía ser detectado. Michelson esperaba poder detectar desde su laboratorio no sólo la velocidad a la cual se estaba moviendo la Tierra con respecto al éter, sino inclusive la dirección hacia la cual o de la cual se estaba acercando o alejando del éter en un momento dado al girar la Tierra en torno al Sol.<br /><br />El aparato original de Michelson cuando fue utilizado por vez primera tenía el siguiente aspecto:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKbB1Zf_5FTXw69QaCi6HAVGOKt_6-9xIPLIBDrFba1dht1asGDLijaIfDrlqgNoa58j-thZBJ6n9bYeQMxtpMEBE-_xEIhRqt2V6U_tc6L4gTPL7OtROGctQOMS8OsQc7MaRs_0BJ78S4/s1600-h/aparato_original_de_Albert_Michelson.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 255px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKbB1Zf_5FTXw69QaCi6HAVGOKt_6-9xIPLIBDrFba1dht1asGDLijaIfDrlqgNoa58j-thZBJ6n9bYeQMxtpMEBE-_xEIhRqt2V6U_tc6L4gTPL7OtROGctQOMS8OsQc7MaRs_0BJ78S4/s400/aparato_original_de_Albert_Michelson.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314954325394504882" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Este aparato trabajaba sobre el siguiente esquema simplificado:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfbM0VAFBjha0Tb6hUxkQYsbYxbc1amSX1cGmwmQIK6kqup0e4ChuK_k6r2_WCkG3nz4FGNODkWF924YsmiO2n91b86zAFwc8Xwz4AT6SyHoL_yJ3y-BlX7gsjTNYb1jyHgiFoMSqMz2OS/s1600-h/experimento_Michelson-Morley.gif"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 314px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfbM0VAFBjha0Tb6hUxkQYsbYxbc1amSX1cGmwmQIK6kqup0e4ChuK_k6r2_WCkG3nz4FGNODkWF924YsmiO2n91b86zAFwc8Xwz4AT6SyHoL_yJ3y-BlX7gsjTNYb1jyHgiFoMSqMz2OS/s400/experimento_Michelson-Morley.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314954762806255938" border="0" /></a><span style="display: block;" id="formatbar_Buttons"><span class="on down" style="display: block;" id="formatbar_JustifyCenter" title="Alineación al centro" onmouseover="ButtonHoverOn(this);" onmouseout="ButtonHoverOff(this);" onmouseup="" onmousedown="CheckFormatting(event);FormatbarButton('richeditorframe', this, 11);ButtonMouseDown(this);"><img src="http://www.blogger.com/img/blank.gif" alt="Alineación al centro" class="gl_align_center" border="0" /></span></span></div><br /><br />Todo el aparato estaba montado sobre una enorme piedra caliza montada sobre madera suave flotando a su vez en una piscina de mercurio líquido con el fin de disminuír las vibraciones del instrumento. Sobre la plataforma había una fuente de luz de la cual emanaba un haz que con la ayuda de un espejo semireflejante era dividido en dos caminos diferentes, dirigiéndose parte del haz por transmisión directa a través del espejo semireflejante hacia un espejo opuesto hacia la fuente de luz (situado a la derecha del dibujo), y dirigiéndose la otra parte del haz por reflexión directa hacia otro espejo (situado en la parte superior del dibujo). Ambos haces eran reflejados por los espejos, y al combinarse los haces separados nuevamente lograban pasar por el espejo semireflejante hacia un detector que consistía básicamente en un telescopio graduado. Puesto que uno de los haces de la combinació seguía una ruta había seguido una trayectoria más larga que el otro, al juntarse nuevamente ambos haces se producía un patrón de interferencia propio de las ondas que llegan fuera de fase. A continuación tenemos un bosquejo del efecto que se obtenía del aparato:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi25bYg7H_bHfeukHfQr7BcDpXJxXNJNbtziNWlW-Zl0e_VDDz2Kf92akCOZGdS718zUK_TZxzUzzY6PZ00k6XrdT4MCwSQxaZ5PePG3mJTLMK45ceOzoXTReN4gWos6C0iROl2z61P7KK0/s1600-h/interferometro_Michelson-Morley.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 178px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi25bYg7H_bHfeukHfQr7BcDpXJxXNJNbtziNWlW-Zl0e_VDDz2Kf92akCOZGdS718zUK_TZxzUzzY6PZ00k6XrdT4MCwSQxaZ5PePG3mJTLMK45ceOzoXTReN4gWos6C0iROl2z61P7KK0/s400/interferometro_Michelson-Morley.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314965951957416354" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El objetivo de la rueda que flotaba sobre la piscina de mercurio líquido era girar todo el instrumental (fuente de luz, espejos, telescopio) situado sobre la plataforma para dejar que el movimiento con respecto al éter alterara las franjas de interferencia observadas en el telescopio y a través de la alteración determinar la velocidad del aparato (y por lo tanto de la Tierra sobre la cual estaba puesto el aparato) con respecto al éter. Obviamente, para poder obtener un patrón de interferencia entre dos haces de luz originados de una misma fuente pero arribando con una diferencia de longitud en sus trayectorias, era necesario utilizar un haz luminoso monocromático, de un solo color (y por lo tanto de una sola frecuencia):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTnUt49WM6GegvowUkkpojk_YxnWR8PttsCmhS1fP1sU42MS3qAIKAlbxInr_xI_NLujQVKeoUXMsgaabXEULrac1GaNrhvsa8qeJSZQ2xDL2wqRhphP0Dqc-kY6-SIFG2pdMPW0yR2l6R/s1600-h/patron_interferencia.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 318px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTnUt49WM6GegvowUkkpojk_YxnWR8PttsCmhS1fP1sU42MS3qAIKAlbxInr_xI_NLujQVKeoUXMsgaabXEULrac1GaNrhvsa8qeJSZQ2xDL2wqRhphP0Dqc-kY6-SIFG2pdMPW0yR2l6R/s400/patron_interferencia.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320572662866807090" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El experimento estaba diseñado sobre una premisa muy fácil de entender: si existe el éter absoluto, inamovible, que permea todo el espacio, medio usado por las ondas electromagnéticas incluída la luz misma para propagarse, entonces si un rayo luminoso es lanzado directamente hacia un espejo el tiempo total de ida y vuelta del rayo luminoso será diferente si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección que coincide con la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter que el tiempo total de ida y vuelta si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección <span style="font-style: italic;">perpendicular</span> a la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter, suponiéndose que este “viento del éter” se debe al movimiento combinado de rotación y traslación de la Tierra en el cosmos. En el aparato de Michelson, aunque no sepamos ni podamos ver en qué dirección está “soplando” el viento del éter, nos basta con ir girando la rueda sobra la cual está montada todo el instrumental para poder obtener una diferencia de tiempos la cual, aunque minúscula, debe poder ser detectada de los patrones de interferencia formados en el telescopio detector.<br /><br />Cuando un rayo de luz es lanzado hacia un espejo a lo largo de una misma dirección con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del laboratorio con respecto al éter, entonces si la velocidad del laboratorio <span style="font-style: italic;">moviéndose en contra</span><span style="font-style: italic;"> del estático éter</span> es <span style="font-weight: bold;">V</span> la velocidad del rayo luminoso se verá disminuída de <span style="font-weight: bold;">c</span> a <span style="font-weight: bold;">c-V</span> en su viaje de ida, y se verá aumentada a <span style="font-weight: bold;">c+V</span> en su viaje de retorno (<span style="font-style: italic;">obsérvese que bajo la hipótesis del éter, al no ser la velocidad de la luz la misma para todos los marcos de referencia en movimiento absoluto con respecto al éter no existe impedimento alguno para que los objetos materiales puedan moverse a velocidades mayores que la velocidad de la luz</span>):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiz0XTwoQROEB2GQ-1Yzu-_Pocnyb3u6LMIEJi9iZCLsyRrpVHT0-AtE2A4N2mI5NCmD2VIWg91PB_MTS04oB6I9J7hp-YRzeE1qEl04dql5qDyENE46TvD6UA9ZZ1xhuYozGWjitAcNQVp/s1600-h/movimiento_con_respecto_al_eter.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 135px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiz0XTwoQROEB2GQ-1Yzu-_Pocnyb3u6LMIEJi9iZCLsyRrpVHT0-AtE2A4N2mI5NCmD2VIWg91PB_MTS04oB6I9J7hp-YRzeE1qEl04dql5qDyENE46TvD6UA9ZZ1xhuYozGWjitAcNQVp/s400/movimiento_con_respecto_al_eter.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5331663746927657554" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Llamando L a la distancia entre la fuente de luz y el espejo reflector, el tiempo total de ida y vuelta del haz luminoso será la suma del tiempo de ida:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(0, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = L / (c - V)<br /></div><br />a la del tiempo de vuelta:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(0, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">vuelta</sub> = L / (c + V)<br /></div><br />o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = T<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> + T<sub style="font-weight: bold;">vuelta</sub><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = L{ 1/(c - V) + 1/(c + V) }<br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = L{ (c + V)/(c² - V²) + (c - V)/(c² - V²) }<br /><br /><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = 2Lc/(c² - V²)<br /><br /><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = (2L/c)/(1 - V²/c²)<br /><br /></div>El caso en el cual el rayo de luz es lanzado en una dirección <span style="font-style: italic;">perpendicular</span> a la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter se puede comparar mediante una analogía con un avión en el aire. Un avión que vuela de Sur a Norte a una velocidad de 20 metros por segundo tardará diez segundos en recorrer una distancia de 200 metros volando de Sur a Norte cuando no está soplando viento alguno, pero si el avión es arrastrado al mismo tiempo de Este a Oeste por el viento a una velocidad de 12 metros por segundo, tardará más tiempo en recorrer los mismos 200 metros de Sur a Norte ya que su velocidad efectiva en dicha dirección habrá disminuído a 16 metros por segundo. Tardará 12.5 segundos en lugar de diez en recorrer esos 200 metros de Sur a Norte:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0cWTtfdV0ELwTpY_mPy89tbnQmQlLAD6MJpv2IKkQhf8-iWU-la_ecoG3NbLKHrcpBFrclUzl28rFkXoTRDoaZBvLuTZ_P9XjlPPzbv6Ryc7mndelE18xaSYsOsjThCd6L3uDzO8p8v-v/s1600-h/avion_retrasado.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 115px; height: 195px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0cWTtfdV0ELwTpY_mPy89tbnQmQlLAD6MJpv2IKkQhf8-iWU-la_ecoG3NbLKHrcpBFrclUzl28rFkXoTRDoaZBvLuTZ_P9XjlPPzbv6Ryc7mndelE18xaSYsOsjThCd6L3uDzO8p8v-v/s400/avion_retrasado.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5325701724486273090" border="0" /></a><br /></div><br />Esto lo podemos deducir con una simple <span style="font-style: italic;">substracción vectorial</span> de velocidades llamando <span style="font-weight: bold;">v</span> a la velocidad del avión en un día tranquilo sin viento alguno, <span style="font-weight: bold;">V</span> la velocidad con la cual empieza a soplar el viento, y <span style="font-weight: bold;">u</span> la velocidad efectiva del avión de de Sur a Norte:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">u = v - V</span><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxdzAYYdKX7l99E_6PErMEZrQ933N6OHfzHyABlP5utVV6ED4I6IxF9gZHR6vmQTKIjmy1_NEoB8BGXNOhn7z-9oLsQwBb6pb12nEA92EDp1VTvw7fmomNa32VF-YF3LSCObqKDiciZORD/s1600-h/substraccion_vectorial_de_velocidades.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 270px; height: 189px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxdzAYYdKX7l99E_6PErMEZrQ933N6OHfzHyABlP5utVV6ED4I6IxF9gZHR6vmQTKIjmy1_NEoB8BGXNOhn7z-9oLsQwBb6pb12nEA92EDp1VTvw7fmomNa32VF-YF3LSCObqKDiciZORD/s400/substraccion_vectorial_de_velocidades.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5325703134383704546" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Vectorialmente</span>, la velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> del avión es disminuída en su sentido de Norte a Sur de 20 metros por segundo a una velocidad efectiva <span style="font-weight: bold;">u</span> de 16 metros por segundo por el “soplo del viento” (el avión sigue manteniendo su misma velocidad de acuerdo a lo que le marcan al piloto los instrumentos). La <span style="font-style: italic;">magnitud</span> de la velocidad efectiva la obtenemos con la simple aplicación de teorema de Pitágoras:<br /><br /><div style="text-align: center;">v² = V² + u²<br /><br />(20 m/seg)² = (12 m/seg)² + u²<br /><br />u² = (20 m/seg)² - (12 m/seg)²<br /><br />u² = 256 m²/seg²<br /><br />u = 16 m/seg<br /></div><br />Esto mismo lo podemos generalizar para obtener una expresión para el tiempo total de ida y vuelta del rayo luminoso cuando es lanzado en una dirección <span style="font-style: italic;">perpendicular</span> a la dirección del “viento del éter”.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general para calcular el tiempo total de ida y vuelta de un haz luminoso cuando el rayo de luz es lanzado hacia un espejo en una dirección <span style="color: rgb(51, 51, 255);">perpendicular</span> con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del haz en relación al éter, siendo L la distancia entre la fuente luminosa y el espejo reflector.</span><br /><br />La resolución de este problema consiste simplemente en generalizar con símbolos lo que acabamos de ver en el ejemplo de arriba. El tiempo de ida <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">ida </sub>del haz en una dirección perpendicular con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del haz en relación al éter será igual al tiempo de regreso <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">vuelta</sub> del haz al punto de donde fue lanzado, siendo este tiempo igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">ida </sub> = L / √<span style="text-decoration: overline;">c² - V²</span><br /></div><br />y por lo tanto el tiempo total será:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = 2L/ √<span style="text-decoration: overline;">c² - V²</span><br /><br /><span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = (2L/c) / √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /></div><br />Obsérvese que este tiempo es diferente del tiempo total de recorrido que se obtiene cuando el haz luminoso es lanzado en una dirección <span style="font-style: italic;">paralela</span> (en la misma dirección) a la dirección del “viento del éter” en vez de ser lanzado en una dirección perpendicular a dicho viento.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general aproximada para calcular la diferencia de tiempos en un aparato en el cual se lanza un rayo de luz recorriendo una distancia L hacia el espejo reflector en su trayecto de ida y vuelta cuando el rayo de luz viaja en una dirección </span><span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">paralela</span><span style="font-style: italic;"> a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, y el tiempo total de ida y vuelta medido en el mismo aparato cuando el rayo de luz es lanzado viajando en una dirección </span><span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">perpendicular</span><span style="font-style: italic;"> a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”. ¿Cómo se comparan estos dos tiempos con el tiempo medido por un observador privilegiado que esté en reposo absoluto con respecto al éter?</span><br /><br />Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado a lo largo de la misma dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo total <span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total </sub>de ida y vuelta es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = (2L/c) /(1 - V²/c²)<br /><br /><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = (2L/c) {1 - V²/c²}<sup> -1</sup><br /></div><br />Podemos llevar a cabo la expansión de esta expresión mediante una serie infinita recurriendo al <span style="font-style: italic;">teorema del binomio</span> que en su forma más general es enunciado de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">(a + x)<sup> n</sup> =<br /><br />a<sup>n</sup> + na<sup>n-1</sup>x + {n(n-1)/2!} a<sup>n-2</sup>x² + {n(n-1)(n-2)/3!} a<sup>n-3</sup>x<sup>3</sup> + ...<br /></div><br />Cuando a=1 y cuando el exponente n es -1 por tratarse de un inverso, el teorema del binomio se reduce a:<br /><br /><div style="text-align: center;">(1 - x)<sup> -1</sup> = 1 + x + x² + x<sup>3</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup> + ... <span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>para x ≤ 1<br /></div><br />(La condición x ≤ 1 se cumple aquí porque suponemos que el aparato está viajando a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> menor que la velocidad de la luz <span style="font-weight: bold;">c</span> sin suponer efecto relativístico alguno.)<br /><br />Con esta expansión tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">(1 - V²/c²)<sup> -1</sup> = 1 + V²/c² + <span style="color: rgb(102, 51, 51); font-weight: bold;">O(V/c)</span><sup style="color: rgb(102, 51, 51); font-weight: bold;">2</sup><br /></div><br />en donde <span style="color: rgb(102, 51, 51); font-weight: bold;">O(V/c</span><span style="color: rgb(102, 51, 51); font-weight: bold;">)</span><sup style="color: rgb(102, 51, 51); font-weight: bold;">2</sup> significa “los <span style="font-weight: bold; color: rgb(102, 51, 102);">O</span>tros términos residuales de la serie obtenidos con exponentes de orden 2 y mayor”.<br /><br />Por lo tanto el tiempo de ida y vuelta será aproximadamente igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> ≈ (2L/c) (1 + V²/c²)<br /></div><br />Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado en una dirección <span style="font-style: italic;">perpendicular</span> a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo total <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> de ida y vuelta es<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = (2L/c) / √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /><br /><span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> = (2L/c) {1 - V²/c²}<sup> -½</sup><br /></div><br />Usamos nuevamente el teorema del binomio haciendo a=1 cuando el exponente es el exponente fraccionario negativo -½, con lo cual tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">(1 - x)<sup> -½</sup> = 1 + (½) x + <span style="color: rgb(102, 51, 51); font-weight: bold;">O(x)</span><sup style="color: rgb(102, 51, 51); font-weight: bold;">2</sup> <span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>para x ≤ 1<br /></div><br />Por lo tanto el tiempo total de ida y vuelta para el caso perpendicular será:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> ≈ (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)}<br /></div><br />La diferencia entre <span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> y <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> es entonces (obsérvese que <span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> es mayor que <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub>):<br /><br /><div style="text-align: center;">ΔT ≈ <span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> - <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub><br /><br />ΔT ≈ (2L/c) (1 + V²/c²) - (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)}<br /></div><br />Simplificando:<br /><br /><div style="text-align: center;">ΔT ≈ LV² / c<sup>3</sup><br /></div><br />Un observador <span style="font-style: italic;">privilegiado</span> que se encuentre en absoluto reposo con respecto al éter tendrá una velocidad V igual a cero, y el tiempo total de ida y vuelta será <span style="color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="font-weight: bold;">privilegiado</sub> = 2L/c. Puesto que esta relación es diferente de las relaciones obtenidas por otro experimentador que está en movimiento con respecto al éter, hay una <span style="font-weight: bold;">asimetría</span> entre el observador privilegiado y todos los demás observadores. reflejada en diferencias medibles entre experimentos llevados a cabo con el mismo aparato por distintos observadores.<br /><br />Comparando los tres tiempos a un primer orden de aproximación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> ≈ (2L/c) (1 + V²/c²)<br /><br /><span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> ≈ (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)}<br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="font-weight: bold;">privilegiado</sub> = 2L/c<br /></div><br />comprobamos que, en todos los casos, el <span style="font-style: italic;">menor tiempo posible</span> de recorrido será precisamente el que mida un observador privilegiado que esté en absoluto reposo con respecto al éter en cuyo caso por tener V = 0 tanto <span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> como <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> se reducen a 2L/c. <span style="font-style: italic;">Esto, en principio, nos dá una forma teórica y experimental de poder saber si estamos en reposo absoluto con respecto al hipotético éter</span>.<br /><br />Michelson supuso, al igual que otros científicos de su tiempo, que la Tierra por sus movimientos de rotación y traslación alrededor del Sol no estaba permanentemente en reposo con respecto al éter, y si acaso lo estaba ello sería por un instante brevísimo. Debía ser posible detectar el desplazamiento de la Tierra a través del éter. El aparato que diseño se basó precisamente en la diferencia de tiempos ΔT que esperaba obtener entre dos rayos de luz, uno arrojado en la posible dirección paralela al “soplo del viento del éter” y el otro arrojado en una dirección perpendicular, juntando dichos haces de luz para detectar la variación producida en un patrón de interferencia luminosa. Dada la enorme dificultad en hacer las dos trayectorias (la paralela y la perpendicular) de la misma longitud L a la precisión requerida, el patrón de interferencia producida por los dos haces luminosos al llegar desfasados al detector era observada y entonces el aparato completo era girado 90 grados. Esta rotación debería de producir para cada haz luminoso la diferencia de tiempo dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;">ΔT ≈ LV² / c<sup>3</sup><br /></div><br />Esta diferencia de tiempo ΔT es equivalente a una diferencia de trayectoria de 2cΔT. De acuerdo con los principios de la óptica ondulatoria, las franjas de interferencia observadas en la primera orientación de la mesa giratoria deberían recorrerse en el detector por una cantidad ΔN de franja igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">ΔN = 2cΔT/λ<br /><br />ΔN = (2L/λ) (V²/c²)<br /></div><br />en donde λ es la longitud de onda de la fuente luminosa monocromática.<br /><br />Cuando llegó el día de llevar a cabo la primera realización del experimento en 1881, la distancia L en la mesa giratoria era de unos 1.2 metros y la longitud de onda de la señal luminosa utilizada era de λ = 5.9·10<sup>-7</sup> de metro. Tomando la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol para una primera aproximación de la velocidad V con respecto al éter, obtenemos una velocidad de unos 30 kilómetros por segundo que viene siendo igual a 10<sup>-4</sup><span style="font-weight: bold;">c</span>, con lo cual V²/c² es un factor de 10<sup>-8</sup>, y se esperaba que ΔN fuese igual a un 0.04 de franja. Desafortunadamente, se estimaba que las incertidumbres experimentales eran de un orden de magnitud similar.<br /><br />De cualquier manera, al efectuar el experimento y en un resultado que lo sorprendió, Michelson no encontró cambio alguno en los patrones de interferencia por más que girase la mesa rotatoria hacia uno y otro lado, con lo cual concluyó que esto era una evidencia de que la Tierra no se estaba moviendo con respecto al éter, aunque el resultado negativo del experimento llevado a cabo por Michelson inicialmente fue tomado por muchos como un fracaso debido a la falta de precisión de los instrumentos utilizados en aquella época en la que no existía ni siquiera la radio comercial. Tiempo después, en 1887, Michelson repitió el mismo experimento con Edward W. Morley, usando un sistema mejorado para girar la mesa circular del aparato sin introducir un desplazamiento en las franjas de interferencia luminosas causadas por tensiones mecánicas en el aparato, y la longitud efectiva de la trayectoria fue elevada de los 1.2 metros originales a unos 11 metros recurriendo a una serie de reflexiones múltiples. Este es el aparato que tenemos descrito arriba. Para este intento, se había calculado que N debería tener un valor de 0.4 de franja, unas 20 ó 40 veces más que el mímino que era posible observar. Y de nueva cuenta, no se encontró corrimiento alguno en las franjas de interferencia al girar la mesa rotatoria hacia uno y otro lado, y en esta ocasión había la certeza de que no se debían a error experimental alguno.. Desde entonces, el mismo experimento ha sido repetido innumerables ocasiones alrededor del mundo, y jamás se ha encontrado corrimiento alguno en las franjas de interferencia.<br /><br />En un esfuerzo por explicar los resultados negativos obtenidos por Michelson y Morley, el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz formuló conjuntamente con el físico irlandés George Francis Fitzgerald una explicación teórica hecha “justo a la medida”, argumentando que al igual que una masa suave que se mueve en el aire o bajo el agua sufre una ligera deformación por la resistencia que le ofrece el medio en el cual se está desplazando, también la vara de medición que se estuviera moviendo en contra del éter estático sufriría una contracción que por una maravillosa y casi milagrosa coincidencia era justo lo que se necesitaba para compensar con una longitud menor la diferencia de tiempos de traslado que se hubiera esperado detectar a través de los patrones de interferencia observados en el telescopio, explicando con ello los resultados negativos obtenidos en los experimentos. Matemáticamente expresado, la contracción debida al “empuje del viento del éter” reduciría la longitud original <span style="font-weight: bold;">L0</span> de la vara de medición a una longitud menor <span style="font-weight: bold;">L</span> dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">L</span> = <span style="font-weight: bold;">L0</span> √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /></div><br />en donde V vendría siendo la velocidad de la regla al estarse moviendo en contra del éter. De acuerdo con ésta fórmula, poniendo números, una vara de medición moviéndose en contra del éter a una velocidad igual a las tres cuartas partes de la velocidad de la luz sería “comprimida” a un 66 por ciento de su longitud original. Esta contracción fue llamada desde que fue propuesta como la contracción Lorentz-Fitzgerald.<br /><br />La principal objeción que podemos ponerle a esta teoría es que predice una compresión igual en todas las varas de medición independientemente del material del que estén hechas, ya sea de acero inoxidable rígido o de caucho, lo cual por sí solo presiona demasiado los límites de nuestra credibilidad. Pero otra objeción más dura aún a la fórmula de contracción de longitud de una vara de medición dada por Lorentz y Fitzgerald era que carecía de una teoría que justificase la fórmula, se trataba de una fórmula semi-empírica, era simplemente un artificio concebido para explicar los resultados negativos del experimento Michelson-Morley.<br /><br />Fué solo hasta 1905 cuando Einstein dió a conocer su Teoría Especial de la Relatividad que los resultados negativos del experimento Michelson-Morley tuvieron una explicación teórica rigurosa y satisfactoria: al no existir el éter y por lo tanto al no existir forma alguna de poder detectar el movimiento absoluto de la Tierra con respecto a algo que no fuese su rotación alrededor del Sol y ni siquiera así, la Tierra podía tomarse como un cuerpo en estado de reposo, y al ser tomada como un cuerpo en estado de reposo la velocidad del éter en las fórmulas utilizadas por Michelson y Morley era V=0, con lo cual los resultados negativos del experimento se vuelven inevitables.<br /><br />En el problema anterior, tenemos tres expresiones diferentes para los tiempos de viaje que obtendríamos para un rayo de luz usando el mismo aparato experimental, <span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> , <span style="text-decoration: overline; color: rgb(0, 102, 0);">T</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> y <span style="color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="font-weight: bold;">privilegiado</sub>, tiempos de viaje predichos teóricamente sobre la base de la existencia del éter, capaces de ser confirmados experimentalmente. Y de las tres expresiones anteriores, la más sencilla de todas, la que nos dá T=2L/c, es la que obtendría un observador privilegiado que estuvierse en reposo absoluto con respecto al éter. Esto es algo de naturaleza general. <span style="font-style: italic;">Las leyes de la física adquieren su forma más sencilla posible para un observador privilegiado que esté en reposo absoluto con respecto al éter, un observador para el cual V=0</span>. Para todos los demás observadores, las leyes tendrán fórmulas más complejas como lo acabamos de ver. <span style="font-weight: bold;">A este tipo de asimetrías era a las que se refería Einstein en su papel original</span>. La única forma de deshacerse de estas asimetrías es rechazar la hipótesis de la existencia del éter y del movimiento absoluto, que fue precisamente lo que hizo Einstein.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-44163766324183813032009-03-18T22:00:00.000-07:002009-10-07T15:18:07.312-07:006: Los diagramas espacio-tiempo de MinkowskiLa Teoría Especial de la Relatividad, tal y como fue enunciada por vez primera por Einstein, era una teoría puramente <span style="font-style: italic;">algebraica</span>, sin referencia alguna a ningún tipo de geometría. Se debe a Hermann Minkowski la proeza de haberla convertido en una teoría <span style="font-style: italic;">geométrica</span> llevando a cabo de paso la unificación de dos conceptos que en la mecánica clásica habían sido considerados completamente independientes y separados el uno del otro: el espacio y el tiempo. Gracias a Minkowski, el espacio y el tiempo fueron unificados en un solo concepto básico e indivisible bajo una sola palabra, el <span style="font-weight: bold;">espaciotiempo</span> (aquí lo llamaremos <span style="font-style: italic;">espacio-tiempo</span> en el entendido de que ambos conceptos han sido fusionados en uno solo), de modo tal que no era posible hablar ya del espacio como entidad individual y del tiempo como entidad individual también, separados el uno del otro. Pero aquí nos estamos adelantando a nuestra historia.<br /><br />Considerando para fines ilustrativos una velocidad de la luz de <span style="font-weight: bold;">c</span> = 1 metro por segundo, el <span style="font-weight: bold;">diagrama espacio-tiempo</span> para un rayo de luz es el siguiente:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggMOOhup9KRZHNw5bj9wORuA5oY2jK3HAH9VvFEOzpl0lMk2HbL6mr4IOfnv16pySkLEcnEuoxQnTXWFBEeDnkgn3Fdiewh-_6CK_zRIw088nen_5elS0Iz-2zkZug8D-GnLtBqBTHP-HN/s1600-h/rayo_de_luz_en_diagrama_espacio-tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggMOOhup9KRZHNw5bj9wORuA5oY2jK3HAH9VvFEOzpl0lMk2HbL6mr4IOfnv16pySkLEcnEuoxQnTXWFBEeDnkgn3Fdiewh-_6CK_zRIw088nen_5elS0Iz-2zkZug8D-GnLtBqBTHP-HN/s400/rayo_de_luz_en_diagrama_espacio-tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5318794810729086658" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Sobre el mismo diagrama, la especificación de la coordenada x de una partícula material que nos indica la posición en la cual se encuentra la partícula y del tiempo t al que corresponde esta coordenada, se dice que determina un <span style="font-weight: bold;">evento</span> o un <span style="font-weight: bold;">suceso</span>. Si representamos la posición <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x</span> en el eje de las <span style="font-style: italic;">abcisas</span> (eje horizontal) y el tiempo <span style="color: rgb(51, 51, 255);">t</span> en las <span style="font-style: italic;">ordenadas</span> (eje vertical), cada punto del plano <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x-t</span> corresponde a un <span style="font-style: italic;">posible</span> evento. En un diagrama así podemos representar dos eventos distintos vistos por un mismo observador, trátese de dos eventos distintos que ocurren en el mismo lugar en tiempos diferentes, dos eventos distintos que ocurren al mismo tiempo en distintos lugares, o dos eventos distintos que ocurren en tiempos diferentes en lugares diferentes, como es el siguiente caso:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6DODgRt5fzaSHKKKmwE4yPrpW7QJi_CK9MEsjJiXynUzA01Jsul1Qnq3Jc9__xtIbPkGNz0EjTTqRXHdMTfn45VtVXVkH4PRWgiRx0QLCpArrd7mm8vKC6ss3pfePZ1SJSJmFVD4cIZxy/s1600-h/particula_en_movimiento.png"><img style="cursor: pointer; width: 364px; height: 363px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6DODgRt5fzaSHKKKmwE4yPrpW7QJi_CK9MEsjJiXynUzA01Jsul1Qnq3Jc9__xtIbPkGNz0EjTTqRXHdMTfn45VtVXVkH4PRWgiRx0QLCpArrd7mm8vKC6ss3pfePZ1SJSJmFVD4cIZxy/s400/particula_en_movimiento.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319078722406238642" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El lugar en un plano <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x-t</span> de los eventos que representan las coordenadas apareadas de una partícula en varios instantes se conoce en los estudios de la relatividad como <span style="font-weight: bold;">línea del mundo </span>(<span style="font-style: italic;">world line</span>) y también como <span style="font-weight: bold;">línea del universo</span>. En la Teoría Especial de la Relatividad, la línea del mundo es siempre una línea recta como la línea azul que tenemos en el diagrama de arriba porque la partícula material viaja siempre en movimiento rectilíneo en una misma dirección, recorriendo distancias iguales en tiempos iguales. Si en el instante <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> la coordenada de una partícula móvil es <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>, entonces las magnitudes <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> determinan el evento <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>. Análogamente, <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> y <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> determinan el evento <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>. Los eventos <span style="font-style: italic;">para un mismo y único observador</span> están separados en el espacio por una distancia <span style="font-weight: bold;">Δx</span> = <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> - <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y en el tiempo por una distancia <span style="font-weight: bold;">Δt</span> = <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> - <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>.<br /><br />En los estudios sobre la relatividad, no se acostumbra revolver peras con manzanas, no se acostumbra revolver metros con segundos al medir sobre coordenadas rectangulares. Para que en un diagrama espacio-tiempo tanto el eje horizontal como el eje vertical usen el mismo tipo de unidades, se acostumbra multiplicar el tiempo en el eje vertical que corresponde al tiempo por la constante universal absoluta que es la velocidad de la luz <span style="font-weight: bold;">c</span>, ya que con ello <span style="font-weight: bold;">ct</span> se convierte en una distancia que está medida en <span style="font-style: italic;">metros</span>, no en segundos. De este modo, no mezclamos peras con manzanas, al medir tanto en el eje vertical como en el eje horizontal lo estamos haciendo en metros. En todos los diagramas espacio-tiempo que serán utilizados aquí, la ordenada vertical estará en dimensiones de metros, o sea multiplicada por <span style="font-weight: bold;">c</span>, representado en la ordenada vertical como <span style="font-weight: bold;">ct</span>. Aunque aparezca <span style="font-weight: bold;">t</span> en lugar de <span style="font-weight: bold;">ct</span>, se sobreentenderá que siempre nos estamos refiriendo a <span style="font-weight: bold;">ct</span>. Además, para fines de simplificación, le seguiremos dando a <span style="font-weight: bold;">c</span> el valor de 1 metro por segundo. Sin embargo, para fines de cálculo numérico, estamos en libertad de regresar a las mediciones en segundos sobre el eje vertical.<br /><br />En la última gráfica de arriba, tenemos representados dos eventos distintos, uno ocurriendo en la posición <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> en un tiempo representado en la posición <span style="font-weight: bold;">ct</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>, y el otro evento ocurriendo en la posición<span style="font-weight: bold;"> x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> en un tiempo representado en la posición <span style="font-weight: bold;">ct</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>. Poniendo números y usando una velocidad de la luz igual a<span style="font-weight: bold;"> c</span> = 1 metro/segundo, las coordenadas respectivas de cada evento y la distancia entre ambos eventos es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> = 1 metro<br /><br /><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> = 2 metros<br /><br /><span style="font-weight: bold;">ct</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> = 1 metro<br /><br /><span style="font-weight: bold;">ct</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> = 3 metros<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Δx</span> = <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> - <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> = 2 metros - 1 metro = 1 metro<br /><br /><span style="font-weight: bold;">cΔt</span> = <span style="font-weight: bold;">ct</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> - <span style="font-weight: bold;">ct</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> = 3 metros - 1 metro = 2 metros<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Una vara de medir de tres metros de largo se encuentra en reposo en el marco de referencia del observador O, y sus extremos coinciden con las coordenadas </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">x</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> = 2 metros y </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">x</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> = 5 metros. Trazar las líneas del mundo de los extremos de la vara de medir en un diagrama espacio-tiempo del observador O</span>.<br /><br />El diagrama espacio-tiempo pedido es el siguiente:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCKkj7BXXl5EMV-NgXbxnV5u-dmH3dOn7uAaaE_2a3DOynkLxzi2tvDoOnvDAZFpbVA_xLsJ9Tkhrz_208Ic3wnTkA9qs34aMa8qg99O0pkgwaDtCP4YIBT71iF-TBbwh-yLpJWAv8jgWE/s1600-h/problema_diagrama_espacio-tiempo_observador_O.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 324px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCKkj7BXXl5EMV-NgXbxnV5u-dmH3dOn7uAaaE_2a3DOynkLxzi2tvDoOnvDAZFpbVA_xLsJ9Tkhrz_208Ic3wnTkA9qs34aMa8qg99O0pkgwaDtCP4YIBT71iF-TBbwh-yLpJWAv8jgWE/s400/problema_diagrama_espacio-tiempo_observador_O.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328459242675329058" border="0" /></a><br /></div><br /><br />No es un requisito indispensable que en la construcción de un diagrama del espacio-tiempo se utilicen ejes ortogonales (perpendiculares, puestos en ángulos rectos el uno con respecto al otro). Es factible e inclusive deseable por razones que pronto serán obvias construír el diagrama espacio-tiempo utilizando ejes que no son perpendiculares. A continuación tenemos un diagrama en el cual los ejes principales no son perpendiculares:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH5uB55FyFIUiFjau7C6Vb5nTqo5jVQjbI8R6GT80DV2kVegW3ocQu79aRv7HrjMZkFZXwkg4m_j887xaL-03fqsN1NoraNu5vGcblf2DzegKGpWGSu94EmGwcrWPjAmN7cpGr-mf-0G4N/s1600-h/linea_del_mundo.png"><img style="cursor: pointer; width: 286px; height: 285px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH5uB55FyFIUiFjau7C6Vb5nTqo5jVQjbI8R6GT80DV2kVegW3ocQu79aRv7HrjMZkFZXwkg4m_j887xaL-03fqsN1NoraNu5vGcblf2DzegKGpWGSu94EmGwcrWPjAmN7cpGr-mf-0G4N/s400/linea_del_mundo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345807276147600466" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Obsérvese la manera de leer las coordenadas de un punto cualesquiera en este tipo de diagrama, trazando desde el punto líneas <span style="font-style: italic;">paralelas</span> a uno de los ejes principales hasta topar con el eje principal de la otra coordenada.<br /><br />Y a continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo en el cual los ejes principales tampoco son perpendiculares:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPBOMxchTdl3yxtIZfE1EK3_67MDP2f2u4dxzYpt7BC6ozEnYf_VUiEijVsbw5ZLcHBMFpEJhkiUARUcTgV0XHPSpzea83tXg2D1QeNUBti_zh0VUdLHajqqHRzET-hCsa5zobgLs1_cWG/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_no-ortogonal.png"><img style="cursor: pointer; width: 390px; height: 276px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPBOMxchTdl3yxtIZfE1EK3_67MDP2f2u4dxzYpt7BC6ozEnYf_VUiEijVsbw5ZLcHBMFpEJhkiUARUcTgV0XHPSpzea83tXg2D1QeNUBti_zh0VUdLHajqqHRzET-hCsa5zobgLs1_cWG/s400/diagrama_espacio-tiempo_no-ortogonal.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5318796061795389394" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Para un mismo observador, el anterior diagrama espacio-tiempo nos dá la distancia <span style="font-weight: bold;">Δx</span> que separa dos eventos <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>, y nos dá también la distancia <span style="font-weight: bold;">cΔt</span> que separa a dichos eventos. Pero este diagrama espacio-tiempo describe la situación de <span style="font-style: italic;">un solo observador</span>. El diagrama espacio-tiempo para un observador solitario no nos es de mucha utilidad en la resolución de problemas propios de la relatividad. Es necesario juntar de alguna manera los diagramas espacio-tiempo de dos observadores que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro en uno solo. Lo que estamos buscando es algo que geométricamente nos permita visualizar en un mismo diagrama la situación de <span style="font-weight: bold;">dos</span> observadores. Esto se logra con un procedimiento que nos fue dado por el matemático Hermann Minkowski que será dado a continuación.<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-family:arial;" >Procedimiento para construír un diagrama espacio-tiempo</span><br /></div><br /><br />(1) Supondremos que la velocidad de la luz tiene un valor de <span style="font-weight: bold;">c</span> = 1 metro/segundo. Empezamos trazando dos coordenadas perpendiculares que representan el diagrama espacio-tiempo de un observador al cual llamaremos O y que se considera a sí mismo en estado de reposo en su marco de referencia S, con la coordenada horizontal asignada a la representación de la <span style="font-style: italic;">posición</span> de un objeto en el <span style="font-style: italic;">eje-x</span> y con la coordenada vertical asignada a la representación del <span style="font-style: italic;">tiempo</span> en el cual el objeto está en cierta posición:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqMo1BQIFU6bYTcjjLyPz6osmM08BdPbgSJCYnEBG2s1TuPseX2OWA2h7-mvR2N0IR_B792bHgBnzkYgvuzCCaKVNDGVPcTW89pA9qr83_ZNzJJY_yfvJNGf0Di5HTskD4vJyd3mnulHfX/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_observador_O.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 324px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqMo1BQIFU6bYTcjjLyPz6osmM08BdPbgSJCYnEBG2s1TuPseX2OWA2h7-mvR2N0IR_B792bHgBnzkYgvuzCCaKVNDGVPcTW89pA9qr83_ZNzJJY_yfvJNGf0Di5HTskD4vJyd3mnulHfX/s400/diagrama_espacio-tiempo_observador_O.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329105442499070450" border="0" /></a><br /></div><br /><br />(2) El diagrama espacio-tiempo más elemental que combina a dos observadores es el <span style="font-style: italic;">diagrama trivial</span> en el cual ambos observadores está reposo el uno frente al otro en el mismo lugar (x = x’) y tienen sus relojes sincronizados al mismo tiempo (t = t’), lo que permite que los orígenes de ambos sistemas de referencia S y S’ coincidan en un mismo punto:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUMaEVERhTDm8AFxI5n3zQmcNq0N6B4oZ-zwVPLNeP2CDhQ_2ovAtPMEjXGceIjO_FcC26tb7paU4BKqGRqhYG0XJb3m65sYwTzjCcIHj-vszNV51vOADqo8UteYdD1l9SKseJhEC5RTAr/s1600-h/diagrama_de_Minkowski_trivial.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUMaEVERhTDm8AFxI5n3zQmcNq0N6B4oZ-zwVPLNeP2CDhQ_2ovAtPMEjXGceIjO_FcC26tb7paU4BKqGRqhYG0XJb3m65sYwTzjCcIHj-vszNV51vOADqo8UteYdD1l9SKseJhEC5RTAr/s400/diagrama_de_Minkowski_trivial.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5336924926772127778" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En forma similar a como sucede para el observador O, <span style="font-style: italic;">el eje ct’ es el lugar de los puntos tales que los eventos que ocurren a lo largo de dicho eje ocurren en el mismo lugar x’ = 0 pero en tiempos distintos para un observador O</span>.<br /><br />(3) Para trazar un diagrama espacio-tiempo <span>combinado</span> juntando a dos observadores diferentes que están <span style="font-style: italic;">en movimiento relativo el uno con respecto al otro a una velocidad V</span>, trazamos primero el <span style="font-style: italic;">eje-t’</span> del marco de referencia S’ sobre el diagrama espacio-tiempo del observador en reposo usando para ello la velocidad relativa entre ambos observadores. <span style="font-style: italic;">No es necesario que los orígenes de los diagramas espacio-tiempo del observador O y del observador O’ coincidan</span>, esto es mera cuestión de conveniencia. Construiremos un diagrama en el que ambos orígenes coinciden.<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh690SMAVe-msW9wluynAmKgJpH1zJgg5EY00uYIvd_nkLmRupwxoJKVL9TOrJuWuKrYip6d_Tdxk2UDkULuGEj-WvbyclmJKzv0nb9wf2lMFkOkoEeBexOEEfXG5LqiqLz4YcsyVwCnSbJ/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_inicial.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 339px; height: 261px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh690SMAVe-msW9wluynAmKgJpH1zJgg5EY00uYIvd_nkLmRupwxoJKVL9TOrJuWuKrYip6d_Tdxk2UDkULuGEj-WvbyclmJKzv0nb9wf2lMFkOkoEeBexOEEfXG5LqiqLz4YcsyVwCnSbJ/s400/diagrama_espacio-tiempo_inicial.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329107129128337794" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Suponiendo que la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es de V = 0.4c (o.4 metros/segundo) entonces para moverse una distancia x = 1 metro el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t = x/V = 2.5 segundos con respecto al origen, y para moverse una distancia x = 2 metros el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t = x/V = 5 segundos. Todos estos puntos están conectados con una línea recta, la cual trazamos sobre el diagrama como se muestra arriba. Esta recta corresponde al tiempo t’ del marco de referencia S’. Obsérvese que entre menor sea la velocidad relativa V más y más cercana estará la línea que hemos trazado a la vertical que corresponde a t, hasta que ambas llegan a coincidir cuando la velocidad relativa entre los dos observadores es cero. Para mayor simplicidad, prescindiremos de las graduaciones que hemos puesto en las coordenadas de ambos ejes del observador O:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio2ees8kXFH0rnqpSa6qJQamUPFgilYPK3cZ297m8jdiwux4I4NNSDmU6cxnQ7aKhZvwhHjQ5E_KqCu74O-0H1__hy9Xkq9jEll0HfJxO8m-2At43aFJPKt8VjFlsNxIUqHR_tAfR6sTuW/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_1.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio2ees8kXFH0rnqpSa6qJQamUPFgilYPK3cZ297m8jdiwux4I4NNSDmU6cxnQ7aKhZvwhHjQ5E_KqCu74O-0H1__hy9Xkq9jEll0HfJxO8m-2At43aFJPKt8VjFlsNxIUqHR_tAfR6sTuW/s400/diagrama_espacio-tiempo_1.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329111195679035506" border="0" /></a><br /></div><br /><br />(4) A continuación trazamos sobre el diagrama espacio-tiempo la ruta que corresponde a la trayectoria de un rayo de luz con una velocidad c = 1 metro/segundo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuSD_OOA3OrYWl6lCT-Z4Y3bk_3ceXM__Y7lPrRBr4cm3-Dtc9kElS7W4yyhTH48OOJgabMDqiKucA5vDomY1msHXOk8slZga0zx8mFXhfXW0gChSnPQKUtI3-oFGWKw9aBRH-Rt0C9aMO/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuSD_OOA3OrYWl6lCT-Z4Y3bk_3ceXM__Y7lPrRBr4cm3-Dtc9kElS7W4yyhTH48OOJgabMDqiKucA5vDomY1msHXOk8slZga0zx8mFXhfXW0gChSnPQKUtI3-oFGWKw9aBRH-Rt0C9aMO/s400/diagrama_espacio-tiempo_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329111715395512690" border="0" /></a><br /></div><br /><br />(5) Ahora vamos a trazar la coordenada de x’ superimponiéndola en el mismo diagrama. Para poder localizarla en dicho diagrama, considérese primero un rayo de luz lanzado en el marco de referencia del observador O’ en un tiempo (medido en metros) ct’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">-a</span> desde la coordenada x’ = 0, un evento al que llamaremos <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">E</span>, el cual es reflejado en sentido opuesto en un tiempo ct = 0 por un espejo en un evento al que llamaremos <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">P</span>, para regresar nuevamente a la coordenada x’ = 0 en un evento al que llamaremos <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">R</span> ocurriendo en el tiempo ct’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">+a</span> (podemos imaginar lo que ocurre como una descripción geométrica en el espacio-tiempo del experimento llevado a cabo por el viajero en el ferrocarril al que vimos en la entrada titulada “La física es parada de cabeza” cuando nos encontramos por vez primera el efecto relativista de la dilatación del tiempo):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4Nvv7ydfb_t-U3d-vgDlxjFksvKJT0kzlfviofzXHmNgfxwfgWtWWY25c9AI0FmrLszkXtpEvDLFMYHOb8VpfEK0HvO2l-h4VwcIxnmdbADEvHtghqUPZwXlp4FCd5QxaulcV718mTl1U/s1600-h/rayo_de_luz_reflejado_en_marco_de_referencia_S'.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4Nvv7ydfb_t-U3d-vgDlxjFksvKJT0kzlfviofzXHmNgfxwfgWtWWY25c9AI0FmrLszkXtpEvDLFMYHOb8VpfEK0HvO2l-h4VwcIxnmdbADEvHtghqUPZwXlp4FCd5QxaulcV718mTl1U/s400/rayo_de_luz_reflejado_en_marco_de_referencia_S'.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329190682171193858" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><span style="font-style: italic;">Desde la perpectiva del observador estacionario O</span>, la situación del rayo de luz que fue reflejado en el marco de referencia de O’ es la siguiente:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2m_LGyOVY8QlZSlQfXECjLCI5tOQxPOPB7qGLXufI9TV16paPAF_1_Wu1v2eAx9gmGi4ixyRv_4x_2oZQLf5wjSVNx86KVEWI0X73ZLqIWLf9OUtQl22PCtFoivREdoFxZBRaFj0ECj63/s1600-h/rayo_de_luz_reflejado_en_marco_de_referencia_S.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2m_LGyOVY8QlZSlQfXECjLCI5tOQxPOPB7qGLXufI9TV16paPAF_1_Wu1v2eAx9gmGi4ixyRv_4x_2oZQLf5wjSVNx86KVEWI0X73ZLqIWLf9OUtQl22PCtFoivREdoFxZBRaFj0ECj63/s400/rayo_de_luz_reflejado_en_marco_de_referencia_S.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329390615464990050" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Tanto en el marco de referencia del observador O’ como en el marco de referencia del observador O la luz sigue teniendo la misma velocidad, como lo enuncia el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad. Por lo tanto, el rayo de luz que es lanzado en el marco de referencia de O’ también tendrá la misma pendiente de 45 grados en el marco de referencia de O. En el diagrama de arriba ubicamos arbitrariamente sobre el eje ct’ el evento <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">E</span> en el punto ct’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">-a</span>, y trazamos desde dicho punto una trayectoria de 45 grados que corresponde al rayo de luz que es lanzado por el observador O’. Por otro lado, ubicamos sobre el eje t’ el evento <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">R</span> en el punto ct’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">+a</span>, y trazamos desde allí la trayectoria que representa el rayo de luz reflejado por el espejo desde el punto que debe representar al evento <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">P</span>, una línea recta también de 45 grados (en concordancia con el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad) pero yendo de derecha a izquierda, extendiendo dicha línea hasta que se cruce con la otra línea que habíamos trazado. Esto nos dá unívocamente en el diagrama la localización del evento <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">P</span>. Por último, trazamos una línea punteada que conecta el origen común de ambos observadores hasta el punto que representa al evento <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">P</span>. <span style="font-style: italic;">Esta es la línea que corresponde a la coordenada de x’</span>. No tardamos en descubrir que el ángulo que forma la coordenada x con la coordenada x’ es el mismo ángulo que el que forma la coordenada ct con la coordenada ct’. Con esto, hemos terminado esencialmente con la construcción del diagrama.<br /><br />Una cosa que resalta del diagrama espacio-tiempo final es el hecho de que los dos eventos identificados con cuadritos rojos y con los números <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 102, 255);">1</span> y <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 102, 255);">2</span> que son simultáneos para el observador O’ (ambos ocurren en su tiempo t’ = 0) <span style="font-style: italic;">no ocurren al mismo tiempo en el marco de referencia del observador O</span>. Esta es nuestra perspectiva geométrica del verdadero origen de los fenómenos relativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud: <span style="font-weight: bold;">la simultaneidad deja de ser absoluta</span>. En el universo de los absolutos, en la física pre-relativista, si dos eventos ocurrían al mismo tiempo para un observador estacionario, también ocurrían al mismo tiempo para otro observador en movimiento, lo cual deja de ser válido en la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br />Una cosa que no hemos hecho y la cual dejaremos pendiente por el momento es <span style="font-style: italic;">graduar</span> (marcar con divisiones igualmente espaciadas) las coordenadas (x,t) del observador O y las coordenadas (x’,t’) del observador O’ de modo tal que podamos resolver <span style="font-style: italic;">gráficamente</span> un problema relativista obteniendo aproximaciones numéricas al igual que como lo hacen los ingenieros que utilizan papel gráfico para la resolución aproximada de problemas de otra índole (el <span style="font-style: italic;">Smith Chart</span> utilizado para la resolución de problemas eléctricos de líneas de transmisión, y el diagrama de humedad o <span style="font-style: italic;">carta psicométrica</span> usada para la resolución de problemas de humedad relativa y punto de rocío). Esta graduación es conocida también como la <span style="font-weight: bold;">calibración de los ejes</span>, y se puede llevar a cabo mediante cálculos numéricos con las <span style="font-style: italic;">ecuaciones de transformación de Lorentz</span> que veremos posteriormente o con el procedimiento geométrico de la<span style="font-style: italic;"> hipérbola invariante</span>.<br /><br />Así pues, nuestro principal medio de trabajo para el análisis <span style="font-style: italic;">geométrico</span> de los problemas de la Teoría Especial de la Relatividad es el diagrama espacio-tiempo de Minkowski:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3Fx32AsZStoFkTZcTsij8hHdWojsDnWeUBV1_1Ze1q6ygH4ULHK3fuqhUaMga9Ssk66x6LUUAZqee4gkZjljylldjC6NqBZ5NIy1s928olTGuKLRFoQid24ddqJMZg_yJGMkuAIHITGyr/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_3.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3Fx32AsZStoFkTZcTsij8hHdWojsDnWeUBV1_1Ze1q6ygH4ULHK3fuqhUaMga9Ssk66x6LUUAZqee4gkZjljylldjC6NqBZ5NIy1s928olTGuKLRFoQid24ddqJMZg_yJGMkuAIHITGyr/s400/diagrama_espacio-tiempo_3.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329155885168161010" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Este es el diagrama espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">desde la perspectiva del observador O en reposo</span>. Si queremos, podemos dibujar también el diagrama espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">desde la perspectiva del observador O’</span> cuando este se considera en reposo y cuando ve al observador O en movimiento <span style="font-style: italic;">hacia la izquierda:</span><br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghpYUKKc4Wv7hiAyNfYskPjsI4wOfWW1UhtvSD2Odz99cWI-r5dxrTmxvWoDzOHI69Wyet6L7dmHvyYgDsWF6Fo-Jc_1auZ8alVPgaVIfAjl23lwz_8sTX495vHMfr7VredbyYFDi5McX0/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_4.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghpYUKKc4Wv7hiAyNfYskPjsI4wOfWW1UhtvSD2Odz99cWI-r5dxrTmxvWoDzOHI69Wyet6L7dmHvyYgDsWF6Fo-Jc_1auZ8alVPgaVIfAjl23lwz_8sTX495vHMfr7VredbyYFDi5McX0/s400/diagrama_espacio-tiempo_4.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329156706859013378" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En esencia, lo que hemos hecho a sido tomar el diagrama básico para un observador O en reposo en un marco de referencia S, trazando sobre el mismo la línea que marca la trayectoria de un rayo de luz con una pendiente de 45 grados que corresponde a una velocidad c de 1 metro por segundo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhryM_HNOFJuBncqr1KSvbQaVZeG_viXCqweVq6_QyJV_e_-FoxpIYYW9pZ323WEhumNzX6IowzvB8UwF9odjojE8GpMgAB3-DsTy_wIvKCFkGrhJ7VicvGwga1v_5RIUus7ohSvqYhXakV/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_observador_O_con_rayo_de_luz.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 324px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhryM_HNOFJuBncqr1KSvbQaVZeG_viXCqweVq6_QyJV_e_-FoxpIYYW9pZ323WEhumNzX6IowzvB8UwF9odjojE8GpMgAB3-DsTy_wIvKCFkGrhJ7VicvGwga1v_5RIUus7ohSvqYhXakV/s400/diagrama_espacio-tiempo_observador_O_con_rayo_de_luz.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328464633334496066" border="0" /></a><br /></div><br /><br />y sobre este diagrama, usando como referencia común la bisectriz que ambos diagramas deben tener identificando en el mismo la línea del mundo de un rayo de luz común a ambos observadores O y O’ en los marcos de referencia S y S’, hemos agregado al diagrama del observador estacionario O el siguiente diagrama espacio-tiempo de O’ (nos queda pendiente el asunto de cómo se lleva a cabo la graduación o <span style="font-style: italic;">calibración</span> de los ejes x’-t’):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjA8EAZPomOSXT3iZPvStY8vXu1cHbrUcNWdvASGrDE3t0da_2PG-ZQAbjPN_m5DGjX6PUznWBhFyrkISjrXhMNPa9Iv-XCy8Jyx7vpAtooA4OPwOSYg-ytxrbW_azKJb9GvKW3hHR9VEpD/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_observador_O'_con_rayo_de_luz.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 306px; height: 304px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjA8EAZPomOSXT3iZPvStY8vXu1cHbrUcNWdvASGrDE3t0da_2PG-ZQAbjPN_m5DGjX6PUznWBhFyrkISjrXhMNPa9Iv-XCy8Jyx7vpAtooA4OPwOSYg-ytxrbW_azKJb9GvKW3hHR9VEpD/s400/diagrama_espacio-tiempo_observador_O'_con_rayo_de_luz.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328466133142143730" border="0" /></a><br /></div><br /><br />para así tener el siguiente diagrama espacio-tiempo combinando a ambos observadores <span style="font-style: italic;">desde la perspectiva del observador estacionario O</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFwae6NPv7ENxIV4s7AzUWHQw0UHHGN2ss1U4IytoMxhqY27G2WGMXi4wsVAnrGgY2bgNU0XhXFa9CCV6lHCzZU7uUTgUm4bbDI3qpvj8cH56hwN-YP5oAPzWinFfyjox7L6iAzi2ySRJs/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_combinado.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 324px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFwae6NPv7ENxIV4s7AzUWHQw0UHHGN2ss1U4IytoMxhqY27G2WGMXi4wsVAnrGgY2bgNU0XhXFa9CCV6lHCzZU7uUTgUm4bbDI3qpvj8cH56hwN-YP5oAPzWinFfyjox7L6iAzi2ySRJs/s400/diagrama_espacio-tiempo_combinado.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328466721103674642" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Representar en un diagrama espacio-tiempo cuatro eventos distintos cuyas coordenadas son las siguientes:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>(x<sub>1</sub>, c t<sub>1</sub>) = (1, 2)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>(x<sub>2</sub>, c t<sub>2</sub>) = (2, 5)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">3</sub>(x’<sub>1</sub>, c t’<sub>1</sub>) = (4, 1)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">4</sub>(x’<sub>2</sub>, c t’<sub>2</sub>) = (2, 2)<br /></div><br />Los eventos <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> están especificados sobre las coordenadas del observador en reposo O en su marco de referencia S, y en el diagrama espacio-tiempo combinado estarán ubicados en las siguientes posiciones (se han representado los dos eventos en el diagrama con unos cuadritos de color púrpura):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4vgBBEJWTm2Neron5eixq34Rx4gzSD5GuTtfNe_ecVsyakoWRz7PxIWaWxJCIyjV0dLa56kDTPXr8Q4KtPYe5WTS_BM6DOsAyI5xtPPfwKlKBfXcpdLUIZ-6MNCxznzt5wItbX7vXHW26/s1600-h/resolucion_problema_A.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 324px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4vgBBEJWTm2Neron5eixq34Rx4gzSD5GuTtfNe_ecVsyakoWRz7PxIWaWxJCIyjV0dLa56kDTPXr8Q4KtPYe5WTS_BM6DOsAyI5xtPPfwKlKBfXcpdLUIZ-6MNCxznzt5wItbX7vXHW26/s400/resolucion_problema_A.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328700720227572626" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Los eventos <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">3</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">4</sub> están especificados sobre las coordenadas del observador en movimiento O’ en su marco de referencia S’, y en el diagrama espacio-tiempo combinado estarán ubicados en las siguientes posiciones (se han representado los dos eventos en el diagrama con unos cuadritos de color verde):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSftfUO0-RXDuabXGAbeI2bXrlZ5CI5lOdAxwJKIuND9w9Xmsk6vpkzegF7lE1CEvA_ufBROOnOY4i0AHVLcnwYMXZNdHn17eVpqqG74EpNwWd3YmBB-2Ac_C-DCFzt_OBVxHlef_ceLya/s1600-h/resolucion_problema_B.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 324px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSftfUO0-RXDuabXGAbeI2bXrlZ5CI5lOdAxwJKIuND9w9Xmsk6vpkzegF7lE1CEvA_ufBROOnOY4i0AHVLcnwYMXZNdHn17eVpqqG74EpNwWd3YmBB-2Ac_C-DCFzt_OBVxHlef_ceLya/s400/resolucion_problema_B.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328701919245391874" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Cuanto más alta sea la velocidad relativa V entre dos marcos de referencia acercándose o alejándose a una velocidad cada vez más cercana a la velocidad de la luz, tanto más se irán cerrando los ejes que corresponden al marco de referencia en movimiento S’ como podemos apreciarlo en el siguiente diagrama espacio-tiempo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCAxdE01kfhu2UT6_5XG_B9CwVBgtJCFNwPcn_lLDgeb4-7qoS8pB0v1IJ1vVprElanMVC0NZrmurrbp5aEa6mVdyC3EDN3BBlsFgwLecugecZyRwKrQ__3BaYSzkxz3Hk3pAno9ku4bxT/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_5.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCAxdE01kfhu2UT6_5XG_B9CwVBgtJCFNwPcn_lLDgeb4-7qoS8pB0v1IJ1vVprElanMVC0NZrmurrbp5aEa6mVdyC3EDN3BBlsFgwLecugecZyRwKrQ__3BaYSzkxz3Hk3pAno9ku4bxT/s400/diagrama_espacio-tiempo_5.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329159657561181810" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En el diagrama espacio-tiempo de arriba, tenemos sobrepuestos a <span style="font-style: italic;">tres</span> observadores, el observador que consideramos estacionario, el observador O’ que se está moviendo a una velocidad relativa V con respecto al observador O, y un tercer observador O’’ que se está moviendo a una velocidad todavía mayor con respecto al observador O. Nótese cómo se van cerrando cada vez más y más los ejes coordenados x-t de un observador móvil conforme va aumentando su velocidad V con respecto al observador estacionario.<br /><br />Cuando se prescinde de un diagrama espacio-tiempo como el caso en el que se vaya a efectuar un cálculo numérico, para la especificación completa de un mismo evento <span style="font-weight: bold;">E</span> cualquiera se deben especificar <span style="font-style: italic;">cuatro</span> coordenadas, las coordenadas (x,t) del evento en el marco de referencia S, y las coordenadas (x’,t’) del evento en el marco de referencia S’, de modo tal que un evento quedará registrado como <span style="font-weight: bold;">E</span>(x,t,x’,t’) en forma completa. Esto es válido para cualquier evento. El único evento que tendrá las mismas coordenadas tanto para S como para S será el que ocurra en el punto común de origen, o sea <span style="font-weight: bold;">E</span>(x,t,x’,t’) = (0,0,0,0). En todos los demás casos las coordenadas diferirán. Sin embargo, al hablar de un evento se está hablando de un mismo y único evento visible para todos los observadores. Cuando un carro choca contra otro, ya sea visto por un observador estacionario o por un observador móvil, no existen dos marcos de referencia distintos en los cuales uno de los carros choque y el otro no. Distintos observadores siempre se podrán poner de acuerdo en un evento específico, cada uno asignándole sus propias coordenadas. En lo que no se podrán poner de acuerdo es en la duración del lapso de tiempo entre dos eventos <span style="font-style: italic;">distintos</span> <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> y en la distancia espacial que separe a dos eventos distintos. Un observador dirá que el lapso de tiempo entre dos eventos <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2 </sub>fue <span style="font-weight: bold;">Δt</span> mientras que el otro dirá que fue <span style="font-weight: bold;">Δt</span><span style="font-weight: bold;">’</span>. Un observador dirá que la distancia espacial entre dos eventos fue <span style="font-weight: bold;">Δx</span> mientras que el otro dirá que fue <span style="font-weight: bold;">Δx</span><span style="font-weight: bold;">’</span>, y en los diagramas de arriba podemos ver por qué no podrán ponerse de acuerdo jamás, a menos de que tomen en cuenta las correciones relativistas.<br /><br />Dado un evento <span style="font-weight: bold;">E</span> cualquiera puesto en un diagrama espacio-tiempo que involucre a dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, las coordenadas del mismo se pueden obtener tanto en un marco de referencia como en el otro trazando desde el evento<span style="font-style: italic;"> líneas paralelas</span> a cada uno de los ejes coordenados respectivos de cada observador, como lo muestra el siguiente diagrama:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnoh2g58qPAnjgKbCDLfVjWC9lQcywJcgb8kf6wcnRxV6ZodwY95MN5eO8p4NYL8vF6IE7xaG2Ks7izb-bmrh86ekvbKs5iOJ6ExNupfpMWvhQ11fTZuzkGU-Zkm_H8jhPeIIbl7Ldo1mq/s1600-h/lectura_de_coordenadas_en_diagrama_de_Minkowski.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnoh2g58qPAnjgKbCDLfVjWC9lQcywJcgb8kf6wcnRxV6ZodwY95MN5eO8p4NYL8vF6IE7xaG2Ks7izb-bmrh86ekvbKs5iOJ6ExNupfpMWvhQ11fTZuzkGU-Zkm_H8jhPeIIbl7Ldo1mq/s400/lectura_de_coordenadas_en_diagrama_de_Minkowski.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334982641124443042" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En el diagrama espacio-tiempo de arriba tenemos un evento <span style="font-weight: bold;">A</span>. Trazando una línea horizontal hacia la izquierda hasta llegar al eje vertical <span style="font-weight: bold;">ct</span> podemos obtener el valor de <span style="font-weight: bold;">ct</span> con lo cual podemos obtener el tiempo, y trazando una línea vertical hacia abajo podemos obtener la coordenada de la distancia <span style="font-weight: bold;">x</span>. Del mismo evento <span style="font-weight: bold;">A</span> podemos hacia la línea <span style="font-weight: bold;">ct’</span> una línea paralela a la coordenada<span style="font-weight: bold;"> x’</span> con lo cual obtenemos el valor de<span style="font-weight: bold;"> ct’</span>, y podemos trazar hacia abajo otra línea paralela a <span style="font-weight: bold;">ct</span> con lo cual obtenemos el valor de<span style="font-weight: bold;"> x’</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener y explicar el efecto relativista de la dilatación del tiempo.</span><br /><br />El análisis se llevará a cabo considerando a nuestro proverbial viajero el cual dentro de un vagón de ferrocarril arroja un rayo de luz hacia arriba desde una linterna, el cual es reflejado por un espejo regresando al punto de partida, mientras que un observador sentado a un lado de las vías del ferrocarril observa al rayo de luz recorrer una trayectoria mayor. En la construcción de cualquier diagrama espacio-tiempo se vuelve necesario identificar claramente los eventos que ocurren. En este caso, nos basta con identificar sobre el diagrama espacio-tiempo dos eventos: el primer evento que llamaremos <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">E</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">1</sub> ocurre cuando el rayo de luz sale de la linterna, y el segundo evento que llamaremos <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">E</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">2</sub> ocurre cuando el rayo de luz regresa reflejado por el espejo al punto desde donde fue lanzado. Ambos eventos ocurren <span style="font-style: italic;">en el mismo lugar</span> para el observador viajero O<span style="font-weight: bold;">’</span>, al cual le asignaremos la coordenada <span style="font-weight: bold;">x</span><span style="font-weight: bold;">’</span> = 0, pero en tiempos diferentes <span style="font-weight: bold;">t</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">t</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>. Una vez localizados ambos eventos en el sistema de referencia S<span style="font-weight: bold;">’</span> de O<span style="font-weight: bold;">’</span>, nos basta con trazar dos líneas horizontales desde las coordenadas (<span style="font-weight: bold;">x</span><span style="font-weight: bold;">’</span>, <span style="font-weight: bold;">t</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>) y (<span style="font-weight: bold;">x</span><span style="font-weight: bold;">’</span>, <span style="font-weight: bold;">t</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>) hacia el eje de tiempos del observador O para obtener las coordenadas correspondientes en el marco de referencia de O de los dos eventos:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibuQdw7dOHAwnFQIENiIjF1Orv0j4zfrxSYns2MhF9vbNX8AnE9UFR4qELcqpkJ2y5X_wwY5VAXiGwx70Vdvi5bs1vf22PvILwDi2YMPsJUDN5L9S0a2FaGZHwkJknyt20TiK16rqxW2GP/s1600-h/diagrama_de_Minkowski_dilatacion_del_tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibuQdw7dOHAwnFQIENiIjF1Orv0j4zfrxSYns2MhF9vbNX8AnE9UFR4qELcqpkJ2y5X_wwY5VAXiGwx70Vdvi5bs1vf22PvILwDi2YMPsJUDN5L9S0a2FaGZHwkJknyt20TiK16rqxW2GP/s400/diagrama_de_Minkowski_dilatacion_del_tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337561663522978898" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Darse cuenta de que efectivamente hay una dilatación del tiempo requiere que pongamos sobre los ejes del diagrama espacio-tiempo divisiones graduadas en los ejes de los tiempos, o sea que llevemos a cabo la <span style="font-style: italic;">calibración de los ejes</span>, lo cual se verá en una entrada posterior. Obsérvese que a diferencia de como sucede con el observador O’, los eventos <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">E</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">1</sub> y <span style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">E</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(204, 51, 204);">2</sub> no sólo ocurren en tiempos diferentes <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>; también ocurren en <span style="font-style: italic;">lugares diferentes</span> <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Ilustrar mediante un diagrama espacio-tiempo el fenómeno de la contracción de longitud sobre una vara de medición, suponiendo que:</span><br /><br /><span style="font-style: italic;">a) El observador en reposo O es el que tiene la vara de medir y el observador O’ es el que la ve pasar frente a él.</span><br /><br /><span style="font-style: italic;">b) El observador en movimiento O</span><span style="font-style: italic;">’ </span><span style="font-style: italic;"> es el que lleva consigo la vara de medir y el observador en reposo O es el que la ve pasar frente a él.</span><br /><br />a) En el primer caso, si el observador en reposo es el que tiene una vara de medir de longitud <span style="font-weight: bold;">L</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub>, las <span style="font-style: italic;">líneas del mundo</span> de los dos extremos de la vara de medir se mantendrán como dos líneas verticales paralelas proyectadas hacia arriba como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdz0mnCMsu8TWXoTHj3qWO0B2Qu_ZRk3J4qI78B_M4JG7RfdgamIfmmPaNH2ZkYdj2xtFaESipK6CPGbcLPseCBzEdT8Wu0J6zA2sNPTjb9aWZjlfLenM-DgydJLgMxg1TOlEOHHwhd5D_/s1600-h/contraccion_relativista_de_longitud_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 389px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdz0mnCMsu8TWXoTHj3qWO0B2Qu_ZRk3J4qI78B_M4JG7RfdgamIfmmPaNH2ZkYdj2xtFaESipK6CPGbcLPseCBzEdT8Wu0J6zA2sNPTjb9aWZjlfLenM-DgydJLgMxg1TOlEOHHwhd5D_/s400/contraccion_relativista_de_longitud_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345810953117288002" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este caso, el observador estacionario O mide para la vara <span style="font-style: italic;">al mismo tiempo t = 0 en su tiempo propio </span>una longitud <span style="font-weight: bold;">L</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub>. Pero el observador móvil O’ mide la coordenada de cada extremo de la vara <span style="font-style: italic;">en tiempos diferentes</span> y concluye que hubo una contracción en la longitud de la vara.<br /><br />b) En el segundo caso, si el observador en movimiento O’ es el que lleva consigo la vara de medir de longitud <span style="font-weight: bold;">L</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub>, las <span style="font-style: italic;">líneas del mundo</span> de los dos extremos de su vara de medir se mantendrán como dos líneas paralelas las cuales a su vez serán paralelas a <span style="font-style: italic;">su</span> eje vertical <span style="font-weight: bold;">ct’</span> como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisBdxCi_MrYytkQ7bV7r1Dh98bh6cHo_vvJRVeCEkoll4I67GbfQZoSOxKXhB7dssuue9HqTi0iPzxu_Gzi7FVfmMZK1_k-yAK8sO7qSDM3PPZ5aithMk3tgaCpkoXy4yr7gKKfjOZ-TjO/s1600-h/contraccion_relativista_de_longitud_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 383px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisBdxCi_MrYytkQ7bV7r1Dh98bh6cHo_vvJRVeCEkoll4I67GbfQZoSOxKXhB7dssuue9HqTi0iPzxu_Gzi7FVfmMZK1_k-yAK8sO7qSDM3PPZ5aithMk3tgaCpkoXy4yr7gKKfjOZ-TjO/s400/contraccion_relativista_de_longitud_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345811233467865874" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este caso, el observador O’ mide para <span style="font-style: italic;">su</span> vara <span style="font-style: italic;">al mismo tiempo t’ = 0 en su tiempo propio </span>una longitud <span style="font-weight: bold;">L</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub>. Pero el observador O mide la coordenada de cada extremo de la vara <span style="font-style: italic;">en tiempos diferentes</span> y concluye por su parte que hubo una contracción en la longitud de la vara.<br /><br />Hemos visto una forma convencional del diagrama espacio-tiempo de Minkowski, pero no es la única manera de construír un diagrama espacio-tiempo. Otra forma de lograrlo es recurriendo a un truco. El truco consiste en que <span style="font-style: italic;">sobre un mismo diagrama</span>, usando <span style="font-style: italic;">el mismo origen</span> para dos observadores distintos que se están moviendo a una velocidad relativa <span style="font-weight: bold;">V</span> el uno con respecto al otro, se tracen <span style="font-style: italic;">dos ejes de espacios correspondiendo a los espacios propios medidos por cada observador, y además se tracen dos ejes de tiempos correspondiendo a los tiempos propios medidos por cada observador, de modo tal que el eje de tiempos de un observador sea perpendicular al eje de espacios del otro observador y que el eje de espacios de dicho observador sea perpendicular al eje de espacios del otro observador</span>. Esto es lo que nos produce esencialmente lo que se llama un <span style="font-weight: bold;">diagrama espacio-tiempo de Loedel</span>, así llamado en referencia a su creador, el físico latinoamericano Enrique Loedel Palumbo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEih4BynvXp0ru-m20dvDITOV_-oag6IMoV915Fe_4w51RccWXok0tmo3Y7yolZG6Xs0barSxEvn6kBjwPTxEz5G8RBcc-Fs9Jl_o7X3afbnVrsGmD0JdodvJ2qBTHK9abjzsERkbm9OGn3K/s1600-h/diagrama_Loedel.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEih4BynvXp0ru-m20dvDITOV_-oag6IMoV915Fe_4w51RccWXok0tmo3Y7yolZG6Xs0barSxEvn6kBjwPTxEz5G8RBcc-Fs9Jl_o7X3afbnVrsGmD0JdodvJ2qBTHK9abjzsERkbm9OGn3K/s400/diagrama_Loedel.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334984363168542370" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El diagrama de Loedel es una modificación con fines didácticos del diagrama espacio-tiempo que fue concebido por Hermann Minkowski.<br /><br />Ahora veremos con mayor detalle el asunto de la simultaneidad, visto desde la óptica de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br />El primer contacto que tienen muchos estudiantes con la explicación de la pérdida de la simultaneidad absoluta se basa en un ejemplo como el siguiente en el cual tenemos a nuestro proverbial pasajero de ferrocarril colocado justo a la mitad de los dos extremos del convoy de vagones. En el marco de referencia S del observador situado a un lado de las vías del ferrocarril justo a la mitad de dos torres de luz se activan en forma sincronizada (al mismo tiempo) dos pulsos luminosos emanados de las dos torres de luz <span style="font-style: italic;">usando relojes sincronizados en el marco de referencia de S para lanzar los pulsos luminosos</span>, en forma tal que el estallido de uno de los pulsos luminosos coincidirá justo con el extremo delantero del ferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con el extremo trasero del ferrocarril:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi0pxGK7uy-cbRg55j0O7QcspDkF5LPHz667XjrSpJkgtv5ixOJHG9-BYAL63nYYSpswF6HD9qMzRBMOx9ew2XFi-L9QtvTlqGsRXCrTlXwtBp_vM6CYrVuxqhQEbUkXVq9c0-RdfbasyL/s1600-h/simultaneidad.gif"><img style="cursor: pointer; width: 320px; height: 253px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi0pxGK7uy-cbRg55j0O7QcspDkF5LPHz667XjrSpJkgtv5ixOJHG9-BYAL63nYYSpswF6HD9qMzRBMOx9ew2XFi-L9QtvTlqGsRXCrTlXwtBp_vM6CYrVuxqhQEbUkXVq9c0-RdfbasyL/s400/simultaneidad.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327563407403998354" border="0" /></a><br /></div><br />El observador estático situado a un lado de las vías del ferrocarril en el marco de referencia S recibe los dos pulsos luminosos al mismo tiempo, y por lo tanto concluye que ambos eventos fueron simultáneos dentro de su marco de referencia. Por su parte, en virtud de que la luz tiene una velocidad finita y en virtud de que el pasajero del ferrocarril está en movimiento rápido, uno de los pulsos luminosos le llega primero que el otro, y el pasajero concluye que los destellos no ocurrieron al mismo tiempo, que no fueron simultáneos, dada la diferencia de tiempos en que tardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataforma móvil, y por lo tanto para él los eventos no son simultáneos en su marco de referencia S’.<br /><br />La anterior es una explicación simplista y en cierta forma errónea porque no toma en cuenta para nada los efectos relativistas de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud. La pérdida en la simultaneidad se debe, según la explicación anterior, a la velocidad finita de la luz. Si no hubiese dilatación del tiempo ni contracción de longitud, si no hubiese relatividad, si existiesen el tiempo absoluto y el espacio absoluto, la pérdida en la simultaneidad sería meramente una ilusión, una pérdida de simultaneidad <span style="font-style: italic;">aparente</span>. La situación actual es más complicada que la descrita en el ejemplo anterior precisamente porque hay efectos relativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud. Efectivamente, hay una diferencia de tiempos en la llegada de los dos pulsos luminosos al viajero en el ferrocarril, pero también hay una pérdida de simultaneidad <span style="font-style: italic;">real</span> que no es ocasionada por la velocidad finita de la luz sino por efectos de índole relativista, y es en este caso en donde los diagramas espacio-tiempo de Minkowski resultan de una ayuda invaluable para entender lo que está sucediendo, permitiéndonos ir más allá de la anterior explicación simplista. Para entender lo que está sucediendo, es necesario identificar a los dos eventos que ocurren simultáneamente en el marco de referencia S como E<sub>1</sub> y E<sub>2</sub> y ver las coordenadas (x’,t’) de cada uno de dichos eventos en el marco de referencia S’.<br /><br />Si dos eventos ocurren al mismo tiempo <span style="font-style: italic;">en el mismo lugar</span> se puede afirmar sin lugar a dudas que ambos eventos son simultáneos. Cuando dos aviones chocan en el aire, no existe marco de referencia alguno en el cual la colisión de ambos aviones no sea simultánea. Pero entre mayor sea la distancia entre dos eventos que ocurren <span style="font-style: italic;">en distintos lugares</span> tanto mayor será la dificultad para los observadores en decidir por cuenta propia el asunto de la simultaneidad.<br /><br />Considérese el siguiente diagrama espacio-tiempo de Minkowski que ilustra la situación de eventos que son simultáneos en un marco de referencia S del observador O y que NO son simultáneos en un marco de referencia S’ del observador O’, así como eventos que son simultáneos en un marco de referencia S’ pero que NO son simultáneos en el marco de referencia S:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKKvmjm_mCWh5JcfYIIn_QQry7W0BelTQc16WIC3stYRlSq0XbU51FlWceKsRmA-q5UQdH0qwaSRGRCncnXZGgc2fe9O0kmDhio_OgtDls1NJSLNQGvStIL0ZF16g3U77M-g46jM_cQqce/s1600-h/eventos_simultaneos.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 347px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKKvmjm_mCWh5JcfYIIn_QQry7W0BelTQc16WIC3stYRlSq0XbU51FlWceKsRmA-q5UQdH0qwaSRGRCncnXZGgc2fe9O0kmDhio_OgtDls1NJSLNQGvStIL0ZF16g3U77M-g46jM_cQqce/s400/eventos_simultaneos.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327574193170485970" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este diagrama, los eventos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> ocurren simultáneamente a un mismo tiempo en el marco de referencia S en dos lugares distintos que podemos identificar como <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>. Pero resulta claro que, relativísticamente hablando, los mismos eventos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia de S’, los cuales podemos ubicar en los tiempos <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">’1</sub> y <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">’2</sub>. <span style="font-style: italic;">Los dos eventos </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">A</span><span style="font-style: italic;"> y </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">B</span> <span style="font-style: italic;">ocurren en <span style="color: rgb(51, 51, 255);">tiempos diferentes</span> en <span style="color: rgb(255, 0, 0);">lugares diferentes</span> para un observador situado en S’</span>. Aquí lo que es simultáneo para S no es simultáneo para S’. Por otro lado, los eventos <span style="font-weight: bold;">C</span> y <span style="font-weight: bold;">D</span> ocurren simultáneamente a un mismo tiempo en el marco de referencia S’ en dos lugares distintos que podemos identificar como <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">’</sub><sub style="font-weight: bold;">3</sub> y <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">’</sub><sub style="font-weight: bold;">4</sub>. Pero resulta claro que, relativísticamente hablando, los mismos eventos <span style="font-weight: bold;">C</span> y <span style="font-weight: bold;">D</span> ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia de S, los cuales podemos ubicar en los tiempos <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">3</sub> y <span style="font-weight: bold;">t</span><sub style="font-weight: bold;">4</sub>. <span style="font-style: italic;">Los dos eventos </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">C</span><span style="font-style: italic;"> y </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">D</span> <span style="font-style: italic;">ocurren en <span style="color: rgb(51, 51, 255);">tiempos diferentes</span> en <span style="color: rgb(255, 0, 0);">lugares diferentes</span> para un observador situado en S</span>. Aquí lo que es simultáneo para S’ no es simultáneo para S. Y en cuanto a los eventos <span style="font-weight: bold;">E</span> y <span style="font-weight: bold;">F</span>, tales eventos no son simultáneos ni para S ni para S’. Todo esto lo podemos ver claramente tal como es en los diagramas espacio-tiempo de Minkowski. Desafortunadamente, aunque estos gráficos son de gran ayuda, no se prestan para cálculos numéricos de precisión, para lo cual tendremos que recurrir a una herramienta algebraica conocida como <span style="font-style: italic;">las ecuaciones de transformación de Lorentz</span>.<br /><br />A continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo que nos ilustrara la falla de la simultaneidad dentro de la Teoría Especial de la Relatividad:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgC8lc56sgwhgfOYjzxuqQtrbB6YNW_NNXBoDXsgOuhmspkowNwvoZz0dQwFYWngoEhL4YXVQeODP3L7XjySmFzJDX6bbbzjdSf_wFYwisXzJJ3S_ciVUWduvcWhALBcqewa33E0eojfh5s/s1600-h/diagrama_de_Minkowski_eventos_simultaneos.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 285px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgC8lc56sgwhgfOYjzxuqQtrbB6YNW_NNXBoDXsgOuhmspkowNwvoZz0dQwFYWngoEhL4YXVQeODP3L7XjySmFzJDX6bbbzjdSf_wFYwisXzJJ3S_ciVUWduvcWhALBcqewa33E0eojfh5s/s400/diagrama_de_Minkowski_eventos_simultaneos.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5324997261669136242" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este diagrama espacio-tiempo, para el observador en el marco de referencia S cuyas coordenadas son (x, ct), dos eventos son simultáneos cuando de acuerdo con su reloj ocurren al mismo tiempo t = t<sub>0</sub> en dos lugares diferentes que podemos identificar simplemente como x<sub>1</sub> y x<sub>2</sub>, marcados por los puntos obscuros que están puestos sobre la línea horizontal que corresponde a un tiempo t = t<sub>0</sub>.<br /><br />Sin embargo, para el otro observador cuyas coordenadas son (x’, ct’), <span style="font-style: italic;">los dos eventos no ocurren simultáneamente</span>,<span style="font-weight: bold;"> ocurre primero uno y después ocurre el otro</span>. En su reloj un evento ocurre primero en el tiempo t’<sub>1</sub> y el otro evento ocurre después en el tiempo t’<sub>2</sub>. <span style="font-style: italic;">Esta anomalía relativista en la simultaneidad es precisamente la que ocasiona los efectos físicos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud</span>. Todas las dificultades para comprender las aparentes paradojas que están detrás de la Teoría Especial de la Relatividad surgen de nuestra renuencia a rechazar de manera definitiva el falso concepto de la simultaneidad absoluta. Si hubiera simultaneidad absoluta, no habría dilatación relativista del tiempo ni contracción de longitud, aunque ello requeriría neceariamente la aceptación del movimiento absoluto, lo cual a estas alturas ya hemos descartado por completo.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener y explicar el efecto relativista de la contracción de longitud.</span><br /><br />Si en lugar de un diagrama espacio-tiempo trazado sobre una hoja hacemos un esfuerzo extra por representar dos coordenadas de la posición (x,y) y la coordenada del tiempo (ct) apuntando esta última hacia arriba, podemos dibujar algo que se conoce como <span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;">superficies de simultaneidad</span> tanto para el observador O en reposo en el marco de referencia S como el observador en movimiento O’ en el marco de referencia S’:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBi4cFPWmYrLgpgHuXHUtpbIMGOgJ-nFgrzVeo67ZoCCO2UcOtz_h8TQ9ZwQpbAYHSwViKa3B71tKBTuUFtodvfZKDXA1SdzxVrFeha6VzGh3jhySlwtzOP4LmAA24KW5WdEMuPmCCieZj/s1600-h/superficies_de_simultaneidad.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 206px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBi4cFPWmYrLgpgHuXHUtpbIMGOgJ-nFgrzVeo67ZoCCO2UcOtz_h8TQ9ZwQpbAYHSwViKa3B71tKBTuUFtodvfZKDXA1SdzxVrFeha6VzGh3jhySlwtzOP4LmAA24KW5WdEMuPmCCieZj/s400/superficies_de_simultaneidad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328703586851341618" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En el diagrama de la izquierda, tenemos dos eventos representados con puntitos rojos que ocurren al mismo tiempo, simultáneamente, en el marco de referencia S del observador O, y tenemos otros dos eventos representados con puntitos amarillos que ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia S’ del observador O’. Pero en el diagrama de la izquierda, los dos eventos representados con puntitos amarillos sí ocurren al mismo tiempo, simultáneamente, en el marco de referencia S’ del observador O’, aunque los eventos representados con puntitos rojos y que eran simultáneos en el marco de referencia S del observador O han dejado de ser simultáneos para el observador O’.<br /><br />La limitante de que ningún objeto puede viajar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz se refleja no tan sólo en un cuadrante del diagrama espacio-tiempo, se refleja en los cuatro cuadrantes, y el “origen” del observador puede no necesariamente coincidir con el origen del diagrama espacio-tiempo que está situado en x = 0 y ct = 0, en virtud de que la fijación de las coordenadas es una mera cuestión de conveniencia:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfiXK8Vq64JWKFt1sLRC1vt8PPBpbFUKJTMDpXt7l6Y9q3rlYwSgZ6Rv-JwuWl7dGkZML1wKecQlmVtFGhnT-haHO1YvxI7MMWG1Q_AxiAOiZhx90TiHhPfI20PvXVbagTHovkMnM8kmN6/s1600-h/cono_de_luz_pasado_y_futuro.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 397px; height: 383px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfiXK8Vq64JWKFt1sLRC1vt8PPBpbFUKJTMDpXt7l6Y9q3rlYwSgZ6Rv-JwuWl7dGkZML1wKecQlmVtFGhnT-haHO1YvxI7MMWG1Q_AxiAOiZhx90TiHhPfI20PvXVbagTHovkMnM8kmN6/s400/cono_de_luz_pasado_y_futuro.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5325020799906753074" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En el diagrama de arriba, tenemos a un cuerpo que al moverse del punto A al punto B se ha movido en línea recta de x<sub>1</sub> = 0.5 metros y x<sub>2</sub> = 0.75 metros a partir de un tiempo t<sub>1</sub> = 0.5 segundos a un tiempo t<sub>1</sub> = 1.75 segundos, siendo por lo tanto su velocidad igual a v = 0.2 c. Puesto que el avance natural del tiempo es siempre hacia arriba, el cuerpo sólo puede desplazarse también junto con el tiempo de abajo hacia arriba, en cualquier trayectoria rectilínea cuya pendiente no exceda la velocidad de la luz, lo cual está marcado por el área punteada. Del punto B hay un conjunto de puntos que marcan el futuro de la posición del cuerpo en el diagrama espacio-tiempo, y hay también un conjunto de puntos que marcan el pasado de la posición del cuerpo en el diagrama espacio-tiempo.<br /><br />No es necesario limitarnos a un diagrama espacio-tiempo de tan sólo dos dimensiones. Podemos agregar una dimensión adicional, como correspondería a la coordenada <span style="color: rgb(255, 0, 0);">y</span> en un plano Cartesiano <span style="color: rgb(255, 0, 0);">x</span>-<span style="color: rgb(255, 0, 0);">y</span>, para tener lo que parece ser un cono dentro del cual están circunscritas las trayectorias posibles de un objeto, llamado <span style="font-weight: bold;">cono de luz</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQKVK15y6ljjSpw5dFbbwn5UAn8PAVRpWH0qgnnTQSNnk83Vr_9kP8MP8z2RrO091bAF8brDD8TEhv69Sp6xpNgrxEIjX0uWZ1kYQYy_uwSJ1A4mkBdMQeriHWL_spuWXuu4Qzfwhw7tV-/s1600-h/trayectorias_rectilineas_posibles_en_el_espacio_tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 311px; height: 359px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQKVK15y6ljjSpw5dFbbwn5UAn8PAVRpWH0qgnnTQSNnk83Vr_9kP8MP8z2RrO091bAF8brDD8TEhv69Sp6xpNgrxEIjX0uWZ1kYQYy_uwSJ1A4mkBdMQeriHWL_spuWXuu4Qzfwhw7tV-/s400/trayectorias_rectilineas_posibles_en_el_espacio_tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5325024367907074082" border="0" /></a><br /></div><br /><br />De este modo, podemos tener las siguientes dos trayectorias rectilíneas posibles en el siguiente diagrama espacio-tiempo tridimensional:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4IiiQdmZ-I2GZBBMJo1fJCySyeIzvBC58jtFGE70cf9lRUWu5JJbAiirILd0Rws8swvzRHPtOq0I32EcPUCmm6X39HoE7EkrzcfrKACzS3CRSOJp6LPhvFVEZ2EdCyGMKCvKRPDtEMQCy/s1600-h/trayectorias_rectilineas_dentro_del_cono.gif"><img style="cursor: pointer; width: 260px; height: 292px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4IiiQdmZ-I2GZBBMJo1fJCySyeIzvBC58jtFGE70cf9lRUWu5JJbAiirILd0Rws8swvzRHPtOq0I32EcPUCmm6X39HoE7EkrzcfrKACzS3CRSOJp6LPhvFVEZ2EdCyGMKCvKRPDtEMQCy/s400/trayectorias_rectilineas_dentro_del_cono.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5325024985604973122" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, podíamos hablar acerca de un “ahora” universal, podíamos hablar acerca de un “pasado” común universal y acerca de un “futuro” común universal, comunes a todos los que habitamos en este Universo, puesto que el tiempo absoluto marchaba al unísono por igual en todo el Universo, sin retrasarse ni adelantarse en ninguno de sus confines:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJ6fad4yqh2dAI_a6axdn5FdJ2-veJZ92LfBy7qWkVRmxbXHY6L1GDq3mWGJmJVz03O8C9TEiBr1ABj84yfL4bZD4NUQx7FV8HfsdrFLCNPZpsVtSCNfdHDZ71l8xtN24BO0xul07J7f48/s1600-h/el_ayer_y_el_hoy_pre-relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 342px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJ6fad4yqh2dAI_a6axdn5FdJ2-veJZ92LfBy7qWkVRmxbXHY6L1GDq3mWGJmJVz03O8C9TEiBr1ABj84yfL4bZD4NUQx7FV8HfsdrFLCNPZpsVtSCNfdHDZ71l8xtN24BO0xul07J7f48/s400/el_ayer_y_el_hoy_pre-relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351010020023292130" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Pero a partir del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, para cada observador hay un “pasado”, un presente y un “futuro”, delimitados por el cono de luz:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhreWLA-j-5vml1VlvwbKHOU5lVRkS8tRgZkeA7E5OzWQK5dzmXz7JJvXU60yFJgA_YZi4aZKu4M2GPqNMQ91yuATpy13YTFn9WmOJb8p17esdRjH5aiTqgAKVYR7zQXrb0COhG70qtRWbP/s1600-h/el_ayer_y_el_hoy_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 397px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhreWLA-j-5vml1VlvwbKHOU5lVRkS8tRgZkeA7E5OzWQK5dzmXz7JJvXU60yFJgA_YZi4aZKu4M2GPqNMQ91yuATpy13YTFn9WmOJb8p17esdRjH5aiTqgAKVYR7zQXrb0COhG70qtRWbP/s400/el_ayer_y_el_hoy_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351011164448517698" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este último diagrama, la línea del mundo (de color verde) corresponde a un observador que está en reposo. El punto en el que se tocan los dos conos de luz que corresponden al “pasado” y al “futuro” del observador viene siendo el “ahora” del observador. Puesto que ningún objeto puede moverse a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, la única forma de poder llegar al “ahora” desde el pasado (suponiendo una línea del mundo con un movimiento rectilíneo) es haciéndolo <span style="font-style: italic;">dentro </span>del cono de luz inferior. Y la única forma de poder llegar a cierto punto del diagrama espacio-tiempo en el “futuro” es estando <span style="font-style: italic;">dentro </span>del cono de luz superior. <span style="font-weight: bold;">Las regiones de espacio-tiempo de color gris en el diagrama de arriba son, por lo tanto, regiones de espacio-tiempo a las que el observador no tiene acceso</span>. Esto fija de manera unívoca todas las relaciones que pueda haber de <span style="font-style: italic;">causa-efecto</span> entre dos observadores. Los únicos eventos que pueden cambiar el estado de un observador o de un objeto en su posición actual en el espacio-tiempo deben estar situados en ó dentro del cono de luz que corresponde a su “pasado”. Y los únicos eventos que pueden ser influenciados por eventos en los que participe un observador o un objeto deben estar situados en ó dentro del cono de luz que corresponde a su “futuro”. De este modo, en el siguiente diagrama espacio-tiempo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjc1vwGKVqKTm51XQkZ4zLEpniHk252AmED3p1u79jEz7rMC3iXIpxXa6m9gqJ4bYXYp5zjFcQ07lnZHUGWhTUylunUDKJwGi2DI22H7hTusCp7ZGNSdGXtmcqisvvP9hDegQpZMWogyh9/s1600-h/causalidad.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 369px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjc1vwGKVqKTm51XQkZ4zLEpniHk252AmED3p1u79jEz7rMC3iXIpxXa6m9gqJ4bYXYp5zjFcQ07lnZHUGWhTUylunUDKJwGi2DI22H7hTusCp7ZGNSdGXtmcqisvvP9hDegQpZMWogyh9/s400/causalidad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351016642778248674" border="0" /></a><br /></div><br /><br />el evento que tuvo lugar en el punto <span style="font-weight: bold;">C</span> pudo muy bien haber cambiado lo que está sucediendo en el “ahora” del observador que se encuentra en el punto <span style="font-weight: bold;">A</span>, y el observador <span style="font-weight: bold;">A</span> puede hacer algo para intervenir sobre lo que sucede en el evento que tiene lugar en el punto <span style="font-weight: bold;">B</span>. Pero no puede hacer nada para modificar lo que ocurra en los eventos <span style="font-weight: bold;">E</span> y <span style="font-weight: bold;">D</span> porque están fuera de su alcance al no poder establecer una comunicación con ellos debido a la limitante absoluta de la velodidad de la luz. Los puntos <span style="font-weight: bold;">E</span> y <span style="font-weight: bold;">D</span> están en<span style="font-weight: bold;"> regiones prohibidas</span>. Cabe aclarar que la línea en el diagrama que corresponde a la coordenada <span style="font-weight: bold;">X</span> no está inclinada como parece estarlo; es una línea perfectamente horizontal como puede comprobarlo el lector en el monitor de su computadora con la ayuda de una hoja de papel. Se trata de una ilusión óptica, como lo es la ilusión del concepto de la simultaneidad absoluta que tanto trabajo le cuesta a muchos estudiantes sepultar.<br /><br />¿Entonces ya no podemos hablar de un pasado común y un futuro común a todos los habitantes del Universo como se acostumbraba hacerlo antes? <span style="font-weight: bold;">Sí</span>, <span style="font-style: italic;">pero desde la perspectiva relativista</span>. En el siguiente diagrama espacio-tiempo tenemos los <span style="font-style: italic;">conos de luz</span> que corresponden no a uno sino a dos eventos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8Aa3l7sYbx40ew13ed8Ed_vH-ue2kL_YiVCFm4zSiqMxCZJjNMnvCsPqkRZbKGRu18A8EVSY3CRchKxEc3p4t0bW7F4zTQmVBEe2V1tMJzaVstWmBCE8bYaOeKDfRFEde_lPVOvedTKhK/s1600-h/el_pasado_y_el_futuro_comun_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 340px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8Aa3l7sYbx40ew13ed8Ed_vH-ue2kL_YiVCFm4zSiqMxCZJjNMnvCsPqkRZbKGRu18A8EVSY3CRchKxEc3p4t0bW7F4zTQmVBEe2V1tMJzaVstWmBCE8bYaOeKDfRFEde_lPVOvedTKhK/s400/el_pasado_y_el_futuro_comun_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351316479041495378" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este diagrama, el “ahora” del evento <span style="font-weight: bold;">A</span> no puede tener efecto alguno sobre el “ahora” del evento <span style="font-weight: bold;">B</span> porque ello requeriría atravesar la zona gris que le está vedada <span style="font-style: italic;">a ambos eventos</span>. Para poder tener efecto alguno sobre el “ahora” de <span style="font-weight: bold;">B</span>, el “ahora” del evento <span style="font-weight: bold;">A</span> debería ser capaz de poder transmitir información al “ahora” del evento <span style="font-weight: bold;">B</span> a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, lo cual es imposible. Sin embargo, ambos conos de luz tienen dos zonas en común, <span style="font-style: italic;">las zonas en las cuales se traslapan los dos conos de luz</span>. La zona común en la cual se traslapan los pasados de ambos, de color rosa, es la zona en la cual ambos eventos pueden intercambiar información que sea capaz de cambiar el “ahora” de cada uno de ellos, es la zona denominada <span style="font-weight: bold;">pasado común</span>. Y la zona común en la cual se traslapan los futuros de ambos, de color azul cielo, es la zona en la cual ambos eventos podrán intercambiar información en su futuro (a menos de que ocurra un cambio en la <span style="font-style: italic;">línea del mundo</span> de uno de ellos o de ambos), es la zona denominada <span style="font-weight: bold;">futuro común</span>. De cualquier manera, y hablando del Universo <span style="font-style: italic;">como un todo</span>, sí podemos hablar de un “ahora” universal que sin embargo no es un “ahora” <span style="font-style: italic;">absoluto</span>, porque en la infinitud de las regiones <span style="font-style: italic;">locales</span> de las que está hecho el Universo habrá variaciones en la marcha del tiempo como las que predice la Teoría de la Relatividad.<br /><br />En los diagramas espacio-tiempo que hemos visto, sólo hemos considerado objetos que mantienen una trayectoria rectilínea a velocidad constante sobre la cual se pueden aplicar los principios propios de la Teoría Especial de la Relatividad. Pero también podemos trazar en un diagrama espacio-tiempo la trayectoria de un objeto que no mantiene una trayectoria rectilínea, que está cambiando constantemente de dirección. Un diagrama tal tendría un aspecto como el siguiente:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicaka0Tn6bUZ60mGkF_z3muN6XXmR6ZkhXDItbWvy5nZ47fOXMKyX6jGsOoVwfLSYcEjr0Zyi9VgbQjvQKOmPkHZDr0uuy8PmC8nECeF2_L-8T1838atHb99xzIDSkZKpAd4TbeR_eb6b9/s1600-h/trayectoria_no-rectilinea_en_espacio-tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 348px; height: 307px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicaka0Tn6bUZ60mGkF_z3muN6XXmR6ZkhXDItbWvy5nZ47fOXMKyX6jGsOoVwfLSYcEjr0Zyi9VgbQjvQKOmPkHZDr0uuy8PmC8nECeF2_L-8T1838atHb99xzIDSkZKpAd4TbeR_eb6b9/s400/trayectoria_no-rectilinea_en_espacio-tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5325017875074134674" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En esta trayectoria tenemos a un viajero que se ha trasladado del punto P al punto Q en un lapso de tiempo Δτ <span style="font-style: italic;">medido en el reloj con el que va viajando el viajero</span>. Este es precisamente el tipo de movimientos que deben caer bajo el ámbito de una teoría expandida para analizar movimientos no-rectilíneos o acelerados, una <span style="font-style: italic;">Teoría General de la Relatividad</span>. La trayectoria de un cuerpo que no avanza en línea recta dentro del cono de luz debe ser tal que la velocidad de la luz nunca debe ser excedida, o sea que la tangente de la curva nunca debe apartarse más de 45 grados del eje vertical que representa a la coordenada del tiempo. A continuación tenemos un ejemplo de un recorrido válido y un recorrido inválido:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcw9slY0fGkGDiU1DcmhqgcJg79CvKirBCXQyu-zhf8mxWgxqyQK86fqJuO_cf22mKqx1DUYTw8yHEgkT8hr5QD98RMNGqqaTsHyCMhP0z2In1wc4ZfhC11IFIpk2_gjx03K3DkhhpLrM9/s1600-h/trayectorias_validas_e_invalidas.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 228px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcw9slY0fGkGDiU1DcmhqgcJg79CvKirBCXQyu-zhf8mxWgxqyQK86fqJuO_cf22mKqx1DUYTw8yHEgkT8hr5QD98RMNGqqaTsHyCMhP0z2In1wc4ZfhC11IFIpk2_gjx03K3DkhhpLrM9/s400/trayectorias_validas_e_invalidas.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326890657144781330" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Obsérvese del diagrama anterior izquierdo cómo el cono de luz es algo que viaja junto con el observador móvil, el cual puede definir en cualquier momento cuál será el instante en que su reloj sea ajustado para marcar el “pasado”, el “futuro” y el “presente” (el instante a partir del cual se empieza a tomar el tiempo para llevar las cuentas de una sucesión de eventos).<br /><br />Partiendo de sus dos postulados, Einstein dedujo correctamente las nuevas leyes para las transformaciones llevadas a cabo entre dos marcos de referencia distintos, formalizadas algebraicamente con las ecuaciones de transformación de Lorentz, pero fue Hermann Minkowski el que demostró que si dejábamos de ver a las tres dimensiones del espacio y a la dimensión del tiempo como entidades separadas y las uníamos geométricamente en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, entonces las transformaciones relativistas podían ser vistas como correspondiendo a <span style="font-style: italic;">rotaciones</span> llevadas a cabo en este espacio-tiempo cuatri-dimensional, lo cual fue una enorme simplificación creando una nueva perspectiva acerca del espacio y del tiempo. Al principio Einstein no dió mucha importancia a la interpretación geométrica de Minkowski, tomándola meramente como una formalidad matemática sin significado físico real, pero eventualmente cambió su actitud adoptando el punto de vista cuatri-dimensional geométrico que después emplearía para la postulación de la Teoría General de la Relatividad.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-77366168122886172102009-03-18T21:45:00.001-07:002009-05-19T11:45:03.978-07:007: Las transformaciones de LorentzConforme nos vamos familiarizando más y más con las consecuencias de los postulados de Einstein, se vuelve deseable obtener fórmulas de carácter general que nos permitan obtener toda la información que describa los eventos analizados por dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, dos observadores situados en dos marcos de referencia distintos S y S' (se acostumbra denotar al observador en reposo como un observador colocado en el marco de referencia S mientras que el observador móvil desplazandose a una velocidad V está puesto en el marco de referencia designado como S’):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj3SDwtojzqjySNZFtgogwQ66ZvIfg1J3daEiB0hBPiiWA1HR0drYnT1VU0tX8j0H6ME5irq3xhibueo6ya7iYPzyQ3crTMxmppxA0HSk97bYA5_KgXGtmVRTTbGgC2Ot2KAkTCvlVFsZs/s1600-h/marcos_de_referencia.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 242px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj3SDwtojzqjySNZFtgogwQ66ZvIfg1J3daEiB0hBPiiWA1HR0drYnT1VU0tX8j0H6ME5irq3xhibueo6ya7iYPzyQ3crTMxmppxA0HSk97bYA5_KgXGtmVRTTbGgC2Ot2KAkTCvlVFsZs/s400/marcos_de_referencia.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319061173300367522" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Tales ecuaciones de transformación de carácter general de un marco de referencia a otro fueron enunciadas por vez primera no por Einstein sino por el físico Lorentz, razón por la cual reciben el nombre de <span style="font-weight: bold;">ecuaciones de transformación de Lorentz</span>.<br /><br />Para la derivación de las ecuaciones de transformación, en ambos marcos de referencia se centrará la atención sobre un <span style="font-style: italic;">evento común</span> descrito por ambas personas, el cual tendrá coordenadas (x,y,z,t) en el marco de referencia S y coordenadas (x’,y’,z’,t’) en el marco de referencia S’:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcfqycENziUQYwLTXyPgzaARbv-x3aO27H1v1L-Mx0i7NHbwTkj3gWAklf8MQeU5h-ISzIGfqmDv4ebndSPGDd9feASvrOW_Rw0pKsdD2KJk3s33n3ei5KZXpJ9NHvZpwjdyyAUl7Q94Yh/s1600-h/evento_comun_en_dos_marcos_de_referencia.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 258px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcfqycENziUQYwLTXyPgzaARbv-x3aO27H1v1L-Mx0i7NHbwTkj3gWAklf8MQeU5h-ISzIGfqmDv4ebndSPGDd9feASvrOW_Rw0pKsdD2KJk3s33n3ei5KZXpJ9NHvZpwjdyyAUl7Q94Yh/s400/evento_comun_en_dos_marcos_de_referencia.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326573562040580162" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Por simplicidad en la derivación de las ecuaciones de transformación, ambos marcos de referencia son seleccionados de modo tal que sus orígenes (el punto O en el marco de referencia de S y el punto O’ en el marco de referencia de S’) coincidan en los tiempos t=0 y t’=0.<br /><br />Supóngase que cuando los orígenes de ambos marcos de referencia coinciden se dispara un pulso de luz en el origen común de ambos. Por el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad, este pulso de luz se propagará con la misma velocidad tanto dentro del marco de referencia S como dentro del marco de referencia S’. Este es precisamente el punto clave para poder obtener la transformación de un marco de referencia a otro, el hecho de que la velocidad de la luz c que debe ser la misma en ambos marcos de referencia, tanto para el marco de referencia S:<br /><br /><div style="text-align: center;">c = x / t<br /><br />x = ct<br /></div><br />como para el marco de referencia S’:<br /><br /><div style="text-align: center;">c = x’ / t’<br /><br />x’ = ct’<br /></div><br />¿Cuál es el tipo de transformación que estamos buscando? Si recordamos la derivación de los resultados preliminares sobre los fenómenos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud, resulta claro que las transformaciones que estamos buscando deben ser transformaciones <span style="font-weight: bold;">lineares</span>. Estando fija la velocidad V a la cual se desplaza el marco de referencia S’, si por la dilatación del tiempo medido en S’ cuando se mide en S requiere de la aplicación de un <span style="font-style: italic;">factor de corrección</span> <span style="font-weight: bold;">constante</span> (esto es, si la velocidad V es tal que cuando un lapso de tiempo medido en S’ es de 10 segundos entonces el lapso de tiempo medido en S es de 15 segundos, con lo cual al mantenerse <span style="font-style: italic;">constante </span>el factor de corrección entonces un lapso de tiempo de 20 segundos medido en S’ equivaldrá a un lapso de tiempo de 30 segundos medido en S del mismo modo que un lapso de tiempo de 30 segundos medido en S’ equivaldrá a un lapso de tiempo de 45 segundos medido en S) el factor de corrección debe ser una simple constante multiplicativa cuyo valor depende únicamente de la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia, la cual suponemos constante. Si el factor de corrección no fuera constante, si la dilatación del tiempo de un marco de referencia a otro no aumentara en forma directamente proporcional entre ellos, entonces la transformación que requeriríamos sería una transformación de carácter no-linear. Esto en lo que concierne a la dilatación del tiempo. Y en lo que concierne a la contracción de longitud, también allí al descubrir el fenómeno de la contracción de longitud encontramos que el factor de corrección requerido era una constante multiplicativa. En ambos casos, necesitamos de transformaciones lineares. Si las transformaciones no fuesen lineares, una longitud x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub> medida en el marco de referencia S dependería de la selección del origen del marco de referencia, y un intervalo de tiempo t<sub>2</sub>-t<sub>1</sub> dependería de cuándo el tiempo fue seleccionado para tener un valor de cero; en cierta forma la no-linearidad nos llevaría de regreso hacia los conceptos del tiempo absoluto y la distancia absoluta. Por otro lado, puesto que el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia S y S’ ocurre únicamente en la dirección de los ejes de las equis (<span style="color: rgb(0, 102, 0); font-weight: bold;">x</span>), las coordenadas <span style="color: rgb(0, 102, 0); font-weight: bold;">y</span> y <span style="color: rgb(0, 102, 0); font-weight: bold;">z</span> deben permanecer iguales, o sea <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">y = y’</span> y <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">z = z’</span>.<br /><br />Cuando ocurre el evento en el cual el pulso luminoso (disparado cuando los orígenes O y O’ de ambos marcos de referencia coincidían) llega al punto P, de acuerdo con la perspectiva del observador en S el marco de referencia móvil S’ se ha desplazado hacia la derecha una distancia de Vt en un tiempo t medido por el observador en S. Pero también desde la perspectiva del observador en S, una vara de medir llevada consigo por S’ a lo largo del eje de las equis (<span style="color: rgb(0, 102, 0); font-weight: bold;">x</span>) se ha contraído por un factor de corrección constante que llamaremos a. Para el observador fijo, por lo tanto, la relación entre su marco de referencia y el marco de referencia móvil debe ser:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>x’ + <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">b</span>t’<br /></div><br /><div style="text-align: center;">x = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>{x’ + (<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">b</span>/<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>} t’<br /></div><br />en donde <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> y <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">b</span> son simples constantes multiplicativas (factores <span style="font-style: italic;">lineares</span> que son independientes de x’ y t’).<br /><br />Así como los fenómenos de la relatividad se vuelven cada vez más evidentes a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, algo que también debe ser cierto es que a bajas velocidades las ecuaciones de transformación que hemos escrito arriba se deben reducir a los resultados clásicos que ya conocemos, las <span style="font-style: italic;">transformaciones de Galileo</span> basadas en la noción del tiempo absoluto y el espacio absoluto:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x - Vt<br /></div><br />En otras palabras, para valores bajos de V/c, <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> debe acercarse a 1 y <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">b</span>/<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> debe acercarse a V, la transformación relativista se debe reducir a la transformación clásica para bajas velocidades de V. Esto nos permite escribir la transformación relativista como:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>{x’ + V<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>t’}<br /></div><br />La <span style="font-style: italic;">transformación inversa</span> debe tener la misma forma, excepto por el cambio de signo involucrado por el hecho de que el marco de referencia S se está desplazando hacia la izquierda mientras que el marco de referencia S’ permanece estático.<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>{x - V<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>t}<br /></div><br />Pero ya se había señalado que, por el segundo postulado de la Teoría de la Relatividad:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = ct<br /><br />x’ = ct’<br /></div><br />Sustituyendo estas dos relaciones tanto en la transformación de S’ a S como en la transformación inversa de S a S’, obtenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">ct = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> ( ct’ + Vt’ )<br /><br />ct = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> ( c + V ) t’<br /></div><br />y:<br /><br /><div style="text-align: center;">ct’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> ( ct - Vt )<br /><br />ct’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> ( c - V ) t<br /></div><br />Eliminando t de ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">ct’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> (c - V ) (1/c) a (c + V) t’<br /><br />c² t’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>² (c² - V² ) t’<br /></div><br />De lo cual obtenemos para a lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>² = c² / (c² - V²)<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>² = 1 / (1 - V²/c² )<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span><br /></div><br />Este resultado nos debería de ser ya familiar. <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> <span style="font-style: italic;">es el mismo factor de corrección</span> γ que <span style="font-style: italic;">habíamos obtenido anteriormente</span>. En pocas palabras, <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a </span>= γ.Con esto:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>γ{x’ + V<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>t’}<br /></div><br />Podemos obtener la ecuación de transformación para el tiempo de la ecuación<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>{x - V<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>t}<br /></div><br />usando<br /><br /><div style="text-align: center;">x = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>{x’ + V<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>t’}<br /></div><br />para t:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> [ <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> (x’ + V<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>t’) - V<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span>t]<br /></div><br />de lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;">t = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>t’ + ( <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> - 1/<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>) (x’/V)<br /><br />t = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> (t’ + Vx’ /c²)<br /></div><br />Resumiendo, y empleando el símbolo γ en lugar de <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span>, para cambiar del marco de referencia S’ que se está <span style="font-style: italic;">moviendo</span> de izquierda a derecha a una velocidad V al marco de referencia S del observador <span style="font-style: italic;">estacionario</span>, las ecuaciones de transformación de Lorentz son:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x = γ(x’ + Vt’)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y = y’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z = z’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t = γ(t’ + Vx’/c²)<br /><br />Podemos obtener la <span style="font-weight: bold;">transformación inversa</span> para cambiar del marco de referencia S al marco de referencia S’ directamente de las anteriores ecuaciones. De la primera ecuación y de la cuarta ecuación, podemos reescribirlas en forma tal que tanto la variable x’ como la variable t’ puedan ser despejadas por medio de ecuaciones simultáneas (por medio de determinantes aplicando la regla de Cramer o cualquier otra técnica matemática del gusto del estudiante):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(0, 153, 0); font-weight: bold;">x</span><span style="color: rgb(0, 153, 0); font-weight: bold;">'</span> + V<span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">t'</span> = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">x</span>/γ<br /><br />(V/c²) <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);">x</span>' + <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">t</span><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">'</span> = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">t</span>/γ<br /></div><br />Es así como obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x’ = γ(x - Vt)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y’ = y<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z’ = z<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t’ = γ(t - Vx/c²)<br /><br />Obsérvese que, exceptuando por la diferencia entre los signos “+” y “-” entre la primera y la cuarta ecuación de ambas transformaciones, ambas transformaciones son completamente simétricas. La diferencia en el signo simplemente indica que mientras que para el observador en S la persona en S’ se está moviendo en una dirección positiva (hacia la derecha), para la persona en S’ el observador en S se está moviendo en sentido contrario, en una dirección negativa (hacia la izquierda).<br /><br />En virtud de que se requiere algo de práctica para poder adquirir cierta destreza en el empleo de las transformaciones de Lorentz para la resolución de problemas, a continuación veremos algunos ejercicios que nos darán una familiaridad en la transformación de coordenadas de un sistema de referencia a otro. Se observará que estas transformaciones de coordenadas no son muy diferentes a las transformaciones (clásicas) de coordenadas de Galileo, excepto que las fórmulas que empleamos aquí se basan en la validez de los dos postulados de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Para un observador O un destello de luz sale del punto x = 100 kilómetros, y = 20 kilómetros, z = 30 kilómetros en un tiempo t = 0.0005 segundo. ¿Cuáles son las coordenadas del evento para un segundo observador O que se mueve con respecto al primero a lo largo del eje común x-x’ a una velocidad de V = -0.8c?</span><br /><br />El factor de corrección en este caso es:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span> = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">(1 - (-0.8)²</span> = 1 / 0.6 = 1.667<br /></div><br />De las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema de referencia S al sistema de referencia S tenemos entonces lo siguiente:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x’ = γ(x - Vt) = (1.667)[100 Km - (-0.8) (3·10<sup>8</sup> m/seg) (5·10<sup>-4</sup> seg)] = 367 Km<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y’ = y = 20 Km<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z’ = z = 30 Km<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t’ = γ(t - Vx/c²) = (1.667)[5·10<sup>-4</sup> seg - (-0.8<span style="color: rgb(255, 0, 0);">c</span>) (100 Km ) /<span style="color: rgb(51, 51, 255);">c²</span> ] = 12.8·10<sup>-4</sup> seg<br /><br />De esta manera, el evento tiene las siguientes coordenadas:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>En S: (x, y, z, t) = (100 Km, 20 Km, 30 Km, 5·10<sup>-4</sup> seg)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>En S’: (x’, y’, z’, t’) = (367 Km, 20 Km, 30 Km, 12.8·10<sup>-4</sup> seg)<br /><br />En la mayoría de los problemas relativistas, más que obtener las coordenadas de un mismo evento visto en dos marcos de referencia distintos, en lo que realmente estamos interesados es en obtener la diferencia entre las coordenadas de dos eventos distintos y comparar dicha diferencia de un marco a otro.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la dilatación del tiempo, especificando las coordenadas de cada evento involucrado en el análisis.</span><br /><br />Es suficiente considerar únicamente dos eventos para la resolución de este problema. El <span style="font-style: italic;">primer evento</span> es aquél en el cual los relojes de S y S’ están el uno frente al otro, sincronizados:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFKCBeEo8idPHHipqGHiR1KPRdKEqEjTpi5g5L2_ArlscAsKiK_wicl7WwGX_4qAg-s5v3cBvc_hLrkkyvkab-uf04UQeABu2OZjMQ_ij4ss3egQLbihIOPOHRm328Jm7-rxpO_vrDOCtx/s1600-h/evento_1_coordenadas_dilatacion_del_tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 121px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFKCBeEo8idPHHipqGHiR1KPRdKEqEjTpi5g5L2_ArlscAsKiK_wicl7WwGX_4qAg-s5v3cBvc_hLrkkyvkab-uf04UQeABu2OZjMQ_ij4ss3egQLbihIOPOHRm328Jm7-rxpO_vrDOCtx/s400/evento_1_coordenadas_dilatacion_del_tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5336954387737385026" border="0" /></a><br /></div><br />El <span style="font-style: italic;">segundo evento</span> es aquél en el cual, de acuerdo con el observador en el sistema S, el reloj en S’ se ha movido de una posición <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">x</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">1</sub> a una posición <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">x</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">2</sub> en su eje de coordenadas:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOdCXzvn0_8xzNTK5ugI02oKXsTCrm6lbsnelmOJSUje5joJHoLP1P22_ziX8m2x-W-32hFJ_PeayT6Wz-hRXZgU2eaQoJXMekgsVwWOhPsNPsGnqLk9MTBzFoqx7r8xgD-1rboWoRXNEq/s1600-h/evento_2_coordenadas_dilatacion_del_tiempo.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 121px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOdCXzvn0_8xzNTK5ugI02oKXsTCrm6lbsnelmOJSUje5joJHoLP1P22_ziX8m2x-W-32hFJ_PeayT6Wz-hRXZgU2eaQoJXMekgsVwWOhPsNPsGnqLk9MTBzFoqx7r8xgD-1rboWoRXNEq/s400/evento_2_coordenadas_dilatacion_del_tiempo.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5336955179577481554" border="0" /></a><br /></div><br />Obsérvese que que para el reloj viajero la coordenada posición <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);">x</span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);">’</span> dentro de <span style="font-style: italic;">su</span> marco de referencia S’ no cambia en lo absoluto, ya que viaja a una velocidad V (con respecto al sistema de referencia S) llevando consigo <span style="font-style: italic;">su</span> sistema de referencia.<br /><br />Sea Δt’ = t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub> el intervalo de <span style="font-style: italic;">tiempo propio</span> medido dentro del marco de referencia S’ <span style="font-style: italic;">en un mismo punto fijo</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub> dentro del marco de referencia S’. El intervalo de tiempo Δt entre los dos eventos que corresponde al marco de referencia S puede ser obtenido de las ecuaciones de transformación de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">t<sub>2</sub> = γ( t’<sub>2</sub> + V x’<sub>2</sub>/c²) = γ( t’<sub>2</sub> + V <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><sub></sub>/c²)<br /><br />t<sub>1</sub> = γ( t’<sub>1</sub> + V x’<sub>1</sub>/c²) = γ( t’<sub>1</sub> + V <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><sub></sub>/c²)<br /><br />Δt = t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub><br /><br />Δt = γ( t’<sub>2</sub> + V <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub>/c²) - γ( t’<sub>1</sub> + V <span style="color: rgb(51, 51, 255);">x’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub>/c²)<br /><br />Δt = γ(t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub>)<br /><br />Δt = γΔt’<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">Este es el fenómeno relativista de la dilatación del tiempo</span>. Hemos obtenido directamente a partir de las transformaciones de Lorentz la relación para la dilatación del tiempo de un reloj. La resolución del problema requirió determinar los eventos sobre los cuales se llevaría a cabo la transformación de las coordenadas. Una vez que se han logrado determinar los eventos, el problema está prácticamente resuelto.<br /><span style="font-weight: bold;"><br />PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la contracción de longitud</span>.<br /><br />Considérese una vara de medición cuyos extremos en el marco de referencia S’ están identificados como x’<sub>2</sub> y x’<sub>1</sub>. La <span style="font-style: italic;">longitud propia</span> L<sub>0</sub> de la vara de medición dentro del marco de referencia S’ será:<br /><br /><div style="text-align: center;">L<sub>0</sub> = x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub><br /></div><br />La longitud de esta vara de medición, medida en el marco de referencia S <span style="font-style: italic;">con ambos extremos medidos en el mismo tiempo</span> <span style="color: rgb(255, 0, 0);">t</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub>, en S será:<br /><br /><div style="text-align: center;">L = x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub><br /></div><br />Usando las relaciones de transformación de Lorentz, tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’<sub>2</sub> = γ(x<sub>2</sub> - Vt<sub>2</sub>) = γ(x<sub>2</sub> - V<span style="color: rgb(255, 0, 0);">t</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><sub></sub><sub></sub>)<br /><br />x’<sub>1</sub> = γ(x<sub>1</sub> - Vt<sub>1</sub>) = γ(x<sub>1</sub> - V<span style="color: rgb(255, 0, 0);">t</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><sub></sub>)<br /></div><br />Por lo tanto:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub> = γ(x<sub>2</sub> - V<span style="color: rgb(255, 0, 0);">t</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub>) - γ(x<sub>1</sub> - V<span style="color: rgb(255, 0, 0);">t</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub>)<br /><br />x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub> = γ(x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>)<br /><br />x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> = (x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub>) /γ<br /><br />L = L<sub>0</sub>/γ<br /></div><br />Este es el fenómeno relativista de la contracción de longitud.<br /><br />Las transformaciones de Lorentz nos preparan para un nuevo efecto relativista que no habíamos encontrado previamente: <span style="font-style: italic;">la desincronización relativista de los relojes</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Considérense dos relojes sincronizados que están puestos en lugares diferentes </span>x’<sub>1 y </sub>x’<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"> dentro del marco de referencia S’ al cual consideramos el marco de referencia móvil. ¿Cuáles serán los tiempos dados por dichos relojes en el tiempo t</span><sub style="font-style: italic;">0</sub><span style="font-style: italic;"> dentro del marco de referencia S?</span><br /><br />En los problemas anteriores, teníamos puestos dos o más relojes sincronizados en el marco de referencia fijo S, pero teníamos puesto un solo reloj en el marco de referencia móvil S. Ahora vamos a complicar un poco más esa situación, con dos relojes colocados en el marco de referencia móvil <span style="font-style: italic;">en lugares diferentes</span>. Supongamos que hay un reloj A puesto en la coordenada x’1 del marco de referencia móvil y otro reloj B puesto en la coordenada x’<sub>2</sub> del mismo marco de referencia.<br /><br />De las ecuaciones de transformación de Lorentz tenemos lo siguiente para dos relojes diferentes puestos en el marco de referencia móvil S’:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’<sub>A</sub> = γ( t<sub>0</sub> + V x<sub>1</sub>/c²)<br /><br />t’<sub>B</sub> = γ( t<sub>0</sub> + V x<sub>2</sub>/c²)<br /></div><br />Entonces los tiempos de los <span style="font-style: italic;">relojes desincronizados</span> dentro el marco de referencia S, relojes de S que están sincronizados en S, estarán relacionados de la manera siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’<sub>A</sub> - t’<sub>B</sub> = γ(x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>)(V/c²)<br /></div><br /><div style="text-align: center;">t’<sub>A</sub> - t’<sub>B</sub> = L<sub>0</sub>V/c²<br /></div><br />en donde L<sub>0</sub> = γ(x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>) = x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub> es la <span style="font-style: italic;">distancia propia</span> entre los dos relojes situados dentro del marco de referencia S’.<br /><br />Este resultado que acabamos de obtener tiene implicaciones mucho más profundas de lo que aparentan a primera vista. <span style="font-weight: bold;">Dos relojes separados por una distancia L</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub><span style="font-weight: bold;"> y sincronizados dentro del marco de referencia en el que se encuentran se verán desincronizados en un marco de referencia S’ en el que se estén moviendo a una velocidad V, con el reloj perseguidor retrasado por un tiempo L</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub><span style="font-weight: bold;">V/c²</span>. Esto significa que <span style="font-style: italic;">dos eventos diferentes que ocurran a un mismo tiempo en un marco de referencia S’ ocurrirán en tiempos diferentes para en un marco de referencia S</span>. En efecto, dos eventos diferentes que sean simultáneos dentro de un marco de referencia S <span style="font-style: italic;">no serán simultáneos</span> para un observador que viaje en un marco de referencia S’ del mismo modo que dos eventos diferentes que sean simultáneos dentro de un marco de referencia S’ no serán simultáneos para un observador que viaje en un marco de referencia S. Esto nos confirma algebraicamente lo que ya habíamos visto geométricamente en nuestra introducción a los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, el hecho de que, relativísticamente hablando, <span style="font-weight: bold;">no existe la simultaneidad absoluta</span>. La falta plena de entendimiento de este hecho es lo que dá pie a falsos razonamientos que conducen a paradojas y confusiones entre quienes empiezan sus estudios de relatividad por vez primera.<br /><br />Los problemas relativistas de contracción de longitud en los que todo se resuelve con la simple aplicación de la fórmula L = L<sub>0</sub>√<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span> son problemas sencillos que involucran meramente una separación <span style="font-style: italic;">espacial</span> de las coordenadas, mientras que los problemas relativistas en los que simplemente se busca una dilatación del tiempo son problemas sencillos que involucran meramente una separación <span style="font-style: italic;">temporal</span> de las coordenadas. Es importante establecer claramente la diferencia profunda entre el concepto de la “separación espacial de las coordenadas” y “longitud”. Un error común en la solución de problemas consiste en simplemente multiplicar o dividir un determinado intervalo espacial por el término √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span>. Esta aproximación es válida si se trata de hallar relaciones entre longitudes, entendiéndose por longitud algo como x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>. Sin embargo, si se trata de un intervalo espacial entre dos acontecimientos <span style="font-style: italic;">que no tienen lugar simultáneamente</span>, la respuesta se obtiene utilizando la técnica de substracción en coordenadas de Lorentz y no multiplicando o dividiendo la expresión espacial original por √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span>. Del mismo modo, si los observadores O y O’ miden la separación temporal entre dos acontecimientos que para ambos observadores tienen lugar <span style="font-style: italic;">en diferentes sitios</span>, estas separaciones temporales no se relacionan simplemente multiplicando o dividiendo por √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span>. La resolución de los siguientes problemas hará más claro lo que se acaba de afirmar, y será obvio que no basta con simplemente multiplicar o dividir por el término √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span> para resolver problemas relativistas. <span style="font-style: italic;">Es necesario aplicar las transformaciones de Lorentz</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Para un observador O, dos acontecimientos están separados en el espacio y en el tiempo por 600 metros y por 8·10</span><sup style="font-style: italic;">-7</sup><span style="font-style: italic;"> segundo. ¿Con qué velocidad debe moverse un observador O’ con respecto a O para que los acontecimientos aparezcan simultáneos a O’?</span><br /><br />Establecemos la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’ = γ(t - Vx/c²)<br /></div><br />La diferencia de tiempos será:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub> = γ(t<sub>2</sub> - Vx<sub>2</sub>/c²) - γ(t<sub>1</sub> - Vx<sub>1</sub>/c²)<br /></div><br />Para que los dos acontecimientos aparezcan simultáneos a , se requiere que t’<sub>2</sub> = t’<sub>1</sub>. Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">0 = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">γ</span>(t<sub>2</sub> - Vx<sub>2</sub>/c²) - <span style="color: rgb(255, 0, 0);">γ</span>(t<sub>1</sub> - Vx<sub>1</sub>/c²)<br /><br />t<sub>2</sub> - <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>t<sub>1</sub> = V/c² (x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>)<br /><br />8·10<sup>-7</sup> segundo = (V/c) (600 metros/3·10<sup>8</sup> m/seg)<br /><br />V/c = 0.4<br /><br />V = 0.4 c<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un tren de media milla de longitud (medida por un observador que viaja dentro del tren) se mueve a 100 millas/hora. Dos destellos de luz inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador en tierra. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre estos eventos para un observador </span><span style="font-style: italic;">O’ </span><span style="font-style: italic;">que viaja en el tren?</span><br /><br />Supongamos que para el observador O en tierra se asignan las coordenadas (<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">x</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">1</sub>, <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">t</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">1</sub>) y <span style="font-weight: bold;">(</span><span style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">x</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">2</sub>, <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">t</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">2</sub>) a los dos eventos, mientras que para el viajero O’ que va en el tren las coordenadas correspondientes de los dos eventos son (<span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">x’</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">1</sub>, <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">t’</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">1</sub>) y (<span style="color: rgb(0, 102, 0); font-weight: bold;">x’</span><sub style="color: rgb(0, 102, 0); font-weight: bold;">2</sub>, <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">t’</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(0, 102, 0);">2</sub>). Entonces la situación es la siguiente<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7b5bt3JoZnmxtj7FcVGVjlBLLGS223Dy9vr7nnJAA6sgL2JdyNz9H2HiIVTmpdHh05Nl2VmCsT-4I0xf1Gl-IA3XFpU6uxCpGVFBFaJFhdNHoxXjh7HfDF6mJWXzuC4WAEruhd0yJYJeY/s1600-h/transformacion_de_coordenadas_de_eventos_simultaneos.png"><img style="cursor: pointer; width: 396px; height: 309px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7b5bt3JoZnmxtj7FcVGVjlBLLGS223Dy9vr7nnJAA6sgL2JdyNz9H2HiIVTmpdHh05Nl2VmCsT-4I0xf1Gl-IA3XFpU6uxCpGVFBFaJFhdNHoxXjh7HfDF6mJWXzuC4WAEruhd0yJYJeY/s400/transformacion_de_coordenadas_de_eventos_simultaneos.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337279956236824818" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Convertimos primero las millas por hora a millas por segundo tanto para la velocidad del tren como para la velocidad de la luz tomando en cuenta que una milla equivale a 1.609 kilómetros:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = (100 millas/hora) (1 hora / 3600 segundos) = 2.78·10<sup>-2</sup> millas/segundo<br /><br />c = 3·10<sup>8</sup> m/seg/(1 milla/1609 metros) = 1.86·10<sup>5</sup> millas/segundo<br /></div><br />Para este problema:<br /><br /><div style="text-align: center;">V/c = (2.78·10<sup>-2</sup> millas/segundo) /(1.86·10<sup>5</sup> millas/segundo) = 1.495·10<sup>-7</sup><br /></div><br />y el factor γ = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span> para fines prácticos lo podemos tomar como igual a la unidad.<br /><br />Establecemos ahora la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación de Lorentz para pasar del sistema de referencia S’ al sistema de referencia S:<br /><br /><div style="text-align: center;">t = γ(t’ + Vx’ /c²)<br /></div><br />La diferencia de tiempos entre los dos acontecimientos (los dos destellos de luz) de acuerdo con el observador S será:<br /><br /><div style="text-align: center;">t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = <span style="color: rgb(0, 102, 0);">γ </span>( t’<sub>2</sub> + V x’<sub>2</sub>/c²) - <span style="color: rgb(0, 102, 0);">γ </span>( t’<sub>1</sub> + V x’<sub>1</sub>/c²)<br /><br />t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = <span style="color: rgb(0, 102, 0);"></span>(t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub>) + <span style="color: rgb(0, 102, 0);"></span> (V/c²) (x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub>)<br /></div><br />Si los dos destellos inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador en tierra (ocurriendo al mismo tiempo) entonces t<sub>1</sub> = t<sub>2</sub> y:<br /><br /><div style="text-align: center;">0 = (t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub>) + {(2.78·10<sup>-2</sup> milla/seg) / (1.86·10<sup>5</sup> millas/seg)² } (0.5 milla)<br /></div><br /><div style="text-align: center;">t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub> = - 4.02·10<sup>-3</sup> segundo<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>(¡Obsérvese el signo menos!)<br /></div><br />El signo menos obtenido en la respuesta nos indica que para el observador viajero que va en el tren el acontecimiento 1 (en el punto <span style="font-weight: bold;">A</span> en la figura) ocurre <span style="font-style: italic;">después</span> que el acontecimiento 2 (en el punto <span style="font-weight: bold;">B</span> en la figura).<br /><br />Anteriormente al estudiar los diagramas espacio-tiempo de Minkowski ya habíamos hablado acerca de la introducción típica con la que varios textos presentan la ausencia de simultaneidad entre dos eventos, con un marco de referencia S de un observador situado a un lado de las vías del ferrocarril justo a la mitad de dos torres de luz que se activan en forma sincronizada (al mismo tiempo) emitiendo dos pulsos luminosos de las dos torres de luz usando relojes sincronizados en el marco de referencia de S para lanzar los pulsos luminosos en forma tal que el estallido de uno de los pulsos luminosos coincide justo con el extremo delantero del ferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con el extremo trasero del ferrocarril:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi0pxGK7uy-cbRg55j0O7QcspDkF5LPHz667XjrSpJkgtv5ixOJHG9-BYAL63nYYSpswF6HD9qMzRBMOx9ew2XFi-L9QtvTlqGsRXCrTlXwtBp_vM6CYrVuxqhQEbUkXVq9c0-RdfbasyL/s1600-h/simultaneidad.gif"><img style="cursor: pointer; width: 320px; height: 253px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi0pxGK7uy-cbRg55j0O7QcspDkF5LPHz667XjrSpJkgtv5ixOJHG9-BYAL63nYYSpswF6HD9qMzRBMOx9ew2XFi-L9QtvTlqGsRXCrTlXwtBp_vM6CYrVuxqhQEbUkXVq9c0-RdfbasyL/s400/simultaneidad.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327563407403998354" border="0" /></a><br /></div><br />De acuerdo con la explicación que dan en dichos libros, el observador en tierra situado a un lado de las vías del ferrocarril en el marco de referencia S recibe los dos pulsos luminosos al mismo tiempo, y por lo tanto concluye que ambos eventos fueron simultáneos dentro de su marco de referencia, pero a causa de la velocidad finita de la luz y en virtud de que el pasajero del ferrocarril está en movimiento, uno de los pulsos luminosos le llega primero que el otro, y el pasajero concluye que los destellos no ocurrieron al mismo tiempo, que no fueron simultáneos, dada la diferencia de tiempos en que tardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataforma móvil, y por lo tanto para él los eventos no son simultáneos en su marco de referencia S’. <span style="font-weight: bold;">Sin embargo</span>, ya se había señalado que esta explicación es una explicación simplista y en cierta forma errónea porque no toma en cuenta para nada los verdaderos efectos relativistas de pérdida de simultaneidad que hemos visto arriba, y como acabamos de ver en los problemas que se han resuelto la pérdida en la simultaneidad no se debe simplemente a la velocidad finita de la luz. Efectivamente, hay una diferencia de tiempos en la llegada de los dos pulsos luminosos al observador viajero que está en el ferrocarril, pero también hay una pérdida de simultaneidad <i>real</i> que no es ocasionada por la velocidad finita de la luz sino por efectos de índole relativista, y para poder calcular numéricamente ésta pérdida relativista de simultaneidad es necesario identificar a los dos <span style="font-style: italic;">eventos</span> que ocurren simultáneamente en el marco de referencia S y calcular las coordenadas (x’,t’) de cada uno de dichos eventos (o mejor dicho, las diferencias entre las coordenadas) para S’ de acuerdo con las transformaciones de Lorentz. Si queremos agregarle a todo esto lo que el viajero situado a la mitad de los vagones del ferrocarril <span style="font-style: italic;">ve</span> entonces tenemos que llevar a cabo cálculos adicionales en base a la velocidad finita de la luz, lo cual viene a complicar el problema. Si el viajero pudiese estar mágicamente<span style="font-style: italic;"> al mismo tiempo</span> en ambos extremos del tren por algún milagro de ubicuidad (como el que se le atribuye a algunos santos) de modo tal que la luz de ambos destellos no tenga que recorrer ni siquiera un milímetro para que el viajero los vea justo cuando ocurren frente a él, <span style="font-style: italic;">de cualquier manera vería a un destello ocurrir antes que el otro</span>, y la diferencia de tiempos entre ambos acontecimientos sería la misma predicha por las transformaciones de Lorentz. Esto ya no tiene nada que ver con el tiempo finito de la velocidad de la luz sino con el hecho de que <span style="font-weight: bold;">relojes que están sincronizados en un marco de referencia se salen fuera de sincronía en otro marco de referencia porque el tiempo no es absoluto</span>. Hay una distinción bastante clara entre <span style="font-style: italic;">ver</span> un acontecimiento y medir las coordenadas del mismo, del mismo modo que hay una distinción bastante clara entre <span style="font-style: italic;">ver</span> dos acontecimientos que nos parecen o no nos parecen ser simultáneos y <span style="font-style: italic;">medir</span> la pérdida de simultaneidad a causa de los efectos relativistas.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: (a)<span style="font-style: italic;"> Un observador O’ se mueve con una velocidad V = 0.8c respecto a otro observador O. Los relojes se ajustan de tal manera que t = t’ = 0 en x = x’ = 0. Si para O un destello de luz sale en x = 50 metros y t = 2·10</span><sup style="font-style: italic;">-7</sup><span style="font-style: italic;"> segundo, ¿cuál es el tiempo de este acontecimiento medido por O</span><span style="font-style: italic;">’ </span><span style="font-style: italic;">? </span>(b)<span style="font-style: italic;"> Si un segundo destello aparece en x’ = 10 metros y t’ = 2·10</span><sup style="font-style: italic;">-7</sup><span style="font-style: italic;"> segundo para el observador O’, ¿cuál será el intervalo de tiempo entre los dos acontecimientos medido por O? </span>(c)<span style="font-style: italic;"> ¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por O’? </span>(d)<span style="font-style: italic;"> ¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por O?</span><br /><br />(a) Este parte del problema involucra una transformación a una coordenada de tiempo t’ que se lleva a cabo en forma directa con una de las ecuaciones de transformación de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’ = γ(t - Vx/c²)<br /></div><br />La evaluación de γ nos dá:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V²/c²)</span> = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">(1 - (0.8)</span> = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">0.36</span> = 1/0.6 = 1.667<br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’ = (1.667) [2·10<sup>-7</sup> segundo - (0.8c) (50 metros)/c² ]<br /><br />t’ = (1.667) [[2·10<sup>-7</sup> segundo - 1.333·10<sup>-7</sup> segundo] = 1.11·10<sup>-7</sup> segundo<br /></div><br />(b) Para un segundo destello de luz, identificamos sus coordenadas en S’ como (x’<sub>2</sub>, t’<sub>2</sub>) = (10 m, 2·10<sup>-7</sup> segundo). El intervalo de tiempo t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> entre los dos acontecimientos medido por O estará dado por:<br /><br /><div style="text-align: center;">t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = γ( t’<sub>2</sub> + V x’<sub>2</sub>/c²) - γ( t’<sub>1</sub> + V x’<sub>1</sub>/c²)<br /><br />t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = γ(t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub>) + γ (V/c²) (x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub>)<br /><br />t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = γ [(t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub>) + γ (V/c²) (x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub>)]<br /></div><br />Tenemos el tiempo t’<sub>1</sub> del primer acontecimiento (destello) medido por O’ que es el que acabamos de obtener arriba, 1.11·10<sup>-7</sup> segundo, y tenemos la coordenada espacial x’<sub>2</sub> del segundo acontecimiento. Pero no tenemos aún la coordenada espacial x’<sub>1</sub> del primer acontecimiento, la cual tenemos que calcular antes de poder seguir adelante:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’<sub>1</sub> = γ (x<sub>1</sub> - Vt<sub>1</sub>)<br /><br />x’<sub>1</sub> = (1.667) [50 metros - (0.8c) (2·10<sup>-7</sup> segundo<sub></sub>)]<br /><br />x’<sub>1</sub> = (1.667) [50 metros - 48 metros]<br /><br />x’<sub>1</sub> = 3.33 metros<br /></div><br />Tenemos ya todos los datos que requerimos para seguir adelante:<br /><br /><div style="text-align: center;">t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = (1.667) [(2·10<sup>-7</sup> segundo<sub></sub> - 1.11·10<sup>-7</sup> segundo)<br />+ (1.667) (0.8/c) (10 metros - 3.33 metros)]<br /><br />t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = 1.48·10<sup>-7</sup> segundo + 0.296·10<sup>-7</sup> segundo<br /><br />t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = 1.78·10<sup>-7</sup> segundo<br /></div><br />(c) Teniendo x’<sub>1</sub> y x’<sub>2</sub>, la evaluación de x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub> es directa:<br /><br /><div style="text-align: center;"> x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub> = 10 metros - 3.33 metros = 6.67 metros<br /></div><br />(d) Recurrimos nuevamente a las transformaciones de Lorentz para encontrar la diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientos en S cuando se conoce la diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientos en S’:<br /><br /><div style="text-align: center;">x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> = γ (x’<sub>2</sub> + Vt’<sub>2</sub>) - γ (x’<sub>1</sub><sub></sub> + Vt’<sub>1</sub><sub></sub>)<br /><br />x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> = γ (x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub>) + γV (t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub>)<br /><br />x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> = (1.667) [6.67 metros + (0.8) (3·10<sup>8</sup> m/seg) (2·10<sup>-7</sup> seg - 1.11·10<sup>-7</sup> seg)]<br /><br />x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> = 11.11 metros + 35.60 metros = 46.7 metros<br /></div><br />Repasando la relación:<br /><br /><div style="text-align: center;">t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub> = γ(t’<sub>2</sub> - t’<sub>1</sub>) + γ (V/c²) (x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub>)<br /></div><br />se concluye que si dos acontecimientos son simultáneos para O (lo cual requiere t<sub>1</sub> = t<sub>2</sub>) no pueden ser simultáneos para O’ ; esto es imposible. Y si dos acontecimientos son simultáneos para O’ (lo cual requiere t’<sub>1</sub> = t’<sub>2</sub>) no pueden ser simultáneos para O. Esto ya lo habíamos visto <span style="font-style: italic;">geométricamente</span> al estudiar los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, y lo comprobamos ahora<span style="font-style: italic;"> algebraicamente</span> con las ecuaciones de transformación de Lorentz.<br /><br />Las ecuaciones de transformación de Lorentz, aplicadas bajo el contexto de la Teoría Especial de la Relatividad, aparecen publicadas en el primer trabajo de Einstein en el que expuso los conceptos de dicha teoría (el cual es reproducido en su versión inglesa en un apéndice puesto al final de esta obra):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsxE1fPich8-Y_z8sIPzVdd48Jpb5KCnOOavrOvx6ALEUhbf6jZZ_nrVR5PMrFjn_OQDXbSkyhyphenhyphen_Mc14UFspjzRLeVgMKwoIm5abyOGJN1g9qwcURXHnRFhUAZiG1Y4cWTnJXSuXTlP8yB/s1600-h/pagina_del_trabajo_introductorio_de_la_teoria_especial_de_la_relatividad.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 274px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsxE1fPich8-Y_z8sIPzVdd48Jpb5KCnOOavrOvx6ALEUhbf6jZZ_nrVR5PMrFjn_OQDXbSkyhyphenhyphen_Mc14UFspjzRLeVgMKwoIm5abyOGJN1g9qwcURXHnRFhUAZiG1Y4cWTnJXSuXTlP8yB/s400/pagina_del_trabajo_introductorio_de_la_teoria_especial_de_la_relatividad.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328399540218056242" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Posiblemente haya quien se pregunte aquí por qué son llamadas ecuaciones de transformación de Lorentz y no ecuaciones de transformación de Einstein. Esto se debe a que, si bien fue Einstein quien generalizó estas ecuaciones de transformación derivándolas de los dos postulados sobre los cuales está fundada la Teoría Especial de la Relatividad, el holandés Hendrik Antoon Lorentz se le adelantó publicándolas primero, pero no aplicadas a los fenómenos propios de la mecánica sino de la electrodinámica, y ello sin suponer efectos relativistas, sino meramente como un esquema ingenioso de simplificación matemática para hacer valer las ecuaciones de Maxwell dándoles cierta cualidad de invariancia. El mérito de Einstein fue el haberles dado a estas ecuaciones de transformación un carácter universal, general, aplicable no sólo a la electrodinámica sino a toda la mecánica, derivándolas no de consideraciones hechas sobre fenómenos propios de la teoría del electromagnetismo, sino de los dos postulados básicos.<br /><br />En la resolución de muchos problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, conviene resolverlos tanto <span style="font-style: italic;">algebraicamente</span> con las ecuaciones de transformación de Lorentz como representarlos <span style="font-style: italic;">geométricamente</span> con los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, conviene recurrir a ambos métodos que se complementan formidablemente el uno al otro y nos dan una mejor idea de lo que está sucediendo.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-39532749982053279342009-03-18T21:43:00.000-07:002009-09-12T20:17:00.093-07:008: Representaciones matricialesLas transformaciones de Lorentz, siendo transformaciones<span style="font-style: italic;"> lineares</span>, se prestan admirablemente para ser manejadas a través de las herramientas más fundamentales del <span style="font-style: italic;">álgebra lineal</span>, las <span style="font-weight: bold;">matrices</span>, esos arreglos rectangulares de números:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqend9QqW4tcl1-njHVBYRUPGzQwf16I9BOI78HorKg_YsaQnYesBq8nl_OwSCNL-7jEJE0-gs84OM3jzyh0wQwL-WDg0KKxiktcr31C7BjK13wuADNwW35Y8Hqq7ZafsMgd6IXFbXW1O/s1600-h/matriz_cuadrada_3x3.png"><img style="cursor: pointer; width: 157px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqend9QqW4tcl1-njHVBYRUPGzQwf16I9BOI78HorKg_YsaQnYesBq8nl_OwSCNL-7jEJE0-gs84OM3jzyh0wQwL-WDg0KKxiktcr31C7BjK13wuADNwW35Y8Hqq7ZafsMgd6IXFbXW1O/s400/matriz_cuadrada_3x3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327923860630957938" border="0" /></a><br /></div><br />que resumen la transformación que será llevada a cabo de un sistema de coordenadas a otro.<br /><br />Primero que nada, empecemos por visualizar a las cuatro variables (x,y,z,t) como un <span style="font-weight: bold;">vector</span> <span style="font-style: italic;">en cuatro dimensiones</span>. Este vector tendría una representación en la forma de un <span style="font-weight: bold;">vector renglón </span>como la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:180%;">[x<span style="color: rgb(255, 255, 255);">_</span>y</span><span style="font-size:180%;"><span style="color: rgb(255, 255, 255);">_</span></span><span style="font-size:180%;">z</span><span style="font-size:180%;"><span style="color: rgb(255, 255, 255);">_</span></span><span style="font-size:180%;">t]</span><br /></div><br />En realidad, este vector es una matriz que consta de un renglón y cuatro columnas, o sea es una matriz 1x4.<br /><br />La representación matricial anterior dada a las cuatro variables de las ecuaciones de transformación de Lorentz adolece de un defecto: revuelve peras con manzanas. En efecto, las coordenadas <span style="color: rgb(255, 0, 0);">x</span>, <span style="color: rgb(255, 0, 0);">y</span> y <span style="color: rgb(255, 0, 0);">z</span> son longitudes medidas en<span style="font-style: italic;"> metros</span>, mientras que la cuarta coordenada es una dimensión medida en <span style="font-style: italic;">segundos</span>. Pero esto tiene un remedio fácil, ya que todo lo que tenemos que hacer es multiplicar la cuarta coordenada por la constante universal absoluta que es la velocidad de la luz, por <span style="font-weight: bold;">c</span>, con lo cual obtenemos la coordenada <span style="font-weight: bold;">ct</span> que también está expresada en metros. De este modo, tenemos un vector renglón en el que todos sus componentes son peras (o manzanas):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:180%;">[x<span style="color: rgb(255, 255, 255);">_</span>y</span><span style="font-size:180%;"><span style="color: rgb(255, 255, 255);">_</span></span><span style="font-size:180%;">z</span><span style="font-size:180%;"><span style="color: rgb(255, 255, 255);">_</span></span><span style="font-size:180%;">ct]</span><br /></div><br />Repasemos ahora las ecuaciones de transformación de Lorentz:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x = γ(x’ + Vt’)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y = y’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z = z’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t = γ(t’ + Vx’/c²)<br /><br />A continuación reescribiremos estas ecuaciones de transformación para preparar el sistema para su representación matricial, multiplicando la cuarta coordenada (la del tiempo) por la constante absoluta universal que es la velocidad de la luz <span style="font-weight: bold;">c</span> con la finalidad de que el vector de cuatro componentes a ser transformado de un sistema de referencia a otro contenga las cuatro coordenadas en dimensiones de metros:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’ + <span style="color: rgb(51, 102, 255);">γ(V/c)</span> ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>γx’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">1</span>y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>(V/c) ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>γx’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">1</span>z’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>(V/c) ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>ct = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ(V/c)</span> x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>cy’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>cz’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>ct’<br /><br />Para aquellos con alguna experiencia previa en matrices el arreglo rectangular de la representación matricial requerida casi salta a la vista, ya que lo que queremos es convertir el vector [x’, y’, z’, ct’] al vector [x, y, z, ct], o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">[x’, y’, z’, ct’] → [x, y, z, ct]</span><br /></div><br />Si hacemos las siguientes designaciones:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">A = [x, y, z, ct]</span><br /><br /><span style="font-size:130%;">A</span><span style="font-size:130%;">’</span><span style="font-size:130%;"> = [x</span><span style="font-size:130%;">’</span><span style="font-size:130%;">, y</span><span style="font-size:130%;">’</span><span style="font-size:130%;">, z</span><span style="font-size:130%;">’</span><span style="font-size:130%;">, ct</span><span style="font-size:130%;">’</span><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />entonces lo que estamos buscando es un operador <span style="font-weight: bold;">Λ</span> que aplicado sobre el vector <span style="font-weight: bold;">A</span> lo transforme al vector <span style="font-weight: bold;">A</span><span style="font-weight: bold;font-size:130%;" >’</span>. En notación matricial (el operador usualmente se escribe a la izquierda del operando sobre el cual actúa, aunque hay algunos textos en los que por la falta de una convención universal se escribe primero el operando que va a ser transformado e inmediatamente después el operador que llevará a cabo la transformación) esto se representa con la siguiente ecuación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">A = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span>A’</span><br /></div><br />Obsérvese que para representar al operador matricial propio de las transformaciones de <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">L</span>orentz estamos utilizando la letra griega <span style="font-style: italic;">lambda</span> (<span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span>) cuyo equivalente latino es la letra <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">L</span>.<br /><br />Tomando en cuenta la forma en la cual se lleva a cabo la multiplicación de dos matrices <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> (cada elemento en el renglón <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">i</span> y en la columna <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">j</span> de la matriz resultante <span style="font-weight: bold;">C</span> se puede obtener de la suma de los productos apareados respectivos de los elementos de la matriz <span style="font-weight: bold;">A</span> del lado izquierdo a los cuales apunta horizontalmente el dedo índice de la mano izquierda en el renglón <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-style: italic;">i</span> por los elementos de la matriz <span style="font-weight: bold;">B</span> del lado derecho a los cuales apunta verticalmente el dedo índice de la mano derecha en la columna <span style="font-style: italic; color: rgb(51, 51, 255);">j</span>):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0Q3uZms8TwG2A53SqymiY_XBPGUeQrl8Uhy4n65eaa8ITeDJ4__iBEsiHNTU5yH7XBiXAcVmVQIvjXiedEXAyAgY-3f6pzUcIHaZK8Jp5ayzmXdnR9MXSN-t7A8rOWZRoc35FESKWKx25/s1600-h/multiplicacion_de_matrices.png"><img style="cursor: pointer; width: 380px; height: 296px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0Q3uZms8TwG2A53SqymiY_XBPGUeQrl8Uhy4n65eaa8ITeDJ4__iBEsiHNTU5yH7XBiXAcVmVQIvjXiedEXAyAgY-3f6pzUcIHaZK8Jp5ayzmXdnR9MXSN-t7A8rOWZRoc35FESKWKx25/s400/multiplicacion_de_matrices.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327931896134874610" border="0" /></a><br /></div><br />determinamos de inmediato que las operaciones matriciales de transformación, representando a los vectores <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">A</span><span style="font-weight: bold;">’</span> como <span style="font-weight: bold;">vectores columna</span>, están indicadas por la siguiente ecuación matricial:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoNfuy3BG3YeOkK4ncSLMvYQYWN1-tltDQR_H-ZjIfCbbW2M-rm-7JhYrZXalt_6qb5vBADDEadPJ19D9ib7sMKv5URTSjcSmlHHuAB6Mcj-h5seO4RTuo5lhDqXfUHD2jIxbp8e6Od4di/s1600-h/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_1.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 267px; height: 109px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoNfuy3BG3YeOkK4ncSLMvYQYWN1-tltDQR_H-ZjIfCbbW2M-rm-7JhYrZXalt_6qb5vBADDEadPJ19D9ib7sMKv5URTSjcSmlHHuAB6Mcj-h5seO4RTuo5lhDqXfUHD2jIxbp8e6Od4di/s400/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_1.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328015938325720162" border="0" /></a><br /></div><br />Con un simple intercambio en el orden de los renglones y en la posición de unas variables en las ecuaciones de transformación de Lorentz:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>x’ + + <span style="color: rgb(51, 102, 255);">γ(V/c)</span> ct’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’<br /><br /><div style="text-align: left;"><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>ct = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ(V/c)</span> x’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>ct’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>cy’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>cz’<br /></div><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>γx’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>(V/c) ct’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">1</span>y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>γx’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>(V/c) ct’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">1</span>z’<br /><br />podemos obtener la siguiente ecuación matricial que es un poco más reveladora:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1Xvr_wVusdzdyD-UDP-Tml44lZrWR-mXttRNaVJRo56MsKUtB_tANjmr1VcSlHdJL5xIyDjJgOITK8MvZJYRusD9pjzS0fF59l2uaBCEhAdh8m1Jsk1twaIW-MaIY7_SwI06q7fm4MfGI/s1600-h/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 276px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1Xvr_wVusdzdyD-UDP-Tml44lZrWR-mXttRNaVJRo56MsKUtB_tANjmr1VcSlHdJL5xIyDjJgOITK8MvZJYRusD9pjzS0fF59l2uaBCEhAdh8m1Jsk1twaIW-MaIY7_SwI06q7fm4MfGI/s400/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328017743527918786" border="0" /></a><br /></div><br />Tenemos, en efecto, una <span style="font-style: italic;">submatriz</span>, resaltada con fondo color amarillo, la cual transforma las coordenadas (x’, ct’)<strong></strong><strong></strong> a las coordenadas (x, ct)<strong></strong><strong></strong> dejando intactas a las coordenadas del <span style="font-style: italic;">eje-y</span> y del <span style="font-style: italic;">eje-z</span> en virtud de que entre los sistemas de referencia S’ y S no hay un movimiento relativo en los ejes-y y en los ejes-z, el único movimiento es en el eje-x. Entresacando dicha submatriz de la matriz general, obtenemos la matriz que verdaderamente proporciona la transformación en el eje-x, una transformación conocida como un <span style="font-style: italic;">boost</span> (empuje) en la dirección del <span style="font-style: italic;">eje-x</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI5KR06T1eZBHiCx_VVS8AEeDBnJ91TTFhMmYTek7ESCLnHLoAqbKZkkiN-tSQnTx6wT2zUX7DC-XQnA6lqDRfjZcjlWfVvUXr4w89CT2bHq9q3eb51Mmr5bMlRRQ694wwZwef8rJkXQcY/s1600-h/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_3.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 208px; height: 73px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI5KR06T1eZBHiCx_VVS8AEeDBnJ91TTFhMmYTek7ESCLnHLoAqbKZkkiN-tSQnTx6wT2zUX7DC-XQnA6lqDRfjZcjlWfVvUXr4w89CT2bHq9q3eb51Mmr5bMlRRQ694wwZwef8rJkXQcY/s400/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_3.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328024360874912338" border="0" /></a><br /></div><br />No se requiere de mucha imaginación para darse cuenta de que en caso de que el marco de referencia móvil S se esté moviendo a lo largo del eje-y en lugar de moverse a lo largo del eje-x, las ecuaciones de transformación serán:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>x’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>y’ + + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’ + <span style="color: rgb(51, 102, 255);">γ(V/c)</span> ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">1</span>z’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>ct = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>x’ +<span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ(V/c)</span> y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>ct’<br /><br />La representación matricial de este sistema de ecuaciones lineares es la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg56Vv7jS4jt81Wb45HMUNzzCm5Gbho-QeBCkhboy1otVU9ElK5Lyb0ubNBKl0bAozzyeUwYBYTP-0_kJOn18XXU4kK3FBcb2xlNZYcDGaED8hyphenhyphenokyycpgdSBbU1u0lPJG38KVKyQSWFVhk/s1600-h/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_eje-Y.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 268px; height: 109px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg56Vv7jS4jt81Wb45HMUNzzCm5Gbho-QeBCkhboy1otVU9ElK5Lyb0ubNBKl0bAozzyeUwYBYTP-0_kJOn18XXU4kK3FBcb2xlNZYcDGaED8hyphenhyphenokyycpgdSBbU1u0lPJG38KVKyQSWFVhk/s400/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_eje-Y.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328373601041151746" border="0" /></a><br /></div><br />Y cuando el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia se esté dando en el <span style="font-style: italic;">eje-z</span>, las ecuaciones de transformación serán:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>y’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>z’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>z’ + <span style="color: rgb(51, 102, 255);">γ(V/c)</span> ct’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>ct = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>x’ + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>y’+ <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ(V/c)</span> z’ + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>ct’<br /><br />La representación matricial de este sistema de ecuaciones lineares es la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilBeapARiLfhLrL90_cXcZoWTvXS4XmvC6XQMftZluDgjFREx5NtdFY16RRm48kgRacpQXDvaQzsTQ7XAxbUa-FD0h1TjZXttjnzl91_lL90K3sNi1lPUxR1sfsGjuR9eUG5S7Y85FfUSH/s1600-h/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_eje-Z.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 267px; height: 109px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilBeapARiLfhLrL90_cXcZoWTvXS4XmvC6XQMftZluDgjFREx5NtdFY16RRm48kgRacpQXDvaQzsTQ7XAxbUa-FD0h1TjZXttjnzl91_lL90K3sNi1lPUxR1sfsGjuR9eUG5S7Y85FfUSH/s400/ecuacion_matricial_de_transformaciones_de_Lorentz_eje-Z.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328374134852899106" border="0" /></a><br /></div><br />Obsérvese que, en cada caso, podemos entresacar una submatriz, la cual será siempre la misma cuando el movimiento ocurre a velocidad V a lo largo de solo uno de los ejes coordenados. Esta matriz es conocida como la <span style="font-weight: bold;">matriz simple de Lorentz</span>.<br /><br />Utilizando el símbolo β definido como β = V/c, obtenemos una representación más compacta de la matriz simple de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNH5qotVE9dkikasSzLCeLG1Vox_79b5q-bvPYMhRlwNhjbgEbnVuYRq2zDpB8n0-6w4guwjaKDGJkfzSnyoOGw97JmJ3gGKNle8225M5caAQYMFAj3ypvu2xCa3MFT0k4b5g73T-tg8Ll/s1600-h/matriz_simplificada_de_Lorentz.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 181px; height: 84px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNH5qotVE9dkikasSzLCeLG1Vox_79b5q-bvPYMhRlwNhjbgEbnVuYRq2zDpB8n0-6w4guwjaKDGJkfzSnyoOGw97JmJ3gGKNle8225M5caAQYMFAj3ypvu2xCa3MFT0k4b5g73T-tg8Ll/s400/matriz_simplificada_de_Lorentz.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328301487630731890" border="0" /></a><br /></div><br />Por razones de conveniencia que pronto serán obvias, haremos el cambio notacional <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> = γ y <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">b</span> = βγ, con lo cual nuestra matriz de Lorentz adquiere el siguiente aspecto:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQVq3pA-bqnEd3lRNUKW5cXLSDyBivZNB2KFmqei25n_S8SyUm2TTzXMrx2Uul497Ot8Ujhwe5TSeBSTMr8Uior0U-5N-FyN0h5l_DLt6R8WZExb1vqq0VPLl6NRqoeSk6tcPr9UIzOsqu/s1600-h/matriz_simplificada_de_Lorentz_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 150px; height: 80px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQVq3pA-bqnEd3lRNUKW5cXLSDyBivZNB2KFmqei25n_S8SyUm2TTzXMrx2Uul497Ot8Ujhwe5TSeBSTMr8Uior0U-5N-FyN0h5l_DLt6R8WZExb1vqq0VPLl6NRqoeSk6tcPr9UIzOsqu/s400/matriz_simplificada_de_Lorentz_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328307961113371666" border="0" /></a><br /></div><br />Consideremos ahora las ecuaciones de la transformación <span style="font-style: italic;">inversa</span> de Lorentz, utilizadas para efectuar el cambio de las coordenadas (x, y, z, ct) del marco de referencia S a las coordenadas (x’, y’, z’, ct’) del marco de referencia S’:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x’ = γ(x - Vt)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y’ = y<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z’ = z<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t’ = γ(t - Vx/c²)<br /><br />Para poder obtener la submatriz que nos interesa, podemos ignorar las dos transformaciones intermedias que en realidad son transformaciones triviales, concentrándonos únicamente sobre las transformaciones que realmente nos interesan:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x’ = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>x - <span style="color: rgb(51, 102, 255);">γ(V/c)</span> ct<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>ct’ = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- γ(V/c)</span> x <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>+ <span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ</span>ct<br /><br />No cuesta trabajo darse cuenta de que para la transformación inversa la submatriz será:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg03J6uyUwqJtlYohbvq3OZzGLMpDCTLMinXgcby2ggyBASX8Ozx12rbdSbbo0Y9teIueLAcU594MvRDsens4egk9FyLE9RnlCmS4eIEdfZY8_CpAXl8E0l9CiAt8BhvqyQ9AfqvH2vLLJe/s1600-h/matriz_simplificada_de_Lorentz_3.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 150px; height: 80px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg03J6uyUwqJtlYohbvq3OZzGLMpDCTLMinXgcby2ggyBASX8Ozx12rbdSbbo0Y9teIueLAcU594MvRDsens4egk9FyLE9RnlCmS4eIEdfZY8_CpAXl8E0l9CiAt8BhvqyQ9AfqvH2vLLJe/s400/matriz_simplificada_de_Lorentz_3.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328306671972115762" border="0" /></a><br /></div><br />En notación matricial compacta, si <span style="font-weight: bold;">A</span> = [x, ct] entonces para obtener <span style="font-weight: bold;">A’</span> = [x’, ct’] la operación matricial estará representada por la siguiente ecuación;<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">A’</span><span style="font-weight: bold;"> = </span><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><span style="font-weight: bold;">A</span><br /></div><br />Puesto que <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span> es la transformación matricial que usamos para convertir las coordenadas del sistema de referencia S al sistema de referencia S’, y <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span> es la transformación matricial que usamos para convertir las coordenadas del sistema de referencia S’ al sistema de referencia S, si aplicamos a un vector <span style="font-weight: bold;">A</span> primero la operación <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span> y después la operación <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span> debemos obtener el mismo vector <span style="font-weight: bold;">A</span> con el que habíamos comenzado originalmente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span><span style="font-weight: bold;">A’</span> = <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span> (<span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span><span style="font-weight: bold;">A’</span>) = <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span> <span style="font-weight: bold;">A</span> = <span style="font-weight: bold;">A’</span><br /><br />(<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span><span>)</span><span style="font-weight: bold;"> A’</span> <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span></span><span style="font-weight: bold;"></span>= <span style="font-weight: bold;">A’</span><br /></div><br />Esto solo puede ser cierto si el producto matricial <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span> es igual a la matriz identidad <span style="font-weight: bold;">I</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0T6UeT1tyNoStIaTmkz1bFzrvy6p21bvDu0PY9WM5K27Y0f4fDWZursMwODiDqdxkPceOca7wYe-MA9PtJwDJFOKNsodOMEzhoD26btKCI6i2yx_RFok1fYhG_z78KKV5qZZbPhC8SmBM/s1600-h/matriz_identidad.png"><img style="cursor: pointer; width: 186px; height: 121px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0T6UeT1tyNoStIaTmkz1bFzrvy6p21bvDu0PY9WM5K27Y0f4fDWZursMwODiDqdxkPceOca7wYe-MA9PtJwDJFOKNsodOMEzhoD26btKCI6i2yx_RFok1fYhG_z78KKV5qZZbPhC8SmBM/s400/matriz_identidad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328312876413744274" border="0" /></a><br /></div><br />Se recuerda, por si se ha olvidado, o se informa, por si no se sabe, que por lo general <span style="font-style: italic;">la multiplicación de dos matrices no es una operación conmutativa</span>, el orden de los factores sí altera el producto. El producto de dos matrices <span style="font-weight: bold;">Q</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">Q</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>, tomado en el orden <span style="font-weight: bold;">Q</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub><span style="font-weight: bold;">Q</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>, producirá una matriz diferente a la que producen las mismas matrices tomadas en el orden <span style="font-weight: bold;">Q</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub><span style="font-weight: bold;">Q</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjirUMD6-vOBwI0fsqxgv4z_g94XVdwu4I3vF-FACM7XMok20yyGwVHI4c19HpZarwcl5kvSTZORpnNWe71dpBGd0OmYLYV5DjMG7vYs37MnKic_VBLHsDu4ajlr7cMzCCuDaBnlsCsx5iJ/s1600-h/noconmutatividad_de_matrices.png"><img style="cursor: pointer; width: 388px; height: 159px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjirUMD6-vOBwI0fsqxgv4z_g94XVdwu4I3vF-FACM7XMok20yyGwVHI4c19HpZarwcl5kvSTZORpnNWe71dpBGd0OmYLYV5DjMG7vYs37MnKic_VBLHsDu4ajlr7cMzCCuDaBnlsCsx5iJ/s400/noconmutatividad_de_matrices.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328340892432284866" border="0" /></a><br /></div><br />Cuando son conmutativas, el producto de ambas resulta ser la matriz identidad <span style="font-weight: bold;">I</span>, ya que una de las matrices es la inversa de la otra.)<br /><br />Todo lo anterior nos conduce a concluír que <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span> tiene que ser la<span style="font-style: italic;"> matriz inversa</span> de la matriz <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span>, lo cual representamos notacionalmente como <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span> = <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ<sup>-1</sup></span></span>. Siendo así, entonces se debe cumplir la condición <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">Λ</span></span> = <span style="font-weight: bold;">I</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1QvJz8TE4T1f1ScmtXW6i6HiwoTtDSrCvqdDpzgFbkMdH6x73zLRIsGB0pvMUdCasQbaSG5VM2qG2Uz8JHRswK_Kntb5x8cvEWSbW2umqGcrTpMpoL3cD_nJco0XaVyxhi9mRjNQ22fSK/s1600-h/paso_matricial_intermedio.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 314px; height: 76px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1QvJz8TE4T1f1ScmtXW6i6HiwoTtDSrCvqdDpzgFbkMdH6x73zLRIsGB0pvMUdCasQbaSG5VM2qG2Uz8JHRswK_Kntb5x8cvEWSbW2umqGcrTpMpoL3cD_nJco0XaVyxhi9mRjNQ22fSK/s400/paso_matricial_intermedio.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328316912317931538" border="0" /></a><br /></div><br />Llevando a cabo la multiplicación matricial del lado izquierdo de la igualdad e igualando componente a componente con la matriz del lado derecho, además de obtener la obvia condición trivial ab = ba obtenemos otra condición que no es trivial:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">a² - b² = 1</span><br /></div><br />Esto nos permite definir, formalmente y de modo riguroso, a una matriz simple de Lorentz como <span style="font-style: italic;">toda aquella matriz que tenga el aspecto</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9NJP9j5d7JO4nJSIM_I3lzPMt3jyJkQVHHhmYEXMEl-bmELQk8UduGf5PX5g4w-HkcdwuEBj803UWSMy490V7eKiDTixmdONphOme60ZVNtfJoPoFzMus94-ao9HYBugIfXR0112IF80S/s1600-h/definicion_matriz_de_Lorentz_1.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 102px; height: 74px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9NJP9j5d7JO4nJSIM_I3lzPMt3jyJkQVHHhmYEXMEl-bmELQk8UduGf5PX5g4w-HkcdwuEBj803UWSMy490V7eKiDTixmdONphOme60ZVNtfJoPoFzMus94-ao9HYBugIfXR0112IF80S/s400/definicion_matriz_de_Lorentz_1.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328318385235754194" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">o el aspecto</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoiPBsfCIPLgWI0qyL4uEu2Si00v8EselCkubRB5dXK3nMszhAZ5zCPZf_FEqOXSkgJDabDzk7HPfuSfBLmS_784XlyAp2Abv-32ABaGbmQWZpJKJSbABn_FYRGHft5fldbEZSo04ekxeQ/s1600-h/definicion_matriz_de_Lorentz_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 99px; height: 75px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoiPBsfCIPLgWI0qyL4uEu2Si00v8EselCkubRB5dXK3nMszhAZ5zCPZf_FEqOXSkgJDabDzk7HPfuSfBLmS_784XlyAp2Abv-32ABaGbmQWZpJKJSbABn_FYRGHft5fldbEZSo04ekxeQ/s400/definicion_matriz_de_Lorentz_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328321237765680802" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">para la cual se cumpla la condición</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">a² - b² = 1</span><br /></div><br />El interés que podamos tener en las propiedades de las representaciones matriciales de las transformaciones de Lorentz va más allá de la afición que pueda haber en nosotros hacia las curiosidades de las matemáticas. Las transformaciones de Lorentz tienen un aspecto casi único, distintivo, característico de lo que llamamos un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> propio de la Teoría Especial de la Relatividad. Eventualmente llegará el momento de dar el salto hacia marcos de referencia no-inerciales, <span style="font-style: italic;">acelerados</span>, en los cuales el espacio-tiempo no es plano sino que adquiere una curvatura. Y las matrices de transformación volverán a aparecer nuevamente pero bajo un aspecto más elaborado, propio de la Teoría General de la Relatividad. Pero tales matrices características de un espacio-tiempo curvo se reducen a las matrices características de las transformaciones de Lorentz cuando el marco de referencia acelerado que corresponde a los campos gravitacionales se puede considerar en una región pequeña del espacio como <span style="font-style: italic;">Lorentziano</span>.<br /><br />Existe otra forma de representar lo mismo que lo que representan las matrices cuadradas (rectangulares, de orden 2) en cuatro dimensiones, renombrando a las cuatro coordenadas bajo un esquema conocido como <span style="font-style: italic;">coordenadas generalizadas</span> (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, x<sub>4</sub>) y prescindiendo de matrices usando en lugar de ello sumatorias y dobles sumatorias, pero esto quedará postpuesto para cuando se lleve a cabo una discusión sobre el <span style="font-weight: bold;">cálculo tensorial</span>. De antemano se señala aquí que ambas formas de representación son completamente equivalentes, están representando lo mismo, y cada una de ellas tiene sus propias ventajas.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Determinar si la siguiente matriz</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIswBUawHYS7JtMpVgbCLfcGf09BfbOQF6nd14peZ6x2Nq236z5Q1nkKCa8JrdD6aoQhzcAF128-0qL3vBA8XT7NYJkRv90wldBViNtkeS5EWU16dD41fMrn0ULa4Mmb7RYLXY4OuFDOBK/s1600-h/problema_matriz_Lorentz.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 225px; height: 139px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIswBUawHYS7JtMpVgbCLfcGf09BfbOQF6nd14peZ6x2Nq236z5Q1nkKCa8JrdD6aoQhzcAF128-0qL3vBA8XT7NYJkRv90wldBViNtkeS5EWU16dD41fMrn0ULa4Mmb7RYLXY4OuFDOBK/s400/problema_matriz_Lorentz.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328327528159688082" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">es una matriz de Lorentz</span>.<br /><br />Extraemos primero la submatriz que nos interesa tachando los renglones y las columnas que contienen únicamente unos y ceros:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidw5tMA86pjve2D_Nlex_bxQjOVd5m-cuxiP__JkQa8UYvVZF5WMeUZjLXq-QmesqkEl9j63pVKarGSAxKDRg9dGR8U9gaQODco2S-0E77dcs4w3fjCvCnYLc2hiFXJQAuuYl8o1fwuYKr/s1600-h/problema_matriz_Lorentz_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 224px; height: 138px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidw5tMA86pjve2D_Nlex_bxQjOVd5m-cuxiP__JkQa8UYvVZF5WMeUZjLXq-QmesqkEl9j63pVKarGSAxKDRg9dGR8U9gaQODco2S-0E77dcs4w3fjCvCnYLc2hiFXJQAuuYl8o1fwuYKr/s400/problema_matriz_Lorentz_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328329075015305250" border="0" /></a><br /></div><br />La matriz de interés es la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBxKBRoPD6fmAIio86TIUzbt_GF0Cn9MLMR1hCI5NOS1SNt5hPDKrBdP3HvEVxhHint4fYz6ngHHxRxM_-KWWHa297uAYHjWLWIgwzjKHzSZ1ukqYFp3An2TYT9Tv0K7d_hqI3GH4yokvy/s1600-h/problema_matriz_Lorentz_3.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 156px; height: 94px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBxKBRoPD6fmAIio86TIUzbt_GF0Cn9MLMR1hCI5NOS1SNt5hPDKrBdP3HvEVxhHint4fYz6ngHHxRxM_-KWWHa297uAYHjWLWIgwzjKHzSZ1ukqYFp3An2TYT9Tv0K7d_hqI3GH4yokvy/s400/problema_matriz_Lorentz_3.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328330104693324578" border="0" /></a><br /></div><br />Haciendo <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">a</span> = 1.25 y <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">b</span> = .75, la matriz dada ciertamente tiene la configuración de una matriz Lorentziana. Sin embargo, falta ver si se cumple la condición principal:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">a² - b² <span style="font-size:100%;">= (1.25)² - (.75)² =</span></span> 1.5625 - 0.5625<br /><br /><span style="font-size:130%;">a² - b² <span style="font-size:130%;">= 1</span></span><br /></div><br />Se concluye que la matriz es Lorentziana, y en los lugares en donde esta matriz aplica se cumplirán los postulados de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br />Al tratar el tema de las transformaciones de Lorentz, para derivar dichas ecuaciones de transformación se supuso, como se ha hecho desde un principio, que el movimiento relativo entre los dos marcos de referencia usuales S y S’ se lleva a cabo con uno de los marcos moviéndose a una velocidad constante V a lo largo del eje-x. Esto se hace con fines de simplificación. Los marcos de referencia pueden estarse moviendo el uno con respecto al otro en tal forma que no sólo haya un movimiento relativo entre ambos marcos a lo largo del eje-x, sino también que haya un movimiento relativo entre ambos a lo largo del eje-y e inclusive a lo largo del eje-z. De este modo, podríamos hablar de <span style="font-style: italic;">tres</span> componentes de velocidad, V<sub>x</sub>, V<sub>y</sub> y V<sub>z</sub> en lugar de una sola. En la situación clásica en donde utilizamos las transformaciones de Galileo, esto no presenta problema alguno porque allí las componentes de velocidad a lo largo de cada eje son independientes la una de la otra por completo. De este modo, si las transformaciones clásicas de un marco de referencia a otro cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre sólo a lo largo del eje-x son:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + Vt’<br /><br />y = y’<br /><br />z = z’<br /></div><br />entonces cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre a lo largo de los tres ejes las transformaciones de Galileo serán simplemente:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ + V<sub>x </sub>t’<br /><br />y = y’ + V<sub>y </sub>t’<br /><br />z = z’ + V<sub>z </sub>t’<br /></div><br />Desafortunadamente, en el caso de la Teoría Especial de la Relatividad, el asunto de ampliar la cobertura cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre a lo largo de los tres ejes en lugar de uno solo no es un asunto tan sencillo en virtud del requerimiento estricto del segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad que nos dice que la velocidad de la luz medida por observadores situados en ambos marcos debe seguir siendo exactamente la misma. De este modo un rayo de luz, que tendrá tres componentes de velocidad proyectados sobre cada uno de los ejes en ambos marcos de referencia, debe tener el mismo valor constante por dondequiera que se le mire. La <span style="font-weight: bold;">transformación general de Lorentz</span> para esta situación, recurriendo a la ayuda de matrices con el fin de simplificar la notación, es la siguiente (se recomienda ampliar la imagen para poder leer mejor la ecuación matricial):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHqqLl7OMsLfyJdrZ6zUV62h39PXe3pJF3U3T1eyo_LdPdPEWrPejVWytaIBk17RfcyWGlOzaCquNxSgD_cNxQ-p8NZedI2Xm_mI0dtPpxodS7BPrYqQZ0MWY-K2Y7wdDPisydhTkdjSio/s1600-h/transformacion_general_de_Lorentz.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 192px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHqqLl7OMsLfyJdrZ6zUV62h39PXe3pJF3U3T1eyo_LdPdPEWrPejVWytaIBk17RfcyWGlOzaCquNxSgD_cNxQ-p8NZedI2Xm_mI0dtPpxodS7BPrYqQZ0MWY-K2Y7wdDPisydhTkdjSio/s400/transformacion_general_de_Lorentz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372102001208093442" border="0" /></a><br /></div><br />Como es de esperarse, la obtención de la transformación general de Lorentz es un asunto laborioso al que sólo se recurre cuando algún maestro que disfruta de su fama de “cruel” lo deja como tarea a sus alumnos (algo así como el draconiano Profesor Charles W. Kingsfield que aparece en la película <span style="font-style: italic;">The Paper Chase</span>, protagonizado por John Houseman). El lector no deberá tener dificultad alguna en verificar la transformación general de Lorentz que se ha dado arriba tomando en cuenta que la designación de las coordenadas es un asunto arbitrario, haciendo por ejemplo β<sub>y </sub> = β<sub>z </sub> = 0 con lo cual se debe obtener como caso especial la transformación de Lorentz cuando el movimiento relativo ocurre únicamente a lo largo del eje-x, tras lo cual se puede hacer β<sub>x </sub> = β<sub>z </sub> = 0 para comprobar el segundo caso (movimiento relativo a lo largo del eje-y), y finalmente β<sub>x </sub> = β<sub>y </sub> = 0 (movimiento relativo a lo largo del eje-z).<br /><br />En realidad, si estamos realmente interesados en derivar las relaciones que corresponden a la transformación general de Lorentz cuando los marcos de referencia están en movimiento relativo el uno con respecto al otro a través de tres ejes coordenados en lugar de uno solo, la demostración se puede simplificar enormemente si recurrimos a notación vectorial <span style="font-style: italic;">clásica</span> denotando como el vector posición <span style="font-weight: bold;">x</span> a la ubicación de un punto en el sistema coordenado S:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">x</span> = (x, y, z)<br /></div><br />y denotando la ubicación del mismo punto en el sistema coordenado S’ como:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">x’</span> = (x’, y’, z’)<br /></div><br />simbolizando asimismo a la velocidad relativa V que hay entre los dos marcos de referencia como un vector <span style="font-weight: bold;">V</span> (con letra negrita) con componentes relativos en cada uno de los tres ejes Cartesianos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">V</span> = (V<sub>x</sub>, V<sub>y</sub>, V<sub>z</sub>)<br /></div><br />Lo anterior lo hacemos en conjunción con la notación vectorial del <span style="font-style: italic;">producto punto</span> ó <span style="font-style: italic;">producto escalar</span> entre dos vectores:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">x · V</span> = (x, y, z) <span style="font-weight: bold;">·</span> (V<sub>x</sub>, V<sub>y</sub>, V<sub>z</sub>) = xV<sub>x</sub> + yV<sub>y</sub> + zV<sub>z</sub><br /></div><br />Con esta notación, la transformación general de Lorentz que estamos buscando tanto para las componentes espaciales como para la componente temporal se puede resumir <span style="font-style: italic;">vectorialmente</span> en las siguientes dos fórmulas:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKDzZk_I2l2Bo8T4P5BVSi4cSUr8_aJAwNjUiQ64ErFFkuvbJgW0RZXiPAkr7KZ11tHSbGKzH7uBalg-Ssg31rILwmTydDVCXQ71CfVWoKrwlUSodGEGHmhYc2x5zlBnRsC_0g9EO5LaTP/s1600-h/transformacion_generalizada_de_Lorentz_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 289px; height: 48px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKDzZk_I2l2Bo8T4P5BVSi4cSUr8_aJAwNjUiQ64ErFFkuvbJgW0RZXiPAkr7KZ11tHSbGKzH7uBalg-Ssg31rILwmTydDVCXQ71CfVWoKrwlUSodGEGHmhYc2x5zlBnRsC_0g9EO5LaTP/s400/transformacion_generalizada_de_Lorentz_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376947736407568322" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO5wbvA8_MIFXWlBcorunTKj_zOpUARqqVCQIkEoodpuy_fXTIBqI4qdw8UbAeA0PRkZA-uboyHTA5lQVZhVER_7KARmeq6oEzHOXv_p-T-IixmG2jbqK5caanjyjS1RaXRhV8HfKjwduU/s1600-h/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 50px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO5wbvA8_MIFXWlBcorunTKj_zOpUARqqVCQIkEoodpuy_fXTIBqI4qdw8UbAeA0PRkZA-uboyHTA5lQVZhVER_7KARmeq6oEzHOXv_p-T-IixmG2jbqK5caanjyjS1RaXRhV8HfKjwduU/s400/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376948023517947522" border="0" /></a><br /></div><br />Resta decir que para la derivación de estas dos fórmulas debemos aferrarnos estrictamente de principio a fin al manejo matemático vectorial que se acostumbra darle a los problemas típicos de la mecánica clásica en los que se manejan cantidades vectoriales.<br /><br />Habiendo visto una representación matricial para la transformación generalizada de Lorentz, no debe causarnos ningún asombro el hecho de que la siguiente matriz también sea una matriz de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXSy7yO3mgSucpsFAdcOQzZpIeomq19qGf7vQ9lw86dem57UW48PKATzvjuuZZt5WzU-ScDDTKgczLU07Og1NzD30c4g6jshdXYNswRknIM6EBc9wGgKD6G96eaMuYfeiF0K_9Kf_C-rRY/s1600-h/matriz_de_Lorentz.png"><img style="cursor: pointer; width: 302px; height: 194px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXSy7yO3mgSucpsFAdcOQzZpIeomq19qGf7vQ9lw86dem57UW48PKATzvjuuZZt5WzU-ScDDTKgczLU07Og1NzD30c4g6jshdXYNswRknIM6EBc9wGgKD6G96eaMuYfeiF0K_9Kf_C-rRY/s400/matriz_de_Lorentz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372113139742971890" border="0" /></a><br /></div><br />Esto nos debe dejar en claro cuál es la diferencia entre una matriz <span style="font-style: italic;">simple</span> de Lorentz como las que vimos arriba, y una matriz de Lorentz ordinaria.<br /><br />Determinar si una matriz 4x4 como la de arriba es una matriz de Lorentz no es un asunto complicado. Ello requiere derivar primero tres relaciones generales a partir de lo que vendría siendo la <span style="font-style: italic;">invariancia de la ecuación del cono de luz</span> (en referencia a los diagramas de Minkowski). Pero para ello tenemos que tener en claro cuál es esa invariancia a la que nos estamos refiriendo, razón por la cual este asunto debe quedar postpuesto hasta que no haya sido desarrollado dicho tema.<br /><br />La multiplicación de dos matrices <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> tiene desde luego una definición más formal que la definición intuitiva que se ha dado arriba, y es la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiihCFz3QYBKOnIZLSSb5XYDf_LrYFxCCiUhGffGb0gHGrtHXPQ7b5IIeB5yLBx36IHoiqJbyre-tbNWWIt1WcrH5WRtWcELOJTQ-ikB3pjPtmHunugDwrMyJnbeBZY0dzRi-KtWV-gbbsD/s1600-h/definicion_producto_matricial_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 175px; height: 84px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiihCFz3QYBKOnIZLSSb5XYDf_LrYFxCCiUhGffGb0gHGrtHXPQ7b5IIeB5yLBx36IHoiqJbyre-tbNWWIt1WcrH5WRtWcELOJTQ-ikB3pjPtmHunugDwrMyJnbeBZY0dzRi-KtWV-gbbsD/s400/definicion_producto_matricial_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5373226846288717458" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj94FqjzG-4Tg07rrxGQZN0NHK2rLHpDLimOZbpV9UQCf1JMLCoxUWBKq5aLIhCmfFOKEwTzx_Ek8JwRhMNAJ7bunzR_ihN_4Y7zdXCYSrwhmmZrwKr8gsfKIvqD-dir5FeCt2L9a8kUmMw/s1600-h/definicion_producto_matricial_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 360px; height: 35px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj94FqjzG-4Tg07rrxGQZN0NHK2rLHpDLimOZbpV9UQCf1JMLCoxUWBKq5aLIhCmfFOKEwTzx_Ek8JwRhMNAJ7bunzR_ihN_4Y7zdXCYSrwhmmZrwKr8gsfKIvqD-dir5FeCt2L9a8kUmMw/s400/definicion_producto_matricial_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5373227079880586034" border="0" /></a><br /></div><br />Este enunciado nos dice que para dos matrices <span style="font-weight: bold;">A</span> = (a<sub>pq</sub>) y <span style="font-weight: bold;">B</span> = (b<sub>rs</sub>), siendo <span style="font-weight: bold;">A</span> una matriz de <span style="font-style: italic;">p</span> renglones y <span style="font-style: italic;">q</span> columnas, y siendo <span style="font-weight: bold;">B</span> una matriz de <span style="font-style: italic;">r</span> renglones y <span style="font-style: italic;">s</span> columnas, el producto de las mismas <span>definido</span><span style="font-style: italic;"> en el orden</span> <span style="font-weight: bold;">AB</span> es tal que cada elemento c<sub>ij</sub> de la matriz resultante deberá ser obtenido de acuerdo a la relación anterior, para lo cual es requisito indispensable que el número de columnas de la matriz <span style="font-weight: bold;">A</span> sea igual al número de renglones de la matriz <span style="font-weight: bold;">B</span>, o sea <span style="font-style: italic;">q = r</span>.<br /><br />En la definición formal que se acaba de dar para el producto de dos matrices, obsérvese un detalle interesante: la sumación se lleva a cabo <span style="font-style: italic;">sobre el sub-índice que está repetido</span>, en este caso <span style="font-style: italic;">k</span>. Si alguien borrara el símbolo <span style="font-weight: bold;">Σ </span>de la sumatoria en la expresión de arriba, no tendríamos dificultad alguna para reestablecerlo junto con el índice que fue borrado. Tan sólo tendríamos que fijarnos en <span style="font-style: italic;">el sub-índice que aparece repetido</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Escribir la expresión para evaluar el elemento c</span><sub style="font-style: italic;">47</sub><span style="font-style: italic;"> resultante del producto </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">AB</span><span style="font-style: italic;"> de dos matrices </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">A</span><span style="font-style: italic;"> y </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">B</span><span style="font-style: italic;"> si la matriz </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">A</span><span style="font-style: italic;"> es una matriz de cinco renglones y nueve columnas (representado como 5x9), y la matriz </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">B</span><span style="font-style: italic;"> es una matriz de nueve renglones y ocho columnas (representado como 9x8)</span>.<br /><br />En este caso, el producto matricial está definido, puesto que el número de columnas de la matriz <span style="font-weight: bold;">A</span> es igual al número de renglones de la matriz <span style="font-weight: bold;">B</span>, o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;">[5x<span style="color: rgb(255, 0, 0);">9</span>] [<span style="color: rgb(255, 0, 0);">9</span>x8]<br /></div><br />Podemos ver también aquí que la sumatoria deberá correr desde n =1 hasta n = 9 y que la matriz resultante será una matriz 5x8.<br /><br />Utilizando la definición formal dada arriba, el elemento <span>c</span><sub>47 </sub>estará dado por la siguiente sumatoria:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBqsHYcHeyx2-DKmYrjEM7MUs6pTAfakRhaRqYIIuEo5hjTq6UtjUPY4mh2t1YxN47I2hGNXQnI163nR_8__0jw0EiEMR0dCcvHC_XeaoQT2u0qT5GiaK-fG1qPi2AD7c4laMwB_ip1SN8/s1600-h/problema_multiplicacion_matricial.png"><img style="cursor: pointer; width: 179px; height: 84px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBqsHYcHeyx2-DKmYrjEM7MUs6pTAfakRhaRqYIIuEo5hjTq6UtjUPY4mh2t1YxN47I2hGNXQnI163nR_8__0jw0EiEMR0dCcvHC_XeaoQT2u0qT5GiaK-fG1qPi2AD7c4laMwB_ip1SN8/s400/problema_multiplicacion_matricial.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5373231081867112818" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span>c</span><sub>47</sub> =<span> <span style="color: rgb(255, 255, 255);">______________________________________</span></span><br /><span> a</span><sub>41</sub>b<sub>17</sub> + <span>a</span><sub>42</sub>b<sub>27</sub> + <span>a</span><sub>43</sub>b<sub>37</sub> + <span>a</span><sub>44</sub>b<sub>47</sub> + <span>a</span><sub>45</sub>b<sub>57</sub> + <span>a</span><sub>46</sub>b<sub>67</sub> + <span>a</span><sub>47</sub>b<sub>77</sub><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Si postmultiplicamos una matriz A cuyo tamaño es 5x4 por una matriz B cuyo tamaño es 4x7, y el producto resultante los postmultiplicamos por otra matriz C cuyo tamaño es 7x3, ¿cuál será el tamaño de la matriz resultante?</span><br /><br /><div style="text-align: center;">[5x<span style="color: rgb(255, 0, 0);">4</span>][<span style="color: rgb(255, 0, 0);">4</span>x<span style="color: rgb(51, 51, 255);">7</span>][<span style="color: rgb(51, 51, 255);">7</span>x3]<br /></div><br />Podemos ver que la matriz resultante será una matriz 5x3.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">La siguiente cantidad</span><br /><br /><div style="text-align: center;">cΔt² - x² - y² - z²<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">resulta ser de gran utilidad en el análisis de problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad. Representar dicha cantidad en forma matricial</span>.<br /><br />Formando un <span style="font-style: italic;">vector renglón</span> [ cΔt, x, y, z ] y tomando la <span style="font-style: italic;">transpuesta</span> del mismo para formar el vector columna correspondiente, la cantidad<br /><br /><div style="text-align: center;">cΔt² + x² + y² + z²<br /></div><br />quedaría representada matricialmente por el siguiente producto matricial entre una matriz que consta de un renglón y cuatro columnas (1x4) y una matriz que consta de una columna y cuatro renglones (4x1):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjacqNPo-X1nBwgXv4hy9qGBxKWawbIna0AD3thEptL8aI3fWFqYQupQEAsD_uIbIWGxsYdSV-vQWRFKAe829fQTjvFYVi-jN0h7x3V-eJ71IWWWNxuqLS-GG2q-uAv2AkwgYF9IR5PJZGx/s1600-h/producto_matricial_1.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 244px; height: 110px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjacqNPo-X1nBwgXv4hy9qGBxKWawbIna0AD3thEptL8aI3fWFqYQupQEAsD_uIbIWGxsYdSV-vQWRFKAe829fQTjvFYVi-jN0h7x3V-eJ71IWWWNxuqLS-GG2q-uAv2AkwgYF9IR5PJZGx/s400/producto_matricial_1.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328688541265990226" border="0" /></a><br /></div><br />Pero queremos además la selección de signos que se nos han indicado. Esto se logra injertando entre las dos matrices de arriba una matriz intermedia:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbQTFjNs9zeY7PDpmAsuczRo66KD-thxFWiSMj73B7_ANTVi41zIW99AikgY_agG4DZLV-6_4NPiAJNYl_P4JisjZCqrj-U4J8-R6zkQV9-hn1P4EqerLBD6-PxZrJhYsRyJeNcRHfLq0B/s1600-h/producto_matricial_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 389px; height: 110px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbQTFjNs9zeY7PDpmAsuczRo66KD-thxFWiSMj73B7_ANTVi41zIW99AikgY_agG4DZLV-6_4NPiAJNYl_P4JisjZCqrj-U4J8-R6zkQV9-hn1P4EqerLBD6-PxZrJhYsRyJeNcRHfLq0B/s400/producto_matricial_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328692069014828386" border="0" /></a><br /></div><br />En notación matricial más compacta y haciendo <span style="font-weight: bold;">X</span> = [ cΔt, x, y, z ], lo anterior se puede escribir como <span style="font-weight: bold;">XAX</span><sup style="font-weight: bold;">T</sup> en donde <span style="font-weight: bold;">A</span> es la matriz intermedia y <span style="font-weight: bold;">X</span><sup style="font-weight: bold;">T</sup> es la transpuesta de la matriz <span style="font-weight: bold;">X</span>. Llevando a cabo el producto matricial ya sea en el orden (<span style="font-weight: bold;">XA</span>)<span style="font-weight: bold;">X</span><sup style="font-weight: bold;">T</sup> multiplicando primero las dos matrices de la izquierda y multiplicando la matriz resultante por la matriz a la derecha, o en el orden <span style="font-weight: bold;">X</span>(<span style="font-weight: bold;">AX</span><sup style="font-weight: bold;">T</sup>) multiplicando primero las dos matrices de la derecha y multiplicando la matriz resultante por la matriz de la izquierda, podemos ver que esta representación matricial nos produce la expresión deseada.<br /><br />La matriz intermedia <span style="font-weight: bold;">A</span> del problema representa los 16 componentes de un objeto que se conoce como el <span style="font-weight: bold;">tensor métrico</span> de un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> (Lorentziano), el cual se representa en forma abreviada ya sea como <span style="font-weight: bold;">g</span> = (g<sub>ij</sub>) usando sub-índices o como <span style="font-weight: bold;">g</span> = (g<sup>ij</sup>) usando super-índices. El concepto del tensor métrico es generalizado hacia un espacio-tiempo curvo en la Teoría General de la Relatividad.<br /><br />Llevaremos ahora a cabo la post-multiplicación de un vector <span style="font-style: italic;">renglón</span> <span style="font-weight: bold;">U</span> de tres elementos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyirhQv1Jt-xDPhkPAD3aIXvI2yfyqrfBKwOo4kVpNhOtSHhPh3zcVIL_IxfK3P22XOZzoUhb2dtHcr8EHYRlZRAeHo0xcrVxJLxDjbavKqUKzRlVawu-gNcJ-7lGTitQB_swvscu4KrdO/s1600-h/vector_renglon_U_un_solo_indice.png"><img style="cursor: pointer; width: 218px; height: 49px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyirhQv1Jt-xDPhkPAD3aIXvI2yfyqrfBKwOo4kVpNhOtSHhPh3zcVIL_IxfK3P22XOZzoUhb2dtHcr8EHYRlZRAeHo0xcrVxJLxDjbavKqUKzRlVawu-gNcJ-7lGTitQB_swvscu4KrdO/s400/vector_renglon_U_un_solo_indice.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374002630810518690" border="0" /></a><br /></div><br />por una matriz cuadrada <span style="font-weight: bold;">g</span> de tama<span>ñ</span>o 3x3:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUJq3O5S0lhCP-RlHotmK8SEbyt2JZhhXARMtNPwyWs1YgK5ynioIO9_Efakp8w3rjTwl9nw5NsoElk0RNHMUyGMb_1WE9-zDAc1xRZm_8B4z_3YjY4Qj_BWVCSE_LZv0hlQ6OGIjY0r2Y/s1600-h/matriz_cuadrada_g.png"><img style="cursor: pointer; width: 254px; height: 117px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUJq3O5S0lhCP-RlHotmK8SEbyt2JZhhXARMtNPwyWs1YgK5ynioIO9_Efakp8w3rjTwl9nw5NsoElk0RNHMUyGMb_1WE9-zDAc1xRZm_8B4z_3YjY4Qj_BWVCSE_LZv0hlQ6OGIjY0r2Y/s400/matriz_cuadrada_g.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374004462824249298" border="0" /></a><br /></div><br />post-multiplicado todo por un vector <span style="font-style: italic;">columna</span> <span style="font-weight: bold;">V</span> de tres elementos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX1YuFj75jZvLJKqokheW2ghn3-02naHN2MxLHpw3nBPUFO5-1lrE4rcOSkdhxRVGpxMxo1S99jPDdp4Y1qNltFD53jjgXlGo31GctELN8W018VJ0sOAkI4yKdxSx7FeXOAmm3wnNHHL6c/s1600-h/vector_columna_V_un_solo_indice.png"><img style="cursor: pointer; width: 146px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX1YuFj75jZvLJKqokheW2ghn3-02naHN2MxLHpw3nBPUFO5-1lrE4rcOSkdhxRVGpxMxo1S99jPDdp4Y1qNltFD53jjgXlGo31GctELN8W018VJ0sOAkI4yKdxSx7FeXOAmm3wnNHHL6c/s400/vector_columna_V_un_solo_indice.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374005452599376402" border="0" /></a><br /></div><br />Procedemos a formar el producto matricial <span style="font-weight: bold;">UgV</span> de la manera siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOG9mynOLe4CyoINrNmBAP4Jta5t79twhTXMehfXb4mlMbmWwidnMAwuh4uFfbWfZ4ToqcmIaFkEaHUA0x0JiMUIRDgAyF4ORx99vGR9Cs8Y3lz1y5eflpFuIb_0QvaJ94wHRMbHRo3tmQ/s1600-h/producto_matricial_3x3_indices_sencillos.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 146px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOG9mynOLe4CyoINrNmBAP4Jta5t79twhTXMehfXb4mlMbmWwidnMAwuh4uFfbWfZ4ToqcmIaFkEaHUA0x0JiMUIRDgAyF4ORx99vGR9Cs8Y3lz1y5eflpFuIb_0QvaJ94wHRMbHRo3tmQ/s400/producto_matricial_3x3_indices_sencillos.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374005891967804946" border="0" /></a><br /></div><br />Llevaremos a cabo la multiplicación de estas tres cantidades multiplicando primero la segunda por la tercera siguiendo la regla para la multiplicación de matrices dada arriba:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiepX_iwfaN8s8bgHWTIlkUdNdLPCq1XdSQRp9QscrJo97fsNlrdSiRyDRy8AePsPKDUM8TCxe66O3w6qEy-QxFA-41P1ffCRhMQ-xHRoqH_oc1-4Pze4aD43l6QQp-FEsROdinhp4SY21/s1600-h/paso_intermedio_multiplicacion_matricial.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 146px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiepX_iwfaN8s8bgHWTIlkUdNdLPCq1XdSQRp9QscrJo97fsNlrdSiRyDRy8AePsPKDUM8TCxe66O3w6qEy-QxFA-41P1ffCRhMQ-xHRoqH_oc1-4Pze4aD43l6QQp-FEsROdinhp4SY21/s400/paso_intermedio_multiplicacion_matricial.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374006445464224098" border="0" /></a><br /></div><br />El resultado final de la operación <span style="font-weight: bold;">UgV</span> resulta ser una sola cantidad, la cual viene siendo evaluada a fin de cuentas de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">UgV =<span style="color: rgb(255, 255, 255);">_______________</span><br />a<sub>1 </sub>g<sub>11 </sub>b<sub>1 +</sub> a<sub>1 </sub>g<sub>12 </sub>b<sub>2 +</sub> a<sub>1 </sub>g<sub>13 </sub>b<sub>3</sub><br />+ a<sub>2 </sub>g<sub>21 </sub>b<sub>1 </sub>+ a<sub>2 </sub>g<sub>22 </sub>b<sub>2</sub> + a<sub>2 </sub>g<sub>23 </sub>b<sub>3</sub><br />+ a<sub>3 </sub>g<sub>31 </sub>b<sub>1 </sub>+ a<sub>3 </sub>g<sub>32 </sub>b<sub>2</sub> + a<sub>3 </sub>g<sub>33 </sub>b<sub>3</sub><br /></div><br />La evaluación de esta cantidad la podemos obtener sin ayuda de representaciones gráficas con la ayuda de <span style="font-style: italic;">dos</span> sumatorias:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBUSYtqthtEFRCiQZqQsq281cNYLeCP6TbtJbsqUBcdaVScB4aop0MFtesituLEk_Jz8_BsKK6kYLEYdHyOnpWekwuXaBm2KzMe9qWgUrPBT4QnZ8psCOrEH5whh3lWJ6PA8Qt-95e-z3Q/s1600-h/primera_sumatoria.png"><img style="cursor: pointer; width: 173px; height: 90px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBUSYtqthtEFRCiQZqQsq281cNYLeCP6TbtJbsqUBcdaVScB4aop0MFtesituLEk_Jz8_BsKK6kYLEYdHyOnpWekwuXaBm2KzMe9qWgUrPBT4QnZ8psCOrEH5whh3lWJ6PA8Qt-95e-z3Q/s400/primera_sumatoria.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374008719453234834" border="0" /></a><br /></div><br />No cuesta mucho trabajo convencerse de que, si llevamos a cabo las dos sumaciones, obtendremos el resultado final del producto triple <span style="font-weight: bold;">UgV</span>. No importa que se lleve a cabo primero la sumación sobre <span style="font-style: italic;">p</span> y después la sumación sobre <span style="font-style: italic;">q</span>, o bien primero la sumación sobre <span style="font-style: italic;">q </span>y luego la sumación sobre <span style="font-style: italic;">p</span>, porque es cosa fácil de comprobar el hecho de que <span style="font-weight: bold;">en una sumatoria múltiple el orden en que se llevan a cabo las sumaciones no altera el resultado final</span>.<br /><br />Al llevar a cabo el producto <span style="font-weight: bold;">UgV</span>, empezamos con dos vectores y una matriz, y terminamos al final con un solo número. ¿Significa esto que hubo una metamorfosis en la cual terminaron perdiéndose los paréntesis cuadrados? Bueno, no precisamente. Podemos ver simbólicamente que el resultado de estos productos será <span style="font-weight: bold;">una matriz 1x1</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIml8uSfCfxwyFahBUuUXkDpC0aKU5WR8GK1tkF80p6lVyU6vbNMDOZARs7AtCPOHn1PNYJVWuy3nlszK9p7SaCk909e5cVw0iqGCefk60X8xHCjoNQn171UhsSg6mBBmlXTfpy-cRnNnG/s1600-h/escalar_como_matriz_uno_por_uno.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 149px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIml8uSfCfxwyFahBUuUXkDpC0aKU5WR8GK1tkF80p6lVyU6vbNMDOZARs7AtCPOHn1PNYJVWuy3nlszK9p7SaCk909e5cVw0iqGCefk60X8xHCjoNQn171UhsSg6mBBmlXTfpy-cRnNnG/s400/escalar_como_matriz_uno_por_uno.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374032626094354850" border="0" /></a><br /></div><br />En pocas palabras, para la matriz <span style="font-weight: bold;">UgV</span> el resultado final será:<br /><br /><div style="text-align: center;">[1x<span style="color: rgb(255, 0, 0);">3</span>][<span style="color: rgb(255, 0, 0);">3</span>x<span style="color: rgb(51, 51, 255);">3</span>][<span style="color: rgb(51, 51, 255);">3</span>x1] = [1x1]<br /></div><br />De este modo, el número solitario que llamamos <span style="font-style: italic;">escalar</span> en realidad sigue siendo una matriz, una matriz que consta de un solo renglón y una sola columna, una matriz de tama<span>ñ</span>o 1x1 que consta de un solo elemento, pero al fin y al cabo una matriz. Naturalmente, si este elemento representa una temperatura o una frecuencia, prescindimos de la formalidad simbólica y utilizamos a dicho elemento en cálculos posteriores como si fuese un número cualesquiera. Pero no hay que olvidar que, formalmente, <span style="font-style: italic;">todas las operaciones llevadas a cabo con vectores y matrices siempre terminan produciendo otros vectores y matrices</span>.<br /><br />Ahora bien, vamos a considerar al vector <span style="font-style: italic;">renglón</span> <span style="font-weight: bold;">U</span> como lo que verdaderamente es, <span style="font-style: italic;">una matriz que consta de un renglón y tres columnas</span>, o sea, una matriz 1x3. En tal caso, podemos formalizar la representación de cada elemento agregando un 1 a cada sub-índice, de modo tal que el elemento a<sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>1 </sub> es el elemento que corresponde al primer (y único) renglón en la primera columna de la matriz, el elemento a<sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>2 </sub> es el elemento que corresponde al primer renglón en la segunda columna de la matriz, y el elemento a<sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>3 </sub> es el elemento que corresponde al primer renglón en la tercera columna de la matriz:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj592xYFoYjMsX-Y0rl3OSCTMg-iL4u3HAsWqGamD7Wq7fHI2YgqKbQsISHjx63A0Bu3puY5SDJt5kaH5xTBFhmSxIFMus9mXG4Uxc6B4PYyQZbDccVDlW56UsC6LWZglRbSS9jOh9JQp8j/s1600-h/vector_renglon_U_dos_indices.png"><img style="cursor: pointer; width: 246px; height: 43px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj592xYFoYjMsX-Y0rl3OSCTMg-iL4u3HAsWqGamD7Wq7fHI2YgqKbQsISHjx63A0Bu3puY5SDJt5kaH5xTBFhmSxIFMus9mXG4Uxc6B4PYyQZbDccVDlW56UsC6LWZglRbSS9jOh9JQp8j/s400/vector_renglon_U_dos_indices.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374011797248886098" border="0" /></a><br /></div><br />Haremos también algo similar con el vector <span style="font-style: italic;">columna</span> <span style="font-weight: bold;">V</span>, lo vamos a considerar como lo que verdaderamente es, <span style="font-style: italic;">una matriz que consta de tres renglones y una columna</span>, o sea, una matriz 3x1. En tal caso, podemos formalizar la representación de cada elemento poniendo un 1 después de cada cada sub-índice, de modo tal que el elemento b<sub>1<span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span> </sub> es el elemento que corresponde al primer renglón en la primera (y única) columna de la matriz, el elemento b<sub>2<span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span> </sub> <sub> </sub> es el elemento que corresponde al segundo renglón en la primera columna de la matriz, y el elemento b<sub>3<span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span> </sub> <sub> </sub> es el elemento que corresponde al tercer renglón en la primera columna de la matriz:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5HZAJ3wph7x-ozNOxzorlDE8xgbV4vVGndEVnoBzqccg8dQ7gfe2UsBLI-MPFbtvf1hXIkhjiqlLCgKgRUWFkAcoKm7va8q4sVEuvQIKa7NwUiJ8DT-9P_rgpqeTRgUHe5dmx_Nmp3g7E/s1600-h/vector_columna_V_dos_indices.png"><img style="cursor: pointer; width: 153px; height: 104px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5HZAJ3wph7x-ozNOxzorlDE8xgbV4vVGndEVnoBzqccg8dQ7gfe2UsBLI-MPFbtvf1hXIkhjiqlLCgKgRUWFkAcoKm7va8q4sVEuvQIKa7NwUiJ8DT-9P_rgpqeTRgUHe5dmx_Nmp3g7E/s400/vector_columna_V_dos_indices.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374012980309611602" border="0" /></a><br /></div><br />Con este ligero cambio notacional, el producto <span style="font-weight: bold;">UgV</span> se escribe en notación matricial de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOtyvcxTY9aEqE65p8ENAjQ9Oy7qxkzl7D4kGWQWOBitB2BbH8pJj01hYMQf9aTilBZT5-LNB42fdy7F0wGXicxJj62c8X50XIi0j_On11ESiLt7Vt49xLA39WOI9ktLRI2GOa76z1UP05/s1600-h/producto_matricial_3x3_indices_dobles.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 146px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOtyvcxTY9aEqE65p8ENAjQ9Oy7qxkzl7D4kGWQWOBitB2BbH8pJj01hYMQf9aTilBZT5-LNB42fdy7F0wGXicxJj62c8X50XIi0j_On11ESiLt7Vt49xLA39WOI9ktLRI2GOa76z1UP05/s400/producto_matricial_3x3_indices_dobles.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374014465348197522" border="0" /></a><br /></div><br />La representación del producto matricial triple mediante una doble sumatoria será entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-lAvUV9qXjT_KhgWTM1WAq6CO_5a-yIgEktziTIONDvKCzhQ1xUE0T_W9iZJqGHG7RT-nHHCPQJOaxJc5fmyjmvWena6gV1Okg1XR1UYg-SSbOgApDxmR0Nt2EI5lP1p19qSFB0fWffwk/s1600-h/segunda_sumatoria.png"><img style="cursor: pointer; width: 187px; height: 89px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-lAvUV9qXjT_KhgWTM1WAq6CO_5a-yIgEktziTIONDvKCzhQ1xUE0T_W9iZJqGHG7RT-nHHCPQJOaxJc5fmyjmvWena6gV1Okg1XR1UYg-SSbOgApDxmR0Nt2EI5lP1p19qSFB0fWffwk/s400/segunda_sumatoria.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374014993027700178" border="0" /></a><br /></div><br />Un momento de reflexión nos revela que si en lugar del vector <span style="font-weight: bold;">U</span> de tama<span>ñ</span>o 1x3 tenemos una <span style="font-style: italic;">matriz</span> de tama<span>ñ</span>o <span style="color: rgb(255, 0, 0);">i</span>x3, y que si en lugar del vector <span style="font-weight: bold;">V</span> de tama<span>ñ</span>o 3x1 tenemos una <span style="font-style: italic;">matriz</span> de tama<span>ñ</span>o 3x<span style="color: rgb(51, 51, 255);">j</span>, entonces el resultado final del producto de las <span style="font-style: italic;">tres matrices</span> será una matriz <span style="font-weight: bold;">M</span> = (m<sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">i</span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">j</span></sub>) de tama<span>ñ</span>o <span style="color: rgb(255, 0, 0);">i</span>x<span style="color: rgb(51, 51, 255);">j</span>, y para calcular el valor de cada elemento m<sub>ij</sub> de dicha matriz todo lo que tenemos que hacer en la doble sumatoria de arriba es reemplazar el <span style="font-style: italic;">primer</span> sub-índice 1 en la variable <span style="font-style: italic;">a</span> por <span style="color: rgb(255, 0, 0);">i</span>, y reemplazar el <span style="font-style: italic;">segundo</span> sub-índice 1 en la variable <span style="font-style: italic;">b</span> por<span style="color: rgb(51, 51, 255);"> j</span>, obteniendo la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQKxqU9XBulPwTSA_9z6xIRHwrnLAadEvscRkj_bGAf0tcmCkrm-IzmAdamHo91fOzwQk1vv4_YkMA9NF0hK7IXemiigc0vL3cL6eE77FQi3zS0hFKCfelfnqfzYpnvXwRLYaqwB8Q1yJc/s1600-h/tercera_sumatoria.png"><img style="cursor: pointer; width: 260px; height: 90px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQKxqU9XBulPwTSA_9z6xIRHwrnLAadEvscRkj_bGAf0tcmCkrm-IzmAdamHo91fOzwQk1vv4_YkMA9NF0hK7IXemiigc0vL3cL6eE77FQi3zS0hFKCfelfnqfzYpnvXwRLYaqwB8Q1yJc/s400/tercera_sumatoria.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5374017912913721954" border="0" /></a><br /></div><br />Lo que se acaba de hacer aquí es la obtención de <span style="font-weight: bold;">la definición formal del producto de tres matrices</span>. Obsérvese que en los límites superiores de las sumatorias para esta definición que acabamos de obtener el tama<span>ñ</span>o intermedio ya no está limitado hasta p = q = 3, podemos utilizar matrices del tama<span>ñ</span>o que queramos siempre y cuando dichos tama<span>ñ</span>os estén en concordancia con la definición de compatibilidad que se ha dado para productos matriciales (no podemos multiplicar una matriz 4x3 por una matriz 2x5 en ningún orden).<br /><br />Obsérvese también otro detalle interesante. Si alguien borrara los símbolos <span style="font-weight: bold;">Σ </span>de las sumatorias en la expresión de arriba, no tendríamos dificultad alguna en reestablecerlos. Tan sólo tendríamos que fijarnos en <span style="font-style: italic;">los sub-índices que están repetidos</span>. De este modo, si lo que vemos escrito es lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>ip </sub>g<sub>pq </sub>b<sub>qj</sub><br /></div><br />entonces con tan sólo mirar los sub-índices que están repetidos (en este caso los sub-índices <span style="font-style: italic;">p</span> y <span style="font-style: italic;">q</span>) podemos volver a poner las sumatorias en el orden que queramos (que al fin y al cabo el orden en el cual se lleven a cabo las sumaciones no altera el resultado final de la sumación). Esto será de utilidad posteriormente cuando entremos en el estudio del análisis tensorial que a su vez es requerido para formular los principios y resolver los problemas que corresponden a la Teoría General de la Relatividad. Mientras tanto, en base a lo que acabamos de ver, podemos hacer unívocamente la siguiente afirmación sin temor a equivocarnos:<br /><br /><span style="font-weight: bold;">El resultado final de todo producto matricial múltiple (involucrando dos o más matrices) puede ser representado no sólo gráficamente mediante matrices sino también con la definición formal basada en el uso de las sumatorias</span>.<br /><br />De este modo, contamos ya con dos representaciones distintas para la misma cosa.<br /><br />Tomando en cuenta que el producto de dos matrices no es una operación conmutativa salvo en casos especiales, esta es una buena ocasión para señalar que para que una sumatoria múltiple pueda ser representada en forma alterna como el producto de varias matrices cuando tal cosa sea posible, ayuda mucho el acomodar los factores de la sumatoria de modo tal que la conversión a la representación matricial se pueda llevar a cabo directamente. A modo de ejemplo, en la siguiente sumatoria múltiple:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDsrjnkD_5u9sOvYHikCzBxxCK3I8SMFITEgpv2y0puSf-rBe3lWCP-WoSxISH0EXlw56BzowH-nTcTZTpqTB3-0TkFCHoZ1DafCjSWhraeaiRXE8WHISh9PPCjirjFEsjYZV-98CWol0/s1600-h/sumatoria_multiple_inicial.png"><img style="cursor: pointer; width: 316px; height: 90px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDsrjnkD_5u9sOvYHikCzBxxCK3I8SMFITEgpv2y0puSf-rBe3lWCP-WoSxISH0EXlw56BzowH-nTcTZTpqTB3-0TkFCHoZ1DafCjSWhraeaiRXE8WHISh9PPCjirjFEsjYZV-98CWol0/s400/sumatoria_multiple_inicial.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380778547809044578" border="0" /></a><br /></div><br />no resulta nada claro cuál podría ser la representación matricial correspondiente. Pero si reacomodamos los factores de la sumatoria de la siguiente manera usando como guía el requerimiento de que los sub-índices tienen que estar apareados conforme son leídos de izquierda a derecha en la sumatoria ya transformada:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh_xjRbzNTsLbA51DM6cjDPeh8iJnRgwfao7uoGhsyeZfWL0_dv5OrJ3PxU2X_eRW1sZ2ZWmYuVNOcO4rTJPJ-nTzun0D-zfVDR1d2wlSAKhSd10-fNqsdpPldSzIIJtM47efjgcRSJk0/s1600-h/sumatoria_multiple_preparada_para_representacion_matricial.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 312px; height: 93px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh_xjRbzNTsLbA51DM6cjDPeh8iJnRgwfao7uoGhsyeZfWL0_dv5OrJ3PxU2X_eRW1sZ2ZWmYuVNOcO4rTJPJ-nTzun0D-zfVDR1d2wlSAKhSd10-fNqsdpPldSzIIJtM47efjgcRSJk0/s400/sumatoria_multiple_preparada_para_representacion_matricial.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380779130189125586" border="0" /></a><br /></div><br />la representación matricial salta a la vista casi de inmediato, la cual en notación matricial <span style="font-style: italic;">compacta</span> resulta ser:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">X</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup> <span style="font-weight: bold;">G</span> <span style="font-weight: bold;">Λ X</span><br /></div><br />Obsérvese cuidadosamente que para poder lograr esta representación matricial, tomando en cuenta que la sumatoria múltiple debe producir al final un número (que matricialmente viene siendo una matriz que consta de un solo renglón y de una sola columna, algo que tenemos que saber de antemano para evitarnos mucho trabajo), la necesidad de <span style="font-style: italic;">aparear</span> los sub-índices nos obligó a tomar la <span style="font-style: italic;">transpuesta</span> de la matriz <span style="font-weight: bold;">Λ</span>, la cual representamos de color rojo como <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup>; y también nos obligó a usar la representación del vector <span style="font-style: italic;">columna</span> <span style="font-weight: bold;">X</span> como el vector <span style="font-style: italic;">renglón</span> tomando la transpuesta de <span style="font-weight: bold;">X</span> y representándolo como <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">X</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);"></span>. Esto significa que en la sumatoria múltiple preparada para su representación matricial en donde aparecen <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">X</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);"></span> y <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup> de color rojo como corresponde a las <span style="font-style: italic;">transpuestas</span>, si bien en lo que respecta al componente <span style="color: rgb(255, 0, 0);">x</span><sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">i</span> </sub>dentro de la sumatoria el cambio no tiene efecto alguno, el componente <span style="color: rgb(255, 0, 0);">λ</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">ir</sub> <span style="font-style: italic;">en caso de llevarse a cabo la sumación sobre esa expresión</span> tiene que ser interpretado no como el elemento dentro de la matriz <span style="font-weight: bold;">Λ</span> que está en el renglón <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">i</span> y la columna <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">r</span> sino como el elemento dentro de la matriz que está dentro del renglón <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">r</span> y la columna <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">i</span>.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-62416415996395733522009-03-18T21:30:00.000-07:002009-10-08T17:16:12.164-07:009: Suma relativista de velocidadesSupóngase, para fines de discusión, que tenemos un tren que se está moviendo a una velocidad extraordinariamente alta, a una velocidad de <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">tren</sub> igual a 200 mil kilómetros por segundo. Supóngase también que en uno de los vagones del tren hay un viajero que lanza <span style="font-style: italic;">en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren</span> una pelota a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">pelota</sub> de 200 mil kilómetros por segundo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiL6-p3qj2i0C-Kuzgmn23u6VYg-WHej_YCCM5HSq_Hrkiok__cDuwUerU8pJ-ozrGZlTwp09uvX3ZXYNnHumMJwULJOkIQq8HgoDphnFaRgR6pD5pNAYDHactl_c1yu2woaLkf4NzUyoXy/s1600-h/suma_de_velocidades_relativistica.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 156px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiL6-p3qj2i0C-Kuzgmn23u6VYg-WHej_YCCM5HSq_Hrkiok__cDuwUerU8pJ-ozrGZlTwp09uvX3ZXYNnHumMJwULJOkIQq8HgoDphnFaRgR6pD5pNAYDHactl_c1yu2woaLkf4NzUyoXy/s400/suma_de_velocidades_relativistica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319033010476934866" border="0" /></a><br /></div><br /><br />La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿a qué velocidad verá moverse la pelota un observador situado fuera del tren a un lado de las vías de ferrocarril?<br /><br />Si pensáramos de acuerdo a la cinemática clásica, diríamos: A la velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">pelota</sub> a la que es lanzada la pelota dentro del vagón del tren hay que sumarle la velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">tren</sub> a la cual se está desplazando el ferrocarril en el mismo sentido para obtener la velocidad total <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> con la cual verá moverse la pelota un observador externo situado a un lado de las vías del ferrocarril, o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">total</sub> =<span style="font-weight: bold;"> V</span><sub style="font-weight: bold;">tren</sub> + <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">pelota</sub><br /></div><br />Pero en la mecánica relativista, este modo de pensar es incorrecto, porque en el ejemplo que se ha puesto arriba una velocidad de la pelota de 200 mil kilómetros por segundo sumada a una velocidad del tren de 200 mil kilómetros por segundo nos daría una velocidad de la pelota de 400 mil kilómetros por segundo para un observador externo, lo cual excede a la velocidad de la luz por 100 mil kilómetros por segundo, violando el principio de que no hay nada que pueda moverse a una velocidad mayor que la velocidad de la luz.<br /><br />Obviamente, la suma clásica de velocidades tiene que ser modificada. El viajero dentro del tren verá la pelota lanzada por él moviéndose a una velocidad de 200 mil kilómetros por segundo, pero el observador externo no la verá moverse a 400 mil kilómetros por segundo sino a una velocidad menor, ciertamente menor que la velocidad de la luz.<br /><br />Se puede demostrar que, dentro de la Teoría de la Relatividad, si la velocidad de la pelota <span style="font-style: italic;">dentro del vagón de ferrocarril</span> (en el marco de referencia S') es designada como <span style="font-weight: bold;">u'</span> y la velocidad del ferrocarril es designada como <span style="font-weight: bold;">v</span>, entonces la velocidad <span style="font-weight: bold;">u</span> de la pelota tal y como la verá un observador situado a un lado de las vías será:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN8PeqLdu0rtaIMtK_A4jyiT5-O-14UZF76dNyruijtC_yxVMgdcVVeKS72n2RO91tBgYz1CMugl0e6zdGTnJ-Bk3mzxzIhVIClglB_XrsxR-YKsMQADauVG_uI4DCdOfmPcFeJDHGCy5c/s1600-h/formula_suma_de_velocidades_relativistica.png"><img style="cursor: pointer; width: 135px; height: 50px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN8PeqLdu0rtaIMtK_A4jyiT5-O-14UZF76dNyruijtC_yxVMgdcVVeKS72n2RO91tBgYz1CMugl0e6zdGTnJ-Bk3mzxzIhVIClglB_XrsxR-YKsMQADauVG_uI4DCdOfmPcFeJDHGCy5c/s400/formula_suma_de_velocidades_relativistica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5319040178375834242" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Esta relación es conocida también como <span style="font-weight: bold;">ley de adición (composición) de velocidades</span>. Pongamos algunos valores numéricos en ésta fórmula. Puesto que la pelota es arrojada dentro del vagón a una velocidad de 200 mil kilómetros por segundo, siendo las dos terceras partes de la velocidad de la luz, podemos escribir <span style="font-weight: bold;">u'</span> = 2<span style="font-weight: bold;">c</span>/3. Del mismo modo, puesto que el ferrocarril se está desplazando también a una velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> de 200 mil kilómetros por segundo, podemos escribir <span style="font-weight: bold;">v</span> = 2<span style="font-weight: bold;">c</span>/3. Entonces la velocidad de la pelota, vista por un observador externo, será:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">u</span> = (2<span style="font-weight: bold;">c</span>/3 + 2<span style="font-weight: bold;">c</span>/3)/{1 + (2<span style="font-weight: bold;">c</span>/3)(2<span style="font-weight: bold;">c</span>/3)/<span style="font-weight: bold;">c</span>²}<br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span> = (4<span style="font-weight: bold;">c</span>/3)/{1 + 4/9}<br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span> = (4<span style="font-weight: bold;">c</span>/3)/(13/9)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span> = (36<span style="font-weight: bold;"></span>/39)<span style="font-weight: bold;"> c</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span> = 0.923 <span style="font-weight: bold;">c</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span> = 2,769 kilómetros por segundo<br /></div><br />Ahora que tenemos una fórmula para obtener la suma de velocidades en un esquema relativista, podemos recurrir directamente a dicha fórmula para resolver algunos problemas.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál será la velocidad de un rayo luminoso lanzado desde una linterna dentro de una nave espacial en la misma dirección en la cual se mueve la nave, para un observador externo que ve a la nave trasladarse a una velocidad u', de acuerdo con la formula relativista para la suma de velocidades?</span><br /><br />Poniendo <span style="font-weight: bold;">u'</span> = <span style="font-weight: bold;">c</span> en la fórmula de arriba, obtenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">u'</span> = (<span style="font-weight: bold;">u</span> + <span style="font-weight: bold;">v</span>)/(1 + <span style="font-weight: bold;">vu'</span>/<span style="font-weight: bold;">c</span>²)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">u'</span> = (<span style="font-weight: bold;">c</span> + <span style="font-weight: bold;">v</span>)/(1 + <span style="font-weight: bold;">vc</span>/<span style="font-weight: bold;">c</span>²)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">u'</span> = (<span style="font-weight: bold;">c</span> + <span style="font-weight: bold;">v</span>)/{(<span style="font-weight: bold;">c</span> + <span style="font-weight: bold;">v</span>)/<span style="font-weight: bold;">c</span>)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">u'</span> = <span style="font-weight: bold;">c</span><br /></div><br />El observador externo mide para el rayo de luz la misma velocidad c que la que mide el observador que va dentro de la nave, en concordancia con el segundo postulado de la Teoría Espacial de la Relatividad.<br /><br />Aunque no es una convención universalmente aceptada, en una buena cantidad de textos se acostumbra simbolizar como <span style="font-weight: bold;">u</span> a la velocidad de un cuerpo que <span style="font-style: italic;">se está moviendo</span> dentro de cierto marco de referencia S frente a un observador en reposo situado dentro del mismo marco de referencia:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfO_XGQ9rbPNyYhzEo002Q27HalGHACj_2WKPzDYMx-6sku7nAD5Je5DUN-dyQ_-ejfa8n36eJ_ON8zPAEZsw8jOIoW6lRmQda8IScq5vcLJvOK7j2Ke4d2X_a_yzsaVdtgSgL2yX0Ml8/s1600-h/marco_de_referencia_para_u.png"><img style="cursor: pointer; width: 371px; height: 281px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfO_XGQ9rbPNyYhzEo002Q27HalGHACj_2WKPzDYMx-6sku7nAD5Je5DUN-dyQ_-ejfa8n36eJ_ON8zPAEZsw8jOIoW6lRmQda8IScq5vcLJvOK7j2Ke4d2X_a_yzsaVdtgSgL2yX0Ml8/s400/marco_de_referencia_para_u.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383624785318529522" border="0" /></a><br /></div><br /><br />mientras que la otra forma de simbolizar al movimiento de dicho cuerpo consiste en considerarlo <span style="font-style: italic;">en estado de reposo</span> dentro de un marco de referencia S’ que a su vez está en movimiento relativo frente a otro observador situado en el marco de referencia S, en cuyo caso la velocidad del cuerpo entre ambos marcos es simbolizada como <span style="font-weight: bold;">V</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEy4H9k9ll2ztH4EiubdHIgdNvch_P11TpNAXmKg8fB3rdwBSrEd5BWu5pCNSZY3NRIUgiPWyhylfcAksQhomLh11M55MkYCvOchwMnN_4geNCKWV59OkJYFYRgHH_Y7Ux655fcEgjA2c/s1600-h/marco_de_referencia_para_V.png"><img style="cursor: pointer; width: 373px; height: 275px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEy4H9k9ll2ztH4EiubdHIgdNvch_P11TpNAXmKg8fB3rdwBSrEd5BWu5pCNSZY3NRIUgiPWyhylfcAksQhomLh11M55MkYCvOchwMnN_4geNCKWV59OkJYFYRgHH_Y7Ux655fcEgjA2c/s400/marco_de_referencia_para_V.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383626647564017506" border="0" /></a><br /></div><br /><br />De este modo, en una convención se utiliza un solo marco de referencia S, mientras que en la otra convención se utilizan dos marcos de referencia S y S’. Algunas veces, las velocidades <span style="font-weight: bold;">u</span> y <span style="font-weight: bold;">V</span> serán iguales, o sea <span style="font-weight: bold;">u</span> = <span style="font-weight: bold;">V</span>, lo cual describe exactamente la misma situación en ambos casos. En la convención en la cual utilizamos el símbolo <span style="font-weight: bold;">V</span> para representar a un cuerpo en reposo dentro de un marco de referencia que se está moviendo con respecto a otro a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span>, ésta convención equivale a anclar el sistema de referencia S’ al cuerpo mismo. En el caso en el que tengamos a un cuerpo moviéndose <span style="font-style: italic;">dentro</span> de un marco de referencia S’ a una velocidad <span style="font-weight: bold;">u</span>, el cual a su vez está moviéndose a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> con respecto a otro marco de referencia S de un observador en reposo, la velocidad del cuerpo medida por el observador en reposo será igual a la suma relativista de velocidades <span style="font-weight: bold;">u</span> y <span style="font-weight: bold;">V</span>. Cuando no hay confusión al respecto, podemos designar a la velocidad <span style="font-weight: bold;">u</span> como <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y a la velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> del marco de referencia como <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> para simplificar así a la suma relativista de velocidades de una manera más general.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA: </span><span><span style="font-style: italic;">Un observador en Tierra ve a dos naves espaciales aproximarse en sentido contrario la una a la otra. ¿A qué velocidad debe ir viajando cada nave, suponiendo que ambas tienen velocidades iguales pero en sentido contrario, para que produzcan una suma relativista de velocidades resultante en una velocidad igual a 0.9c?</span><br /><br />Llamando V a la velocidad de cada nave con respecto al observador en Tierra, de acuerdo con la fórmula relativista para adición de velocidades tendríamos lo siguiente para lograr una suma relativista de velocidades igual a 0.9 c:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFvjZJUZw3Hpbyu2euUwkvCtZcjcTLxfDfxiUoyRwEzn_8bkXAoRak7G0MQzTsiomyJy5bpKMf-KFH_GbaQTAwcrMIlhUPktCG1TSxYXIKARVr0BTHHzztFyUPf7R_osjllbpB0FgV7LV9/s1600-h/problema_suma_relativista_de_velocidades.png"><img style="cursor: pointer; width: 166px; height: 72px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFvjZJUZw3Hpbyu2euUwkvCtZcjcTLxfDfxiUoyRwEzn_8bkXAoRak7G0MQzTsiomyJy5bpKMf-KFH_GbaQTAwcrMIlhUPktCG1TSxYXIKARVr0BTHHzztFyUPf7R_osjllbpB0FgV7LV9/s400/problema_suma_relativista_de_velocidades.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379988928543953586" border="0" /></a><br /></div><span><br /></span><div style="text-align: center;"><span>(0.9 c)(1 + V²/c²) = 2V</span><br /><br /><span>(0.9)V²/c² - 2V + (0.9/c) = 0</span><br /><br /><span>0.9V² - 2Vc² + 0.9 c = 0</span><br /></div><span><br />Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos que la velocidad de cada nave espacial debe ser igual a:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span>V = 0.627 c</span><br /></div><span><br /></span><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Tomando la siguiente representación de la fórmula para la adición relativista de velocidades:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0OLyNLVWiVQDuVkSFYcMd1psNA8FeIz9QoJ2Sfu9za_m5tsa8UQ9KNvT7nUIcntwVWij1SJ5Mxk6qCsYgTLtP9LKCX7pfBk1OPM4zPkir28UoRC203Asfx1VATw2FzUU_yVa3mLNrZLs/s1600-h/formula_composicion_de_velocidades_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 170px; height: 61px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0OLyNLVWiVQDuVkSFYcMd1psNA8FeIz9QoJ2Sfu9za_m5tsa8UQ9KNvT7nUIcntwVWij1SJ5Mxk6qCsYgTLtP9LKCX7pfBk1OPM4zPkir28UoRC203Asfx1VATw2FzUU_yVa3mLNrZLs/s400/formula_composicion_de_velocidades_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383641042258724850" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">demostrar la simetría e integridad de la fórmula despejando a </span>V<sub>1</sub> <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"> poniéndola en función de </span> V<sub>2</sub> <span style="font-style: italic;">y </span>V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"> , comprobando que se mantiene el formato correcto para la composición de velocidades.</span><br /><br /><div style="text-align: center;">c²V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"> + </span>V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>3</sub> <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"> </span><span style="font-style: italic;"> = </span>c²V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"> + </span>c²V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span><br /><br /><span style="font-style: italic;"></span>c²V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span> - <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> = <sub></sub><sub></sub><sub></sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>c²V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span> - <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>c²V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span><br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span>V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span>(1 - <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> /c²) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span>(V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span> - <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span>)<br /><br />V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span> = (- <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>2 </sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>+ V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>)/(1 - <span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> /c²)<br /></div><br />Este es el mismo formato de la fórmula original, con la substitución:<br /><br /><div style="text-align: center;">( V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span>, V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span>, V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>) → ( V<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>, - V<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span>, V<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>)<br /></div><br />La fórmula dada para la suma relativista de velocidades es útil para el caso en el cual la persona que viaja en el vagón del tren lanza la pelota <span style="font-style: italic;">en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren</span> (el eje de las equis, <span style="color: rgb(255, 0, 0);">x</span>). ¿Pero qué relaciones deberán ser aplicadas para el caso en el cual la pelota no es lanzada en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren sino en una dirección diferente que involucra las otras dos coordenadas (el eje de las <span style="color: rgb(255, 0, 0);">y</span> y el eje de las<span style="color: rgb(255, 0, 0);"> z</span>)? En tal caso, resulta conveniente derivar unas expresiones de uso general, y para ello podemos recurrir a las ecuaciones de transformación de Lorentz:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x = γ(x’ + Vt’)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y = y’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z = z’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t = γ(t’ + Vx’/c²)<br /><br />Por definición, la velocidad instantánea <span style="font-style: italic;">u</span> de un objeto está definida como el cambio infinitesimal en el espacio recorrido <span style="font-style: italic;">ds</span> entre el intervalo infinitesimal de tiempo <span style="font-style: italic;">dt</span> requerido para recorrerlo:<br /><br /><div style="text-align: center;">u = ds/dt<br /></div><br />En tres coordenadas (x,y,z), las componentes respectivas de la velocidad serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">u<sub>x</sub> = dx/dt<br /><br />u<sub>y</sub> = dy/dt<br /><br />u<sub>z</sub> = dz/dt<br /></div><br />Tomando infinitesimales (diferenciales) en cada una de las relaciones de transformación de Lorentz, obtenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">dx = γ(dx’ + Vdt’)<br /><br />dy = dy’<br /><br />dz =dz’<br /><br />dt = γ(dt’ + Vdx’/c²)<br /></div><br />Esto nos lleva directamente a las siguientes relaciones:<br /><br /><div style="text-align: center;">u<sub>x</sub> = dx/dt = {γ(dx’ + Vdt’)} / {γ(dt’ + Vdx’/c²)}<br /><br />u<sub>x</sub> = {dx’/dt’ + V} / {1 + (V/c²)(dx’/dt’)}<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSOIhfWjAQOBhFDw2zXVsZ-m2LBr8yoscW14Tk6Svhr8juC_HXSR-nqOQc00NCmKV5aNUmnPQNDq77ny-oWUcncyTX9etWlBC_B-6H5J8dtFQY9z8fXIt-r3lKCikqx21kIcrfQj7InkWM/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_x_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 112px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSOIhfWjAQOBhFDw2zXVsZ-m2LBr8yoscW14Tk6Svhr8juC_HXSR-nqOQc00NCmKV5aNUmnPQNDq77ny-oWUcncyTX9etWlBC_B-6H5J8dtFQY9z8fXIt-r3lKCikqx21kIcrfQj7InkWM/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_x_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327525459264327522" border="0" /></a><br /><div style="text-align: left;"><br /></div></div><div style="text-align: center;">u<sub>y</sub> = dy/dt = dy’/{γ(dt’ + Vdx’/c²)}<br /><br />u<sub>y</sub> = {dy’/dt’} / {γ(1 + V(dx’/dt’) c²)<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxWTVCGAVHu-NCbMFFC4hq7sR1Z7LpTA1AY-GdHNgAQrSw18uIa4BJrvFdo8pgZj-JPvRM64hwOIcQSoUPx9QQMRNDE_i3o7vmwZqAUqPA-Z2VEI9PLMWOJXgbV-VZl2vfarvewIMfN7mn/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_y_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 138px; height: 55px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxWTVCGAVHu-NCbMFFC4hq7sR1Z7LpTA1AY-GdHNgAQrSw18uIa4BJrvFdo8pgZj-JPvRM64hwOIcQSoUPx9QQMRNDE_i3o7vmwZqAUqPA-Z2VEI9PLMWOJXgbV-VZl2vfarvewIMfN7mn/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_y_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327527199534978658" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;">u<sub>z</sub> = dz/dt = dz/dt = dz’/{γ(dt’ + Vdz’/c²)}<br /><br />u<sub>z</sub> = {dz’/dt’} / {γ(1 + V(dz’/dt’) c²)<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3ye5ynsM-85NneB1x0ZEmVa6KXwyAbrhI0g-pZzzBd3AAuilivLJmF1HDfMzVvkZQUn8_qieFDAAmRsTQz2zfS7lIGMQqZbXJKHZNaKSJ-2ntLSG2HDUDN8N-wQ9ZjTDMA6gELFaqlBh/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_z_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 138px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3ye5ynsM-85NneB1x0ZEmVa6KXwyAbrhI0g-pZzzBd3AAuilivLJmF1HDfMzVvkZQUn8_qieFDAAmRsTQz2zfS7lIGMQqZbXJKHZNaKSJ-2ntLSG2HDUDN8N-wQ9ZjTDMA6gELFaqlBh/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_z_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327528069180739794" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál es la velocidad de un pulso de luz arrojado en la dirección del eje de las equis de acuerdo con las transformaciones relativistas de velocidad?</span><br /><br />En este caso se tiene<br /><br /><div style="text-align: center;">u’<sub>x</sub> = c , u’<sub>y</sub> = 0 , u’<sub>z</sub> = 0<br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">u<sub>x</sub> = {c + V} / {1 + (V/c²)(c)} = c<br /></div><br />así como u<sub>y</sub> = 0 y u<sub>z</sub> = 0. La luz que se mueve con una velocidad c en el marco de referencia S’ también se mueve con una velocidad c en el marco de referencia S, como lo requiere el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál es la velocidad de un pulso de luz arrojado dentro del marco de referencia S</span>’<span style="font-style: italic;"> en la dirección del eje-y</span>’<span style="font-style: italic;"> cuando el marco de referencia se está moviendo en dirección del eje-x</span>’<span style="font-style: italic;"> ante un observador externo situado en el marco de referencia S?<br /></span><br />En este caso se tiene<br /><br /><div style="text-align: center;">u’<sub>x</sub> = 0 , u’<sub>y</sub> = c , u’<sub>z</sub> = 0<br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">u<sub>x</sub> = {0 + V} / {1 + (V/c²)(0)} = V<br /><br />u<sub>y</sub> = {c} / {γ(1 + V(c)/c²) = c/γ<br /><br />u<sub>z</sub> = 0<br /></div><br />En este caso, el pulso de luz se desplaza formando un ángulo con respecto al eje de las yes. <span style="font-style: italic;">Este es precisamente el caso que vimos desde un principio cuando un pasajero viajando dentro de un vagón de ferrocarril en su marco de referencia S’ lanzaba un rayo de luz hacia el techo del ferrocarril mientras que un observador externo en su marco de referencia S veía al rayo de luz moverse no verticalmente sino siguiendo una línea recta a lo largo de una pendiente</span>.<br /><br />Al tenerse u<sub>x</sub> = V y u<sub>y</sub> = c/γ, se concluye que en el marco de referencia S la luz viaja a un ángulo α con respecto al eje-y, o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;">tan α = u<sub>x / </sub>u<sub>y</sub><br /><br />tan α = γV/c<br /><br />α = tan <sup>-1</sup> (γV/c)<br /></div><br />Este es justo el ángulo al cual se tendría que inclinar un telescopio para poder mirar una estrella que como resultado de su movimiento orbital alrededor del Sol se está moviendo a una velocidad aparente V encima de nosotros, de lo contrario la estrella no podrá verse. Este fenómeno es conocido como la <span style="font-style: italic;">aberración de la luz</span> de las estrellas distantes:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjC67KXW2MLsi_Iz0THYw3sDoTDdYuZgLpNr1RqyCW6Q6lZzSkzte5sYOeuf0Quy1t0-pcCNwF1w7HuuxqP9r61t5liWH5Wmovu620dup2l0JFaqhSOX1AUQYkeDPT7IdIv4xbXi_Bj1sHY/s1600-h/aberracion_de_la_luz.png"><img style="cursor: pointer; width: 275px; height: 325px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjC67KXW2MLsi_Iz0THYw3sDoTDdYuZgLpNr1RqyCW6Q6lZzSkzte5sYOeuf0Quy1t0-pcCNwF1w7HuuxqP9r61t5liWH5Wmovu620dup2l0JFaqhSOX1AUQYkeDPT7IdIv4xbXi_Bj1sHY/s400/aberracion_de_la_luz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5330195796979598594" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El fenómeno de la aberración de la luz puede considerarse mejor con el siguiente diagrama que muestra a la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 30 mil millas por segundo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnHNhyphenhyphendmhonZ2e0v1LViHLfiu2TXVvlPuyeN3vVKuMwtX_O-YNmMZi0e_D1QzB0ZX7PeWcDHszG1yJ-JxgTIlUKrA1rVunDtWCQumI6kc3YrEzl0HyrZ2jOCAJUypYtsA5ehKA6ix5tBFV/s1600-h/aberracion_de_la_luz.png"><img style="cursor: pointer; width: 312px; height: 292px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnHNhyphenhyphendmhonZ2e0v1LViHLfiu2TXVvlPuyeN3vVKuMwtX_O-YNmMZi0e_D1QzB0ZX7PeWcDHszG1yJ-JxgTIlUKrA1rVunDtWCQumI6kc3YrEzl0HyrZ2jOCAJUypYtsA5ehKA6ix5tBFV/s400/aberracion_de_la_luz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334593269287426930" border="0" /></a><br /></div><br /><br />en donde <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">SE</sub> es la velocidad de la estrella con respecto a la Tierra (acercándose), <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">LS</sub> es la velocidad de la luz con respecto a la estrella que suponemos es igual a <span style="font-weight: bold;">c</span>, y <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">LE</sub> es la velocidad de la luz con respecto a la Tierra que nos llega de la estrella. Nuestro sentido común nos lleva a creer que la velocidad de la luz con respecto a la Tierra <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">LE</sub> debe ser mayor que la velocidad de la luz con respecto a la misma estrella <span style="font-weight: bold;">V</span><sub style="font-weight: bold;">LS</sub>; esperamos que la velocidad de la luz con respecto a la Tierra deba ser igual a la hipotenusa del triángulo y por lo tanto mayor que <span style="font-weight: bold;">c</span>. Pero las observaciones experimentales indican que la velocidad de la luz con respecto a la Tierra también es <span style="font-weight: bold;">c</span>, en concordancia con el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuáles son las transformaciones inversas de velocidad para pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’ ?</span><br /><br />La resolución de este problema requiere simplemente despejar u’<sub>x</sub>, u’<sub>y</sub> y u’<sub>z</sub> de las relaciones para la transformación relativista de velocidades que ya obtuvimos previamente. Esto nos conduce a las siguientes relaciones:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpX04E7tABB_YJKfL1Stn4MgoYkjHVxTE2RG7X47RVkaSn9SRCojBCH2b1H-EGo34UMB6mJcnPjlSYxBoABvW_GgcFOGwJtvF3EKsO7tzS9mtyeMwiXGZDJpzxTQ95l4NGvANoc5mb54aA/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_x_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 168px; height: 52px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpX04E7tABB_YJKfL1Stn4MgoYkjHVxTE2RG7X47RVkaSn9SRCojBCH2b1H-EGo34UMB6mJcnPjlSYxBoABvW_GgcFOGwJtvF3EKsO7tzS9mtyeMwiXGZDJpzxTQ95l4NGvANoc5mb54aA/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_x_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327535275774456370" border="0" /></a><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjupvvB-qwXWLSHg7N7t2jslTq6L7kdiBWSmXgUh6vEHxXkFWgWoOcxKcCXUVjuFpjnO_3uUtaDfEuYrA9I-J6Khd0lmtWCUFkw7GHUA_mMxWM1221nvjk5uRpBk-HqXcL3lsnIekgzYAYQ/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_y_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 195px; height: 52px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjupvvB-qwXWLSHg7N7t2jslTq6L7kdiBWSmXgUh6vEHxXkFWgWoOcxKcCXUVjuFpjnO_3uUtaDfEuYrA9I-J6Khd0lmtWCUFkw7GHUA_mMxWM1221nvjk5uRpBk-HqXcL3lsnIekgzYAYQ/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_y_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327535476358428418" border="0" /></a><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPtz54FLOja5GJf6carLck8nhzHtGJbFXI1hRtec0BFKAIX-ED8ZdBeks-4Sr4oUKePB8RykEY9GJbRmuAGwABhQJmpdYep7puY14-qvNLO_bGwbveKwDW_mtcHWbQnNwJ0Ug78pUFAWov/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_z_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 193px; height: 52px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPtz54FLOja5GJf6carLck8nhzHtGJbFXI1hRtec0BFKAIX-ED8ZdBeks-4Sr4oUKePB8RykEY9GJbRmuAGwABhQJmpdYep7puY14-qvNLO_bGwbveKwDW_mtcHWbQnNwJ0Ug78pUFAWov/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_z_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327535607732697410" border="0" /></a><br /></div><br />Existen otras maneras de derivar la ley de adición de velocidades, como lo veremos a continuación:<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA:</span> <span style="font-style: italic;">Demostrar que dos transformaciones sucesivas de Lorentz en la misma dirección son equivalentes a una transformación sencilla de Lorentz que se lleva a cabo con una velocidad:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF3nC5jMBn8wPbY2vCSH67-JVaFJRjd_2ek4WAulDh7vM_ZPHfBOkBXKqUOCcHIxm5NPadX4DOhjY7oRXanXaSovXjx17g0h1iDwlqEZCt2hFdkHGQ31LZZ_n4wrrJsibwUZWv_2xKdeX2/s1600-h/combinacion_equivalente_a_suma_relativista_velocidades.png"><img style="cursor: pointer; width: 135px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF3nC5jMBn8wPbY2vCSH67-JVaFJRjd_2ek4WAulDh7vM_ZPHfBOkBXKqUOCcHIxm5NPadX4DOhjY7oRXanXaSovXjx17g0h1iDwlqEZCt2hFdkHGQ31LZZ_n4wrrJsibwUZWv_2xKdeX2/s400/combinacion_equivalente_a_suma_relativista_velocidades.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376543747564388162" border="0" /></a><br /></div><br />Para un marco de referencia desplazándose en la dirección del eje-x a una velocidad V<sub>1</sub>, las transformaciones de Lorentz para pasar de un sistema S a un sistema S’ se pueden escribir de la manera siguiente:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x’ = γ<sub>1</sub>(x + V<sub>1</sub>t)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y’ = y<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z’ = z<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t’ = γ<sub>1</sub>(t + V<sub>1</sub>x/c²)<br /><br />Por otro lado, para un marco de referencia desplazándose en la misma dirección a una velocidad V<sub>2</sub>, las transformaciones de Lorentz para pasar de un sistema S’ a un sistema S’’ se pueden escribir de la manera siguiente:<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>x’’ = γ<sub>2</sub>(x’ + V<sub>2</sub>t’)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>y’’ = y’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>z’’ = z’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>t’’ = γ<sub>2</sub>(t’ + V<sub>2</sub>x’/c²)<br /><br />Enfocaremos nuestra atención sobre la parte espacial en la coordenada-x de la transformación repetida. Introduciendo los valores de x’ y t’ en la expresión para x’’, tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’’ = γ<sub>2</sub>(x’ + V<sub>2</sub>t’)<span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span> = γ<sub>2</sub> [γ<sub>1</sub>(x + V<sub>1</sub>t) + V<sub>2</sub> γ<sub>1</sub>(t + V<sub>1</sub>x/c²)]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">x’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub> [x + V<sub>1</sub>t + V<sub>2</sub> (t + V<sub>1</sub>x/c²)]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">x’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub> [x + V<sub>1</sub>V<sub>2</sub>x/c² + V<sub>1</sub>t + V<sub>2</sub>t]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">x’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub> [(1 + V<sub>1</sub>V<sub>2</sub>/c²) x + (V<sub>1</sub> + V<sub>2</sub>) t]<br /></div><br />Sacando fuera de los paréntesis cuadrados el término (1 + V<sub>1</sub>V<sub>2</sub>/c²) tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilBGokQHjInn1QBpq0SR6d6wBlhi9KOCFteBRoY_Dm3YEYZAy9gfGF9RJRIpFY3E6xkj_9_IeogP2r2nM67sPn97khbUROVnUxj3-uQcPKjIsSldxyMhNNOQcfYbfbHnWzbOoWYXmbqXen/s1600-h/transformacion_espacial_Lorentz_repetida_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 354px; height: 81px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilBGokQHjInn1QBpq0SR6d6wBlhi9KOCFteBRoY_Dm3YEYZAy9gfGF9RJRIpFY3E6xkj_9_IeogP2r2nM67sPn97khbUROVnUxj3-uQcPKjIsSldxyMhNNOQcfYbfbHnWzbOoWYXmbqXen/s400/transformacion_espacial_Lorentz_repetida_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376548902542638610" border="0" /></a><br /></div><br />Llevaremos a cabo una simplificación del factor que tenemos fuera de los paréntesis cuadrados sin olvidar que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZrFcoM2fVxPVZ-lXqydOSJWXp1YNuix8X0PAwqpWXKMff-0cYlbAGnbV5Wz9oi_uMINf9b24wBH5gf7jwbP77tmtyZcC-rWHrrLPZVEhsMz3VpPN9XmSZrD9H6y0deQ613g4nEZExtiVO/s1600-h/las_dos_gammas.png"><img style="cursor: pointer; width: 287px; height: 128px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZrFcoM2fVxPVZ-lXqydOSJWXp1YNuix8X0PAwqpWXKMff-0cYlbAGnbV5Wz9oi_uMINf9b24wBH5gf7jwbP77tmtyZcC-rWHrrLPZVEhsMz3VpPN9XmSZrD9H6y0deQ613g4nEZExtiVO/s400/las_dos_gammas.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376549607238871970" border="0" /></a><br /></div><br />definiéndolo todo dentro de un factor gamma compuesto:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_2apvOlb_ia3T36ofx3_asnp-sRAYRoYmwSGuIoWlCnE5GJ8ZTvONEt_gzH538B7-aBuCUrPBh7TORQZdkF0u_-YSPTaNk-3PgfSB0W0RrppmtZQs2KsyzSE6PulcgG4U1Agi3EwCtVcQ/s1600-h/gamma_total.png"><img style="cursor: pointer; width: 385px; height: 74px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_2apvOlb_ia3T36ofx3_asnp-sRAYRoYmwSGuIoWlCnE5GJ8ZTvONEt_gzH538B7-aBuCUrPBh7TORQZdkF0u_-YSPTaNk-3PgfSB0W0RrppmtZQs2KsyzSE6PulcgG4U1Agi3EwCtVcQ/s400/gamma_total.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376550005907002770" border="0" /></a><br /></div><br />Este factor gamma compuesto siempre será mayor que la unidad, puesto que el numerador 1 + V<sub>1</sub>V<sub>2</sub>/c² es mayor que 1 y puesto que para β<sub>1</sub> y β<sub>2</sub> diferentes de cero el numerador del gamma compuesto será menor que la unidad, garantizando un gamma compuesto mayor que la unidad en todos los casos.<br /><br />Con esto, la componente espacial a lo largo del eje-x de la transformación repetida de Lorentz resulta ser:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZFIWkV-MpRdqyAIXItfBGt-OLxpEIww4_4oaUfz_-wLsQ8Orr9pcEcj0ucEC0NQ4XxdNPtmbOU0WpiStog_kHd0v9tZCRkgfPrP_xY8dIgzQeVN1WZziuTRUJezJYUxPkso1MIAEGUaMh/s1600-h/transformacion_espacial_Lorentz_repetida_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 227px; height: 78px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZFIWkV-MpRdqyAIXItfBGt-OLxpEIww4_4oaUfz_-wLsQ8Orr9pcEcj0ucEC0NQ4XxdNPtmbOU0WpiStog_kHd0v9tZCRkgfPrP_xY8dIgzQeVN1WZziuTRUJezJYUxPkso1MIAEGUaMh/s400/transformacion_espacial_Lorentz_repetida_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376550494376176018" border="0" /></a><br /></div><br />Obsérvese que esta expresión, haciendo V<sub>1</sub> = 0 ó V<sub>2</sub> = 0, se reduce a la transformación de Lorentz sencilla para la componente espacial.<br /><br />Definiendo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF3nC5jMBn8wPbY2vCSH67-JVaFJRjd_2ek4WAulDh7vM_ZPHfBOkBXKqUOCcHIxm5NPadX4DOhjY7oRXanXaSovXjx17g0h1iDwlqEZCt2hFdkHGQ31LZZ_n4wrrJsibwUZWv_2xKdeX2/s1600-h/combinacion_equivalente_a_suma_relativista_velocidades.png"><img style="cursor: pointer; width: 135px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF3nC5jMBn8wPbY2vCSH67-JVaFJRjd_2ek4WAulDh7vM_ZPHfBOkBXKqUOCcHIxm5NPadX4DOhjY7oRXanXaSovXjx17g0h1iDwlqEZCt2hFdkHGQ31LZZ_n4wrrJsibwUZWv_2xKdeX2/s400/combinacion_equivalente_a_suma_relativista_velocidades.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376543747564388162" border="0" /></a><br /></div><br />entonces la transformación repetida de Lorentz se reduce a:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’’ = γ(x + Vt)<br /></div><br />Vemos que<span style="font-style: italic;"> </span><span>dos transformaciones sucesivas de Lorentz en la misma dirección son equivalentes a una transformación sencilla de Lorentz que se lleva a cabo con una velocidad que es la resultante de la adición relativista de las velocidades </span>V<sub>1</sub> y V<sub>2</sub><span> correspondientes a cada transformación original.</span><br /><br />Puesto que no hay movimiento relativo alguno aquí entre los ejes-y y eje-z de los sistemas de coordenadas, dichas coordenadas permanecen inalteradas al pasar de un sistema de referencia a otro.<br /><br />Falta comprobar si la conclusión que obtuvimos sigue siendo válida para la parte temporal de las transformaciones repetidas. Introduciendo los valores de x’ y t’ en la expresión para t’’, tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’’ = γ<sub>2</sub>(t’ + V<sub>2</sub>x’/c²) = γ<sub>2</sub>[γ<sub>1</sub>(t + V<sub>1</sub>x/c²) + V<sub>2</sub>γ<sub>1</sub>(x + V<sub>1</sub>t)/c²]<br /><br />t’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub>[t + V<sub>1</sub>x/c² + V<sub>2</sub>(x + V<sub>1</sub>t)/c²]<br /><br />t’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub>[t + V<sub>1</sub>x/c² + V<sub>2</sub>x/c² + V<sub>1</sub>V<sub>2 </sub>t/c²]<br /><br />t’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub>[(1 + V<sub>1</sub>V<sub>2 </sub>/c²) t + (V<sub>1</sub> + V<sub>2</sub>) x/c²]<br /><br />t’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub> (1 + V<sub>1</sub>V<sub>2 </sub>/c²) [t + {(V<sub>1</sub> + V<sub>2</sub>)/(1 + V<sub>1</sub>V<sub>2 </sub>/c²)} x/c²]<br /><br />t’’ = γ<sub>1</sub>γ<sub>2</sub> (1 + V<sub>1</sub>V<sub>2 </sub>/c²) [t + {(V<sub>1</sub> + V<sub>2</sub>)/(1 + V<sub>1</sub>V<sub>2 </sub>/c²)} x/c²]<br /></div><br />Recurriendo nuevamente a las definiciones dadas arriba:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’’ = γ [t + Vx/c²]<br /></div><br />Vemos que<span style="font-style: italic;"> </span><span>también para la parte temporal dos transformaciones sucesivas de Lorentz en la misma dirección son equivalentes a una transformación sencilla de Lorentz que se lleva a cabo con una velocidad que es la resultante de la adición relativista de las velocidades </span>V<sub>1</sub> y V<sub>2</sub><span> correspondientes a cada transformación original.</span> Esto concluye lo que queríamos demostrar dándonos de paso otra manera para obtener la ley de adición de velocidades.<br /><br />Por simplicidad, hasta aquí hemos considerado en las transformaciones de velocidad marcos de referencia que se están moviendo el uno con respecto al otro a una velocidad V al otro a lo largo del eje común de abcisas, el eje-x, sin movimiento relativo alguno con respecto a los ejes eje-y y eje-z. Entendiblemente, la derivación de las transformaciones de velocidad cuando la velocidad entre ambos marcos de referencia ocurre con una velocidad relativa entre ambos marcos con componentes en los tres ejes coordenados Cartesianos será algo más elaborado. Sin embargo, la derivación de la <span style="font-weight: bold;">ley <span style="color: rgb(255, 0, 0);">generalizada</span> de composición de velocidades</span> se puede simplificar como lo veremos en el siguiente problema si recurrimos a notación <span style="font-style: italic;">vectorial</span> con la velocidad V simbolizada como un vector <span style="font-weight: bold;">V</span> (con letra negrita) con componentes relativos en cada uno de los tres ejes Cartesianos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">V</span> = (V<sub>x</sub>, V<sub>y</sub>, V<sub>z</sub>)<br /></div><br />Usaremos además la notación vectorial del <span style="font-style: italic;">producto punto</span> ó <span style="font-style: italic;">producto escalar</span> entre dos vectores:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">u · V</span> = (u<sub>x</sub>, u<sub>y</sub>, u<sub>z</sub>) <span style="font-weight: bold;">·</span> (V<sub>x</sub>, V<sub>y</sub>, V<sub>z</sub>) = u<sub>x</sub><span style="font-weight: bold;"></span>V<sub>x</sub> + u<sub>y</sub><span style="font-weight: bold;"></span>V<sub>y</sub> + u<sub>z</sub><span style="font-weight: bold;"></span>V<sub>z</sub><br /></div><br />Manejando cantidades vectoriales, estamos mejor preparados para llevar a cabo en forma compacta la derivación del resultado general que estamos buscando.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Partiendo de la base de que la transformación <span style="color: rgb(51, 51, 255);">generalizada</span> de Lorentz entre dos sistemas de coordenadas S y S</span>’<span style="font-style: italic;"> está dada vectorialmente por las siguientes dos relaciones para los componentes espaciales y para el componente temporal:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFTqbUFzmyxEVUkNsKOzCEdFfh8ZNNV4Sj9RRnO6gONOoB71xfYBTWBifCZuyeQ25oGghBvnbiz360rSJqv_yMkqQYHvQgduemc2DAi3hXeP328SCPgdkc8WO2F0jt0k-N2hTBxF-TM-cr/s1600-h/transformacion_generalizada_de_Lorentz_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 289px; height: 48px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFTqbUFzmyxEVUkNsKOzCEdFfh8ZNNV4Sj9RRnO6gONOoB71xfYBTWBifCZuyeQ25oGghBvnbiz360rSJqv_yMkqQYHvQgduemc2DAi3hXeP328SCPgdkc8WO2F0jt0k-N2hTBxF-TM-cr/s400/transformacion_generalizada_de_Lorentz_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376184938855786258" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiF1byeaeeACvvt5N3tCv7Ztc5e6A6dGNQ7jH4XVb66_qngKFg3rdSqtlAN_2VunnUL0Tfkbfey7Kcr_NDH0H36XzgerrR-awXa23Do77whSgQA-g-XKI6dSZvck6DCrL338ihd1F_Cwb1a/s1600-h/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 50px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiF1byeaeeACvvt5N3tCv7Ztc5e6A6dGNQ7jH4XVb66_qngKFg3rdSqtlAN_2VunnUL0Tfkbfey7Kcr_NDH0H36XzgerrR-awXa23Do77whSgQA-g-XKI6dSZvck6DCrL338ihd1F_Cwb1a/s400/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376185129975423250" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">demostrar que la ley <span style="color: rgb(51, 51, 255);">generalizada</span> para la composición de velocidades está dada por la siguiente fórmula <span style="color: rgb(255, 0, 0);">vectorial</span>:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1az7qhya9VyvwdYEYG4zW6yZ-0ssWfxs8shUBMHJJ7_HnwtE_cLFyJz6RgZ52w2dgNANKuk25RdZq5sEriJocTM9RXgDpIqqzcFPz7vpJoQw2cA48rEVlLeUDbO5Lzt5babXngyFB-Qb-/s1600-h/transformacion_generalizada_de_velocidades.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 71px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1az7qhya9VyvwdYEYG4zW6yZ-0ssWfxs8shUBMHJJ7_HnwtE_cLFyJz6RgZ52w2dgNANKuk25RdZq5sEriJocTM9RXgDpIqqzcFPz7vpJoQw2cA48rEVlLeUDbO5Lzt5babXngyFB-Qb-/s400/transformacion_generalizada_de_velocidades.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376185839325843282" border="0" /></a><br /></div><br />En este problema, debe quedar claro que el <span style="font-style: italic;">vector</span> <span style="font-weight: bold;">x</span> en la transformación generalizada de Lorentz se refiere a las tres componentes <span style="font-style: italic;">espaciales</span> de dicha transformación antes de llevarse a cabo la transformación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">x </span>= (x, y, z)<br /></div><br />del mismo modo que el vector <span style="font-weight: bold;">x’</span> se refiere a las tres componentes espaciales <span style="font-style: italic;">después</span> de haberse llevado a cabo la transformación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">x’</span> = (x’, y’, z’)<br /></div><br />Al igual que como lo hicimos arriba, tomamos infinitesimales en cada una de las relaciones de la transformación generalizada de Lorentz, obteniendo lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmcUamlsL3RTjSVDVyLWxbQS33fEf0HaSiEZid-Dq_5dqOgwYrxokR92N016qpGiZA2y_6X3CuLknufB_XFMoviuQVxHzNKaFGviqFZSTgJAk0A1JaDYBDsUtvnRbqMPPQXZWAFTbHd5wm/s1600-h/diferencial_componente_espacial_transformacion_generalizada_de_Lorentz.png"><img style="cursor: pointer; width: 337px; height: 64px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmcUamlsL3RTjSVDVyLWxbQS33fEf0HaSiEZid-Dq_5dqOgwYrxokR92N016qpGiZA2y_6X3CuLknufB_XFMoviuQVxHzNKaFGviqFZSTgJAk0A1JaDYBDsUtvnRbqMPPQXZWAFTbHd5wm/s400/diferencial_componente_espacial_transformacion_generalizada_de_Lorentz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376186236796382322" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-7jG7yiJlx_MOFazT2DYMVFSGkiQOSB8jbw5MKi0OlqH-N8gVdKljX-obdqmq8KZgeJcu6GVEOtulUQrgPq8v9kenKdJrK7kqP_013w5pPAlzrd1PjXLROkk4ZrVBwqgIjmmYATA4wUbk/s1600-h/diferencial_componente_temporal_transformacion_generalizada_de_Lorentz.png"><img style="cursor: pointer; width: 204px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-7jG7yiJlx_MOFazT2DYMVFSGkiQOSB8jbw5MKi0OlqH-N8gVdKljX-obdqmq8KZgeJcu6GVEOtulUQrgPq8v9kenKdJrK7kqP_013w5pPAlzrd1PjXLROkk4ZrVBwqgIjmmYATA4wUbk/s400/diferencial_componente_temporal_transformacion_generalizada_de_Lorentz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376186415311127042" border="0" /></a><br /></div> <span style="font-style: italic;">Vectorialmente</span>, la velocidad generalizada <span style="font-weight: bold;">u’</span> en el marco de referencia S’ está dada por la siguiente definición:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl6jsQBkU1_IQ6mcIxlgC-ffVO-AZgLMWFz5GcmsVVBVJBnDUODZHFlJCaQ-yWlpSeuIS3asfK7fHgKlMgk6iLG9hi7N60nFVzd6VNBq-z-rta8GIhtT4YF_EIdZwsKsYEuFDNX92HRo61/s1600-h/definicion_velocidad_generalizada_en_marco_referencia_S'.png"><img style="cursor: pointer; width: 92px; height: 56px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl6jsQBkU1_IQ6mcIxlgC-ffVO-AZgLMWFz5GcmsVVBVJBnDUODZHFlJCaQ-yWlpSeuIS3asfK7fHgKlMgk6iLG9hi7N60nFVzd6VNBq-z-rta8GIhtT4YF_EIdZwsKsYEuFDNX92HRo61/s400/definicion_velocidad_generalizada_en_marco_referencia_S'.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376186957003816946" border="0" /></a><br /></div><br />Entonces, <span style="font-style: italic;">vectorialmente</span>, dividiendo los diferenciales para ambas expresiones tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqG0JA6NOr7UApNa40L5uI_ISx0GLOMtljc_dhOxke5beCXo58NAW57l8C1YCDlxTW0ICWIBL0v-gjp01vcg0ezks_A-WcK2SMijfTiK7pYLH6UCKOnVivVJx4Ig3YdG6Ysi6_moxELvBb/s1600-h/derivacion_formula_velocidad_generalizada.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 332px; height: 142px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqG0JA6NOr7UApNa40L5uI_ISx0GLOMtljc_dhOxke5beCXo58NAW57l8C1YCDlxTW0ICWIBL0v-gjp01vcg0ezks_A-WcK2SMijfTiK7pYLH6UCKOnVivVJx4Ig3YdG6Ysi6_moxELvBb/s400/derivacion_formula_velocidad_generalizada.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376187395625361570" border="0" /></a><br /></div><br />Teniendo en cuenta que en el marco de referencia S:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl7GLiNCPLEkTrB-R9c0iBSb2FFdYDUlO8Foub4mwBxM1RPbBga8ro3HKpoDRE2ZidhXPbJZd-XptDhc5jkDxEiXcb3KlPl_piGAwTHJ2R0787ruAaBsm-Xwqq_F9bMvizozxLfGjRnowg/s1600-h/componentes_velocidad_relativa_entre_marcos.png"><img style="cursor: pointer; width: 301px; height: 57px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl7GLiNCPLEkTrB-R9c0iBSb2FFdYDUlO8Foub4mwBxM1RPbBga8ro3HKpoDRE2ZidhXPbJZd-XptDhc5jkDxEiXcb3KlPl_piGAwTHJ2R0787ruAaBsm-Xwqq_F9bMvizozxLfGjRnowg/s400/componentes_velocidad_relativa_entre_marcos.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376192549489633154" border="0" /></a><br /></div><br />entonces tras unas cuantas manipulaciones algebraicas todo lo anterior se nos reduce a:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1ScsmOpCdZJEHzb4fEPcADIyFVYnQVX7bB3YU7pRdhsKKqNmXC5ptYd9VcTgXSWuAcJCiz8Ld2uO2264mlgaOv5ZZWVL4IbV-ExDC8Zkx8M3bwbXHP7_0-wD9HU2rEbY2mXlcLfWa0FBK/s1600-h/velocidad_generalizada_con_notacion_gamma.png"><img style="cursor: pointer; width: 267px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1ScsmOpCdZJEHzb4fEPcADIyFVYnQVX7bB3YU7pRdhsKKqNmXC5ptYd9VcTgXSWuAcJCiz8Ld2uO2264mlgaOv5ZZWVL4IbV-ExDC8Zkx8M3bwbXHP7_0-wD9HU2rEbY2mXlcLfWa0FBK/s400/velocidad_generalizada_con_notacion_gamma.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376188250603190450" border="0" /></a><br /></div><br />Expandiendo γ = √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> = √<span style="text-decoration: overline;">1 - β²</span>, obtenemos la expresión final dada arriba para la ley generalizada de composición de velocidades.<br /><br />Además de haber obtenido las transformaciones relativistas de velocidad para un objeto lanzado a una velocidad constante <span style="font-weight: bold;">u’</span> dentro de un marco de referencia S’, podemos obtener también las transformaciones relativistas de las <span style="font-style: italic;">aceleraciones</span> en el marco de referencia S de un objeto que se está acelerando dentro del marco de referencia S’. Todo lo que tenemos que hacer es tomar la derivada con respecto al tiempo de la velocidad, que es la definición matemática de la aceleración:<br /><br /><div style="text-align: center;">a = ds/dt<br /></div><br />En un sistema Cartesiano de tres coordenadas rectangulares, tenemos tres componentes de la aceleración (a’<sub>x</sub> , a’<sub>y</sub> , a’<sub>z</sub>) para un cuerpo dentro del marco de referencia S’ que corresponden a unas aceleraciones (a<sub>x</sub> , a<sub>y</sub> , a<sub>z</sub>) en el marco de referencia S. Por lo tanto:<br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>x</sub> = du<sub>x</sub>/dt<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj84WGq8tmnqGxXTo6nu0_m4wAMSNcOCa_09g4lXbxfJBPoe06U5i937EloJSW2Ho389UbYu1bEiRM2112Dx0viRg6j-gxp5GZkinWz5ZzbfAgGBGQXNsU2syB3ycckSaz3uXuyqUEDHN-/s1600-h/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_x.png"><img style="cursor: pointer; width: 155px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj84WGq8tmnqGxXTo6nu0_m4wAMSNcOCa_09g4lXbxfJBPoe06U5i937EloJSW2Ho389UbYu1bEiRM2112Dx0viRg6j-gxp5GZkinWz5ZzbfAgGBGQXNsU2syB3ycckSaz3uXuyqUEDHN-/s400/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_x.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327537635854351234" border="0" /></a><br /><br />a<sub>y</sub> = du<sub>y</sub>/dt<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhX5KpQ91IO8KmPe0BMAiypn9qLV76giatAaphyphenhyphenSW6U5SqyherV1RYvCCKb5wypl1oSuIkYwK1MDHLTXlg51l9bWeONdQfmOMNkQYQB0buN9nR1OA2PfIPeVmKWMgtiAzs5OY60tCYVjLmC/s1600-h/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_y.png"><img style="cursor: pointer; width: 155px; height: 62px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhX5KpQ91IO8KmPe0BMAiypn9qLV76giatAaphyphenhyphenSW6U5SqyherV1RYvCCKb5wypl1oSuIkYwK1MDHLTXlg51l9bWeONdQfmOMNkQYQB0buN9nR1OA2PfIPeVmKWMgtiAzs5OY60tCYVjLmC/s400/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_y.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327537912434718370" border="0" /></a><br /><br />a<sub>z</sub> = du<sub>z</sub>/dt<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfFPK7Ar8pjgsb5EbHqF0S_6NT0V8p1sadwFHODV8Jo9ypjy7Uk_F-ezHaHEGYtyfErwUe2vRIDDY2YXJ74auHgr9kV0UoIFv2ZJN9nVDqPnVEUqgrfS3ZTn7e2VPbyGBPJSrdfnL7jLeA/s1600-h/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_z.png"><img style="cursor: pointer; width: 153px; height: 60px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfFPK7Ar8pjgsb5EbHqF0S_6NT0V8p1sadwFHODV8Jo9ypjy7Uk_F-ezHaHEGYtyfErwUe2vRIDDY2YXJ74auHgr9kV0UoIFv2ZJN9nVDqPnVEUqgrfS3ZTn7e2VPbyGBPJSrdfnL7jLeA/s400/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_z.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327538234798653858" border="0" /></a><br /></div><br />Es importante tener presente que el marco de referencia S se sigue moviendo siempre a una velocidad constante V. Dicho marco de referencia en ningún momento se está acelerando, porque si empezara a acelerarse entonces la Teoría Especial de la Relatividad ya no sería aplicable. Para el estudio de marcos de referencia acelerados es necesario recurrir a la Teoría General de la Relatividad.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-84087368111778649992009-03-18T21:15:00.001-07:002009-05-07T09:32:41.298-07:0010: Una teoría libre de asimetrías y de paradojasCuando un novicio en la Teoría de la Relatividad es confrontado por vez primera con algo que va tan decididamente en contra de su sentido común, en contra de su intuición, lo primero que puede ocurrírsele es que posiblemente en la teoría hay fallos que permiten suponer que la teoría está equivocada, que es una teoría errónea. Esta fue precisamente la actitud en la que incurrieron no sólo aprendices de ciencias sino físicos eminentes en los tiempos de Einstein cuando el famoso físico presentó al mundo su teoría por vez primera. Los críticos de Einstein, que fueron bastantes en su época, aminoraron conforme nuevos experimentos empezaron a confirmar la teoría (la predicción teórica de la existencia del <span style="font-style: italic;">positrón</span> y con ello de la antimateria hecha por el físico inglés P.A.M. Dirac al unificar la mecánica cuántica con la Teoría Especial de la Relatividad es uno de esos triunfos), pero de cualquier modo aún en nuestros tiempos hay quienes dudan sobre la integridad de la Teoría de la Relatividad, y una de las cosas que los hace entrar en dudas es la presencia de <span style="font-weight: bold;">paradojas</span> tales como la famosa <span style="font-style: italic;">paradoja de los gemelos</span>. Estas paradojas parecen hacer resaltar las asimetrías que se obtendrían en los resultados logrados con ciertos experimentos.<br /><br />En realidad, la Teoría Especial de la Relatividad es una teoría consistente completamente libre de asimetrías y de paradojas. Las supuestas paradojas a la larga terminan siendo problemas matemáticos mal planteados o razonamientos mal formulados, llevando a conclusiones erróneas.<br /><br />Una de las “paradojas” más frecuentemente citada es la “paradoja del corredor y el granero”, la cual veremos aquí en detalle. Esta paradoja involucra a un super-atleta ficticio que puede correr a velocidades cercanas a la velocidad de la luz y el cual lleva consigo una pértiga o garrocha (como las usadas en las competencias para dar el salto que tiene por objetivo superar una barra transversal situada a gran altura), aunque en otros textos lo que lleva consigo es una escalera. El objetivo es meter dentro de un granero pequeño que mide 5 metros de largo una escalera que mide 10 metros de largo, lo cual parece físicamente imposible, pero que se antoja posible si el corredor va desplazándose a una velocidad cercana a la velocidad de la luz con lo cual la escalera que lleva consigo experimenta una contracción relativista de longitud.<br /><br />En el siguiente dibujo tenemos al corredor sosteniendo en su brazo una escalera de 10 metros de largo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4WoX0cZRVRAjE8pcpVmaw6OXb2iOmgdzOij4CTosrF3d_qjn8WcqhIvTKH9LIlR-X5t4jAZBAjlwt5Jz2gknhEeuqikaJNMQ1dG4g_HJlMh9e77Y_CGGGhuq7FU0hODqvhMAYE6nk_xva/s1600-h/corredor_con_escalera.gif"><img style="cursor: pointer; width: 343px; height: 179px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4WoX0cZRVRAjE8pcpVmaw6OXb2iOmgdzOij4CTosrF3d_qjn8WcqhIvTKH9LIlR-X5t4jAZBAjlwt5Jz2gknhEeuqikaJNMQ1dG4g_HJlMh9e77Y_CGGGhuq7FU0hODqvhMAYE6nk_xva/s400/corredor_con_escalera.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326831817956122578" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En el siguiente dibujo tenemos al corredor en reposo frente al granjero ambos viendo un granero con una puerta frontal de entrada y una puerta trasera de salida (abierta) el cual mide 5 metros de longitud y dentro del cual el corredor planea meter la escalera de 10 metros:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicEryAXtSCTtU8e4fohVJvQcX4zLubyNWibxixvELKspmXHPr0O6sYJAFFJmhbVoDaPS2lSHc_zAZTzzrrWx9if5CrXzUV628dLarmNCh46ldDM8ipFY_QxPJNCiIoHC14juWe1Cfxwe70/s1600-h/corredor_con_escalera_hacia+granero.png"><img style="cursor: pointer; width: 345px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicEryAXtSCTtU8e4fohVJvQcX4zLubyNWibxixvELKspmXHPr0O6sYJAFFJmhbVoDaPS2lSHc_zAZTzzrrWx9if5CrXzUV628dLarmNCh46ldDM8ipFY_QxPJNCiIoHC14juWe1Cfxwe70/s400/corredor_con_escalera_hacia+granero.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326832720220982738" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El corredor se sitúa ahora a gran distancia del granero y empieza a correr a gran velocidad hacia la puerta de entrada del mismo hasta adquirir una velocidad igual a 13/15 de la velocidad de la luz (v = 0.866c) antes de llegar con la escalera a la puerta frontal del granero.<br /><br />Desde la perspectiva del granjero, el cual se considera a sí mismo en reposo, la longitud de la escalera se ha contraído a la mitad, se ha contraído de 10 metros a 5 metros de acuerdo con la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;">L = L’ √<span style="text-decoration: overline;">1 - (V/c)²</span><br /><br />L = (10 metros) √<span style="text-decoration: overline;">1 - (0.866c/c)²</span><br /><br />L = 5 metros<br /></div><br />El corredor entra con la escalera y en el momento en que está adentro con la escalera un viento cierra la puerta frontal del granero. En ese instante, una escalera de 10 metros está metida dentro de un granero de 5 metros, por puros efectos de contracción relativista de longitud:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcI1pOwB7ansLaCzGwthmCdKsFJLfDuC0W0GBd9Q8fMvSY8lHqGpj6D04vFqtiVuAsL4wOC5Z9aVqYpAjHPoq9tlM1L6P13t4IRvyRqb0OToh0RgCxORJ5henHxtrpy4ENRSWaJdt97SQ4/s1600-h/segunda_perspectiva_del_granjero.png"><img style="cursor: pointer; width: 358px; height: 255px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcI1pOwB7ansLaCzGwthmCdKsFJLfDuC0W0GBd9Q8fMvSY8lHqGpj6D04vFqtiVuAsL4wOC5Z9aVqYpAjHPoq9tlM1L6P13t4IRvyRqb0OToh0RgCxORJ5henHxtrpy4ENRSWaJdt97SQ4/s400/segunda_perspectiva_del_granjero.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326837884296948514" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Todo parece en orden desde el punto de vista del granjero. La escalera cupo perfectamente dentro del granero. Sin embargo, desde la perspectiva del corredor, la situación resulta ser completamente diferente si el corredor se considera a sí mismo en reposo y considera al granero moviéndose hacia él a una gran velocidad de 0.866c. Al aplicar la fórmula de contracción relativista de longitud al granero, el corredor decide que es el granero el que se ha contraído a la mitad, o sea que el granero en vez de medir 5 metros mide 2.5 metros:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5-1tDmSqEGS52QQGAnOLcInHL_tKjSSDMLyo88TXH4rVqObrWX3Xh1w2EzmLSTXBESj8wca-dvzyi2_qzqK3PVAELXKt_W_KOzOnUUBcBIJSMNT4iJsiZ3mXroZU9yQIdWBN1bL3Y6pJ-/s1600-h/perspectiva_del_corredor.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 208px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5-1tDmSqEGS52QQGAnOLcInHL_tKjSSDMLyo88TXH4rVqObrWX3Xh1w2EzmLSTXBESj8wca-dvzyi2_qzqK3PVAELXKt_W_KOzOnUUBcBIJSMNT4iJsiZ3mXroZU9yQIdWBN1bL3Y6pJ-/s400/perspectiva_del_corredor.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326838612741863122" border="0" /></a><br /></div><br /><br />De acuerdo con el corredor, no existe forma alguna en la cual pueda caber dentro del granero, metiendo una escalera que mide cuatro veces más que la longitud de 2.5 metros del granero. Según él, cuando apenas han entrado los primeros 2.5 metros de la escalera llenando completamente los 2.5 metros que mide el granero, al soplar el viento cerrando la puerta frontal ésta se cierra y los resultados son poco menos que agradables para el corredor:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4NuGszgyk99fTVABFkOIDOZ9OkyLXi4b2KkU6Hu5RYxg2wwgDux65WICq8oZWJoXO3Bgqf-92vP7FipPwHL6eT9j5cwVd1wON4sTMLE-4txBPgkgAi4ZIaCGrb_bWiC3SeNAGBWgLySnL/s1600-h/segunda_perspectiva_del_corredor.png"><img style="cursor: pointer; width: 375px; height: 257px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4NuGszgyk99fTVABFkOIDOZ9OkyLXi4b2KkU6Hu5RYxg2wwgDux65WICq8oZWJoXO3Bgqf-92vP7FipPwHL6eT9j5cwVd1wON4sTMLE-4txBPgkgAi4ZIaCGrb_bWiC3SeNAGBWgLySnL/s400/segunda_perspectiva_del_corredor.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326839582874514146" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Obviamente, aquí tenemos algo que parece anómalo, algo que parece una asimetría total de la situación, ya que mientras que para el granjero la escalera cabe perfectamente dentro del granero para el corredor es imposible que pueda caber. ¿Quién de los dos tiene la razón? ¿O estará incorrecta la Teoría Especial de la Relatividad?<br /><br />La paradoja anterior resulta de la aplicación ciega de una fórmula, la fórmula relativista para la contracción de longitud, sin tomar en cuenta las condiciones bajo las cuales fue derivada dicha fórmula. La solución correcta de los problemas que involucran efectos relativísticos jamás ha dependido de la aplicación ciega de fórmulas, sino de una inspección de las condiciones de cada problema en particular. Esta paradoja debe servir de advertencia sobre las pifias en las que se puede caer si se opta ir por lo sencillo aplicando fórmulas fijas a todo tipo de casos sin considerar las diferencias que pudiera haber habido en la obtención de las fórmulas y la naturaleza del problema sobre el cual se está aplicando cierta fórmula (lo mismo es válido para todas las matemáticas, la física, la química, y las ciencias en general).<br /><br />La ruta de salida fuera de las paradojas radica en aquellos <span style="font-weight: bold;">eventos</span> en los cuales observadores situados en marcos de referencia distintos puedan estar en total y común acuerdo. En la paradoja del corredor y el granero, el <span style="font-style: italic;">primer evento</span> en el que tanto un acompañante corriendo adelante del super-atleta situado justo a un lado de la punta de la escalera (la parte de la escalera que va a entrar primero al granero) y el granjero estático situado <span style="font-style: italic;">justo a la entrada del granero</span> se pueden poner de acuerdo es cuando la punta de la escalera está entrando por la puerta frontal del granero. No existen dos marcos de referencia distintos en los cuales la punta de la escalera esté entrando y no esté entrando por la puerta frontal <span style="font-style: italic;">al mismo tiempo</span> en que el acompañante del corredor y el granjero están justo uno enfrente del otro. En realidad el problema que tenemos a la mano consiste de <span style="font-weight: bold;">tres</span> eventos diferentes. Y para el análisis de dichos eventos podemos recurrir a las <span style="font-style: italic;">ecuaciones de transformación de Lorentz</span>. Es precisamente aquí en donde nos pueden dar una perspectiva algebraica del problema (podemos obtener además una perspectiva geométrica ilustrativa recurriendo a los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, pero llevaremos a cabo primero el análisis de la situación mediante las transformaciones de Lorentz en virtud de que con ellas podemos hacer cálculos numéricos que no son tan fáciles de hacer sobre papel de gráfica). El análisis requiere también dar por perdido definitivamente y para siempre el concepto erróneo de la simultaneidad absoluta, ya que en el contexto relativista <span style="font-style: italic;">dos eventos que son simultáneos dentro de un marco de referencia no son simultáneos en otro a menos de que ambos marcos de referencia estén en completo reposo el uno frente al otro</span>.<br /><br />Veamos nuevamente la situación desde la perspectiva del corredor, empezando por el primer evento. Tanto el corredor como el granjero se han rodeado de acompañantes rodeando al corredor (uno a un lado de la punta de la escalera y otro a un lado del pie de la escalera) y rodeando al granero (uno situado en la puerta de entrada y otro situado en la puerta de salida) para cerciorarse de lo que está sucediendo. En el <span style="font-weight: bold;">primer evento</span>, la puerta frontal del granero está abierta y el corredor está entrando con su escalera de 10 metros dentro del granero:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUKi_CwDrsN7pMeQUJtvRJYrf1hBfkqZPTUvndS6go0mkOI5BrbK3KKsqjAqNsAXhMhKNiGJFxD3Rb2YNTjJIanYVD9-Cf9dFULC0olzlcBioxRv4kGDSB48slBlerFiJyoIj9U9rRAa9u/s1600-h/evento_1_perspectiva_del_corredor.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 240px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUKi_CwDrsN7pMeQUJtvRJYrf1hBfkqZPTUvndS6go0mkOI5BrbK3KKsqjAqNsAXhMhKNiGJFxD3Rb2YNTjJIanYVD9-Cf9dFULC0olzlcBioxRv4kGDSB48slBlerFiJyoIj9U9rRAa9u/s400/evento_1_perspectiva_del_corredor.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326842817124834578" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Se ha puesto al pie de los dibujos una regla de medir azul de 10 metros de longitud extendida a lo largo de la escalera que va rastreando lo que está sucediendo desde la perspectiva del corredor. Como la regla de medir viaja a la misma velocidad y en la misma dirección que el corredor, el corredor no debe detectar ninguna contracción de dicha regla. Ahora veamos el <span style="font-weight: bold;">segundo evento</span> también desde la perspectiva del corredor, cuando la escalera después de haber entrado al granero por la puerta de entrada frontal está llegando hacia la salida trasera casi tocando los bordes de la misma:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyHuOpXUEfAGYCMbQS2nPaVcohZ1lQLEiVNuxAo7HLT9Ut1W62c6o9xl37f2w6ABksGktd77Gu9wjBx-d3KSoeq3FYV-5rRdjt10f7Pnd7fcck1om8KZmKcQBTcnrR04_sjhWJySJyOqq9/s1600-h/evento_2_perspectiva_del_corredor.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 284px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyHuOpXUEfAGYCMbQS2nPaVcohZ1lQLEiVNuxAo7HLT9Ut1W62c6o9xl37f2w6ABksGktd77Gu9wjBx-d3KSoeq3FYV-5rRdjt10f7Pnd7fcck1om8KZmKcQBTcnrR04_sjhWJySJyOqq9/s400/evento_2_perspectiva_del_corredor.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326844774343122610" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Obsérvese que el granjero está parado a la salida del granero, no a la entrada, ya que <span style="color: rgb(204, 0, 0);">no le es posible estar en dos lugares diferentes al mismo tiempo</span>. Él lo único que ve es la punta de la escalera que ha llegado a la salida trasera del granero, y está completamente ignorante de lo que está sucediendo a la entrada. <span style="font-style: italic;">Y lo que está sucediendo a la entrada no es simultáneo con lo que el granjero está viendo en la puerta trasera de salida del granero</span>. Obsérvese la barra de color café (incompleta) que le indica al acompañante frontal del corredor la llegada de la escalera a la salida del granero cuya longitud parece haberse contraído.<br /><br />En el <span style="font-weight: bold;">tercer evento</span>, la parte trasera de la escalera (detrás del corredor) ya está adentro del granero, pero la parte frontal de la escalera (delante del corredor) también ha salido fuera del granero. Es importante notar que <span style="color: rgb(204, 0, 0);">tampoco el corredor puede estar al mismo tiempo en la parte frontal y en la parte trasera de la escalera al mismo tiempo</span>. El acompañante que va detrás del corredor es el que alcanza a ver el soplo del viento que cierra la puerta frontal del granero, con lo cual la longitud total de la escalera ha pasado por el granero sin problema alguno, de modo tal que también para el corredor la escalera ha cabido perfectamente dentro del granero, y no hay discrepancia alguna tomando en cuenta que los eventos que son simultáneos para un observador en un marco de referencia no son simultáneos para el observador en el otro marco de referencia, lo cual tiene que ver directamente con el hecho de que si la escalera llevara un reloj en su parte frontal y un reloj en su parte trasera aunque los relojes estén perfectamente sincronizados <span style="font-style: italic;">para el corredor</span> dichos relojes estarán fuera de sincronía para el granjero, fuera de sincronía por un tiempo LV/c²:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg88fRPYfaYQiEhiTkc3xz75eYu_ZSakz2-XWTjnH_w8ufmZTO6zqwGY8HoogOaf6rK06EThR7pbKHNNgid3xS_TBvWAivQCZXi0Wj86al1Zfmpsi2g59FjbCmXo35xg5tx22JSOyn_YFGr/s1600-h/evento_3_perspectiva_del_corredor.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 264px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg88fRPYfaYQiEhiTkc3xz75eYu_ZSakz2-XWTjnH_w8ufmZTO6zqwGY8HoogOaf6rK06EThR7pbKHNNgid3xS_TBvWAivQCZXi0Wj86al1Zfmpsi2g59FjbCmXo35xg5tx22JSOyn_YFGr/s400/evento_3_perspectiva_del_corredor.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5326846822041319474" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Obsérvese la barra de color café en el marco de referencia del granjero que indica la llegada de la parte trasera de la escalera a la entrada del granero confirmándole al amigo del granjero situado a la entrada del granero una contracción relativista de longitud de la escalera.<br /><br />¿Y qué sucedería si el corredor frenase bruscamente su velocidad al ir entrando al granero? ¿Seguiría cabiendo la escalera? Claro que no. Al bajar abruptamente el corredor su velocidad los tiempos diferentes en el frente y en la parte trasera de la escalera (de acuerdo con el granjero) se reducirían a cero, y al igualarse los marcos de referencia la escalera experimentaría una expansión de longitud recuperando sus 10 metros originales <span style="font-style: italic;">en ambos marcos de referencia</span>. La única manera en la cual la escalera puede mantener su longitud contraída a 5 metros es con el corredor manteniendo una velocidad constante de 0.866c.<br /><br />Habiendo visto la explicación cualitativa de la situación, veamos cómo se puede llegar a tales conclusiones a partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz. Identifiquemos las coordenadas dentro del marco de referencia S del granjero como (x, y, z, t) y las coordenadas dentro del marco de referencia S’ del corredor como (x’, y’, z’, t’). En virtud de que no hay movimiento alguno a lo largo de los otros dos ejes Cartesianos (y,z), podemos trabajar simplemente con las coordenadas (x,t) de S y (x’,t’) de S’.<br /><br />Ahora analizaremos en detalle la famosa <span style="font-style: italic;">paradoja de los gemelos</span>, la cual fue propuesta originalmente por el mismo Einstein y la cual fue utilizada por sus detractores para negarle validez y credibilidad a la Teoría de la Relatividad.<br /><br />Vayamos al caso de un viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> en una nave espacial que se está moviendo a gran velocidad con respecto a otro observador <span style="font-weight: bold;">B</span> que se considera a sí mismo en reposo y que llevando en una mano un reloj <span style="font-weight: bold;">C'</span> apunta dentro de su nave espacial un rayo de luz hacia arriba siendo devuelto por un espejo desde el techo hacia el piso de la nave espacial. Un observador <span style="font-weight: bold;">B</span> que vea pasar a la nave espacial a gran velocidad y el cual tenga en su plataforma de reposo relojes <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> que estén perfectamente sincronizados medirá en <span style="font-weight: bold;">A</span> una dilatación del tiempo en la nave espacial:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixC3OrYpdDBL5BUFQNokhEHqJTxT6Nfth-urVCr2V7pfzw2vyad5_m_WCy0RLzP0ZkUBa_MSfsUoOHjYv0yD0mdhAh7JsTI3BJz_1o8y3UE3hAWfI1OZ7sdzradTOmwVISVYDlYpJN4RSZ/s1600-h/dilatacion_del_tiempo_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 340px; height: 185px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixC3OrYpdDBL5BUFQNokhEHqJTxT6Nfth-urVCr2V7pfzw2vyad5_m_WCy0RLzP0ZkUBa_MSfsUoOHjYv0yD0mdhAh7JsTI3BJz_1o8y3UE3hAWfI1OZ7sdzradTOmwVISVYDlYpJN4RSZ/s400/dilatacion_del_tiempo_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317556015397550370" border="0" /></a><br /><div style="text-align: left;"><br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9NkAVRTv8IWUNMuUIU-ilKe5CggGE-m_YDMUFqC4pL-46WdDqg1yPZJ94ZsvgstnPnm42qOkfyOz2P5DUUxzBt4Aw8IFQR8KQWUl-o_6ws0xWrKFYwovGuiwjiEbnV0NA3Rbx1g7sq8e4/s1600-h/dilatacion_del_tiempo_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 166px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9NkAVRTv8IWUNMuUIU-ilKe5CggGE-m_YDMUFqC4pL-46WdDqg1yPZJ94ZsvgstnPnm42qOkfyOz2P5DUUxzBt4Aw8IFQR8KQWUl-o_6ws0xWrKFYwovGuiwjiEbnV0NA3Rbx1g7sq8e4/s400/dilatacion_del_tiempo_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317556531250067074" border="0" /></a><br /></div><br /></div></div><br />Pero ahora llevemos a cabo una inversión de la situación, lo cual siempre podemos hacer puesto que la Teoría de la Relatividad nos afirma precisamente que no hay observadores privilegiados. Veamos las cosas como las vería el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial al considerarse a sí mismo en reposo, viendo pasar al observador <span style="font-weight: bold;">B</span> ante él a gran velocidad. Entonces <span style="font-weight: bold;">A</span>, desde su perspectiva, debería ser él quien detecta una dilatación del tiempo y no <span style="font-weight: bold;">B</span>. Con esto, los escépticos podría argumentar: ¿No es esto una asimetría? ¿No es esto una paradoja manifiesta? ¿No es esto una inconsistencia que nos debe llevar a desechar la teoría?<br /><br />En realidad, no hay paradoja alguna. El problema es que <span style="font-weight: bold;">distintos observadores obtendrán distintos resultados con respecto el uno del otro dependiendo de la naturaleza del experimento que estén llevando a cabo</span>. En los diagramas de arriba, el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> tiene dos relojes diferentes <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> perfectamente sincronizados en su plataforma de observación, <span style="font-style: italic;">mientras que el viajero en la nave espacial tiene un solo reloj</span>. Suponiendo que los relojes <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> del observador <span style="font-weight: bold;">B</span> y <span style="font-weight: bold;">C</span>' del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> en la nave espacial coincidan con una misma lectura de cero cuando el reloj <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y el reloj <span style="font-weight: bold;">C</span>' están justo uno arriba del otro, y en esta coincidencia ambos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> estarán de acuerdo, entonces al pasar el único reloj <span style="font-weight: bold;">C'</span> del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial justo por encima del reloj <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> del observador <span style="font-weight: bold;">B</span>, ambos tendrán lecturas diferentes, <span style="font-style: italic;">y en esto ambos también estarán perfectamente de acuerdo</span>. No se trata de ilusiones ópticas. Se trata de efectos físicos reales, detectables y medibles con instrumentos científicos de alta precisión.<br /><br />Para que el viajero en la nave espacial <span style="font-weight: bold;">A</span> pueda tener una perspectiva similar a la que tiene el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> que se considera a sí mismo estacionario, sería necesario que el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> en la nave espacial también tuvierse <span style="font-style: italic;">dos relojes diferentes</span> en el piso de su nave espacial perfectamente sincronizados entre sí a la misma hora, a los cuales podemos llamar <span style="font-weight: bold;">C'</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">'2</sub>. Pero al ocurrir esto, y al no existir la <span style="font-weight: bold;">simultaneidad absoluta</span> (lo cual para ser posible requiere necesariamente de la existencia del movimiento absoluto que no existe de acuerdo a la Teoría de la Relatividad), por los mismos efectos relativistas el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> verá los dos relojes <span style="font-weight: bold;">C'</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">'2</sub> del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> en la nave espacial <span style="font-style: italic;">fuera de sincronía</span>. En otras palabras, mientras que para el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial sus relojes <span style="font-weight: bold;">C'</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">'2</sub> están perfectamente sincronizados, para el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> esos relojes están todo el tiempo fuera de sincronía entre sí. Y del mismo modo, desde la perspectiva del viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> en la nave espacial, los dos relojes <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">C</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> del observador <span style="font-weight: bold;">B</span> que para el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> estarán en perfecta sincronía <span style="font-style: italic;">para el viajero </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">A</span><span style="font-style: italic;"> de la nave espacial también estarán fuera de sincronía</span>. <span style="font-weight: bold;">En esto existe una simetría total</span>. Y si llevamos a cabo los cálculos tanto para uno como para otro considerando primero al viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial en movimiento y al observador <span style="font-weight: bold;">B</span> en reposo, y después al viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial en reposo y al observador <span style="font-weight: bold;">B</span> en movimiento, los resultados obtenidos serán consistentes con lo que predicen las fórmulas de la Teoría de la Relatividad. No hay paradoja alguna.<br /><br />Pero queda otra interrogante. Si el tiempo marcha más lentamente en un marco de referencia que en otro, ¿entonces quién es el que estará envejeciendo más rápidamente si después de una larga separación ambos vuelven a coincidir en el mismo punto? ¿El viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial o el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>? Esta es precisamente la “paradoja de los gemelos”. La respuesta a esta interrogante tiene que ver directamente con la respuesta a la pregunta sobre <span style="font-style: italic;">cuál de los dos fue el que se puso en movimiento con respecto al otro</span> suponiendo que ambos estaban en reposo dentro del mismo marco de referencia. <span style="font-weight: bold;">Esta es la parte crucial que resuelve la “paradoja de los gemelos”.</span> Supongamos que al principio ambos el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> en la nave espacial y el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> estaban en reposo el uno frente al otro, con sus relojes perfectamente sincronizados. En un momento dado, la nave espacial despega de la plataforma y empieza su viaje. Pero para poder adquirir cierta velocidad, por pequeña o grande que ésta sea, la nave espacial tiene que cambiar de un estado de reposo hasta adquirir dicha velocidad. En pocas palabras, <span style="font-weight: bold;">tiene que acelerar</span>. Pero al acelerar, la nave espacial en la que viaja <span style="font-weight: bold;">A</span> deja de estar en el ámbito cubierto por la Teoría Especial de la Relatividad. Su situación tiene que ser estudiada y analizada por la Teoría <span style="font-weight: bold;">General</span> de la Relatividad. Al acelerar, el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial experimenta fuerzas de aceleración sobre su cuerpo que el observador <span style="font-weight: bold;">B</span> en reposo en la plataforma de lanzamiento no experimenta. Y si después de enfilar hacia un planeta distante el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial decide regresar para encontrarse de nuevo con el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>, entonces no sólo tendrá que aminorar la velocidad de su nave reduciéndola a cero <span style="font-style: italic;">y con ello cayendo dentro de un marco de referencia acelerado que tiene que ser analizado bajo la Teoría <span style="font-weight: bold;">General</span> de la Relatividad</span>, sino que tendrá que acelerar en sentido contrario para enfilarse hacia su encuentro con el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>. Y si quiere detenerse a platicar con el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>, tendrá que desacelerar nuevamente experimentando las fuerzas de desaceleración que sentirá en el proceso. <span style="font-weight: bold;">La Teoría General de la Relatividad predice que en un marco de referencia acelerado o en presencia de un campo gravitacional intenso, los relojes marcharán más lentamente.</span> De este modo, después de encontrarse de nuevo, el viajero <span style="font-weight: bold;">A</span> de la nave espacial y el observador <span style="font-weight: bold;">B</span>, aunque hayan sido gemelos idénticos al despedirse y separarse el uno del otro al emprender <span style="font-weight: bold;">A</span> su largo viaje, tendrán edades distintas.<br /><br />Para adentrarnos en la resolución de esta aparente paradoja, llevaremos a cabo primero la resolución de unos problemas poniéndole números al asunto.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un observador O’ que se mueve con una velocidad 0.8c respecto a una plataforma espacial en la Tierra en la cual está su hermano gemelo viaja a la estrella Alfa Centauro, la cual se encuentra a una distancia de 4 años-luz de la Tierra. Tan pronto llega a la estrella, da un giro de 180 grados dándole vuelta a la nave y emprende su viaje de regreso a la misma velocidad. ¿Cómo se compara la edad del observador O’ a su regreso a la Tierra con la de su hermano gemelo que permaneció en la Tierra?</span><br /><br />La distancia medida en años-luz es la distancia que recorre un rayo de luz en cierta cantidad de años. Llamémosla L. Entonces, re-escribiéndola de una manera ligeramente distinta:<br /><br /><div style="text-align: center;">c = L/4 años<br /><br />L = (4 años)·c<br /></div><br />Para el observador estacionario O en la Tierra, la duración del viaje de ida de su hermano viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro será:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δt<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = distancia /velocidad<br /><br />Δt<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = L /(o.8c)<br /><br />Δt<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = (4 años)·c /(o.8c)<br /><br />Δt<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = 5 años<br /></div><br />Puesto que el viaje de regreso se efectúa a la misma velocidad, el tiempo total para el observador O en la plataforma espacial en la Tierra será:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δt<sub style="font-weight: bold;">ida y vuelta</sub> = 10 años<br /></div><br />Para el viajero O’ el intervalo de <span style="font-style: italic;">tiempo propio</span> (medido por el viajero con su reloj) entre la salida de la plataforma y su llegada a la estrella, utilizando la expresión para la dilatación del tiempo, es:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δt’<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = Δt<sub style="font-weight: bold;">ida</sub>√<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span><br /><br />Δt’<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = (5 años)<span style="font-weight: bold;"> </span>√<span style="text-decoration: overline;">1 - (0.8)²</span><br /><br />Δt’<sub style="font-weight: bold;">ida</sub> = 3 años<br /></div><br />De este modo, el tiempo total de duración del viaje (ida y vuelta) medido por el gemelo viajero O’ es:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δt’<sub style="font-weight: bold;">ida y vuelta</sub> = 6 años<br /></div><br />Por lo tanto, al volver a la Tierra, el gemelo viajero O’ será 4 años más joven que O. Obsérvese con detenimiento que si el viajero en su trayecto de ida está viajando con respecto a su hermano gemelo O en la Tierra en el sentido positivo (+) del eje-x, al darle la vuelta a la estrella estará viajando con respecto al mismo observador en el sentido <span style="font-style: italic;">negativo</span> (-) del eje-x. <span style="font-weight: bold;">Este giro, al ser representado geométricamente en un diagrama espacio-tiempo, equivale a una rotación del marco de referencia de O’</span>. Entonces el viaje de O’ es equivalente al de <span style="font-style: italic;">dos observadores inerciales diferentes</span> aunque se trate de la misma persona, uno que se mueve con velocidad V = +0.8c y el otro que se mueve con una velocidad V = -0.8c. Existe una asimetría manifiesta entre los dos observadores, ya que el giro del gemelo viajero es un giro real, experimenta aceleraciones medibles, en contraste con el aparente giro que el gemelo viajero observa de O en la Tierra y el cual no experimenta aceleración alguna durante todo el viaje llevado a cabo por O’.<br /><br />En la siguiente figura se ha bosquejado un diagrama espacio-tiempo superimpuesto sobre la descripción pictórica del viaje. La línea trazada desde la Tierra llegando hasta la estrella Alfa Centauri en la parte media de la figura a un ángulo de 45 grados (con respecto a la vertical) así como la línea trazada desde la estrella Alfa Centauri llegando hasta la Tierra también a un ángulo de 45 grados (con respecto a la vertical) pero en sentido <span style="font-style: italic;">inverso</span> representan las trayectorias seguidas por un rayo de luz. Las otras dos <span style="font-style: italic;">líneas del universo</span> que representan a la nave viajera forman un ángulo menor a 45 grados con respecto a la vertical, como corresponde a un objeto que viaja a una velocidad menor que la velocidad de la luz.<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-4BwPoyKXxn4bAah708Qh4wef_jIJxj8T4gky4Kav46tOtHL7EoJJZjVpMBQvtBZrkBDGqhtTeCm5hZuqEUUBKYypX-yebZqZxw4KK4u9dpdhIVzSFUnjknR4aW-Bl5NczoZrwMokL-ht/s1600-h/paradoja_de_los_gemelos.png"><img style="cursor: pointer; width: 257px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-4BwPoyKXxn4bAah708Qh4wef_jIJxj8T4gky4Kav46tOtHL7EoJJZjVpMBQvtBZrkBDGqhtTeCm5hZuqEUUBKYypX-yebZqZxw4KK4u9dpdhIVzSFUnjknR4aW-Bl5NczoZrwMokL-ht/s400/paradoja_de_los_gemelos.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5332011422321018962" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En realidad, toda la acción del envejecimiento del hermano gemelo en la Tierra, visto desde la perspectiva del gemelo viajero, ocurre justo cuando O’ le dá la vuelta a la estrella para regresar a la Tierra. En ese lapso de tiempo, en esa <span style="font-style: italic;">rotación</span> de los marcos de referencia de O’, el gemelo viajero ve a su hermano en la Tierra envejecer rápidamente.<br /><br />Antes de despegar la nave, cuando los dos gemelos están juntos en la plataforma de lanzamiento en la Tierra, en estado de reposo el uno frente al otro, sus líneas del universo coinciden y marchan verticalmente hacia arriba en un diagrama espacio-tiempo. Pero al despegar la nave y emprender su trayectoria hacia Alfa Centauro, O’ toma su propio camino en el diagrama espacio-tiempo alejándose de su hermano gemelo, y al dar la vuelta de regreso para enfilarse hacia la Tierra su trayectoria en el mismo diagrama espacio-tiempo se invierte, hasta que llega a la Tierra para encontrarse con su hermano volviendo a coincidir sus líneas del universo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOvLqPwD8ud4Db4LTdjWdb0dbKZ2My1HMgKPBfIFHi6jGc4wf0NeX3X9v_wzK3VsrfctyGsfgNTOcWp6H_y9WZilsnejhqkgOBqpu0C4CRds4TKKqLEU2DmIAMWmVztbg5G_NRMEzR2J5q/s1600-h/lineas_universo_diferentes_paradoja_de_los_gemelos.png"><img style="cursor: pointer; width: 261px; height: 274px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOvLqPwD8ud4Db4LTdjWdb0dbKZ2My1HMgKPBfIFHi6jGc4wf0NeX3X9v_wzK3VsrfctyGsfgNTOcWp6H_y9WZilsnejhqkgOBqpu0C4CRds4TKKqLEU2DmIAMWmVztbg5G_NRMEzR2J5q/s400/lineas_universo_diferentes_paradoja_de_los_gemelos.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5332088885907240418" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Podemos identificar tres eventos distintos en el anterior diagrama espacio-tiempo trazado desde la perspectiva de O: <span style="font-weight: bold;">(1)</span> el gemelo viajero acelera súbitamente la nave hacia la estrella Alfa Centauro adquiriendo una velocidad V, <span style="font-weight: bold;">(2)</span> el gemelo desacelera y detiene la nave para encaminarla de regreso hacia la Tierra con una velocidad V igual a la velocidad con la cual llegó a Alfa Centauro, <span style="font-weight: bold;">(3)</span> el gemelo viajero llega a la Tierra y desacelera la nave deteniéndola para encontrarse con su hermano. Pero estos no son eventos como los que habíamos visto anteriormente al estudiar los fenómenos relativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud en los cuales la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia permanece igual todo el tiempo, con el diagrama espacio-tiempo de O’ superimpuesto sobre el diagrama espacio-tiempo de O haciéndolos coincidir en sus orígenes para t = t’ = 0. Se trata de otro tipo de eventos en los cuales el viajero gemelo O’ <span style="font-style: italic;">cambia de marcos de referencia</span>, lo que no hace su hermano gemelo en la Tierra. La situación del gemelo viajero O’ es única porque a diferencia de su hermano gemelo O en la Tierra que permanece todo el tiempo en el mismo marco de referencia S, el gemelo viajero pasa por <span style="font-weight: bold;">tres</span> marcos de referencia distintos: el marco de referencia <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);">S</span> que comparte con su hermano en la plataforma de lanzamiento antes de despegar, el marco de referencia <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">S’</span> <span style="font-style: italic;"></span> en el que viaja a una velocidad constante alejándose de la Tierra, y el marco de referencia <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">S’’</span> en el que emprende su viaje de regreso a la Tierra en donde nuevamente vuelve al mismo marco de referencia <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);">S</span> en el que se encuentra su hermano.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Con relación al problema anterior, supóngase que cada año (medido por el observador O en la plataforma espacial en la Tierra), éste le envía una señal luminosa a su gemelo viajero O’. ¿Cuántas señales recibe el gemelo viajero O’ en cada etapa de su recorrido? (En otras palabras, ¿qué vería realmente el gemelo viajero O si él mirara a su hermano O a través de un telescopio?)</span><br /><br />Medido por O, el gemelo viajero llega a la estrella Alfa Centauro en 5 años. Para que la señal luminosa llegue a Alfa Centauro simultáneamente con O’, ésta debe ser enviada en un tiempo <span style="font-style: italic;">anterior</span> deteminado por:<br /><br /><div style="text-align: center;">tiempo = distancia / velocidad<br /><br />tiempo = (4 años)·c / c<br /><br />tiempo = 4 años<br /></div><br />Entonces una señal enviada por O en un tiempo suyo igual a un año llega a la estrella Alfa Centauro simultáneamente con el gemelo viajero O’. Puesto que el gemelo en la plataforma espacial en la Tierra le envía un total de 10 señales, a razón de una señal por año, las señales restantes le llegan todas al gemelo viajero O’ en su viaje de regreso.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">En relación con los problemas anteriores, supóngase que cada año, además de las señales luminosas que el hermano gemelo desde la plataforma espacial en la Tierra le envía anualmente a su gemelo viajero O’, también el gemelo viajero le envía cada año una señal luminosa (en el tiempo propio de O, medido con su propio reloj) a O. Si la señal es enviada por O’ tan pronto como llega a la estrella, ¿cuál es el tiempo medido por el gemelo en la Tierra O, para que la señal sea recibida (es decir, qué vería el gemelo O si él mira a su hermano a través de un telescopio?</span><br /><br />Medido por el gemelo en la Tierra O, su hermano O’ llega a la estrella en 5 años. Una señal luminosa enviada por O’ desde una estrella que está a una distancia de 4 años-luz de la Tierra llegará a la Tierra en 4 años (esto debe ser obvio). Entonces la señal luminosa enviada a O al llegar O’ a la estrella le llega en un tiempo igual a 5 años (el tiempo que tarda en llegar O’ a la estrella) más 4 años (el tiempo que tarda en llegar la señal luminosa a la Tierra). Por lo tanto, de las seis señales enviadas por O’, tres de ellas son recibidas por O durante los primeros nueve años (una cada tres años) y las tres restantes las recibe O en la Tierra durante el último año. Es importante tomar nota de lo que está sucediendo. <span style="font-style: italic;">Según el gemelo viajero, él le está enviando cada año una señal luminosa a su hermano en la Tierra, y sin embargo su hermano recibe tres de dichas señales no en el transcurso de tres años sino durante el último año</span>. De nueva cuenta, nos topamos con la pérdida de la simultaneidad. <span style="font-weight: bold;">Eventos que están igualmente espaciados en el tiempo en un marco de referencia en reposo no aparecen igualmente espaciados en el tiempo en un marco de referencia móvil</span>.<br /><br />Podemos obtener una mejor idea de lo que se ha tratado de enseñar en los dos problemas anteriores representando en diagramas de espacio-tiempo de Minkowski lo que sucede. En el caso de las señales luminosas igualmente espaciadas (en el tiempo propio de O) que son enviadas desde la Tierra al hermano viajero, la panorámica vista desde O es la siguiente (por simplicidad se han dibujado como líneas negras únicamente las líneas correspondientes a los ejes ct y ct’ omitiéndose las líneas que corresponderían al eje-x y al eje-x’):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsckutrQHveQh6MIvoN4LvQMGGdQ7uq1jfcC1nBolzoSiZYGeq1FbGcIbBYsdm1jYW2pwl8BM5p09m5N8ypqTuTuj2t-NuUHGJRRLqtM_plM9nwoda0QtfsPyGeK5HOmRxJBKdjPNuznEt/s1600-h/pulsos_enviados_al_gemelo_viajero.png"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsckutrQHveQh6MIvoN4LvQMGGdQ7uq1jfcC1nBolzoSiZYGeq1FbGcIbBYsdm1jYW2pwl8BM5p09m5N8ypqTuTuj2t-NuUHGJRRLqtM_plM9nwoda0QtfsPyGeK5HOmRxJBKdjPNuznEt/s400/pulsos_enviados_al_gemelo_viajero.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5332078196344701266" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Obsérvese que en el trayecto del viaje desde la Tierra hasta la estrella Alfa Centauro, y en virtud de que el intervalo de tiempo entre cada pulso luminoso enviado al gemelo viajero O’ se incrementa por el efecto relativista, la frecuencia de los pulsos recibidos por el hermano gemelo viajero disminuye considerablemente. Unicamente en el breve instante de tiempo en el que el gemelo viajero desacelera y detiene su marcha estando en reposo con respecto a su hermano gemelo la frecuencia de los pulsos luminosos enviados por el hermano gemelo desde la Tierra es igual a la frecuencia de los pulsos recibidos por el gemelo viajero. Pero al acelerar hacia la Tierra y en el trayecto del viaje desde la estrella Alfa Centauro hasta la Tiera, la frecuencia con la que el gemelo viajero O’ recibe los pulsos enviados por su hermano gemelo O desde la Tierra aumenta.<br /><br />Por otro lado, en el caso de las señales luminosas igualmente espaciadas (en el tiempo propio del gemelo viajero O’) que son enviadas a la Tierra hacia el hermano viajero, la situación es la siguiente:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1Zui6yZUGuVa4pFndOMSICpgAQqKl1O8LH_Ao8JJupMumly0uDo3OK3nBOj52Y32OB-bd9PktX8-b3xYmokGtXs9pyt8AkCOj2DKa7KiVgzsJSVlol2a4Qc6phsJ6CU6z9FBIX8Co1Hu6/s1600-h/pulsos_enviados_del_gemelo_viajero.png"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1Zui6yZUGuVa4pFndOMSICpgAQqKl1O8LH_Ao8JJupMumly0uDo3OK3nBOj52Y32OB-bd9PktX8-b3xYmokGtXs9pyt8AkCOj2DKa7KiVgzsJSVlol2a4Qc6phsJ6CU6z9FBIX8Co1Hu6/s400/pulsos_enviados_del_gemelo_viajero.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5332081642093945266" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Puesto que en el viaje de ida el gemelo viajero recibe anualmente (según su reloj) una cantidad menor de pulsos luminosos que la que le está enviando su hermano desde la Tierra, disminuyendo la frecuencia de los pulsos, si se tratase de una señal monocromática continua (por ejemplo, de color<span style="color: rgb(0, 102, 0);"> verde</span>) ésta experimentaría un corrimiento de frecuencia hacia el infrarrojo, o sea que tendría un <span style="font-style: italic;">desplazamiento Doppler</span>. Y en su viaje de regreso el gemelo vería la señal monocromática con otro desplazamiento Doppler, pero esta vez hacia una mayor frecuencia, hacia el ultravioleta. Para ver el haz monocromático luminoso del mismo color con el que se lo está enviando su hermano desde la Tierra, tendría que detenerse manteniéndose en reposo con respecto a su hermano.<br /><br />Podemos obtener otra perspectiva diferente de la paradoja de los gemelos llevando a cabo el análisis usando para ello el efecto relativista de la <span style="font-style: italic;">desincronización de los relojes</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Analizar los problemas antes expuestos sobre la paradoja de los gemelos llevando a cabo el análisis usando el efecto relativista de la desincronización de los relojes</span>.<br /><br />La distancia entre la Tierra y la estrella Alfa Centauro, vista por el gemelo al viajar, es objeto de una contracción relativista con respecto a la distancia de 4 años-luz que ve su hermano gemelo en la Tierra, siendo dicha distancia en S’:<br /><br /><div style="text-align: center;">L = (4 años-luz) √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span><br /><br />L = (4 años-luz) √<span style="text-decoration: overline;">1 - (0.8c)²/c²</span><br /><br />L = 2.4 años-luz<br /></div><br />Supóngase que hay un reloj en la estrella Alfa Centauro sincronizado con un reloj en el sistema de referencia S en la Tierra, de modo tal que ambos relojes marcan la misma hora. En el sistema de referencia S’ en el que viaja el gemelo viajero, el reloj en la estrella Alfa Centauro estará adelante del reloj en la Tierra por una cantidad LV/c², que en este caso es igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">LV/c² =<br /><br />LV/c² =<br /></div><br />Considérese al gemelo viajero en S’ llegando a la estrella Alfa Centauro. El reloj en dicha estrella está adelantado con respecto al reloj en la Tierra por<br /><br /><br /> años. Al detenerse momentáneamente el gemelo viajero en la estrella Alfa Centauro y encontrarse en el sistema de referencia S, él debe observar que los dos relojes (el que está en la Tierra y el que está en la estrella Alfa Centauro) se encuentran sincronizados, porque todos los observadores en S están de acuerdo en la sincronización de los relojes que tienen en su sistema de referencia. Entonces, de alguna manera, en el tiempo insignificante (de acuerdo al gemelo viajero) que le llevó detenerse, su gemelo en la Tierra envejeció<br /><br /><br /> años. Este tiempo, sumado al tiempo que transcurrió en la Tierra durante la travesía del gemelo viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro (5 años) hace al gemelo<br /><br /><br /> años más viejo al momento de detenerse su gemelo en la estrella. Cuando el gemelo viajero emprende su viaje de regreso a la Tierra en el marco de referencia S’’, el reloj en la Tierra está adelante del reloj en Alfa Centauro por<br /><br /><br /> años, y avanzará otros 5 años hasta que el gemelo viajero regresa a la Tierra. Al regresar a la Tierra y detenerse, el gemelo viajero estará en el sistema de referencia S en donde él debe observar que los dos relojes (el que está en la Tierra y el que está en la estrella Alfa Centauro) se encuentran sincronizados, porque todos los observadores en S están de acuerdo en la sincronización de los relojes que tienen en su sistema de referencia. Entonces, de alguna manera, en el tiempo insignificante (de acuerdo al gemelo viajero) que le llevó detenerse, su gemelo en la Tierra envejeció otros<br /><br /><br /> años. Este tiempo, sumado al tiempo que transcurrió en la Tierra durante la travesía del gemelo viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro<br /><br /><br /> hace al gemelo en la Tierra<br /><br /><br /> años más viejo al momento de detenerse su gemelo en la estrella.<br /><br />No es necesario conocer el comportamiento detallado de los relojes durante la aceleración para saber el efecto acumulativo. Sólo necesitamos la Teoría Especial de la Relatividad para saber que si los relojes en la Tierra y en la estrella Alfa Centauro están sincronizados con respecto al marco de referencia S, para el gemelo viajero en su viaje de ida el reloj en la Tierra estará retrasado con respecto al reloj en Alfa Centauro en una magnitud de LV/c², y en el viaje de regreso el reloj en la Tierra estará adelantado con respecto al reloj en Alfa Centauro también en una magnitud de LV/c².<br /><br />Un cálculo más detallado y menos cualitativo acerca de la paradoja de los gemelos está disponible en el siguiente enlace:<br /><br />http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_los_gemelos<br /><br />En realidad, desde antes de que Einstein expusiera formalmente por escrito sus dos postulados básicos acerca de la Teoría Especial de la Relatividad, ya había quienes sospechaban que los conceptos del tiempo absoluto, el espacio absoluto y el movimiento absoluto eran una ilusión que nos imponía nuestro propio “sentido común” tan propenso a fallar en muchas ocasiones. Sin embargo, al analizar tal posibilidad, eventualmente se topaban con estas aparentes paradojas resultado de la pérdida de la simultaneidad absoluta, y terminaban convencidos de que las paradojas indicaban claramente que una teoría así tenía que ser incorrecta. Uno de los grandes méritos de Einstein fue no haberse dejado desanimar por estas paradojas <span style="font-style: italic;">aparentes</span>, sino buscar la resolución de las mismas sin dejarse vencer por resultados aparentemente contradictorios.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-88940149309421582202009-03-18T21:10:00.000-07:002009-06-08T10:54:10.267-07:0011: El efecto Doppler relativistaDe acuerdo con el segundo postulado de la Teoría Espacial de la Relatividad, dos observadores que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro miden para un rayo de luz la misma velocidad, independientemente de quien haya disparado el rayo de luz hacia el otro, e independientemente de que se estén acercando o alejando.<br /><br />¿Significa ésto que, una vez que alguien nos ha enviado un rayo de luz, no es posible saber de dicho rayo de luz si tal persona se está alejando de nosotros o se está acercando a nosotros, o inclusive que está estacionaria con respecto a nosotros sin alejarse ni acercarse?<br /><br />Bueno, no exactamente. La Teoría Especial de la Relatividad nos dice que dos personas medirán para un rayo de luz exactamente la misma velocidad. Pero no nos dice que <span style="font-style: italic;">la frecuencia relativa </span>de las ondas electromagnéticas que forman a dicho rayo de luz se mantendrá igual independientemente de que el rayo de luz sea enviado por alguien que se esté alejando o acercando de nosotros. Gracias a un fenómeno conocido como el <span style="font-weight: bold;">efecto Doppler</span>, podemos saber si la persona que nos envió un rayo de luz se está acercando o alejando de nosotros siempre y cuando conozcamos <span style="font-style: italic;">el color de la luz</span> (que depende directamente de la frecuencia de la onda electromagnética del haz que nos está llegando). Si esperamos que alguien situado en una parte remota de la galaxia nos envíe un rayo de luz de cierto color, y el rayo de luz que recibimos es exactamente del mismo color que esperábamos, entonces aquella persona está estacionaria con respecto a nosotros (o por lo menos se encontraba estacionaria con respecto a nosotros cuando nos envió el rayo de luz). Pero si el color que nos llega es diferente, si el color aparece corrido hacia un extremo de la gama de colores como la que obtendríamos de un prisma de vidrio, entonces podemos concluír que tal persona se está moviendo o alejando de nosotros dependiendo de la magnitud del desplazamiento del color.<br /><br />Primero que nada, hagamos un repaso del efecto Doppler desde su perspectiva clásica.<br /><br />Casi todos nosotros estamos familiarizados de alguna manera con el efecto Doppler por las experiencias de nuestra vida cotidiana. Cuando una ambulancia o un tren o un avión se acerca a nosotros a gran velocidad produciendo un ruido con una frecuencia audible ya sea con su sirena o con el ruido de sus motores, escuchamos el sonido con cierto tono distintivo. Pero en cuanto la ambulancia o el tren o el avión se empieza a alejar de nosotros, el tono del sonido se vuelve distintiblemente más grave. Esta situación la podemos imaginar en el siguiente diagrama en el cual viaja un conductor que tiene puesto su radio en una estación que está produciendo cierto sonido distintivo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio5CWiCdcZEZGK4XQekMCA707XH926CMc8zSElMfP1QMrnXTTukYMDJWqdpPTruguYE900uG-5Uy7gEKOyGGpkZCRN4AmxeN1cpMKDvRRNR9cVtV7wVg33OtMNR1ixRoEXQ9CYIgyUlV9Z/s1600-h/efecto_Doppler_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 271px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio5CWiCdcZEZGK4XQekMCA707XH926CMc8zSElMfP1QMrnXTTukYMDJWqdpPTruguYE900uG-5Uy7gEKOyGGpkZCRN4AmxeN1cpMKDvRRNR9cVtV7wVg33OtMNR1ixRoEXQ9CYIgyUlV9Z/s400/efecto_Doppler_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320148340810424402" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El sonido que escucha el conductor del vehículo en realidad no son más que una serie de compresiones y rarefacciones del aire. El aire es el medio que sirve para “ondular” transportando esas compresiones y rarefacciones de un lado a otro; sin el aire no es posible el sonido. La distancia entre entre una compresión y la siguiente es la que determina la frecuencia (el tono) del sonido que escucha el conductor del vehículo.<br /><br />En el diagrama el carro está desplazándose hacia la derecha. Al ocurrir tal cosa, la velocidad del carro se suma (clásicamente) a la velocidad con la cual se trasladan las ondas sonoras en el aire, dando como resultado que para la persona que está caminando en la banqueta y a la cual se le está acercando el carro a gran velocidad llegará una cantidad mayor de ondas sonoras que las que escucha el conductor del vehículo en un mismo intervalo de tiempo. Esa persona en la banqueta escuchará el sonido algo más “chillante”, con una frecuencia mayor en tanto mayor sea la velocidad con la cual se le acerca el vehículo. Este es precisamente el efecto Doppler. En cambio, para la persona que está en la banqueta del lado del cual se está alejando el carro, llegará una cantidad mayor de ondas sonoras que las que escucha el conductor del vehículo en un mismo intervalo de tiempo. Esa otra persona en la banqueta escuchará el sonido algo más grave, más bajo, con una frecuencia menor en tanto menor sea la velocidad a la cual se le está alejando el vehículo.<br /><br />Si pudiéramos “ver” en un instante de tiempo las ondas sonoras que se van produciendo desde el carro, posiblemente veríamos algo como lo siguiente:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjD65RTT8IGogzsdyhaDP_AU_XYqM_OhD4Yp1SGO8JTX-XbxuxOHRRgCOCiHyvhYXXZ4MrG55dpBWl1ggJY6T8W-IfsSogSu_6ZLxXzJr0ydDX1OPibJJHEgj8yxo5Ttg6U9fS3ptRzPaJt/s1600-h/efecto_Doppler_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjD65RTT8IGogzsdyhaDP_AU_XYqM_OhD4Yp1SGO8JTX-XbxuxOHRRgCOCiHyvhYXXZ4MrG55dpBWl1ggJY6T8W-IfsSogSu_6ZLxXzJr0ydDX1OPibJJHEgj8yxo5Ttg6U9fS3ptRzPaJt/s400/efecto_Doppler_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320151792896330514" border="0" /></a><br /></div><br /><br />A continuación tenemos otra ilustración de cómo se apilan las ondas sonoras del lado derecho al moverse la fuente hacia la derecha a una velocidad moderadamente baja (representada por el vector flecha de color rojo), y cómo se apilan aún más del lado derecho al aumentar la velocidad de la fuente la fuente hacia la derecha, aumentando con ello la frecuencia (y el tono) de la señal:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgixQfJknRY6ILM_SqvCeKgT1O-evjKDE4eGv22g4QKKY4YzovKUg9vaiKaIQyWninHTA-2lYMaTWyFvm4OI2vIoQB7GypfSk84nQ8KaQIPI_J09rkW5X2ByuyfqX-gIeIktmsNl29A6vYO/s1600-h/efecto_Doppler_3.gif"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 155px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgixQfJknRY6ILM_SqvCeKgT1O-evjKDE4eGv22g4QKKY4YzovKUg9vaiKaIQyWninHTA-2lYMaTWyFvm4OI2vIoQB7GypfSk84nQ8KaQIPI_J09rkW5X2ByuyfqX-gIeIktmsNl29A6vYO/s400/efecto_Doppler_3.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320152639169328082" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En los mismos diagramas de arriba, al lado izquierdo de la fuente, podemos ver cómo se separan las ondas sonoras al moverse la fuente hacia la derecha a una velocidad moderadamente baja y cómo se separan aún más del lado izquierdo al aumentar la velocidad de la fuente la fuente hacia la derecha, disminuyendo con ello la frecuencia.<br /><br />Las fórmulas clásicas para el efecto Doppler acústico establecen una clara distinción entre una fuente estacionaria y un observador móvil que se está alejando o acercando a la fuente, <span style="font-style: italic;">no son las mismas</span>. Esto se debe a que existe un medio en el cual son transportadas las ondas sonoras, el aire, que sirve para este fenómeno como un marco de referencia <span style="font-style: italic;">absoluto</span>. En un día tranquilo, es posible saber en qué dirección está soplando el aire con sólo dejar caer al suelo un objeto ligero. Pero si está soplando el viento, si el aire se está moviendo, el aire arrastrará al objeto a cierta distancia al caer el objeto al suelo, y no caerá en la misma posición en la cual habría caído si no hubiera viento alguno. Por lo tanto, las fórmulas para el efecto Doppler serán distintas ya sea que la fuente esté estacionaria y el observador externo se esté moviendo o que la fuente se esté moviendo también. <span style="font-weight: bold;">Esta es precisamente una muestra de las asimetrías a las que Einstein hacía referencia cuando se suponía que las ondas luminosas eran transportadas a través de un medio de referencia estacionario conocido como el éter</span>.<br /><br />Dentro del esquema de la Teoría Especial de la Relatividad, aunque una onda luminosa siempre tendrá la misma velocidad en marcos distintos de referencia, la frecuencia de la señal luminosa cuando salió disparada de su fuente tendrá también un desplazamiento Doppler como podemos verlo en la siguiente analogía con las ondas acústicas:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVRza7f5u3h6Aoo2zCcf_hDiTEPMEAjsACihYuYjH7StjJqYro-ois6rauPQOkPK8sOszji2yITH1aL5yo2OJFpsRpzuOURyZF8JaTOS1mGovxZoa4BAj1sx0UaRmjtS47rD3TTEyI66DK/s1600-h/efecto_Doppler_relativistico_para_la_luz.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 364px; height: 217px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVRza7f5u3h6Aoo2zCcf_hDiTEPMEAjsACihYuYjH7StjJqYro-ois6rauPQOkPK8sOszji2yITH1aL5yo2OJFpsRpzuOURyZF8JaTOS1mGovxZoa4BAj1sx0UaRmjtS47rD3TTEyI66DK/s400/efecto_Doppler_relativistico_para_la_luz.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320155787843621602" border="0" /></a><br /></div><br /><br />De este modo, aunque un rayo luminoso siempre tenga la misma velocidad <span style="font-weight: bold;">c</span> con respecto a cualquier marco de referencia, el hecho de que la frecuencia de la señal luminosa que nos llega de la fuente dependa directamente del que la fuente luminosa se esté acercando o alejando de nosotros nos proporciona una ayuda útil para tratar de determinar el movimiento relativo de dicha fuente con respecto a nosotros. Para que la información nos pueda ser de utilidad, necesitaríamos además una <span style="font-style: italic;">referencia universal</span> con respecto a la cual pudiéramos medir la magnitud del corrimiento. Afortunadamente, tal referencia universal existe, y son las líneas de los espectros de <span style="font-weight: bold;">emisión</span> y <span style="font-weight: bold;">absorción</span> característicos de los elementos de la tabla periódica. Cada elemento tiene sus propias líneas de emisión y absorción, y cada línea representa una frecuencia específica, invariable. Siendo el hidrógeno el elemento más abundante del Universo, no es de extrañar que sean precisamente las líneas características del hidrógeno las que son utilizadas como fuente de referencia, las cuales dicho sea de paso son predichas en espaciamiento e intensidad por la mecánica cuántica. Utilizando como punto de partida la posición de las líneas que obtenemos en un espectógrafo de una fuente de hidrógeno situada en la Tierra, comparando dichas líneas con las que obtenemos del hidrógeno emanado de los astros podemos determinar individualmente para cada astro si dicho cuerpo celeste se está acercando o se está alejando de nosotros. Si las líneas características del hidrógeno se corren hacia el azul, el cuerpo celeste se está acercando hacia nosotros, y si las líneas características del hidrógeno se corren hacia el rojo, el cuerpo celeste luminoso se está alejando de nosotros, y como lo podemos ver en la siguiente representación:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU-oAQ5WIyMyYwPLdGZQi-_crEk7n2RNLEEN-vzWbmdQygfR5mp3F9CZK3fqGW8lESdyurQogVY7XUU4nIFTXuSnfTNQ9n_i_WnZUi52M3S3SQyUZQ88jutBIRg4HdARQbx68X7sgChkz6/s1600-h/corrimientos_Doppler.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 264px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU-oAQ5WIyMyYwPLdGZQi-_crEk7n2RNLEEN-vzWbmdQygfR5mp3F9CZK3fqGW8lESdyurQogVY7XUU4nIFTXuSnfTNQ9n_i_WnZUi52M3S3SQyUZQ88jutBIRg4HdARQbx68X7sgChkz6/s400/corrimientos_Doppler.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320163386997089330" border="0" /></a><br /></div><br />A continuación tenemos una representación más ilustrativa de lo que podríamos ver en un espectógrafo de alta precisión:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhy-Waikq50jjj2B_Dk1OLRA2WFRxFMpZL51rePTXz-L1apfDb30jRgjoP-N_ofR7Mcxm1nECLIih3AJx9AKtCViF-JIjAewRYAAWAtFVLlHEfxb_hguevNPMwcDho9JFr1OqRnvUEej_Im/s1600-h/corrimientos_Doppler_lineas_hidrogeno.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 260px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhy-Waikq50jjj2B_Dk1OLRA2WFRxFMpZL51rePTXz-L1apfDb30jRgjoP-N_ofR7Mcxm1nECLIih3AJx9AKtCViF-JIjAewRYAAWAtFVLlHEfxb_hguevNPMwcDho9JFr1OqRnvUEej_Im/s400/corrimientos_Doppler_lineas_hidrogeno.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320165242084069234" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Clásicamente, para una fuente de la cual está emanando un sonido con una frecuencia característica <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub> en un medio como el aire en el que dicho sonido se propaga con una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span>, cuando la fuente se está moviendo con una velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> con respecto a un observador estacionario, el cambio por el efecto Doppler de dicha frecuencia <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub> a una frecuencia <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span> está dado por la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrvX3qAMLdxNDRT6u8pV0umwBNbUmXITdlt6jERQLzYWBTGsiyXkD5g8ydJGDRVS6Cb3zjstxQowBc6a2z-GrOr3hTGhVlQ8GWMWR1jWvjemMulcjOFCZA9tFlMDsVqZCf5lLPnkSU4G5A/s1600-h/efecto_Doppler_fuente_en_movimiento.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 127px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrvX3qAMLdxNDRT6u8pV0umwBNbUmXITdlt6jERQLzYWBTGsiyXkD5g8ydJGDRVS6Cb3zjstxQowBc6a2z-GrOr3hTGhVlQ8GWMWR1jWvjemMulcjOFCZA9tFlMDsVqZCf5lLPnkSU4G5A/s400/efecto_Doppler_fuente_en_movimiento.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320546014789569506" border="0" /></a><br /></div><br />En ésta fórmula, el signo “+” o el signo “-” es utilizado dependiendo de que la fuente en movimiento se esté alejando o se esté acercando al observador estacionario. Poniendo números, considerando para la velocidad del sonido en el aire un valor <span style="font-weight: bold;">V</span> de 344 metros por segundo, para una fuente sonora <span style="font-style: italic;">acercándose</span> a un observador estacionario a una velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> de 172 metros por segundo, usando el signo “-” en la fórmula podemos ver que la frecuencia del sonido aumentará al doble:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span> = <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub>/(1 - (172)/(344)) = <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub>/(1 - 0.5)) = <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub>/(0.5)<br /><br /><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span> = <span style="font-weight: bold; font-style: italic;"></span>2<span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub><br /></div><br />Pero para una fuente móvil con la misma velocidad alejándose del observador estacionario a la misma velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> de 172 metros por segundo, usando el signo “+” en la fórmula podemos ver que la frecuencia del sonido disminuirá en un factor de dos tercios (0.666):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span> = <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub>/(1 + (172)/(344)) = <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub>/(1 + 0.5)) = <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub>/(1.5)<br /><br /><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span> = (2/3)<span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub><br /></div><br />Por otro lado, clásicamente para una fuente de la cual está emanando un sonido con una frecuencia característica <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub> en un medio como el aire en el que dicho sonido se propaga con una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span>, cuando la fuente está estacionaria y es el observador el que se está moviendo con una velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> con respecto a la fuente, el cambio por el efecto Doppler de dicha frecuencia <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub> a una frecuencia <span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span> está dado por la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhydNYd8uVEvx2PuqGHoyoNS-LhRJdWD8XgCd9vCVzGJkFu4xMFsDbSP4ofACuWtesgDHy6ICqTGSFkRJ_l9uNW2G1ToYTpoKwMiiEVhFmTrhX0N0qaxuO41QG12yPYHKd2NadmxqVPPsHm/s1600-h/efecto_Doppler_observador_en_movimiento.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 190px; height: 52px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhydNYd8uVEvx2PuqGHoyoNS-LhRJdWD8XgCd9vCVzGJkFu4xMFsDbSP4ofACuWtesgDHy6ICqTGSFkRJ_l9uNW2G1ToYTpoKwMiiEVhFmTrhX0N0qaxuO41QG12yPYHKd2NadmxqVPPsHm/s400/efecto_Doppler_observador_en_movimiento.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320549964230528146" border="0" /></a><br /></div><br />Obsérvese que esta fórmula es diferente de la fórmula anterior. El resultado clásico hace una distinción entre el caso en el cual la fuente es la que está moviéndose con respecto a un observador estacionario y el caso en el que el observador es el que está moviéndose con respecto a una fuente estacionaria. <span style="font-weight: bold;">Este es precisamente el tipo de asimetrías a las cuales Einstein estaba haciendo referencia en su trabajo original cuando se suponía que también la luz requería de un medio de conducción para poder propagarse de un punto a otro.</span> La razón por la cual el resultado clásico pre-relativista distingue entre una fuente en movimiento y un observador en movimiento es que la derivación de las fórmulas presupone la existencia de un medio (el aire) que proporciona una vía de conducción a las ondas sonoras y por lo tanto proporciona una manera de detectar el <span style="font-style: italic;">reposo absoluto</span> con respecto a dicha referencia. En este caso, el observador privilegiado será aquél que esté en reposo absoluto con respecto al aire en un día en el que no haya viento alguno o que se esté moviendo en la misma dirección y con la misma velocidad (con respecto a la Tierra) a la cual está soplando el viento.<br /><br />Las fórmulas anteriores trabajan muy bien en situaciones cotidianas para velocidades bajas mucho menores que la velocidad de la luz. Pero en situaciones que involucran a la luz misma, viajando a la velocidad de la luz, las fórmulas tienen que ser corregidas tomando en cuenta los efectos relativistas. En ambos casos habrá un efecto Doppler, pero el efecto Doppler calculado relativísticamente debe ser el mismo ya sea que el análisis se lleve a cabo considerando una fuente en movimiento y un observador estático o una fuente estática y un observador en movimiento.<br /><br />La inclusión de efectos relativistas al efecto Doppler necesariamente introducirá un grado adicional de complejidad al asunto debido al fenómeno relativista de <span style="font-style: italic;">contracción de longitud</span>. Si generamos una onda sonora de frecuencia fija (constante) y suponemos que estamos estacionarios frente a ella, entonces la distancia de cresta-a-cresta (máximo a máximo) definida como la <span style="font-style: italic;">longitud de onda</span> <span style="font-weight: bold;">λ</span> (medida en metros):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTZIddvgzFHyn3qyFDg0laKyoLo4ZXV3N-oIzj4iaqAKm42mGwRlfeh_znoKvut9cKToOBfIoM9RKdVZItdSjW-VZkRZk5OxyetpTZahi5fS4frn-rIE0LQ1tSW6VNNVWVOYeyN53AYte3/s1600-h/longitud_de_onda.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 220px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTZIddvgzFHyn3qyFDg0laKyoLo4ZXV3N-oIzj4iaqAKm42mGwRlfeh_znoKvut9cKToOBfIoM9RKdVZItdSjW-VZkRZk5OxyetpTZahi5fS4frn-rIE0LQ1tSW6VNNVWVOYeyN53AYte3/s400/longitud_de_onda.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5343926204509263058" border="0" /></a><br /></div><br /><br />experimentará una <span style="font-style: italic;">contracción de longitud</span> como la que ocurre de (a) a (b) en el diagrama de arriba <span style="font-weight: bold;">sin importar el sentido en el que nos estemos moviendo</span>, ya sea hacia la fuente o alejándonos de ella. La longitud de onda máxima será la que mida un observador estacionario que se encuentre situado justo en el centro de la fuente que genera la onda o bien otro observador que también se encuentre en reposo con respecto al observador situado en el punto en donde se está generando la señal. Cualquier otro observador que se ponga en movimiento con respecto a la fuente detectará una contracción de longitud relativista, y esa contracción de longitud es la misma que la que hemos obtenido previamente desde un principio, dada por la relación:<br /><br /><div style="text-align: center;">λ = λ<sub>0</sub>√<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span><br /></div><br />Se repite, y esto es importante, que esta variación en la longitud de onda λ de la señal (y por lo tanto en la frecuencia f de la misma, ya que <span style="font-weight: bold;">la frecuencia es la recíproca de la longitud de onda</span>, o sea <span style="font-weight: bold;">f = 1/λ</span>) con respecto a la longitud de onda λ<sub>0</sub> medida por un observador que está en reposo con respecto a la fuente es <span style="font-style: italic;">adicional</span> al efecto Doppler que en sí es causada por el abultamiento o el adelgazamiento de las ondas ya sea que nos estemos moviendo rápidamente hacia la fuente o alejándonos de ella. El efecto final es el resultado <span style="font-style: italic;">compuesto</span> de <span style="font-style: italic;">ambos</span> efectos.<br /><br />También podemos llevar a cabo un análisis relativista del efecto Doppler usando la<span style="font-style: italic;"> dilatación del tiempo</span> en lugar de la contracción de longitud. Para ello, consideramos el <span style="font-style: italic;">período</span> T de la onda luminosa, que es el intervalo de <span style="font-style: italic;">tiempo propio</span> (medido en segundos) entre cresta y cresta de la onda luminosa:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikT6K2cy0RVexET_2l2FgI-6hzM1kBntIOuXqZIK9wSjJJmJzF73cb5f222L-gbClatb-Vf0wGtEpI5AHNJliWNw09launm3TbdFajfJ7W4A1QV6hmGg-Qb_zcsGShUwASwpKcMUc4MJAf/s1600-h/periodo_onda_senoidal.png"><img style="cursor: pointer; width: 207px; height: 198px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikT6K2cy0RVexET_2l2FgI-6hzM1kBntIOuXqZIK9wSjJJmJzF73cb5f222L-gbClatb-Vf0wGtEpI5AHNJliWNw09launm3TbdFajfJ7W4A1QV6hmGg-Qb_zcsGShUwASwpKcMUc4MJAf/s400/periodo_onda_senoidal.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344287363997132674" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Es importante tener presente siempre que la velocidad de una onda senoidal (que en este caso suponemos que se trata de una onda electromagnética, o sea una señal luminosa moviéndose a la velocidad de la luz) está relacionada a la longitud de onda y al período de la onda senoidal de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">c = λ/T</span><br /></div><br />De un modo o de otro, tomando en cuenta los efectos relativistas, la fórmula para el efecto Doppler relativista <span style="font-style: italic;">en el caso de un haz luminoso</span> que resulta ser la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBCOC_OIfrj1M0T6MNR4cpC1CfwpfdiTnaNa_YJXbT_vyrGmxF1aHjdNw5X5Gf6mi6OjbhxoJ81p5q-uGXEY9mH4WMNFtG-X2C2PQM6EB-a1LsCbhzXTG1W6QUSiIzHEItt-dzb4rs3-QK/s1600-h/efecto_Doppler_relativistico.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 160px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBCOC_OIfrj1M0T6MNR4cpC1CfwpfdiTnaNa_YJXbT_vyrGmxF1aHjdNw5X5Gf6mi6OjbhxoJ81p5q-uGXEY9mH4WMNFtG-X2C2PQM6EB-a1LsCbhzXTG1W6QUSiIzHEItt-dzb4rs3-QK/s400/efecto_Doppler_relativistico.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320557497173454306" border="0" /></a><br /></div><br />no establece diferencia alguna entre una fuente en movimiento y un observador estático y una fuente estática y un observador en movimiento, como era de esperarse. En esta fórmula, utilizamos el signo “<span style="font-weight: bold;">-</span>” cuando la fuente y el observador están <span style="font-style: italic;">acercándose</span> el uno con respecto al otro, y utilizamos el signo “+” cuando la fuente y el observador están <span style="font-style: italic;">alejándose</span> el uno con respecto al otro.<br /><br />La fórmula anterior es válida cuando la fuente se está acercando hacia el observador o cuando la fuente se está alejando del observador directamente a lo largo de la línea imaginaria que conecta a ambos. Cuando el acercamiento (o el alejamiento) no ocurre a lo largo de esta línea:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIt9dE_D40FbDXXiNmY7wn_hezKLIbzgyVIBFDeIZb3XvkZI1zsnXryJrNV17IfroNFGojCFR4eEr9OVa3JelvFniOznFkvUC0RHi1wWlCl4IW9oExMyzG-1ljdERXgN-XnqMOYuenS08w/s1600-h/efecto_Doppler_transversal.png"><img style="cursor: pointer; width: 235px; height: 151px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIt9dE_D40FbDXXiNmY7wn_hezKLIbzgyVIBFDeIZb3XvkZI1zsnXryJrNV17IfroNFGojCFR4eEr9OVa3JelvFniOznFkvUC0RHi1wWlCl4IW9oExMyzG-1ljdERXgN-XnqMOYuenS08w/s400/efecto_Doppler_transversal.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344272082783231266" border="0" /></a><br /></div><br /><br />entonces la fórmula Doppler relativista debe ser modificada para acomodar la siguiente situación que corresponde a un efecto Doppler <span style="font-style: italic;">transversal</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaaNse995tpIfOQVh8RDD7LWjRyeRdFPu93LUOZYKdlI89aifypmqvECHjiMRuzcMP6VUw38wHpRRoWu_i1Eit81lV5API0h1QYD1FT-S0fjLOpd1IRIituVdWvACLxhb1FNXoN2x3RK0y/s1600-h/efecto_Doppler_relativista_transversal.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 160px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaaNse995tpIfOQVh8RDD7LWjRyeRdFPu93LUOZYKdlI89aifypmqvECHjiMRuzcMP6VUw38wHpRRoWu_i1Eit81lV5API0h1QYD1FT-S0fjLOpd1IRIituVdWvACLxhb1FNXoN2x3RK0y/s400/efecto_Doppler_relativista_transversal.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344329549645228690" border="0" /></a><br /></div><br />Esta es la <span style="font-weight: bold;">fórmula general para el efecto Doppler relativista</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Suponiendo una fuente estacionaria emitiendo una señal luminosa </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">f</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sub><span style="font-style: italic;">, derivar la expresión</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-Cz6tk2aO6Fr_HS5jBPsX7AmEnEApQn6Gp7XpQ9gYosZ1gftGSZmxlVWOv5TjFzOJhDj9n-r9-tF3rHByje6f4r55N2GhaRqOl14NYFBnJfjn1CQ4KW0f8aySxA3K7SNQn90oh27SQ1L9/s1600-h/problema_Doppler.png"><img style="cursor: pointer; width: 160px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-Cz6tk2aO6Fr_HS5jBPsX7AmEnEApQn6Gp7XpQ9gYosZ1gftGSZmxlVWOv5TjFzOJhDj9n-r9-tF3rHByje6f4r55N2GhaRqOl14NYFBnJfjn1CQ4KW0f8aySxA3K7SNQn90oh27SQ1L9/s400/problema_Doppler.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344275892814748786" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">para un observador que se está moviendo directamente hacia la fuente a una velocidad V. Demuéstrese que esta expresión es idéntica a</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxNkzTMp_j1kw6q8R6Kkq2rLAlPpUElh0qB_gNArspLJQUu3OTyPAl2UNxyvCo2webWkPc7wvCFC_Nu5X35RqXMHw7hUnnThERRpi1u-12AxErXHNWwiqLDPkkNXExBxRN0o6A2O8XtN3y/s1600-h/problema_Doppler_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 160px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxNkzTMp_j1kw6q8R6Kkq2rLAlPpUElh0qB_gNArspLJQUu3OTyPAl2UNxyvCo2webWkPc7wvCFC_Nu5X35RqXMHw7hUnnThERRpi1u-12AxErXHNWwiqLDPkkNXExBxRN0o6A2O8XtN3y/s400/problema_Doppler_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344276508365726098" border="0" /></a><br /></div><br />La derivación de la primera relación se lleva a cabo en forma directa simplemente considerando la <span style="font-style: italic;">contracción relativista</span> de la longitud. Tomando dicha relación y trabajando sobre ella:<br /><br /><div style="text-align: center;"> f = <span>{ f</span><sub>0</sub> (1 + V/c) } / { √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> }<br /><br />f = <span>{ f</span><sub>0</sub> (1 + V/c) } / { √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)(1 - V/c)</span> }<br /><br />f = <span>{ f</span><sub>0</sub> <span style="color: rgb(255, 0, 0);">√</span><span style="text-decoration: overline; color: rgb(255, 0, 0);">(1 + V/c)</span> √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)</span> } / { <span style="color: rgb(255, 0, 0);">√</span><span style="text-decoration: overline; color: rgb(255, 0, 0);">(1 + V/c)</span> √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)</span> }<br /><br />f = <span>{ f</span><sub>0</sub> <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>√<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)</span> } / { <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>√<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)</span> }<br /><br />f = { <span>f</span><sub>0</sub> <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>√<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)</span> <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">√</span><span style="text-decoration: overline; color: rgb(51, 51, 255);">(1 - V/c)</span> } / { √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)</span> <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">√</span><span style="text-decoration: overline; color: rgb(51, 51, 255);">(1 - V/c)</span> }<br /><br />f = { <span>f</span><sub>0</sub> <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>√<span style="text-decoration: overline;">(1 - (V/c)²)</span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span> } / { 1 - V/c }<br /></div><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Demuéstrese que las expresiones clásicas para el efecto Doppler tanto para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra y a las expresiones relativistas a un primer orden en V/c.</span><br /><br />La expresión clásica del efecto Doppler para una fuente en movimiento (observador en reposo) suponiéndola válida para una fuente luminosa con la señal moviéndose a la velocidad de la luz es (haciendo las modificaciones notacionales necesarias):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibrVQc_qGVySX99ikGim8FkgyXZ6KRYHQ6jNMR1LiPNI_7fNbCw8vFZ0g_Cqku5zmTOaFmC7jRZIHhOLyJqnbfnSfH96TNX87GrOyGRTBHKD4UbRKEBWN-lKWHcsZULZG82eoU30YngqnA/s1600-h/efecto_Doppler_fuente_en_movimiento_clasica.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 127px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibrVQc_qGVySX99ikGim8FkgyXZ6KRYHQ6jNMR1LiPNI_7fNbCw8vFZ0g_Cqku5zmTOaFmC7jRZIHhOLyJqnbfnSfH96TNX87GrOyGRTBHKD4UbRKEBWN-lKWHcsZULZG82eoU30YngqnA/s400/efecto_Doppler_fuente_en_movimiento_clasica.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344290593719608658" border="0" /></a><br /></div><br />Podemos desarrollar el denominador de esta expresión mediante una expansión por series (teorema del binomio) que en este caso resulta ser:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh3qc32r7IcuwXgW6uh9UwP698geIr7OC27XZp4jpJBjXCAZ_F6vI439MoI_cNEW6lH49jw8gexZJs4aHyBs-zfdK17jx28BSnbDqqUywAQ670lPHMN5qjiQb-uEB8GK02xTN3xgcvCcY4/s1600-h/expansion_binomial_por_series.gif"><img style="cursor: pointer; width: 399px; height: 54px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh3qc32r7IcuwXgW6uh9UwP698geIr7OC27XZp4jpJBjXCAZ_F6vI439MoI_cNEW6lH49jw8gexZJs4aHyBs-zfdK17jx28BSnbDqqUywAQ670lPHMN5qjiQb-uEB8GK02xTN3xgcvCcY4/s400/expansion_binomial_por_series.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344292846283887842" border="0" /></a><br /></div><br />Esta expansión puede ser utilizada para valores de x inferiores a la unidad, lo cual es aplicable al caso que nos ocupa ya que V/c ciertamente será inferior a la unidad. La inversa de (1+x) se obtiene con un exponente de n = -1. Suponiendo valores pequeños de x (lo cual nos permite ignorar los términos mayores a los de primer orden) y para valores positivos de x, la serie resultante es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEPjXqjhVm40hSTlj7eTXnujNYo1EPWGxYTwCxGQ2aNudmsLtJ8kbSV0gvIGE5QJBONFSMqWQuy9glsitTgNN3SE_eu-U8YnKCMrG1iHYOIlunXs9541IQgjVidZrhTLV1IpbTM4jCV7Kh/s1600-h/expansiones_binomiales_por_series.png"><img style="cursor: pointer; width: 237px; height: 184px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEPjXqjhVm40hSTlj7eTXnujNYo1EPWGxYTwCxGQ2aNudmsLtJ8kbSV0gvIGE5QJBONFSMqWQuy9glsitTgNN3SE_eu-U8YnKCMrG1iHYOIlunXs9541IQgjVidZrhTLV1IpbTM4jCV7Kh/s400/expansiones_binomiales_por_series.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344295747883252882" border="0" /></a><br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = <span>f</span><sub>0</sub> (1 ± V/c)<br /></div><br />Este es el resultado clásico para una <span style="font-style: italic;">fuente en movimiento</span>. Podemos comparar este resultado con el resultado clásico para una fuente en reposo y un <span style="font-style: italic;">observador en movimiento</span> dado arriba (haciendo las modificaciones notacionales necesarias):<br /><br /><div style="text-align: center;">f =(1 ± V/c) <span>f</span><sub>0</sub><br /></div><br />comprobando que <span>las expresiones clásicas para el efecto Doppler tanto para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra</span>.<br /><br />Ahora tomamos la expresión relativista<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBCOC_OIfrj1M0T6MNR4cpC1CfwpfdiTnaNa_YJXbT_vyrGmxF1aHjdNw5X5Gf6mi6OjbhxoJ81p5q-uGXEY9mH4WMNFtG-X2C2PQM6EB-a1LsCbhzXTG1W6QUSiIzHEItt-dzb4rs3-QK/s1600-h/efecto_Doppler_relativistico.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 160px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBCOC_OIfrj1M0T6MNR4cpC1CfwpfdiTnaNa_YJXbT_vyrGmxF1aHjdNw5X5Gf6mi6OjbhxoJ81p5q-uGXEY9mH4WMNFtG-X2C2PQM6EB-a1LsCbhzXTG1W6QUSiIzHEItt-dzb4rs3-QK/s400/efecto_Doppler_relativistico.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320557497173454306" border="0" /></a><br /></div><br />y trabajamos algebraicamente sobre la misma recurriendo en este caso tanto al desarrollo del término de la raíz cuadrática del denominador como al término del denominador de la expresión mediante una expansión por series (teorema del binomio):<br /><br /><div style="text-align: center;">f = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 ± V/c }<br /><br />f = <span>f</span><sub>0</sub> { (1 - V²/c²)<sup> <span style="color: rgb(255, 0, 0);">-½</span></sup> } { (1 ± V/c)<sup style="color: rgb(51, 51, 255);"> -1</sup> }<br /><br />f = <span>f</span><sub>0</sub> { (1 + <span style="color: rgb(0, 102, 0);">(½) (V/c)²</span> + ...)<sup> <span style="color: rgb(255, 0, 0);">-½</span></sup> } { 1 ± V/c ± ... }<br /></div><br /><div style="text-align: center;">f = <span>f</span><sub>0</sub> (1 ± V/c)<br /></div><br /><div style="text-align: left;"><span>Entonces tanto las expresiones clásicas para el efecto Doppler para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra y a las expresiones relativistas a un primer orden en V/c</span>.<br /></div><br /><br />En la resolución de problemas astronómicos en los cuales se determina el corrimiento de las líneas espectrales propias de cada elemento, es común utilizar como medida de la longitud de onda el <span style="font-style: italic;">angstrom</span>, simbolizado como Å, el cual es igual a 10<sup style="color: rgb(0, 0, 0);">-8</sup> centímetros.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">La cuásar 3C-9 se está alejando de la Tierra a una velocidad V. La línea espectral Lyman-α en el ultravioleta del hidrógeno situada normalmente en λ</span><sub style="font-style: italic;">0</sub><span style="font-style: italic;"> = 1216 Å es desplazada hacia una longitud de onda mayor (conocido como corrimiento hacia el rojo). La línea espectral observada tiene una longitud de onda λ = 3663 Å. Suponiendo que este desplazamiento se debe al efecto Doppler, calcular la velocidad a la cual se está alejando la cuásar 3C-9 de la Tierra.</span><br /><br />Puesto que la velocidad de la luz es la misma en cualquier marco de referencia, podemos afirmar que:<br /><br /><div style="text-align: center;">c = <span>f</span><sub>0 </sub>λ<sub>0</sub> <span style="color: rgb(255, 255, 255);">_____</span> c = f λ<br /></div><br />con lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span>f</span><sub>0 </sub>= c / λ<sub>0</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">_____</span> f = c / λ<br /></div><br />La fórmula para el efecto Doppler relativista en el caso de una fuente que se está alejando a una velocidad V es:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 ± V/c }<br /><br /><div style="text-align: left;">usando lo anterior y el hecho de que la fuente se está alejando del observador con lo cual seleccionamos el signo “+”:<br /></div><br /><span style="color: rgb(204, 0, 0);">c</span> / λ = { (<span style="color: rgb(204, 0, 0);">c</span> / λ<sub>0</sub>) (√<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> ) } / { 1 + V/c }<br /></div><br /><div style="text-align: center;">λ<sub>0</sub> / λ = { √<span style="text-decoration: overline;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">(1 + V/c)</span>(1 - V/c)</span> } / { (<span style="color: rgb(255, 0, 0);">√</span><span style="text-decoration: overline; color: rgb(255, 0, 0);">1 + V/c</span>) (√<span style="text-decoration: overline;">1 + V/c</span>) }<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">1 + V/c</span>) /(√<span style="text-decoration: overline;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>1 - V/c</span>) = λ / λ<sub>0</sub> = 3663 Å /1216 Å = 3.0123<br /><br />(1 + V/c) /(1 - V/c) = 9.0742<br /></div><br /><div style="text-align: center;">V = 0.801c<br /></div><br /><br />Del problema anterior, podemos ver que para la resolución de problemas numéricos podemos utilizar fórmulas Dopper relativistas un poco más fáciles de recordar, las cuales obtendremos a continuación<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">(a) A partir de la fórmula general para el efecto Doppler relativista, demuéstrese que cuando el observador y la fuente se mueven directamente el uno hacia el otro la frecuencia de la señal detectada por el observador se puede escribir de la siguiente manera:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnmc7zOhJ-Du7PVQyBHLtUs-piyKRw_0ehG0op79Mgy-u8kM-vwvCwELFOEAu6BHNjSdyyyiwPjssq6ETUdr9cOlOOCYyRZyzet1pwJHlsz-VC7Q7S_1_WbrBQaNB7EW4RG6GFiZNkPxCY/s1600-h/problema_Doppler_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 131px; height: 54px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnmc7zOhJ-Du7PVQyBHLtUs-piyKRw_0ehG0op79Mgy-u8kM-vwvCwELFOEAu6BHNjSdyyyiwPjssq6ETUdr9cOlOOCYyRZyzet1pwJHlsz-VC7Q7S_1_WbrBQaNB7EW4RG6GFiZNkPxCY/s400/problema_Doppler_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344323751524356050" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">(b) Del mismo modo, a partir de la fórmula general para el efecto Doppler relativista, demuéstrese que cuando el observador y la fuente se están alejando el uno del otro la frecuencia de la señal detectada por el observador se puede escribir de la siguiente manera:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd17gaX1xXfyQ-QJ7tE4vgvkaSdeTdmuW9sjWgaVhOtaC-gIEB_sk6ySabacRuwfBnRtckPkq-VNEwOtgLRKv9oyB3vpNQOa1Cwd0SePQLav43AYZbtU0IcI5TIy5ZKU4N370iP4-cdYaw/s1600-h/problema_Doppler_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 131px; height: 54px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd17gaX1xXfyQ-QJ7tE4vgvkaSdeTdmuW9sjWgaVhOtaC-gIEB_sk6ySabacRuwfBnRtckPkq-VNEwOtgLRKv9oyB3vpNQOa1Cwd0SePQLav43AYZbtU0IcI5TIy5ZKU4N370iP4-cdYaw/s400/problema_Doppler_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344324378182807298" border="0" /></a><br /></div><br />(a) En la fórmula general para el efecto Doppler relativista:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaaNse995tpIfOQVh8RDD7LWjRyeRdFPu93LUOZYKdlI89aifypmqvECHjiMRuzcMP6VUw38wHpRRoWu_i1Eit81lV5API0h1QYD1FT-S0fjLOpd1IRIituVdWvACLxhb1FNXoN2x3RK0y/s1600-h/efecto_Doppler_relativista_transversal.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 160px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaaNse995tpIfOQVh8RDD7LWjRyeRdFPu93LUOZYKdlI89aifypmqvECHjiMRuzcMP6VUw38wHpRRoWu_i1Eit81lV5API0h1QYD1FT-S0fjLOpd1IRIituVdWvACLxhb1FNXoN2x3RK0y/s400/efecto_Doppler_relativista_transversal.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5344329549645228690" border="0" /></a></div><br />cuando la fuente y el observador se mueven el uno hacia el otro tenemos un ángulo θ = 0° con lo cual cos(θ) = 1 y:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 - V/c }<br /><br />f = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)(1 - V/c)</span> } / { √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)</span> √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)</span> }<br /><br />f = <span>f</span><sub>0</sub> { √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)</span> / √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)</span>}<br /><br />f = <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)/(1 - V/c)</span><br /></div><br />(b) En la misma fórmula, cuando la fuente y el observador se están alejando el uno del otro, tenemos un ángulo θ = 180° con lo cual cos(θ) = -1 y:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 + V/c }<br /><br />f = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)(1 - V/c)</span> } / { √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)</span> √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)</span> }<br /><br />f = <span>f</span><sub>0</sub> { √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)</span> / √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)</span>}<br /><br />f = <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)/(1 + V/c)</span><br /></div><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Para una estrella que se aleja de la Tierra a una velocidad de 5·10</span><sup style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">-3</sup><span style="font-style: italic;"> c, ¿cuál es el corrimiento en la longitud de onda para la línea D del sodio (5890 Å)</span><br /><br />La ecuación Doppler relativista para fuente y observador alejándose el uno con respecto al otro nos dá:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = <span>f</span><sub>0 </sub>√<span style="text-decoration: overline;">(c - V)/(c + V)</span><br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c</span>/λ = (<span style="color: rgb(255, 0, 0);">c</span>/λ<sub>0</sub>) (√<span style="text-decoration: overline;">(c - V)/(c + V)</span><br /><br />λ = λ<sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(c + V)/(c - V)</span><br /><br />λ = λ<sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)/(1 - V/c)</span><br /><br />λ = (5890 Å) √<span style="text-decoration: overline;">(1 + .005)/(1 - .005)</span><br /><br />λ = 5920 Å<br /></div><br />El corrimiento Doppler en la longitud de onda es entonces Δλ = 5920 Å - 5890 Å = <span style="color: rgb(0, 0, 0);">30 Å</span>. Este corrimiento consiste en un aumento en la longitud de onda, y por lo tanto es un desplazamiento hacia el infrarrojo (hacia el rojo).<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál es la variación de Doppler para una fuente de longitud de onda 5500 Å que se aproxima a un observador con una velocidad de 0.8c?</span><br /><br />Procediendo en una forma parecida al problema anterior, la relación a ser utilizada en el caso de que la fuente se está acercando al observador debe ser la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">λ = λ<sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(c - V)/(c + V)</span><br /><br />λ = λ<sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(1 - V/c)/(1 + V/c)</span><br /><br />λ = (5500 Å) √<span style="text-decoration: overline;">(1 - 0.8)/(1 + 0.8)</span><br /><br />λ = (5500 Å) √<span style="text-decoration: overline;">(0.2)/(1.8)</span> = (5500 Å) /9<br /><br />λ = 1833 Å<br /></div><br />Entonces Δλ = 5500 Å - 1833 Å = <span style="color: rgb(0, 0, 0);">3667 Å</span>.<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Supóngase que la mayor longitud de onda visible para el ojo humano es de 6500 Å, en el límite hacia el infrarrojo. ¿Con qué velocidad deberá viajar un cohete para que la luz verde (λ = 5000 Å) emitida por él, sea invisible para un observador en Tierra?</span><br /><br />En este caso, el cohete debe estar <span style="font-style: italic;">alejándose</span> del observador en Tierra para que la longitud de onda pueda aumentar por efecto Doppler:<br /><br /><div style="text-align: center;">λ = λ<sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(c + V)/(c - V)</span><br /><br />√<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)/(1 - V/c)</span> = λ / λ<sub>0</sub> = 6500 Å/ 5000 Å = 1.3<br /><br />(1 + V/c) / (1 - V/c) = 1.69<br /><br />2.69 V/c = 0.69<br /><br />V = 0.257 c<br /></div><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Con qué velocidad se debe alejar una estrella de la Tierra para que la variación de la longitud de onda sea del 0.5%?</span><br /><br />Esta situación es similar a la del problema anterior:<br /><br /><div style="text-align: center;">λ = λ<sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">(c + V)/(c - V)</span><br /><br />√<span style="text-decoration: overline;">(1 + V/c)/(1 - V/c)</span> = λ / λ<sub>0</sub> = 1.005<br /><br />1 + V/c = 1.01 (1 - V/c)<br /><br />2 V/c = .01<br /><br />V = <span>5·10</span><sup style="color: rgb(0, 0, 0);">-3</sup><span> c</span><br /></div><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Una fuente de luz de frecuencia</span><span style="font-style: italic;"> f</span><sub style="font-style: italic;">0</sub><span style="font-style: italic;"> se mueve alternadamente hacia un observador con velocidad V y rápidamente se aleja del observador a la misma velocidad. Demuéstrese que el promedio de las frecuencias observadas es mayor que </span><span style="font-style: italic;">f</span><sub style="font-style: italic;">0</sub><span style="font-style: italic;">.</span><br /><br />Relativísticamente, cuando la fuente se está acercando al observador, la frecuencia con corrimiento Doppler es (usando el signo “-” en la fórmula):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">f</span> = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 - V/c }<br /></div><br />Y cuando la fuente se está alejando del observador, la frecuencia con corrimiento Doppler es (usando el signo “+” en la fórmula):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">f</span> = { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 + V/c }<br /></div><br />El promedio aritmético de ambas frecuencias es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;"> f</span> = ( <span style="color: rgb(255, 0, 0);">f</span> + <span style="color: rgb(51, 51, 255);">f</span> ) /2<br /></div><br />Entonces, substituyendo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">f</span> = ½ [ { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 - V/c } + { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> } / { 1 + V/c } ]<br /><br /><span style="text-decoration: overline;">f</span> = [ ½ { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> }] {1/( 1 - V/c) + 1 /(1 + V/c) }<br /><br /><span style="text-decoration: overline;">f</span> = [ ½ { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> }] {(1 + V/c + 1 - V/c)/( 1 - V/c) (1 + V/c) }<br /><br /><span style="text-decoration: overline;">f</span> = [ ½ { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> }] { 2/( 1 - V²/c²) }<br /><br /><span style="text-decoration: overline;">f</span> = [<span style="color: rgb(255, 0, 0);"> ½</span> { <span>f</span><sub>0</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> }] { <span style="color: rgb(255, 0, 0);">2</span>/( 1 - V²/c²) }<br /><br /><span style="text-decoration: overline;">f</span> = <span>f</span><sub>0 /</sub> √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span><br /></div><br />Puesto que V es menor que c, entonces V²/c² es menor que 1 y el denominador (1-V²/c²) será mayor que cero pero menor que la unidad. Esto significa que (1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span>) siempre será mayor que la unidad. Entonces el promedio de las frecuencias observadas debe ser mayor que la frecuencia <span>f</span><sub>0</sub>.<br /><br /><br />Se repite aquí que las fórmulas relativistas utilizadas arriba para el efecto Doppler que no establecen diferencia alguna entre un observador estacionario situado en la fuente misma (fuente en movimiento) y un observador en movimiento con respecto a la fuente (fuente estacionaria) son válidas única y exclusivamente <span style="font-style: italic;">para haces de luz</span>, no son válidas para ondas sonoras o u ondas mecánicas transmitidas en un medio sólido, líquido o gaseoso, porque en tales casos la información transmitida (las ondas viajeras) dependen de un medio físico estacionario (el aire, el agua, el metal, etc.), mientras que la luz no depende de medio alguno de transmisión al haber sido descartada la hipótesis del éter. En el caso de las ondas sonoras y mecánicas las relaciones clásicas siguen siendo válidas, aunque estas también sean susceptibles de correcciones relativistas por contracción de longitud (o dilatación del tiempo).Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-81242453517367381452009-03-18T20:45:00.000-07:002009-09-07T13:39:15.091-07:0012: Dinámica relativistaUna parte esencial de la mecánica pre-relativista consiste en el estudio de las fuerzas <span style="font-style: italic;">estáticas</span> que ejercen entre sí partículas o cuerpos o inclusive puentes y edificios que están en reposo absoluto sin que haya movimiento relativo alguno entre ellos. <span style="font-style: italic;">Esta rama de la física no cambia en nada bajo la Teoría de la Relatividad</span>. Podemos seguir calculando las tensiones en las vigas de acero que sirven de apoyo a los rascacielos, podemos seguir calculando la fuerza de fricción necesaria entre una escalera y el piso para que la escalera inclinada a cierto ángulo reposando contra una pared no se resbale, y podemos seguir calculando la forma en la que se reparten las fuerzas de una bóveda sobre las columnas que sirven de apoyo a una catedral, de la misma manera como siempre se ha hecho inclusive desde antes de los tiempos de Newton. Lo que cambia es nuestro manejo de fuerzas en situaciones <span style="font-style: italic;">dinámicas</span>, sobre todo cuando hay involucradas velocidades cercanas a la velocidad de la luz.<br /><br />Clásicamente, si una fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> actuando sobre un cuerpo de masa M le imprimía al cuerpo una aceleración <span style="font-weight: bold;">a</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> de acuerdo con la fórmula <span style="font-weight: bold;">F</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = M<span style="font-weight: bold;">a</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> dada por Newton, entonces para otro observador moviéndose a una velocidad constante V la fórmula seguirá siendo exactamente la misma en virtud de que las transformaciones de Galileo nos señalan que <span style="font-weight: bold;">a</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = <span style="font-weight: bold;">a’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> y por lo tanto <span style="font-weight: bold;">F</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = M<span style="font-weight: bold;">a’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = M<span style="font-weight: bold;">a</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub>, lo que a su vez implica <span style="font-weight: bold;">F</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = <span style="font-weight: bold;">F</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub>, y <span style="font-style: italic;">una misma fuerza permanece invariante (clásicamente) para otros observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro</span>.<br /><br />Sin embargo, de acuerdo con las transformaciones <span style="font-style: italic;">relativistas</span> (las transformaciones de Lorentz) la aceleración de un cuerpo al pasar de un sistema de referencia S’ en movimiento a otro sistema de referencia S en reposo debe ser corregida de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj84WGq8tmnqGxXTo6nu0_m4wAMSNcOCa_09g4lXbxfJBPoe06U5i937EloJSW2Ho389UbYu1bEiRM2112Dx0viRg6j-gxp5GZkinWz5ZzbfAgGBGQXNsU2syB3ycckSaz3uXuyqUEDHN-/s1600-h/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_x.png"><img style="cursor: pointer; width: 155px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj84WGq8tmnqGxXTo6nu0_m4wAMSNcOCa_09g4lXbxfJBPoe06U5i937EloJSW2Ho389UbYu1bEiRM2112Dx0viRg6j-gxp5GZkinWz5ZzbfAgGBGQXNsU2syB3ycckSaz3uXuyqUEDHN-/s400/transformacion_relativistica_de_aceleracion_en_x.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327537635854351234" border="0" /></a><br /></div><br />O bien, multiplicando ambos miembros por la masa M:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span>M</span><span style="font-weight: bold;">a</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = { 1 /γ<sup>3</sup> (1 + V<span>u</span><sub>x</sub> /c²)<sup>3</sup> } <span>M</span><span style="font-weight: bold;">a’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub><sub style="font-weight: bold;"></sub><br /><br /><span style="font-weight: bold;">F</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = { 1 /γ<sup>3</sup> (1 + V<span>u</span><sub>x</sub> /c²)<sup>3</sup> }<sup></sup> <span style="font-weight: bold;">F</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub><sub style="font-weight: bold;"></sub><br /></div><br />De este modo, la fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span><span style="font-weight: bold;">’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> = M<span style="font-weight: bold;">a’</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub> que es medida por el observador en movimiento ya no tiene el mismo valor que el que tiene cuando es medida por el observador en reposo, ya que tiene que ser corregida mediante el factor:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 / { γ<sup>3</sup> ( 1 + Vu’<sub>x </sub>/c²)<sup>3</sup> }</div><br />con lo cual <span style="font-style: italic;">bajo las transformaciones de Lorentz la fuerza Newtoniana ha dejado de ser una invariante</span>. Entonces debemos aceptar que una misma fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> cambie de valor al pasar de un marco de referencia a otro por el factor señalado, o bien debemos aceptar que la fórmula clásica <span style="font-weight: bold;">F</span> = M<span style="font-weight: bold;">a</span> ha dejado de ser válida. Es razonable suponer que la fórmula <span style="font-weight: bold;">F</span> = M<span style="font-weight: bold;">a</span> pierde su validez a altas velocidades porque esta fórmula implica que una fuerza constante puede acelerar a un cuerpo a velocidades ilimitadas si actúa por un tiempo largo. Por otro lado, si la velocidad de un cuerpo en un marco de referencia S’ es mayor que la velocidad de la luz, entonces no podemos llevar a cabo con las transformaciones de Lorentz la conversión del marco de referencia S’ a un marco de referencia en resposo S porque el factor γ se vuelve imaginario cuando la velocidad V del marco de referencia móvil es mayor que la velocidad de la luz c.<br /><br />El concepto de una fuerza aplicada directamente sobre un cuerpo en movimiento es un concepto tan natural, tan esencial, tan básico, que antes que prescindir por completo de dicho concepto se vuelve deseable <span style="font-style: italic;">redefinirlo</span> de alguna manera. Y para poder redefinirlo, tenemos que echar un vistazo a la forma en la cual Newton obtuvo la fórmula <span style="font-weight: bold;">F</span> = M<span style="font-weight: bold;">a</span>.<br /><br />Para poder desarrollar su esquema de dinámica clásica, Isaac Newton concibió un concepto sobre el cual descansa toda la estructura de su filosofía en lo que concierne a la dinámica. Para un cuerpo de masa m moviéndose a una velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> con respecto a un observador, si multiplicamos directamente la masa por la velocidad obtenemos una cantidad considerada como fundamental, una cantidad que Newton llamó la “cantidad de movimiento” de un cuerpo o <span style="font-style: italic;">momentum</span>, frecuentemente simbolizada con la letra <span style="font-weight: bold;">p</span> (se ha utilizado notación vectorial para indicar que, por convención, el momentum de un cuerpo es una cantidad que posee la misma dirección y sentido en la cual se está moviendo el cuerpo con velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span>):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">p</span> = m<span style="font-weight: bold;">v</span><br /></div><br />Así, para una masa de 5 kilogramos moviéndose a una velocidad de 4 metros por segundo, la cantidad de movimiento del cuerpo es:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = (5 Kg)(4 m/seg)<br /><br />p = 20 Kg-m/seg<br /></div><br />A esta cantidad de movimiento se le asigna una dirección, la misma dirección que la que lleva el cuerpo al estar moviéndose. Puesto que la cantidad de movimiento p de un cuerpo es algo que tiene dirección y sentido, la fórmula es representada no en notación escalar sino en notación vectorial:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">p</span> = m<span style="font-weight: bold;">v</span><br /></div><br />Esta fórmula que nos fue dada por Newton no impone límite alguno a la velocidad a la cual se mueve el cuerpo, el cual se puede mover a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, lo cual relativísticamente hablando es imposible.<br /><br />Aunque no parezca obvio, entre las tres leyes del movimiento de Newton está injertado el concepto de que el momentum para una partícula o inclusive para todo un sistema de partículas es una cantidad que permanece invariable <span style="font-style: italic;">a menos de que intervenga una fuerza externa que lo modifique</span>. Esta es esencialmente la <span style="font-weight: bold;">ley de la inercia</span> de Newton, pero ahora expresado como una de las leyes de conservación más básicas que pueda haber: el <span style="font-weight: bold;">principio de la conservación de la cantidad de movimiento</span>. Esta ley la podemos aplicar poniendo números a todo tipo de situaciones para obtener resultados concretos, como lo es el caso de un <span style="font-style: italic;">choque inelástico</span> entre dos partículas:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjipLDe-RTjX2wWPMBkDTxhvtzhubSw1RunjrNTpegIWfCOsWauyZBbxqzKTh_utwPOWPKCJO8FjEFNtaEsZGJVbAeZIQXAbEovzW-WvtGCQqtVYY9I8wi_DIp20b5Z5kUx2THHepI6oiik/s1600-h/transferencia_de_momentum.png"><img style="cursor: pointer; width: 208px; height: 376px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjipLDe-RTjX2wWPMBkDTxhvtzhubSw1RunjrNTpegIWfCOsWauyZBbxqzKTh_utwPOWPKCJO8FjEFNtaEsZGJVbAeZIQXAbEovzW-WvtGCQqtVYY9I8wi_DIp20b5Z5kUx2THHepI6oiik/s400/transferencia_de_momentum.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334600670360367058" border="0" /></a></div><br /><br />En los anteriores diagramas: <span style="font-weight: bold;">(a)</span> antes de la colisión tenemos dos esferas moviéndose en la misma dirección, una de masa m<sub>1</sub> moviéndose con velocidad u<sub>1</sub> y otra de masa m<sub>2</sub><br />moviéndose con velocidad u<sub>2</sub>, <span style="font-weight: bold;">(b)</span> la masa m<sub>1</sub> moviéndose a una velocidad u<sub>1</sub> que es mayor que la velocidad u<sub>2</sub> eventualmente alcanza a la esfera que tiene por delante, ocurriendo un choque que supondremos que es perfectamente elástico y durante el cual a través de una <span style="font-style: italic;">fuerza de contacto</span> <span style="font-weight: bold;">F</span> se lleva a cabo una transferencia de la cantidad de movimiento entre ambos cuerpos, <span style="font-weight: bold;">(c)</span> las masas se separan al impartirle la masa m<sub>1</sub> algo de su momentum a la masa m<sub>2, </sub>adquiriendo cada uno de los cuerpos velocidades ν<sub>1</sub> y ν<sub>2</sub>.<br /><br />Si la cantidad de movimiento del sistema se conserva, entonces debemos tener como hecho dado para la anterior colisión que:<br /><br /><div style="text-align: center;">momentum antes del choque = momentum después del choque<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un observador que está en reposo con respecto a la Tierra observa una colisión en la cual una partícula de masa m</span><sub style="font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> = 3 kilogramos que se mueve a velocidad u</span><sub style="font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> = 4 metros/seg a lo largo del eje-x se aproxima a una partícula de masa m</span><sub style="font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> = 1 kilogramo que se mueve con velocidad u</span><sub style="font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> = -3 metros/seg también a lo largo del eje-x (obsérvese por el signo negativo que se está moviendo hacia la izquierda). Después de un choque frontal, el observador en Tierra encuentra que m</span><sub style="font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> lleva una velocidad de ν</span><sub style="font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> = 2 metros/seg mientras que m</span><sub style="font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> lleva una velocidad de ν</span><sub style="font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> = 3 metros/seg. Verificar que el momentum se ha conservado antes y después de la colisión.</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> = m<sub>1</sub>u<sub>1</sub> + m<sub>2</sub>u<sub>2</sub><br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> = (3 Kg)(4 metros/seg) + (1 Kg)(-3 metros/seg)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> = 9 Kg · m/seg<br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span> = m<sub>1</sub>ν<sub>1</sub> + m<sub>2</sub>ν<sub>2</sub> <sub></sub><br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span> = (3 Kg)(2 metros/seg) + (1 Kg)(3 metros/seg)<br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span> = 9 Kg · m/seg<br /></div><br />Puesto que el <span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> es igual al <span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span>, se concluye que la cantidad total de movimiento se conserva para este evento.<br /><br />El principio de la conservación de la cantidad de movimiento es un principio que permanece válido al cambiar de un marco de referencia a otro usando las transformaciones clásicas de Galileo, como podemos comprobarlo con el siguiente problema que es un seguimiento al problema anterior:<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un segundo observador O’ que se mueve a una velocidad de 2 metros/seg relativa a la Tierra y a lo largo del eje-x observa el choque descrito en el problema anterior. ¿Cuáles serán los momentums antes y después del choque? ¿Se sigue conservando la cantidad de movimiento?</span><br /><br />De acuerdo con las transformaciones clásicas de velocidad de Galileo:<br /><br /><div style="text-align: center;">u’<sub>1</sub> = u<sub>1</sub> - V = 4 metros/seg - 2 metros/seg = 2 metros/seg<br /><br />u’<sub>2</sub> = u<sub>2</sub> - V = -3 metros/seg - 2 metros/seg = - 5 metros/seg<br /><br />ν’<sub>1</sub> = ν<sub>1</sub><sub></sub> - V = 2 metros/seg - 2 metros/seg = 0<br /><br />ν’<sub>2</sub> = ν<sub>2</sub> - V = 3 metros/seg - 2 metros/seg = 1 metro/seg<br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> = m<sub>1</sub>u’<sub>1</sub> + m<sub>2</sub>u’<sub>2</sub><br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> = (3 Kg)(2 metros/seg) + (1 Kg)(-5 metros/seg)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> = 1 Kg · m/seg<br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span> = m<sub>1</sub>ν’<sub>1</sub> + m<sub>2</sub>ν’<sub>2</sub><br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span> = (3 Kg)(0) + (1 Kg)(1 metro/seg)<br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span> = 1 Kg · m/seg<br /></div><br />Puesto que el <span style="color: rgb(255, 0, 0);">momentum inicial</span> es igual al <span style="color: rgb(51, 51, 255);">momentum final</span>, se concluye que la cantidad total de movimiento también se conserva para el segundo observador. <span style="font-style: italic;">Clásicamente, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo válido al pasar de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’</span>.<br /><br />Sin embargo, al utilizar las transformaciones de Lorentz en vez de usar las transformaciones clásicas de Galileo, descubrimos rápidamente que la cantidad de movimiento no se conserva invariable al pasar de un marco de referencia a otro. Esto lo podemos ver mejor considerando un experimento de balística en donde un observador O’ en un sistema de referencia S’ dispara un proyectil en la dirección del eje-y’. El proyectil penetra en un bloque que se encontraba inmóvil con respecto al observador O’:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl4GFZWbmHg6j35Hj7Gw9umf_GgwcNuvMxohoaJ4qoYWqt6GM4vxLXfWOJT2utm7zjxIYXLnJrcSJ-2IqMOAJaYMhR7uwMIWu6TlCfbB0WZ9HuKvhN_CJgVFSe9IQYDZNraUF_DMgBG6gv/s1600-h/conservacion_de_momentum.png"><img style="cursor: pointer; width: 255px; height: 328px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl4GFZWbmHg6j35Hj7Gw9umf_GgwcNuvMxohoaJ4qoYWqt6GM4vxLXfWOJT2utm7zjxIYXLnJrcSJ-2IqMOAJaYMhR7uwMIWu6TlCfbB0WZ9HuKvhN_CJgVFSe9IQYDZNraUF_DMgBG6gv/s400/conservacion_de_momentum.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5333093760655692802" border="0" /></a><br /></div><br /><br />La cantidad de masa m del proyectil que penetra en el bloque debe poder determinarse a partir de la componente en y’ del momentum del proyectil, el cual está dado por p’<sub>y</sub> = mu’<sub>y</sub> en donde m es la masa del proyectil medida por O’ que suponemos invariable.<br /><br />Ahora considérese el mismo experimento desde el punto de vista del observador en reposo O para quien O’ se mueve a lo largo del eje x-x’ con velocidad V. Obviamente, antes de impactar con el bloque, la bala se estará moviendo no sólo hacia abajo sino también hacia la derecha con una cantidad de movimiento que podemos designar como p’<sub>x</sub> = mu’<sub>x</sub>, y después de haberse impactado con el bloque la combinación <span style="font-style: italic;">bala-bloque</span> se seguirá moviendo hacia la derecha con una cantidad de movimiento que debe ser igual a p’<sub>x</sub> de acuerdo con el principio de la conservación de la cantidad de movimiento, además de moverse hacia abajo. Sin embargo, para el análisis simplificado que llevaremos a cabo, enfocaremos nuestra atención única y exclusivamente sobre lo que ocurre en el eje vertical.<br /><br />Puesto que el orificio dejado por el proyectil forma un ángulo recto con la dirección del movimiento relativo, tanto O como O’ estarán de acuerdo en cuanto al valor de la distancia que el proyectil penetra en el bloque, y por lo tanto esperan que el valor de la componente en el eje-y del momentum del proyectil tenga el mismo valor para ambos de cumplirse el principio de conservación de la cantidad de movimiento. El momentum medido por O es p<sub>y</sub> = mu<sub>y</sub> en donde m es la masa del proyectil medida por O. De las transformaciones de Lorentz para la velocidad y teniendo en cuenta que u’<sub>x</sub> = 0, se obtiene:<br /><br /><div style="text-align: center;">u<sub>y</sub> = { u’<sub>y</sub>√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span> } / { 1 + (V²/c²) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">x</sub> }<br /><br />u<sub>y</sub> = u’<sub>y</sub>√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">p<sub>y</sub> = mu<sub>y</sub><br /><br />p<sub>y</sub> = mu’<sub>y</sub>√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /></div><br />Resulta indudable que p’<sub>y</sub> ≠ p<sub>y</sub>, y por lo tanto <span style="font-style: italic;">el momentum clásico no se conserva bajo las transformaciones de Lorentz</span>.<br /><br />El concepto de la cantidad de movimiento es tan esencial y tan básico para la resolución de tantos problemas, que en vez de abandonarlo por completo optamos mejor por modificarlo adaptándolo a una nueva dinámica, la <span style="font-weight: bold;">dinámica relativista</span>. Esto fue precisamente lo que hizo Einstein. Lo más lógico es tomar la definición original que nos fue dada por Newton y modificarla de alguna manera agregándole algún factor de corrección relativista tal como el factor de corrección γ al cual ya estamos acostumbrados, obteniendo la definición de un <span style="font-weight: bold;">momentum relativista</span>. Si logramos obtener una definición correcta para el momentum relativista, entonces debemos obtener también un <span style="font-weight: bold;">principio de conservación del momentum relativista</span> que es a final de cuentas la razón de ser para haber definido desde un principio al momentum m<span style="font-weight: bold;">u</span> en la mecánica clásica como aquella cantidad que es conservada cuando no hay fuerzas exteriores actuando sobre un sistema (como lo es el caso de la colisión elástica entre dos cuerpos que acabamos de ver). Si nuestra definición de momentum relativista ha de ser válida, tiene que cumplir con los siguientes requisitos:<br /><br />a) El momentum relativista es una cantidad que se debe conservar invariante para un sistema cerrado bajo las transformaciones de Lorentz.<br /><br />b) El momentum relativista debe acercarse más y más a la definición clásica del momentum para velocidades bajas en comparación con la velocidad de la luz, o sea cuando V/c se va acercando a cero. Esto último nos lo impone la experiencia cotidiana que nos ha confirmado la validez del principio de la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema a través de numerosos experimentos que se han llevado a cabo en donde los efectos relativistas son indetectables.<br /><br />En la dinámica clásica, Newton formalizó el concepto de la <span style="font-weight: bold;">fuerza</span> interpretándola como <span style="font-style: italic;">la acción requerida para cambiarle a un cuerpo su cantidad de movimiento</span>, dándole al <span style="font-style: italic;">tiempo absoluto</span> un papel clave en esta interpretación. En el esquema de Newton, todo cuerpo mantiene su estado de reposo o un estado de movimiento rectilíneo constante (lo cual ocurre en el espacio exterior en donde no hay aire ni obstáculo alguno que le haga perder a un objeto la velocidad que lleva) mientras no intervenga una fuerza externa que modifique ese estado de reposo absoluto o de movimiento absoluto, y entre mayor sea la masa del cuerpo tanto mayor debe ser la fuerza requerida para hacerle cambiar su cantidad de movimiento. En este esquema, la fuerza tiene la siguiente definición matemática expresada usando infinitesimales:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGxBWqruP0t5oVSd4KH9VM8melqxYq4Bf9wz7vUJp9PYTUrO3I8CCNCWWLGgdGGr53k13-471ybBLhqGJ85ljxTAkzDQCyT99wzbcZ6wpaP8MvepeSCOjnmD7UoXBzY6Ux7jh95T6_d9Yu/s1600-h/definicion_Newtoniana_de_la_fuerza.png"><img style="cursor: pointer; width: 92px; height: 68px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGxBWqruP0t5oVSd4KH9VM8melqxYq4Bf9wz7vUJp9PYTUrO3I8CCNCWWLGgdGGr53k13-471ybBLhqGJ85ljxTAkzDQCyT99wzbcZ6wpaP8MvepeSCOjnmD7UoXBzY6Ux7jh95T6_d9Yu/s400/definicion_Newtoniana_de_la_fuerza.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320582441833074866" border="0" /></a><br /></div><br />La fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> es simplemente el cambio en la cantidad de movimiento <span style="font-weight: bold;">p</span> del cuerpo entre el lapso de tiempo requerido para provocar tal cambio en su cantidad de movimiento. En la notación vectorial utilizada para <span style="font-weight: bold;">F</span>, se le está dando a la fuerza la misma dirección que la dirección que toma el cambio de movimiento provocado sobre el cuerpo. Y puesto que <span style="font-weight: bold;">p</span>=m<span style="font-weight: bold;">v</span>, entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">F</span> = d(m<span style="font-weight: bold;">v</span>)/dt<br /></div><br />Si suponemos que la masa m del cuerpo es constante (lo cual no es cierto en todos los casos como el caso de un cohete que va lanzando combustible al exterior conforme se va despegando de su plataforma), entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">F</span> = m * d<span style="font-weight: bold;">v</span>/dt<br /></div><br />Pero el cambio en la velocidad con respecto al tiempo es simplemente la aceleración que experimenta el cuerpo al cambiar de velocidad. Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">F</span> = m<span style="font-weight: bold;">a</span><br /></div><br />Pero esta fórmula como está dada no puede ser sostenida dentro de la Teoría Especial de la Relatividad, porque implica que un cuerpo puede ser acelerado hasta alcanzar cualquier velocidad, incluso una velocidad superior a la velocidad de la luz, lo cual no es imposible. Obviamente, también aquí se requiere alguna modificación de conceptos. Pero ello empezará con la redefinición del momentum que sirve a su vez para definir el concepto de fuerza.<br /><br /><br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Hacer una gráfica que muestre el efecto relativista de la variación de la masa con la velocidad para un cuerpo con una masa de 1 kilogramo, graficando desde V = 0 hasta V = 0.9c.</span><br /><br />Este es un problema de resolución directa que requiere evaluar algunos puntos que serán unidos por una curva de “mejor ajuste” en la gráfica. Para una velocidad de V = 0.7c, la masa relativista será:<br /><br /><div style="text-align: center;">m = m<sub>0</sub>/√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /><br />m = (1 Kg) / √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - (0.7)²</span> = 1.4 Kg<br /></div><br />La gráfica resultante tiene el siguiente aspecto:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihGALTj7UdH0oq-i0X9926o7dKj83v78W1dBxQ-4q90B7F8Pf2YL-pWeWX_t_exJfjZocbzYksXQRT43O2at6834rNHPkF2STdA0cb6qf875YGg6iwNsz8xOdbidL8_XpoE9LDOxDUQ_HP/s1600-h/masa_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 385px; height: 372px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihGALTj7UdH0oq-i0X9926o7dKj83v78W1dBxQ-4q90B7F8Pf2YL-pWeWX_t_exJfjZocbzYksXQRT43O2at6834rNHPkF2STdA0cb6qf875YGg6iwNsz8xOdbidL8_XpoE9LDOxDUQ_HP/s400/masa_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5335714044877339282" border="0" /></a><br /></div><br />El aumento en la masa de un cuerpo de acuerdo con la velocidad del mismo frecuentemente provoca un efecto sorpresivo en quienes toman conocimiento por vez primera de este efecto, porque clásicamente la masa de un cuerpo era considerada como algo propio del cuerpo, inalterable, que nada tenía que ver con su velocidad; un kilogramo de tortillas de maíz seguía siendo un kilogramo de tortillas de maíz bajo cualquier ángulo que se le mirase. Sin embargo, en virtud de que la dinámica relativista impone un límite absoluto a la velocidad que puede alcanzar un cuerpo, la cual no puede ser mayor que la velocidad de la luz ya que en un caso así el término √<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span> se vuelve imaginario, si se trata de continuar aumentando la cantidad de movimiento de un cuerpo conforme se acerca a velocidades cada vez más cercanas a la velocidad al no poder rebasarse dicho límite entonces la cantidad de movimiento únicamente puede aumentar como resultado de un aumento en la masa. Es aquí en donde muchos acostumbrados a leer libros en los que sólo se dan unas cuantas fórmulas sin mayores explicaciones se preguntan: ¿De dónde sale esa masa? ¿Se está violando el principio de la conservación de la materia?<br /><br />En realidad, la masa no está aumentando. El observador O’ que viaje en su marco de referencia S’ junto con el cuerpo verá a dicho cuerpo en reposo (con respecto a él) y no lo verá aumentar ni siquiera un miligramo. No hay creación alguna de materia salida de la nada. La materia “extra” es la que sería detectada por otro observador O en su marco de referencia S ante el cual el cuerpo se está moviendo a grandes velocidades. ¿Y de dónde sale ese incremento de masa para el observador O? En realidad, esa masa “extra” tiene que ver con el <span style="font-style: italic;">consumo de energía</span> que hay que invertir para ir acercando al cuerpo a velocidades cada vez más cercanas a la velocidad de la luz. La aceleración de un cuerpo, el aumento en su cantidad de movimiento, es algo que no se logra gratuitamente, hay que invertir energía en el proceso. Para llevar a un cuerpo del reposo a una velocidad V = 0.7c se requiere el uso de cierta cantidad de energía que no saldrá de la nada. Esta energía va directamente al aumento en la cantidad de movimiento del cuerpo. Y si queremos subirle la velocidad a un cuerpo de V = 0.9998c a V = 0.99985c, ello requerirá también un consumo de energía. En realidad, esa masa “extra” <span style="font-style: italic;">aparente</span> tiene que ver directamente con la energía que estamos invirtiendo en irle subiendo al cuerpo su velocidad. Esa energía no se va a la nada como tampoco puede sacar el cuerpo una cantidad de movimiento cada vez mayor sin que haya algo que lo continúe acelerando. Lo que estamos viendo en acción es ni más ni menos una <span style="font-style: italic;">equivalencia</span> que llevó a Einstein a una de sus conclusiones más famosas, la cual encierra el secreto de la bomba atómica y la razón del por qué una estrella puede estar “ardiendo” liberando cantidades enormes de energía por millones de años sin “apagarse”. Esto es ya un asunto que nos lleva del tema del momentum relativista a la <span style="font-style: italic;">energía relativista</span> de importancia tal que es necesario discutirlo por separado.<br /><br />Teniendo en nuestras manos la definición del momentum relativista p = γmV, podemos proceder a reemplazar el concepto Newtoniano de la fuerza dinámica con el concepto relativista de fuerza, basándonos para ello en la definición original de fuerza como aquello que produce un cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo en cierto período de tiempo, en este caso del momentum relativista.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Una fuerza F actúa sobre un cuerpo en la misma dirección y sentido que su velocidad. Encontrar la expresión que corresponde a dicha fuerza acorde con la segunda ley de Newton.</span><br /><br />La fuerza <span style="font-style: italic;">relativista</span> es igual a la derivada del momentum <span style="font-style: italic;">relativista</span> con respecto al tiempo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtJXTyNvTcUpdpqxGpxxein5prYgaoZOH2Hjf0vgfQBQZTvNnCshOZtjlI8-uFv0_lz-CrvCtz7nQjSY1r_H_v76JAW6iet5vS4GGIMbPsEsajbfA1cjNSPUTioJ1ZBmsZxQyC-r3sLQuS/s1600-h/derivacion_definicion_fuerza_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 392px; height: 76px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtJXTyNvTcUpdpqxGpxxein5prYgaoZOH2Hjf0vgfQBQZTvNnCshOZtjlI8-uFv0_lz-CrvCtz7nQjSY1r_H_v76JAW6iet5vS4GGIMbPsEsajbfA1cjNSPUTioJ1ZBmsZxQyC-r3sLQuS/s400/derivacion_definicion_fuerza_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376616571588942882" border="0" /></a><br /></div><br />Tomando la derivada:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhf751vBe-oZrlNclTh5EhJ4rbw3SYB47KHpFgh3qsoS483OvjHrFo84qvue-C84D8mw7Grhr121hutCvXVu04SrM_1s2C0wyBf_DnGzNpFAuI-fFf7UdBakGiZCiWWWBBTk6vgxEX8w3-J/s1600-h/derivacion_definicion_fuerza_relativista_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 266px; height: 137px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhf751vBe-oZrlNclTh5EhJ4rbw3SYB47KHpFgh3qsoS483OvjHrFo84qvue-C84D8mw7Grhr121hutCvXVu04SrM_1s2C0wyBf_DnGzNpFAuI-fFf7UdBakGiZCiWWWBBTk6vgxEX8w3-J/s400/derivacion_definicion_fuerza_relativista_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376619724488344162" border="0" /></a><br /></div><br />Simplificando:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgjWeyCxLVgbanlTtCilk_p7SoHrNpkaw4guVmgDbs_VTTO8kvIQlj_Lovod3GLwgEoXow0ulZsOPKY4pGSjNW6ikjwALT_ca2i-rO_z8bOzAyhCVrdk0LX65DTARyVdrLncE3ZYBTSDD7/s1600-h/derivacion_definicion_fuerza_relativista_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 325px; height: 66px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgjWeyCxLVgbanlTtCilk_p7SoHrNpkaw4guVmgDbs_VTTO8kvIQlj_Lovod3GLwgEoXow0ulZsOPKY4pGSjNW6ikjwALT_ca2i-rO_z8bOzAyhCVrdk0LX65DTARyVdrLncE3ZYBTSDD7/s400/derivacion_definicion_fuerza_relativista_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376622228201778914" border="0" /></a><br /></div><br />Finalmente, obtenemos la expresión que estábamos buscando:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQoJREiPrS_KAn4YFIfI4tk4XVTgrzwmrdAf347GNPrZxuX6tenSXbehEEKOHnwvfwm6Z_h3eT9IPNTNl75Rrlg7yNpWC6SqA_KndJkWk8EJX6fiQe2gp8XXprMblsKlHALihqbDgQpHie/s1600-h/derivacion_definicion_fuerza_relativista_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 184px; height: 66px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQoJREiPrS_KAn4YFIfI4tk4XVTgrzwmrdAf347GNPrZxuX6tenSXbehEEKOHnwvfwm6Z_h3eT9IPNTNl75Rrlg7yNpWC6SqA_KndJkWk8EJX6fiQe2gp8XXprMblsKlHALihqbDgQpHie/s400/derivacion_definicion_fuerza_relativista_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376622952822336866" border="0" /></a><br /></div><br />De nueva cuenta, para velocidades suficientemente bajas en comparación a la velocidad de la luz, la expresión para la fuerza relativista se reduce a la expresión Newtoniana clásica <span style="font-weight: bold;">F</span> = m<span style="font-weight: bold;">a</span>.<br /><br />Una aplicación práctica del concepto de la fuerza relativista está relacionada con el efecto que produce un campo magnético de intensidad <span style="font-weight: bold;">B</span> (el cual generalmente es representado con líneas de campo magnético que apuntan en la misma dirección de Norte a Sur en la cual apuntaría el imán de una brújula en puntos distintos de dicho campo) sobre una carga eléctrica que penetra en dicho campo a un ángulo recto al campo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrjA313IrnbzQjN-gMsYxFsr2fv5_mc4WtHiTQkwYu5v6ZQkgM6TJCYJOCKPqkRx0MJEx5fULU0Mdt8y-BWi89fO1UpHiV3b9rJ1COiN11t7g9872SPuoyG0coaQDp8mrXptcO1YMEkM4F/s1600-h/particula_con_carga_electrica_en_campo_magnetico_vista_planar.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 235px; height: 225px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrjA313IrnbzQjN-gMsYxFsr2fv5_mc4WtHiTQkwYu5v6ZQkgM6TJCYJOCKPqkRx0MJEx5fULU0Mdt8y-BWi89fO1UpHiV3b9rJ1COiN11t7g9872SPuoyG0coaQDp8mrXptcO1YMEkM4F/s400/particula_con_carga_electrica_en_campo_magnetico_vista_planar.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376575401698644850" border="0" /></a><br /></div><br />Una vez que la partícula con carga eléctrica ha penetrado a una velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span> en una región en donde hay un campo magnético, la partícula experimenta una fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> determinada por la famosa “regla de la mano derecha” (usamos el dedo índice para indicar la dirección hacia la cual se está moviendo la partícula, usamos el dedo medio para apuntar la dirección de las líneas del campo magnético, obteniendo la dirección de la fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> con el dedo pulgar):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyjvosMeXGhS6ClIIEsx5YDz3GZokaGTclMZzbsK05G3Gqy-sFDauV5upV_MMTeS5RMKRnm-0UnDO0i6g3XrDEcjW8C5o-zZUymep0r4tqNHopdr3qhC4EPQjbep0lsnlvHhuyjOmgTREN/s1600-h/regla_de_la_mano_derecha.png"><img style="cursor: pointer; width: 226px; height: 297px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyjvosMeXGhS6ClIIEsx5YDz3GZokaGTclMZzbsK05G3Gqy-sFDauV5upV_MMTeS5RMKRnm-0UnDO0i6g3XrDEcjW8C5o-zZUymep0r4tqNHopdr3qhC4EPQjbep0lsnlvHhuyjOmgTREN/s400/regla_de_la_mano_derecha.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376576680481589346" border="0" /></a><br /></div><br /><br />que actúa sobre la carga de modo tal que si el campo magnético es uniforme la pondrá en un movimiento de rotación inicialmente circular que sería perpetuo de no ser porque una particula cargada electricamente no puede permanecer por siempre girando en un campo magnetico dando vuelta tras vuelta ya que al estarse acelerando -vectorialmente hacia el centro de la rotación- la particula emite radiacion electromagnetica lo cual le va restando energía, con lo cual la partícula más que trazar un círculo va trazando una espiral hacia el centro:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEircIAn7LAJh0PNQNavsUHmUneSS4D4utLNp_V_Es4dT147wzicguc4pV8-NnnOzLP89C3vBfi3ZCRvojNTtKgUvn4IGhJk6XUTMMksDBHPyA48sij0mHQbKnLmHUjB9cl0hCIB_1ZiraNm/s1600-h/particula_con_carga_electrica_en_campo_magnetico.png"><img style="cursor: pointer; width: 251px; height: 277px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEircIAn7LAJh0PNQNavsUHmUneSS4D4utLNp_V_Es4dT147wzicguc4pV8-NnnOzLP89C3vBfi3ZCRvojNTtKgUvn4IGhJk6XUTMMksDBHPyA48sij0mHQbKnLmHUjB9cl0hCIB_1ZiraNm/s400/particula_con_carga_electrica_en_campo_magnetico.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376577164124970274" border="0" /></a><br /></div><br />Si imaginamos las líneas del campo magnético entrando hacia el monitor de la computadora como si fuesen unas flechas (con unas cruces indicando la cola en cada flecha), entonces podemos ver la acción de la rotación de la manera siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbzD91RFHdUYZsDxeY2-nAr1tJNOCrmiSvlQfwc8tIRnjTLezwmwmldIJ036nuOLyGcaXmcaN1t8thi5Tnm50_qbVXFKncYioqBfzEvKWVPih-h6DDggsiMnxjgeHMVwpJXbwJ26HnCSuT/s1600-h/carga_electrica_en_campo_magnetico.png"><img style="cursor: pointer; width: 340px; height: 376px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbzD91RFHdUYZsDxeY2-nAr1tJNOCrmiSvlQfwc8tIRnjTLezwmwmldIJ036nuOLyGcaXmcaN1t8thi5Tnm50_qbVXFKncYioqBfzEvKWVPih-h6DDggsiMnxjgeHMVwpJXbwJ26HnCSuT/s400/carga_electrica_en_campo_magnetico.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376578755989526706" border="0" /></a></div><br />En este caso, la fuerza F <span style="font-style: italic;">no</span> actúa en la misma dirección y sentido que la velocidad V del cuerpo, razón por la cual al llevar a cabo derivaciones de fórmulas relativistas de esta índole es necesario formalizar los cálculos con notación vectorial.<br /><br />La <span style="font-style: italic;">magnitud</span> de la fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> para una partícula con carga eléctrica atrapada en un campo magnético está dada por la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;"> </span>║ <span style="font-weight: bold;">F</span>║<span style="font-size:100%;"> = F = qVB</span><br /></div><br />Si esta fuerza está reteniendo a la carga con una fuerza centrípeta F = mV²/R de igual magnitud, entonces tenemos que la velocidad V estará dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;">mV²/R = qvB<br /><br />V = qBR/m<br /></div><br />Esta relación es válida a velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz. Pero para partículas energéticas con velocidades que se van aproximando a la velocidad de la luz, esta relación deja de ser válida, y tenemos que obtener la relación relativista para poder predecir correctamente lo que ocurre en una situación experimental.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA:</span> <span style="font-style: italic;">Obtener la expresión para la velocidad relativista de una carga eléctrica que se mueve en un círculo de radio R y en ángulo recto con el campo magnético B.</span><br /><br />En notación vectorial (usaremos <span style="font-weight: bold;">negritas</span> para representar cantidades vectoriales que tienen dirección y sentido), la segunda ley de Newton está definida como:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrQ0hBDhiKSpVuOs_aLDsUBSkV8FqZR1KYW70IZS7Ska_kgs1sSHJ396iac4kgIDI8Py8ffwYegqGwPfE5VsDmoKbd-EPG_CtG72ZamKUW7tk7yQ7-M1lPhVTWeADMuxNNkyeI2lbRouyv/s1600-h/segunda_ley_de_Newton.png"><img style="cursor: pointer; width: 132px; height: 61px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrQ0hBDhiKSpVuOs_aLDsUBSkV8FqZR1KYW70IZS7Ska_kgs1sSHJ396iac4kgIDI8Py8ffwYegqGwPfE5VsDmoKbd-EPG_CtG72ZamKUW7tk7yQ7-M1lPhVTWeADMuxNNkyeI2lbRouyv/s400/segunda_ley_de_Newton.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376583575619860082" border="0" /></a><br /></div><br />La fuerza relativista se obtiene utilizando en esta definición la masa relativista, con lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBMjb7XZ0VM2XtBuXDcdQQ4g4C9-w_OA9AddWB2Z6Kx3u1YIATkxZzFb3SqjBeHmo2tXdqWimeCxuDZeGqxQCKkj6RyBa0vSh5TgKk3mpZDaZ4mBEJXyakhl8ZLggiooWVRsXf7cW_JBi/s1600-h/fuerza_relativista_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 222px; height: 77px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBMjb7XZ0VM2XtBuXDcdQQ4g4C9-w_OA9AddWB2Z6Kx3u1YIATkxZzFb3SqjBeHmo2tXdqWimeCxuDZeGqxQCKkj6RyBa0vSh5TgKk3mpZDaZ4mBEJXyakhl8ZLggiooWVRsXf7cW_JBi/s400/fuerza_relativista_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376585230318485058" border="0" /></a><br /></div><br />Pondremos ahora en el denominador la expresión V² como <span style="font-style: italic;">producto escalar</span> <span style="font-weight: bold;">V·V</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdQ8_gDeiYNY5FQh_-U9IUoDjxt02tKWF92VALdfbCijZo9K0ccA_kLK3Erboumg9R1CILxCtOmh-yVzLL3_K1BYLy1XYtVbjUp79O-7R7cHon-1sTcCYR11yuy2UqrEUKOCcHqqZzIgw-/s1600-h/fuerza_relativista_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 249px; height: 79px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdQ8_gDeiYNY5FQh_-U9IUoDjxt02tKWF92VALdfbCijZo9K0ccA_kLK3Erboumg9R1CILxCtOmh-yVzLL3_K1BYLy1XYtVbjUp79O-7R7cHon-1sTcCYR11yuy2UqrEUKOCcHqqZzIgw-/s400/fuerza_relativista_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376586549012112162" border="0" /></a><br /></div><br />A continuación tomamos la derivada aplicando la regla de la cadena:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRk3AQiar8y5DJG_e6v6jcp2ldzhhSSay-EUIKnNqfjTTqa4RMdZHM46XFXDcVEO_YAFN7kI_E5cYzgpxfyjfyZNqRO2wawPnGUXjPacumA1TbhbWZvNrbKkl9T4LCMTeRMb7veAOFswwO/s1600-h/fuerza_relativista_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 324px; height: 149px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRk3AQiar8y5DJG_e6v6jcp2ldzhhSSay-EUIKnNqfjTTqa4RMdZHM46XFXDcVEO_YAFN7kI_E5cYzgpxfyjfyZNqRO2wawPnGUXjPacumA1TbhbWZvNrbKkl9T4LCMTeRMb7veAOFswwO/s400/fuerza_relativista_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376590546329035650" border="0" /></a><br /></div><br />En el campo magnético, resulta claro que el vector velocidad <span style="font-weight: bold;">V</span>, siguiendo la dirección hacia la cual se está moviendo la carga, y el vector aceleración centrípeta d<span style="font-weight: bold;">V</span>/dt dirigido hacia el “centro” de la fuerza, son perpendiculares, y por lo tanto el producto punto de los mismos es cero:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGSgOuEkFV8zAphN5IzlDryrhY6lnovaRt4VNuC12234ZXfmbtC3zyVXLFPE49o8yI9w9WpSIrLvKHN3M5rp0c5DfP45OK7BU43-dyGu9M47b-5loAShLqr28UGyz3jd7uR0Eb8qQPK9Y2/s1600-h/producto_escalar_cero_por_perpendicularidad.png"><img style="cursor: pointer; width: 123px; height: 62px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGSgOuEkFV8zAphN5IzlDryrhY6lnovaRt4VNuC12234ZXfmbtC3zyVXLFPE49o8yI9w9WpSIrLvKHN3M5rp0c5DfP45OK7BU43-dyGu9M47b-5loAShLqr28UGyz3jd7uR0Eb8qQPK9Y2/s400/producto_escalar_cero_por_perpendicularidad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376592134826619394" border="0" /></a><br /></div><br />Por otra parte, como vimos arriba, la fuerza que actúa sobre una carga a consecuencia de su interacción con el campo magnético es F = qvB, y además la magnitud de la aceleración centrípeta dirigida en la misma dirección que de la fuerza está dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;">a = ║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;"></span> d<span style="font-weight: bold;">V</span>/dt ║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;"></span> = V²/R<br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWOPBoq-9OWrtJjIVmhqHj9Uc42bxNT0hz8C7U_kC-JyH7N-uV9kFx6HVT22LtccjKiYZjcbVyuBFg4gh8lCjol94VFgnGDV2tXtL-3SXKK4cWy8227sw7IDqrXxFGXn8Nrgej6G1Giub3/s1600-h/fuerza_relativista_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 228px; height: 68px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWOPBoq-9OWrtJjIVmhqHj9Uc42bxNT0hz8C7U_kC-JyH7N-uV9kFx6HVT22LtccjKiYZjcbVyuBFg4gh8lCjol94VFgnGDV2tXtL-3SXKK4cWy8227sw7IDqrXxFGXn8Nrgej6G1Giub3/s400/fuerza_relativista_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376605401492365090" border="0" /></a><br /></div><br />A continuación se llevarán a cabo los pasos algebraicos necesarios para despejar para la velocidad V:<br /><br /><div style="text-align: center;">qB = m<sub>0</sub>V/R√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /><br />qB√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span> = m<sub>0</sub>V/R<br /><br />(qB)² (1 - V²/c²) = (m<sub>0</sub>V/R)²<br /><br />(qB)² = [(m<sub>0</sub>/R)² + (qB/c)²] V²<br /><br />V² = (qB)²/[(m<sub>0</sub>/R)² + (qB/c)²]<br /><br />V² = (qBR)²/[(m<sub>0</sub>)² + (qBR/c)²]<br /><br />V² = (qBR/m<sub>0</sub>)²/[1 + (qBR/m<sub>0</sub>c)²]<br /></div><br />Finalmente, extrayendo raíz cuadrada, obtenemos el resultado deseado:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCBp-1k97TjUnsTamyDAZucUJCmsWTQVIW2E1P-dbvurVm71D5pcY2wcRTTGSWku7O0Vo_NQwl43zIL0JUo8XEvB14noUZsFrWt94u2x9sdL1o_-HwCvpLfFf8ENiveS-wrwu6rgth6Clf/s1600-h/velocidad_relativista_en_campo_magnetico.png"><img style="cursor: pointer; width: 235px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCBp-1k97TjUnsTamyDAZucUJCmsWTQVIW2E1P-dbvurVm71D5pcY2wcRTTGSWku7O0Vo_NQwl43zIL0JUo8XEvB14noUZsFrWt94u2x9sdL1o_-HwCvpLfFf8ENiveS-wrwu6rgth6Clf/s400/velocidad_relativista_en_campo_magnetico.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376606568039954498" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Supóngase que un haz de electrones describe un círculo de 0.2 metros de radio en un campo magnético uniforme con una densidad de flujo magnético igual a 0.03 teslas. ¿Cuál es la velocidad de dichos electrones?</span><br /><br />Cada electrón en el haz de electrones posee la siguiente carga y masa en el sistema de unidades MKS:<br /><br /><div style="text-align: center;">q = 1.6 · 10<sup>-19</sup> coulomb<br /><br />m<sub>0</sub> = 9.1 · 10<sup>-31</sup> kilogramo<br /></div><br />Con esto:<br /><br /><div style="text-align: center;">qBR/m<sub>0</sub> = (1.6 · 10<sup>-19</sup> coulomb) (0.03 tesla) (0.2 metros)/9.1 · 10<sup>-31</sup> kilogramo<br /><br />qBR/m<sub>0</sub> = 1.0549 · 10<sup>9</sup> metros/segundo<br /><br />qBR/m<sub>0</sub> = 3.5165 c<br /></div><br />Aplicando la fórmula obtenida en el problema anterior:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = 3.5165 c / √<span style="text-decoration: overline;"> 1 + (3.5165)²</span><br /><br />V = 0.962 c<br /></div><br />Trabajando sobre uno de los pasos intermedios en la derivación de la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;">qB√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span> = m<sub>0</sub>V/R<br /></div><br />podemos obtener la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;">qBR = m<sub>0</sub>V/√<span style="text-decoration: overline;"> 1 - V²/c²</span><br /><br />qBR = γm<sub>0</sub>V<br /></div><br />Pero lo que tenemos en el lado derecho es simplemente el momentum relativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">qBR = p<br /></div><br />Esta también es otra relación útil en la resolución de problemas de este tipo.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-88203044965906254412009-03-18T20:30:00.000-07:002009-05-21T12:36:38.294-07:0013: La ecuación más famosa de EinsteinAntes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, los físicos contaban con dos leyes de conservación independientes: la <span style="font-style: italic;">ley de la conservación de la materia</span> enunciada desde los tiempos del químico francés Antoine-Laurent Lavoisier que nos dice que la cantidad total de materia que hay en el universo nunca cambia (la materia no se crea ni se destruye, simplemente se transforma) y la <span style="font-style: italic;">ley de la conservación de la energía</span> enunciada como la primera ley de la termodinámica (no es posible sacar energía de la nada, porque la energía ni se crea ni se destruye). Ambas leyes eran consideradas independientes la una de la otra. Una consecuencia sorprendente de la Teoría Especial de la Relatividad es que ambas leyes pueden ser fusionadas en una sola: la <span style="font-weight: bold;">ley de la conservación de la masa-energía</span> (obsérvese que al igual que los conceptos independientes del espacio y el tiempo terminaron siendo fusionados en un solo concepto único e indivisible, el <span style="font-style: italic;">espaciotiempo</span>, también la masa y la energía terminan siendo fusionados en uno solo, la masa-energía), al descubrirse que toda masa equivale e inclusive puede ser convertida a una cantidad limitada de energía (este es el mismo principio bajo el cual operan las bombas atómicas y con el cual nuestra estrella el Sol nos proporciona cantidades abundantes de energía que posibilitan la vida en la Tierra) y viceversa. Aquí se verá cómo fue que se llegó a esta conclusión.<br /><br />El concepto de que la energía no se crea ni se destruye, de que la energía no puede salir de la nada, es un concepto tan esencial en el estudio de la Naturaleza que ni siquiera Einstein se atrevió a modificarlo en lo más mínimo. De este modo, tanto en la mecánica clásica como en la mecánica relativística, el principio de la conservación de la energía en una de sus formulaciones nos dice que la energía cinética <span style="font-weight: bold;">K</span> adquirida por un cuerpo debe ser igual al trabajo hecho por una fuerza externa <span style="font-weight: bold;">F</span> al aumentar la velocidad del cuerpo desde cero hasta un valor u. Por definición:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">K</span> = <span style="font-size:130%;">∫</span><span style="font-weight: bold;">F</span>·d<span style="font-weight: bold;">s</span><br /></div><br />Para un movimiento unidimensional que se lleva a cabo a lo largo del eje-x:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> Fdx<br /></div><br />La fuerza <span style="font-style: italic;">relativística</span> <span style="font-weight: bold;">F</span> está dada por el cambio del momentum <span style="font-style: italic;">relativístico</span> <span style="font-weight: bold;">P</span> = γm<sub>0</sub><span style="font-weight: bold;">u</span> con respecto al tiempo (siendo m<sub>0</sub> la masa en reposo del cuerpo, la cual es una constante), de tal modo que:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> [d/dt(γm<sub>0</sub>u)] dx</div><br /><div style="text-align: center;">K = <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> [d(γm<sub>0</sub>u)] [dx/dt]<br /><br />K = <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> [d(γm<sub>0</sub>u)] [u]<br /><br />K = <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> u·d(γm<sub>0</sub>u)<br /></div><br />En el factor de corrección γ es importante reemplazar la velocidad <span style="font-style: italic;">constante</span> <span style="font-weight: bold;">V</span> por la velocidad <span style="font-style: italic;">variable</span> <span style="font-weight: bold;">u</span> ya que como resultado de la aplicación de la fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> la velocidad del cuerpo estará aumentando constantemente:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1 / √<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span><br /></div><br />Tomando diferenciales de la cantidad γm<sub>0</sub>u usando la regla d(uv) = udv + vdu:<br /><br /><div style="text-align: center;">d(γm<sub>0</sub>u) = m<sub>0</sub>γdu + m<sub>0</sub>udγ<br /></div><br />De acuerdo al cálculo infinitesimal, la diferencial dγ es igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">dγ = d (1 /√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span>)<br /><br />dγ = d {1 - u²/c²}<sup>-½</sup><br /><br />dγ = (u/c²) {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du<br /></div><br />Con esto, la diferencial d(γm<sub>0</sub>u) resulta ser:<br /><br /><div style="text-align: center;">d(γm<sub>0</sub>u) = m<sub>0</sub> [ {1 - u²/c²}<sup>-½</sup> du + (u/c²) {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du ]<br /></div><br />Simplificando con un poco de álgebra, esto se reduce a:<br /><br /><div style="text-align: center;">d(γm<sub>0</sub>u) = m<sub>0</sub> {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du<br /></div><br />Con esto, regresando a la expresión original de la energía cinética K:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> u·d(γm<sub>0</sub>u)<br /><br />K = <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> u·{m<sub>0</sub> {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du)}<br /><br />K = m<sub>0</sub> <span style="font-size:130%;">∫</span><sub>0 </sub><sup>u</sup> {<sub></sub> {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> u du)}<br /></div><br />Llevando a cabo la integración y tomando los límites:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = m<sub>0</sub>c² [ (1 - u²/c²)}<sup>-½</sup> - 1 ]<br /><br />K = γm<sub>0</sub>c² - m<sub>0</sub>c²<br /></div><br />Este resultado nos dice que la energía cinética K de un cuerpo representa la diferencia entre lo que llamaremos la <span style="font-style: italic;">energía total</span> E de la partícula en movimiento y la <span style="font-weight: bold;">energía en reposo</span> E<sub>0</sub> de la partícula precisamente cuando la partícula está en reposo.<br /><br /><div style="text-align: center;">K = E - E<sub>0</sub><br /></div><br />en donde:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = γm<sub>0</sub>c²<br /><br />E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub>c²<br /></div><br />La conclusión que hemos dado a las definiciones anteriores es correcta ya que si la velocidad del cuerpo es cero, entonces V/c también es igual a cero y el factor γ = 1, con lo cual tendríamos que E = m<sub>0</sub>c² y por lo tanto K = 0, o sea una energía cinética de cero (un cuerpo en reposo no tiene energía de movimiento, su energía cinética K es cero). Habiendo definido la energía en reposo que posee el cuerpo cuando no se está moviendo ante nosotros de modo tal que<br /><br /><div style="text-align: center;"> <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub>c²</span><br /></div><br />nos vemos obligados a concluír que <span style="font-weight: bold;">la masa de todo cuerpo en reposo equivale a cierta cantidad de energía dada por la ecuación anterior</span>, <span style="font-style: italic;">la materia y la energía son dos cosas completamente equivalentes, son dos manifestaciones distintas de lo mismo</span>. Así como los conceptos independientes del espacio y del tiempo fueron fusionados en un solo concepto único e indivisible bajo una sola palabra, el espacio-tiempo, también la masa y la energía han sido fusionadas como una sola cosa. Esta es indudablemente la conclusión más conocida de Einstein, su fórmula más famosa, obtenida completamente dentro del marco de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><span style="font-weight: bold;"><br />Toda cantidad limitada de materia es equivalente a cierta cantidad limitada de energía, y viceversa</span>. Y resulta que una cantidad muy pequeña de materia es equivalente a una cantidad enorme de energía.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Verificar que la expresión relativista para la energía cinética de un cuerpo se reduce a la expresión clásica para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz.</span><br /><br />Clásicamente, la energía cinética de un cuerpo está dada por la expresión:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = ½ mv²<br /></div><br />Para velocidades bajas en comparación con la velocidad de la luz, podemos recurrir al teorema del binomio para expandir el primer término en el lado derecho de la igualdad de la expresion<br /><br /><div style="text-align: center;">K = γm<sub>0</sub>c² - m<sub>0</sub>c²<br /><br />K = (1 /√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span>) m<sub>0</sub>c² - m<sub>0</sub>c²<br /><br />K = {1 - u²/c²}<sup>-½</sup> m<sub>0</sub>c² - m<sub>0</sub>c²<br /><br />K = {1 + (½) (u²/c²) + ...} m<sub>0</sub>c² - m<sub>0</sub>c²<br /></div><br />Ignorando los términos de orden superior, tenemos que la expresión relativista se nos reduce a:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span> + (½) (u²/c²) m<sub>0</sub>c² <span style="color: rgb(255, 0, 0);">- m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span><br /><br />K = <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>½ m<sub>0</sub>u²<br /></div><br />lo cual está en acuerdo con la expresión clásica.<br /><br />Una forma común de abreviar la expresión para la energía cinética relativista K, fácil de recordar, es la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">K = (γ - 1) m</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub><span style="font-weight: bold;">c²</span><br /></div><br />Sin embargo, esta expresión resumida no muestra en forma explícita la relación que hay entre la energía cinética relativista K, la energía total E y la energía en reposo, y debe ser considerada más bien como una ayuda mnemotécnica en la resolución de problemas.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Si la energía en reposo de un gramo de agua pudiera ser transformada completamente en energía, ¿cuánta agua podría ser calentada desde los cero grados centígrados (el punto de congelación del agua) hasta los cien grados centígrados (el punto de ebullición del agua)? Tómese 1 caloría = 4.19 joules</span>.<br /><br />Los cálculos serán llevados a cabo bajo el sistema MKS de unidades. Un gramo de agua es igual a una milésima de kilogramo, con lo cual la energía en reposo de un gramo de agua es igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;">E<sub>0</sub></span> = m<sub>0</sub>c²<br /><br />E = (0.001 Kg) (3·10<sup>8</sup> metros/segundo)<br /><br />E = 9·10<sup>13</sup> Kg·metro²/segundo²<br /><br />E = 9·10<sup>13</sup> joules<br /><br />E = 2.14·10<sup>13</sup> calorías<br /></div><br />Por la misma definición de lo que es una caloría, la capacidad calorífica del agua;<br /><br /><div style="text-align: center;">C = ΔQ/mΔT<br /></div><br />es igual a la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura de un gramo de agua en un grado centígrado, o sea C = 1 caloría/gramo·°C.<br /><br />Si el calor ΔQ proviene de la energía en reposo E de un gramo de agua, entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">m = ΔQ/CΔT = E/CΔT<br /><br />m = E/CΔT<br /><br />m = (2.14·10<sup>13</sup> calorías)/(1 caloría/gramo·°C)(100 °C)<br /><br />m = 2.14·10<sup>11</sup> gramos = 2.14·10<sup>11</sup> Kg<br /><br />m = 214,000,000 Kg.<br /></div><br />Podríamos calentar 214 mil toneladas de agua llevándolas desde su punto de su punto de congelación hasta su punto de ebullición con tan sólo la energía que podríamos obtener convirtiendo la masa de un gramo de agua en energía.<br /><br />La enorme cantidad de energía que podemos obtener de una cantidad tan pequeña de materia es precisamente el medio mediante el cual nuestra propia estrella el Sol nos puede proporcionar diariamente abundantes cantidades de energía que hacen posible la vida en la Tierra. Cada día somos testigos de una de las confirmaciones más espectaculares de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un electrón es acelerado en un ciclotrón hasta alcanzar una energía cinética K de 2 GeV (= 10</span><sup style="font-style: italic;">9</sup><span style="font-style: italic;"> eV). ¿Cuál es la relación entre la masa del electrón que ha sido acelerado y su masa en reposo?</span><br /><br />La relación entre la masa <span style="color: rgb(255, 0, 0);">m</span> del electrón que ha sido acelerado y su masa en reposo <span style="color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">0</span> </sub>se puede expresar como <span style="color: rgb(102, 51, 0);">m/m</span><sub><span style="color: rgb(102, 51, 0);">0</span> </sub>o bien <span style="color: rgb(102, 51, 0);">mc²/m</span><sub style="color: rgb(102, 51, 0);">0</sub><span style="color: rgb(102, 51, 0);">c²</span>. Tenemos además lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = K + E<sub>0</sub><br /><br />mc² = K + m<sub>0</sub>c²<br /><br /><div style="text-align: left;">Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(102, 51, 0);">m/m</span><sub><span style="color: rgb(102, 51, 0);">0</span> = </sub><span style="color: rgb(102, 51, 0);">mc²/m</span><sub style="color: rgb(102, 51, 0);">0</sub><span style="color: rgb(102, 51, 0);">c²</span> = (K + m<sub>0</sub>c²) /m<sub>0</sub>c² = (2·10<sup>9</sup><span style="font-style: italic;"></span> eV + 0.511·10<sup>6</sup><span style="font-style: italic;"></span> eV) / 0.511 MeV<br /><br /><span style="color: rgb(102, 51, 0);"></span><span style="color: rgb(102, 51, 0);"></span><span style="color: rgb(102, 51, 0);">m/m</span><sub><span style="color: rgb(102, 51, 0);">0</span> = </sub><span style="color: rgb(102, 51, 0);"></span><span style="color: rgb(102, 51, 0);"></span>3,914<br /></div></div></div><span style="color: rgb(102, 51, 0);"></span><span style="color: rgb(102, 51, 0);"></span><br />De este modo, una vez acelerado por el ciclotrón, el electrón se comporta como si tuviera una masa casi 4 mil veces mayor que la que tiene cuando está en reposo. Sin embargo, esta no es una masa <span style="font-style: italic;">real</span> en el sentido de que el electrón haya aumentado su masa propia. Lo que sucede es que la energía que le ha sido impresa hace que experimentalmente se comporte como si tuvierse una masa mucho mayor que la que realmente tiene, en virtud de la equivalencia que hay entre la masa y la energía.<br /><br />Lo que acabamos de obtener nos permite analizar los procesos de índole atómica o sub-atómica en los cuales por la desintegración de un átomo tengamos dos o más partículas resultantes cuyas masas sumadas no sean iguales a la masa del átomo original (lo que llamamos un <span style="font-style: italic;">defecto de masa)</span> nos indica que, al no haber desaparecido dicha masa hacia la nada, necesariamente tuvo que haber sido convertida dicha masa ausente en energía pura, ya que el principio de la conservación de la energía sigue siendo completamente válido inclusive dentro de la Teoría de la Relatividad.<br /><br />Antes de continuar, definiremos una unidad ampliamente utilizada en la resolución de problemas de índole atómica y sub-atómica, el <span style="font-weight: bold;">electron-voltio</span> simbolizado como <span style="font-style: italic;">eV</span>. <span style="font-style: italic;">Es la energía E adquirida por la carga q de un electrón cuando es acelerado por una diferencia </span><span style="font-style: italic;">ΔV</span><span style="font-style: italic;"> de potencial eléctrico de un voltio</span>, bajo la fórmula E = qΔV, aplicándosele las mismas convenciones del sistema de unidades MKS, de modo tal que MeV representa una energía medida en millones de electron-voltios. Puesto que la carga de un electrón es igual a 1.6·10<sup>-19</sup> coulombs en el sistema MKS de unidades, tenemos entonces el siguiente factor de conversión:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 eV = (1.6·10<sup>-19</sup> coulombs) · (1 volt) = 1.6·10<sup>-19</sup> joule<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál es la energía en reposo de un electrón, sabiendo que su masa en reposo el sistema MKS es de 9.1·10</span><sup style="font-style: italic;">-31</sup><span style="font-style: italic;"> Kg? Dar la respuesta tanto en joules como en MeV.</span><br /><br />Este problema tiene una resolución directa:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;">E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub>c²</span><br /><br /><span style="font-size:100%;">E<sub>0</sub> = (</span>9.1·10<sup>-31</sup> Kg<span style="font-size:100%;">) (3</span>·10<sup>-8</sup> metros/seg<span style="font-size:100%;">)²</span><br /><br /><span style="font-size:100%;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">E</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub> = 8.19</span> 10<sup>-14</sup> joules<br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;">E<sub>0</sub> = (8.19</span> 10<sup>-14</sup> joules) (1 eV /1.6·10<sup>-19</sup> joule) (1 MeV / 10<sup>6</sup> eV)<br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">E</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub> = 0.511 MeV</span><br /></div><span style="font-size:100%;"><br />La energía en reposo dentro de la Teoría de la Relatividad es una forma nueva de proporcionar la masa en reposo de una partícula, lo cual tiene sus ventajas en estudios de física atómica y nuclear, como lo demuestra lo que veremos a continuación.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">La energía en reposo de un protón es de 938.256 MeV, y la energía en reposo de un neutrón es de 939.550 MeV. Si la energía en reposo de un deuterón (una partícula nuclear formada por un protón y un neutrón unidos el uno al otro) es de 1875.580 MeV, ¿es factible esperar que el deuterón se pueda fisionar por sí solo descomponiéndose en sus partes elementales?</span><br /><br />Sumando las energías en reposo del protón y el neutrón:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;">938.26 MeV + 939.55 MeV = 1877.81 MeV</span><br /></div><span style="font-size:100%;"><br />encontramos que, por una diferencia pequeña, las energías en reposo de ambas partículas tomadas independientemente es mayor que la energía en reposo del deuterón, y por lo tanto el deuterón no se puede fisionar por sí solo. Se requiere suministrarle una energía al deuterón para provocar tal fisión, ya que la energía del enlace es:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;">1877.81 MeV - 1875.58 MeV = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">2.23 MeV</span></span><br /></div><span style="font-size:100%;"><br />Esta energía necesaria para romper el enlace puede ser suministrada ya sea bombardeando al deuterón con una partícula energética o con radiación electromagnética. Del mismo modo, cuando se forma un deuterón, se libera una cantidad de energía igual a los 2.23 MeV que serían necesarios para volver a descomponerlo en sus partes esenciales.<br /><br /></span><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál es la velocidad adquirida por un electrón que es acelerado a través de una diferencia de potencial de 100 mil voltios?</span><br /><br />La energía <span style="font-style: italic;">cinética</span> (no la energía total que incluye la masa en reposo) adquirida por un electrón bajo una diferencia de potencial de 100 mil voltios es igual a K = qΔV = (1 electrón)(100 mil voltios) = 100 KeV. Entonces, empleando la relación relativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = γm<sub>0</sub>c² - m<sub>0</sub>c²<br /><br />K = (γ - 1) m<sub>0</sub>c²<br /></div><br />La masa en reposo del electrón ya la obtuvimos en un problema previo, es de 0.511 MeV. Por lo tanto:<br /><br /><div style="text-align: center;">100 KeV = (γ - 1) (0.511 MeV)<br /><br />γ - 1 = 0.1957<br /><br />γ = 1.1957<br /><br />1 / √<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span> = 1.1957<br /></div><br /><div style="text-align: center;">u = 0.548c<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un mesón </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">K</span><sup style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sup><span style="font-style: italic;"> en reposo decae en dos mesones </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">π</span><sup style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sup><span style="font-style: italic;">:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">K</span><sup style="font-weight: bold;">0</sup><span> → </span><span style="font-weight: bold;">π</span><sup style="font-weight: bold;">0 </sup><span>+</span><sup style="font-weight: bold;"> </sup><span style="font-weight: bold;">π</span><sup style="font-weight: bold;">0</sup><br /></div><span style="font-style: italic;"><br />Si la energía en reposo del mesón </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">K</span><sup style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sup><span style="font-style: italic;"> es de 498 MeV y la energía en reposo del mesón </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">π</span><sup style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sup><span style="font-style: italic;"> es de 135 MeV, ¿cuál será la energía cinética <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">K</span> de cada mesón </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">π</span><sup style="font-weight: bold; font-style: italic;">0</sup><span style="font-style: italic;"> suponiendo que toda la energía que resulta del decaimiento del mesón </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">K</span><sup style="font-weight: bold; font-style: italic;">0 </sup><span style="font-style: italic;">será portada como energía cinética por ambas partículas </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">π</span><sup style="font-weight: bold; font-style: italic;">0 </sup><span style="font-style: italic;">resultantes del decaimiento?</span><br /><br />Si la energía en reposo de cada mesón <span style="font-weight: bold;">π</span><sup style="font-weight: bold;">0</sup> es de 135 MeV, entonces la energía en reposo de dos de dichas partículas será de 270 MeV, una diferencia de 228 MeV con respecto a la energía en reposo de 498 MeV del mesón <span style="font-weight: bold;">K</span><sup style="font-weight: bold;">0</sup>. Por el principio de la conservación de la energía, la energía total inicial <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>inicial</sub></span> que es igual a la energía en reposo del mesón <span style="font-weight: bold;">K</span><sup style="font-weight: bold;">0</sup> debe ser igual a la energía en reposo de cada mesón <span style="font-weight: bold;">π</span><sup style="font-weight: bold;">0</sup><span style="font-style: italic;"> </span> <span style="font-style: italic;">más</span> la energía cinética <span style="font-weight: bold;"></span><span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">K</span> con la que sale disparado cada mesón en sentido contrario:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic_r2L5sk_L6FCTct2zE2VKO60O5qqHpnfDYA-g0MOY212I4MgRaMSyTA2-xeRDComEJHmfB1zLV0qWV6OCj3irmate46yMo8Py7tK9tC1DS6vKHh0PumsJ65Hv_kc7UrdXfmDNGP8rklr/s1600-h/fision_atomica_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 202px; height: 248px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic_r2L5sk_L6FCTct2zE2VKO60O5qqHpnfDYA-g0MOY212I4MgRaMSyTA2-xeRDComEJHmfB1zLV0qWV6OCj3irmate46yMo8Py7tK9tC1DS6vKHh0PumsJ65Hv_kc7UrdXfmDNGP8rklr/s400/fision_atomica_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334622028178669698" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>inicial</sub></span> = <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>final</sub></span><br /><br /><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>inicial</sub></span> = (<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >m<sub>2</sub>c²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">K</span>) + (<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >m<sub>2</sub>c²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">K</span>)<br /><br /><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>inicial</sub></span> = 2<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >m<sub>2</sub>c²</span> + 2<span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">K</span><br /><br />498 MeV = 2 (135 MeV) + 2<span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">K</span><span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;"></span><br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">K</span> = 114 MeV<br /></div><br />En el problema anterior, toda la energía <span style="font-style: italic;">aparentemente</span> perdida termina siendo convertida en la energía cinética de las dos partículas resultantes.<br /><br />El diagrama espacio-tiempo para lo que acabamos de ver tendrá el siguiente aspecto en el cual una <span style="font-style: italic;">línea del mundo</span> única para una sola partícula se rompe en <span style="font-style: italic;">dos</span> líneas del mundo diferentes para dos partículas diferentes, una moviéndose en un sentido (hacia la derecha, en la dirección <span style="font-style: italic;">+x</span>) y la otra moviéndose en el sentido contrario (hacia la izquierda, en la dirección <span style="font-style: italic;">-x</span>):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd8cv37pOPZFo0XNoxM1afbLZZWH0AwSUX4ooNiPU6D96B7CTIg9-DwF1QcX2OJbSRdszR_608ONk7eHCfZjTALcF6g_faAJwHmxOwM1ycX4sTXbDMD0HLu432Y4BsxFifB_Biu4FbGp5B/s1600-h/linea_del_universo_de_particula_fisionable.png"><img style="cursor: pointer; width: 289px; height: 249px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd8cv37pOPZFo0XNoxM1afbLZZWH0AwSUX4ooNiPU6D96B7CTIg9-DwF1QcX2OJbSRdszR_608ONk7eHCfZjTALcF6g_faAJwHmxOwM1ycX4sTXbDMD0HLu432Y4BsxFifB_Biu4FbGp5B/s400/linea_del_universo_de_particula_fisionable.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334637156300956098" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un cuerpo en reposo se rompe espontáneamente en dos partes que se mueven en sentidos opuestos. Las masas en reposo y las velocidades de las partes son m</span><sub style="font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> = 3 Kg a u</span><sub style="font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> = 0.8c y m</span><sub style="font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> = 5.33 Kg a u</span><sub style="font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> = 0.6c. Hallar la masa en reposo del cuerpo original</span>.<br /><br />Por el principio de la conservación de la energía:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>inicial</sub></span> = <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>final</sub></span><br /></div><br />La energía inicial es la del cuerpo que estaba en reposo, siendo ésta <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>inicial</sub> = mc²</span>. Las energías <span style="font-style: italic;">totales</span> de las dos partes en las que se rompe el cuerpo están dadas <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub><span style="font-weight: bold;"> = γ</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub><span style="font-weight: bold;">m</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub><span style="font-weight: bold;">c²</span> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub><span style="font-weight: bold;"> = </span><span style="font-weight: bold;">γ</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub><span style="font-weight: bold;">m</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub><span style="font-weight: bold;">c²</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH76Zzseo8JjS6uObVbzSQQINeeWuRk-rExCiY8P-emeg-O0l3Pko8AZw03BnCNe24pbLCsST3PaEKmxgoCX4ZGZPDI7vFElnaOnZzkGe17gNROU-81BqZ6t3HpzBfXCGStjTpol9NVxbC/s1600-h/fision_atomica_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 202px; height: 248px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH76Zzseo8JjS6uObVbzSQQINeeWuRk-rExCiY8P-emeg-O0l3Pko8AZw03BnCNe24pbLCsST3PaEKmxgoCX4ZGZPDI7vFElnaOnZzkGe17gNROU-81BqZ6t3HpzBfXCGStjTpol9NVxbC/s400/fision_atomica_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334631390698818402" border="0" /></a><br /></div><br />Entonces tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">mc² = <span>γ</span><sub>1</sub><span>m</span><sub>1</sub><span>c²</span> + <span>γ</span><sub>2</sub><span>m</span><sub>2</sub><span>c²</span><br /><br />m = <span>(</span>√<span style="text-decoration: overline;">1 - u1²/c²</span><span>)</span> <span>m</span><sub>1</sub> + <span>(</span>√<span style="text-decoration: overline;">1 - u2²/c²</span><span>)</span> <sub></sub><span>m</span><sub>2</sub><br /><br />m = (3 Kg / √<span style="text-decoration: overline;">1 - 0.64</span>) + (5.33 Kg / √<span style="text-decoration: overline;">1 - 0.36</span>)<br /><br />m = 11.66 Kg<br /></div><br />Así, al empezar teníamos una masa total de 11.66 Kg, y después de la desintegración terminamos con una masa total de 8.33 Kg. <span style="font-style: italic;">En la Teoría de la Relatividad no hay un principio de “conservación de la masa”</span>. Lo que hay es un <span style="font-weight: bold;">principio de conservación de la masa-energía</span>.<br /><br />Habiendo visto procesos de desintegración, veamos ahora procesos relativistas que involucran colisiones en las cuales dos cuerpos quedan trabados después del choque:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEHkzJgHMWbVUYjrazH2_NUe1EcmENJoX2nDXTi2NM4XPlUo0NGda_LObEzpxje6PcJgWDig81LELsyxou_X1RmveKaxFo_tM772ijujAtECil-zljciGLzJVvquW3WYJm5TNY3HRkbYNe/s1600-h/colision_inelastica.png"><img style="cursor: pointer; width: 356px; height: 106px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEHkzJgHMWbVUYjrazH2_NUe1EcmENJoX2nDXTi2NM4XPlUo0NGda_LObEzpxje6PcJgWDig81LELsyxou_X1RmveKaxFo_tM772ijujAtECil-zljciGLzJVvquW3WYJm5TNY3HRkbYNe/s400/colision_inelastica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334636066884797506" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El análisis que llevaremos a cabo es completamente válido aunque el cuerpo absorbido no sea un cuerpo material sino un fotón de luz, como lo veremos en el siguiente problema.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Se pueden presentar argumentos para demostrar que un fotón no puede ser absorbido por un electrón libre. Sin embargo, puede ser absorbido por un electrón estacionario en la vecindad de un núcleo pesado. Si un fotón con una energía de 1 MeV choca con un electrón estacionario en la vecindad de un núcleo pesado, y si despreciamos la energía de retroceso del núcleo, ¿cuál será la velocidad del electrón después del choque al ser sacado fuera del átomo?</span><br /><br />Apelamos nuevamente al principio de la conservación de la energía antes y después del choque:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>inicial</sub></span> = <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >E<sub>final</sub></span><br /></div><br />Antes del choque, el sistema consiste en la energía <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">foton</sub> de 1 MeV que lleva el fotón consigo mismo, más la energía en reposo del electrón <span style="font-weight: bold;">m</span><sub style="font-weight: bold;">e</sub><span style="font-weight: bold;">c²</span> más la energía en reposo <span style="font-weight: bold;">m</span><sub style="font-weight: bold;">n</sub><span style="font-weight: bold;">c²</span> del núcleo pesado, y después del choque el sistema constará de la energía total del electrón en movimiento sumada a la energía en reposo del núcleo pesado:<br /><br /><div style="text-align: center;">E<sub>foton</sub> + <span>m</span><sub>e</sub><span>c²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">n</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span><span style="color: rgb(255, 0, 0);"> </span>= γ<span>m</span><sub>e</sub><span>c²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">n</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span><br /><br />1 MeV + 0.511 MeV = γ (0.511 MeV)<br /><br />γ = 2.957<br /><br />u = 0.941c<br /></div><br />Hay otros procesos de índole atómica en los cuales por la desintegración de un átomo también se tienen dos o más partículas resultantes cuyas masas sumadas no son iguales a la masa del átomo original (lo que llamamos un <span style="font-style: italic;">defecto de masa)</span> pero en los cuales además de la energía cinética que se lleve consigo cada partícula resultante hay una energía pura liberada como energía radiante.<br /><br />Existe una expresión muy útil que nos relaciona a la energía total E de un cuerpo con su momentum relativista p. Si la energía total del cuerpo es E = γm<sub>0</sub>c² = γ<span style="font-size:100%;">E<sub>0 </sub></span>y su momentum relativista es p = γm<sub>0</sub>u, entonces usando E² = γ²<span style="font-size:100%;">E<sub>0</sub></span>² tenemos:<br /><div style="text-align: center;"><br />p² = γ²m<sub>0</sub>²u² = (γ² m<sub>0</sub>² c<sup>4</sup>) (u²/c<sup>4</sup>)<br /><br />p² = γ² (m<sub>0</sub>c²)² (u²/c<sup>4</sup>) = γ² E<sub>0</sub>² u²/c<sup>4</sup><br /></div><br />Con esto:<br /><br /><div style="text-align: center;">E² - p² c² = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">γ²</span> E<sub>0</sub>²<span style="color: rgb(255, 0, 0);"> (1 - u²/c²)</span><br /><br />E² = p²c² + E<sub>0</sub>²<br /></div><br />La relación anterior se puede memorizar mejor con la ayuda del siguiente “triángulo relativístico”:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij63jgZEnCOAlLdvkos48aTacDW5RWyAFw59Ra1LQdoDtB-xE6EPk36zGceqJrYeYlVugorcPT_BXQOmvniNrs8dQzqMTXAlC3eU1rQui-wMKj_MiQjVn2Dol8UORn2NDT6Vpkgar2KBqJ/s1600-h/triangulo_relativistico.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 292px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij63jgZEnCOAlLdvkos48aTacDW5RWyAFw59Ra1LQdoDtB-xE6EPk36zGceqJrYeYlVugorcPT_BXQOmvniNrs8dQzqMTXAlC3eU1rQui-wMKj_MiQjVn2Dol8UORn2NDT6Vpkgar2KBqJ/s400/triangulo_relativistico.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334691484697488194" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El “triángulo relativístico” se traza empezando con el pie del triángulo que es la masa en reposo m<sub>0</sub>c² y levantando el otro cateto que representa la cantidad pc. Con un compás imaginario se tiende un arco hasta cortar a la hipotenusa. El segmento adicional a la longitud <span style="color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">c²</span> (que es la energía en reposo de la partícula) es el segmento <span style="color: rgb(51, 51, 255);">K</span> (que es la energía cinética de la partícula), segmentos que sumados dan la longitud total de la hipotenusa que es también la longitud total de la partícula. Aplicando entonces el teorema de Pitágoras a este triángulo rectángulo, obtenemos la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;" lang="EN-US"><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 102);">(K + </span></span><span style="font-weight: bold;" lang="EN-US"><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 102);">m<sub>0</sub></span></span><span style="font-weight: bold;" lang="EN-US"><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 102);">c²)² = (pc)² + (m<sub>0</sub>c²)²</span></span><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál es la relación entre la energía y el momentum de un fotón de luz?</span><br /><br />En virtud de que los fotones viajan a la velocidad de la luz, su masa en reposo, de acuerdo con la Teoría de la Relatividad, debe ser cero, y por lo tanto su energía debe ser totalmente cinética, energía radiante pura. Si un fotón existe, entonces debe estarse moviendo a la velocidad de la luz, y deja de existir en el momento en el que deja de moverse a esta velocidad (como cuando es absorbido por uno de los orbitales de un átomo de hidrógeno haciendo saltar a un electrón en dicho orbital a un nivel más alto de energía). Para una masa en reposo m<sub>0</sub> igual a cero (y por lo tanto una energía en reposo E<sub>0</sub> igual a cero), la relación relativista entre momentum y energía nos conduce a:<br /><br /><div style="text-align: center;">E² = p²c² + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">E</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">²</span><br /><br />E = pc<br /></div><br />Se destaca aquí que <span style="font-style: italic;">esta relación es válida únicamente para un fotón, no para una partícula material</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcular la cantidad de movimiento de un electrón cuya velocidad es 0.8c, expresada en unidades MeV/c.</span><br /><br />La cantidad de movimiento relativista está dada por <span style="font-weight: bold;">p</span> = γm<sub>0</sub><span style="font-weight: bold;">u</span>. Entonces, con unas manipulaciones simples y usando el resultado anterior de m<sub>0</sub>c² = 0.511 Mev para el electrón:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub>u = γm<sub>0</sub>c² (u/c²)<br /><br />p = (1 /√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span>) m<sub>0</sub>c² (u/c²)<br /><br />p = (1 /√<span style="text-decoration: overline;">1 - (0.8)²</span>) (0.511 MeV) (0.8/c)<br /><br />p = 0.681 MeV/c<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcular el momentum para un electrón de 1 MeV dando la respuesta en unidades MeV/c.</span><br /><br /><div style="text-align: center;">E² = p²c² + E<sub>0</sub>² = (pc)² + E<sub>0</sub>²<br /></div><br />Se debe entender que la energía de 1 MeV es una energía <span style="font-style: italic;">cinética</span> K. Entonces al electrón con energía cinética K = 1 MeV hay que sumarle su energía en reposo para obtener su energía total E ya que E = K + E<sub>0</sub>. Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">(1 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 Mev)²<br /><br />p = 1.42 MeV/c<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcular la energía cinética de un electrón cuyo momentum es de 3 MeV/c.</span><br /><br /><div style="text-align: center;">E² = p²c² + E<sub>0</sub>²<br /><br />(K + E<sub>0</sub>)² = (pc)² + E<sub>0</sub>²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">(K + 0.511 MeV)² = [(3 Mev/<span style="color: rgb(255, 0, 0);">c</span>) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">c</span>]² + (0.511 MeV)²<br /><br />K = √<span style="text-decoration: overline;">9.261 MeV²</span> - 0.511 MeV = 2.53 MeV<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Demostrar que la velocidad relativista de una partícula está dada por </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">u</span><span style="font-style: italic;"> = </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">p</span><span style="font-style: italic;">c²/E.</span><br /><br />Por un lado tenemos la expresión para el momentum relativista <span style="font-weight: bold;">p</span> = γm<sub>0</sub><span style="font-weight: bold;">u</span> en donde el momentum <span style="font-weight: bold;">p</span> es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad <span style="font-weight: bold;">u</span> de la partícula; y por el otro tenemos que la energía <span style="font-style: italic;">total</span> E de la partícula es igual a γm<sub>0</sub>c². Entonces γm<sub>0</sub> = E/c² y:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">p</span> = (E/c²) <span style="font-weight: bold;">u</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span> = <span style="font-weight: bold;">p</span>c²/E<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Demostrar que la rapidez de una partícula está dada por u = dE/dp.</span><br /><br />Por un lado, de la definición de la <span style="font-style: italic;">magnitud</span> del momentum relativístico, tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub><span>u</span><br /></div><br />Tomando diferenciales sobre lo anterior:<br /><br /><div style="text-align: center;">dp = d(γm<sub>0</sub><span>u</span>) = m<sub>0</sub>d(γ<span>u)</span> = m<sub>0 </sub>(γ<span>du + u</span>dγ)<br /></div><br />La expresión simplificada para ya la obtuvimos anteriormente, y es:<br /><br /><div style="text-align: center;">d(γm<sub>0</sub>u) = m<sub>0</sub> {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du<br /></div><br />Por otro lado tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = γm<sub>0</sub>c²<br /></div><br />Tomando diferenciales:<br /><br /><div style="text-align: center;">dE = d(γm<sub>0</sub>c²) = m<sub>0</sub>c² dγ<br /><div style="text-align: left;"><br />La expresión para dγ también la obtuvimos ya con anterioridad, y es:<br /><br /><div style="text-align: center;">dγ = (u/c²) {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du<br /></div><br />Entonces:<br /><br /></div>dE = m<sub>0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span> (u/<span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span>) {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du<br /><br />dE = (m<sub>0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>u<span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>) {1 - u²/c²}<sup>-3/2</sup> du</div><br />Dividiendo dE entre dp obtenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">dE/dp = {(<span style="color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>u<span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">{1 - u²/c²}</span><sup style="color: rgb(255, 0, 0);">-3/2</sup> <span style="color: rgb(0, 153, 0);">du</span>} / { <span style="color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub> <span style="color: rgb(255, 0, 0);">{1 - u²/c²}</span><sup style="color: rgb(255, 0, 0);">-3/2</sup><span style="color: rgb(0, 153, 0);"> du</span>}<br /><br />dE/dp = u<br /></div><br />En este problema hablamos de la <span style="font-style: italic;">rapidez</span> de una partícula, en contraste con el problema anterior en el cual se habló acerca de la <span style="font-style: italic;">velocidad</span> de la partícula, enfatizando el hecho de que la rapidez es una cantidad a la cual no se le asigna dirección y sentido en oposición a la velocidad que se representa vectorialmente por tener dirección y sentido. Así decimos que un carro tiene una <span style="font-style: italic;">rapidez</span> u de 30 kilómetros por hora sin especificar dirección, pero el mismo carro tiene una <span style="font-style: italic;">velocidad</span> <span style="font-weight: bold;">u</span> de 30 kilómetros por hora en el sentido Norte a Sur. La misma diferencia sutil manejada en la física clásica se sigue manejando en la Teoría de la Relatividad.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-20777240620381790772009-03-18T20:28:00.000-07:002009-09-02T11:46:02.586-07:0014: Física atómica relativistaLa ecuación<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">E = mc²</span><br /></div><br />que nos dá la equivalencia relativista entre la materia y la energía mostró a la humanidad su enorme poder cuando el 16 de julio de 1945 cerca de Alamogordo, Nuevo México, el hombre detonó por vez primera una bomba basada no en el uso de la pólvora o en la nitroglicerina sino en la fuerza del átomo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCul-RjFWMdXZHdi-AXSdupokJhtZMMDu4BSGLg1axkuJ432c6pU6yqGXcTc9aMg4D3v6U1Nn_lFvydP1rwvRosit6xIlbNhSmISOwGMj_F1Byk18mV0cZ7skktw5lM_4D5zlf_zHECDn3/s1600-h/explosion_atomica.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 272px; height: 218px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCul-RjFWMdXZHdi-AXSdupokJhtZMMDu4BSGLg1axkuJ432c6pU6yqGXcTc9aMg4D3v6U1Nn_lFvydP1rwvRosit6xIlbNhSmISOwGMj_F1Byk18mV0cZ7skktw5lM_4D5zlf_zHECDn3/s400/explosion_atomica.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5358398521701677282" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Aunque hay quienes argumentan que la bomba atómica no es en realidad una transformación de materia en energía, que sólo es una conversión de una energía potencial de ligadura almacenada en los átomos que es convertida en otro tipo de energía, la ecuación relativista es esencial para poder describir otros procesos en los cuales hay una transformación directa de materia en energía y, algo más espectacular aún, la transformación de energía en materia.<br /><br />Antes de proseguir, haremos un alto breve para repasar otros hechos que no vienen de la Teoría de la Relatividad sino de otra rama de la física moderna, la Mecánica Cuántica. De acuerdo con la Mecánica Cuántica, dependiendo del experimento que se esté llevando a cabo una misma partícula puede comportarse como una partícula material o como una <span style="font-style: italic;">onda de materia</span>. Esta dualidad onda-partícula fue enunciada por vez primera por Louis de Broglie en 1924. Del mismo modo, y dependiendo del experimento que se esté llevando, un haz luminoso puede comportarse como una onda electromagnética <span style="font-style: italic;">o como si estuviese formado de partículas discretas llamadas fotones</span>. La energía de cada una de estas partículas está dada por la relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">E = hf</span><br /></div><br />en donde <span style="font-weight: bold;">E</span> es la energía del fotón individual, <span style="font-weight: bold;">f</span> es la frecuencia de la luz que el fotón lleva consigo, y <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">h</span> es una constante conocida como la constante de Planck cuyo valor experimental es el siguiente en dos sistemas de unidades distintos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">h</span> = 6.626·10<sup>-34</sup> Joule·segundo<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">h</span> = 4.136·10<sup>-15</sup> eV·segundo<br /></div><br />La constante de Planck es una constante física de carácter universal tan fundamental para la Mecánica Cuántica como la constante de gravitación universal <span style="font-weight: bold;">G</span> lo es para cuantificar la atracción de la gravedad.<br /><br />Para abreviar cálculos, y utilizando la definición del Angstrom como medida de longitud:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 Angstrom = 1 Å = 10<sup>-8</sup> centímetro = 10<sup>-10</sup> metro<br /></div><br />es frecuente utilizar la expresión siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">hc</span> = (4.136·10<sup>-15</sup> eV·segundo)(3·10<sup>8</sup> metros/segundo)(1 Å/10<sup>-10</sup> metros)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">hc</span> = 12.4 KeV·Å</div><br />Puesto que los fotones viajan a la velocidad de la luz, su masa en reposo de acuerdo con la Teoría de la Relatividad debe ser cero y por lo tanto su energía debe ser totalmente una energía de movimiento (energía cinética). Para una masa en reposo de cero, m<sub>0</sub> = 0, la relación relativista entre momentum y energía:<br /><br /><div style="text-align: center;">E² = (pc)² + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">E</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><br /></div><br />se convierte en<br /><br /><div style="text-align: center;">E = pc<br /></div><br />en virtud de que <span style="color: rgb(0, 0, 0);">E</span><sub style="color: rgb(0, 0, 0);">0</sub> = m<sub>0</sub>c² = 0, lo cual nos permite obtener otra relación importante, la que nos proporciona el momentum del fotón:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:100%;">E = hf = pc</span><br /><br />p = hf/c<br /><br /><span style="font-size:130%;">p = h/λ</span><br /></div><br />Esta última relación inspeccionada en detalle por vez primera tal vez pueda dejar un poco perplejos a quienes crecieron acostumbrados a la idea Newtoniana del momentum definido como la masa de una partícula multiplicada por su velocidad, ya que si la masa (en reposo) de una partícula es cero la definición parecería inaplicable. Sin embargo, el fotón aunque tenga una masa de reposo igual a cero definitivamente tiene una energía cinética de movimiento, y es con esta energía cinética de movimiento hacia la cual extendemos nuestro concepto de momentum.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcular la longitud de onda y la frecuencia de un fotón de 2.0 KeV</span>.<br /><br /><div style="text-align: center;">E = pc = (h/λ) c = (hc)/λ<br /><br />λ = (hc)/E = 12.4 KeV·Å/2.0 KeV = 6.2 Å<br /></div><br /><div style="text-align: center;">f = c/λ = (3·10<sup>8</sup> metros/segundo)/(6.2·10<sup>-10</sup> metros) = 4.84·10<sup>17</sup> Hertz<br /></div><br />La unidad derivada para el momentum <span style="font-style: italic;">mv</span> está dada como 1 Kilogramo·metro/segundo. Sin embargo, en cálculos relativistas es frecuente utilizar las unidades de MeV/c para el momentum, lo cual proviene de la expresión relativista que relaciona la energía y el momentum:<br /><br /><div style="text-align: center;">E² = p²c² + E<sub>0</sub>²<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeWFPE4CJISS_A5IShmDvJnlpFkhrhqe7d1WJb-XPrhcU4dpB9tnLtkHeuw8CJUzyjGMdqKjzJgGX3nTlvSbnvfCX4rtLKVg_Rj4COAAjIs4etHrQgF7tisGdabzjO5d2pLS7w9_vynNUM/s1600-h/relacion_relativista_para_el_mometum.png"><img style="cursor: pointer; width: 174px; height: 68px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeWFPE4CJISS_A5IShmDvJnlpFkhrhqe7d1WJb-XPrhcU4dpB9tnLtkHeuw8CJUzyjGMdqKjzJgGX3nTlvSbnvfCX4rtLKVg_Rj4COAAjIs4etHrQgF7tisGdabzjO5d2pLS7w9_vynNUM/s400/relacion_relativista_para_el_mometum.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5360221755715943762" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcular el momentum de un fotón de 20 MeV.</span><br /><br /><div style="text-align: center;">p = E/c = (20 MeV)/c = 20 MeV/c<br /></div><br />A la hora de calcular el momentum para una partícula, es muy importante tener en cuenta si se trata de un fotón o de una partícula material, porque en este último caso es necesario utilizar la expresión relativista completa en virtud de que la energía en reposo de una partícula material no es cero.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcular el momentum para un electrón de 2 MeV.</span><br /><br />En este caso, se trata de una partícula material, un electrón, cuya masa en reposo ya habíamos visto en una entrada anterior que es igual a 0.511 MeV. Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">E² = p²c² + E<sub>0</sub>²<br /><br />(K + m<sub>0</sub>c²)² = (pc)² + (m<sub>0</sub>c²)²<br /><br />( 2 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 MeV)²<br /><br />p = 6.305 -.2611 = 2.458 MeV/c<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcúlese la energía cinética de un neutrón cuyo momentum es de 200 MeV/c. Tómese la masa en reposo del neutrón como 939.55 MeV.</span><br /><br /><div style="text-align: center;">(K + m<sub>0</sub>c²)² = (pc)² + (m<sub>0</sub>c²)²<br /><br />(K + 939.55 MeV)² = (200 MeV/c · c)² + (939.55 MeV)²<br /><br />K = 21.05 MeV<br /></div><br />Como resultado de la equivalencia E = mc² es enteramente posible (y de hecho ocurre) que al impactar una partícula sub-atómica con otra haya una conversión de buena parte de la energía cinética en energía radiante produciéndose un fotón en donde antes no lo había. Todo es cuestión de que los balances de energía antes y después de la colisión lo permitan.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcúlese la frecuencia de un fotón producido cuando un electrón de 20 KeV queda en reposo al chocar con un núcleo atómico pesado, suponiendo que toda la energía que llevaba el electrón va a dar al fotón. ¿Se conserva el momentum en este proceso?</span><br /><br />Supondremos que el núcleo pesado queda igual tanto antes como después del choque, y por lo tanto su masa en reposo sigue siendo la misma y puede ser sacada fuera de los cálculos al permanecer invariable.<br /><br />Si un electrón va en camino para chocar con un núcleo pesado, entonces el balance total de la energía total antes del choque (no tomando en cuenta la masa en reposo del núcleo pesado) es igual a la energía cinética <span style="font-style: italic;">relativista</span> K que lleva el electrón sumada a la masa en reposo del electrón de 0.511 MeV. La energía cinética después del choque será igual a la energía del fotón creado, o sea E = hf, sumada a la energía en reposo del electrón el cual al quedar en reposo pierde toda la energía cinética que llevaba entregándola para la creación del fotón. Como el principio de la conservación de la energía exige que la energía total antes del choque sea igual a la energía total después del choque, entonces tenemos que:<br /><br /><div style="text-align: center;">E<sub>inicial</sub> = E<sub>final</sub><br /><br />K + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span> = hf +<span style="color: rgb(255, 0, 0);"> m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span><br /><br />f = K/h = 20·10<sup>3</sup> eV/4.136·10<sup>-15</sup> eV·segundo<br /><br />f = 4.836·10<sup>18</sup> ciclos/segundo = 4.836·10<sup>18</sup> Hertz<br /></div><br />El momentum del electrón <span style="font-style: italic;">antes</span> del choque lo encontramos a partir de la ecuación relativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">(K + m<sub>0</sub>c²)² = (pc)² + (m<sub>0</sub>c²)²<br /><br />(0.o20 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 MeV)²<br /><br />p<sub>inicial</sub> = 0.144 MeV/c<br /></div><br />Por otro lado, si toda la energía que llevaba el electrón va a dar a la producción del fotón, entonces el fotón tendrá una energía de 20 KeV y su momentum será:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = E/ c<br /><br />p<sub>final</sub> = 20 KeV/c<br /></div><br />Aparentemente, tenemos aquí un caso en el que el momentum no se conserva como resultado de la colisión, ya que del momentum inicial que teníamos de 0.144 MeV/c ahora sólo nos queda un momentum de 20 KeV/c. Esta diferencia se explica por el hecho de que el momentum restante es absorbido por el núcleo que detiene al electrón.<br /><br />Uno de los primeros resultados extraordinarios de la unión entre la Teoría Especial de la Relatividad y la Mecánica Cuántica fue logrado por el físico teórico inglés Paul Adrian Maurice Dirac en 1928: <span style="font-style: italic;">la predicción de la existencia de la antimateria</span>, específicamente la predicción de la existencia de una partícula bautizada como el positrón (la antipartícula del electrón), una predicción que fue confirmada experimentalmente cuatro años después por Carl Anderson en 1932, el concepto de la antimateria es algo que llegó a nosotros para quedarse. Hay varias formas en las cuales se puede producir experimentalmente en el laboratorio un positrón, y una de ellas es precisamente mediante la conversión relativista de energía pura en partículas de materia. A continuación tenemos una ilustración del principal y mejor conocido proceso mediante el cual un fotón luminoso, energía radiante pura, se convierte en dos partículas de materia:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9UiKv1CTX7R1bZwUysBDPiALsKI7CwqeQJmSPvWAFu0Lzj1MUBID3IvtzAFIW69me_nNWrBaSOWKa5xEFcT-Z00j1qasnsvzR2IphSFfKs4yHCEQ9w_D5OysPJeL_KXVpr5qjy8GkBhGv/s1600-h/creacion_espontanea_de_un_par_en_presencia_de_un_nucleo_pesado.png"><img style="cursor: pointer; width: 217px; height: 217px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9UiKv1CTX7R1bZwUysBDPiALsKI7CwqeQJmSPvWAFu0Lzj1MUBID3IvtzAFIW69me_nNWrBaSOWKa5xEFcT-Z00j1qasnsvzR2IphSFfKs4yHCEQ9w_D5OysPJeL_KXVpr5qjy8GkBhGv/s400/creacion_espontanea_de_un_par_en_presencia_de_un_nucleo_pesado.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5358399835405612114" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este proceso, un fotón de alta energía pasa cerca del núcleo de un átomo, y ayudado con su interacción con el campo eléctrico intenso que hay en la cercanía del núcleo del átomo que absorbe en buena parte el momentum del fotón, el fotón se transforma en dos partículas de materia, un electrón y un <span style="font-style: italic;">positrón</span> (el positrón es una partícula idéntica al electrón pero con carga electrica <span style="font-style: italic;">positiva</span> en lugar de negativa, de allí su nombre). Aunque la tendencia de dos cargas eléctricas de signo contrario es atraerse la una a la otra, en el diagrama tenemos la influencia de un campo magnético exterior aplicado al conjunto, el cual hace que el electrón inicie una trayectoria circular en un sentido (en el sentido de las manecillas del reloj) mientras que el positrón la inicia en el sentido opuesto (en sentido contrario a las manecillas del reloj). Visto más de cerca el proceso, si imaginamos al núcleo del átomo (con carga eléctrica positiva) cubierto por varias capas de electrones (cargas eléctricas negativas) en torno suyo, entonces para esta interacción mediante la cual la energía radiante se transforma en materia en materia el fotón debe atravesar esas capas de electrones para llegar a la cercanía del núcleo del átomo, lo cual puede hacer sin problema alguno porque un fotón de luz es eléctricamente neutro. En pocas palabras, tenemos una situación como la que se muestra a continuación (obsérvese con cuidado que el fotón no es uno que choca de frente con el núcleo del átomo):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPdsK7Z2JIGJZDh0MweTQapLQ4yDv3ACOPnMUKnHzHKrc9xeWqwRtyV7oAgF6_wGKTVKiojmVAjDDDyAwit66PQaEZfvOAfHfrXGkPzcTdhzsRWRoUayjtEN_wleaE9cRzbqmK4HhhrWcr/s1600-h/creacion_de_par.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 383px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPdsK7Z2JIGJZDh0MweTQapLQ4yDv3ACOPnMUKnHzHKrc9xeWqwRtyV7oAgF6_wGKTVKiojmVAjDDDyAwit66PQaEZfvOAfHfrXGkPzcTdhzsRWRoUayjtEN_wleaE9cRzbqmK4HhhrWcr/s400/creacion_de_par.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5359496267354421666" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El par de partículas producido ha sido identificado con letras rojas para no confundirlo con los electrones que están orbitando como constituyentes del átomo, con la letra <span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">e</span><sup style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">-</sup> simbolizando al electrón del par con su carga negativa y con la letra <span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">e</span><sup style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">+</sup> simbolizando al positrón del par con su carga positiva.<br /><br />De acuerdo con el <span style="font-style: italic;">principio de la conservación de la masa-energía</span> (ya no estamos hablando del principio de la conservación de la materia y el principio de la conservación de la energía como cosas separadas, sino como manifestaciones distintas de una misma cosa), para que se puedan producir dos partículas como el electrón y el positrón a partir de un fotón se requiere que la energía del fotón sea <span style="font-style: italic;">igual por lo menos a la masa en reposo de las dos partículas</span>, ya que de lo contrario no podrá haber ninguna conversión en energía en materia bajo ningún tipo de circunstancia. Puesto que en la fórmula relativista de equivalencia entre masa y energía tenemos como factor multiplicativo el cuadrado de la velocidad de la luz, se requiere una gran cantidad de energía para poder producir tan sólo una muy pequeña cantidad de masa. Esta es la razón por la cual los fotones de la luz visible tienen una energía insuficiente para convertirse bajo condiciones normales en partículas de materia. Ni siquiera los fotones de rayos-X tiene la energía suficiente para transmutarse en partículas atómicas ligeras. Se requiere de fotones de muy alta energía conocidos como rayos-gamma para que estos puedan producir partículas de materia. Y las partículas de materia que puedan ser producidas a partir de un fotón tienen que ser partículas sumamente ligeras, ya que la creación de una partícula como un protón o un neutrón requiere de una cantidad extremadamente grande de energía con todo y que estamos hablando de pequeñísimas partículas atómicas.<br /><br />Si la masa en reposo del electrón, medida en unidades MeV, es de 0.511 MeV, entonces el fotón debe tener por lo menos una energía de 1.022 MeV para poder producir las dos partículas (el electrón y su contraparte el positrón) <span style="font-style: italic;">en reposo</span>. Y puesto que la energía de un fotón depende en forma directa de la frecuencia de la onda electromagnética que representa, podemos hablar de una <span style="font-weight: bold;">frecuencia de umbral</span> (<span style="font-style: italic;">threshold frequency</span>) debajo de la cual un fotón no nos podrá producir un par electrón-positrón, o bien de una<span style="font-weight: bold;"> longitud de onda umbral</span> arriba de la cual la creación del par no será posible.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Determinar la longitud de onda umbral para la creación de un par electrón-positrón.</span><br /><br />Puesto que el fotón se mueve a la velocidad de la luz, su longitud de onda de umbral λ<sub>u</sub> y su frecuencia de umbral f<sub>u</sub> están relacionadas como:<br /><br /><div style="text-align: center;">c = f<sub>u </sub>· λ<sub>u</sub><br /></div><br />Y puesto que la energía del fotón individual está dada por E = hf, tenemos entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = h · c / λ<sub>u</sub><br /><br />λ<sub>u</sub> = hc/E<br /><br />λ<sub>u</sub> = (4.136·10<sup>-15</sup> eV·segundo)(3·10<sup>8</sup> metros/segundo)/(1.022·10<sup>6</sup> eV)<br /><br />λ<sub>u</sub> = 0.0121 Angstroms<br /></div><br />Pero no sólo la masa-energía debe ser conservada antes y después de la transformación de la energía en materia, <span style="font-style: italic;">también se requiere la conservación del momentum</span>. Como lo vimos arriba, el momentum del fotón está dado por p = h/λ, y esta es una cantidad que también tiene que ser conservada. En el umbral, toda la energía del fotón se nos va en la producción de un electrón y un positrón con energía cinética cero, pero al estar en reposo el momentum inicial del fotón parecería haberse esfumado hacia la nada, lo cual no puede ser. Esta es la razón por la cual se requiere de la cercanía del núcleo de un átomo pesado, en virtud de que para que el momentum se pueda conservar se requiere de <span style="font-style: italic;">algo</span> que pueda absorber el momentum del fotón inicial; esto es precisamente lo que hace el núcleo del átomo, actuar como una especie de <span style="font-style: italic;">amortiguador</span> que absorbe el momentum que el fotón traía consigo. Puesto que el núcleo del átomo es miles de veces más masivo que el electrón y el positrón juntos, puede absorber una gran cantidad de momentum sin necesidad de tener que absorber mucha energía. Esta es la razón por la cual la producción de pares es observada cuando rayos gamma de alta energía penetran un sólido en donde hay un núcleo atómico de alta densidad. El requerimiento de la cercanía del núcleo para lograr la conservación del momentum nos indica que <span style="font-style: italic;">la producción de pares no puede darse en el vacío</span>.<br /><br />El requerimiento de la conservación del momentum no es el único argumento que puede esgrimirse para negar la posibilidad de que la producción de pares pueda darse en el vacío. También podemos recurrir a argumentos de índole puramente relativista.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA:</span> <span style="font-style: italic;">Demostrar, usando únicamente argumentos relativistas, que la producción espontánea de pares de partículas a raíz de un fotón de luz no puede darse en el espacio vacío.</span><br /><br />La producción de un par de partículas debe ser considerada, hablando relativísticamente, como una <span style="font-style: italic;">invariante</span>. Si un observador encuentra que se ha producido un par de partículas entonces cualquier otro observador que esté en moviento con respecto al primero también encontrará que se ha producido ese par de partículas. Sin embargo, como ya lo vimos en la entrada correspondiente al efecto Doppler relativista, la longitud de onda (o bien la frecuencia) de un fotón difiere de un observador a otro, esto es precisamente lo que dá origen al desplazamiento Doppler. Siempre es posible encontrar un observador que se esté moviendo con una velocidad y dirección tales que la longitud de onda de un fotón dado esté <span style="font-style: italic;">por encima</span> de la <span style="font-style: italic;">longitud de umbral mínima </span>necesaria para la creación de un par de partículas. En el problema resuelto arriba, esta longitud de onda resultó ser igual a 0.0121 Angstroms. Si el observador se está moviendo con respecto a un fotón en tal forma que la longitud de onda del fotón es de unos 0.5 Angstroms, para este observador no será posible que el fotón pueda convertirse en un electrón y en un positrón puesto que no tiene la suficiente energía para ello. Puesto que este observador encuentra que la producción de pares no es posible en el espacio vacío, cualquier otro observador encontrará también que es imposible la producción de un par en un espacio vacío. <span style="font-style: italic;">Se requiere forzosamente de la cercanía de un núcleo atómico pesado para que en la interacción del fotón con el mismo se reúnan las condiciones necesarias para la creación del par</span>. La cercanía del contenido energético del campo eléctrico del núcleo es lo que compensa por el movimiento relativo que pueda tener otro observador que detecta un corrimiento Doppler que disminuye el contenido energético del fotón, ya que al ocurrir tal cosa aumenta la velocidad del núcleo con respecto al observador en movimiento y con ello aumenta el núcleo su contenido energético relativista total con respecto a dicho observador.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un fotón de longitud de onda 0.00030 Å produce un par electrón-positrón en la vecindad de un núcleo pesado. Calcular la energía cinética de cada una de las partículas si la energía cinética del positrón es el doble de la energía cinética del electrón.</span><br /><br />Del principio de la conservación de la energía tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">E<sub>inicial</sub> = E<sub>final</sub><br /></div><br />La energía inicial es la que posee el fotón, y la energía final es la que poseen el positrón y el electrón sumadas a sus masas en reposo que son 0.511 MeV para ambos. Designando a la energía cinética del positrón como <span style="color: rgb(51, 51, 255);">K</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">+</sub> y a la energía cinética del protón como <span style="color: rgb(255, 0, 0);">K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub> con lo cual K<sub>+</sub> = 2K<sub>-</sub> , entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">hf = E<sub>positron</sub> + E<sub>electron</sub><br /><br />hc/λ = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">K</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">+</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> + m</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">c²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"> + m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span><br /><br />(12.4 KeV·Å)/(0.0030 Å) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">2K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> + 0.511 MeV</span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> </span>+ <span style="color: rgb(255, 0, 0);">K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">+ 0.511 MeV</span></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span><br /><br />4.133 MeV = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">3K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> +</span> 1.022 MeV<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> </span>= 1.037 MeV para el electrón<br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">K</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">+</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> </span>= 2<span style="color: rgb(255, 0, 0);">K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> </span>= 2(1.037 MeV) = 2.074 MeV para el positrón<br /></div><br />Hemos visto cómo es posible que ocurra el espectacular proceso de conversión de energía en materia al llevarse a cabo experimentos con rayos gamma incidiendo sobre elementos con número atómico elevado (este proceso es uno de los procesos más efectivos de absorción de rayos gamma que se conocen). El fenómeno de <span style="font-weight: bold;">aniquilación de partículas</span>, el proceso inverso a la creación de pares de partículas, es el que que ocurre cuando juntamos materia con antimateria, y es el que estudiaremos a continuación.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Demuéstrese que la aniquilación de un par electrón-positrón produciendo un solo fotón de luz no puede ocurrir.<br /></span><br />La aniquilación de un par de partículas produciendo un solo fotón constituiría una violación directa a los principios de conservación de la energía y el momentum. Si consideramos al electrón y al positrón inicialmente en reposo, el momentum inicial debe ser cero, y entonces tras la aniquilación el momentum final debe seguir siendo cero. Pero si se produce un solo fotón, el cual lleva consigo una cantidad definitiva de momentum p = E/c, no habría un fotón viajando en sentido opuesto cancelando con una cantidad igual de momentum negativo el momentum del otro fotón.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcúlense las energías de los dos fotones que se producen cuando ocurre una aniquilación entre un electrón y un positrón inicialmente juntos en reposo.</span><br /><br />En virtud de que el momentum inicial del par electrón-positrón antes de la aniquilación es cero por estar ambas partículas en reposo, el momentum final después de la aniquilación también debe ser cero, lo cual implica que los dos fotones deben salir disparados en direcciones contrarias y deben tener de la misma energía. La energía de cada partícula del par es 0.511 MeV, de modo tal que el par combinado tiene una energía en reposo igual a 1.022 MeV. Al producirse los dos fotones a partir de esta energía previa de 1.022 MeV, cada fotón se lleva la mitad de dicha energía. Entonces las energías de los dos fotones es de 0.511 MeV.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un electrón y un positrón llevan a cabo un choque frontal, y la aniquilación de pares que dá como resultado la creación de dos fotones de 1.0 MeV cada uno viajando en sentidos opuestos. ¿Cuáles eran las energías cinéticas del electrón y el positrón antes del choque?</span><br /><br />Puesto que los dos fotones salen disparados en sentidos opuestos y tienen la misma energía E<sub>γ</sub> de 1.0 MeV, el momentum final después de haberse llevado a cabo la aniquilación del par debe ser cero. Esto a la vez implica que el electrón y el positrón han de haber tenido energías cinéticas <span style="color: rgb(51, 51, 255);">K</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">+</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> </span>y <span style="color: rgb(255, 0, 0);">K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> </span> iguales antes del choque. Haciendo el balance de la energía antes y después del choque e igualando en virtud del principio de la conservación de la energía, tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">K</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">+</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);"> + m</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">c²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">K</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">-</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);"> + m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span> = E<sub>γ</sub> + E<sub>γ</sub><br /><br />2K + 2m<sub>0</sub>c² = 2E<sub>γ</sub><br /><br />2K + 2(0.511 MeV) = 2 (1.0 MeV)<br /><br />E<sub>γ</sub> = 0.489 MeV<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Después de una aniquilación de un par en reposo, se encuentra que se producen tres fotones. ¿Cuál es la energía del tercer fotón, si los otros dos fotones producidos tienen energías de 0.10 MeV y 0.20 MeV?</span><br /><br />Aplicando el principio de la conservación de energía al par inicialmente en reposo (con energía cinética K igual a cero para ambas partículas del par):<br /><br /><div style="text-align: center;">E<sub>inicial</sub> = E<sub>final</sub><br /><br /><span style="color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">c²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(255, 0, 0);"> m</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²</span> = E<sub>foton-1</sub> + E<sub>foton-2</sub> + E<sub>foton-3</sub><br /><br />0.511 MeV + 0.511 MeV = 0.1 MeV + 0.2 MeV + E<sub>foton-3</sub><br /><br />E<sub>foton-3</sub> = 0.722 MeV<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál es la cantidad máxima de positrones que puede producir un fotón de 100 MeV?</span><br /><br />La cantidad máxima de positrones que pueda producir un fotón de 100 MeV tendrá lugar cuando todos los pares de partículas sean partículas en reposo, y cada par que incluye un positrón tiene una energía en reposo igual al doble de cada partícula del par, o sea igual a 2(0.511 MeV) = 1.022 MeV. Entonces la cantidad máxima de positrones que pueda producirse será igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">100 MeV / 1.022 MeV = 97 positrones<br /></div><br />En todo lo que hemos estudiado, la equivalencia E = mc² es una fórmula indispensable para poder explicar en el análisis de fenómenos atómicos el destino de materia que aparece o desaparece aparentemente de la nada al igual que energía que aparece o desaparece aparentemente de la nada. Si Einstein no hubiera obtenido dicha fórmula a partir de los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad, lo más seguro es que al ir avanzando la física atómica y nuclear dicha fórmula se habría tenido que deducir empíricamente, a reserva de que algún teórico explicase su verdadero significado. Es posible que tengamos en estos momentos fórmulas a la mano detrás de las cuales hay mucha filosofía de fondo y de la cual ni siquiera nos estamos dando cuenta.<br /><br />Puesto que las expresiones clásicas (no-relativistas) son más sencillas de utilizar que las expresiones relativistas, surge la interrogante sobre aquellos casos en los cuales sea válido utilizar con un buen grado de aproximación las expresiones clásicas en lugar de las expresiones relativistas, sabiendo de antemano que conforme el factor γ se acerca a la unidad (γ→1) las fórmulas relativistas se reducen a sus contrapartes clásicas. De la relación entre la energía cinética relativista K, la energía total E y la energía en reposo m<sub>0</sub>c²:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = E - E<sub>0</sub><br /><br />K = γm<sub>0</sub>c² - m<sub>0</sub>c²<br /></div><br />tenemos que γ es igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1+ (K/m<sub>0</sub>c²)<br /></div><br />Aquí vemos que cuando la energía cinética K es mucho menor que la energía en reposo m<sub>0</sub>c² (K « m<sub>0</sub>c²) entonces γ se acerca a la unidad y los resultados clásicos diferirán muy poco de los resultados relativistas. Entonces podemos utilizar la expresión clásica que nos relaciona a la energía cinética K de una masa m con su velocidad u:<br /><br /><div style="text-align: center;">K ≈ ½m<sub>0</sub>u²<br /></div><br />Sin embargo, si la energía cinética K es de un orden de magnitud comparable con la energía en reposo m<sub>0</sub>c² (K ≈ m<sub>0</sub>c²), entonces no podemos utilizar la aproximación señalada, y de hecho no podemos utilizar ninguna aproximación, tenemos que utilizar las relaciones relativistas exactas.<br /><br />Del otro extremo, si la energía cinética K es mucho mayor que la energía en reposo m<sub>0</sub>c² (K » m<sub>0</sub>c²) entonces podemos utilizar la expresión<br /><br /><div style="text-align: center;">E² = p²c² + E<sub>0</sub>²<br /></div><br />para obtener una aproximación. Sacando raíz cuadrada de ambos miembros:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = [p²c² + E<sub>0</sub>²]<sup>½</sup><br /><br />E = pc [1 + E<sub>0</sub>²/p²c²]<sup>½</sup><br /></div><br />Usando la expansión binomial tenemos entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = pc [1 + (½)(E<sub>0</sub>²/p²c²) + ...]<br /></div><br />Entonces para energías cinéticas tales que la energía cinética K es mucho mayor que la masa en reposo m<sub>0</sub>c², algo que conocemos como <span style="font-style: italic;">energías ultrarelativistas</span> (posiblemente aquí la semántica de la palabra sea desfortunada), podemos utilizar la aproximación:<br /><br /><div style="text-align: center;">E ≈ pc<br /></div><br />A continuación se hará un breve resumen de las aproximaciones que pueden utilizarse, según sea el caso:<br /><br />(1) <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">Para K « m</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">c²</span>: Cuando la energía cinética K de una partícula es suficientemente menor que la energía que corresponde a su masa en reposo, podemos utilizar la expresión clásica que nos relaciona su energía cinética K con su velocidad u:<br /><br /><div style="text-align: center;">K ≈ ½m<sub>0</sub>u²<br /></div><br />(2) <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">Para K </span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">≈</span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"> m</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">c²</span>: Cuando la energía cinética K de una partícula es comparable a la energía de su energía en reposo, no podemos recurrir a ninguna aproximación.<br /><br />(3) <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">Para K » m</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">c²</span>: Cuando la energía cinética K de una partícula es suficientemente mayor que la energía que corresponde a su masa en reposo, podemos utilizar la aproximación ultrarelativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">E ≈ pc<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Calcúlese usando las aproximaciones aplicables el momentum en unidades de MeV/c de (a) un electrón de 30 MeV y (b) un protón de 30 MeV.</span><span style="font-style: italic;"> Calcúlense tras esto los valores exactos sin recurrir a aproximación alguna. Considérense las energías en reposo del electrón y del protón como 0.511 MeV y 938 MeV respectivamente.</span><br /><br />De la expresión:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1+ (K/m<sub>0</sub>c²)<br /></div><br />podemos ver que para un electrón de 30 MeV:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1+ (30 MeV/0.511 MeV) = 58.70<br /></div><br />En este caso la energía cinética relativista K del electrón es casi sesenta veces mayor que su energía en reposo, y no podemos utilizar la aproximación clásica entre su energía cinética y su velocidad u. Pero podemos utilizar la aproximación para altas energías:<br /><br /><div style="text-align: center;">E ≈ pc<br /><br />p = E/c<br /><br />p = (K + m<sub>0</sub>c²)/c<br /><br />p = (30 MeV + 0.511 MeV)/c = 30.511 MeV<br /></div><br />Por otro lado, para un protón de 30 MeV:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1+ (K/m<sub>0</sub>c²) = = 1+ (30 MeV/938 MeV) = 1.03198<br /></div><br />Puesto que γ ≈ 1, podemos utilizar la aproximación clásica para obtener la velocidad u de la partícula:<br /><br /><div style="text-align: center;">K ≈ ½m<sub>0</sub>u²<br /><br />2K/(m<sub>0</sub>c²) ≈ (u/c)²<br /><br />(u/c)² ≈ 2(30 MeV)/938 MeV<br /><br />u/c ≈ 0.252<br /></div><br />y vemos que el protón se está moviendo a la cuarta parte de la velocidad de la luz. Un valor aproximado del momentum es entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub>u<br /><br />p = γm<sub>0</sub>c² · (u/c) /c<br /><br />p = (1.03198)(938 MeV)(0.252)/c<br /><br />p = 244 MeV/c<br /></div><br />Para el electrón determinaremos ahora su velocidad u sin recurrir a ninguna aproximación:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span> = 58.70<br /><br />u = .9997097 c<br /></div><br />Con esto:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub>u = γm<sub>0</sub>c² · (u/c) /c = (58.70)(0.511 MeV)(0.9997097)/c<br /><br />p = 29.987 MeV/c<br /></div><br />Este valor compara favorablemente con el valor aproximado que habíamos obtenido de 30.511 MeV.<br /><br />Procederemos de una manera similar para obtener para el protón su velocidad u sin recurrir a ninguna aproximación:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span> = 1.03198<br /><br />u = 0.247 c</div><br />Por lo tanto:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub>u = γm<sub>0</sub>c² · (u/c) /c = (1.03198)(938 MeV)(0.247)/c<br /><br />p = 239.1 MeV/c<br /></div><br />Este valor está debajo del valor aproximado de 244 MeV/c en un 2% que podemos considerar un error mínimo.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Un electrón y un protón son acelerados cada uno en un acelerador de partículas a través de un potencial de 10 millones de voltios. Encontrar el momentum y la velocidad de cada una de estas partículas. </span><br /><br />En el caso del electrón, su energía en reposo de 0.511 MeV es unas veinte veces menor que los 10 MeV de energía cinética que adquiere en el ciclotrón, con lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1+ (K/m<sub>0</sub>c²) = 1 + (10 MeV/0.511 MeV)<br /><br />γ = 20.57<br /></div><br />Puesto que γ no tiene un valor cercano a la unidad, no podemos utilizar la aproximación clásica, pero podemos utilizar la aproximación ultrarelativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">p ≈ E/c<br /><br />p ≈ (K + m<sub>0</sub>c²)/c<br /><br />p ≈ (10 MeV + 0.511 MeV)/c<br /><br />p ≈ 10.511 MeV/c<br /></div><br />Una vez obtenido el momentum del electrón, podemos obtener su velocidad utilizando la definición del momentum relativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub>u<br /><br />p = γ (m<sub>0</sub>c²) u/c²<br /><br />u/c = pc/γ(m<sub>0</sub>c²)<br /><br />u/c = (10.511 MeV/c · c)/(20.57)(0.511 MeV)<br /><br />u = 0.999974 c<br /></div><br />En el caso del protón, su energía en reposo dada en el problema anterior como 938 MeV es unas 93 veces mayor que los 10 MeV de energía cinética que adquiere en el ciclotrón, con lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1+ (K/m<sub>0</sub>c²) = 1 + (10 MeV/938 MeV)<br /><br />γ = 1.010<br /></div><br />Teniendo un valor tan cercano a la unidad, esperamos que la aproximación clásica sea bastante buena:<br /><br /><div style="text-align: center;">K ≈ ½m<sub>0</sub>u²<br /><br />½m<sub>0</sub>u² ≈ K<br /><br />u²/c² ≈ 2K/(m<sub>0</sub>c²)<br /><br />(u/c)² ≈ 2(10 MeV)/(938 MeV) ∼ 0.02132<br /><br />u/c ≈ 0.146<br /><br />u ≈ 0.146 c<br /></div><br />El momentum puede ser calculado con la expresión relativista o con la expresión clásica. Calculado con la expresión relativista resulta ser:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub>u<br /><br />p = γ (m<sub>0</sub>c²) u/c²<br /><br />p = (1.010) (938 MeV) (0.146 c) / c²<br /><br />p = 138 MeV/c<br /></div><br />Y calculado con la expresión clásica que relaciona a la energía cinética K con el momentum p:<br /><br /><div style="text-align: center;">K = ½ mu² = ½ m (p/m)² = p²/2m<br /></div><br />el momentum del protón resulta ser:<br /><br /><div style="text-align: center;">p² = 2mK<br /><br />(pc)² = 2(mc²)K = 2(938 MeV) (10 MeV) = 18,760 MeV²<br /><br />p = 137 MeV/c<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Determínese la intensidad del campo magnético B requerido para poder mantener en una órbita circular con un arco de radio de 2 metros un electrón con una energía de 20 MeV.</span><br /><br />En la entrada titulada “Dinámica relativista”, casi al final de la misma obtuvimos una fórmula para resolver este tipo de problemas, la cual nos relaciona el momentum relativista de la partícula con la carga eléctrica, la intensidad del campo magnético B y el radio R de la órbita:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = qBR<br /></div><br />Tenemos que obtener el momentum relativista a partir de la energía cinética proporcionada para el electrón. En este caso vemos que:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1+ (K/m<sub>0</sub>c²) = 1 + (20 MeV/0.511 MeV)<br /><br />γ = 40.14<br /></div><br />Puesto que la energía cinética relativista K del electrón es casi 40 veces mayor que su energía en reposo, no podemos utilizar la aproximación clásica entre su energía cinética y su velocidad u. Pero podemos utilizar la aproximación para altas energías:<br /><br /><div style="text-align: center;">E ≈ pc<br /><br />p ≈ E/c<br /><br />p ≈ (K + m<sub>0</sub>c²)/c<br /><br />p ≈ (20 MeV + 0.511 MeV)/c ≈ 20.511 MeV/c<br /></div><br />Teniendo el momentum relativista, podemos recurrir a la fórmula (recuérdese que hay que dividir entre la velocidad de la luz <span style="font-style: italic;">c</span> tomada aquí como 300,000 kilómetros por segundo, y que para la carga eléctrica utilizamos simplemente 1 electrón = 1 e para cancelar la parte de la unidad correspondiente dentro de la expresión MeV):<br /><br /><div style="text-align: center;">B = p/qR<br /><br />B = (20.511 MeV/c)/[(1 e) (2 metros)]<br /><br />B = 0.0341 tesla<br /></div><br />Puesto que 1 tesla es igual a 10,000 gauss, la respuesta la podemos expresar también en función de estas unidades:<br /><br /><div style="text-align: center;">B = 341 gauss<br /></div><br />Estableceremos por completitud otra equivalencia que también es utilizada a menudo en el estudio de la física atómica y nuclear relativistas. Se trata de lo que llamaremos <span style="font-weight: bold;">unidad de masa atómica unificada</span> simbolizada como <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span>. Para la definición de esta unidad, podemos recurrir al <span style="font-style: italic;">número de Avogadro</span> que representa exactamente el número de átomos (o moléculas) que contiene <span style="font-style: italic;">un mol</span> de una substancia (el científico italiano Amadeo Avogadro fue el primero que propuso que el volumen ocupado por un gas en un recipiente a cierta temperatura y presión mantenidas fijas es el mismo independientemente de la naturaleza del gas, de modo tal que un recipiente cerrado de unos 22.4 litros a temperatura ambiente y a una presión de una atmósfera contendrá la misma cantidad de moléculas de gas cloro que de gas oxígeno o de gas hidrógeno, aunque la masa contenida del gas variará según el gas):<br /><br /><div style="text-align: center;">N<sub>A</sub> = 6.022 141 79 · 10<sup>23</sup> átomos (o moléculas)<br /></div><br />Para obtener la equivalencia de una unidad <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span>, simplemente dividimos un gramo entre el número de Avogadro:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">u</span> = 1 gramo / 6.022 141 79 · 10<sup>23</sup> átomos<br /><br />1 <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">u</span> = 1.660538783 · 10<sup>-24</sup> gramo/átomo<br /></div><br />Formalmente, la <span style="font-weight: bold;">unidad de masa atómica unificada</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">u</span> es definida como <span style="font-style: italic;">la doceava porción de la masa de un átomo neutral de carbono</span> C<sub>12</sub>, con lo cual el carbono viene teniendo una masa atómica de 12 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> (en un principio, la base unitaria para mediciones atómicas era definida simplemente como la masa de un átomo de hidrógeno, por ser el primer y más sencillo elemento en la tabla periódica, pero posteriormente fue re-definida como la dieciseisava porción de la masa de un átomo de oxígeno O<sub>16</sub>, hasta llegarse a la definición actual basada en el carbono-12 adoptada en 1961 por la International Union of Pure and Applied Physics, aunque en realidad las tres definiciones son equivalentes ya que todas se reducen aproximadamente a lo mismo, la masa de un átomo de hidrógeno). Puesto que un átomo de carbono C<sub>12</sub> tiene una masa de 19.92 · 10<sup>-27</sup> Kilogramo, la doceava parte de dicha masa viene siendo:<br /><br /><div style="text-align: center;">(19.92 · 10<sup>-27</sup> Kilogramo)/12 = 1.66 · 10<sup>-27</sup> Kilogramo<br /><br />= 1.66 · 10<sup>-24</sup> gramo ≈ 1 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span><br /></div><br />Para cálculos breves, podemos utilizar simplemente 1 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> ≈ 1.66 · 10<sup>-24</sup> gramo ≈ 1.66 · 10<sup>-27</sup> Kilogramo. Como ya se dijo, en realidad<span style="font-style: italic;"> esta es simplemente la masa de un átomo de hidrógeno</span>, aunque los formalismos de definición tiendan a obscurecer el hecho.<br /><br />Relativísticamente, de acuerdo con la relación E = mc² la energía equivalente de una unidad de masa unificada es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;" lang="EN-US"><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 102);">1 <span style="color: rgb(51, 51, 255);">u</span> = 931.5 MeV</span></span><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Obtener el valor de una unidad de masa atómica unificada expresado en unidades MeV.</span><br /><br />Trabajaremos en el sistema MKS. El cuadrado de la velocidad de la luz sin usar la aproximación c = 3·10<sup>8</sup> metros/segundo es:<br /><br /><div style="text-align: center;">c² = (299,792,458 metros/seg)² = 8.98755 · 10<sup>16</sup> metros²/seg²<br /></div><br />El valor de una unidad <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> expresado en joules será entonces, de acuerdo con la relación relativista E = mc²:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> = 1.660538783 · 10<sup>-27</sup> Kilogramo<br /><br />1 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> · c² = (1.660538783 · 10<sup>-27</sup> Kilogramo)(8.98755 · 10<sup>16</sup> metros²/seg²)<br /><br />1 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> · c² = 1.4924175 · 10<sup>-10</sup> joule<br /></div><br />Usando el factor de conversión 1 MeV = 1.602 · 10<sup>-13</sup> joule:<br /><br /><div style="text-align: center;">1 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> · c² = (1.4924175 · 10<sup>-10</sup> joule)/(1.602 · 10<sup>-13</sup> joule/MeV)<br /><br />1 <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> · c² = 931.59 MeV<br /></div><br />La unidad <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span> no debe ser confundida con su ya obsoleta progenitora simbolizada como <span style="font-weight: bold;">amu</span> (<span style="font-style: italic;">atomic mass unit</span>), aunque desafortunadamente muchos libros de texto continúan utilizándola dada su similitud con la unidad <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">u</span>.<br /><br />El concepto básico detrás de de la liberación de energía en los reactores y las bombas atómicas es la <span style="font-weight: bold;">energía de enlace</span>. La energía de enlace es la energía que se libera (se pierde) cuando el núcleo atómico de un elemento es creado a partir de sus nucleones (protones y neutrones) constituyentes. Y es también la energía requerida para poder desensamblar el núcleo de un átomo cualquiera en sus partículas elementales constituyentes. Por lo tanto, un núcleo atómico que viene siendo un sistema de partículas nucleares ligadas o <span style="font-style: italic;">sistema ligado</span> está a un nivel energético inferior al de las partículas constituyentes separadas. Esto lo detectamos al sumar la masa total de los nucleones separados que van a formar un átomo comparándola con la masa total del átomo ya formado; al hacer tal cosa descubriremos que la suma de los constituyentes es menor que la masa total del átomo. La “masa ausente”, conocida como el <span style="font-style: italic;">defecto de masa</span>, es por la relación E = mc² una medida de la energía de enlace del átomo que es liberada durante la formación de un núcleo a partir de los nucleones constituyentes. Entre mayor sea la energía de enlace por nucleón en el átomo tanto mayor será su estabilidad. Para poder calcular la energía de enlace (en MeV) de un átomo todo lo que tenemos que hacer es sumar la masa de los nucleones individuales y restar dicha masa de la masa experimentalmente medida del átomo, convirtiendo la “masa faltante” en su equivalente energético de acuerdo con la relación E = mc².Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-51941997946610002872009-03-18T20:15:00.000-07:002009-06-25T09:25:23.230-07:0014: InvariantesAnteriormente, habíamos considerado problemas en los que dos acontecimientos (eventos) que no ocurrían simultáneamente (al mismo tiempo) para un observador eran simultáneos para otro, o problemas en los que dos acontecimientos diferentes tenían lugar en la misma posición para uno de los observadores, lo cual nos permitía hacer una simplificación del tipo t = t’ o una simplificación del tipo x = x’. Pero hay acontecimientos que no ocurren al mismo tiempo para dos observadores distintos y que tampoco se repiten en el mismo lugar en ninguna de las coordenadas espaciales. Sobre este tipo de acontecimientos aún podemos llevar a cabo un análisis definiendo matemáticamente una “distancia” entre dichos acontecimientos que incluya en una sola definición las diferencias de tiempo (temporales) y las diferencias de posición (espaciales).<br /><br />Armados con las transformaciones de Lorentz podemos, sin perder tiempo en los detalles de casos particulares, obtener resultados generales como el que logramos en respuesta al siguiente<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Cuál será la forma en un marco de referencia S’ de un pulso esférico luminoso obtenido al hacer estallar un petardo en el marco de referencia S?</span><br /><br />En un sistema de coordenadas Cartesianas en tres dimensiones (x,y,z) puesto en el marco de referencia S, la ecuación de una esfera de radio r centrada en el origen estará dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;">x² + y² + z² = r²<br /></div><br />Si en el marco de referencia S hacemos estallar un petardo obteniendo con ello una esfera de luz en torno al petardo que actúa como el centro de dicha esfera, dicha esfera se irá expandiendo conforme avanza el tiempo, y el radio de la misma será r = ct. Entonces, para el pulso luminoso esférico en el marco de referencia S, tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">x² + y² + z² = c²t²<br /></div><br />La forma de dicho pulso esférico luminoso estará dada en el marco de referencia S’ por lo que dictan las transformaciones de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = <span class="texhtml">γ(x’ - vt’)</span><br /><span class="texhtml"></span><br /><span class="texhtml">y = y</span>’<br /><span class="texhtml"></span><br /><span class="texhtml">z = z’</span><br /><span class="texhtml"></span><br /><span class="texhtml">t = </span><span class="texhtml">γ(t’ - Vx’/c²)</span><br /><span class="texhtml"></span></div><span class="texhtml"><br />Substituyendo estas ecuaciones de transformación en la ecuación del pulso esférico luminoso, tras un poco de álgebra laboriosa obtenemos lo siguiente para el pulso esférico luminoso en el marco de referencia S’:<br /><br /></span><div style="text-align: center;">(x’)² + (y’)² + (z’)² = c²(t’)²<br /></div><br />Pero esta es también la ecuación de una esfera luminosa dentro del marco de referencia S’.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Un pulso esférico luminoso en un marco de referencia S tendrá también la misma forma esférica en otro marco de referen</span><span style="font-weight: bold;">cia S’ q</span><span style="font-weight: bold;">ue se está moviendo a una velocidad V con respecto a S.</span><br /><br />El que la forma geométrica de un pulso esférico luminoso sea la misma independientemente del marco de referencia en el que estemos situados, <span style="font-weight: bold;">invariant</span><span style="font-weight: bold;">e</span>, nos hace concebir la posibilidad de que también pueda haber otras invariantes que no cambien de un marco de referencia a otro. Esto nos lleva al estudio de algo que en la Teoría Especial de la Relatividad se conoce como el <span style="font-weight: bold;">intervalo</span>.<br /><br />Por convención, el <span style="font-weight: bold;">intervalo relativista</span> entre dos eventos distintos A y B se define de la manera siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (ct<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - ct<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)² - (x<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - x<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)² - (y<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - y<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)² - (z<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - z<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)²<br /></div><br />A continuación haremos un ejercicio llevando a cabo el cálculo del intervalo relativista entre dos eventos A y B. Para este ejemplo, las coordenadas cuatri-dimensionales del evento A serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">(ct<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span> = 5.0 m, x<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span> = 3.0 m, y<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span> = 2 m, z<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span> = 0.0 m )<br /></div><br />Y para el evento b las coordenadas cuatri-dimensionales serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">(ct<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> = 6.0 m, x<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> = 3.0 m, y<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> = 2.5 m, z<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> = 0.0 m )<br /></div><br />El intervalo relativista será entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (ct<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - ct<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)² - (x<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - x<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)² - (y<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - y<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)² - (z<span style="font-size:85%;"><sub>B</sub></span> - z<span style="font-size:85%;"><sub>A</sub></span>)²<br /><br />Δs² = ( 6.0 m - 5.0 m)² - (3.0 m - 3.0 m)² -(2.5 m - 3.0 m)² - ( 0.0 m - 0.0 m)²<br /><br />Δs² = 1.0 m² - 0.0 m² - (-0.5 m)² - 0.0 m² = 0.75 m²<br /></div><br />Podemos tomar la raíz cuadrada si así lo deseamos para obtener:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs = 0.87 m.<br /></div><br />Sin embargo, esto no es lo que se acostumbra hacer en los estudios de la Teoría Especial de la Relatividad. El estudiante para el que todo esto es nuevo se debería de acostumbrar a considerar a Δs² como <span style="font-style: italic;">un solo símbolo</span> y no como el cuadrado de una cantidad Δs. Puesto que Δs² puede ser una cantidad positiva o negativa, no es conveniente tomar la raíz cuadrada. Debe ser claro también que la notación Δs² NO significa Δ(s²), y por ello es preferible acostumbrarse a leerla como un solo símbolo.<br /><br />A continuación veremos un problema que nos confirmará que <span style="font-style: italic;">el intervalo es una cantidad invariante que no cambia al pasar de un marco de referencia a otro</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Usando las transformaciones de Lorentz, encontrar las coordenadas (x,t) que corresponden en el sistema S’ al evento </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">E</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> cuyas coordenadas son (x’,t’) = (2,5) si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es V = 0.6 metros/segundo. A continuación, repetir los cálculos para el evento </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">E</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> cuyas coordenadas son (x,t) = (2,5). Hecho esto, comprobar que el intervalo Δs² entre los eventos </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">E</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> (x,t) y </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">E</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;">(x,t) tiene el mismo valor que el intervalo (Δs’)² entre los eventos </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">E</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> (x’,t’) y </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic;">E</span><sub style="font-weight: bold; font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;">(x’,t’)</span>.<br /><br />En este caso:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> = 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - (0.6 m/seg)²/(1 m/seg)²</span><br /><br />γ = 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - 0.36</span> = 1/√<span style="text-decoration: overline;">0.64</span> = 1/0.8<br /><br />γ = 1.25<br /></div><br />A continuación recurrimos a las transformaciones de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = γ(x’ + Vt’)<br /><br />x = (1.25) [2 + (0.6)(5)] = (1.25)(5)<br /><br />x = 6.25<br /><br />t = γ(t’ + Vx’/c²)<br /><br />t = (1.25) [5 + (0.6)(2)]<br /><br />t = 7.75<br /></div><br />Entonces tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> (x,t) = (6.25, 7.75)<br /><br /><span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> (x’,t’) = (2, 5)<br /></div><br />Obsérvese que no usamos la comilla para denotar <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> (x’,t’) como <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub><span style="font-weight: bold;">’</span> <span style="font-style: italic;">porque se trata del mismo evento</span>. Lo único que cambian son sus coordenadas al pasar de un marco de referencia a otro.<br /><br />Usando nuevamente las transformaciones de Lorentz, para el evento <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> cuyas coordenadas en S’ son (x’,t’) = (3, 10), sus coordenadas en S serán:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = (1.25) [3 + (0.6)(10) ] = 11.25<br /><br />t = (1.25) [10 + (0.6)(3) ] = 14.75<br /></div><br />El cálculo del intervalo Δs² entre los dos eventos <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> en el marco de referencia S arroja lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (cΔt)² - (Δx)²<br /><br /></div><div style="text-align: center;">Δs² = (14.75 - 7-75)² - (11.25 -6.25)²<br /><br />Δs² = 24<br /></div><br />Por otro lado, el cálculo del intervalo (Δs’)² entre los dos eventos <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> en el marco de referencia S’ arroja lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">(Δs’)² = (cΔt)² - (Δx)²<br /><br />(Δs’)² = (10 - 5)² - (3 - 2)²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">(Δs’)² = 24<br /></div><br />Con esto se concluye que:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (Δs’)²<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Se verifica aquí que el intervalo entre dos eventos es una invariante al pasar de un marco de referencia a otro</span>.<br /><br />Para demostrar lo anterior en el caso general, sin recurrir a números, simplemente repetimos lo que hicimos en la resolución del problema numérico, usando símbolos. La diferencia entre dos eventos<span style="font-weight: bold;"> E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2 </sub>en S está dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (cΔt)² - (Δx)²<br /><br />Δs² = c²(t<sub>2</sub>-t<sub>1</sub>)² - (x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>)²<br /></div><br />Usamos ahora las transformaciones de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">t<sub>1</sub> = γ(t’<sub>1</sub> + Vx’<sub>1</sub>/c²)<br /><br />t<sub>2</sub> = γ(t’<sub>2</sub> + Vx’<sub>2</sub>/c²)<br /><br />x<sub>1</sub> = γ(x’<sub>1</sub> + Vt’<sub>1</sub>)<br /><br />x<sub>2</sub> = γ(x’<sub>2</sub> + Vt’<sub>2</sub>)<br /></div><br />Sustituyendo estas cuatro relaciones en la relación anterior y simplificando y reduciendo lo más posible, obtenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (ct’<sub>2 </sub>- ct’<sub>1</sub>)² - (x’<sub>2</sub> - x’<sub>1</sub>)²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (cΔt’)² - (Δx’)²<br /><br />Δs² = (Δs’)²<br /></div><br />En todo intervalo relativístico identificamos dos partes claramente distiguibles, el componente <span style="font-style: italic;">espacial:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">(Δx)² - (Δy)² - (Δz)²<br /></div><br />y el componente<span style="font-style: italic;"> temporal: </span><br /><br /><div style="text-align: center;">(cΔt)²<br /></div><br />Cuando en un intervalo relativista entre dos eventos predomina el componente temporal sobre el componente espacial, lo llamamos un<span style="font-weight: bold;"> intervalo tipo temporal</span> (<span style="font-style: italic;">timelike</span>). Cuando en un intervalo relativista predomina el componente espacial sobre el componente temporal, lo llamamos <span style="font-weight: bold;">intervalo tipo espacial</span> (<span style="font-style: italic;">spacelike</span>). Y cuando en un intervalo relativista el componente espacial es igual al componente temporal (en cuyo caso el intervalo será igual a cero) se le conoce como <span style="font-weight: bold;">intervalo tipo luminoso</span> (<span style="font-style: italic;">lightlike</span>) o <span style="font-weight: bold;">intervalo nulo</span> (<span style="font-style: italic;">null</span>).<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Para los pares de eventos cuyas coordenadas (ct, x, y, z) en algún marco de referencia son las que se dan a continuación, clasificar la separación entre cada par de eventos como tipo temporal, tipo espacial, o tipo luminoso.</span><br /><br />a) <span style="font-style: italic;">(0,0,0,0) y (-1,1,0,0)</span><br />b) <span style="font-style: italic;">(1,1,-1,0) y (-1,1,0,2)</span><br />c) <span style="font-style: italic;">(6,0,1,0) y (5,0,1,0)</span><br />d) <span style="font-style: italic;">(-1,1,-1,1) y (4,1,-1,6)</span><br /><br />a) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">(0 -(-1))²</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- (0 - 1)² - (0 - 0)² - (0 - 0)²</span> = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- 1</span><br /><br />Puesto que la parte temporal es igual a la parte espacial, la separación es <span style="font-style: italic;">tipo luminoso</span>.<br /><br />b) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">(1 -(-1))²</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- (1 - 1)² - (-1 - 0)² - (0 - 2)²</span> = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">4</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- 5</span><br /><br />Puesto que la parte espacial es mayor que la parte temporal, la separación es <span style="font-style: italic;">tipo espacial</span>.<br /><br />c) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">(6 -5)²</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- (0 - 0)² - (1 - 1)² - (0 - 0)²</span> = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- 0</span><br /><br />Puesto que la parte temporal es mayor que la parte espacial, la separación es <span style="font-style: italic;">tipo temporal</span>.<br /><br />d) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">(-1 -4)²</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- (1 - 1)² - (-1 - (-1))² - (1 - 6)²</span> = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">25</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- 25</span><br /><br />Puesto que la parte temporal es igual a la parte espacial, la separación es <span style="font-style: italic;">tipo luminoso</span>.<br /><br />Si prescindimos de los símbolos Δ por sobreentenderse y designamos a <span style="font-style: italic;">x²+y²+z²</span> simplemente como <span style="font-style: italic;">r²</span>, el intervalo s² se puede simbolizar como:<br /><br /><div style="text-align: center;">s² = (ct)² - r²<br /></div><br />y en un diagrama espacio-tiempo tenemos entonces tres regiones distinguibles<span class="texhtml">:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiidqAmg8u13sYDey84a4-qobZtNKV9kU3UA21d4sc7VJYrmF8cCK0JK-lfgm2pN7uS-xb1tUkUzXi7Tg8q8tuBxQpTl4V9uDUym7WJtKOIm-yaVmH7iMCpjsaegqrS5MglfZ7Nenxv-LZz/s1600-h/signos_posibles_del_intervalo_relativistico.png"><img style="cursor: pointer; width: 318px; height: 305px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiidqAmg8u13sYDey84a4-qobZtNKV9kU3UA21d4sc7VJYrmF8cCK0JK-lfgm2pN7uS-xb1tUkUzXi7Tg8q8tuBxQpTl4V9uDUym7WJtKOIm-yaVmH7iMCpjsaegqrS5MglfZ7Nenxv-LZz/s400/signos_posibles_del_intervalo_relativistico.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5325349890168733938" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El origen en el diagrama espacio-tiempo (ct, r) = (0, 0) representa el “ahora”. En la región de color amarillo que representa el “futuro” que le espera al observador predomina el componente temporal sobre el componente espacial, con lo cual s² siempre es mayor que cero (positivo) y por lo tanto es una región de intervalos <span style="font-style: italic;">tipo temporal</span> (timelike). En la región de color ciano que representa el “pasado” que recorrió el observador también predomina el componente temporal sobre el componente espacial, con lo cual s² siempre es mayor que cero (positivo) y por lo tanto también es una región de intervalos tipo temporal (timelike). En las líneas que delimitan al cono de luz la componente temporal es igual a la componente espacial con lo cual s² = 0, y es aquí en donde tenemos a los intervalos <span style="font-style: italic;">tipo luminoso</span> que involucran rayos de luz. Y fuera de todo esto tenemos a los intervalos en donde el componente espacial es mayor que el componente temporal con lo cual s² es menor que cero (negativo) siendo por lo tanto la región de intervalos <span style="font-style: italic;">tipo espacial</span> (spacelike).<br /><br />La definición que se ha dado arriba para el intervalo relativista no es universal. Aunque es muy utilizada, muchos otros textos lo definen usando una convención <span style="font-style: italic;">inversa</span> de signos:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = - (cΔt)² + (Δx)² + (Δy)² + (Δz)²<br /></div><br />De cualquier manera, las definiciones que se han dado arriba para el intervalo tipo espacial, el intervalo tipo temporal, y el intervalo tipo luminoso, no cambian en lo absoluto, ya que en dichas definiciones lo que cuenta es la <span style="font-style: italic;">predominancia</span> de un componente sobre el otro. Sin embargo, es necesario hacer esta aclaración porque mientras que en textos sobre la relatividad como el de David W. Hogg el intervalo es considerado como un intervalo tipo espacial si Δs² es menor que cero (negativo), en otros libros como el de Kip Thorne la situación es al revés y el intervalo es considerado como un intervalo tipo espacial si Δs² es<span style="font-style: italic;"> mayor</span> que cero (positivo), siendo la diferencia ocasionada por la forma en la cual se ha definido a Δs².<br /><br /><span class="texhtml">Al tratar sobre el tema de </span>“<span class="texhtml">Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski</span>”<span class="texhtml"> en donde estudiamos la Teoría Especial de la Relatividad desde una perspectiva geométrica, había quedado un asunto pendiente, el asunto de graduar o calibrar tanto los ejes coordenados del observador en reposo O como del observador en movimiento O de modo tal que los diagramas espacio-tiempo se pudieran utilizar para una resolución de problemas un poco más cuantitativa que cualitativa. Esto lo podemos llevar a cabo, también geométricamente, utilizando lo que se conoce como la <span style="font-weight: bold;">hipérbola invariante</span>.<br /><br />Primero que nada, haremos un repaso de lo que es la hipérbola de acuerdo con la Geometría Analítica.<br /><br />Una <span style="font-weight: bold;">hipérbola</span> <span style="font-style: italic;">es el lugar de los puntos tales que la diferencia de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos es constante</span>. La hipérbola está dada por una ecuación como la siguiente:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-size:130%;">y² - x² = C²</span></span><br /></div><span class="texhtml"><br />en donde <span style="font-weight: bold;">C</span> es una constante numérica y cuya gráfica tiene el siguiente aspecto para <span style="font-weight: bold;">C</span> = 1:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWZfgnE5BfK1w6DssaBl4S19cRmCp9E9Y4oWf7LXPQxE_w5zn-GmLyzZByr5mQCZ3Zsg_6tR_3YHcTpLHs3rzUP5qHTo3IG5UcYGtQz61ti2gHy3nrCCypoWPB2jPXPoB_fPgpD1fhUr83/s1600-h/hiperbola.gif"><img style="cursor: pointer; width: 340px; height: 338px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWZfgnE5BfK1w6DssaBl4S19cRmCp9E9Y4oWf7LXPQxE_w5zn-GmLyzZByr5mQCZ3Zsg_6tR_3YHcTpLHs3rzUP5qHTo3IG5UcYGtQz61ti2gHy3nrCCypoWPB2jPXPoB_fPgpD1fhUr83/s400/hiperbola.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329413034618586162" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />Sin necesidad de tener que hacer cálculos numéricos, tal como lo hacían los griegos en la antigüedad (los cuales no conocían el álgebra y mucho menos la geometría analítica) podemos construír geométricamente la hipérbola mostrada arriba con un simple compás con el procedimiento que será dado a continuación. Primero localizamos sobre el eje-y dos puntos A y B que estén ubicados ambos a una distancia de 2 unidades del origen, o sea en los puntos A(0,2) y B(0,-2):<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLC3SRXXTNe5wQ8woxI2xgTbMMzkWmDEcvuEoEN-fFPrJcG3YxEbsDL9vlZOsiD57KeNz8X2D4pjfRjJAeiQvebMEmO30Z62GiwQmnXw-GTSu1agqsdj8F4kDeBAOrwvirBtKFKMCfGU5J/s1600-h/construccion_de_hiperbola_1.gif"><img style="cursor: pointer; width: 296px; height: 209px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLC3SRXXTNe5wQ8woxI2xgTbMMzkWmDEcvuEoEN-fFPrJcG3YxEbsDL9vlZOsiD57KeNz8X2D4pjfRjJAeiQvebMEmO30Z62GiwQmnXw-GTSu1agqsdj8F4kDeBAOrwvirBtKFKMCfGU5J/s400/construccion_de_hiperbola_1.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329414366055832850" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />A continuación, empezamos a trazar una curva de modo tal que para cualquier punto <span style="font-weight: bold;">P</span> de la curva la diferencia entre la distancia del punto <span style="font-weight: bold;">P</span> al punto <span style="font-weight: bold;">A</span> (<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">PA</span>) y del punto <span style="font-weight: bold;">P</span> al punto <span style="font-weight: bold;">B</span> (</span><span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">PB</span></span><span class="texhtml">) sea igual a una constante de 2 unidades, o sea:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">PB</span> - </span><span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">PA</span></span><span class="texhtml"> = 2</span><br /></div><span class="texhtml"><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBPfG9BM8iu3iTYNPSwBofL6L4jyx37CSGmr-Bt4CbHaHJ2Cf5LZRiaDvoSKg3JpVomsyAwYQq_35rFOW6G8OBitjaNaKTaYGjfdsNFucC215lXesarxXNRogZapbR5ednLRIEarRRsesw/s1600-h/construccion_de_hiperbola_2.gif"><img style="cursor: pointer; width: 288px; height: 253px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBPfG9BM8iu3iTYNPSwBofL6L4jyx37CSGmr-Bt4CbHaHJ2Cf5LZRiaDvoSKg3JpVomsyAwYQq_35rFOW6G8OBitjaNaKTaYGjfdsNFucC215lXesarxXNRogZapbR5ednLRIEarRRsesw/s400/construccion_de_hiperbola_2.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329416852074753778" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />Si continuamos adelante con nuestro procedimiento de construcción, iremos obteniendo una curva como la siguiente:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihY6t1Ut-tpGLxnW5fYpzVWIjK6EJ0suajEZFirGhZQkPDJIrDI7eVTLKgoes8SqLN6eugew_yuaVDPvG9fDV7hsKl2ucaWIBF1HxHBf1Mfg6sUhbDzMI7grNjhQTv24aYNNNM1_MUZZ2d/s1600-h/construccion_de_hiperbola_3.gif"><img style="cursor: pointer; width: 296px; height: 243px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihY6t1Ut-tpGLxnW5fYpzVWIjK6EJ0suajEZFirGhZQkPDJIrDI7eVTLKgoes8SqLN6eugew_yuaVDPvG9fDV7hsKl2ucaWIBF1HxHBf1Mfg6sUhbDzMI7grNjhQTv24aYNNNM1_MUZZ2d/s400/construccion_de_hiperbola_3.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329417343992773762" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />Aplicando el mismo procedimiento podemos construír la parte correspondiente al lado izquierdo de la curva. Una vez que hemos completado la construcción de la curva superior, podemos llevar a cabo la construcción de la parte inferior:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9z3wtvGz5lG95H-sTnI9ASX5vGxRXwfdEZ2m8Gsy07Y27PJ3AdgjPF-M_Uz7UTY4pmM-i30VfPKAD_iLC17jMMrMTNJodMVverMGXbjjr4_3X2FKETdkVh7KX5m3c-t9iOiwNQOUZKSLq/s1600-h/construccion_de_hiperbola_4.gif"><img style="cursor: pointer; width: 321px; height: 326px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9z3wtvGz5lG95H-sTnI9ASX5vGxRXwfdEZ2m8Gsy07Y27PJ3AdgjPF-M_Uz7UTY4pmM-i30VfPKAD_iLC17jMMrMTNJodMVverMGXbjjr4_3X2FKETdkVh7KX5m3c-t9iOiwNQOUZKSLq/s400/construccion_de_hiperbola_4.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329418341428714274" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />Para la curva inferior tenemos:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">PA</span> - </span><span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">PB</span></span><span class="texhtml"> = 2</span><br /></div><span class="texhtml"><br />Es importante destacar que una hipérbola en realidad son <span style="font-style: italic;">dos</span> curvas, las curvas que tenemos en el diagrama de arriba. En sus extremos, ambas curvas casi toman la forma de líneas rectas, conocidas como las <span style="font-style: italic;">asíntotas</span>.<br /><br />Hay también otra hipérbola, la cual está dada por la siguiente ecuación:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-size:130%;">x² - y² = C²</span></span><br /></div><span class="texhtml"><br />y cuya gráfica es la siguiente (el procedimiento de construcción es el mismo que el anterior):<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4I1RAStL05rngd_-Msii1OIlcdio-wVtbxrYPyf2PJrdZv7ZklXQz_zqkFUYCA45o8eKrhl0cfMs9ANgRLBZ-WXV9DozfvBeNgcG3Kf1zTjDVWkGThjg70BsNtWYC-A8-Ti9wTvulq1-q/s1600-h/hiperbola_2.gif"><img style="cursor: pointer; width: 318px; height: 296px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4I1RAStL05rngd_-Msii1OIlcdio-wVtbxrYPyf2PJrdZv7ZklXQz_zqkFUYCA45o8eKrhl0cfMs9ANgRLBZ-WXV9DozfvBeNgcG3Kf1zTjDVWkGThjg70BsNtWYC-A8-Ti9wTvulq1-q/s400/hiperbola_2.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329420864677149554" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />Si reescribimos la ecuación de la hipérbola<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-size:130%;">y² - x² = C²</span></span><br /></div><span class="texhtml"><br />hacemos el siguiente cambio de notación:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml">(</span>cΔt)² - (Δx)² = Δs²<br /><br />Δs² = <span class="texhtml">(</span>cΔt)² - (Δx)²<br /></div><span class="texhtml"><br /><span style="font-style: italic;">esto lo reconocemos inmediatamente como un intervalo relativista</span>. El intervalo no es solo una invariante de un marco de referencia a otro. Graficado sobre un diagrama espacio-tiempo resulta ser una hipérbola equilátera, conocida como la <span style="font-weight: bold;">hipérbola invariante</span>, la cual podemos trazar directamente sobre el diagrama espacio-tiempo.<br /><br />El hecho de que toda la curva hiperbólica represente una invariante de un marco de referencia a otro nos permite llevar a cabo algo que había quedado pendiente en la entrada </span>“<span class="texhtml">Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski</span>” en la construcción del diagrama espacio-tiempo: la calibración de los ejes de las coordenadas (x’,t’). Teniendo ya graduados <span class="texhtml">con divisiones iguales los ejes horizontal y vertical del diagrama espacio-tiempo correspondiente al observador estacionario O en el marco de referencia S, nos basta con construír hipérbolas para llevar las graduaciones respectivas a los dos ejes coordenados del observador O’. De este modo, en el siguiente diagrama, la graduación del punto <span style="font-weight: bold;">1</span> es llevada al punto <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">1</span></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">’</span><span class="texhtml"> del marco de referencia de <span style="color: rgb(255, 0, 0);">O</span></span><span style="color: rgb(255, 0, 0);">’</span><span class="texhtml">, y es llevada al punto <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">1</span></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">’’</span><span class="texhtml"> del marco de referencia del observador <span style="color: rgb(51, 51, 255);">O</span></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">’’</span><span class="texhtml"> que se mueve a una velocidad aún más cercana a la velocidad de la luz, y así sucesivamente:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgX8KSl9SDYVEuYbASzQrVcF2-jXv5VAVQw2lz4FTc-Gz8eH8VJNxCsyLg_iwu4PUw_NSQr8kjFCf9bDA17xEG5qudQ7E_W6T9YnXPoZeYPhYmBwwRHtJMZHzyEuwzBxIWWTqzm7WxlJJ7w/s1600-h/calibracion_de_los_ejes.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 396px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgX8KSl9SDYVEuYbASzQrVcF2-jXv5VAVQw2lz4FTc-Gz8eH8VJNxCsyLg_iwu4PUw_NSQr8kjFCf9bDA17xEG5qudQ7E_W6T9YnXPoZeYPhYmBwwRHtJMZHzyEuwzBxIWWTqzm7WxlJJ7w/s400/calibracion_de_los_ejes.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329806037198110306" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />De este modo así es como llegamos a tener la siguiente graduación de ejes:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_0Hb8z9L0ze-x_lPUBpqyIKEiFc50WUhfO8dU5BOOx2HC03R7glUqY73Qn0JYVpvcFGOIvxVJwzxjAnGyZiJgg7hI58mf6iSPNUx8ONfnfizR5trW4YNK_aI5QZWJshJGnpphZPB9Cd6H/s1600-h/calibracion_de_los_ejes_de_S'.png"><img style="cursor: pointer; width: 306px; height: 274px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_0Hb8z9L0ze-x_lPUBpqyIKEiFc50WUhfO8dU5BOOx2HC03R7glUqY73Qn0JYVpvcFGOIvxVJwzxjAnGyZiJgg7hI58mf6iSPNUx8ONfnfizR5trW4YNK_aI5QZWJshJGnpphZPB9Cd6H/s400/calibracion_de_los_ejes_de_S'.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329813175544367362" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />A continuación tenemos la siguiente hipérbola invariante sobre la cual se han llevado a cabo algunos cálculos numéricos sobre el intervalo relativista </span><span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">AB</span></span><span class="texhtml"> para un objeto que se desplaza del punto B al punto A:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi66TixPnpsTzSVjmJJoPkMTXcNhXfiHG9uYWt0cU6SnniQDXJZyvcSc-jmE45Ahh12HDo1cV4522Q-8Xu4PTdrQya-qw85CcZnOx3A5H5MkRO35Tn5cwYbWAkyPBpqCxWw9b4tZUC46PTw/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_hiperbola.png"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi66TixPnpsTzSVjmJJoPkMTXcNhXfiHG9uYWt0cU6SnniQDXJZyvcSc-jmE45Ahh12HDo1cV4522Q-8Xu4PTdrQya-qw85CcZnOx3A5H5MkRO35Tn5cwYbWAkyPBpqCxWw9b4tZUC46PTw/s400/diagrama_espacio-tiempo_hiperbola.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5329410323361346834" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br />Y a continuación tenemos un ejemplo de una serie completa de hipérbolas equiláteras que se han construído sobre escalas graduadas:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisCg-KGRa7sbEobhAhj0SAsRobwwdN-JnyX5LwVTH9qL8Jt6UyMiDe8GXFCFbxYB1V-jAVqQYPkgrSRMQ-VxJWsgoxyJEIaxowmp9BkpM4cXUb2N0gnn1LgCXZFrVdwDsP9A5tyE9SgGuu/s1600-h/hiperbolas_equilateras.png"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisCg-KGRa7sbEobhAhj0SAsRobwwdN-JnyX5LwVTH9qL8Jt6UyMiDe8GXFCFbxYB1V-jAVqQYPkgrSRMQ-VxJWsgoxyJEIaxowmp9BkpM4cXUb2N0gnn1LgCXZFrVdwDsP9A5tyE9SgGuu/s400/hiperbolas_equilateras.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345785258109950498" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br /></span><span class="texhtml">Estamos ahora en una posición que nos permite explicar</span> la naturaleza del intervalo relativista como una invariante. Cuando dos naves espaciales pasan la una frente a la otra moviéndose a gran velocidad en direcciones contrarias, los viajeros de cada nave verán ciertos cambios en la apariencia de la otra nave así como cambios en el comportamiento de los relojes de la otra nave. Esto se debe a que el espacio y el tiempo no son absolutos que tengan una existencia independiente el uno del otro. Son, por así decirlo, proyecciones de <span style="font-style: italic;">sombras</span> de <span style="font-style: italic;">un objeto cuatri-dimensional</span>, del mismo modo que la sombra de un cubo nos muestra únicamente una imagen en dos dimensiones de algo que en realidad tiene una existencia en tres dimensiones:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEho0d17Ou6lDFwmvKyiemZaMh0ANrNS50WcR6gABa-FCPdzkjZfBvJct_304ruoT9tqRRHUhzJI9Dw0PfALDOUHQkiDBHqAmzqsvzZopYVfYWTNGn1C1TPktRlqRogG0cl1M2EDNLItUj1q/s1600-h/sombra_de_proyeccion.png"><img style="cursor: pointer; width: 215px; height: 225px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEho0d17Ou6lDFwmvKyiemZaMh0ANrNS50WcR6gABa-FCPdzkjZfBvJct_304ruoT9tqRRHUhzJI9Dw0PfALDOUHQkiDBHqAmzqsvzZopYVfYWTNGn1C1TPktRlqRogG0cl1M2EDNLItUj1q/s400/sombra_de_proyeccion.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345068527491169890" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Si vemos un invernadero por arriba, por el frente, y por uno de sus lados:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt9AyN7br6X7ToxevqdoRhX7nsZUY1mRD_dE3ycYTYu8fiNDa1BJFasJtkG5_y5XZMg90lE4FOSCWpTNMvBChNXxUaweaYRpID1ozbRjPU4RvdBxFd3IottV0iMHLbUnx5WPEdkDz15ez6/s1600-h/planos_de_proyeccion.png"><img style="cursor: pointer; width: 321px; height: 271px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt9AyN7br6X7ToxevqdoRhX7nsZUY1mRD_dE3ycYTYu8fiNDa1BJFasJtkG5_y5XZMg90lE4FOSCWpTNMvBChNXxUaweaYRpID1ozbRjPU4RvdBxFd3IottV0iMHLbUnx5WPEdkDz15ez6/s400/planos_de_proyeccion.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345071082706158578" border="0" /></a><br /></div><br /><br />resulta obvio que mientras que la vista desde arriba parece mostrarnos un objeto rectangular delgado, al movernos hacia abajo la vista de lado parece mostrarnos un objeto menos rectangular, menos delgado. El objeto en sí no cambia de forma ni de tamaño, lo único que cambia es la proyección de su sombra hacia un plano de dos dimensiones. De la misma manera, en relatividad lo que un observador aprecia es un objeto de <span style="font-style: italic;">cuatro dimensiones</span>, como en el caso de los viajeros en las dos naves espaciales, los cuales ven proyecciones tri-dimensionales diferentes de un mismo objeto dependiendo de su movimiento relativo en relación a dicho objeto. En algunos casos, la <span style="font-style: italic;">proyección de la sombra</span> muestra más de tiempo que de espacio, y en otros casos muestra más de espacio que de tiempo. Los cambios que un viajero en una de las naves observa en las dimensiones de espacio y de tiempo de la otra nave pueden ser explicados como una especie de “rotación” en el espacio-tiempo, la cual ocasiona que se alteren las proyecciones de las sombras arrojadas por el espacio y el tiempo. Esto es precisamente lo que tenía en mente Hermann Minkowski, el creador de los diagramas de espacio-tiempo, cuando señaló el 21 de septiembre de 1908 en su discurso de inauguración de la 80<span style="font-size:85%;">ava</span> reunión de la Asamblea General Alemana de científicos naturales y físicos: “Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. De aquí en delante, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse como meras sombras, y tan sólo una unión de ambos puede preservar una realidad independiente”. Y esta idea la podemos ver reflejada claramente en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski que muestra el intervalo entre dos eventos A y B:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjI41U7Ujb0PM-t19QaPoEJd6977swWbefDDz2zLutIQ2llDYWoBvlEcfZVlv9SzS4hDl6KL8Uwv7358HL1bjjO4eQYrkbAzhyxvWLdmznCCS5Dr0UTBfUYA8opGE2TBB31yJuapVBBhHqu/s1600-h/proyecciones_del_intervalo_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 378px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjI41U7Ujb0PM-t19QaPoEJd6977swWbefDDz2zLutIQ2llDYWoBvlEcfZVlv9SzS4hDl6KL8Uwv7358HL1bjjO4eQYrkbAzhyxvWLdmznCCS5Dr0UTBfUYA8opGE2TBB31yJuapVBBhHqu/s400/proyecciones_del_intervalo_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345472428309144178" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En este diagrama espacio-tiempo tenemos el privilegio de ver un intervalo cuatri-dimensional <span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">AB</span></span> cuya sombra proyectada sobre el espacio del observador O en el eje <span style="font-weight: bold;">X</span> (de color verde) tiene una magnitud diferente de su sombra proyectada sobre el espacio del observador O’ en el eje <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">X’</span> (de color ciano), y cuya sombra proyectada sobre el tiempo del observador O en el eje <span style="font-weight: bold;">ct</span> (de color verde) tiene una magnitud diferente de su sombra proyectada sobre el tiempo del observador O en el eje<span style="font-weight: bold;"> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">ct’</span></span> (de color ciano), pero nosotros que lo estamos viendo “desde arriba” lo vemos <span style="font-style: italic;">tal como es</span>.<br /><br />Lo importante a captar aquí es el hecho de que la estructura espacio-tiempo, la estructura <span style="font-style: italic;">cuatri-dimensional</span> de un objeto tal como una nave espacial, es algo tan rígido como lo era en la física clásica tri-dimensional. Esta es la diferencia esencial entre la teoría de la contracción de Lorentz-Fitzgerald ocasionada sobre los objetos físicos al moverse en el espacio venciendo la resistencia del supuesto éter, y la contracción Einsteniana. Para Lorentz, la contracción era una contracción real de un objeto tri-dimensional, mientras que para Einstein el objeto “real” es un objeto cuatri-dimensional que no cambia en lo absoluto, un objeto que cuyos cambios aparentes se deben a que es visto desde diferentes ángulos. Su proyección tri-dimensional en el espacio y su proyección uni-dimensional en el tiempo pueden cambiar, pero el objeto cuatri-dimensional del espacio-tiempo no cambia en nada. De este modo, el intervalo cuatri-dimensional entre dos eventos en el espacio-tiempo es un intervalo absoluto, invariante. Dos observadores distintos moviéndose el uno con respecto al otro a grandes velocidades estarán en desacuerdo sobre qué tan separados estarán dos eventos en el espacio, o qué tan separados estarán los dos eventos en el tiempo, pero dos observadores diferentes siempre estarán en total acuerdo sobre qué tan separados están dos eventos en el <span style="font-style: italic;">espacio-tiempo</span>. En su libro “Spacetime Physics”, E. F. Taylor y J. A. Wheeler lo ponen de la siguiente manera: “El espacio es diferente para dos observadores distintos. El tiempo es diferente para dos observadores distintos. Pero el espacio-tiempo es el mismo <span style="font-style: italic;">para todos</span>”.<br /><span class="texhtml"><br />Desde una perspectiva más formal, podríamos preguntarnos: ¿por qué el <span style="font-style: italic;">intervalo relativista</span> es una cantidad que permanece inalterable de un marco de referencia a otro?<br /><br />Para responder a esta última pregunta, haremos un repaso sobre la interpretación física y geométrica que les damos a las cantidades conocidas como los <span style="font-weight: bold;">escalares</span> y los <span style="font-weight: bold;">vectores</span>.<br /><br />Los <span style="font-weight: bold;">escalares</span> son cantidades tales como la temperatura de un cuerpo o el color de una esmeralda. Tales cantidades no tienen dirección alguna que se les pueda asignar, y son cantidades que permanecen invariables sin cambiar en lo absoluto cuando se cambia de un marco de referencia a otro.<br /><br />En cambio los <span style="font-weight: bold;">vectores</span> representan cantidades que apuntan definitivamente en cierta dirección, como la dirección en la cual está soplando el viento o como la dirección en la cual se está moviendo la Luna en un momento dado al girar en torno a la Tierra. Esta es la razón por la cual frecuentemente se representan en los pizarrones con una flechita puesta encima de ellos.<br /><br />Un objeto que se está moviendo en línea recta en la dirección del eje de las equis (en un plano Cartesiano x-y) puede ser representado como una flecha apuntando en una dirección específica (+x) en la cual su <span style="font-style: italic;">vector velocidad</span> tiene cierta longitud que se representará de mayor magnitud cuanto mayor sea la velocidad del objeto. Supóngase para fines de demonstración numérica que se trata de un avión moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 50 metros por segundo.<br /><br />Ahora bien, si le damos al vector velocidad una rotación con respecto al origen, <span style="font-style: italic;">la magnitud del vector no cambiará</span>, lo que cambiarán serán <span style="font-weight: bold;">las componentes</span> utilizadas para especificarlo. Es así como podemos tener un vector en <span style="font-style: italic;">dos dimensiones</span> como el siguiente:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZl-O9u0UpAvROyh-mlRjvGhA4iekIlbqk23uV9Ol8OR_2BWOFlwdcJZKfK7b-EMwWEQzu_MaDsb7wUmwVAB37O0sBAGjOOVmi8N3MVmRsjMfq5cmScjwTfbi-a4F2X3bVOv2WuCFJixlg/s1600-h/vector_en_dos_dimensiones.png"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 298px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZl-O9u0UpAvROyh-mlRjvGhA4iekIlbqk23uV9Ol8OR_2BWOFlwdcJZKfK7b-EMwWEQzu_MaDsb7wUmwVAB37O0sBAGjOOVmi8N3MVmRsjMfq5cmScjwTfbi-a4F2X3bVOv2WuCFJixlg/s400/vector_en_dos_dimensiones.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320604047254731346" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />Podemos imaginar al avión representado por la línea <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);">m</span> moviéndose en dirección Norte-Este a una velocidad de 5 metros por segundo. La magnitud de la velocidad sigue siendo la misma, pero su dirección ha cambiado. Podemos imaginar que su velocidad horizontal ha disminuído a 3 metros por segundo pero que un viento que está soplando de Sur a Norte lo está empujando a una velocidad de 4 metros por segundo. Por el teorema de Pitágoras, la magnitud de la velocidad es de 5 metros por segundo. La velocidad total tiene dos componentes, una componente horizontal de 3 metros por segundo y una componente vertical de 4 metros por segundo.<br /><br />No hay razón alguna por la cual tengamos que limitar a nuestro vector a un espacio bidimensional. Podemos imprimirle otra rotación adicional para situarlo en un espacio tridimensional. El vector velocidad de esta manera estará especificado por <span style="font-style: italic;">tres componentes</span>, las cuales requieren de tres planos diferentes, <span style="font-style: italic;">ortogonales</span> (situados a ángulos rectos el uno del otro) entre sí:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4cXtRYS1yeGcSTMtbmTBzGaSaCMOyMTP8bQZSWoFlnNDDskCvjCBEGrXXBwpZ5JoGjBIRsT9IfiXYcTi4vBso3O_5_Qr4doJhqt8lfgZhErX2a80YihxY7E9w7B3CJl3Y2b-RJgWZarzC/s1600-h/hojas_planas_coordenadas_Cartesianas_3_dimensiones.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 241px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4cXtRYS1yeGcSTMtbmTBzGaSaCMOyMTP8bQZSWoFlnNDDskCvjCBEGrXXBwpZ5JoGjBIRsT9IfiXYcTi4vBso3O_5_Qr4doJhqt8lfgZhErX2a80YihxY7E9w7B3CJl3Y2b-RJgWZarzC/s400/hojas_planas_coordenadas_Cartesianas_3_dimensiones.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320606470490743490" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />para poder especificar a nuestro vector tridimensional mediante tres componentes, siendo cada componente la proyección del vector sobre cada uno de los planos:<br /><br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5pn7yj0t44KgdhwptqkDXABgyRyW-oXyyE-24HHCtWO82YXBhvGkC2_pQb1QyQrBkShS511qYOLMHmMob5_v4tQ-Jb_JIiPZPYlmVuXGMqUCK2fNNZyh9dhPGbSoYnzK6hd6rJRjYppzJ/s1600-h/coordenadas_Cartesianas_3_dimensiones.png"><img style="cursor: pointer; width: 360px; height: 321px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5pn7yj0t44KgdhwptqkDXABgyRyW-oXyyE-24HHCtWO82YXBhvGkC2_pQb1QyQrBkShS511qYOLMHmMob5_v4tQ-Jb_JIiPZPYlmVuXGMqUCK2fNNZyh9dhPGbSoYnzK6hd6rJRjYppzJ/s400/coordenadas_Cartesianas_3_dimensiones.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320606860806478562" border="0" /></a><br /><div style="text-align: left;"><br />De este modo, podemos especificar nuestro vector en un plano Cartesiano tridimensional de una manera como la siguiente:<br /><br /><br /></div></div><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuu6noK8Qznt0oOBHY5CDnGTar6I_XlPeyiwTcRopzz7qT1gZAMZX9jGNW2S2eKVcwr5P45brUmFfXgRFmK8Otn9owK27wRzBt1HVMSm_J85eQIsGgprwlyOR3GWbKq48ZhH12VTIh5K75/s1600-h/vector_en_tres_diimensiones.png"><img style="cursor: pointer; width: 296px; height: 280px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuu6noK8Qznt0oOBHY5CDnGTar6I_XlPeyiwTcRopzz7qT1gZAMZX9jGNW2S2eKVcwr5P45brUmFfXgRFmK8Otn9owK27wRzBt1HVMSm_J85eQIsGgprwlyOR3GWbKq48ZhH12VTIh5K75/s400/vector_en_tres_diimensiones.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320607464464482322" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br /><br />Representamos la descomposición del vector <span style="font-weight: bold;">A</span> en tres componentes como un triplete ordenado:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">A</span> = ( a<sub>x </sub>, </span><span class="texhtml">a<sub>y</sub></span> , <span class="texhtml">a<sub>z</sub></span> )<br /></div><span class="texhtml"><br />Nuevamente, la longitud del vector <span style="font-style: italic;">sigue siendo la misma</span>, lo único que ha cambiado es su representación en un espacio tridimensional en vez de un espacio bidimensional.<br /><br />Ahora viene un salto que al principio requiere algo de fé. Supondremos la existencia de un espacio en <span style="font-style: italic;">cuatro dimensiones</span>, y que el vector que hemos estado considerando de alguna manera puede ser girado (rotado) de modo tal que el vector tenga ahora proyecciones sobre cada una de estas cuatro dimensiones. El vector ahora tendrá cuatro componentes que podemos escribir como una cuadrupla ordenada:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">A</span> = ( a<sub>1 </sub>, </span><span class="texhtml">a<sub>2</sub></span> , <span class="texhtml">a<sub>3</sub></span> , <span class="texhtml">a<sub>4</sub></span> )<br /></div><br /><span class="texhtml">Geométricamente hablando, nos es imposible poder visualizar un espacio de cuatro dimensiones porque nuestros cerebros están</span> “<span class="texhtml">alambrados</span>”<span class="texhtml"> para trabajar y pensar en tres dimensiones. Pero, matemáticamente hablando, no hay nada que nos impida hacer tal descomposición de nuestro vector en cuatro componentes <span style="font-style: italic;">bajo la condición de que la longitud del vector siga permaneciendo la misma</span>. La longitud del vector, en efecto, <span style="font-weight: bold;">debe permanecer invariante en todo momento</span>.<br /><br />La pregunta ahora es: ¿cómo podemos evaluar la longitud de un vector cuando ese vector está especificado en un espacio de cuatro dimensiones?<br /><br />La respuesta obvia consiste en tratar de extender el <span style="font-style: italic;">teorema de Pitágoras</span> hacia un espacio de varias dimensiones, empezando con lo que ya se tiene y se sabe que es cierto. En un plano de dos dimensiones, el teorema de Pitágoras que nos permite obtener la longitud <span style="font-weight: bold;">d</span> de un vector trazado en un plano nos dice que para todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa <span style="font-weight: bold;">c</span> es igual a la suma de los cuadrados de los catetos <span style="font-weight: bold;">a</span> y <span style="font-weight: bold;">b</span>:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">d</span>² =<span style="font-weight: bold;"> a</span>² +<span style="font-weight: bold;"> b</span>²</span><br /></div><span class="texhtml"><br />De este modo, la longitud del vector, <span style="font-style: italic;">que es invariable porque es un escalar</span>, se obtiene simplemente sacando la raíz cuadrada de ambos lados:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuwxuXO8UYhRXCEFomM61LwRrL0mBexhX3wfnRDncxaQD4O1uu5Lrb70esThRiOVeUxwdJmYlPQrK9JlwsXxDbv1nt2b0PkVum8EWm_Rzm-VEKEhCLFhnYRzUxdtbn7rM8SRjlt_YUw2kW/s1600-h/formula_de_teorema_de_Pitagoras_en_dos_dimensiones.png"><img style="cursor: pointer; width: 180px; height: 55px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuwxuXO8UYhRXCEFomM61LwRrL0mBexhX3wfnRDncxaQD4O1uu5Lrb70esThRiOVeUxwdJmYlPQrK9JlwsXxDbv1nt2b0PkVum8EWm_Rzm-VEKEhCLFhnYRzUxdtbn7rM8SRjlt_YUw2kW/s400/formula_de_teorema_de_Pitagoras_en_dos_dimensiones.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320651790476161858" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br />¿Y cómo obtenemos la longitud de un vector tridimensional como el siguiente, en el cual no parece haber un triángulo con dos catetos?:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEju1XnzjJNV-c-dJ37cZrMRZE1opOCz7ciuO4jpAq5LxCquxLOwQQHi_tZ0wJje_w2WWO0h3CAzyg1vUDar7saQl41Eizl3hKLoeUORqvb7aq_7WJh97C8jzKzdMglXq3FugKIIflOq1d9A/s1600-h/teorema_de_Pitagoras_en_tres_dimensiones.gif"><img style="cursor: pointer; width: 250px; height: 195px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEju1XnzjJNV-c-dJ37cZrMRZE1opOCz7ciuO4jpAq5LxCquxLOwQQHi_tZ0wJje_w2WWO0h3CAzyg1vUDar7saQl41Eizl3hKLoeUORqvb7aq_7WJh97C8jzKzdMglXq3FugKIIflOq1d9A/s400/teorema_de_Pitagoras_en_tres_dimensiones.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320652125404751170" border="0" /></a><br /></div><br />Lo podemos hacer de la siguiente manera. Primero obtenemos la longitud <span style="font-weight: bold;">L</span> de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los catetos <span style="font-weight: bold;">a</span> y<span style="font-weight: bold;"> b</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFg2QPO5kxEfTxCNgkfN7p5EXWqXVupskFabyJbMUZouW-twq9sODtIOnK-4RqS1UUXVJyYFlaJhTyIwkOLdIJ1zrd9sERVvVwHExcXmapPDR4j377wh7NrKrWoNCH3yw8QkUMWhCnDD6K/s1600-h/derivacion_formula_teorema_de_Pitagoras_tres_dimensiones_1.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 250px; height: 195px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFg2QPO5kxEfTxCNgkfN7p5EXWqXVupskFabyJbMUZouW-twq9sODtIOnK-4RqS1UUXVJyYFlaJhTyIwkOLdIJ1zrd9sERVvVwHExcXmapPDR4j377wh7NrKrWoNCH3yw8QkUMWhCnDD6K/s400/derivacion_formula_teorema_de_Pitagoras_tres_dimensiones_1.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320652805144607282" border="0" /></a><br /></div><br />Por el teorema de Pitágoras en dos dimensiones, sabemos que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">L</span>² = <span style="font-weight: bold;">a</span>² + <span style="font-weight: bold;">b</span>²<br /></div><br />Una inspección al diagrama nos revela que el lado <span style="font-weight: bold;">L</span> es a su vez el cateto de otro triángulo rectángulo formado por los catetos <span style="font-weight: bold;">L</span> y <span style="font-weight: bold;">c</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtsKscBMy6gMWGBxydoID7lTrRc2liUYjcLhI9SCgx7IqKYJr11-dSARKWEf4C-zUxmKMZwk1Hu8bQtxtiwf02lm7W_96CdTxw8GbnpWofsGgQrsfsAo7USv3ZN1nKnS7-y8wDlWO-lQil/s1600-h/derivacion_formula_teorema_de_Pitagoras_tres_dimensiones_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 250px; height: 195px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtsKscBMy6gMWGBxydoID7lTrRc2liUYjcLhI9SCgx7IqKYJr11-dSARKWEf4C-zUxmKMZwk1Hu8bQtxtiwf02lm7W_96CdTxw8GbnpWofsGgQrsfsAo7USv3ZN1nKnS7-y8wDlWO-lQil/s400/derivacion_formula_teorema_de_Pitagoras_tres_dimensiones_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320653624601818642" border="0" /></a><br /></div><br />Para este triángulo rectángulo plano, la aplicación del teorema de Pitágoras nuevamente nos dá:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">d</span>² = <span style="font-weight: bold;">L</span>² + <span style="font-weight: bold;">c</span>²<br /></div><br />Pero puesto que <span style="font-weight: bold;">L</span>² = <span style="font-weight: bold;">a</span>² + <span style="font-weight: bold;">b</span>², tenemos entonces que la longitud de un vector tridimensional cuyas componentes en los tres ejes son <span style="font-weight: bold;">a</span>, <span style="font-weight: bold;">b</span> y <span style="font-weight: bold;">c</span> está dada por la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4Z2pc79OPr7GtrLQtTHGUAtZxKU7JyKyqVh60rznZIuBSTQwMcZpY8SV89lJ95dIV-sICvM9ZyABpr_VAXhSQIxTLP8Y4F85DZRLeRi7FzLKVbBdaPaJ0fzj2ae1nAq_GVVLytDXUDgS2/s1600-h/formula_de_teorema_de_Pitagoras_en_tres_dimensiones.gif"><img style="cursor: pointer; width: 232px; height: 55px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4Z2pc79OPr7GtrLQtTHGUAtZxKU7JyKyqVh60rznZIuBSTQwMcZpY8SV89lJ95dIV-sICvM9ZyABpr_VAXhSQIxTLP8Y4F85DZRLeRi7FzLKVbBdaPaJ0fzj2ae1nAq_GVVLytDXUDgS2/s400/formula_de_teorema_de_Pitagoras_en_tres_dimensiones.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320654913091262466" border="0" /></a><br /></div><br />Este es esencialmente el <span style="font-weight: bold;">teorema de Pitágoras en tres dimensiones</span>. El mismo procedimiento que hemos llevado a cabo aquí lo podemos utilizar para ir extendiendo la fórmula del teorema de Pitágoras hacia un espacio de cuatro dimensiones, aunque no nos sea posible visualizarlo, e inclusive la podemos ir extendiendo hacia un espacio n-dimensional con cualquier cantidad n de dimensiones.<br /><br />Para un vector <span style="font-weight: bold;">V</span> cuyas tres componentes están dadas por el triplete (<span>a</span>, <span>b</span>, <span>c</span>), la cantidad la podemos representar de la siguiente manera como el producto de los componentes respectivos del vector con los cuales obtenemos la longitud del vector:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span>a</span>² + <span>b</span>² + <span>c</span>² = <span>a</span>·<span>a</span> +<span style="font-weight: bold;"> </span><span>b·</span><span>b</span> + <span>c</span>·<span>c</span><br /><br /><span>a</span>² + <span>b</span>² + <span>c</span>² = <span>d</span>·<span>d</span></div><br />Esta es precisamente la forma en la cual obtenemos la longitud de un vector, más formalmente (y más pomposamente) conocida como la <span style="font-weight: bold;">norma de un vector</span>; multiplicando los componentes rectangulares respectivos, sumándolos y extrayendo la raíz cuadrada. La longitud de un vector en n dimensiones cuyas componentes sean <span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub><span class="texhtml"> , </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub><span class="texhtml"> , </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">3</sub><span class="texhtml"> ... </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">n</sub> estará dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUPOAyxzq0x3T84Ro3XrfeAK24cifRIF_XpfSWExzAJ2Kksinqxm6quGPzYTW3WLOvQZ89Pcexhet17WOrnY7aUsIs9HQAaeteWE32BT1x9E2sA8S9ElxnwjM8EezTXngyhzAMw73nQqH2/s1600-h/longitud_de_un_vector_en_n_dimensiones.png"><img style="cursor: pointer; width: 232px; height: 51px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUPOAyxzq0x3T84Ro3XrfeAK24cifRIF_XpfSWExzAJ2Kksinqxm6quGPzYTW3WLOvQZ89Pcexhet17WOrnY7aUsIs9HQAaeteWE32BT1x9E2sA8S9ElxnwjM8EezTXngyhzAMw73nQqH2/s400/longitud_de_un_vector_en_n_dimensiones.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320662499126840466" border="0" /></a><br /></div><br />En un espacio de cuatro dimensiones, como el que tenemos en la Teoría Especial de la Relatividad en donde la cuarta dimensión está especificada por la longitud obtenida al multiplicar la constante c (la velocidad de la luz) por la variable tiempo, la <span style="font-style: italic;">longitud</span> de un vector cuatri-dimensional es <span style="font-weight: bold;">invariable</span> por ser una magnitud <span style="font-style: italic;">escalar</span>, y en este caso el <span style="font-weight: bold;">vector</span> que une a dos eventos diferentes <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> y <span style="font-weight: bold;">E</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> en ese espacio de cuatro dimensiones también tendrá la misma longitud al darle una rotación en algún sentido al cambiar de un marco de referencia a otro. Esta es la razón del por qué el intervalo relativista es una cantidad <span style="font-style: italic;">invariable</span>, porque se trata de una longitud (o mejor dicho, el cuadrado de una longitud), se trata de un escalar.<span class="texhtml"><br /><br />El teorema de Pitágoras extendido a cinco dimensiones nos diría “el cuadrado de la hipotenusa <span style="font-weight: bold;">d</span> de un triángulo rectángulo concebido en cinco dimensiones es igual a la suma de los cuadrados de los cinco </span>“<span class="texhtml">catetos” adyacentes <span style="font-weight: bold;">a</span>, <span style="font-weight: bold;">b</span>, <span style="font-weight: bold;">c</span>, <span style="font-weight: bold;">d</span> y <span style="font-weight: bold;">e</span> a la hipotenusa”:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml">d² = a² + b² + c² + d² + e²</span><br /></div><span class="texhtml"><br />Este es el teorema de Pitágoras extendido a cinco dimensiones. Ahora bien, si definimos una “distancia” s² en cuatro dimensiones de la siguiente manera:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml">s² = </span><span class="texhtml">a² - b² - c² - d²</span><span class="texhtml"> </span><br /></div><span class="texhtml"><br />el lector podrá objetar diciendo que esto <span style="font-style: italic;">ya no es el teorema de Pitágoras</span>, a causa de la introducción de los signos negativos reemplazando a los signos positivos, máxime que esta definición <span style="font-style: italic;">abre la posibilidad de que la “distancia” s² sea cero pese a que ninguno de los componentes a, b, c y d sean cero</span>. Sin embargo, aunque esto no sea ya el teorema de Pitágoras “clásico”, esta es una definición perfectamente válida de </span><span class="texhtml">“distancia”</span><span class="texhtml">. <span style="font-style: italic;">Esta selección de signos nos ha proporcionado ya una cantidad invariable, el intervalo relativista</span>. Lo que hemos definido, más que una distancia clásica, es una <span style="font-style: italic;">métrica</span>. <span style="font-weight: bold;">La métrica contiene toda la información que necesitamos conocer para poder describir lo que sucede tanto en la Teoría Especial de la Relatividad como en la Teoría General de la Relatividad</span>. Y al ir ajustando nuestra manera de pensar nos estamos preparando mentalmente para dar el gran salto hacia los marcos de referencia <span style="font-style: italic;">acelerados</span> que estaban proscritos dentro de la Teoría Especial de la Relatividad.<br /><br />La razón por la cual en la Teoría de la Relatividad no nos resulta de utilidad alguna definir una distancia al </span>“<span class="texhtml">estilo</span><span class="texhtml">”</span><span class="texhtml"> del teorema de Pitágoras como la siguiente, usando únicamente signos positivos:<br /><br /></span><div style="text-align: center;">(cΔt)² + (Δx)² + (Δy)² + (Δz)²<br /></div><span class="texhtml"><br />es porque no resulta difícil comprobar que <span style="font-style: italic;">ésta cantidad no es una invariante bajo las transformaciones de Lorentz</span>, aunque se trate de una cantidad escalar. El primer requisito fundamental que toda métrica debe cumplir es que debe ser capaz de producir un intervalo <span style="font-style: italic;">invariante</span> al llevarse a cabo un cambio de coordenadas.<br /><br />Podemos representar de una manera más elegante (y mucho más útil) las componentes </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub><span class="texhtml"> , </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub><span class="texhtml"> , </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">3</sub><span class="texhtml"> y </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">4</sub><span class="texhtml"> de un vector cuatri-dimensional ya sea como un <span style="font-weight: bold;">vector renglón</span>:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml">[ </span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">1 </sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);" class="texhtml">_</span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">2 </sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);" class="texhtml">_</span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">3<span style="color: rgb(255, 255, 255);"> </span></sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);" class="texhtml">_</span><span style="font-weight: bold;">x</span><sub style="font-weight: bold;">4</sub><span class="texhtml">]</span><br /></div><span class="texhtml"><br />o como un <span style="font-weight: bold;">vector columna</span> (al cual en matemáticas se le llama <span style="font-style: italic;">transpuesta</span>):<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2z9aNmO4DTgTBpBpDXPUpPuAuyoelGYD9kMMyLpi0BDXE9lA8fBVUzEwsQtIkfKDxN6_YvgzgYl6StqiReOIpMy9stoZYQhgH8jsY4qhs95cs20IEdCFIcpW3cyzMVN0kIGfM0cmcYUdZ/s1600-h/vector_columna.png"><img style="cursor: pointer; width: 60px; height: 128px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2z9aNmO4DTgTBpBpDXPUpPuAuyoelGYD9kMMyLpi0BDXE9lA8fBVUzEwsQtIkfKDxN6_YvgzgYl6StqiReOIpMy9stoZYQhgH8jsY4qhs95cs20IEdCFIcpW3cyzMVN0kIGfM0cmcYUdZ/s400/vector_columna.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337949752370297954" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br />Estas dos definiciones nos permiten representar a la cantidad escalar:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">a·b</span> = a</span><sub>1</sub><span class="texhtml">b</span><sub>1</sub><span class="texhtml"> + </span><span class="texhtml">a</span><sub>2</sub><span class="texhtml">b</span><sub>2</sub><span class="texhtml"> + </span><span class="texhtml">a</span><sub>3</sub><span class="texhtml">b</span><sub>3</sub><br /></div><span class="texhtml"><br />como el producto matricial:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAN0rN3qXNx0uL4fUHufuJMbMDLYSIhA7AFFI2xkZQwYW4PYVSU_NNe1ICn7PyrtCr5BvzMZXmA1E7UpWRwYBFhDo24HP74Nsiz2QTBwcXAbsJdz0RxTIEzQrrAyJCPfDlxg3HTUOCJFhyphenhyphen/s1600-h/producto_escalar_de_vectores.png"><img style="cursor: pointer; width: 219px; height: 87px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAN0rN3qXNx0uL4fUHufuJMbMDLYSIhA7AFFI2xkZQwYW4PYVSU_NNe1ICn7PyrtCr5BvzMZXmA1E7UpWRwYBFhDo24HP74Nsiz2QTBwcXAbsJdz0RxTIEzQrrAyJCPfDlxg3HTUOCJFhyphenhyphen/s400/producto_escalar_de_vectores.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337950871329260450" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br />y, mucho más importante, representar a la cantidad escalar:<br /><br /></span><div style="text-align: center;">(cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²<br /></div><span class="texhtml"><br />como el producto de <span style="font-style: italic;">tres</span> matrices:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgd0sCybDT783o6LFa6OAuL-DZi15aWpTBiVDRZdY2f1BrWra64spE8fVjvHNsKRVKkHUopQIG_W5xQdAlPcwL7l_oBXw8fYWv0qeR1WdTdcocBAu0tgGZ6OPD2W3K4CrSyJHZV5S7hfYm/s1600-h/producto_matricial_relativista.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 389px; height: 110px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgd0sCybDT783o6LFa6OAuL-DZi15aWpTBiVDRZdY2f1BrWra64spE8fVjvHNsKRVKkHUopQIG_W5xQdAlPcwL7l_oBXw8fYWv0qeR1WdTdcocBAu0tgGZ6OPD2W3K4CrSyJHZV5S7hfYm/s400/producto_matricial_relativista.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5337951741861938690" border="0" /></a><br /></div><span class="texhtml"><br />El núcleo del asunto, lo verdaderamente importante, radica en la matriz intermedia, puesto que esta matriz es precisamente la matriz que nos define a la métrica, a la cual podemos llamar <span style="font-style: italic;">matriz métrica</span>. Es precisamente esta matriz la que nos proporciona el intervalo relativista que permanece invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Es precisamente esta matriz la que nos define un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span>, Euclideano, en el cual se cumple el quinto postulado de Euclides que nos dice que “dos rectas paralelas nunca se cruzan ni divergen separándose la una de la otra” (como las <span style="font-style: italic;">líneas del mundo</span> de los extremos de una vara de medir que está reposo y las cuales nunca se cruzan ni se separan en un diagrama espacio-tiempo). Y será esta matriz la que, con una selección diferente en sus 16 componentes, nos definirá un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span> en el que <span style="font-weight: bold;">no</span> se cumple el quinto postulado de Euclides.<br /><br />En la Teoría General de la Relatividad en donde los observadores ya no se mueven en línea recta a una velocidad constante el uno con respecto al otro, no nos es posible seguir considerando simples diferencias lineares </span><span style="font-weight: bold;">Δ</span><span class="texhtml"> entre las coordenadas por no mantenerse constantes dichas diferencias de un punto a otro. Tenemos que considerar intervalos relativísticos <span style="font-style: italic;">infinitesimales</span>. Así, en vez de usar la distancia<br /><br /></span><div style="text-align: center;">(cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²<br /></div><span class="texhtml"><br />tenemos que usar el intervalo relativista <span style="font-style: italic;">infinitesimal</span><br /><br /></span><div style="text-align: center;">(cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)²<br /></div><span class="texhtml"><br /></span><span class="texhtml">Este intervalo relativista es el intervalo que corresponde a un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span>, un <span style="font-style: italic;">espacio-tiempo Minkowski</span> o Lorentziano. Generalmente hablando, el intervalo que corresponde a un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span> como el que se estudia en la Teoría General de la Relatividad tiene una <span style="font-style: italic;">métrica</span> como la siguiente:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">g</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub>(cdt)² - <span style="color: rgb(255, 0, 0);">g</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">1</sub>(dx)² - <span style="color: rgb(255, 0, 0);">g</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">2</sub>(dy)² - <span style="color: rgb(255, 0, 0);">g</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">3</sub>(dz)²<br /></div><span class="texhtml"><br /></span>Como un anticipo de lo que nos espera en la Teoría General de la Relatividad, y como nuestro primer contacto con un espacio-tiempo curvo, a continuación tenemos lo que se conoce como la <span style="font-weight: bold;">métrica de Schwarzchild</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">ds² = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">(1 - 2GM/rc²)</span>(cdt)² - <span style="color: rgb(51, 51, 255);">(1 - 2GM/rc²)</span><sup style="color: rgb(51, 51, 255);"> -1</sup>(dr)² - <span style="color: rgb(51, 51, 255);">(r²)</span>(dθ)²<br /><br />- <span style="color: rgb(51, 51, 255);">(r² sen² θ)</span>(dφ)²<br /></div><span class="texhtml"><br />(Tómese nota de que, a diferencia de lo que ocurre con el<span style="font-style: italic;"> intervalo relativista</span> ds² considerado dentro de la Teoría Especial de la Relatividad para un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> como el que nos retratan los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, a ese mismo intervalo relativista ds² en la Teoría General de la Relatividad se le conoce ya sea con el nombre de <span style="font-weight: bold;">métrica</span> y con el nombre de <span style="font-weight: bold;">elemento de línea</span>, pero en realidad el concepto esencial sigue siendo el mismo extendido para un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span>.) La métrica que se acaba de dar arriba es la métrica que corresponde a una masa perfectamente esférica sin rotación alguna. Obsérvese con sumo cuidado que en esta métrica no estamos utilizando las coordenadas Cartesianas (x, y, z) que habíamos venido utilizando hasta ahora sino que estamos utilizando <span style="font-style: italic;">coordenadas esféricas</span>. (r, </span>θ<span class="texhtml">, </span>φ<span class="texhtml">). En la Teoría General de la Relatividad podemos utilizar no sólo otros tipos de coordenadas sino inclusive podemos inventar <span style="font-style: italic;">nuestros propios sistemas de coordenadas</span> como las <span style="font-weight: bold;">coordenadas Kruskal-Szekeres</span> inventadas por Martin Kruskal y George Szekeres (tomando como base la métrica de Schwarzchild) para describir el comportamiento del espacio-tiempo curvo en el interior del horizonte de uno de los objetos más interesantes cuya existencia es predicha por la Teoría General de la Relatividad: <span style="font-style: italic;">los agujeros negros</span>.<br /><br />Todo lo que sea invariante tiene un interés central en todo lo que tenga que ver con la Teoría de la Relatividad en virtud de un corolario de los postulados básicos conocido como el <span style="font-weight: bold;">Principio de covariancia</span>, el cual nos dice que <span style="font-style: italic;">las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los marcos de referencia</span>. La <span style="font-style: italic;">covariancia</span> de Lorentz (y análogamente la <span style="font-style: italic;">contravariancia</span> de Lorentz) o principio especial de la relatividad se refiere a la propiedad de ciertas ecuaciones físicas de no cambiar de forma bajo cambios de coordenadas de un tipo particular. Las leyes de la física tienen que tomar la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales. El requerimiento de covariancia de Lorentz afirma concretamente que si dos observadores usan coordenadas (x,y,z,ct) y (x',y',z',ct') tales que ambas se pueden relacionar mediantes las ecuaciones de transformación de Lorentz de las coordenadas, entonces cualesquiera dos ecuaciones que relacionen magnitudes que presentan covariancia de Lorentz <span style="font-style: italic;">se escribirán de la misma forma para ambos observadores</span>. Por lo tanto una magnitud, ecuación o expresión matemática que presenta covariancia de Lorentz responderá a la mismas </span>“<span class="texhtml">leyes</span>”<span class="texhtml"> o ecuaciones para todos los sistemas inerciales (es importante notar que si comparamos las medidas de un observador inercial con las de un observador<span style="font-style: italic;"> no inercial</span> que se está acelerando en vez de mantener su movimiento a una velocidad constante, la forma de las ecuaciones será diferente, lo cual se dá no sólo en la mecánica relativística sino en la mecánica Newtoniana en donde el estudio del movimiento de un cuerpo visto desde un sistema no-inercial en rotación requiere la inclusión de la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis, y por tanto sus ecuaciones para explicar el movimiento de un móvil cuentan con términos adicionales a las que escribiría un observador inercial, y por tanto las ecuaciones de movimiento no tienen la misma forma para un observador inercial que para uno no inercial.)<br /><br />Un ejemplo de la aplicación del <span style="font-style: italic;">principio de covariancia</span> lo sería la ley del gas ideal:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">PV = nRT</span></span><br /></div><span class="texhtml"><br />en donde P es la presión del gas contenido en un recipiente, V el volumen del gas dentro del recipiente, n es el número de moles del gas, R es la constante del gas ideal y T es la temperatura del gas. Esta es la fórmula que obtendría un observador en reposo en su laboratorio haciendo mediciones experimentales. Pero si el observador que está dentro de su laboratorio haciendo los experimentos para llegar a la anterior fórmula pasa a gran velocidad frente a nosotros en su marco de referencia S (o nosotros pasamos a gran velocidad frente a él), entonces dentro de nuestro marco de referencia S', haciendo mediciones sobre lo que él tiene en su laboratorio en su marco de referencia S <span style="font-style: italic;">nosotros debemos obtener la misma fórmula</span>:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;" class="texhtml"><span>P</span></span><span style="font-weight: bold;">’</span><span style="font-weight: bold;" class="texhtml"><span>V</span></span><span style="font-weight: bold;">’</span><span style="font-weight: bold;" class="texhtml"><span> = nRT</span></span><span style="font-weight: bold;">’</span><br /></div><span class="texhtml"><br />ya que si no la obtuviéramos así, si la hubiéramos obtenido en otra forma, entonces habríamos encontrado una manera de medir el movimiento absoluto.</span><span class="texhtml"> Y si la fórmula cambia, entonces tenemos que encontrar la forma en la cual se pueda expresar dicha fórmula de modo tal que permanezca invariante.<br /></span>Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-64524968633454659552009-03-18T20:05:00.000-07:002009-09-15T13:47:50.408-07:00Rotaciones y transformacionesEn la geometría Euclideana <span style="font-style: italic;">no-relativista</span> en dos dimensiones, al hablar acerca de una <span style="font-style: italic;">rotación</span> podemos estar haciéndolo en dos sentidos completamente equivalentes: la rotación de un objeto con respecto a los ejes coordenados manteniendo los ejes coordenados fijos, y la rotación de los ejes coordenados manteniendo al objeto fijo. En el primer caso, podemos suponer que tenemos un vector <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">0</sub> al cual le imprimimos una rotación en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en un ángulo θ, situándolo en su nueva posición como el vector <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v’</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNwNholmhofH6E50FXa4yQ28bGgNeE76nNWtFs3JhJ5pj3Sv2RXfToTgXktxtU5ef4SlTucogx8ol7wQqeI2wW4XHzwwJ3_rdfo1TJGuvRC6QugL0QuvrmcdG94i73VWbjKRDvgsz2yS33/s1600-h/matriz_de_rotacion_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 285px; height: 285px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNwNholmhofH6E50FXa4yQ28bGgNeE76nNWtFs3JhJ5pj3Sv2RXfToTgXktxtU5ef4SlTucogx8ol7wQqeI2wW4XHzwwJ3_rdfo1TJGuvRC6QugL0QuvrmcdG94i73VWbjKRDvgsz2yS33/s400/matriz_de_rotacion_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378795447285966738" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Para llevar a cabo matemáticamente esta operación de rotación, tomamos el vector original expresando en sus componentes rectangulares:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">0</sub> = (x, y)<br /></div><br />y le aplicamos un <span style="font-style: italic;">operador</span>, específicamente, una <span style="font-weight: bold;">matriz de rotación</span> <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v’</span> = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub> <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">0</sub><br /></div><br />Con mayor detalle, la matriz de rotación en este caso es una matriz 2x2 que consta de los siguientes componentes:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO7ixNkJJ58duBG_nTaeV6ui4p22jfQiapQe63IjhASeAiRHw6FhQUEy-ASuXrx8J3gZVUa-F1Xhgi9YttcY3qR4bt004Ww-KJ1gZfbVBFJvmamD0RTgTT_xVvNNZ4rqAieTtKOAw5U6Qs/s1600-h/matriz_de_rotacion_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 288px; height: 75px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO7ixNkJJ58duBG_nTaeV6ui4p22jfQiapQe63IjhASeAiRHw6FhQUEy-ASuXrx8J3gZVUa-F1Xhgi9YttcY3qR4bt004Ww-KJ1gZfbVBFJvmamD0RTgTT_xVvNNZ4rqAieTtKOAw5U6Qs/s400/matriz_de_rotacion_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378798298497938562" border="0" /></a><br /></div><br />En el segundo caso, podemos suponer que tenemos el mismo vector <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">0</sub> al cual <span style="font-style: italic;">sin moverlo del lugar en donde está</span> le imprimimos una rotación a los ejes coordenados en los que está especificado, siendo dicha rotación también una rotación en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en un ángulo θ, situándolo en su nueva posición como el vector <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEht-T4OeTLLD3jMt-ZoqXxoBN85HDBgKwQSPYDDsZDIRKfwX-LM1Z1iX5rz3Y25rn2qwg6BXKCW8Eb1JxC02kqyNS8S2QNDtqT9Yf0X2KrNcJLLmeLz7pJ44OcMjVMMvsjBPV5fz8NSitrX/s1600-h/matriz_de_rotacion_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 285px; height: 234px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEht-T4OeTLLD3jMt-ZoqXxoBN85HDBgKwQSPYDDsZDIRKfwX-LM1Z1iX5rz3Y25rn2qwg6BXKCW8Eb1JxC02kqyNS8S2QNDtqT9Yf0X2KrNcJLLmeLz7pJ44OcMjVMMvsjBPV5fz8NSitrX/s400/matriz_de_rotacion_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378799007846586514" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Esta operación de rotación de ejes coordenados se lleva a cabo matemáticamente en forma semejante al caso anterior:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v</span> = <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub> <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">v</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">0</sub><br /></div><br />en donde lo único que cambia es la matriz de rotación <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub>, la cual es ahora la siguiente matriz 2x2:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS5O5vo4dsVB61GHsXm1ub5aR6n9WkiOkKp-bOZWkkp2kNiKVut8NHUacZDFw2JgzAjKFiiLtvBm7BJucosanro_RSdbcnLmfE_BzABUbDOvV9pVG7HasIKkF2swfij5nmuPJnQd4DHcXk/s1600-h/matriz_de_rotacion_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 294px; height: 77px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS5O5vo4dsVB61GHsXm1ub5aR6n9WkiOkKp-bOZWkkp2kNiKVut8NHUacZDFw2JgzAjKFiiLtvBm7BJucosanro_RSdbcnLmfE_BzABUbDOvV9pVG7HasIKkF2swfij5nmuPJnQd4DHcXk/s400/matriz_de_rotacion_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378800808472442770" border="0" /></a><br /></div><br />En realidad, para obtener la matriz de rotación <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub>, lo único que se hace es substituír el ángulo θ por el ángulo - θ en la matriz <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub>, lo cual equivale a un giro en un ángulo <span style="font-style: italic;">negativo</span> (en sentido contrario), usando además el hecho de que sen(- θ) = - sen(θ) y cos(- θ) = cos(θ). <span style="font-weight: bold;">En ambos casos,</span> <span style="font-weight: bold;">tanto</span> <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub> <span style="font-weight: bold;">como</span> <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">R’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255); font-weight: bold;">θ</sub> <span style="font-weight: bold;">a fin de cuentas son lo mismo, una rotación de ejes.</span><br /><br />En la teoría del Álgebra Linear, el primer caso en el cual se rota el vector manteniéndose fijos los ejes coordenados la rotación es conocida como una rotación <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Alibi</span>, mientras que en el segundo caso en el cual se rotan los ejes coordenados manteniéndose fijo el vector la rotación es conocida como una rotación <span style="font-weight: bold;">Alias</span> (la figura de ejemplo muestra un vector de color rojo y de longitud igual a la unidad);<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYlMkb_8JVpoLBw22iqYLkkwfBmzDsXpkFSifzlJMI676WNASeVzJmXfXA2R_jfo7yRCrXKqgjmFoFTBzrJ9kyP4li0KevOBDhg7OEuLh3nmndN7p83l7mMRN6JrZJy1gKUkdqWV5PgCtC/s1600-h/rotaciones_alias_alibi.png"><img style="cursor: pointer; width: 350px; height: 248px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYlMkb_8JVpoLBw22iqYLkkwfBmzDsXpkFSifzlJMI676WNASeVzJmXfXA2R_jfo7yRCrXKqgjmFoFTBzrJ9kyP4li0KevOBDhg7OEuLh3nmndN7p83l7mMRN6JrZJy1gKUkdqWV5PgCtC/s400/rotaciones_alias_alibi.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378802064291796866" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Las rotaciones que se han llevado a cabo han sido sobre un espacio bi-dimensional Euclideano en torno al tercer eje, el eje-z:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii21fllfjr3XUYVWHeucr9DwkiG3oNgwqpd_0Yx0NGwWCDYlwfEERWisYp7SSKQD5Jp6kmpajFhmhvvvlJYwJSE2H2xkdZcZs_ELwLLTHzbYO8C5oOVwYrVXe1CpRlDprYCxUxLifT938q/s1600-h/rotacion_alrededor_del_eje_z.png"><img style="cursor: pointer; width: 311px; height: 249px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii21fllfjr3XUYVWHeucr9DwkiG3oNgwqpd_0Yx0NGwWCDYlwfEERWisYp7SSKQD5Jp6kmpajFhmhvvvlJYwJSE2H2xkdZcZs_ELwLLTHzbYO8C5oOVwYrVXe1CpRlDprYCxUxLifT938q/s400/rotacion_alrededor_del_eje_z.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378803550998258338" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Podemos llevar a cabo, desde luego, una rotación tal que dicha rotación no esté limitada exclusivamente a un plano bi-dimensional, sino que se lleve a cabo con respecto a los tres ejes sobre ángulos α, β y γ, en cuyo caso las matrices de rotación en torno a cada eje se pueden especificar de una manera como la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHgUz_-oDL2jzo4z7ChNKxfy9wTwS0as10H-jTHIFQlmfvTQiHzjA_nTIgEkr1OJ14QIGLcPsXEWqS8_SNk-OCjqwhhx1aqqy9MNOp8areY6IZgKxDeV860RdsqPVAunbaXXlaXeJVX5IY/s1600-h/ecuaciones_de_rotacion_tres_dimensiones.png"><img style="cursor: pointer; width: 185px; height: 212px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHgUz_-oDL2jzo4z7ChNKxfy9wTwS0as10H-jTHIFQlmfvTQiHzjA_nTIgEkr1OJ14QIGLcPsXEWqS8_SNk-OCjqwhhx1aqqy9MNOp8areY6IZgKxDeV860RdsqPVAunbaXXlaXeJVX5IY/s400/ecuaciones_de_rotacion_tres_dimensiones.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378804622652298802" border="0" /></a><br /></div><br />Estamos interesados ahora en extender el concepto de una rotación del espacio tri-dimensional Euclideano al espacio cuatri-dimensional relativista. Sin embargo, esto no es un asunto tan sencillo, en virtud de que mientras que la magnitud (la longitud) invariante de un vector en el espacio Euclideano está definida usando signos positivos en la adición vectorial de los componentes del vector:<br /><br /><div style="text-align: center;">║<span style="font-weight: bold;">V</span>║² = <span style="color: rgb(0, 0, 0);">V</span><sub style="color: rgb(0, 0, 0);">x</sub>² + <span style="color: rgb(0, 0, 0);">V</span><sub style="color: rgb(0, 0, 0);">y</sub>² + <span style="color: rgb(0, 0, 0);">V</span><sub style="color: rgb(0, 0, 0);">z</sub>²<br /></div><br />en la Teoría de la Relatividad el equivalente que viene siendo el <span style="font-style: italic;">intervalo relativista</span> tiene revueltos signos negativos y positivos:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²<br /></div><br />Esto significa que cualquier intento por aplicar las relaciones trigonométricas que definen a los ángulos a una rotación que se ha de llevar a cabo en el espacio cuatri-dimensional relativista se va a venir abajo.<br /><br />¿Significa esto que no podemos definir el equivalente de una rotación en el espacio cuatri-dimensional de la Teoría de la Relatividad?<br /><br />Interesantemente, esto aún es posible. Pero para lograrlo, tenemos que prescindir de la trigonometría regular y recurrir en cambio a otro tipo de funciones matemáticas que comparten muchas similitudes con las funciones e identidades de la trigonometría clásica. Nos estamos refiriendo a las <span style="font-style: italic;">funciones hiperbólicas</span>, de las cuales podemos empezar con la primera de ellas, el <span style="font-weight: bold;">seno hiperbólico</span> definido de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1GbminYT7FiRQo8ImV3pSSekRUtu6uNba1o05Gz_h2aRkyHY5UnAWMgh9kfez8XWzo_tZI7kEac-mzyfpEaBajJE8Bv6y7Px15u6ROIFMAcA9fHGc09TPcx-RCEsmT5RiGY6rYF_Aphur/s1600-h/seno_hiperbolico.png"><img style="cursor: pointer; width: 183px; height: 34px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1GbminYT7FiRQo8ImV3pSSekRUtu6uNba1o05Gz_h2aRkyHY5UnAWMgh9kfez8XWzo_tZI7kEac-mzyfpEaBajJE8Bv6y7Px15u6ROIFMAcA9fHGc09TPcx-RCEsmT5RiGY6rYF_Aphur/s400/seno_hiperbolico.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378808437815047282" border="0" /></a><br /></div><br />Además del seno hiperbólico, tenemos la definición del <span style="font-weight: bold;">coseno hiperbólico</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhthOoUMumJNp3He8qC459EPvfNhuQXCAJulZDgck-7VC8TQ-XMHMNKpHQ8IJk8T31YTx0B-fgD73peEHi_eExgw1tI_gUu4d2jHqdfILCTZhs6KUwWOvR6NcFx8sFEh15QEJBI5vSkoDns/s1600-h/coseno_hiperbolico.png"><img style="cursor: pointer; width: 186px; height: 35px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhthOoUMumJNp3He8qC459EPvfNhuQXCAJulZDgck-7VC8TQ-XMHMNKpHQ8IJk8T31YTx0B-fgD73peEHi_eExgw1tI_gUu4d2jHqdfILCTZhs6KUwWOvR6NcFx8sFEh15QEJBI5vSkoDns/s400/coseno_hiperbolico.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378808758266966850" border="0" /></a><br /></div><br />Con estas dos definiciones, podemos definir la <span style="font-weight: bold;">tangente hiperbólica</span> de la misma manera en la que se define en la trigonometría clásica como la razón que hay entre el seno y el coseno de un ángulo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9SSjP13y0UrJOoQCuNWoDpUTrHnffXr3B41TK6SLcWzWJQMp9d2Qm2n5oLxgRARWjzkQy-uATOO0kQVz6QZvrCvu-1xbiK7-4BDTKUBzXdvofXlRZVBwsMRy2kV9fC5mHEwj9rFMgrhxH/s1600-h/tangente_hiperbolica.png"><img style="cursor: pointer; width: 282px; height: 148px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9SSjP13y0UrJOoQCuNWoDpUTrHnffXr3B41TK6SLcWzWJQMp9d2Qm2n5oLxgRARWjzkQy-uATOO0kQVz6QZvrCvu-1xbiK7-4BDTKUBzXdvofXlRZVBwsMRy2kV9fC5mHEwj9rFMgrhxH/s400/tangente_hiperbolica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378809352098219634" border="0" /></a><br /></div><br />Con estas definiciones en nuestras manos, estamos en mejores condiciones para atacar el asunto al cual le queremos dar solución.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Demuéstrese que las ecuaciones de transformación de Lorentz que conectan a dos sistemas de referencia S y S</span>’ <span style="font-style: italic;"> pueden ser expresadas de la manera siguiente:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = x cosh(α) - ct senh(α)<br /><br />y’ = y<br /><br />z’ = z<br /><br />ct’ = - x senh(α) + ct cosh(α)<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">en donde tanh(α) = V/c. Demuéstrese que esta transformación de Lorentz corresponde a una rotación a lo largo de un ángulo α en el espacio cuatri-dimensional.</span><br /><br />Primero que nada, empezaremos con las transformaciones de Lorentz convencionales:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = γx - γVt<br /><br />y’ = y<br /><br />z’ = z<br /><br />ct’ = γct - (γV/c) x<br /></div><br />Puesto que el “empuje” (<span style="font-style: italic;">boost</span>) de Lorentz se lleva a cabo aquí únicamente a lo largo del eje-<span style="font-style: italic;">x</span> común sobre el cual hay un movimiento relativo a una velocidad V, podemos ignorar las componentes <span style="font-style: italic;">y’</span> y <span style="font-style: italic;">z’</span>, lo cual equivale a afirmar que la rotación que se llevará a cabo será una rotación limitada a dos dimensiones dentro del espacio cuatri-dimensional relativista. Con un ligero reacomodo podemos escribir las dos ecuaciones relevantes de modo tal que prepararemos el sistema para su representación en forma de matriz:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = γx - γVt<br /><br />ct’ = - (γV/c) x + γct<br /></div><br />Este sistema de ecuaciones, así como está escrito, se puede representar matricialmente de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG_aPD_0Y1457wXEVuRV-9cQ4WW3IdkEcrbIRmJ8n2fppajIAs6QT1zHWovkDhkUucGG1d950_whfRkeNJtaC-O2cpyXNA_bbc5TZYOCnfYahQYcb98pffv1YEPRY2vNoCrTxzAz48oBEJ/s1600-h/ecuacion_de_transformacion_relativista_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 296px; height: 79px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG_aPD_0Y1457wXEVuRV-9cQ4WW3IdkEcrbIRmJ8n2fppajIAs6QT1zHWovkDhkUucGG1d950_whfRkeNJtaC-O2cpyXNA_bbc5TZYOCnfYahQYcb98pffv1YEPRY2vNoCrTxzAz48oBEJ/s400/ecuacion_de_transformacion_relativista_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378814282285626530" border="0" /></a><br /></div><br />Para guiarnos mejor en lo que estamos haciendo, estableceremos una analogía entre esta representación matricial en la geometría del espacio-tiempo y la representación matricial para una rotación llevada a cabo en la geometría bi-dimensional Euclideana. Ya vimos arriba que la matriz para una rotación de coordenadas efectuada en la geometría bi-dimensional Euclideana es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS5O5vo4dsVB61GHsXm1ub5aR6n9WkiOkKp-bOZWkkp2kNiKVut8NHUacZDFw2JgzAjKFiiLtvBm7BJucosanro_RSdbcnLmfE_BzABUbDOvV9pVG7HasIKkF2swfij5nmuPJnQd4DHcXk/s1600-h/matriz_de_rotacion_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 294px; height: 77px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS5O5vo4dsVB61GHsXm1ub5aR6n9WkiOkKp-bOZWkkp2kNiKVut8NHUacZDFw2JgzAjKFiiLtvBm7BJucosanro_RSdbcnLmfE_BzABUbDOvV9pVG7HasIKkF2swfij5nmuPJnQd4DHcXk/s400/matriz_de_rotacion_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378800808472442770" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Tentativamente</span>, todo parece indicar que podemos establecer las siguientes correspondencias entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas para reemplazarlas en el caso de una rotación llevada a cabo en el espacio 4-dimensional relativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">cos(θ) <span class="Unicode">↔</span> cosh(α) <span class="Unicode">↔ </span>γ<br /><br />sen(θ) <span class="Unicode">↔ senh(</span>α<span class="Unicode">)</span> <span class="Unicode">↔ </span>γV/c</div><br />Si hacemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">cosh(α) <span class="Unicode">= </span>γ<br /><br /><span class="Unicode"> senh(</span>α<span class="Unicode">)</span> <span class="Unicode">= </span>γV/c<br /></div><br />Tenemos entonces las siguientes transformaciones modificadas de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = x cosh(α) - ct <span class="Unicode">senh(</span>α<span class="Unicode">)</span><br /><br />ct’ = - x <span class="Unicode">senh(</span>α<span class="Unicode">)</span> + ct cosh(α)<br /></div><br />Esta es la transformación que estabamos buscando, la cual puede ser puesta en forma matricial de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguGrvkawA0FY1nUi_cXLoAmXzSzksK5b8eX3y-U3CNtLrSa2u_rYRhttB2dJn-9Aet84qPe6XnUw88PUnfllTID6ud4aX0PXg7ssevUNuEMtNjgR9qmyK8BlNw4g2SQ23rRCoJIcVOnduZ/s1600-h/ecuacion_de_transformacion_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 382px; height: 74px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguGrvkawA0FY1nUi_cXLoAmXzSzksK5b8eX3y-U3CNtLrSa2u_rYRhttB2dJn-9Aet84qPe6XnUw88PUnfllTID6ud4aX0PXg7ssevUNuEMtNjgR9qmyK8BlNw4g2SQ23rRCoJIcVOnduZ/s400/ecuacion_de_transformacion_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379217661565758498" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;">Geométricamente hablando, la matriz simple de Lorentz lleva a cabo una rotación de coordenadas a través de un ángulo </span><span style="font-weight: bold;">α</span><span style="font-weight: bold;"> en el espacio 4-dimensional propio de la Teoría de la Relatividad</span>.<br /><br />El lector observador posiblemente objetará que mientras que en la geometría bi-dimensional Euclideana el término sen(θ) dentro de la matriz de rotación tiene signos diferentes, el término correspondiente senh(α) tiene el mismo signo (negativo). Ciertamente, tenemos una transformación válida, en la forma en la que la hemos definido, pero ¿cómo podemos estar tan seguros de que dicha transformación pueda ser considerada como una rotación del plano x-ct? La respuesta final dependerá del hecho de que la transformación modificada de Lorentz pueda ser capaz de respetar la longitud del intervalo relativista de la misma manera en que una rotación sobre el plano Euclideano deja intacta la longitud de un vector, lo cual confirmaremos un poco más adelante. Empezaremos por aclarar esta duda formulándonos otra pregunta:<br /><br />¿Por qué razón nos fue posible llevar a cabo una rotación en el espacio 4-dimensional relativista mediante el uso de las funciones hiperbólicas senh(α) y cosh(α)? La respuesta la encontramos en el graficado de dichas funciones. Así como los puntos (cos <i>t</i>, sin <i>t</i>) trazan un círculo unitario (de radio 1), del mismo modo los puntos (cosh α, sinh α) forman la mitad derecha de una hipérbola equilátera. Haciendo:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = cosh(<span style="font-style: italic;">a</span>)<br /><br />y = sinh(<span style="font-style: italic;">a</span>)<br /></div><br />y trazando este par de ecuaciones paramétricas (ambas dependientes del parámetro <span style="font-style: italic;">a</span>) obtenemos la siguiente gráfica:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRRlMrx1Hey0evZonzSCcrZV9eNbRuPD4B-wyDmYKpjeLYRtzM32JOcvE0j5eMI90vMJBPsfoFeM1AYvczZdY8LMHgVhMpRv9CjobX6AGzjsaV6UDDdaqcoetZJ87YEtGt3CF_Qq1_TKg5/s1600-h/graficas_funciones_hiperbolicas.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 344px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRRlMrx1Hey0evZonzSCcrZV9eNbRuPD4B-wyDmYKpjeLYRtzM32JOcvE0j5eMI90vMJBPsfoFeM1AYvczZdY8LMHgVhMpRv9CjobX6AGzjsaV6UDDdaqcoetZJ87YEtGt3CF_Qq1_TKg5/s400/graficas_funciones_hiperbolicas.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379163300239131266" border="0" /></a><br /></div><br /><br />en la cual la ecuación de la hipérbola equilátera resultante está dada por la ecuación Cartesiana:<br /><br /><div style="text-align: center;">x² - y² = 1<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Esta es precisamente la misma hipérbola que se vió en la entrada titulada “Invariantes”</span>.<br /><br />Comprender lo que acabamos de ver nos prepara mejor para la resolución del siguiente<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Utilizando la identidad:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">cosh²(α) - senh²(α) = 1<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">demostrar la invariancia del intervalo relativista a partir de estas ecuaciones.</span><br /><br />El intervalo relativista entre dos puntos en un marco de referencia S, considerando que no hay movimiento relativo alguno entre los ejes Cartesianos en relación al eje-y y al eje-z, puede ser definido de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (cΔt)² - (Δx)²<br /></div><br />Ya hemos visto que, al pasar de un marco de referencia a otro, este intervalo relativista debe permanecer invariante bajo las ecuaciones de transformación de Lorentz. Para mayor simplicidad notacional, consideraremos un intervalo relativista tal que uno de los puntos extremos del intervalo está situado en el origen del sistema de coordenadas. Con esto, el intervalo relativista puede ser representado en forma más sencilla de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (ct)² - (x)²<br /></div><br />Utilizando funciones hiperbólicas para llevar a cabo <span style="font-style: italic;">geométricamente</span> una rotación de los ejes coordenados en el espacio 4-dimensional, ya vimos arriba que las transformaciones de Lorentz para pasar de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’ se pueden escribir de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">x = x’ cosh(α) - ct’ senh(α)<br /><br />ct = - x’ senh(α) + ct’ cosh(α)<br /></div><br />Procedemos a meter directamente estas ecuaciones de transformación en la definición que tenemos del intervalo relativista:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = [- x’ senh(α) + ct’ cosh(α)]² - [x’ cosh(α) - ct’ senh(α)]²<br /></div><br />Expandiendo y simplificando:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (x’)² senh²(α) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">- 2(x’)(ct’) senh(α) cosh(α)</span> + (ct’)² cosh²(α)<br />- (x’)² cosh²(α) <span style="color: rgb(255, 0, 0);">+ 2(x’)(ct’) senh(α) cosh(α)</span> - (ct’)² senh²(α)<br /></div><br /><div style="text-align: center;">Δs² = [<span style="color: rgb(51, 51, 255);">cosh²(α) - senh²(α)</span>](ct’)² - [<span style="color: rgb(51, 51, 255);">cosh²(α) - senh²(α)</span> ](x’)²<br /></div><br />Utilizamos aquí la identidad hiperbólica dada en el enunciado del problema, para obtener:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (ct’)² - (x’)²<br /><br />Δs² = Δs’²<br /></div><br />De este modo, el intervalo relativista permanece invariante al haberse llevado a cabo la rotación geométrica de las coordenadas del 4-espacio mediante el uso de las funciones hiperbólicas.<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">La ley de adición de velocidades relativista tiene una forma más sencilla si recurrimos a la ayuda de la tangente hiperbólica. Si usamos la definición:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">tanh(α) = V/c<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">demostrar que la ley de adición de velocidades puede escribirse de la siguiente manera:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">V = c tanh(α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> + α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub>)<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">en donde α</span><sub style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">1</sub><span style="font-style: italic;"> es el parámetro de velocidad asociado con una de las velocidades a ser sumada, y α</span><sub style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">2</sub><span style="font-style: italic;"> es el parámetro de velocidad asociado a la otra velocidad. Obsérvese que, de este modo, los parámetros de velocidad se suma linealmente.</span><br /><br />Empezando con la ley de adición de velocidades:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3t2EJpd9DBsZVWft7FO61etJLUCkh99UIHNWobk-Pggbw9iNdgUsyGv3Bcfm7rSMMspXpkbBFQGKF99rKExX30tyPMctszskKIYk_dD_V9nWx4z7ZgmsPxMhJNk-DJQetTYLk8q_RBJA-/s1600-h/derivacion_formula_hiperbolica_velocidad_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 155px; height: 76px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3t2EJpd9DBsZVWft7FO61etJLUCkh99UIHNWobk-Pggbw9iNdgUsyGv3Bcfm7rSMMspXpkbBFQGKF99rKExX30tyPMctszskKIYk_dD_V9nWx4z7ZgmsPxMhJNk-DJQetTYLk8q_RBJA-/s400/derivacion_formula_hiperbolica_velocidad_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378817343011946546" border="0" /></a><br /></div><br />podemos utilizar la definición de la tangente hiperbólica para escribir lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = c tanh(α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub>)<br /><br />V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub> = c tanh(α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub>)<br /></div><br />Reemplazando estas dos igualdades en la ecuación anterior:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRuHJkbmY9V4HoE7swqrNzHxOsC7f7qk6zDqAKZc5SogIyBf9IGOdh8ePhSii6FxvaG9kjrUKmG0Xb62kQADeCXc9r5Clv1JtKuGmORkI7QyDfRzYR4Fmz0pJaBGIf3CtfURcpHyCo2UYM/s1600-h/derivacion_formula_hiperbolica_velocidad_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 339px; height: 80px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRuHJkbmY9V4HoE7swqrNzHxOsC7f7qk6zDqAKZc5SogIyBf9IGOdh8ePhSii6FxvaG9kjrUKmG0Xb62kQADeCXc9r5Clv1JtKuGmORkI7QyDfRzYR4Fmz0pJaBGIf3CtfURcpHyCo2UYM/s400/derivacion_formula_hiperbolica_velocidad_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378829499629526130" border="0" /></a><br /></div><br />Simplificando:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwVLZFP2paHElpPq1qf47-lGGp21wb6i_rvUNN6n5hVlmP8LIegOyO9X95VR3C_I3Gt6JF780d38O_Pa3J5Qc3NocBAfYgK9IPtRvr9XAooKLSJ-D7Qlg2OhU1F4-RKSAdr_c4Z2Fev352/s1600-h/derivacion_formula_hiperbolica_velocidad_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 340px; height: 72px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwVLZFP2paHElpPq1qf47-lGGp21wb6i_rvUNN6n5hVlmP8LIegOyO9X95VR3C_I3Gt6JF780d38O_Pa3J5Qc3NocBAfYgK9IPtRvr9XAooKLSJ-D7Qlg2OhU1F4-RKSAdr_c4Z2Fev352/s400/derivacion_formula_hiperbolica_velocidad_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378829825469750210" border="0" /></a><br /></div><br />Dada la enorme semejanza que hay entre las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas, el aspecto de la ecuación que acabamos de obtener nos hace sospechar sobre la posibilidad de que haya una identidad similar a la que encontramos en la trigonometría clásica. Un búsqueda breve confirma nuestras sospechas, al encontrar la siguiente identidad<span style="font-style: italic;"> hiperbólica:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRDFw8oIMfrHFNqGIYyTIEFL_s5JL-Esm_7m0g-SHIYzFff5vX0_sNIctQ7hxaVUs_KfLqxgmwsok7s5fFSqZ0JiDTMwF6a7HZO4bTbWI21cEtWRdkS4vkcO0qDVPv7ZtHiDkv6A4P83GX/s1600-h/identidad_tangente_hiperbolica.png"><img style="cursor: pointer; width: 286px; height: 60px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRDFw8oIMfrHFNqGIYyTIEFL_s5JL-Esm_7m0g-SHIYzFff5vX0_sNIctQ7hxaVUs_KfLqxgmwsok7s5fFSqZ0JiDTMwF6a7HZO4bTbWI21cEtWRdkS4vkcO0qDVPv7ZtHiDkv6A4P83GX/s400/identidad_tangente_hiperbolica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378830693023127234" border="0" /></a><br /></div><br />cuya contraparte en la trigonometría clásica es la siguiente identidad <span style="font-style: italic;">trigonométrica:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgW1U3UWvSnvvqbqDC0CEf1pjJEc_sc9S0t9rxkT19v0uD6zwRKds8ehuY7hjSinXbl5HBN-FxlXgZTDQua_CQv5ZqYjlkAu_epRdz2fbk9unyNE0P3IP2YDIk89PowiMffUJ9EQY3PLUSv/s1600-h/identidad_trigonom%C3%A9trica.png"><img style="cursor: pointer; width: 256px; height: 56px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgW1U3UWvSnvvqbqDC0CEf1pjJEc_sc9S0t9rxkT19v0uD6zwRKds8ehuY7hjSinXbl5HBN-FxlXgZTDQua_CQv5ZqYjlkAu_epRdz2fbk9unyNE0P3IP2YDIk89PowiMffUJ9EQY3PLUSv/s400/identidad_trigonom%C3%A9trica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5378831569806206514" border="0" /></a><br /></div><br />Con esto obtenemos entonces el resultado que se deseaba demostrar:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = c tanh(α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> + α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub>)<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Suponiendo que dentro de un vagón de ferrocarril moviéndose a una velocidad de 200 kilómetros por segundo, o sea dos terceras partes de la velocidad de la luz, una pelota es arrojada dentro del vagón también a una velocidad de 200 mil kilómetros por segundo, ¿cuál será la velocidad de la pelota vista en tierra a un lado de las vías por un observador en reposo? Trabájese el problema con la fórmula que se acaba de obtener arriba.</span><br /><br />Si la pelota es arrojada dentro de un vagón de ferrocarril a una velocidad V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> igual a dos terceras partes de la velocidad de la luz, o sea V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = 2c/3, entonces el parámetro de velocidad α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> asociado con la pelota es:<br /><br /><div style="text-align: center;"> tanh( α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub>) = V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub>/c<br /><br />α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = tanh<sup>-1</sup>(V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub>/c)<br /><br />α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = tanh<sup>-1</sup>(2/3)<br /><br />α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = 0.805<br /></div><br />Siendo V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub> = V<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = 2c/3, entonces α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub> = α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub>, con lo cual aplicamos la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = c tanh(α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> + α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub>) = c tanh(0.805 + 0.805)<br /><br />V = 0.923 c<br /></div><br />La representación matricial de las transformaciones de Lorentz nos permite obtener otra perspectiva diferente sobre lo que se lleva a cabo con dichas transformaciones.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Desde una estrella un viajero espacial mide la velocidad de otra estrella que se está alejando a una velocidad de 0.9c. Desde la segunda estrella se mide la velocidad de otra tercera estrella que se está alejando también a 0.9c de la segunda, y así sucesivamente, hasta llegar a cierto número N de estrellas. ¿Cuál es la velocidad de la estrella N relativa a la velocidad de la primera estrella?</span><br /><br />La resolución de este problema requiere sumar relativísticamente la velocidad de la primera estrella a la segunda, y tras esto la velocidad de la segunda estrella a la tercera, y así sucesivamente, hasta llegar a la estrella N. Utilizando la fórmula convencional para adición relativista de velocidades el problema se vuelve laborioso. Pero si en lugar de utilizar la fórmula convencional utilizamos la fórmula relativista dada en función de parámetros de velocidad, entonces el problema se reduce a la suma linear de los parámetros de velocidad:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = c tanh(α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> + α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub> + α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">3</sub> + ... + α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">n</sub>)<br /></div><br />Puesto que las velocidades relativas de recesión son iguales (0.9c), entonces los parámetros de velocidad también son iguales:<br /><br /><div style="text-align: center;">α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub> = α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">3</sub> = ... = α<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">n</sub> = α<br /></div><br />con lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = c tanh(Nα)<br /></div><br />Pero cada parámetro de velocidad está dado individualmente por:<br /><br /><div style="text-align: center;">α = tanh<sup>-1</sup>(V/c)<br /></div><br />Entonces la relación que buscamos resulta ser la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">V = c tanh[N tanh<sup>-1</sup>(V/c)]<br /></div><br />El intervalo relativista, en su forma más general admitiendo la posibilidad de que pueda haber movimientos relativos entre los cuatro ejes coordenados del sistema de referencia S y del sistema de referencia S’, puede ser definido como:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²<br /></div><br />tiene a su vez la siguiente representación matricial:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbQTFjNs9zeY7PDpmAsuczRo66KD-thxFWiSMj73B7_ANTVi41zIW99AikgY_agG4DZLV-6_4NPiAJNYl_P4JisjZCqrj-U4J8-R6zkQV9-hn1P4EqerLBD6-PxZrJhYsRyJeNcRHfLq0B/s1600-h/producto_matricial_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 389px; height: 110px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbQTFjNs9zeY7PDpmAsuczRo66KD-thxFWiSMj73B7_ANTVi41zIW99AikgY_agG4DZLV-6_4NPiAJNYl_P4JisjZCqrj-U4J8-R6zkQV9-hn1P4EqerLBD6-PxZrJhYsRyJeNcRHfLq0B/s400/producto_matricial_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328692069014828386" border="0" /></a><br /></div><br />La matriz intermedia representa los 16 componentes de ese objeto que anteriormente ya habíamos dicho que se conoce como el <span style="font-weight: bold;">tensor métrico</span>, en este caso el que corresponde a un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> (Lorentziano).<br /><br />Para la derivación que vamos a llevar a cabo, escogemos un intervalo relativista tal que un extremo del mismo tenga el punto situado en el origen (0,0,0,0) común a ambas coordenadas en un tiempo t = 0. De este modo, podemos representar dicho intervalo relativista mediante <span style="font-style: italic;">coordenadas generalizadas</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">x<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">0</sub> = cΔt<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>x<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1</sub> = x<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>x<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2</sub> = y<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>x<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">3</sub> = z<br /></div><br />simplemente como:<br /><br /><div style="text-align: center;">Δs² = (x<sub>0</sub>) ² - (x<sub>1</sub>) ² - (x<sub>2</sub>) ² - (x<sub>3</sub>) ²<br /></div><br />y representando a las 16 componentes de la matriz 4x4 a la cual llamaremos <span style="font-weight: bold;">G</span> como g<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">ij</sub>, el triple producto matricial arriba mostrado se puede representar mediante una doble sumatoria de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_m0hAo57BB6G_94IV-P8-taRHCc9VJTjrrFNgwyrJnUxMWAXiiz4UZ3ZO0rSnKAcNgK8Z-Yno2nVLbbl0JVaL6XQSgihFn8g39C21pJHKBHcBvv25PKgseZr6100grbLfHl6S1_XIPkNK/s1600-h/doble_sumatoria_intervalo_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 164px; height: 85px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_m0hAo57BB6G_94IV-P8-taRHCc9VJTjrrFNgwyrJnUxMWAXiiz4UZ3ZO0rSnKAcNgK8Z-Yno2nVLbbl0JVaL6XQSgihFn8g39C21pJHKBHcBvv25PKgseZr6100grbLfHl6S1_XIPkNK/s400/doble_sumatoria_intervalo_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379229837623686434" border="0" /></a><br /></div><br />Para un intervalo relativista <span style="font-style: italic;">tipo luminoso</span> en el que Δs² = 0, lo anterior tiene que tener un valor igual a cero:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwkl7weaJ4j2qvFnpPncmi-AlcMFL7tCqmoUvatvEugBZApjzZmFEtsxVVrF7zHRSJsXtYP0Zte0QjqqIcRd9DONmh6-JFXWshUXL3zfMIV4aqbCM1jwquM-2V2gcmOyeRc7xS8abEINjj/s1600-h/doble_sumatoria_intervalo_relativista_tipo_luminoso.png"><img style="cursor: pointer; width: 209px; height: 88px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwkl7weaJ4j2qvFnpPncmi-AlcMFL7tCqmoUvatvEugBZApjzZmFEtsxVVrF7zHRSJsXtYP0Zte0QjqqIcRd9DONmh6-JFXWshUXL3zfMIV4aqbCM1jwquM-2V2gcmOyeRc7xS8abEINjj/s400/doble_sumatoria_intervalo_relativista_tipo_luminoso.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379231827042741810" border="0" /></a><br /></div><br />Bajo una rotación cuatri-dimensional que involucre a las cuatro coordenadas, el intervalo relativista de tipo luminoso <span style="font-style: italic;">debe seguir siendo igual a cero</span>. Esto nos lleva a lo que se conoce como la <span style="font-weight: bold;">invariancia del cono de luz</span>, con lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;">( <span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>1</sub>) ² - ( <span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>2</sub>) ² - ( <span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>3</sub>) ² - ( <span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>4</sub>) ² = 0<br /></div><br />y la representación de lo mismo mediante sumatorias es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH79hNhKPLWd7ZO1Kam6SaFqPFha3F7Dp347UW63EZR2VDYtOK0GzgShHs-8y_zN6WP4zwsGaU4_LUIoG4_uhNHrfBT8vqwO86lwj3ICVw4B3YsS_TWzf3rUdB8dDD6nQAQtluJLRQcwlr/s1600-h/doble_sumatoria_intervalo_relativista_tipo_luminoso_sistema_S'.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 209px; height: 88px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH79hNhKPLWd7ZO1Kam6SaFqPFha3F7Dp347UW63EZR2VDYtOK0GzgShHs-8y_zN6WP4zwsGaU4_LUIoG4_uhNHrfBT8vqwO86lwj3ICVw4B3YsS_TWzf3rUdB8dDD6nQAQtluJLRQcwlr/s400/doble_sumatoria_intervalo_relativista_tipo_luminoso_sistema_S'.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379233431235285970" border="0" /></a><br /></div><br />De este modo, usando sumatorias, la <span style="font-style: italic;">ecuación de invariancia del cono de luz</span> se puede expresar de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXxsQYPsqMCFPh032X2MM51ZYgJzU5blaWn9MWlb6KuKv30qONxugPRu9iYI8ybuY2YojY5atoDiuVsQBSCR2c9Y8cRQHfY-mic_2tSLRP9jLZyqgiOQowuxeXn88OJprDcaPS3C6eMCw7/s1600-h/ecuacion_invariancia_cono_de_luz_en_sumatorias.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 92px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXxsQYPsqMCFPh032X2MM51ZYgJzU5blaWn9MWlb6KuKv30qONxugPRu9iYI8ybuY2YojY5atoDiuVsQBSCR2c9Y8cRQHfY-mic_2tSLRP9jLZyqgiOQowuxeXn88OJprDcaPS3C6eMCw7/s400/ecuacion_invariancia_cono_de_luz_en_sumatorias.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379235206913809026" border="0" /></a><br /></div><br />En notación matricial <span style="font-style: italic;">explícita</span>, escribiendo todos los elementos de la matriz <span style="font-weight: bold;">G</span> = (g<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">ij</sub>), podemos representar la ecuación de doble sumatoria del lado derecho de la manera siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB0VNvPdEe3dBNnzX3CphGowTj5e18uUD6FOL4C5jTZWeM25XBoGP5hOd8axxISarkxXXGIp9Ui1eFeeulMycGyAu7_gyr00bpie_XhFHwLd8gcahQS3pgTnGBH0trnigw5vcaV26TUpBa/s1600-h/ecuacion_matricial_invariancia_cono_de_luz_en_coordenadas_con_barra.png"><img style="cursor: pointer; width: 394px; height: 103px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB0VNvPdEe3dBNnzX3CphGowTj5e18uUD6FOL4C5jTZWeM25XBoGP5hOd8axxISarkxXXGIp9Ui1eFeeulMycGyAu7_gyr00bpie_XhFHwLd8gcahQS3pgTnGBH0trnigw5vcaV26TUpBa/s400/ecuacion_matricial_invariancia_cono_de_luz_en_coordenadas_con_barra.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380323578310971906" border="0" /></a><br /></div><br />En notación matricial <span style="font-style: italic;">compacta</span>, podemos escribir lo mismo en la forma:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" > G </span><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup> T</sup></span> = 0<br /></div><br />en donde <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">X</span><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);font-size:100%;" ><sup> T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup></sup></span> representa un <span style="font-style: italic;">vector columna</span> que viene siendo la <span style="font-style: italic;">transpuesta</span> del vector <span style="font-style: italic;">renglón</span> <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" > </span>.<br /><br />Por otro lado, la <span style="font-style: italic;">matriz general</span> de Lorentz <span style="font-weight: bold;">Λ</span> = (λ<sub>ij</sub>):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiirZsnsGfaT1RRH74mlK6MtNgTSsDjvVrKNLnmR6MoHSe6yxHsyHiZWpw9wTWT_uxJVsTDFGW7Blxrb5oZzbjDZNlzU4HmJgGwLfyBQGgBGLt4b5kQoxzeRZprES9E0D3VFDlCyPOaSIl4/s1600-h/matriz_general_Lorentz.png"><img style="cursor: pointer; width: 314px; height: 133px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiirZsnsGfaT1RRH74mlK6MtNgTSsDjvVrKNLnmR6MoHSe6yxHsyHiZWpw9wTWT_uxJVsTDFGW7Blxrb5oZzbjDZNlzU4HmJgGwLfyBQGgBGLt4b5kQoxzeRZprES9E0D3VFDlCyPOaSIl4/s400/matriz_general_Lorentz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5377301922207935122" border="0" /></a><br /></div><br />que lleva al 4-vector en el sistema S:<br /><br /><div style="text-align: center;">[ x<sub>1</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>x<sub>2</sub> <span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>x<sub>3</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>x<sub>4</sub> ]<br /></div><br />al siguiente 4-vector en el sistema <span style="text-decoration: overline;">S</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">[ <span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>1</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>2</sub> <span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>3</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sub>4</sub> ]<br /></div><br />debe ser necesariamente el arquetipo de la transformación linear, lo cual requiere de la existencia de constantes λ<sub>ij</sub> tales que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyW8mCz1iTR4lAIL_4rQb85JIiAcETMeaN4-_xVDPrRZnh3NBDAFabDvzSgVMHuke8Dd_hON9WsiBOVtFCgxRxVvKpu_a3iFYifMPadnnVpWli9fbf37l_HUthX4-D2Xm4gu6PoS17kYcP/s1600-h/ecuacion_general_de_transformacion_linear.png"><img style="cursor: pointer; width: 161px; height: 85px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyW8mCz1iTR4lAIL_4rQb85JIiAcETMeaN4-_xVDPrRZnh3NBDAFabDvzSgVMHuke8Dd_hON9WsiBOVtFCgxRxVvKpu_a3iFYifMPadnnVpWli9fbf37l_HUthX4-D2Xm4gu6PoS17kYcP/s400/ecuacion_general_de_transformacion_linear.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379237324934019010" border="0" /></a><br /></div><br />Puesto que tenemos <span style="font-style: italic;">dos</span> sumatorias en la ecuación de invariancia del cono de luz que involucran en forma repetida a las coordenadas <span style="text-decoration: overline; color: rgb(255, 0, 0);">x</span>, vamos a tener que definir <span style="font-style: italic;">dos</span> transformaciones lineares, una para cada transformación de coordenadas, usando para ello sub-índices diferentes:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkoeGUxoFbkW518zlexbdaooGoI4YD9wdwZm6s1XCu-eHLSKoGd-LfoT-OvqcyBaHqtOmrc4hz0UBO7m5CJwSPvB6x4HIJmC5VoTYU9Xp6ZxGeXxA00A2nqFm9gyCqcKgCTQsytwNGzFhg/s1600-h/transformaciones_Lorentz_en_sumatorias.png"><img style="cursor: pointer; width: 163px; height: 166px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkoeGUxoFbkW518zlexbdaooGoI4YD9wdwZm6s1XCu-eHLSKoGd-LfoT-OvqcyBaHqtOmrc4hz0UBO7m5CJwSPvB6x4HIJmC5VoTYU9Xp6ZxGeXxA00A2nqFm9gyCqcKgCTQsytwNGzFhg/s400/transformaciones_Lorentz_en_sumatorias.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380326562865270610" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Obedeciendo las reglas de multiplicación de matrices</span>, una de estas transformaciones la podemos representar matricialmente escribiendo al vector de coordenadas como un vector <span style="font-style: italic;">renglón </span>para pasar de un sistema S a otro sistema <span style="text-decoration: overline;">S</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNSL_LcfpeZpfg3ZfMyspaWDeZDTn18anLcMgkXgaz_SYNvnUMXlwxMjOISVTDDnCKbrdFD4FaxWEpyqzud2kJ9zpDUpsVgaWacJeEOvuea5upL0ppCT-KbSmzDcDgiArE8VWd-8vocVu8/s1600-h/representacion_matricial_de_transformacion_linear_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 86px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNSL_LcfpeZpfg3ZfMyspaWDeZDTn18anLcMgkXgaz_SYNvnUMXlwxMjOISVTDDnCKbrdFD4FaxWEpyqzud2kJ9zpDUpsVgaWacJeEOvuea5upL0ppCT-KbSmzDcDgiArE8VWd-8vocVu8/s400/representacion_matricial_de_transformacion_linear_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380329290976339906" border="0" /></a><br /></div><br />En notación matricial <span style="font-style: italic;">compacta</span>, esto se escribe de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup></sup></span><span style="font-weight: bold;"> </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >= X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-size:100%;"><sup style="font-weight: bold;">T</sup></span><span style="font-weight: bold;"></span><br /></div><br />siendo <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-size:100%;"><sup style="font-weight: bold;">T</sup></span> la matriz <span style="font-style: italic;">transpuesta</span> de la matriz <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhFFhAmD5ZXtlSLAzecSc6duSV9R3O_ABK2lRPSp4g_VelyqPKki-qa58mU4WprbSUsej2k4Nsh93CUC8lQKVutEj4Qe9o_I3qV42arPfb2pPv1Is6MbK7PVrvJ3nrIt63pKDeUnnhMuTX/s1600-h/transpuesta_matriz_general_Lorentz.png"><img style="cursor: pointer; width: 327px; height: 135px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhFFhAmD5ZXtlSLAzecSc6duSV9R3O_ABK2lRPSp4g_VelyqPKki-qa58mU4WprbSUsej2k4Nsh93CUC8lQKVutEj4Qe9o_I3qV42arPfb2pPv1Is6MbK7PVrvJ3nrIt63pKDeUnnhMuTX/s400/transpuesta_matriz_general_Lorentz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5377303273124826850" border="0" /></a><br /></div><br />La otra transformación la podemos representar escribiendo al vector de coordenadas como un vector <span style="font-style: italic;">columna</span> para pasar de un sistema S a otro sistema <span style="text-decoration: overline;">S</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIslk-eW_GMSUI8U7Wbknf4oZwiFuZ0Ntli5oS0keR2pkjOZSLOwqMTRf0v3LNbez1275uC6zUPc3VKGqYzynQu2cyO6LgLf5jSxvRr55WpyFhKnV2z30TdgUpZDDMvlsOj0ypgAgOjueG/s1600-h/representacion_matricial_de_transformacion_linear_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 278px; height: 93px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIslk-eW_GMSUI8U7Wbknf4oZwiFuZ0Ntli5oS0keR2pkjOZSLOwqMTRf0v3LNbez1275uC6zUPc3VKGqYzynQu2cyO6LgLf5jSxvRr55WpyFhKnV2z30TdgUpZDDMvlsOj0ypgAgOjueG/s400/representacion_matricial_de_transformacion_linear_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380328017534065186" border="0" /></a></div><br />En notación matricial <span style="font-style: italic;">compacta</span>, esto se escribe de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;"> </span><span style="font-size:100%;"><sup style="font-weight: bold;">T </sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >= </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-size:100%;"><sup style="font-weight: bold;">T</sup></span> </div><br />Obsérvese que podemos obtener rápidamente una representación matricial de la otra usando la propiedad fácilmente verificable para dos matrices de que la transpuesta del producto de dos matrices <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> es igual al producto matricial de las transpuestas <span style="font-style: italic;">tomadas en el orden inverso</span>, o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">(AB)</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;"> = B</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;">A</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">Por extensión:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">(ABC)</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;"> = C</span><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;">B</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;">A</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><br /></div><br /><br />Volviendo a la ecuación de invariancia del cono de luz:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" > G </span><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup> T</sup></span> = 0<br /></div><br />si substituímos en la representación de sumatorias las transformaciones para cada uno de los <span style="font-style: italic;">vectores</span> de coordenadas <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">X</span>, obtenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh14TUGyTrueXXjf3CzKOwY5S-yooHt_ltH_KXlHJDWKvNLqW9bXMPc967m4OUeIv6TkxdIsVlocmX5ATC7alheAzCb8WWOAYXSY85MgQI-ZQTCGy-0msgbuIFvDxMGQ3XJFCOXxdaN2KLY/s1600-h/transformaciones_Lorentz_en_sumatorias_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh14TUGyTrueXXjf3CzKOwY5S-yooHt_ltH_KXlHJDWKvNLqW9bXMPc967m4OUeIv6TkxdIsVlocmX5ATC7alheAzCb8WWOAYXSY85MgQI-ZQTCGy-0msgbuIFvDxMGQ3XJFCOXxdaN2KLY/s400/transformaciones_Lorentz_en_sumatorias_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380334083310902194" border="0" /></a><br /></div><br />Reagrupando los símbolos y el orden de la tercera y la cuarta sumatorias:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaA6yr6tZDCX2JNaRihtmaq0GRKqTyVccRPAZBM33vSxsqQpeG32SNO5884jjftgolTamwS7-OKK91xVOVfNG3M8LSozR2sY2ZUVcizYs24rOQVqGNNRNEnRNAKlsTs-LduBRYOvHZL75w/s1600-h/transformaciones_Lorentz_en_sumatorias_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaA6yr6tZDCX2JNaRihtmaq0GRKqTyVccRPAZBM33vSxsqQpeG32SNO5884jjftgolTamwS7-OKK91xVOVfNG3M8LSozR2sY2ZUVcizYs24rOQVqGNNRNEnRNAKlsTs-LduBRYOvHZL75w/s400/transformaciones_Lorentz_en_sumatorias_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380334638071194114" border="0" /></a><br /></div><br />El reagrupamiento en el orden de los factores de las sumatorias que aparecen en el lado derecho de la ecuación no parece haber sido suficiente para poder visualizar una simplificación posterior. A estas alturas, resultará mucho más provechoso intentar acomodar dichos factores de modo tal que la sumatoria multiple se pueda trasladar a una representación <span style="font-style: italic;">matricial</span>. Y de hecho, ya vimos precisamente esto mismo al final de la entrada “Representaciones matriciales”, en donde partiendo de la siguiente sumatoria múltiple:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDsrjnkD_5u9sOvYHikCzBxxCK3I8SMFITEgpv2y0puSf-rBe3lWCP-WoSxISH0EXlw56BzowH-nTcTZTpqTB3-0TkFCHoZ1DafCjSWhraeaiRXE8WHISh9PPCjirjFEsjYZV-98CWol0/s1600-h/sumatoria_multiple_inicial.png"><img style="cursor: pointer; width: 316px; height: 90px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDsrjnkD_5u9sOvYHikCzBxxCK3I8SMFITEgpv2y0puSf-rBe3lWCP-WoSxISH0EXlw56BzowH-nTcTZTpqTB3-0TkFCHoZ1DafCjSWhraeaiRXE8WHISh9PPCjirjFEsjYZV-98CWol0/s400/sumatoria_multiple_inicial.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380778547809044578" border="0" /></a><br /></div><br />reacomodamos los factores de la sumatoria usando como guía el requerimiento de que los sub-índices estén apareados conforme son leídos de izquierda a derecha en la sumatoria ya reacomodada:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh_xjRbzNTsLbA51DM6cjDPeh8iJnRgwfao7uoGhsyeZfWL0_dv5OrJ3PxU2X_eRW1sZ2ZWmYuVNOcO4rTJPJ-nTzun0D-zfVDR1d2wlSAKhSd10-fNqsdpPldSzIIJtM47efjgcRSJk0/s1600-h/sumatoria_multiple_preparada_para_representacion_matricial.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 312px; height: 93px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh_xjRbzNTsLbA51DM6cjDPeh8iJnRgwfao7uoGhsyeZfWL0_dv5OrJ3PxU2X_eRW1sZ2ZWmYuVNOcO4rTJPJ-nTzun0D-zfVDR1d2wlSAKhSd10-fNqsdpPldSzIIJtM47efjgcRSJk0/s400/sumatoria_multiple_preparada_para_representacion_matricial.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380779130189125586" border="0" /></a><br /></div><br />con lo cual la representación matricial salta a la vista casi de inmediato, la cual en notación matricial <span style="font-style: italic;">compacta</span> resulta ser:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">X</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup> <span style="font-weight: bold;">G</span> <span style="font-weight: bold;">Λ X</span><br /></div><br />Para poder lograr esta representación matricial, tomando en cuenta que la sumatoria múltiple debe producir al final el número cero (que matricialmente viene siendo una matriz que consta de un solo renglón y de una sola columna), la necesidad de <span style="font-style: italic;">aparear</span> los sub-índices nos obligó a tomar la <span style="font-style: italic;">transpuesta</span> de la matriz <span style="font-weight: bold;">Λ</span>, la cual representamos de color rojo como <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup>; y también nos obligó a usar la representación del vector <span style="font-style: italic;">columna</span> <span style="font-weight: bold;">X</span> como el vector <span style="font-style: italic;">renglón</span> tomando la transpuesta de <span style="font-weight: bold;">X</span> y representándolo como <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">X</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup>. Esto significa que en la sumatoria múltiple preparada para su representación matricial en donde aparecen <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">X</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup> y <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">Λ</span><sup style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">T</sup> de color rojo como corresponde a las <span style="font-style: italic;">transpuestas</span>, si bien en lo que respecta al componente <span style="color: rgb(255, 0, 0);">x</span><sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">i</span> </sub>dentro de la sumatoria el cambio no tiene efecto alguno, el componente <span style="color: rgb(255, 0, 0);">λ</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">ir</sub> <span style="font-style: italic;">en caso de llevarse a cabo la sumación sobre esa expresión</span> tiene que ser interpretado no como el elemento dentro de la matriz <span style="font-weight: bold;">Λ</span> que está en el renglón <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">i</span> y la columna <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">r</span> sino como el elemento dentro de la matriz que está dentro del renglón <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">r</span> y la columna <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">i</span>.<br /><br />Así pues, lo que tenemos en el lado derecho de la ecuación original de la ecuación de invariancia del cono de luz representado mediante sumatorias es algo que representado mediante un producto matricial nos involucra el producto de <span style="font-style: italic;">cinco</span> matrices, lo cual si se tratase de matrices 3x3 en vez de matrices 4x4 tendría un aspecto como el siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhywZQaGR_O8PZCdZly0IT7tmOE4obdEwOr4Tq-9lZwijaBvAvBT7COvp2aoxVN0dwYEmlnjBEgDY4AUDRdeL8dAmzFzbWjwAoO8z_BPi4c_z1tV0py95u64UWBRHlnG8nbarZyUpXCVBU/s1600-h/producto_matricial_multiple.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 71px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhywZQaGR_O8PZCdZly0IT7tmOE4obdEwOr4Tq-9lZwijaBvAvBT7COvp2aoxVN0dwYEmlnjBEgDY4AUDRdeL8dAmzFzbWjwAoO8z_BPi4c_z1tV0py95u64UWBRHlnG8nbarZyUpXCVBU/s400/producto_matricial_multiple.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5380335498598572306" border="0" /></a><br /></div><br />Usando vectores con cuatro componentes y matrices 4x4, el número de multiplicaciones y adiciones de componentes requeridas para tratar de llevar a cabo cualquier simplificación posterior parece intimidante. En notación matricial compacta, lo que tenemos en esto último que hemos llevado a cabo es el resultado de las siguientes operaciones:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" > G </span><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup> T</sup></span> = 0<br /><br /><span style="font-weight: bold;">(</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;">) G (</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;">)</span> = 0<br /><br /><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;">G</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;"></span> = 0<br /></div><br />Esto es justo lo que tenemos arriba tanto en la notación matricial explícita como en la representación mediante sumatorias múltiples.<br /><br />Usando la representación que más nos convenga, no es difícil demostrar que si:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X G X </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span> = 0<br /></div><br />entonces el requerimiento en la ecuación de invariancia del cono de luz:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXxsQYPsqMCFPh032X2MM51ZYgJzU5blaWn9MWlb6KuKv30qONxugPRu9iYI8ybuY2YojY5atoDiuVsQBSCR2c9Y8cRQHfY-mic_2tSLRP9jLZyqgiOQowuxeXn88OJprDcaPS3C6eMCw7/s1600-h/ecuacion_invariancia_cono_de_luz_en_sumatorias.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 92px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXxsQYPsqMCFPh032X2MM51ZYgJzU5blaWn9MWlb6KuKv30qONxugPRu9iYI8ybuY2YojY5atoDiuVsQBSCR2c9Y8cRQHfY-mic_2tSLRP9jLZyqgiOQowuxeXn88OJprDcaPS3C6eMCw7/s400/ecuacion_invariancia_cono_de_luz_en_sumatorias.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379235206913809026" border="0" /></a><br /></div><br />nos debe resultar en lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYOxfPMz67MS6OLwgwM8SHie5wI2r3w-TEjP1H3C0BdHyV2aTqWgTKsEKyjR-o-RhuquejTZzGbMDAM_vFfqcBl_Rbs-8jrPyyPuz_uh8aLVGNzCNO5QFz3c7rtJccs-mtuyBDit1ysEBP/s1600-h/producto_matricial_triple.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 178px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYOxfPMz67MS6OLwgwM8SHie5wI2r3w-TEjP1H3C0BdHyV2aTqWgTKsEKyjR-o-RhuquejTZzGbMDAM_vFfqcBl_Rbs-8jrPyyPuz_uh8aLVGNzCNO5QFz3c7rtJccs-mtuyBDit1ysEBP/s400/producto_matricial_triple.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5377302308822008962" border="0" /></a><br /></div><br />o bien en notación matricial compacta:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GΛ</span><span style="font-weight: bold;"> = </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span><br /></div><br />El aspecto del lado izquierdo de la ecuación matricial en donde tenemos el producto de tres matrices en la forma <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;">AX</span> posiblemente resultará familiar para muchos que han tomado un buen curso de Álgebra Linear, ya que la operación <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;">AX = B</span> es precisamente el tipo de operación que se lleva a cabo para <span style="font-style: italic;">diagonalizar</span> una matriz <span style="font-weight: bold;">A</span>, obteniendo el equivalente <span style="font-weight: bold;">B</span> de la misma que seguirá poseyendo algunas características importantes de la matriz original excepto que únicamente la diagonal principal de la matriz contendrá valores diferentes de cero, todos los demás elementos fuera de la diagonal principal serán iguales a cero. Sin embargo, y esto es importante, aquí no estamos llevando a cabo una operación para diagonalizar una matriz, ya que la matriz intermedia G queda intacta tras la operación matricial, esto es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GΛ</span><span style="font-weight: bold;"> = </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span><br /></div><br />Aquí lo que estamos haciendo es en cierta forma un procedimiento “al revés”, en el cual tratamos de determinar los valores de los componentes de la matriz <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span> para que una vez que se haya efectuado la operación del lado izquierdo obtengamos el resultado que aparece en el lado derecho, o sea <span style="font-weight: bold;">G</span>. Este truco que estamos efectuando no es más que la implementación matricial de la validez de la invariancia del cono de luz bajo dos sistemas de coordenadas distintos.<br /><br />Llevando a cabo las multiplicaciones matriciales en el lado izquierdo de la ecuación matricial e igualando cada uno de los 16 componentes con las entradas que aparecen en la matriz del lado derecho, y eliminando los resultados repetidos, obtenemos las siguientes diez <span style="font-style: italic;">condiciones para determinar si una matriz cualquiera es una matriz general de Lorentz:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">(λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">00</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">10</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">20</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">30</sub>)² = 1<br /><br />(λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">0j</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1j</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2j</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">3j</sub>)² = - 1<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>para j = 1, 2, 3<br /><br />λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">0i</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">0j</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1i</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">1j</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2i</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">2j</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">3i</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">3j</sub> = 0<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>para i ≠ j<br /><br /></div><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Demostrar que la siguiente matriz es una matriz general de Lorentz:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXSy7yO3mgSucpsFAdcOQzZpIeomq19qGf7vQ9lw86dem57UW48PKATzvjuuZZt5WzU-ScDDTKgczLU07Og1NzD30c4g6jshdXYNswRknIM6EBc9wGgKD6G96eaMuYfeiF0K_9Kf_C-rRY/s1600-h/matriz_de_Lorentz.png"><img style="cursor: pointer; width: 302px; height: 194px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXSy7yO3mgSucpsFAdcOQzZpIeomq19qGf7vQ9lw86dem57UW48PKATzvjuuZZt5WzU-ScDDTKgczLU07Og1NzD30c4g6jshdXYNswRknIM6EBc9wGgKD6G96eaMuYfeiF0K_9Kf_C-rRY/s400/matriz_de_Lorentz.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372113139742971890" border="0" /></a><br /></div><br />Recurriremos a las relaciones que acabamos de obtener arriba, las cuales se deben cumplir si la matriz es realmente una matriz general de Lorentz.<br /><br />Primera condición, <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">(λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">00</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">10</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">20</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">30</sub>)² =<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">3</span>)² - (1)² - (1)² - (1)² = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span><br /></div><br />Segunda condición,<span style="font-style: italic;"> se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">(λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">01</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">11</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">21</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">31</sub>)² =<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">2</span>)² - (√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2)² - (√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2)² - (0)² = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">- 1</span><br /></div><br />Tercera condición, <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">(λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">02</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">12</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">22</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">32</sub>)² =<br /><br />(0)² - (1/2)² - (-1/2)² - (-√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2)² = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">-1 </span><br /></div><br />Cuarta condición, <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">(λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">02</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">12</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">22</sub>)² - (λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">32</sub>)² =<br /><br />(0)² - (1/2)² - (-1/2)² - (√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2)² = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">-1</span><br /></div><br />Quinta condición (multiplicación conjunta de las primeras dos columnas), <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">00</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">01</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">10</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">11</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">20</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">21</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">30</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">31</sub> =<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">3</span>)(√<span style="text-decoration: overline;">2</span>) - (1)(√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2) - (1)(√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2) - (0)(0) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span><br /></div><br />Sexta condición (multiplicación conjunta de la primera columna y la tercera columna), <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">00</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">02</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">10</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">12</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">20</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">22</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">30</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">32</sub> =<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">3</span>)(0) - (1)(1/2) - (1)(-1/2) - (0)(-√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span><br /></div><br /><br />Séptima condición (multiplicación conjunta de la primera columna y la cuarta columna), <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">00</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">03</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">10</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">13</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">20</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">23</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">30</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">33</sub> =<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">3</span>)(0) - (1)(1/2) - (1)(-1/2) - (0)(√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span><br /></div><br />Octava condición (multiplicación conjunta de la segunda columna y la tercera columna), <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">01</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">02</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">11</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">12</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">21</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">22</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">31</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">32</sub> =<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">2</span><span style="text-decoration: overline;"></span>)(0) - (√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2)(1/2) - (√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2)(-1/2) - (0)(-√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span><br /></div><br />Novena condición (multiplicación conjunta de la segunda columna y la cuarta columna), <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">01</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">03</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">11</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">13</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">21</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">23</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">31</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">33</sub> =<br /><br />(√<span style="text-decoration: overline;">2</span>)(0) - (√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2)(1/2) - (√<span style="text-decoration: overline;">6</span>/2)(-1/2) - (0)(√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span><br /></div><br />Décima condición (multiplicación conjunta de la tercera columna y la cuarta columna), <span style="font-style: italic;">se cumple:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">02</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">03</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">12</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">13</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">22 </sub>λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">23</sub> - λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">32</sub> λ<sub style="color: rgb(0, 0, 0);">33</sub> =<br /><br />(0<span style="text-decoration: overline;"></span>)(0) - (1/2)(1/2) - (-1/2)(-1/2) - (-√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2)(√<span style="text-decoration: overline;">2</span>/2) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span><br /></div><br />Habiendose cumplido todas las condiciones requeridas, se concluye que la matriz proporcionada es, en efecto, una matriz general de Lorentz.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">En la derivación de la condición</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" > Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GΛ</span><span style="font-weight: bold;"> = </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span><span style="font-style: italic;">, al ser llevada a cabo utilizando sumatorias se encontró que el procedimiento era algo tardado y laborioso. Llevar a cabo la derivación de esta misma condición utilizando exclusivamente notación matricial compacta, sin utilizar sumatorias y sin recurrir a notación matricial explícita.</span><br /><br />En notación matricial <span style="font-style: italic;">compacta</span>, la ecuación de invariancia del cono de luz puede ser expresada de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GX</span> = 0 = <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span> <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><br /></div><br />Si la matriz general de transformación de Lorentz <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span> preserva <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span> <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup></sup></span>, entonces haciendo :<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">X</span><span style="font-size:100%;"><sup style="font-weight: bold;"> </sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >= </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span> </div><br />tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GX</span> = 0 = (<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span>)<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup></sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span>(<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span>)<br /><br /><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GX</span> = 0 = <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><br /><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ></span><br /><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GX</span> = 0 = <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span>(<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span>)<span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >X</span><br /></div><br />con lo cual se concluye que <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GΛ</span><span style="font-weight: bold;"> = </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span>.<br /><br />Obsérvese cómo el uso de la notación matricial, sobre todo la notación matricial <span style="font-style: italic;">compacta</span>, puede simplificar enormemente la resolución de un problema que involucre varias sumatorias. Esto será de enorme importancia cuando pasemos al estudio de la Teoría General de la Relatividad, en la cual entramos en contacto con notación <span style="font-style: italic;">tensorial</span> que se basa precisamente en el uso intensivo de sumatorias. Al resolver problemas planteados en notación tensorial, la primera prioridad debe ser trasladar la planteación tensorial basada en sumatorias a su representación equivalente utilizando matrices, con lo cual podemos avanzar mucho más rápidamente.<br /><br />En lo que hemos estado tratando en realidad se ha estado hablando acerca de <span style="font-style: italic;">la preservación de la métrica</span> <span style="font-weight: bold;">G</span> <span style="font-style: italic;">bajo las transformaciones de Lorentz</span>. Si hacemos extensiva la condición <span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Λ</span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" ><sup>T</sup></span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >GΛ</span><span style="font-weight: bold;"> = </span><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >G</span> para cualquier tipo de matriz métrica <span style="font-weight: bold;">G</span>, tenemos entonces una conclusión importante: <span style="font-weight: bold;">las métricas G de los espacios-tiempos <span style="color: rgb(255, 0, 0);">curvos</span> de la Teoría General de la Relatividad son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz</span>.<br /><br />Hemos visto cómo <span style="font-style: italic;">comprobar</span> si una matriz dada es una matriz que representa una transformación general de Lorentz. Pero no hemos visto aún cómo podemos <span style="font-style: italic;">obtener</span> las ecuaciones que nos conduzcan a una transformación general de Lorentz, o sea, cómo <span>obtener</span> dicha matriz. Por ejemplo, si la velocidad entre los ejes coordenados a lo largo del <span style="font-style: italic;">eje-x</span> es V<sub>x</sub> = (3/4) c, y si la velocidad entre los ejes a lo largo del <span style="font-style: italic;">eje-y</span> es V<sub>y</sub> = (5/6) c, y si la velocidad entre los ejes a lo largo del eje-z es V<sub>z </sub>= (1/2) c, ¿cuál es la matriz que representa la transformación general de Lorentz entre el sistema de referencia S y el sistema de referencia S’?<br /><br />Ya se había mencionado en una entrada anterior que si realmente estamos interesados en derivar las relaciones que corresponden a la transformación general de Lorentz cuando los marcos de referencia están en movimiento relativo el uno con respecto al otro a través de tres ejes coordenados en lugar de uno solo, la demostración se puede simplificar enormemente si recurrimos a notación vectorial <span style="font-style: italic;">clásica</span> denotando como el vector posición <span style="font-weight: bold;">x</span> a la ubicación de un punto en el sistema coordenado S:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">x</span> = (x, y, z)<br /></div><br />y denotando la ubicación del mismo punto en el sistema coordenado S’ como:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">x’</span> = (x’, y’, z’)<br /></div><br />simbolizando asimismo a la velocidad relativa V que hay entre los dos marcos de referencia como un vector <span style="font-weight: bold;">V</span> (con letra negrita) con componentes relativos en cada uno de los tres ejes Cartesianos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">v</span> = (V<sub>x</sub>, V<sub>y</sub>, V<sub>z</sub>)<br /></div><br />Lo anterior lo hacemos en conjunción con la notación vectorial del <span style="font-style: italic;">producto punto</span> ó <span style="font-style: italic;">producto escalar</span> entre dos vectores:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">x · v</span> = (x, y, z) <span style="font-weight: bold;">·</span> (V<sub>x</sub>, V<sub>y</sub>, V<sub>z</sub>) = xV<sub>x</sub> + yV<sub>y</sub> + zV<sub>z</sub><br /></div><br />Con esta notación, estamos preparados para obtener la transformación general de Lorentz que estamos buscando tanto para las componentes espaciales como para la componente temporal.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Suponiendo que el movimiento relativo entre dos sistemas de referencia a una velocidad V se lleva a cabo no sólo a lo largo del eje-x sino también a lo largo del eje-y y del eje-z, demostrar que la transformación general de Lorentz está dada por las siguientes dos relaciones:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKDzZk_I2l2Bo8T4P5BVSi4cSUr8_aJAwNjUiQ64ErFFkuvbJgW0RZXiPAkr7KZ11tHSbGKzH7uBalg-Ssg31rILwmTydDVCXQ71CfVWoKrwlUSodGEGHmhYc2x5zlBnRsC_0g9EO5LaTP/s1600-h/transformacion_generalizada_de_Lorentz_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 289px; height: 48px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKDzZk_I2l2Bo8T4P5BVSi4cSUr8_aJAwNjUiQ64ErFFkuvbJgW0RZXiPAkr7KZ11tHSbGKzH7uBalg-Ssg31rILwmTydDVCXQ71CfVWoKrwlUSodGEGHmhYc2x5zlBnRsC_0g9EO5LaTP/s400/transformacion_generalizada_de_Lorentz_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376947736407568322" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO5wbvA8_MIFXWlBcorunTKj_zOpUARqqVCQIkEoodpuy_fXTIBqI4qdw8UbAeA0PRkZA-uboyHTA5lQVZhVER_7KARmeq6oEzHOXv_p-T-IixmG2jbqK5caanjyjS1RaXRhV8HfKjwduU/s1600-h/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 50px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO5wbvA8_MIFXWlBcorunTKj_zOpUARqqVCQIkEoodpuy_fXTIBqI4qdw8UbAeA0PRkZA-uboyHTA5lQVZhVER_7KARmeq6oEzHOXv_p-T-IixmG2jbqK5caanjyjS1RaXRhV8HfKjwduU/s400/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376948023517947522" border="0" /></a><br /></div><br />Este problema es ni más ni menos que la obtención de las transformación <span style="font-style: italic;">general</span> de Lorentz en la cual el movimiento relativo entre los dos marcos de referencia no está limitado ya a un movimiento relativo entre los ejes-x. La clave para la resolución de este problema radica en darse cuenta que la única transformación Lorentziana de componentes se llevará a cabo únicamente sobre aquellos componentes vectoriales que estén dirigidos <span style="color: rgb(255, 0, 0);">en la misma dirección</span> (<span style="font-style: italic;">paralelos,</span> en el espacio tri-dimensional) al vector de velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> que ocurre entre ambos marcos de referencia. Los componentes que sean perpendiculares permanecerán inalterados ya que no recibirán un “empuje” (<span style="font-style: italic;">boost</span>) Lorentziano. El <span style="font-style: italic;">vector posición</span> <span style="font-weight: bold;">x</span> de un punto en el sistema de referencia S se puede descomponer en la <span style="font-style: italic;">suma vectorial</span> de dos vectores, uno perpendicular (en la misma dirección) que el vector velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span>, y el otro paralelo al vector velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWWEtWTCpVy94j_BinCY4m5uqOAWB-X6-MwNJeqgg1EzgccGeyQTBnISFr7eFWsjHjlpkyfjmJEQ7a0jWyuA78wOkdYD9f6l9d3O36JWg7iCugyiViFhB2QAJobN3W8veiXAeyusRC4-4/s1600-h/paso_intermedio_suma_vectorial_vectores_perpendicular_paralelo.png"><img style="cursor: pointer; width: 148px; height: 39px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWWEtWTCpVy94j_BinCY4m5uqOAWB-X6-MwNJeqgg1EzgccGeyQTBnISFr7eFWsjHjlpkyfjmJEQ7a0jWyuA78wOkdYD9f6l9d3O36JWg7iCugyiViFhB2QAJobN3W8veiXAeyusRC4-4/s400/paso_intermedio_suma_vectorial_vectores_perpendicular_paralelo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381452998402776706" border="0" /></a><br /></div><br />Gráficamente, lo que estamos haciendo es lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF1xBo5ME_fSxFq9Q1IlJZPyt6hdTHnb1GFmY6ntLMHNe5YXI8SyDbFWkH2CEm1pHq5BmMQOUkM_KRydAVBESMidwIKAMoiBZifaXkySpoU307LNeiLZSyiHfQaV_fLqEgHuvzP6Uoe9Y/s1600-h/proyeccion_vector_posicion_sobre_vector_velocidad.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 363px; height: 276px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF1xBo5ME_fSxFq9Q1IlJZPyt6hdTHnb1GFmY6ntLMHNe5YXI8SyDbFWkH2CEm1pHq5BmMQOUkM_KRydAVBESMidwIKAMoiBZifaXkySpoU307LNeiLZSyiHfQaV_fLqEgHuvzP6Uoe9Y/s400/proyeccion_vector_posicion_sobre_vector_velocidad.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381786138149913730" border="0" /></a><br /></div><br />La componente perpendicular al vector velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> permanecerá inalterada entre ambos marcos de referencia:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5XCgdaX9jPUgZAUTSAVxuvVSl2-2xPdy73hXqnK-Wk7e1Nnu-6Oyp9m5ao0E1m7_7xCU_hVIKc0MUMkmVBnAPeSYp6fFOV7BT6CRmhHy8lohoncm7dULck0SiMnSUZLgmVBoN4uJZRkA/s1600-h/paso_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 112px; height: 43px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5XCgdaX9jPUgZAUTSAVxuvVSl2-2xPdy73hXqnK-Wk7e1Nnu-6Oyp9m5ao0E1m7_7xCU_hVIKc0MUMkmVBnAPeSYp6fFOV7BT6CRmhHy8lohoncm7dULck0SiMnSUZLgmVBoN4uJZRkA/s400/paso_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381453531283506386" border="0" /></a><br /></div><br />mientras que la componente del vector posición <span style="font-style: italic;">paralela</span> al vector velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> sufrirá un <span style="font-style: italic;">empuje Lorentziano</span>, el cual vectorialmente es una extensión de la transformación básica de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">x’ = γ(x - Vt)<br /></div><br />que ya habíamos obtenido anteriormente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5jHPT59VEHONBUfCYiS-dXHZjReIYRY5xQ_K9y48UIF2xh8U3zVySYllbvverNrSt8EducpEPrV4inUjgELz_f_yU-PGbMMm4jLOYu14gn6g2-s-cbPCI2YkGh4TRcLxjo0PtYNUd9mA/s1600-h/paso_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 181px; height: 41px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5jHPT59VEHONBUfCYiS-dXHZjReIYRY5xQ_K9y48UIF2xh8U3zVySYllbvverNrSt8EducpEPrV4inUjgELz_f_yU-PGbMMm4jLOYu14gn6g2-s-cbPCI2YkGh4TRcLxjo0PtYNUd9mA/s400/paso_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381457050868247026" border="0" /></a><br /></div><br />En la derivación que llevaremos a cabo, utilizaremos la siguiente relación vectorial que se demuestra en cualquier curso bueno de Análisis Vectorial:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1Q4RsAnsUPFlmW3Ae7u-OZtGS2jl0BnxLKTSUvZpRBXjiP1cYf5AI0iOWjwVXKSc3riL9HKR7Rja410ICHwxDzelvEuA0_EdEaGk9j3IX86n5cYFIfRhtsvAje6-eb3I0lrrqL22lDE8/s1600-h/paso_relacion_proyeccion_de_un_vector_A_sobre_un_vector_B.png"><img style="cursor: pointer; width: 146px; height: 52px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1Q4RsAnsUPFlmW3Ae7u-OZtGS2jl0BnxLKTSUvZpRBXjiP1cYf5AI0iOWjwVXKSc3riL9HKR7Rja410ICHwxDzelvEuA0_EdEaGk9j3IX86n5cYFIfRhtsvAje6-eb3I0lrrqL22lDE8/s400/paso_relacion_proyeccion_de_un_vector_A_sobre_un_vector_B.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381788066376534994" border="0" /></a><br /></div><br />Esta relación nos dice que si descomponemos a un vector <span style="font-weight: bold;">A</span> (que en nuestro caso será el vector posición <span style="font-weight: bold;">x</span>) en la suma vectorial de una componente perpendicular a otro vector <span style="font-weight: bold;">B</span> y en una componente paralela al vector <span style="font-weight: bold;">B</span> (a la cual llamamos la <span style="font-style: italic;">proyección</span> de <span style="font-weight: bold;">A</span> sobre <span style="font-weight: bold;">B</span>) la componente paralela será igual al <span style="font-style: italic;">producto escalar</span> de los vectores <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> (<span style="font-weight: bold;">A·B</span>) entre el cuadrado de la <span style="font-style: italic;">magnitud</span> del vector <span style="font-weight: bold;">B</span> (= B²) multiplicado todo por el vector <span style="font-weight: bold;">B</span> que le fija dirección a dicha componente en el mismo sentido de <span style="font-weight: bold;">B</span>. En nuestro caso, la relación nos garantiza que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaJoHNZHFaz8rAueWaRXBa2LUimzOYx3Y7-pvEWHiOu_MYuAXq4PJ98JtdPc3bfP8u1-1imWnFAQX9xwf6qi4DRebP_mwesOg1WKVJ_uvzH-aiSJYqp_sSepPNfbFLMOuPtP3sQwWaE2w/s1600-h/paso_intermedio_vector_posicion_paralelo.png"><img style="cursor: pointer; width: 154px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaJoHNZHFaz8rAueWaRXBa2LUimzOYx3Y7-pvEWHiOu_MYuAXq4PJ98JtdPc3bfP8u1-1imWnFAQX9xwf6qi4DRebP_mwesOg1WKVJ_uvzH-aiSJYqp_sSepPNfbFLMOuPtP3sQwWaE2w/s400/paso_intermedio_vector_posicion_paralelo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381790380579865554" border="0" /></a><br /></div><br />Ahora bien, el vector posición <span style="font-weight: bold;">x’</span> en el sistema de referencia S’ también se debe poder descomponer en dos componentes, una perpendicular y la otra paralela al vector velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOHDOziDtRvV_sjJ__63d7eY0wQRSnSS_4t2CzGj8JtlL2-3E8rDfMA-LXD6nY3bVEUfst0vPorJaIiile1kwH9TekiJHwGfbrqb9CrHAmsoQCgZDihfCm4Pz7pEKmZIMBeZHR_zlhpj4/s1600-h/paso_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 156px; height: 42px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOHDOziDtRvV_sjJ__63d7eY0wQRSnSS_4t2CzGj8JtlL2-3E8rDfMA-LXD6nY3bVEUfst0vPorJaIiile1kwH9TekiJHwGfbrqb9CrHAmsoQCgZDihfCm4Pz7pEKmZIMBeZHR_zlhpj4/s400/paso_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381791092075665410" border="0" /></a><br /></div><br />Introducimos aquí la relación de transformación de Lorentz dada arriba:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdoDWonJMIQQpoIYWxrd9eSLUE6Irs7fevPpRhAYNPxscb4KZmn9ROh_1lNdAqgfdWEumHBX5oC2vM95yPr6RajNEViZ731FmqJlUi0sGZj9L_PAJgojS4dU-oTD4uuzyTlJ3aO538zgE/s1600-h/paso_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 236px; height: 39px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdoDWonJMIQQpoIYWxrd9eSLUE6Irs7fevPpRhAYNPxscb4KZmn9ROh_1lNdAqgfdWEumHBX5oC2vM95yPr6RajNEViZ731FmqJlUi0sGZj9L_PAJgojS4dU-oTD4uuzyTlJ3aO538zgE/s400/paso_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381791939346654930" border="0" /></a><br /></div><br />Recurrimos ahora a la relación vectorial dada arriba:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWQWcvvrJLuxwbo51hsrKun_O6oi0yRlWI3kcvMTpfAAJwzyqjkCslYEV1vgvOVajDbuEPnJm32TPP6kwl6TeDhbHcwfeFgHmgmWkBAZ2E9EOl15L01C4-LvyknG_46nx5gTC8Fl9LflU/s1600-h/paso_5.png"><img style="cursor: pointer; width: 306px; height: 73px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWQWcvvrJLuxwbo51hsrKun_O6oi0yRlWI3kcvMTpfAAJwzyqjkCslYEV1vgvOVajDbuEPnJm32TPP6kwl6TeDhbHcwfeFgHmgmWkBAZ2E9EOl15L01C4-LvyknG_46nx5gTC8Fl9LflU/s400/paso_5.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381792589610182354" border="0" /></a><br /></div><br />A continuación, sacamos fuera de los paréntesis cuadrados el vector velocidad <span style="font-weight: bold;">v</span> y metemos el factor γ:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizrC0S8onwDjzouk2c5_UxdYliqDZRVTlehH0TqK5XwaP5ITDsvLmxtUiaz3KnkNzUzrwYbellIbNPD-WB-Kvh5sg1E1leq2xZsp0lL2OXDUEYjJ9V9uB2ZQo0c2VBZ6BcsT-A1UniSAY/s1600-h/paso_6.png"><img style="cursor: pointer; width: 305px; height: 73px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizrC0S8onwDjzouk2c5_UxdYliqDZRVTlehH0TqK5XwaP5ITDsvLmxtUiaz3KnkNzUzrwYbellIbNPD-WB-Kvh5sg1E1leq2xZsp0lL2OXDUEYjJ9V9uB2ZQo0c2VBZ6BcsT-A1UniSAY/s400/paso_6.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381793295023473362" border="0" /></a><br /></div><br />Hacemos uso ahora de la descomposición del vector posición <span style="font-weight: bold;">x</span> en sus componentes paralela y perpendicular puesta arriba:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeKshIOJpZaXUIdlVg0-FRoERn3t8pYb8xOEiTOZpYwmuvXI0jb73662QnwXfHhNt_XFdreOVJxlyXoxHxblFCw0_-9Ha6Eb2cp450xh3fXEIKOiP9wkuNjo3aVZ40AslcaS9yktm3Zro/s1600-h/paso_7.png"><img style="cursor: pointer; width: 346px; height: 73px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeKshIOJpZaXUIdlVg0-FRoERn3t8pYb8xOEiTOZpYwmuvXI0jb73662QnwXfHhNt_XFdreOVJxlyXoxHxblFCw0_-9Ha6Eb2cp450xh3fXEIKOiP9wkuNjo3aVZ40AslcaS9yktm3Zro/s400/paso_7.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381794013213874194" border="0" /></a><br /></div><br />Nuevamente recurrimos a la relación vectorial dada arriba:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhINiD1OzcYTCqk43P1Rx1dkyT-HckHNqydJXN6Ecr7Nc0qUAnn614S2JwoVd-dJEOYTeBu8Kg0YYlF1Fg3HA_Oa5HIQJ1N-VFEqYNVsHhBayQQ3vmlveAGnQLDZg0Gbjcb0rygcaumbjw/s1600-h/paso_8.png"><img style="cursor: pointer; width: 356px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhINiD1OzcYTCqk43P1Rx1dkyT-HckHNqydJXN6Ecr7Nc0qUAnn614S2JwoVd-dJEOYTeBu8Kg0YYlF1Fg3HA_Oa5HIQJ1N-VFEqYNVsHhBayQQ3vmlveAGnQLDZg0Gbjcb0rygcaumbjw/s400/paso_8.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381794491650442690" border="0" /></a><br /></div><br />Metemos el segundo término dentro de los paréntesis cuadrados:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjo-Vak4pteMqbCnD9XAzf4NVMNcQmtdRrYi8jPucRI_kS8Xyf1vG_bo1EvcxOaAm92NQWcoBi2rwrhJGygxTr9gp5ShnFJsU6-ccsv9-u2Y257wBRL5-I5GbQSxpzizEnsrhNdVICO0cM/s1600-h/paso_9.png"><img style="cursor: pointer; width: 349px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjo-Vak4pteMqbCnD9XAzf4NVMNcQmtdRrYi8jPucRI_kS8Xyf1vG_bo1EvcxOaAm92NQWcoBi2rwrhJGygxTr9gp5ShnFJsU6-ccsv9-u2Y257wBRL5-I5GbQSxpzizEnsrhNdVICO0cM/s400/paso_9.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381794872016606610" border="0" /></a><br /></div><br />Por último, factorizando a la constante γ que obra en el primer término y el segundo término de los paréntesis cuadrados, obtenemos la relación general de transformación de Lorentz para las coordenadas espaciales dada arriba.<br /><br />En lo que respecta a la coordenada del tiempo, la coordenada temporal, tomando como base la transformación de Lorentz para dicha coordenada cuando el movimiento se lleva a cabo única y exclusivamente entre los ejes-x:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’ = γ(t - Vx/c²)<br /><br />t’ = γ[t - (V/c²) x]<br /></div><br />introducimos para <span style="font-weight: bold;">x</span> la <span style="font-style: italic;">magnitud</span> del vector posición (¡no el vector!) que corresponde a la componente paralela al vector velocidad que dá el empuje de Lorentz, y que viene siendo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-edUtY735b9OYh_77EUQceS9T1O5uHTI6ymnzgcAzFtrj6Uv6mlRxZd2Jurz2bpJJuIwI07SDusGha7GGM-rjqdMC776a5cK_9kOpy9Nvfd4ALnB14opyJhoDtvdM6I4S3j6MjMGnAUU/s1600-h/paso_temporal_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 238px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-edUtY735b9OYh_77EUQceS9T1O5uHTI6ymnzgcAzFtrj6Uv6mlRxZd2Jurz2bpJJuIwI07SDusGha7GGM-rjqdMC776a5cK_9kOpy9Nvfd4ALnB14opyJhoDtvdM6I4S3j6MjMGnAUU/s400/paso_temporal_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381797326629734946" border="0" /></a><br /></div><br />Metiendo esta relación arriba para convertirla en una transformación general de Lorentz para la coordenada del tiempo obtenemos el paso que completa las demostraciones pedidas:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO5wbvA8_MIFXWlBcorunTKj_zOpUARqqVCQIkEoodpuy_fXTIBqI4qdw8UbAeA0PRkZA-uboyHTA5lQVZhVER_7KARmeq6oEzHOXv_p-T-IixmG2jbqK5caanjyjS1RaXRhV8HfKjwduU/s1600-h/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 50px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO5wbvA8_MIFXWlBcorunTKj_zOpUARqqVCQIkEoodpuy_fXTIBqI4qdw8UbAeA0PRkZA-uboyHTA5lQVZhVER_7KARmeq6oEzHOXv_p-T-IixmG2jbqK5caanjyjS1RaXRhV8HfKjwduU/s400/transformacion_generalizada_de_Lorentz_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376948023517947522" border="0" /></a><br /></div><br />Al recurrir a notación vectorial para resolver en forma abreviada lo que de otra manera sería un problema laborioso si usáramos la notación explícita de las componentes rectangulares (Cartesianas) estamos haciendo algo parecido a lo que hizo Einstein al recurrir a la notación <span style="font-style: italic;">tensorial</span> por las mismas razones.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-21672223751575605702009-03-18T20:00:00.000-07:002009-09-20T13:57:18.607-07:0015: Los 4-vectores IDarle a la Teoría Especial de la Relatividad una interpretación geométrica resultó ser el paso crucial que preparó a Einstein para poder concebir la Teoría General de la Relatividad. Para ello, el paso intermedio resultó ser la adopción de lo que matemáticamente conocemos como los <span style="font-weight: bold;">4-vectores</span>.<br /><br />Si bien hemos definido el momentum relativista y la energía relativista, es lógico suponer que ambas cantidades tomadas independientemente la una de la otra no permanecerán invariantes al pasar de un marco de referencia a otro. Podemos esperar que el simple momentum relativista P = γm<sub>0</sub>u cambie al pasar de un marco de referencia a otro en virtud de que con el cambio del marco de referencia la velocidad u de un cuerpo ya no será la misma para distintos observadores. Y de la energía relativista podemos afirmar otro tanto similar. Requerimos, pues, establecer las ecuaciones de transformación con las cuales dados el momentum relativista y la energía relativista de un cuerpo en cierto marco de referencia podamos obtener el momentum relativista y la energía relativista del mismo cuerpo en otro marco de referencia.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Obtener las transformaciones del momentum y la energía que deben ser utilizadas al pasar de un marco de referencia a otro cuando ambos marcos están moviéndose el uno con respecto al otro a una velocidad relativa V con respecto a sus ejes comunes alineados en x. Obtener asimismo las transformaciones inversas.</span><br /><br />En el caso de la energía, puesto que la energía es una cantidad escalar que no posee dirección y sentido, sólo requerimos de una ecuación de transformación. En cambio el momentum, por ser una cantidad vectorial que definitivamente posee dirección y sentido, este momentum <span style="font-weight: bold;">p</span> tendrá tres componentes distintas en un sistema de coordenadas rectangulares (Cartesiano) que serán el triplete (p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>).<br /><br />Ya habíamos visto que el momentum relativista (dentro del marco de referencia S de un observador en reposo) de un cuerpo con <span style="font-style: italic;">masa propia</span> m<sub>0</sub> moviéndose a una velocidad u está dado por la relación:<br /><br /><div style="text-align: center;">p = γm<sub>0</sub>u² = m<sub>0</sub>u²/√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span></div><br />Por otro lado, ya habíamos visto también que la energía <span style="font-style: italic;">total </span>del mismo cuerpo moviéndose a esa velocidad u está dada por la relación:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = γm<sub>0</sub>c² = m<sub>0</sub>c²/√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span><br /></div><br />Vamos a poner ahora a dicho cuerpo en un marco de referencia que está moviéndose a una velocidad V a lo largo del eje-x, dentro del cual el cuerpo tendrá una velocidad u’. Es importante recordar que esta velocidad u’ es una velocidad que no está confinada única y exclusivamente al eje-x, ya que puede tener componentes en los otros dos ejes que sumados vectorialmente nos dan la velocidad resultante u en el marco de referencia S’:<br /><br /><div style="text-align: center;">(u’)² = (u’<sub>x</sub>)² + (u’<sub>y</sub>)²+ (u’<sub>z</sub>)²<br /></div><br />Obviamente, y del mismo modo, en el marco de referencia S:<br /><br /><div style="text-align: center;">(u)² = (u<sub>x</sub>)² + (u<sub>y</sub>)²+ (u<sub>z</sub>)²<br /></div><br />Adoptaremos ahora una convención a la que nos aferraremos rígidamente. El símbolo <span style="font-weight: bold;">γ</span> lo reservaremos única y exclusivamente para denotar el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia a lo largo de sus ejes comunes en la abcisa x a una velocidad V, o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">γ = /√</span><span style="text-decoration: overline;font-size:130%;" >1 - V²/c²</span><span style="font-size:130%;"><br /></span></div><br />Lo anterior significa que, <span style="font-style: italic;">en ningún momento</span>, intentaremos utilizar el símbolo <span style="font-weight: bold;">γ</span> para representar ya sea:<br /><br /><div style="text-align: center;">1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span><br /></div><br />ó:<br /><br /><div style="text-align: center;">1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - (u’</span><span style="text-decoration: overline;">)²/c²</span><br /></div><br />Estas últimas dos expresiones las dejaremos <span style="font-style: italic;">tal cual</span>. Esta aclaración es importante porque el tratar de asignarles el símbolo <span style="font-weight: bold;">γ</span> a cualquiera de ellas (ó ambas) puede ser causa de confusión posterior dificultando las derivaciones que estamos tratando de llevar a cabo.<br /><br />Las componentes en un sistema de coordenadas rectangulares de la velocidad u del cuerpo en el marco de referencia S están relacionadas con las componentes en un sistema de coordenadas rectangulares de la velocidad u’ del cuerpo en el marco de referencia S’ de acuerdo con la <span style="font-style: italic;">suma relativista de velocidades</span> que ya habíamos estudiado con anterioridad:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSOIhfWjAQOBhFDw2zXVsZ-m2LBr8yoscW14Tk6Svhr8juC_HXSR-nqOQc00NCmKV5aNUmnPQNDq77ny-oWUcncyTX9etWlBC_B-6H5J8dtFQY9z8fXIt-r3lKCikqx21kIcrfQj7InkWM/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_x_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 112px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSOIhfWjAQOBhFDw2zXVsZ-m2LBr8yoscW14Tk6Svhr8juC_HXSR-nqOQc00NCmKV5aNUmnPQNDq77ny-oWUcncyTX9etWlBC_B-6H5J8dtFQY9z8fXIt-r3lKCikqx21kIcrfQj7InkWM/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_x_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327525459264327522" border="0" /></a><br /></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxWTVCGAVHu-NCbMFFC4hq7sR1Z7LpTA1AY-GdHNgAQrSw18uIa4BJrvFdo8pgZj-JPvRM64hwOIcQSoUPx9QQMRNDE_i3o7vmwZqAUqPA-Z2VEI9PLMWOJXgbV-VZl2vfarvewIMfN7mn/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_y_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 138px; height: 55px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxWTVCGAVHu-NCbMFFC4hq7sR1Z7LpTA1AY-GdHNgAQrSw18uIa4BJrvFdo8pgZj-JPvRM64hwOIcQSoUPx9QQMRNDE_i3o7vmwZqAUqPA-Z2VEI9PLMWOJXgbV-VZl2vfarvewIMfN7mn/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_y_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327527199534978658" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3ye5ynsM-85NneB1x0ZEmVa6KXwyAbrhI0g-pZzzBd3AAuilivLJmF1HDfMzVvkZQUn8_qieFDAAmRsTQz2zfS7lIGMQqZbXJKHZNaKSJ-2ntLSG2HDUDN8N-wQ9ZjTDMA6gELFaqlBh/s1600-h/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_z_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 138px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3ye5ynsM-85NneB1x0ZEmVa6KXwyAbrhI0g-pZzzBd3AAuilivLJmF1HDfMzVvkZQUn8_qieFDAAmRsTQz2zfS7lIGMQqZbXJKHZNaKSJ-2ntLSG2HDUDN8N-wQ9ZjTDMA6gELFaqlBh/s400/transformacion_relativistica_de_velocidad_en_z_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5327528069180739794" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Dada la similitud de los cálculos algebraicos requeridos para obtener las transformaciones de momentum y energía de un marco de referencia a otro, llevaremos a cabo aquí una manipulación general que servirá para ambos casos. Podemos ver de ambas relaciones para el momentum y la energía que requerimos poner el denominador de ambas:<br /><br /><div style="text-align: center;">1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span><br /></div><br />en función de u’<sub>x</sub>, u’<sub>y</sub> y de u’<sub>z</sub>, haciéndolo a través de u. Empezaremos primero por la relación:<br /><br /><div style="text-align: center;">u² = (u<sub>x</sub>)² + (u<sub>y</sub>)²+ (u<sub>z</sub>)²<br /></div><br />introduciendo en la misma las tres transformaciones dadas arriba para la suma relativista de velocidades en cada uno de los tres ejes:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7rykb0sDIS6-vM74VJZHr8n23i5V9XbnKGaPLY6XcxtonJ14lKUBS8JhodM3Vx3hbX0EMOdPvcVw-TyQ1lpa5BpwZkjBVAMN7rBFmt_K178UMb6xorunXGqdWTQTXO7MqLuTE3ReOz2qx/s1600-h/paso_intermedio.png"><img style="cursor: pointer; width: 374px; height: 145px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7rykb0sDIS6-vM74VJZHr8n23i5V9XbnKGaPLY6XcxtonJ14lKUBS8JhodM3Vx3hbX0EMOdPvcVw-TyQ1lpa5BpwZkjBVAMN7rBFmt_K178UMb6xorunXGqdWTQTXO7MqLuTE3ReOz2qx/s400/paso_intermedio.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372126265423480418" border="0" /></a><br /></div><br />Elevando al cuadrado el lado derecho y poniendo todo bajo común denominador:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgajxTdQGkmrl60CJjrned0V1g1cIAyxu9WBlseB0H0DjLjajsk2TFu9nMcLrqDsAg-39Jvd53Qs9gpiky-dPk990YC5yoYUQW8aoyExvkgvQhsYet_ihZVAhFc2Ldb-RCttOY7ltg3_rL0/s1600-h/paso_intermedio_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 287px; height: 69px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgajxTdQGkmrl60CJjrned0V1g1cIAyxu9WBlseB0H0DjLjajsk2TFu9nMcLrqDsAg-39Jvd53Qs9gpiky-dPk990YC5yoYUQW8aoyExvkgvQhsYet_ihZVAhFc2Ldb-RCttOY7ltg3_rL0/s400/paso_intermedio_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372128961037681218" border="0" /></a><br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4YMvrcYlw1_lKPVXOJXxSVWGpC071onGkS0fUptrlJTJLjaJuqwaxWn1TU3kcVUhDzyZfl56s39AlK_WjTDoV4ivD99khdZSPC1m4FXupZMTQqnZMIdrJ_YeOZp7YMeC6LvUFju57lO6s/s1600-h/paso_intermedio_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 358px; height: 138px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4YMvrcYlw1_lKPVXOJXxSVWGpC071onGkS0fUptrlJTJLjaJuqwaxWn1TU3kcVUhDzyZfl56s39AlK_WjTDoV4ivD99khdZSPC1m4FXupZMTQqnZMIdrJ_YeOZp7YMeC6LvUFju57lO6s/s400/paso_intermedio_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372130616697261666" border="0" /></a><br /></div><br />En el lado derecho de la igualdad, después de haber puesto todo bajo un común denominador, tenemos el siguiente numerador:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ²c² (1 + Vu’<sub>x</sub>/c²)² - γ² (u’<sub>x</sub> + V)² - u’<sub>y</sub>² - u’<sub>z</sub>²<br /></div><br />Como paso intermedio de simplificación, factorizaremos <span style="font-weight: bold;"></span>ahora a <span style="font-weight: bold;">γ</span> sacándolo del camino:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ²[c² (1 + Vu’<sub>x</sub>/c²)² - (u’<sub>x</sub> + V)² - u’<sub>y</sub>²/γ² - u’<sub>z</sub>²/γ²]<br /><div style="text-align: left;"><br />Dentro de los paréntesis cuadrados, en relación a los dos últimos términos, tenemos 1/γ², que es igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">1/γ² = 1 - V²/c²<br /></div><br />con lo cual:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ²[c² (1 + Vu’<sub>x</sub>/c²)² - (u’<sub>x</sub> + V)² - u’<sub>y</sub>²(1 - V²/c²) - u’<sub>z</sub>²(1 - V²/c²)]<br /></div><div style="text-align: left;"><br /></div>Expandiendo los binomios cuadráticos y removiendo paréntesis:<br /></div></div><br /><div style="text-align: center;">γ²[c² <span style="color: rgb(255, 0, 0);">+ 2Vu’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">x</sub> + V²u’<sub>x</sub>²/c² - u’<sub>x</sub>² <span style="color: rgb(255, 0, 0);">- 2u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">x</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">V</span> - V² - u’<sub>y</sub>² + V²u’<sub>y</sub>²/c² - u’<sub>z</sub>² + V²u’<sub>z</sub>²/c² ]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">γ²[c² <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>- V² + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">V²u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">x</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">²/c² </span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">- u’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">x</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">²</span> <span style="color: rgb(51, 51, 255);">- u’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">y</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">V²u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">y</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">²/c²</span> <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">- u’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">z</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">²</span> + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">V²u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">z</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">²/c²</span>]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">γ²[c² - V² + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">(u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">x</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">² + u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">y</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">²+ u’</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">z</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">²)</span>V²/c² - <span style="color: rgb(51, 51, 255);">(u’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">x</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">² + u’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">y</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">²+ u’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">z</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">²)</span>]<br /></div><br />Para continuar simplificando el numerador, recurrimos a la relación dada arriba:<br /><br /><div style="text-align: center;">(u’<sub>x</sub>)² + (u’<sub>y</sub>)²+ (u’<sub>z</sub>)² = (u’)²<br /></div><br />con lo cual podemos continuar adelante con la simplificación:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ²[c² - V² + u’²V²/c² -u’²)]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">γ²[c² - V² - u’²(1 - V²/c²)]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">γ²[c²(1 - V²/c²) - u’²(1 - V²/c²)]<br /></div><br /><div style="text-align: center;">γ²[(1 - V²/c²)(c² - u’²)]<br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">γ²c²</span>(1 - V²/c²)(1 - u’²/c²)<br /></div><br />Poniendo este numerador simplificado sobre el denominador:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">γ²c²</span> (1 + Vu’<sub>x</sub> ²/c²)²<br /></div><br />entonces tras cancelarse mutuamente los factores γ²c² que hay arriba en el numerador y abajo en el denominador tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPPZhLb75yz3kminga6IXjWk6FFqO4GS24BJ7N4sd8AeI4F3j0BCMdqTcvTXIhdu2UAMyVC2zbvmKZ0zEbnBO234QllsL7eOul9yj4GXVDiAys0F94qSrUV-S3Ywj35BRsQyZpeY1MOyPq/s1600-h/paso_intermedio_6.png"><img style="cursor: pointer; width: 320px; height: 66px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPPZhLb75yz3kminga6IXjWk6FFqO4GS24BJ7N4sd8AeI4F3j0BCMdqTcvTXIhdu2UAMyVC2zbvmKZ0zEbnBO234QllsL7eOul9yj4GXVDiAys0F94qSrUV-S3Ywj35BRsQyZpeY1MOyPq/s400/paso_intermedio_6.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5373202928006703922" border="0" /></a><br /></div><br />Invirtiendo ambos miembros de la igualdad y extrayendo raíz cuadrada:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6y8UoIQAk-mX_tRfnF-bs8JSilhrz1NUdKjRQMnA8FPwVpWpJb3Uo0VkLmrcCZuVhGgo-ls3QHgLYemvCvTZ8Rx6NFkvh54syw4vqUhlJF65qC7KZM3ct7si4r0B018YgRxw1gfjWirGH/s1600-h/paso_intermedio_7.png"><img style="cursor: pointer; width: 378px; height: 80px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6y8UoIQAk-mX_tRfnF-bs8JSilhrz1NUdKjRQMnA8FPwVpWpJb3Uo0VkLmrcCZuVhGgo-ls3QHgLYemvCvTZ8Rx6NFkvh54syw4vqUhlJF65qC7KZM3ct7si4r0B018YgRxw1gfjWirGH/s400/paso_intermedio_7.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5373202270044280098" border="0" /></a><br /></div><br />Reestableciendo la cantidad <span style="font-weight: bold;">γ</span> subiendo √<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> al numerador para formar 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span> :<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjarbNjEMRx-yaeApHzGZ4QkaU02ob6K2841yw2PfWedfqSlcbGWA_1RteiUHfZDCuxfxiUX2j5T9t_o4QF2ySso2CLtsZGPgpmX-cUY8mjdmsy_XC97GpMd5INTZ72pcueT8wNBo-Fc1L6/s1600-h/paso_intermedio_8.png"><img style="cursor: pointer; width: 257px; height: 84px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjarbNjEMRx-yaeApHzGZ4QkaU02ob6K2841yw2PfWedfqSlcbGWA_1RteiUHfZDCuxfxiUX2j5T9t_o4QF2ySso2CLtsZGPgpmX-cUY8mjdmsy_XC97GpMd5INTZ72pcueT8wNBo-Fc1L6/s400/paso_intermedio_8.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5373202015586725538" border="0" /></a><br /></div><br />Con esto, encontramos que la componente del momentum sobre el eje-x, P<sub>x</sub>, que está definida por la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguoQqtBfqxuiCPp-l_4fgtNEmDAUmcyN4TZtBZKWp-69Fst43xwJhRLfXhBXzop4434za-pHljYuY3ZVvjZYr-6hAp_oWKFE9nL50CS0rvWM4XavlsfwdrlWnosjbEVj9xsFYmY2zeJgXf/s1600-h/momentum_x_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 176px; height: 60px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguoQqtBfqxuiCPp-l_4fgtNEmDAUmcyN4TZtBZKWp-69Fst43xwJhRLfXhBXzop4434za-pHljYuY3ZVvjZYr-6hAp_oWKFE9nL50CS0rvWM4XavlsfwdrlWnosjbEVj9xsFYmY2zeJgXf/s400/momentum_x_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372133997086503010" border="0" /></a><br /></div><br />toma la siguiente forma con el resultado que obtuvimos arriba para 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - u²/c²</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjP5AIzpANInPrEDUgS32RWJ0aZIwSSWIArpwadqnWkAGjTM-2JKPEPK_PyDxSQhb1lIt-oe1mY83R-MEYPJcithf7Ua19tMqM2Y3hxEsKq_L1GtFwcBTvEbBqjgHPTe-80RUpY6YufomjW/s1600-h/momentum_x_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 322px; height: 72px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjP5AIzpANInPrEDUgS32RWJ0aZIwSSWIArpwadqnWkAGjTM-2JKPEPK_PyDxSQhb1lIt-oe1mY83R-MEYPJcithf7Ua19tMqM2Y3hxEsKq_L1GtFwcBTvEbBqjgHPTe-80RUpY6YufomjW/s400/momentum_x_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372136430479183618" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWkEIM10zrCpRV6nzUTiOV8rg3k9py1YXPClb_J_07pjArFKk7zIgPcVyRxXbSYEfVeUtrD7dgd64zPTO0Ub6f7BQNP98OIl8avUOhfFW_t5XtR4QvHBbDTN7S9o2qKoxvS1p4u1D3yAUv/s1600-h/momentum_x_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 168px; height: 58px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWkEIM10zrCpRV6nzUTiOV8rg3k9py1YXPClb_J_07pjArFKk7zIgPcVyRxXbSYEfVeUtrD7dgd64zPTO0Ub6f7BQNP98OIl8avUOhfFW_t5XtR4QvHBbDTN7S9o2qKoxvS1p4u1D3yAUv/s400/momentum_x_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372137088216923154" border="0" /></a><br /></div><br />Teniendo en mente que el desplazamiento relativo entre los marcos de referencia S y S’ ocurre únicamente a lo largo del eje-x, la componente del momentum sobre el eje-y, <span style="font-style: italic;">P</span><sub style="font-style: italic;">y</sub>, está dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibgffjC-xBQhuXVKjh2wpG5hGdyt9ZV2hzVK2HgSW4qEGzGO2sbqyJc4mn08A4ZBHKKdbYBF_xngIPfOUdKY-btMDykcSLPwxXR2q2RbI3SNIOTGlV-4er7Uobc6yHgprTkmE9cmG3-2X0/s1600-h/momentum_y_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 174px; height: 61px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibgffjC-xBQhuXVKjh2wpG5hGdyt9ZV2hzVK2HgSW4qEGzGO2sbqyJc4mn08A4ZBHKKdbYBF_xngIPfOUdKY-btMDykcSLPwxXR2q2RbI3SNIOTGlV-4er7Uobc6yHgprTkmE9cmG3-2X0/s400/momentum_y_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372138394671102786" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5Dhne-fD6HdshHV8NueBbvcPuCDcD-2iarrNBoKwGbRmSEZpAgZOMz31-aHnUKgenhzPjtwjVanlsUU3oXGBNIqCs1SapyvYCrgj_qgWMsmvosSK0_8YdXr1i1ssmZkD0DMFd4cMo22hO/s1600-h/momentum_y_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 177px; height: 68px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5Dhne-fD6HdshHV8NueBbvcPuCDcD-2iarrNBoKwGbRmSEZpAgZOMz31-aHnUKgenhzPjtwjVanlsUU3oXGBNIqCs1SapyvYCrgj_qgWMsmvosSK0_8YdXr1i1ssmZkD0DMFd4cMo22hO/s400/momentum_y_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372138922300917970" border="0" /></a><br /></div><br />Finalmente, la componente del momentum sobre el eje-z, <span style="font-style: italic;">P</span><sub style="font-style: italic;">z</sub>, está dada por:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhshqOOkj6ET4GAb8RmgDpQBgYs4m9jNSwuJ-Xzn7C55oeNqtnq56JGOxtS07RITh0m1D0OtqDLS8JknXH1oimQuq_GPxuguRo2_R5uxv4hhdx30gg08Rd97EBHunP6nB4pB3N_e5y-d2Eo/s1600-h/momentum_z_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 174px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhshqOOkj6ET4GAb8RmgDpQBgYs4m9jNSwuJ-Xzn7C55oeNqtnq56JGOxtS07RITh0m1D0OtqDLS8JknXH1oimQuq_GPxuguRo2_R5uxv4hhdx30gg08Rd97EBHunP6nB4pB3N_e5y-d2Eo/s400/momentum_z_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372139669294132786" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip8I1MfU9k8FlKNkap83BFRrgC9BC6ANufvxtntlxfErrgcU07kxebOV7ENQ8r6QHjr1P3kZaz_L7CwjANIlBpLy0aAb49Yk6KG8RA31LTZKHV43crtwLTLhOYQDcTr5eNJPK0Nzd3t4dN/s1600-h/momentum_z_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 175px; height: 66px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip8I1MfU9k8FlKNkap83BFRrgC9BC6ANufvxtntlxfErrgcU07kxebOV7ENQ8r6QHjr1P3kZaz_L7CwjANIlBpLy0aAb49Yk6KG8RA31LTZKHV43crtwLTLhOYQDcTr5eNJPK0Nzd3t4dN/s400/momentum_z_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372140140808897474" border="0" /></a><br /></div><br />En lo que respecta a la energía relativista, tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMjGS5JI3MB_7RLWh7lVd1-yx0jvUhUmNkXvUM7f0w2Q9piG4fOlkaqpSTODEQI2_wzBwD7Cd0nF_ESarukocPSW5dJvAXGlcII7avQKtrsYVo3HXgoAjydjchMEEFEI3Gr_ZT0UqLDFBE/s1600-h/energia_relativista_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 165px; height: 66px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMjGS5JI3MB_7RLWh7lVd1-yx0jvUhUmNkXvUM7f0w2Q9piG4fOlkaqpSTODEQI2_wzBwD7Cd0nF_ESarukocPSW5dJvAXGlcII7avQKtrsYVo3HXgoAjydjchMEEFEI3Gr_ZT0UqLDFBE/s400/energia_relativista_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372140883583185298" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifU7_OhNrMChkJpXxDuE-MM4jeJP3ttu6mtOgwN-TuR3zJG16TWea9SHP6G5iqKT5Lat6ikzWSAZwcUfICcBrtowklSJBaKERXDjLQXTqJg6Tn5vyvNiYp-Cj6dFgBH4aFnvmfRHbLCtvO/s1600-h/energia_relativista_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 228px; height: 71px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifU7_OhNrMChkJpXxDuE-MM4jeJP3ttu6mtOgwN-TuR3zJG16TWea9SHP6G5iqKT5Lat6ikzWSAZwcUfICcBrtowklSJBaKERXDjLQXTqJg6Tn5vyvNiYp-Cj6dFgBH4aFnvmfRHbLCtvO/s400/energia_relativista_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372141630001618066" border="0" /></a><br /></div><br />Utilizando las expresiones para el momentum y la energía en el marco de referencia S’, las expresiones anteriores pueden ser escritas de la siguiente manera:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCaMxtlqST8O_WxnEDoF9lx8NcocltNqMJZTxjdF_NvGJiQv5t9zIGlp_gE9CGGOXE-KMTqBSDSZiFcjpFLD04eVfqrSD6JLT3Y5qwN2RmNY2Z6uzlCRbrRNzsKIMPeMSgj7Z35-EBFID4/s1600-h/transformaciones_de_momentum_y_energia.png"><img style="cursor: pointer; width: 190px; height: 153px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCaMxtlqST8O_WxnEDoF9lx8NcocltNqMJZTxjdF_NvGJiQv5t9zIGlp_gE9CGGOXE-KMTqBSDSZiFcjpFLD04eVfqrSD6JLT3Y5qwN2RmNY2Z6uzlCRbrRNzsKIMPeMSgj7Z35-EBFID4/s400/transformaciones_de_momentum_y_energia.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372456224374379858" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Para obtener las transformaciones <span style="font-style: italic;">inversas</span> simplemente despejamos de las transformaciones de energía y momentum obteniendo de este modo lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDfMG_o4U5kjHYHbiIKtbiLWRV-qrZMA8NyxWqGk3DYQku78SxgKe6vzDeYb8UhjmNr6lcRLpl87cuaJSmK_8fQG3prOjB1CUkHnEQLsGG4S3D6jb0r_twdfjJsYtenyOCMtt60lHs2-8M/s1600-h/transformaciones_inversas_de_momentum_y_energia.png"><img style="cursor: pointer; width: 191px; height: 154px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDfMG_o4U5kjHYHbiIKtbiLWRV-qrZMA8NyxWqGk3DYQku78SxgKe6vzDeYb8UhjmNr6lcRLpl87cuaJSmK_8fQG3prOjB1CUkHnEQLsGG4S3D6jb0r_twdfjJsYtenyOCMtt60lHs2-8M/s400/transformaciones_inversas_de_momentum_y_energia.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5372456722059240306" border="0" /></a><br /><br /></div><br />Las leyes de transformación para la energía y el momentum de un marco de referencia a otro no son difíciles de recordar en virtud de que son similares a las ecuaciones de transformación de Lorentz para la longitud y el tiempo. Comparemos las<span style="font-weight: bold;"> leyes de transformación para la energía y el momentum</span> de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = γ(E’ + Vp’<sub>x</sub>)<br /><br />p<sub>y</sub> = p’<sub>y</sub><br /><br />p<sub>z</sub> = p’<sub>z</sub><br /><br />p<sub>x</sub> = γ(p’<sub>x</sub> + VE’/c²)<br /></div><br />con las <span style="font-weight: bold;">ecuaciones de transformación de Lorentz</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span>x = γ(x’ + Vt’)<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span>y = y’<br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span><br />z = z’<br /><br /><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span>t = γ(t’ + Vx’/c²)<br /></div><br />Aunque se trata de cantidades físicas distintas, obsérvese la similitud entre ambos conjuntos de transformaciones. p<sub>x</sub> se transforma como la coordenada espacial x, y la energía E se transforma como c²t. Esto nos hace sospechar que hay algo común <span style="font-style: italic;">de fondo</span> en la similitud que hemos obtenido en las transformaciones.<br /><br />Puesto que el tiempo y el espacio, ambos conceptos independientes en la física clásica, han sido unificados bajo un solo concepto en la interpretación geométrica de Minkowski de la Teoría Especial de la Relatividad, el concepto del espacio-tiempo, y han sido agrupados como componentes iguales bajo un solo vector cuatri-dimensional:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">[ct, x, y, z]</span><br /></div><br />entonces, ¿por qué no hacer lo mismo con el momentum y la energía relativistas, agrupándolos en igualdad de condiciones como los cuatro componentes de un vector cuatri-dimensional? Esto es precisamente lo que se ha hecho, adoptándose el uso del <span style="font-style: italic;">4-vector</span> energía-momentum conocido también como el <span style="font-weight: bold;">4-momentum</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">P = [E/c, p<sub style="font-weight: bold;">x</sub></span><span style="font-size:130%;">, p<sub style="font-weight: bold;">y</sub></span><span style="font-size:130%;">, p<sub style="font-weight: bold;">z</sub></span><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />simbolizado con una letra <span style="font-weight: bold;">P</span> mayúscula, el cual también puede ser escrito como:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">[E, p<sub style="font-weight: bold;">x</sub></span><span style="font-size:130%;">c, p<sub style="font-weight: bold;">y</sub></span><span style="font-size:130%;">c, p<sub style="font-weight: bold;">z</sub></span><span style="font-size:130%;">c]</span><br /></div><br />En ambos casos, las cuatro componentes del 4-vector energía-momentum ó <span style="font-weight: bold;">4-momentum</span> deben tener la misma dimensión, ya sea de momentum o de energía.<br /><br />Si escribimos las leyes de transformación del <span style="font-style: italic;">4-vector</span> energía-momentum utilizando notación de <span style="font-style: italic;">vectores columna</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfOgyN0IBE9z3XIGtRnvY1oKwMMQ2bnabN2jLgzGNccnRWA5BuoSyAMJxxfeIw2S4a-4u2zmXWrTTQsg6NzsepPl5wOes1dv0ESpuwlRpPO0RePvY7eeQJgnYP2GbQhLOaqw1atBn5GNna/s1600-h/transformacion_matricial_momentum_energia.gif"><img style="cursor: pointer; width: 182px; height: 109px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfOgyN0IBE9z3XIGtRnvY1oKwMMQ2bnabN2jLgzGNccnRWA5BuoSyAMJxxfeIw2S4a-4u2zmXWrTTQsg6NzsepPl5wOes1dv0ESpuwlRpPO0RePvY7eeQJgnYP2GbQhLOaqw1atBn5GNna/s400/transformacion_matricial_momentum_energia.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334602328018706450" border="0" /></a></div><br />entonces resulta obvio que podemos reescribir el lado derecho de esta ecuación vectorial como un <span style="font-style: italic;">producto de matrices</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOtyLbrtXv4VoFWI6Tt07vVfRVFBZs369osDqSlFOiirED71FnHxgE14FdGLeeNQnPgqzTv2B1zpLbJOP9gjmY-FdBjeoqqXF7Gl5hDf3Q8DiB5WPfnnj3qIpgEr9Bf_VU7LWLglY-nr2y/s1600-h/transformacion_2.gif"><img style="cursor: pointer; width: 235px; height: 109px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOtyLbrtXv4VoFWI6Tt07vVfRVFBZs369osDqSlFOiirED71FnHxgE14FdGLeeNQnPgqzTv2B1zpLbJOP9gjmY-FdBjeoqqXF7Gl5hDf3Q8DiB5WPfnnj3qIpgEr9Bf_VU7LWLglY-nr2y/s400/transformacion_2.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334606622868889250" border="0" /></a><br /></div><br />que representa el siguiente sistema de ecuaciones:<br /><br /><div style="text-align: center;">E’ = γE - βγp<sub>x</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>y</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>z</sub>c<br /><br />p<sub>x</sub>’c = <span style="color: rgb(255, 0, 0);"></span>- βγE + γp<sub>x</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>y</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>z</sub>c<br /><br />p<sub>y</sub>’c = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>E + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>x</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>p<sub>y</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>z</sub>c<br /><br />p<sub>z</sub>’c = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>E + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>x</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">0</span>p<sub>y</sub>c + <span style="color: rgb(255, 0, 0);">1</span>p<sub>z</sub>c<br /></div><br />Esto amerita ser contrastado con la representación matricial de la transformación del <span style="font-style: italic;">4-vector</span> espacio-tiempo en un sistema de referencia S a un sistema de referencia S’:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5G2vJMP9f5CARjoE8uYlQTbZd2m00letceHwODdmyAy0sz_uupOSMf9xAx0bghI0FZffB1wO8opGvQ91CvR6x3YjK4N4jGqPoW-1fgcX3MGrOtRtS9E9JD4g5_7iPHU0bQN3lpCii8npZ/s1600-h/transformacion_1.gif"><img style="cursor: pointer; width: 216px; height: 109px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5G2vJMP9f5CARjoE8uYlQTbZd2m00letceHwODdmyAy0sz_uupOSMf9xAx0bghI0FZffB1wO8opGvQ91CvR6x3YjK4N4jGqPoW-1fgcX3MGrOtRtS9E9JD4g5_7iPHU0bQN3lpCii8npZ/s400/transformacion_1.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5334609809471717890" border="0" /></a><br /></div><br />Tanto en el caso en el que se involucra a 4-vectores energía-momentum como el caso en el que se involucra a 4-vectores espacio-tiempo bajo un esquema Lorentziano, <span style="font-weight: bold;">la matriz de transformación resulta ser exactamente la misma</span>.<br /><br />De este modo, las definiciones como se han estado dando y las matemáticas del asunto nos indican que, de modo natural, <span style="font-style: italic;">todo lo que tiene que ver con la Teoría Especial de la Relatividad puede y debe ser manejado bajo un espacio cuatri-dimensional</span>.<br /><br />El haber juntado a la energía y el momentum como las cuatro componentes de un <span style="font-style: italic;">4-vector</span> está justificado también por la nueva<span style="font-style: italic;"> invariante</span> que nos produce. Ya habíamos anteriormente la siguiente expresión que nos relaciona la energía total de energía E de un cuerpo con la magnitud de su cantidad de movimiento p y su energía en reposo m<sub>0</sub>c²:<br /><br /><div style="text-align: center;">E² = (pc)² + (m<sub>0</sub>c²)²<br /></div><br />Despejaremos a continuación el lado derecho de la ecuación dejando únicamente a la masa en reposo de dicho lado:<br /><br /><div style="text-align: center;">E² - (pc)² = (m<sub>0</sub>c²)²<br /></div><br />El siguiente paso será dividir ambos miembros de la igualdad entre c² obteniendo:<br /><br /><div style="text-align: center;">(E/c)² - p² = m<sub>0</sub>²c²<br /></div><br />Del lado derecho tenemos el producto de dos cantidades invariantes, porque la <span style="font-style: italic;">masa propia</span> m<sub>0</sub> de un cuerpo debe ser la misma en cualquier sistema de referencia, y la velocidad de la luz c también es una invariante absoluta de acuerdo con el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad. Entonces el lado derecho de la ecuación es una invariante, y en virtud de la igualdad el lado izquierdo de la ecuación también debe ser una cantidad invariante. Esto significa que para dos sistemas de referencia distintos S y S’ en los cuales para el mismo cuerpo:<br /><br /><div style="text-align: center; color: rgb(255, 0, 0);"><span style="color: rgb(51, 51, 255);"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">E² = (pc)² + (m</span></span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">0</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">c²)²</span></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">E’² = (p’c)² + (m</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">0</sub><span style="color: rgb(51, 51, 255);">c²)²</span><br /></div><br />debemos tener:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">E² - (pc)² </span></span> = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">E’² - (p’c)²</span><br /></div><br />o bien:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">(E/c)² - p² </span>= <span style="color: rgb(51, 51, 255);">(E’/c)² - p’² </span><br /></div><br />Al haber obtenido una nueva invariante, además de otras que iremos obteniendo al adentrarnos en el tema de la Teoría General de la Relatividad, debe irse despejando la creencia de que en la Teoría de la Relatividad todo es relativo. Aunque el movimiento dejó de ser absoluto, Einstein introdujo un nuevo absoluto en su segundo postulado, la velocidad de la luz, tras lo cual fueron apareciendo nuevos absolutos como las invariantes que hemos estado descubriendo. Es falso, pues, que en la Teoría de la Relatividad todo es relativo.<br /><br />La representación combinada de la energía y el momentum relativistas en un 4-vector nos resume dos principios fundamentales de la dinámica, la conservación del momentum y la conservación de la energía, en un solo paquete. Igualando los componentes de un 4-vector antes y después de un choque o de una interacción podemos resolver los problemas que requieren de dichos principios para su resolución. Un ejemplo de tales problemas es el de un fotón de energía E<sub>0</sub> que choca contra un electrón inicialmente en reposo, saliendo en retroceso el electrón a un ángulo φ y a una velocidad V, mientras que el fotón es dispersado con una energía (menor) E a un ángulo θ:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjathMtS4pFzP0tEIWRZggBGv-mazrdpmAwgBVUKhaR00eivKwJgvqR7Yp2wmaJH0OPxTVmPonDL8EPB5qQs6XoL_VN9XT77bewhOZxHK3nYCgv_H2rKs44lwHNIKZhMX2Qd3i0o63V2iks/s1600-h/colision_foton_particula.png"><img style="cursor: pointer; width: 306px; height: 256px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjathMtS4pFzP0tEIWRZggBGv-mazrdpmAwgBVUKhaR00eivKwJgvqR7Yp2wmaJH0OPxTVmPonDL8EPB5qQs6XoL_VN9XT77bewhOZxHK3nYCgv_H2rKs44lwHNIKZhMX2Qd3i0o63V2iks/s400/colision_foton_particula.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379597362374077554" border="0" /></a><br /></div>Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-7152257923920647532009-03-18T19:58:00.000-07:002009-11-11T16:41:12.412-08:00Los 4-vectores IISi hemos podido reformular el espacio-tiempo como un 4-vector, y si hemos podido hacer lo mismo con la energía y el momentum, entonces nos debe ser posible postular la existencia de otros 4-vectores realizables dentro de la Teoría de la Relatividad. Uno de ellos resulta ser lo que se conoce como el <span style="font-style: italic;">4-vector</span> <span style="font-weight: bold;">velocidad</span>. Para poder definir el 4-vector velocidad, mejor conocido como la <span style="font-weight: bold;">4-velocidad</span>, usamos como punto de partida el 4-vector espacio-tiempo y extendemos el concepto de velocidad que estábamos acostumbrados a utilizar en la física clásica, el cual nos dice que para un móvil cuya posición <span style="font-weight: bold;">x</span> varía con el tiempo su velocidad instantánea es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">u</span> = d<span style="font-weight: bold;">x</span>/dt<br /></div><br />Si el móvil se está desplazando en un espacio tri-dimensional y si sus componentes de posición en cualquier instante dado de tiempo son:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">x</span> = (x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>)<br /></div><br />en donde (x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>) puede representar la posición bajo el conjunto usual de coordenadas rectangulares Cartesianas (x, y, z) pero también puede representar la posición bajo otro conjunto de coordenadas tales como las coordenadas esféricas (r, φ, θ), entonces su velocidad instantánea en este espacio tri-dimensional se obtiene tomando la derivada con respecto al tiempo de cada una de las tres componentes:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguxsTkXNPxLcuoNQCpvGuUpdhu5OLVsydnelGE3UonHjjMyinZ4QfhgYrzYbNKpIXNxKk0r2wKCZ1on9OlsgfNhHtVoinwTHcLmhu5uQDSGowvUMUWoyqp1T1muLiuui5AWSIUDU8bFc20/s1600-h/vector_velocidad_en_tres_dimensiones.png"><img style="cursor: pointer; width: 377px; height: 67px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguxsTkXNPxLcuoNQCpvGuUpdhu5OLVsydnelGE3UonHjjMyinZ4QfhgYrzYbNKpIXNxKk0r2wKCZ1on9OlsgfNhHtVoinwTHcLmhu5uQDSGowvUMUWoyqp1T1muLiuui5AWSIUDU8bFc20/s400/vector_velocidad_en_tres_dimensiones.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5361051396703513186" border="0" /></a><br /></div><br />Por convención, a este vector velocidad clásico tri-dimensional se le asigna una dirección y sentido <span style="font-style: italic;">tangente</span> a la curva en el punto en donde es evaluado, apuntando hacia la dirección a la cual se está moviendo la partícula en el momento en que se encuentra en dicho punto.<br /><br />Pero en la física relativista, la posición instantánea de una partícula está representada en un espacio <span style="font-style: italic;">4-dimensional</span> como un punto cualquiera en la <span style="font-style: italic;">línea del mundo</span> que la partícula va trazando en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski. La pregunta entonces es, ¿con respecto a qué podemos tomar la derivada de esa <span style="font-style: italic;">4-posición</span> para poder definir la <span style="font-style: italic;">4-velocidad</span> relativista, si el tiempo ha dejado de ser absoluto en la Teoría de la Relatividad? La respuesta a este dilema resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Recurrimos al <span style="font-style: italic;">tiempo propio</span> medido por un reloj que se está desplazando junto con el móvil. Si bien es cierto que el tiempo ha dejado de ser absoluto y avanzará de modo distinto para varios observadores moviéndose el uno con respecto al otro, el tiempo propio, simbolizado como τ, siempre seguirá siendo el mismo para un viajero que se esté desplazando a lo largo de su línea del mundo. Siendo el tiempo propio una invariante, esto nos garantiza que la derivada con respecto al tiempo propio de cualquier 4-vector también será un 4-vector. De este modo, definimos a la <span style="font-weight: bold;">4-velocidad</span> de la manera siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiaXXYH_rbvcjWReBtt5V5lHAg-ay41M3bxq7Xh1IkD-m1oqdN9Q1H237getlqQhUA_bh9Z3YHZe_egVwwhOXgxmaDwN_DK8x2vfCbWhRV5fpV6CCBRtU11eHNbL5lwp6tSz7DYl2bT5CN/s1600-h/4-velocidad.png"><img style="cursor: pointer; width: 80px; height: 51px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiaXXYH_rbvcjWReBtt5V5lHAg-ay41M3bxq7Xh1IkD-m1oqdN9Q1H237getlqQhUA_bh9Z3YHZe_egVwwhOXgxmaDwN_DK8x2vfCbWhRV5fpV6CCBRtU11eHNbL5lwp6tSz7DYl2bT5CN/s400/4-velocidad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5361057740467943586" border="0" /></a><br /></div><br />siendo este 4-vector un vector <span style="font-style: italic;">tangente</span> a la curva (línea del mundo) en el punto en donde es evaluado, como el siguiente vector tangente de color rojo (aunque la figura está hecha en un plano, téngase en cuenta que la línea del mundo representada por la curva de color negro es una línea trazada en un espacio de cuatro dimensiones):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKiq_h-Yk6LLm9CUOSJ8ReweBfvZIPlE-SsAeKNZggBSLBnj3XUuiL9VviYaOFah-H1JA5WKBzg-kwbQJObUDZeiwW1GFH9FZNNJt8OYAtmQfjJCPqYhWeYCDr-rQV0kYI8InNLDe97cih/s1600-h/linea_del_mundo_4-velocidad.png"><img style="cursor: pointer; width: 235px; height: 238px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKiq_h-Yk6LLm9CUOSJ8ReweBfvZIPlE-SsAeKNZggBSLBnj3XUuiL9VviYaOFah-H1JA5WKBzg-kwbQJObUDZeiwW1GFH9FZNNJt8OYAtmQfjJCPqYhWeYCDr-rQV0kYI8InNLDe97cih/s400/linea_del_mundo_4-velocidad.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5361067918679660210" border="0" /></a><br /></div><br />Al familiarizarnos con el fenómeno relativista de la dilatación del tiempo obtuvimos la siguiente relación entre el <span style="font-style: italic;">tiempo propio</span> τ medido en un sistema en reposo y el tiempo medido por un observador en movimiento relativo con respecto al observador en reposo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">t = γτ</span><br /></div><br />Tomando infinitesimales, tenemos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">dτ = dt/</span><span style="font-size:130%;">γ</span><br /></div><br />En un sistema de coordenadas Cartesianas, si tomamos el <span style="font-style: italic;">vector posición</span> para fijar un punto en el espacio cuatri-dimensional:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">[ct, x, y, z]</span><br /></div><br />entonces la <span style="font-style: italic;">4-velocidad</span> correspondiente la obtendremos tomando la derivada de cada una de las componentes con respecto al tiempo propio τ:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">U = [d(ct)/d</span><span style="font-size:130%;">τ</span><span style="font-size:130%;">, dx/d</span><span style="font-size:130%;">τ</span><span style="font-size:130%;">, dy/d</span><span style="font-size:130%;">τ</span><span style="font-size:130%;">, dz/d</span><span style="font-size:130%;">τ</span><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />Sustituyendo <span style="font-size:130%;">d</span><span style="font-size:130%;">τ</span> por<span style="font-size:130%;"> dt/</span><span style="font-size:130%;">γ</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">U = [c</span><span style="font-size:130%;">γ</span><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γ(</span><span style="font-size:130%;">dx/dt)</span><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γ(</span><span style="font-size:130%;">dy/d</span><span style="font-size:130%;">t)</span><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γ(</span><span style="font-size:130%;">dz/dt)</span><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />Pero:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub><span style="font-weight: bold;"> = dx/dt</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">y</sub><span style="font-weight: bold;"> = dy/dt</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">z</sub><span style="font-weight: bold;"> = dz/dt</span><br /></div><br />Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">U = </span><span style="font-size:130%;">[</span><span style="font-size:130%;">γ</span><span style="font-size:130%;">c</span><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γ</span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γ</span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">y</sub><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γ</span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">z</sub><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />Si multiplicamos ambos miembros de esta igualdad por la <span style="font-style: italic;">masa propia</span> del cuerpo que se está desplazando a lo largo de una <span style="font-style: italic;">línea del mundo</span> con esta velocidad <span style="font-weight: bold;">U</span> tendremos entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">m<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-size:130%;">U = </span><span style="font-size:130%;">[</span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-size:130%;">c</span><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">y</sub><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">z</sub><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />Reescribiendo el primer componente en el lado derecho:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">m<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-size:130%;">U = </span><span style="font-size:130%;">[</span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-size:130%;">c²/c</span><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">x</sub><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">y</sub><span style="font-size:130%;">, </span><span style="font-size:130%;">γm<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-weight: bold;">u</span><sub style="font-weight: bold;">z</sub><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />podemos identificar de inmediato al término γm<sub>0</sub>c² como la energía relativista total E, y del mismo modo podemos identificar a γm<sub>0</sub>u<sub>x</sub> como el momentum relativista en el eje-x, γm<sub>0</sub>u<sub>y</sub> como el momentum relativista en el eje-y, y γm<sub>0</sub>u<sub>z</sub> como el momentum relativista en el eje-z, o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">m<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-size:130%;">U = </span><span style="font-size:130%;">[E/c, p<sub style="font-weight: bold;">x</sub></span><span style="font-size:130%;">, p<sub style="font-weight: bold;">y</sub></span><span style="font-size:130%;">, p<sub style="font-weight: bold;">z</sub></span><span style="font-size:130%;">]</span><br /></div><br />Pero el lado derecho es lo que ya habíamos definido como el <span style="font-style: italic;">4-momentum</span> o el <span style="font-style: italic;">4-vector</span> energía-momentum. Esto significa que <span style="font-weight: bold;">la masa propia de un cuerpo </span><span style="font-size:130%;">m<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span> <span style="font-weight: bold;">multiplicada por su 4-velocidad U es igual al 4-momentum del cuerpo</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">P = m<span style="font-size:100%;"><sub style="font-weight: bold;">0</sub></span></span><span style="font-size:130%;">U</span><br /></div><br />Queda claro que el 4-momentum es una consecuencia directa del 4-vector espacio-tiempo. Esta es la razón de fondo del por qué las leyes de transformación de la energía-momentum son tan parecidas a las transformaciones de Lorentz.<br /><br />Del mismo modo en que definimos a la 4-velocidad como la derivada de los cuatro componentes que forman las coordenadas del espacio-tiempo relativista, podemos definir también a la 4-aceleración, la cual no es más que la derivada <span style="font-style: italic;">con respecto al tiempo propio del móvil</span> de la 4-velocidad:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvUeke2jRp5WXG3e_ROoxq48EOdmGLeRNC2DYdCNLTD9gDDZb9sVaCayAnUe2mnW6QqRbUNtN0T2gJiYkWVB4ekOSIeN4xKG2jV92EDP7McZmrrTcUCeJdscII8zptmlvQjUhHKnkJoOw4/s1600-h/4-aceleracion.png"><img style="cursor: pointer; width: 81px; height: 59px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvUeke2jRp5WXG3e_ROoxq48EOdmGLeRNC2DYdCNLTD9gDDZb9sVaCayAnUe2mnW6QqRbUNtN0T2gJiYkWVB4ekOSIeN4xKG2jV92EDP7McZmrrTcUCeJdscII8zptmlvQjUhHKnkJoOw4/s400/4-aceleracion.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5361066650194065266" border="0" /></a><br /></div><br />Esta definición de aceleración es perfectamente válida para un cuerpo que siempre se está trasladando en movimiento rectilíneo en un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> (un marco de referencia Lorentziano), o sea el espacio-tiempo en el cual ocurre la fenomenología de la Teoría Especial de la Relatividad. Sin embargo, resultará ser insuficiente para poder manejar movimientos que ocurren en un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span> en los cuales el cuerpo está cambiando constantemente de dirección, como ocurre con el movimiento de los planetas en torno al Sol. Si intentamos usar esta definición de aceleración, las expresiones resultantes variarán en forma al pasar de un marco de referencia a otro. La única manera en la cual es posible continuar utilizando una definición de aceleración en este último caso consistirá en redefinir el vector clásico como un <span style="font-style: italic;">tensor</span>, y en reemplazar la derivada con respecto al tiempo propio por otro tipo de derivada conocida como la <span style="font-style: italic;">derivada covariante</span>.<br /><br />La definición de un <span style="font-weight: bold;">4-espacio</span> de uso general nos va preparando para el salto eventual que daremos de la Teoría Especial de la Relatividad a la Teoría General de la Relatividad, en donde seguiremos utilizando los 4-vectores, eso permanecerá inalterado. <span style="font-style: italic;">Lo único que cambiará será la matriz de transformación</span>. La matriz de transformación que hemos estado utilizando hasta ahora es una basada en las transformaciones de Lorentz, propias de lo que llamamos un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> en donde los marcos de referencia se han estado moviendo el uno con respecto al otro a velocidad constante. Pero si los marcos de referencia han de estar <span style="font-style: italic;">acelerándose</span> el uno con respecto al otro sin mantenerse una velocidad constante, es de suponerse que ello se verá reflejado directamente en la matriz de transformación de un marco de referencia a otro, una matriz basada ya no en las transformaciones de Lorentz sino en algo de carácter más general, propio de eso que llamamos un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span>.<br /><br />Habiendo sido capaces de definir una 4-velocidad, un 4-momentum y una 4-aceleración en el espacio-tiempo Lorentziano, nos preguntamos ahora si es posible definir una <span style="font-style: italic;">4-fuerza</span>. La respuesta es afirmativa, y tal 4-vector es conocido como la <span style="font-weight: bold;">4-fuerza de Minkowski</span> o simplemente como la <span style="font-weight: bold;">4-fuerza</span>. Para definirla, empezaremos extendiendo la definición Newtoniana clásica de la fuerza como el cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo con respecto al tiempo, tomando en la derivada con respecto al tiempo <span style="font-style: italic;">tiempo propio τ:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8AAaW6DB1KnAQcqG88mTGlqD2kLUMp1LgMn7iWvE5Bk0cHQrZdroSx3-NCy95yhDWWiBjaulOa7AVJnNFPUwWtX7X1EAAj4pPdAa0i9DmPwDcmbS_4SElyNJzhu936gx2lmzYCB1IpWg/s1600-h/definicion_basica_de_4-fuerza.png"><img style="cursor: pointer; width: 130px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8AAaW6DB1KnAQcqG88mTGlqD2kLUMp1LgMn7iWvE5Bk0cHQrZdroSx3-NCy95yhDWWiBjaulOa7AVJnNFPUwWtX7X1EAAj4pPdAa0i9DmPwDcmbS_4SElyNJzhu936gx2lmzYCB1IpWg/s400/definicion_basica_de_4-fuerza.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381058083391016946" border="0" /></a><br /></div><br />La diferencia crucial de la 4-fuerza con respecto a la definición clásica es que esta última está especificada como un vector de tres componentes espaciales, mientras que la 4-fuerza relativista está especificada como un 4-vector:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3NMK5wPHMPOyIzMfFIVmoyZnt2Czb6v9CxF3te3xNZsQC3LRhVqK7awtsiDRE__Za-jPuPCfBMXhcdTsTrK9jNpwUNZ97fdfmwob_bTLuChSNVob7wkOb7NjXX3RixWtTV9p9gpJcfT4/s1600-h/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 229px; height: 62px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3NMK5wPHMPOyIzMfFIVmoyZnt2Czb6v9CxF3te3xNZsQC3LRhVqK7awtsiDRE__Za-jPuPCfBMXhcdTsTrK9jNpwUNZ97fdfmwob_bTLuChSNVob7wkOb7NjXX3RixWtTV9p9gpJcfT4/s400/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381058682394822050" border="0" /></a><br /></div><br />Usando como guía los resultados intermedios obtenidos arriba, vemos que cada una de las cuatro componentes del 4-momentum se puede reemplazar de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1DzAwR-AUToPQ5Eu1A53JOw8V2PFp_KljCphFIkvX_4iUhbbZ_huZZrtnjhFGPTT1JaIu5BndTg5eSepTFToPZmvSQ9XUEdZUUvH2DXsnyAY5_VKCQjuPVbeu9xJ_KJptc3PeXTqKBBs/s1600-h/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 362px; height: 67px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1DzAwR-AUToPQ5Eu1A53JOw8V2PFp_KljCphFIkvX_4iUhbbZ_huZZrtnjhFGPTT1JaIu5BndTg5eSepTFToPZmvSQ9XUEdZUUvH2DXsnyAY5_VKCQjuPVbeu9xJ_KJptc3PeXTqKBBs/s400/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381059608832179858" border="0" /></a><br /></div><br />Puesto que la derivada de un vector (en este caso con respecto al tiempo propio) es igual a la derivada de sus componentes, metiendo la derivada <span style="color: rgb(51, 51, 255);">d/d</span><span style="color: rgb(51, 51, 255);">τ</span> tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiK-RhpqrmY20vFfxLwioqBFBK7g25q2PTBG9P7MdkWcFFZB988hu51-Ls9f_D-EU2dXIiBOcg51OF9a1SsY3bspw5vC4M3pR_hNdlkNl2S4gO8Xb2mIbMzOj1R95PRrFbojv11cnQQcNc/s1600-h/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 364px; height: 70px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiK-RhpqrmY20vFfxLwioqBFBK7g25q2PTBG9P7MdkWcFFZB988hu51-Ls9f_D-EU2dXIiBOcg51OF9a1SsY3bspw5vC4M3pR_hNdlkNl2S4gO8Xb2mIbMzOj1R95PRrFbojv11cnQQcNc/s400/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381060417648760466" border="0" /></a><br /></div> <span style="font-style: italic;">Esta es esencialmente la definición de la 4-fuerza de Minkowski</span>, para la cual podemos utilizar las siguientes abreviaturas para la identificación del primer componente F<sub>t</sub> (el componente temporal) y los tres componentes espaciales F<sub>x</sub>, F<sub>y</sub> y F<sub>z</sub>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgg6Eq4QYB4OiCqbar83PPPzFFprCcfzz5K2PdPQAWrl_18Iq7dgybzqIH6_VCrdlHSC1HAMY9GXF_M3pUA8iobxDzHtvXpMdENJpAd8_6YjkyBMhBQk4-it9qSpjQe5FTDsOEBNwc1YtE/s1600-h/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 210px; height: 38px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgg6Eq4QYB4OiCqbar83PPPzFFprCcfzz5K2PdPQAWrl_18Iq7dgybzqIH6_VCrdlHSC1HAMY9GXF_M3pUA8iobxDzHtvXpMdENJpAd8_6YjkyBMhBQk4-it9qSpjQe5FTDsOEBNwc1YtE/s400/definicion_basica_de_4-fuerza_en_componentes_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381061485108384258" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Encontrar las relaciones de tranformación para una 4-fuerza de Minkowski de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’.</span><br /><br />Utilizaremos las siguientes relaciones de transformación de Lorentz:<br /><br /><div style="text-align: center;">t’ = γ(t - Vx/c²)<br /><br />x’ = γ(x - Vt)<br /><br />y’ = y<br /><br />z’ = z<br /></div><br />Empezaremos trabajando sobre la componente temporal de la 4-fuerza de Minkowski en el marco de referencia S’ en donde esta componente temporal <span style="color: rgb(51, 51, 255);">F’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">t</sub> debe estar dada por la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg65uPhtAipJMVpTzFkt8-PGK_OjYFw7OTQoYaK8sx7431j4qJ-Av0C2-an8gk4bVjXHjUhk-4OF9ydWDE3fJvDGhLDetGdEoXM3Xs0takgtx5BMHzV9_ZR1L7TkKBpucldX6ghrwwf-SQ/s1600-h/componente_temporal_de_la_4-fuerza_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 169px; height: 57px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg65uPhtAipJMVpTzFkt8-PGK_OjYFw7OTQoYaK8sx7431j4qJ-Av0C2-an8gk4bVjXHjUhk-4OF9ydWDE3fJvDGhLDetGdEoXM3Xs0takgtx5BMHzV9_ZR1L7TkKBpucldX6ghrwwf-SQ/s400/componente_temporal_de_la_4-fuerza_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381063227386656594" border="0" /></a><br /></div><br />Recurriendo a la relación apropiada de transformación de Lorentz, tenemos que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_zM9x02plI-7zUZhlRYULEtJ6U-81W1a3fFkrclE4v96JaC7BLzocCCm3C7Paj1mFHzs7pvjB0uOt_uqKcO9KcIxVTK2yrxTUKXwFumiHheP28ccbJhyOsMw76iOu9U2wCUQxfn63Wl4/s1600-h/componente_temporal_de_la_4-fuerza_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 295px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_zM9x02plI-7zUZhlRYULEtJ6U-81W1a3fFkrclE4v96JaC7BLzocCCm3C7Paj1mFHzs7pvjB0uOt_uqKcO9KcIxVTK2yrxTUKXwFumiHheP28ccbJhyOsMw76iOu9U2wCUQxfn63Wl4/s400/componente_temporal_de_la_4-fuerza_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381064151575774066" border="0" /></a><br /></div><br />Tomando la derivada interior y utilizando la abreviatura β = V/c tenemos entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHFksVtprDy2WPPQvZgW0jZ9zQKvF6-_vppmTrrtTlFHarPNC7ovxsLkmDTVumjyZmHJJ_DO5zngrTvePlGxIWq1-ZsmGun1qPJRj80iSOBPMqn80kDj0DQIuduS10ZPtmIGCMUmN7xsc/s1600-h/componente_temporal_de_la_4-fuerza_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 275px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHFksVtprDy2WPPQvZgW0jZ9zQKvF6-_vppmTrrtTlFHarPNC7ovxsLkmDTVumjyZmHJJ_DO5zngrTvePlGxIWq1-ZsmGun1qPJRj80iSOBPMqn80kDj0DQIuduS10ZPtmIGCMUmN7xsc/s400/componente_temporal_de_la_4-fuerza_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381064683346825106" border="0" /></a><br /></div><br />Tomando ahora la otra derivada y reagrupando:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVpAk58cgJiKG4R1nPxlStygOxtUXCyUDRpMHb2qmGqsHQh6ih0Es9OlXo0Skf47ZlPZ0tVlGE1prNgeDrZarefKlza3dyIoq-pCI8melbZnsX5EoIf0ZrDt_t6Gg5ZEpNI7Rlp_p7UpQ/s1600-h/componente_temporal_de_la_4-fuerza_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 299px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVpAk58cgJiKG4R1nPxlStygOxtUXCyUDRpMHb2qmGqsHQh6ih0Es9OlXo0Skf47ZlPZ0tVlGE1prNgeDrZarefKlza3dyIoq-pCI8melbZnsX5EoIf0ZrDt_t6Gg5ZEpNI7Rlp_p7UpQ/s400/componente_temporal_de_la_4-fuerza_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381065232815229122" border="0" /></a><br /></div><br />Pero lo que tenemos entre los paréntesis son las componentes temporal y espacial que corresponden a la 4-fuerza en el marco de referencia S, de modo que podemos asentar lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">F’<sub>t</sub> = γF<sub>t</sub> - γβF<sub>x</sub><br /></div><br /><div style="text-align: center;">F’<sub>t</sub> = γ(F<sub>t</sub> - VF<sub>x</sub>/c)<br /></div><br />Esta es nuestra primera relación de transformación para la 4-fuerza, correspondiente a la componente temporal. Ahora trabajaremos sobre la primera componente espacial de la 4-fuerza de Minkowski en el marco de referencia S’ en donde esta componente espacial <span style="color: rgb(51, 51, 255);">F’</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">x</sub> debe estar dada por la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiVWCPcRYCX_iogPOK1lfw_95O0K2SsyVaJ0AIn4MvqVP0p1NGu2fKukUqCOwh8Wf6hMEP-jBzLDsicmxJmIpikH88ss9JGSfkYfgkgL2iLe0eyFokuOnc-sIjq-MsHn_y7xhzmYHag_M/s1600-h/componente_espacial_de_la_4-fuerza_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 166px; height: 57px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiVWCPcRYCX_iogPOK1lfw_95O0K2SsyVaJ0AIn4MvqVP0p1NGu2fKukUqCOwh8Wf6hMEP-jBzLDsicmxJmIpikH88ss9JGSfkYfgkgL2iLe0eyFokuOnc-sIjq-MsHn_y7xhzmYHag_M/s400/componente_espacial_de_la_4-fuerza_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381067560466772850" border="0" /></a><br /></div><br />Recurriendo a la relación apropiada de transformación de Lorentz, tenemos que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYxA9AiyP8-tQiSNsjYbxbHlRpTcJAUxed_sYHwr-aCppTsSEtzEDcEVvCeuxJiCE7V9ZPLvafaMvIo-Wg3aQ7syEf84ASlRrIz67alesmAZmp5JuU2gRmBvuvphVNua53EOQntaIHayQ/s1600-h/componente_espacial_de_la_4-fuerza_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 256px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYxA9AiyP8-tQiSNsjYbxbHlRpTcJAUxed_sYHwr-aCppTsSEtzEDcEVvCeuxJiCE7V9ZPLvafaMvIo-Wg3aQ7syEf84ASlRrIz67alesmAZmp5JuU2gRmBvuvphVNua53EOQntaIHayQ/s400/componente_espacial_de_la_4-fuerza_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381067962938322546" border="0" /></a><br /></div><br />Tomando la derivada interior tenemos entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC5pi5zqQOdGNLGZ4Ud1_cVez3F78AR5bDBGXNtIDNV8cLSQDoeBYXJJNThGtjwEOCRFnGaZbe8SMGZGrWlC6lLf3RzjUXMLajlkMjpXAJGz8EL-Ak0vIiDq3RWnMhPuSX46gz1eEg4Hc/s1600-h/componente_espacial_de_la_4-fuerza_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 255px; height: 57px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC5pi5zqQOdGNLGZ4Ud1_cVez3F78AR5bDBGXNtIDNV8cLSQDoeBYXJJNThGtjwEOCRFnGaZbe8SMGZGrWlC6lLf3RzjUXMLajlkMjpXAJGz8EL-Ak0vIiDq3RWnMhPuSX46gz1eEg4Hc/s400/componente_espacial_de_la_4-fuerza_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381068375754182258" border="0" /></a><br /></div><br />Reagrupando y utilizando la abreviatura β = V/c tenemos entonces::<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkiqhPXtH8lpaEoVb6DV5VB4l3_mTOGEZ0E7XV8pFdrT3Htxe6Y3yhj-3Neu_oERPwboQJsYFOnKjfTSRBs-3ZJXyOR_F7uQisG3PEyYKuSzQ_dzJiPAQim4vM1yYMlDAlER6-oGOCMAs/s1600-h/componente_espacial_de_la_4-fuerza_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 292px; height: 59px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkiqhPXtH8lpaEoVb6DV5VB4l3_mTOGEZ0E7XV8pFdrT3Htxe6Y3yhj-3Neu_oERPwboQJsYFOnKjfTSRBs-3ZJXyOR_F7uQisG3PEyYKuSzQ_dzJiPAQim4vM1yYMlDAlER6-oGOCMAs/s400/componente_espacial_de_la_4-fuerza_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381069365093103890" border="0" /></a><br /></div><br />Nuevamente, lo que tenemos entre los paréntesis son las componentes espacial y temporal que corresponden a la 4-fuerza en el marco de referencia S, de modo que podemos asentar lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">F’<sub>x</sub> = γF<sub>x</sub> - γβF<sub>t</sub><br /><br />F’<sub>x</sub> = γ(F<sub>x</sub> - VF<sub>t</sub>/c)<br /></div><br />Esta es nuestra segunda relación de transformación para la 4-fuerza, correspondiente a la primera componente espacial.<br /><br />Las transformaciones correspondientes a las otras dos componentes espaciales son triviales:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUVfAVJeBU1Bt48gkCwP8SRgp9cAp31sS2c2Z6aET_vlzaRj5wegsUD813krY5tI05ukctOX7iN1PAemkowTRPQzswvXvIqTFZoFpN-ZRX8tbsDeYotNe__rixGUthFDC_uGAElQAMj-Y/s1600-h/segunda_componente_espacial_de_la_4-fuerza.png"><img style="cursor: pointer; width: 270px; height: 60px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUVfAVJeBU1Bt48gkCwP8SRgp9cAp31sS2c2Z6aET_vlzaRj5wegsUD813krY5tI05ukctOX7iN1PAemkowTRPQzswvXvIqTFZoFpN-ZRX8tbsDeYotNe__rixGUthFDC_uGAElQAMj-Y/s400/segunda_componente_espacial_de_la_4-fuerza.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381073400759446386" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVHdXtOf8P97gCgygmxXz4BtxWM1MnbQXQ06zMnDswIxy_KiZWYqtCfhchTj00DcoCks6Pybtf5pvQlTi0kaXAEVZnf9vyBoIWcJGz2ZadJQ89cw-taRsdlmXRqdN8XRbkbp59ttUhy_s/s1600-h/tercera_componente_espacial_de_la_4-fuerza.png"><img style="cursor: pointer; width: 273px; height: 58px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVHdXtOf8P97gCgygmxXz4BtxWM1MnbQXQ06zMnDswIxy_KiZWYqtCfhchTj00DcoCks6Pybtf5pvQlTi0kaXAEVZnf9vyBoIWcJGz2ZadJQ89cw-taRsdlmXRqdN8XRbkbp59ttUhy_s/s400/tercera_componente_espacial_de_la_4-fuerza.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5381073571691926690" border="0" /></a><br /></div><br /><br />De este modo, el conjunto de las transformaciones correspondientes a la 4-fuerza de Minkowski se puede resumir de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">F’<sub>t</sub> = γ(F<sub>t</sub> - VF<sub>x</sub>/c)<br /><br />F’<sub>x</sub> = γ(F<sub>x</sub> - VF<sub>t</sub>/c)<br /><br />F’<sub>y</sub> = F’<sub>y</sub><br /><br />F’<sub>z</sub> = F’<sub>z</sub><br /></div><br />Ahora bien, haciendo una analogía con el intervalo relativista, podemos tomar el producto escalar de dos vectores <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> tal y como se define en el análisis vectorial Euclideano tradicional:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9AXhKlUSsSuERn_7WwYoNJtb1wEhHG8kKNB6jrOpkIHoYui9THFJRqPcl_wm2dRBKyGH-m0EmJQ098nl8z0K8UkNlAC7114BHY5bPiO6Yx2El2isiHkVQDEBKAeoL7KGfn3wGMJ94nso/s1600-h/producto_escalar_Euclideano_tridimensional.png"><img style="cursor: pointer; width: 292px; height: 121px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9AXhKlUSsSuERn_7WwYoNJtb1wEhHG8kKNB6jrOpkIHoYui9THFJRqPcl_wm2dRBKyGH-m0EmJQ098nl8z0K8UkNlAC7114BHY5bPiO6Yx2El2isiHkVQDEBKAeoL7KGfn3wGMJ94nso/s400/producto_escalar_Euclideano_tridimensional.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5382923045471122034" border="0" /></a><br /></div><br />y definir un producto escalar relativista o 4-producto escalar de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWNcgGwEzaT_OgLW_t6zpjlxmfTMmbrWgOgrnKo6OOFVqWa3Hza4K3XA-7sRsvaGjn7epFe5mYLDN_GESgrUdk_YFLD7AR7cXpBQiv2pjFOnpSn7DlwPiooK4t3KH9zsn9qjkHHbg7jcY/s1600-h/4-producto_escalar_relativista.png"><img style="cursor: pointer; width: 371px; height: 127px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWNcgGwEzaT_OgLW_t6zpjlxmfTMmbrWgOgrnKo6OOFVqWa3Hza4K3XA-7sRsvaGjn7epFe5mYLDN_GESgrUdk_YFLD7AR7cXpBQiv2pjFOnpSn7DlwPiooK4t3KH9zsn9qjkHHbg7jcY/s400/4-producto_escalar_relativista.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5382923557752855010" border="0" /></a><br /></div>Es extremadamente importante no confundir en ningún momento el producto escalar entre dos vectores del espacio tridimensional Euclideano y el 4-producto relativista, empezando por el hecho de que uno tiene únicamente signos positivos mientras que el otro tiene una combinación de signos positivos y negativos.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Usando la definición del 4-producto escalar relativista, demostrar que el 4-producto escalar del vector 4-velocidad consigo mismo es una invariante.</span><br /><br />Empezaremos con la definición del 4-vector velocidad al cual denominaremos <span style="font-weight: bold;">U</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMSHEJfTto0ZolSgLat_SPI-bB9s4AMDut3sDBPrX_feLLbFr8S_Q8QElaUM_zrbiD3h1FDpawuep39c-H4JGM4zmBpBOCy8IqowSSFpbmoE1TJi2iwptdclYIjOozG6p7sTej_1vMOm4/s1600-h/paso_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 229px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMSHEJfTto0ZolSgLat_SPI-bB9s4AMDut3sDBPrX_feLLbFr8S_Q8QElaUM_zrbiD3h1FDpawuep39c-H4JGM4zmBpBOCy8IqowSSFpbmoE1TJi2iwptdclYIjOozG6p7sTej_1vMOm4/s400/paso_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383643422862304162" border="0" /></a><br /></div><br />cuyas componentes espaciales podemos representar del modo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV4glIEOjjzXYlf-5vf-rz3OQezMiksiWksP3HLCVQRsqMijYHpz8-cQq8wSraFq-qVwIyqNsGDhw39YMV7CiH0HVjXzdGkg2gdk7YsTdSBTUQErYl3S6q9DAVbpBx4DGoXJGi-iHepwU/s1600-h/paso_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 207px; height: 61px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV4glIEOjjzXYlf-5vf-rz3OQezMiksiWksP3HLCVQRsqMijYHpz8-cQq8wSraFq-qVwIyqNsGDhw39YMV7CiH0HVjXzdGkg2gdk7YsTdSBTUQErYl3S6q9DAVbpBx4DGoXJGi-iHepwU/s400/paso_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383643845272292962" border="0" /></a><br /></div><br />Usando la definición básica del “factor de corrección” γ así como la relación que nos proporciona cuantitativamente la dilatación del tiempo:<br /><br /><div style="text-align: center;">γ = 1/√<span style="text-decoration: overline;">1 - V²/c²</span><br /><br />dt/dτ = γ<br /></div><br />podemos obtener lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEbpD0uoM3pvEyRSGlfyGvvN_W3GT3rCdz-fT2we5MXewW6YwxoMB0R-IApwFqWNZCzlUzt7KL_utkEyHu7w6_xYxNQtpw6SFKYYp_6FlILeb-Lcz8gX2AGwnt5yNzFMRw8rBR66oMY_s/s1600-h/paso_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 303px; height: 163px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEbpD0uoM3pvEyRSGlfyGvvN_W3GT3rCdz-fT2we5MXewW6YwxoMB0R-IApwFqWNZCzlUzt7KL_utkEyHu7w6_xYxNQtpw6SFKYYp_6FlILeb-Lcz8gX2AGwnt5yNzFMRw8rBR66oMY_s/s400/paso_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383645644234869122" border="0" /></a><br /></div><br />El 4-producto escalar relativista del vector velocidad <span style="font-weight: bold;">U</span> consigo mismo será:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXT8-F-IUeMRWSl-Q6pD2upctRihNB-fjCchtXG67DeQUNtIiMH5VwTnxS1K5__oVnJM-uWO2uvJkIWlZFvyXZjleBXX5zPb-DeR3FhS_v9RzJlsEd0zs44vjJ-YpaA5l0_sds_nWpjSA/s1600-h/paso_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 57px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXT8-F-IUeMRWSl-Q6pD2upctRihNB-fjCchtXG67DeQUNtIiMH5VwTnxS1K5__oVnJM-uWO2uvJkIWlZFvyXZjleBXX5zPb-DeR3FhS_v9RzJlsEd0zs44vjJ-YpaA5l0_sds_nWpjSA/s400/paso_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383646448489949618" border="0" /></a><br /></div><br />Factorizando:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXczK8PbvceMAcRG0qFXebESAfpl9DFRs-uVMhwCSP-5XFTE2NeLUcTBi71eweUPkYV5OlayLYPyuVtRqltv_dM-Q4uSvlpNFC2CQLszP65o93xLeLiu0zOWHENT1WHKa8_8TOXKNoxco/s1600-h/paso_5.png"><img style="cursor: pointer; width: 373px; height: 40px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXczK8PbvceMAcRG0qFXebESAfpl9DFRs-uVMhwCSP-5XFTE2NeLUcTBi71eweUPkYV5OlayLYPyuVtRqltv_dM-Q4uSvlpNFC2CQLszP65o93xLeLiu0zOWHENT1WHKa8_8TOXKNoxco/s400/paso_5.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383646985587127778" border="0" /></a><br /></div><br />Pero la suma de términos cuadráticos dentro de los paréntesis cuadrados es igual al cuadrado de la magnitud del vector velocidad tri-dimensional Euclideana <span style="font-weight: bold;">V</span>. Entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeBplPWkkhSToGUKpTqd7nrtZUAZ5kmohcPC4-u2sxH3wxZkUIZ0huKb0-cPPfeBx6WLx9pF2bBGV3vm8nczUYPQyqGV1xY849EleYnx7gAT7OgoPD2O0RW-sQ4Eqiq7IQn3znl8VpNWk/s1600-h/paso_6.png"><img style="cursor: pointer; width: 200px; height: 37px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeBplPWkkhSToGUKpTqd7nrtZUAZ5kmohcPC4-u2sxH3wxZkUIZ0huKb0-cPPfeBx6WLx9pF2bBGV3vm8nczUYPQyqGV1xY849EleYnx7gAT7OgoPD2O0RW-sQ4Eqiq7IQn3znl8VpNWk/s400/paso_6.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383647743736065154" border="0" /></a><br /></div><br />Factorizamos ahora de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1kxnsy4g2GupN1gppAfRe3j5_aHduTDJt1hmENuFx27K8TsuufBAxALEi0zzJx0fSFemuWC3RFXF67GauWK2ye-LKCSvyBQ805YlMQmOXg8dy4rGWcWw5QK6ORsLeLZNl-2SIvAdVOnA/s1600-h/paso_7.png"><img style="cursor: pointer; width: 233px; height: 39px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1kxnsy4g2GupN1gppAfRe3j5_aHduTDJt1hmENuFx27K8TsuufBAxALEi0zzJx0fSFemuWC3RFXF67GauWK2ye-LKCSvyBQ805YlMQmOXg8dy4rGWcWw5QK6ORsLeLZNl-2SIvAdVOnA/s400/paso_7.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383648102042188386" border="0" /></a><br /></div><br />Usando la relación explícita para γ, esto nos produce el siguiente resultado:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1VnOpS_8CwSnbBiVKqohM77xnYduTMKhb29DBOdzwvOF8XwPmeBSTyGqsSNdWM4-SOj3RH4jXinrTn2VsVMb5z2DK8SdVMzMXG8PLCpdlGb2rSXR3I3ztp-3bDPThkab-1panTpIH-Yo/s1600-h/paso_8.png"><img style="cursor: pointer; width: 121px; height: 37px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1VnOpS_8CwSnbBiVKqohM77xnYduTMKhb29DBOdzwvOF8XwPmeBSTyGqsSNdWM4-SOj3RH4jXinrTn2VsVMb5z2DK8SdVMzMXG8PLCpdlGb2rSXR3I3ztp-3bDPThkab-1panTpIH-Yo/s400/paso_8.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383648542278503250" border="0" /></a><br /></div><br />Puesto que la velocidad de la luz es una constante absoluta que permanece invariante para todos los marcos de referencia, se concluye que <span style="font-style: italic;">el 4-producto escalar del vector 4-velocidad consigo mismo es una invariante.</span><br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Usando la definición del 4-producto escalar relativista, demostrar que el 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo es una invariante.</span><br /><br />Usando la 4-velocidad <span style="font-weight: bold;">U</span> del problema anterior, el vector 4-momentum lo podemos definir de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">P</span> = <span style="font-size:100%;">m<sub>0</sub></span><span style="font-size:130%;">U</span><br /></div><br />El 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo será entonces:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">P</span> · <span style="font-size:130%;">P</span> = <span style="font-size:100%;">m<sub>0</sub></span><span style="font-size:130%;">U</span> · <span style="font-size:100%;">m<sub>0</sub></span><span style="font-size:130%;">U</span><br /><br /><span style="font-size:130%;">P</span> · <span style="font-size:130%;">P</span> = <span style="font-size:100%;">m<sub>0</sub></span><span>² [</span><span style="font-size:130%;">U</span> · <span style="font-size:130%;">U</span><span>]</span><br /></div><span><br />Pero ya vimos en el problema anterior que <span style="font-weight: bold;">U</span></span><span style="font-weight: bold;">·</span><span><span style="font-weight: bold;">U</span> = c². Entonces:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><span style="font-size:130%;">P</span> · <span style="font-size:130%;">P</span> = <span style="font-size:100%;">m<sub>0</sub></span><span>² </span><span>c²</span><br /></div><span><br />Puesto que tanto la <span style="font-style: italic;">masa propia</span> </span><span style="font-size:100%;">m<sub>0</sub></span><span> como la velocidad de la luz son invariantes, se concluye que </span><span style="font-style: italic;">el 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo es una invariante.</span><br /><span style="font-weight: bold;"><br />PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Si </span><span style="font-weight: bold;">A</span><span style="font-style: italic;"> es un 4-vector relativista, demostrar que:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1gnKIOwapJrrhbB8DvSADkFLAJckE1LRXp43lcUwoNkVVFbgx-qXDevNYYsNwgdw3LkeA-txuUYP-O58cM3JC7z_fwafdrotEBsyoUoNAq7aHE_f75QTuqXAdZzgi9XQRrwax6T7JJyQ/s1600-h/enunciado_problema.png"><img style="cursor: pointer; width: 205px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1gnKIOwapJrrhbB8DvSADkFLAJckE1LRXp43lcUwoNkVVFbgx-qXDevNYYsNwgdw3LkeA-txuUYP-O58cM3JC7z_fwafdrotEBsyoUoNAq7aHE_f75QTuqXAdZzgi9XQRrwax6T7JJyQ/s400/enunciado_problema.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5382924050606712050" border="0" /></a><br /></div><br />En este caso:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">A</span> · <span style="font-weight: bold;">A</span> = a<sub>1</sub> · a<sub>1</sub> - a<sub>1</sub> · a<sub>1</sub> - a<sub>1</sub> · a<sub>1</sub> - a<sub>1</sub> · a<sub>1</sub><br /><br /><span style="font-weight: bold;">A</span> · <span style="font-weight: bold;">A</span> = (a<sub>1</sub>)² - (a<sub>2</sub>)² - (a<sub>3</sub>)² - (a<sub>4</sub>)²<br /></div><br />Tomando la derivada con respecto al <span style="font-style: italic;">tiempo propio:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG3cdaeXG9CcX8QnB9tC2-S4EqYxl1JwalNcO9tdVLnYGmyRqPfeO8bfcokOFKu92BENnrQwyQBF8dRFDfuoM2cuApIRseu1_RYix-QutcNaQ7rqyzs7pux8dUtzhsSFM4kXT8VbdbKSc/s1600-h/paso_intermedio.png"><img style="cursor: pointer; width: 310px; height: 131px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG3cdaeXG9CcX8QnB9tC2-S4EqYxl1JwalNcO9tdVLnYGmyRqPfeO8bfcokOFKu92BENnrQwyQBF8dRFDfuoM2cuApIRseu1_RYix-QutcNaQ7rqyzs7pux8dUtzhsSFM4kXT8VbdbKSc/s400/paso_intermedio.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5382926181557014722" border="0" /></a><br /></div><br />Puesto que:<br /><br /><div style="text-align: center;">d<span style="font-weight: bold;">A</span>/dτ = [ da<sub>1</sub>/dτ , da<sub>2</sub>/dτ , da<sub>3</sub>/dτ , da<sub>4</sub>/dτ ]<br /></div><br />recurriendo nuevamente a la notación del 4-producto escalar obtenemos el resultado pedido.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Demostrar que el 4-producto escalar entre el 4-vector velocidad y el 4-vector aceleración es igual a cero.</span><br /><br />Siendo el 4-vector aceleración la derivada con respecto al <span style="font-style: italic;">tiempo propio</span> del 4-vector velocidad, o sea:<br /><br /><div style="text-align: center;">d<span style="font-weight: bold;">U</span>/dτ<br /></div><br />Podemos utilizar la relación obtenida en el problema anterior para poner:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdbQRL3ssVrEm8fCnbm41Fh52bpsKM-ISH_8DutJqXCDuw5MuO5-jTLTe9zBB-lQRBPsCTO5kWSvezVCcqPdjv4wlAR-WQdKslquXVAB4oAiuktDSVY-_0BYLUYTieKcQMF6ePnEKw0bM/s1600-h/paso_intermedio.png"><img style="cursor: pointer; width: 204px; height: 64px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdbQRL3ssVrEm8fCnbm41Fh52bpsKM-ISH_8DutJqXCDuw5MuO5-jTLTe9zBB-lQRBPsCTO5kWSvezVCcqPdjv4wlAR-WQdKslquXVAB4oAiuktDSVY-_0BYLUYTieKcQMF6ePnEKw0bM/s400/paso_intermedio.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383654297288895090" border="0" /></a><br /></div><br />Pero ya vimos en un problema anterior que <span><span style="font-weight: bold;">U</span></span><span style="font-weight: bold;">·</span><span><span style="font-weight: bold;">U</span> = c². Y como la derivada de una constante, en este caso con respecto al tiempo propio, es igual a cero, se concluye que:</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhIz82mR_XrnVvr_JeXpzsZKFOEPTwXUfNyHkATjoCfDt2uHShgWUfGPPVrGzV8uVSq20Wu5XyaLFehGUtnoC1Hjf8PTFPCeGcrMJGrKNPHBaiYmh2srZlsJwfPMHUTmyOyYn1tk5FoTI/s1600-h/resultado.png"><img style="cursor: pointer; width: 118px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhIz82mR_XrnVvr_JeXpzsZKFOEPTwXUfNyHkATjoCfDt2uHShgWUfGPPVrGzV8uVSq20Wu5XyaLFehGUtnoC1Hjf8PTFPCeGcrMJGrKNPHBaiYmh2srZlsJwfPMHUTmyOyYn1tk5FoTI/s400/resultado.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5383655699021643666" border="0" /></a><br /></div><br />Al estar hablando acerca de aceleraciones, podemos estarnos refiriendo a una de dos cosas diferentes: (1) una aceleración dirigida en el mismo sentido en el cual está apuntando el vector velocidad de un objeto que se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea, y (2) una aceleración que saca al objeto de su trayectoria rectilínea y lo desvía hacia otro lado. Para un objeto que se está acelerando, no hay marco de referencia alguno en el cual se le pueda considerar en reposo. Sin embargo, existe un marco de referencia inercial el cual <span style="font-style: italic;">momentáneamente</span> tiene la misma velocidad que la del objeto que se está acelerando. Este marco de referencia es conocido como el <span style="font-weight: bold;">sistema de referencia comóvil</span> (en inglés, <span style="font-style: italic;">comoving reference frame</span>) o, más apropiadamente, <span style="font-weight: bold;">marco de reposo instantáneo</span> (<span style="font-style: italic;">instantaneous rest frame</span>) o <span style="font-weight: bold;">marco de referencia comóvil momentáneo</span> (<span style="font-style: italic;">momentarily comoving reference frame</span>). Por un instante, este marco de referencia moviéndose a velocidad constante en movimiento rectilíneo coincide con el objeto que se está acelerando, y en ese instante de tiempo ambos tienen la misma velocidad y se dirigen en la misma dirección. Por eso se le llama <span style="font-style: italic;">comóvil</span>. Una vez pasado ese instante, la partícula ya no se está comoviendo junto con el marco de referencia. Siendo el sistema de referencia comóvil un sistema de referencia que por un instante de tiempo se mueve <span style="font-style: italic;">junto</span> con un objeto en movimiento a la misma velocidad que en ese instante lleva el objeto, <span style="color: rgb(51, 51, 255);">respecto al sistema de referencia comóvil el objeto siempre está en reposo</span>. Para cada instante de tiempo, habrá un sistema comóvil diferente para el objeto. En un espacio tri-dimensional Euclideano (no-relativista) esto tendrá un aspecto como el que se bosqueja en la siguiente figura en la cual el objeto se está desplazando a lo largo de una curva de color rojo y en la cual el vector <span style="font-weight: bold;">T</span> es la velocidad tangente en cada punto de la curva mientras que el vector <span style="font-weight: bold;">N</span> es el vector que apunta hacia el centro instantáneo de la curvatura de la trayectoria (el vector B es un vector perpendicular a ambos vectores T y N, formándose así un pequeño “sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas” que parece estar viajando con el objeto:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCTiByEUIUoSDnyaGTcdoaeH1Vp7_bowjEnUg8uiwPqWA0iRuWDPNDc4TJVmrhK3t6T9LFoiat9fBSvqehSKdq6X6_pruodQu9KY7S3OIdhXlPCKFEr5gIdsujTo77y4WcdnzNodTp1Vg/s1600-h/marco_de_referencia_comovil_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 195px; height: 254px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCTiByEUIUoSDnyaGTcdoaeH1Vp7_bowjEnUg8uiwPqWA0iRuWDPNDc4TJVmrhK3t6T9LFoiat9fBSvqehSKdq6X6_pruodQu9KY7S3OIdhXlPCKFEr5gIdsujTo77y4WcdnzNodTp1Vg/s400/marco_de_referencia_comovil_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5395160020161857986" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Normalmente se usa el sistema comóvil en el cual la partícula o el centro de gravedad del sólido ocupa el origen de coordenadas del sistema comóvil.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">¿Es el sistema de referencia comóvil un marco de referencia que viaja junto con el objeto que se está trasladando en un espacio-tiempo?</span><br /><br />Si el objeto se desplaza a velocidad constante siguiendo un movimiento rectilíneo, entonces en cada punto de su trayectoria tiene tiene un marco de referencia en el que se encuentra instantáneamente en reposo que se puede considerar que “viaja” con él. Pero si el cuerpo se está acelerando cambiando de dirección, un marco de referencia ligado al objeto en movimiento también se estaría acelerando y dentro de dicho marco se experimentarían fuerzas de aceleración inexistentes en un marco en reposo. En este último caso, para cada instante de tiempo habrá un marco de referencia comóvil que ciertamente no “viaja” junto con el objeto.<br /><br />En la mecánica relativista al igual que en la mecánica clásica, el objeto está en reposo respecto al sistema de referencia comóvil por lo que su velocidad espacial respecto al mismo será cero en todo momento, y por tanto la 4-velocidad sólo tendrá componente temporal:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">V</span> = (V<sup>t</sup>, V<sup>x</sup>, V<sup>y</sup>, V<sup>z</sup>) = (V<sup>t</sup>, 0, 0, 0)<br /></div><br />Desafortunadamente, el sistema de referencia comóvil no siempre puede asociarse a un sistema de coordenadas curvilíneas, y esto se debe a que no existe una equivalencia entre la clase de todos los posibles sistemas de coordenadas y la clase de todos los observadores posibles del espacio-tiempo. De cualquier modo, este sistema de referencia resulta útil al dar el salto de la Teoría Especial de la Relatividad hacia la Teoría General de la Relatividad en donde pasamos de un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> a un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span>.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-19969448503572571722009-03-18T19:50:00.000-07:002009-12-15T14:10:34.708-08:00El germen de una ideaBernhard Riemann, el fundador de la geometría moderna, considerado por muchos como el padre de la geometría diferencial, no vivió el tiempo suficiente para ver el nacimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, lo cual tuvo lugar en 1905, 39 años después de su muerte, y por lo tanto jamás tuvo conocimiento alguno de efectos físicos relativistas tales como la contracción de longitud o de conceptos tales como un espacio-tiempo cuatri-dimensional. Cierto es que consolidó las herramientas matemáticas necesarias para el estudio de espacios geométricos de cualquier número de dimensiones, pero jamás estableció formalmente una conexión directa entre sus propias contribuciones a la matemática teórica y la aplicación de dichos conceptos al mundo real.<br /><br />Sin embargo, Riemann, al igual que otros pensadores de su tiempo, se encontraba insatisfecho con la postulación de la ley de la gravitación universal de Newton enunciada por vez primera en 1687, se resistía a creer en la existencia real de una fuerza totalmente invisible actuando entre dos cuerpos, responsable de producir una atracción entre dichos cuerpos en razón directa del producto de sus masas. Cierto, ya para su tiempo las leyes de Newton habían trabajado admirablemente bien en la explicación de muchos fenómenos astronómicos y en la predicción de sucesos tales como el retorno del cometa Halley (el regreso del Halley en 1759 constituyó en su día un espectacular triunfo de la teoría de Newton). El difirendo no era tanto con la confirmación exitosa de dicha ley, sino más bien una cuestión de fondo filosófico, con la renuencia en aceptar la realidad de esa fuerza gravitatoria invisible entre dos cuerpos propuesta por Newton.<br /><br />Fueron precisamente estas dudas las que llevaron a Riemann a considerar la posibilidad de que tal fuerza de gravedad ni siquiera existía, que la atracción entre dos cuerpos se debía no a fuerza alguna actuando entre ellos a través del espacio interestelar, una <span style="font-style: italic;">acción-a-distancia</span>, sino a un efecto estrictamente<span style="font-weight: bold;"> geométrico</span>, a la contracción del espacio existente entre dos cuerpos. Esta era una diferencia muy sutil pero revolucionaria para su época. Para Newton, el espacio era absoluto, invariable, y si dos cuerpos flotando en el espacio separados una distancia de 10 metros se acercaban entre sí por su atracción gravitatoria a una distancia de 4 metros, los diez metros originales seguían allí, eran los cuerpos los que habían consumido seis metros de dicho espacio al acercarse el uno al otro. Pero para Riemann, los cuerpos <span style="font-style: italic;">no se movían para nada de sus posiciones originales</span>, lo que sucedía era que <span style="font-style: italic;">el espacio entre ellos se había contraído</span>.<br /><br />Desafortunadamente, Riemann jamás pudo concretar estas ideas porque lo que visualizaba era una contracción del espacio tridimensional, y lo que se necesitaba era un espacio de <span style="font-style: italic;">cuatro dimensiones,</span> no de tres. Pero la sospecha estaba sembrada, y Riemann le dejó al mundo las herramientas matemáticas para explorarla.<br /><br />No es difícil darse cuenta de cómo Einstein pudo haber llegado a la conclusión de que la atracción gravitacional entre dos cuerpos pudiera deberse a efectos relativistas, tomando como punto de partida la Teoría Especial de la Relatividad. Para ello, imaginemos a nuestro proverbial viajero en el ferrocarril en su marco de referencia S', e imaginemos también a un lado de las vías del ferrocarril no a uno sino a varios observadores en el marco de referencia S separados distancias iguales. Supongamos también que al pie de cada uno de estos observadores hay dos esferas metálicas iguales separadas diez metros entre sí.<br /><br />Si el viajero pasa frente al primer observador a muy baja velocidad, a paso de tortuga, él también verá el primer par de esferas separadas diez metros. Supongamos ahora que el tren aumenta su velocidad hasta alcanzar una velocidad igual a la mitad de la velocidad de la luz (0.5<span style="font-weight: bold;">c</span>). Al pasar frente al siguiente par de esferas, las verá más próximas la una a la otra. La Teoría Especial de la Relatividad predice esto, y la distancia reducida puede ser calculada sin dificultad alguna utilizando la fórmula para la contracción de longitud.<br /><br />Ahora supongamos que el tren en el que se traslada nuestro viajero aumenta su velocidad de 0.5<span style="font-weight: bold;">c</span> a 0.8<span style="font-weight: bold;">c</span>. Al hacer esto, el tren dejó de moverse a una velocidad constante, se tuvo que acelerar para poder cambiar su velocidad de 0.5<span style="font-weight: bold;">c</span> a 0.8<span style="font-weight: bold;">c</span>. La longitud entre el siguiente par de esferas metálicas será más pequeña que la distancia de separación que había visto entre las esferas anteriores.<br /><br />Tras esto, supongamos nuevamente que el tren en el que se traslada nuestro viajero cambia su velocidad de 0.8c a 0.9c, acelerándose nuevamente. La longitud entre el siguiente par de esferas metálicas será todavía más pequeña que la distancia de separación que había visto entre las esferas anteriores. Esto lo podemos visualizar en los siguientes diagramas:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYLgxp6Ro-Fsyy2B3buqdTKzoZCYbqpWmjLf_H6xByDTb9dl0jEi_rTDIMfT4dE0s2_4sdazOfFWzcEJHaNPtNQoYpGy5dobWp93FWuE4hmTcw3f6eEjmqihbpmglVjX6mNvLpRb33pKg2/s1600-h/atraccion_gravitacional_simulada_por_relatividad_especial.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 346px; height: 367px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYLgxp6Ro-Fsyy2B3buqdTKzoZCYbqpWmjLf_H6xByDTb9dl0jEi_rTDIMfT4dE0s2_4sdazOfFWzcEJHaNPtNQoYpGy5dobWp93FWuE4hmTcw3f6eEjmqihbpmglVjX6mNvLpRb33pKg2/s400/atraccion_gravitacional_simulada_por_relatividad_especial.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322412589245700690" border="0" /></a><br /></div><br />Cambiemos ahora a nuestro viajero a un carrousel girando cada vez con mayor rapidez, pasando cada vez más rápido frente a un solo y mismo observador en tierra el cual en su marco de referencia S' tiene a sus pies a dos esferas metálicas separadas diez metros. Al volver a pasar el viajero frente al observador una y otra vez a una velocidad cada vez mayor, abriendo y cerrando sus ojos sólo cuando pasa frente a las esferas, para él las esferas se están acercando como si hubiese un efecto de atracción entre las mismas. Pero para el observador en tierra, las dos esferas en reposo frente a él siguen separadas a una misma distancia de diez metros. Lo que sucede, tal y como lo imaginara Riemann, no es que las esferas se estén atrayendo la una a la otra como si fuesen imanes, es el espacio entre las esferas el que está haciéndose más pequeño. Esto explica la misteriosa “fuerza de atracción” entre dos cuerpos postulada por Newton, redefiniéndola como la consecuencia directa de una disminución del espacio, o mejor dicho del <span style="font-style: italic;">espacio-tiempo</span>, entre dos cuerpos.<br /><br />Por otro lado, como el viajero está moviéndose a velocidades cada vez mayores, se está acelerando, definida la aceleración como un cambio en la velocidad con respecto al tiempo en que aumentó (o disminuyó) dicha velocidad, lo cual encaja en la fórmula de Newton que nos dice que una fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> aplicada sobre una masa m es directamente proporcional a la aceleración <span style="font-weight: bold;">a</span> que produce sobre dicha masa, o sea <span style="font-weight: bold;">F </span>= m<span style="font-weight: bold;">a</span>. Tenemos pues una explicación geométrica, basada en efectos relativistas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, acerca de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos, bajo una situación en la que tenemos una aceleración como la que provoca una fuerza sobre una masa m.<br /><br />Sin embargo, hay algo ausente. En esta explicación que se acaba de dar no intervienen para nada las masas de las esferas metálicas. Y sabemos que bajo el esquema de Newton la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas, y en tanto mayores sean las masas tanto mayor será la “fuerza gravitacional” entre las masas y por ende la aceleración que se producen entre sí al estar la una en presencia de la otra. Este es el gran salto que Riemann ya no pudo dar.<br /><br />Para obtener el efecto de una contracción <span style="font-style: italic;">continua</span> del espacio entre dos cuerpos como lo acabamos de ver, el viajero tiene que estarse moviendo no a una velocidad uniforme y constante con respecto al observador en tierra, sino a velocidades cada vez mayores, se tiene que estar <span style="font-style: italic;">acelerando</span>, y en esta situación en la cual aparentemente hay un observador privilegiado (el que se está acelerando, ya que el observador en tierra no siente los efectos de ninguna aceleración) la filosofía básica detrás de la Teoría Especial de la Relatividad ya no es suficiente, la teoría tiene que ser ampliada de alguna manera para incluír marcos de referencia <span style="font-style: italic;">acelerados</span> el uno con respecto al otro. Tenemos que abandonar el cómodo universo de movimientos rectilíneos uniformes a velocidad constante para extendernos hacia el ámbito de movimientos acelerados, lo cual desde la perspectiva matemática nos va a complicar las cosas al hacernos pasar de un entorno<span style="font-style: italic;"> linear</span> a un entorno <span style="font-weight: bold;">no-linear</span>, obligándonos a recurrir a las herramientas del cálculo infinitesimal para poder describir con números lo que está ocurriendo. Inclusive en la mecánica clásica, este salto es más que obvio si comparamos la gráfica de un cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniforme (recorriendo distancias iguales en tiempos iguales):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwA0aiw-jzET5kCgBM-_o8TbyZqIZIEtDv_lsZfL5A_aer6mkFLLPz4RLEpvza6hyzYlyWW9XGC0H7eNSrZUPED5ht5pOlAcTA2l9JxD5u6cR7yrdKxrXXeuDJly1Lu2iuHV4qTlXDGt4a/s1600-h/grafica_velocidad_constante.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 298px; height: 283px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwA0aiw-jzET5kCgBM-_o8TbyZqIZIEtDv_lsZfL5A_aer6mkFLLPz4RLEpvza6hyzYlyWW9XGC0H7eNSrZUPED5ht5pOlAcTA2l9JxD5u6cR7yrdKxrXXeuDJly1Lu2iuHV4qTlXDGt4a/s400/grafica_velocidad_constante.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322425034396030498" border="0" /></a><br /></div><br /><br />con la de un cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el cual la distancia recorrida es proporcional <span style="font-style: italic;">al cuadrado</span> del tiempo transcurrido, o sea x = at²/2:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMABxLF_z-4hfJGyjsIbI0c1sar84D0cLrB5lpnxOE3hUo9SZEjkNJppJ6XkS5bK0C-s1gHAxJ6-w_F2HyGsRQrf_fJ6ulZNxvF2ksbkCvBwq9-qhF99QuShptBaycQYCgx6PKYXnyZ5CL/s1600-h/grafica_aceleracion.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 338px; height: 294px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMABxLF_z-4hfJGyjsIbI0c1sar84D0cLrB5lpnxOE3hUo9SZEjkNJppJ6XkS5bK0C-s1gHAxJ6-w_F2HyGsRQrf_fJ6ulZNxvF2ksbkCvBwq9-qhF99QuShptBaycQYCgx6PKYXnyZ5CL/s400/grafica_aceleracion.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322425262264637906" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Y es importante tomar en cuenta también que no sólo un cuerpo que está en movimiento rectilíneo moviéndose siempre hacia adelante en la misma dirección pero cambiando su velocidad constantemente es capaz de experimentar una aceleración. <span style="font-style: italic;">También un cuerpo que se está moviendo a una velocidad constante pero que está cambiando continuamente su dirección experimenta una aceleración</span>. En la siguiente gráfica trazada sobre un plano x-y en donde no se muestra a la variable tiempo tenemos una descripción de esto:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY7I37epMHI4QEk76pTf-ixfTkp5XpjllzJnPo8zNTpDRzItq0-87G14VAVGV2sUDqWHbYyfO2DEr3FrWLnZZX2YeYiFgaZsjnJG4UsPv3CwFOle-cI4ZR75PdVPaFOcSQRuLusNuDOePd/s1600-h/aceleracion_por_cambio_de_direccion.gif"><img style="cursor: pointer; width: 323px; height: 297px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY7I37epMHI4QEk76pTf-ixfTkp5XpjllzJnPo8zNTpDRzItq0-87G14VAVGV2sUDqWHbYyfO2DEr3FrWLnZZX2YeYiFgaZsjnJG4UsPv3CwFOle-cI4ZR75PdVPaFOcSQRuLusNuDOePd/s400/aceleracion_por_cambio_de_direccion.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322759128828805794" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Podemos imaginarnos a un carro que está a una distancia <span style="font-weight: bold;">r</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub> de un origen O moviéndose a una velocidad constante de 40 kilómetros por hora en la dirección indicada por el <span style="font-weight: bold;">vector velocidad</span> <span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">V</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">1</sub>, el cual al llegar a un punto que está a una distancia <span style="font-weight: bold;">r</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub> del origen se sigue moviendo a la misma velocidad de 40 kilómetros por hora pero ahora en la dirección indicada por el <span style="font-weight: bold;">vector velocidad </span><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">V</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">2</sub>. La magnitud de la velocidad (la <span style="font-style: italic;">rapidez</span> del vehículo) sigue siendo la misma, pero su dirección ha cambiado, y este<span style="font-style: italic;"> cambio vectorial</span> que podemos denotar como <span style="font-weight: bold; color: rgb(102, 0, 204);">ΔV</span> definitivamente tiene una longitud que podemos calcular como se muestra arriba, la cual al ocurrir en cierto tiempo Δt nos produce una aceleración <span style="font-weight: bold;">a</span> que podemos definir <span style="font-style: italic;">vectorialmente</span> de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU0zdiElHBexeAo-hfLF941lOdeEvX8w1ENHQPA9OYYDQcArAU-TFYKWDllvvnKsKBDdNV9kbt2aaXLM3fUxbUtLgHX-E2rOYdR8y7SvsVxynnryEPcN82hyMUp9bWBy0HMENFOCnM9s4-/s1600-h/definicion_basica_aceleracion.gif"><img style="cursor: pointer; width: 181px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU0zdiElHBexeAo-hfLF941lOdeEvX8w1ENHQPA9OYYDQcArAU-TFYKWDllvvnKsKBDdNV9kbt2aaXLM3fUxbUtLgHX-E2rOYdR8y7SvsVxynnryEPcN82hyMUp9bWBy0HMENFOCnM9s4-/s400/definicion_basica_aceleracion.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322761887040880482" border="0" /></a><br /></div><br />En esta fórmula, la cual considera la posibilidad de cambios bruscos en <span style="font-style: italic;">el sentido</span> de la velocidad, tratamos de definirla en lo más cercano que pueda haber a un punto, de modo tal que al avanzar vectorialmente una cantidad muy pequeña Δ<span style="font-weight: bold;">V</span> en una cantidad muy pequeña de tiempo Δt, lo más pequeña posible, obtenemos lo más cercano que pueda haber a una aceleración vectorial del vehículo al pasar por dicho punto. Esta, desde luego, es la definición infinitesimal de una aceleración vectorial, usando diferenciales:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirkxiprkVWBjPeHuac-eYQ4mgUKSJ20iB4IOsGQbDmWysw6dhdbLh-rmj58uWjT-LKK2qUYI7QNuCiiBN1gNXLhDzz2vA7kze4f1BWXuvyuTJZpp-N-7RImT44vHo5jSWBym-SQWEe8f9L/s1600-h/definicion_infinitesimal_aceleracion.gif"><img style="cursor: pointer; width: 126px; height: 60px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirkxiprkVWBjPeHuac-eYQ4mgUKSJ20iB4IOsGQbDmWysw6dhdbLh-rmj58uWjT-LKK2qUYI7QNuCiiBN1gNXLhDzz2vA7kze4f1BWXuvyuTJZpp-N-7RImT44vHo5jSWBym-SQWEe8f9L/s400/definicion_infinitesimal_aceleracion.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322763503452415346" border="0" /></a><br /></div><br />Un pasajero que viaje en un automóvil sabe que está experimentando este tipo de aceleración cuando está dando la vuelta en una esquina a gran velocidad, se dá cuenta de las fuerzas que el vehículo aplica sobre ella para hacerla cambiar de dirección junto con el vehículo. <span style="font-style: italic;">Este tipo de aceleración es precisamente la aceleración centrípeta que experimentan la Luna al girar en torno a la Tierra</span>. Es precisamente el tipo de movimiento circular (o mejor dicho, elíptico) que una Teoría de la Relatividad intenta explicar pero sin recurrir a la suposición de fuerzas de atracción gravitacional, fuerzas invisibles que actúan “a distancia”.<br /><br />La conexión crucial que tenía que ser establecida requirió igualar, filosóficamente y matemáticamente, los efectos relativistas observados por nuestro proverbial viajero en su marco de referencia <span style="font-style: italic;">acelerado</span> con la aceleración provocada por un <span style="font-weight: bold;">campo gravitacional</span>, un campo gravitacional que geométricamente hablando no es más que una curvatura en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones causada a su vez por la presencia de masa-energía en dicho espacio cuatri-dimensional. Hecho esto, todo lo demás se obtiene como consecuencia directa de estas premisas básicas.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-43114882169081539012009-03-18T19:30:00.000-07:002009-10-22T11:12:22.059-07:0017: El principio de equivalenciaAl estudiar la Teoría Especial de la Relatividad, había quedado un asunto pendiente, y este asunto era el de los observadores sujetos a cambios de velocidad. Un observador como lo es el caso de un astronauta que viaja en el espacio y que experimenta una aceleración al encender los motores para aumentar la velocidad de su nave la puede medir con instrumentos que tenga a la mano, y también puede sentir sobre su cuerpo los efectos de la aceleración. Esto parece colocarlo en un plano privilegiado sobre otro observador estático en el espacio que lo está viendo acelerarse y que no experimenta fuerza alguna y el cual de no ser por la confirmación visual de que el astronauta se está acelerando no se daría cuenta de ello.<br /><br />Para resolver y estudiar esta cuestión, Einstein formuló un principio sobre el cual descansa toda la <span style="font-weight: bold;">Teoría General de la Relatividad</span> a la cual nos podemos referir simplemente como la <span style="font-weight: bold;">Relatividad General</span>: <span style="font-style: italic;">el principio de equivalencia</span>, el cual nos dice lo siguiente:<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Principio de Equivalencia</span>: <span style="font-style: italic;">Para una persona situada dentro de una caja herméticamente sellada, no existe diferencia entre el estar en el espacio con la caja acelerándose y otra persona situada en una caja similar reposando en un campo gravitacional.</span><br /><br />Puesto de otra manera, si la persona está encerrada en una caja blindada del exterior, la persona no tiene forma alguna de saber si la caja está en el espacio acelerándose o si la caja está en presencia de un campo gravitacional. Ambas condiciones son equivalentes para cualquier tipo de experimento que pretenda llevar a cabo. Esto lo podemos ilustrar de la siguiente manera:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7aa6qKox7ERFO5XYzmeyPMq_rVfdYOuClSPzI8rkuEDQu_ZFhcvqzv-JANielFUrEVY-ZzXN19VdfxymcAgc7zcWhomSrxf-UsIX44aNVpIzcgpq9IbnW7VtHXdFjDtdRJ2DLCFnBdYc0/s1600-h/el_principio_de_equivalencia.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 272px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7aa6qKox7ERFO5XYzmeyPMq_rVfdYOuClSPzI8rkuEDQu_ZFhcvqzv-JANielFUrEVY-ZzXN19VdfxymcAgc7zcWhomSrxf-UsIX44aNVpIzcgpq9IbnW7VtHXdFjDtdRJ2DLCFnBdYc0/s400/el_principio_de_equivalencia.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5314625324545949346" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En el dibujo de la izquierda, tenemos a un astronauta cuya nave espacial está acelerándose hacia arriba. Si el astronauta suelta una pelota, la pelota caerá hacia abajo como consecuencia de la aceleración. Y en el dibujo de la derecha, tenemos a una persona cuya caja en la que se encuentra está en reposo en un campo gravitacional. También esta persona, si suelta una pelota, la verá caer hacia abajo pero esta vez como consecuenciade la atracción ejercida por el campo gravitacional. Ambas personas ven caer la pelota hacia abajo. Y si la caja en la que están encerradas es una caja herméticamente sellada y blindada, no tienen forma de saber en base a cualquier experimento que pretendan llevar a cabo si están en una caja que se está acelerando en el espacio o si están en una caja que está en reposo en un campo gravitacional.<br /><br />En el experimento hipotético considerado en la entrada “El germen de una idea” con nuestro proverbial viajero montado en un carrousel que va pasando a velocidades cada vez mayores frente a dos esferas metálicas que a causa de la contracción de longitud relativista propia de la Teoría Especial de la Relatividad parecen irse acercando la una a la otra como si hubiese una fuerza de atracción mágica entre ellas, la objeción podría formularse de que al pasar frente a las esferas metálicas el viajero está experimentando una aceleración <span style="font-style: italic;">lineal</span>, constante, y lo que vería serían las esferas metálicas acercándose la una a la otra a una <span style="font-style: italic;">velocidad</span> constante, no a una <span style="font-style: italic;">aceleración</span> constante propia de una atracción gravitacional. Pero se recuerda aquí que la aceleración producida por la gravedad de la Tierra en su superficie (de 9.8 metros/segundo²) <span style="font-style: italic;">es válida únicamente en la superficie de la Tierra</span>. A distancias cada vez mayores de nuestro planeta esa aceleración va disminuyendo hasta tomar prácticamente un valor de cero, de modo tal que esta aceleración gravitacional no es constante. Del mismo modo, si la aceleración que experimenta el viajero cada vez que pasa frente a las esferas metálicas no es constante sino que va aumentando en forma graduada, el viajero verá a las esferas metálicas “atraerse” en forma acelerada, propia de un campo gravitacional. Y esto justifica ya la equivalencia de un campo gravitacional como consecuencia directa de efectos relativistas.<br /><br />Detrás del Principio de Equivalencia subyace algo que inclusive el mismo Newton había ya sospechado y considerado en su época, la equivalencia entre la <span style="font-style: italic;">masa inercial</span> y la <span style="font-style: italic;">masa gravitacional</span> de un cuerpo. La <span style="font-weight: bold;">masa inercial</span> es esencialmente la resistencia que presenta un cuerpo flotando en el espacio a ser acelerado, precisamente es a lo que se refiere la ley de la inercia de Newton cuando nos dice que todo cuerpo de masa <span style="font-weight: bold;">m</span> presenta una resistencia a que se le cambie su cantidad de movimiento, resistencia al cambio ocasionada precisamente por su <span style="font-style: italic;">masa inercial</span> <span style="font-weight: bold;">m</span><sub style="font-weight: bold;">i</sub>. Por otro lado la <span style="font-weight: bold;">masa gravitacional</span> es la atracción que ejerce un campo gravitacional sobre un cuerpo que medida nos indicaría una masa <span style="font-weight: bold;">m</span><sub style="font-weight: bold;">g</sub> para dicho cuerpo. La masa inercial es la que posee un cuerpo que está flotando en el espacio vacío interestelar, es la característica propia del cuerpo que se resiste a ser acelerado sacándolo de su estado <span style="font-style: italic;">inerte</span> o estado de reposo poniéndolo en movimiento (regresándolo “a la vida”) cuando se le aplica una fuerza, mientras que la masa gravitacional es la que determina el <span style="font-weight: bold;">peso</span> de un cuerpo en reposo descansando sobre la superficie de un planeta, es la que determina que una persona sea más ligera sobre la superficie de la Luna que sobre la superficie de la Tierra, y más pesada sobre la superficie de Saturno. Clásicamente, en el espacio vacío, la fuerza <span style="font-weight: bold;">F</span> requerida para provocar una aceleración <span style="font-weight: bold;">a</span> sobre un cuerpo está dada por la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">F =</span> <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">i</sub> <span style="font-weight: bold;">a</span><br /></div><br />mientras que sobre la superficie de la Tierra el <span style="font-style: italic;">peso</span> <span style="font-weight: bold;">W</span> de un cuerpo está dado por una fórmula semejante:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">W = </span><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">g</sub> <span style="font-weight: bold;">g</span><br /></div><br />siendo <span style="font-weight: bold;">g</span> la aceleración que tendría un cuerpo al ser dejado caer en la superficie de la Tierra.<br /><br />La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio de velocidad, mientras que la masa gravitacional es la medida de la fuerza de atracción gravitatoria que experimenta una masa en relación a la demás de acuerdo con la fórmula Newtoniana para la fuerza gravitatoria entre dos partículas. Einstein lo que hizo fué, en efecto, adoptar matemáticamente la relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">i</sub> <span style="font-weight: bold;"></span>= <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">m</span><sub style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">g</sub><br /></div><br />elevándola al grado de postulado básico para usarla como punto de partida para su Teoría General de la Relatividad.<br /><br />Es importante aclarar que no hay razón <span style="font-style: italic;">a priori</span> para suponer que la masa inercial de un cuerpo sea igual a su masa gravitacional del mismo modo que no hay razón a priori para suponer que un kilogramo de masa gravitacional de un bloque metálico de hierro tenga las mismas propiedades físicas que la masa gravitacional de un bloque metálico de níquel (independiente del tipo de elemento del que está formado el bloque), y del mismo modo que no hay razón alguna para suponer de antemano que la cantidad de átomos que contenga un gramo de azúcar sea igual a la cantidad de átomos que contenga un gramo de agua. Este tipo de datos son información que se recaba experimentalmente, de la experiencia. Hasta donde nos lo han permitido numerosos experimentos efectuados con un grado de precisión muy alto, la masa inercial y la masa gravitacional se pueden tomar como si fueran iguales; si no lo son posiblemente no exista en la actualidad un experimento con la suficiente sensibilidad que nos permita detectar esa mínima diferencia que pudiera haber entre ambas (por ejemplo, de una parte en 10<sup>80</sup>, lo cual estaría fuera de nuestro alcance).<br /><br />El principio de equivalencia nos permite partir de la base que ya tenemos, la Teoría Especial de la Relatividad, en donde se ha supuesto que el espacio-tiempo es plano, considerando fenómenos de aceleración dentro de dicha teoría y dando por hecho que, si la aceleración es la misma, el comportamiento de un cuerpo será el mismo ya sea que esté siendo acelerado en el espacio libre mediante la aplicación de una fuerza (masa inercial) o que se encuentre en estado de reposo en un campo gravitacional que le pueda provocar la misma aceleración si se le deja caer (masa gravitacional). El efecto de las aceleraciones es incorporado dentro del modelo matemático de la Teoría de la Relatividad dejando atrás el modelo <span style="font-weight: bold;">plano</span> del espacio cuatri-dimensional propio de la Teoría Especial de la Relatividad, <span style="font-style: italic;">para permitirle al plano tomar una curvatura</span>. En efecto, el continuum tiempo-espacio puede adquirir una curvatura. ¿Y qué es lo que puede provocar tal curvatura en un modelo plano en el que únicamente aplicaban los principios de la Teoría Especial de la Relatividad?<span style="font-weight: bold;"> La presencia de masa</span>. En donde hay alguna masa, el espacio-tiempo resiente una deformación, la cual será mayor tanto mayor sea la masa que está produciendo la curvatura. La imagen típica con la cual se intenta transmitir esta idea es la de una malla flexible con la cual se intenta simbolizar un espacio-tiempo plano de Minkowski, sobre la cual se coloca una esferita metálica que provoca el hundimiento que nos representa la curvatura:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiae6RpQq4aXjJokRl9NcC4ENLRVtIpmSxWBzKtbcj2FY94QlZ9GoJ6UvYK6DP-29Oo5XUKseSRVsGyiecjRm78kry8KDpyG3Rl6kngEhnoiKTdLUESIVE_ifQ2PJY-k5JZPuQN7cQD3MHO/s1600-h/curvatura_en_el_espacio-tiempo.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 385px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiae6RpQq4aXjJokRl9NcC4ENLRVtIpmSxWBzKtbcj2FY94QlZ9GoJ6UvYK6DP-29Oo5XUKseSRVsGyiecjRm78kry8KDpyG3Rl6kngEhnoiKTdLUESIVE_ifQ2PJY-k5JZPuQN7cQD3MHO/s400/curvatura_en_el_espacio-tiempo.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5370291407289894834" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Sin embargo, es importante no tomar muy a pecho esta representación pictórica de la curvatura introducida en un espacio-tiempo plano por la presencia de una masa, en virtud de que lo que se está tratando de representar es una curvatura que ocurre en <span style="font-style: italic;">cuatro-dimensiones</span>, utililizando para ello no una representación gráfica cuatri-dimensional, ni siquiera una representación tri-dimensional, sino una representación plana como la que tenemos arriba. La imagen sirve únicamente para los fines de transmitir una idea, la idea de una curvatura en el espacio-tiempo plano, pero no tiene intención alguna de ser interpretada literalmente.<br /><br />Como en base a uno de los resultados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad, la masa y la energía son equivalentes, ambas son manifestaciones diferentes de la misma cosa, pudiendo referirnos a ambas como la <span style="font-weight: bold;">masa-energía</span>, dentro de la Relatividad General podemos afirmar que <span style="font-style: italic;">toda presencia de masa-energía introduce una curvatura en el continuum espacio-tiempo</span>. En donde no hay masa-energía (en castellano, en donde no hay nada de masa ni de energía) cercana no habrá tampoco ninguna curvatura en el espacio-tiempo, y las fórmulas propias de la Teoría Especial de la Relatividad son las únicas que necesitamos para estudiar los fenómenos que se presenten en dicha región. Expresado sin recurrir a fórmula alguna:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(0, 153, 0);">curvatura</span> = <span style="color: rgb(51, 51, 255);">concentración de masa y energía</span></span><br /></div><br />Esto es simbolizado de manera más formal con <span style="font-style: italic;">la ecuación más importante de la Teoría General de la Relatividad</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA6rWDml0TrTbIjIgfzVA6kxBW2X8K7f25IO1DN-cH9BOAq2kCQyaQR44ASei5ZXzYdx-U0iOKY41Q7wRGEzUSwBSxYx5I43XM3NgdkN3eMPsoWR1Eu8lATHzV1hMAYOkZ77DcbTZJVkI/s1600-h/ecuacion_fundamental_Relatividad_General_dimensionalmente_correcta.png"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 85px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA6rWDml0TrTbIjIgfzVA6kxBW2X8K7f25IO1DN-cH9BOAq2kCQyaQR44ASei5ZXzYdx-U0iOKY41Q7wRGEzUSwBSxYx5I43XM3NgdkN3eMPsoWR1Eu8lATHzV1hMAYOkZ77DcbTZJVkI/s400/ecuacion_fundamental_Relatividad_General_dimensionalmente_correcta.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5394760945483786610" border="0" /></a><br /></div><br />Esta es la ecuación <span style="font-style: italic;">dimensionalmente correcta</span>. Sin embargo, al igual que como ocurre en la Teoría Especial de la Relatividad para fines de análisis y para fines de representación esquemática en los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, dada la enorme magnitud de la cifra que representa la velocidad de la luz se acostumbra por convención hacerla igual a la unidad, o sea <span style="color: rgb(51, 51, 255);">c = 1</span>, con lo cual tenemos a la ecuación en una de sus representaciones más populares:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihspKbD4SqSBnjqF1hcGH2x5vKF1L2h-Up_UZxdysCCYvzxL6KwHovKl8F_uN3IKEfCYP93Rp0K-c8QUMfi4Jgs7xhMwoq44vEgDG7Sm6m3UOQcaHCiMM_TpdhyPrxFkhuU_p15wEvSlo/s1600-h/ecuacion_fundamental_Relatividad_General.png"><img style="cursor: pointer; width: 153px; height: 47px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihspKbD4SqSBnjqF1hcGH2x5vKF1L2h-Up_UZxdysCCYvzxL6KwHovKl8F_uN3IKEfCYP93Rp0K-c8QUMfi4Jgs7xhMwoq44vEgDG7Sm6m3UOQcaHCiMM_TpdhyPrxFkhuU_p15wEvSlo/s400/ecuacion_fundamental_Relatividad_General.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5394062054639068402" border="0" /></a><br /></div><br />En el lado izquierdo de la ecuación tenemos una entidad conocida como <span style="font-style: italic;">la curvatura</span>, representada por el símbolo <span style="font-weight: bold;">G</span>. Y del lado derecho tenemos tenemos otra entidad que representa <span style="font-weight: bold;">todo</span> lo que tiene que ver con la masa-energía, absolutamente todo, simbolizada como <span style="font-weight: bold;">T</span>. La constante <span style="font-weight: bold; font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">G</span> es la constante de gravitación universal que en el sistema de mediciones métrico decimal es igual a 6.674215 x 10<sup>-11 </sup>m<sup>3</sup>/kg-seg², una constante que debe ser medida y obtenida experimentalmente; se trata de la misma constante universal que Newton requirió usar para que su fórmula de atracción gravitacional entre dos cuerpos concordase con los fenómenos astronómicos analizados bajo la mecánica Newtoniana. Puesto que 8 y <b style="font-weight: bold;">π</b> son también constantes (numéricas) el factor <span style="font-weight: bold;">8</span><b style="font-weight: bold;">π</b><span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">G</span></span> en sí no es más que una constante, de la cual si prescindimos tenemos una relación cualitativa que del lado derecho nos está simbolizando la curvatura en el espacio-tiempo y del lado derecho nos está simbolizando el contenido en masa-energía y <span style="font-style: italic;">momentum</span> que está produciendo la curvatura señalada. Debe enfatizarse el hecho de que la curvatura en la<span style="font-weight: bold;"> carta</span> <span style="font-style: italic;">(manifold</span>) espacio-tiempo es una curvatura de un espacio <span style="font-style: italic;">en cuatro dimensiones</span>, y por lo tanto no es una curvatura que podamos percibir geométricamente de manera directa. Esta curvatura la percibimos a través de los <span style="font-style: italic;">efectos</span> que produce tales como la rotación de los planetas alrededor del Sol. La curvatura en el espacio-tiempo le dice a la masa-energía cómo y en qué sentido debe moverse, mientras que la masa-energía le dice al espacio-tiempo cuánto y de qué manera debe “curvearse”. Esta ecuación lo que nos está diciendo esencialmente es que cuando <span style="font-weight: bold;">T</span> no tiene un valor de cero (en todas sus componentes), <span style="font-weight: bold;">G</span> tampoco lo tendrá (en todas sus componentes) y por lo tanto habrá una curvatura en el<span style="font-style: italic;"> continuum</span> tiempo-espacio. El lector avispado tal vez empiece a percibir aquí un problema: si <span style="font-weight: bold;">A</span> le dice a <span style="font-weight: bold;">B</span> cómo debe moverse, y si <span style="font-weight: bold;">B</span> le dice a <span style="font-weight: bold;">A</span> cómo debe “curvearse” para que <span style="font-weight: bold;">B</span> a su vez le diga a <span style="font-weight: bold;">A</span> cómo debe moverse, ¿entonces cómo vamos a resolver las ecuaciones que nos describan cualquier tipo de situación? Es aquí que tenemos que confrontar una dura realidad: <span style="font-style: italic;">los problemas postulados dentro del marco de la Teoría General de la Relatividad, hablando en términos generales, son irresolubles matemáticamente, sólo se pueden obtener soluciones exactas para casos particulares o recurriendo a aproximaciones.</span> Afortunadamente, hay algunos casos particulares, especialmente aquellos en los que tomamos ventaja de la simetría esférica, en donde podemos obtener soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Pero el caso general, sobre todo el caso en el que tenemos que recurrir a simulaciones computarizadas a causa de la no-linearidad de las ecuaciones diferenciales involucradas, es algo que inclusive justifica el tener que recurrir a las supercomputadoras de hoy en día para poder encontrar soluciones razonablemente aproximadas.<br /><br />Siguiendo una idea propuesta inicialmente por Max Planck de asignarle a las constantes físicas un valor unitario en vez de utilizar sistemas de medición concebidos artificialmente por el hombre que no están basados en algo válido en el Universo entero que sea independiente de criterios arbitrarios, en lo que Max Planck llamó “unidades naturales” y que en la Teoría de la Relatividad se conoce como <span style="font-style: italic;">unidades geometrizadas</span> a la constante de gravitación universal <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">G</span> se le asigna también un valor de 1. Con esto, la ecuación más importante de la Teoría General de la Relatividad se nos presenta frecuentemente en muchos textos y trabajos científicos de la siguiente manera simplificada:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiA-ufREybMOzOEjTN7wy1D_NP8XEsLxytEU2yiLMeSAvu5UaksbU33CkUXAL2F0r1qlBOLEl48WzrLmV1vhea9R5ppu7NI6SVBNUvM-T3GnhKrT00qZSGtcQ1JFJ2bc9VIIPU6uQzNgL0/s1600-h/ecuacion_fundamental_simplificada_Relatividad_General.png"><img style="cursor: pointer; width: 136px; height: 47px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiA-ufREybMOzOEjTN7wy1D_NP8XEsLxytEU2yiLMeSAvu5UaksbU33CkUXAL2F0r1qlBOLEl48WzrLmV1vhea9R5ppu7NI6SVBNUvM-T3GnhKrT00qZSGtcQ1JFJ2bc9VIIPU6uQzNgL0/s400/ecuacion_fundamental_simplificada_Relatividad_General.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5395487986741921970" border="0" /></a><br /></div><br />Hay que tener mucha precaución con esta que podemos considerar <span style="font-style: italic;">la fórmula fundamental de la Teoría General de la Relatividad</span>, porque es<span style="font-weight: bold;"> una ecuación tensorial</span>, y el nombre correcto de <span style="font-weight: bold;">G</span> es el de<span style="font-style: italic;"> tensor de curvatura de Einstein</span>, mientras que el nombre correcto de <span style="font-weight: bold;">T</span> es el de<span style="font-style: italic;"> tensor energía-momentum ó tensor energía-tensión ó tensor energía-impulso</span>, y cada uno de ellos requiere para su especificación completa un total de 16 componentes. Las <span style="font-weight: bold;">ecuaciones del campo gravitacional</span> o simplemente <span style="font-weight: bold;">ecuaciones de campo</span> de la Relatividad General, expresadas en su forma más explícita, tienen el siguiente aspecto en notación tensorial:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">R</span> - ½<span style="font-weight: bold;">g</span>R = <span>8</span>π<span><span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">G</span></span><span style="font-weight: bold;">T</span><br /></div><br />en donde <span style="font-weight: bold;">R = </span><span>(R</span><sub>μν)</sub> es el <span style="font-style: italic;">tensor de curvatura de Ricci</span>, <span>R</span> es el <span style="font-weight: bold;">escalar de Ricci</span>, <span style="font-weight: bold;">g = </span><span>(g</span><sub>μν</sub>) es el <span style="font-weight: bold;">tensor métrico</span> y <span style="font-weight: bold;">T = </span><span>(T</span><sub>μν</sub>) es el <span style="font-weight: bold;">tensor energía-tensión </span><span>o</span><span style="font-weight: bold;"> tensor energía-impulso</span> (<span style="font-style: italic;">stress-energy tensor</span>). En notación de sub-índices, la anterior ecuación se escribe de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipexuLDwTK4wFnAyBaNpme_37emwJsoDX8kbdyXExx7vqe2Krlmh8lVkXXa-UB44ui-yrn5pychN12tfeFneQ5HG2ww0XYxldaEuv4-NeBaJISShaC7zJC1DL3Sj_QdgXCkc9zd5fuukBk/s1600-h/ecuaciones_de_campo_relatividad_general.png"><img style="cursor: pointer; width: 260px; height: 80px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipexuLDwTK4wFnAyBaNpme_37emwJsoDX8kbdyXExx7vqe2Krlmh8lVkXXa-UB44ui-yrn5pychN12tfeFneQ5HG2ww0XYxldaEuv4-NeBaJISShaC7zJC1DL3Sj_QdgXCkc9zd5fuukBk/s400/ecuaciones_de_campo_relatividad_general.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320568876240994738" border="0" /></a><br /></div><br />En un espacio de cuatro dimensiones, cada uno de los tensores representa una cantidad física que consta de 16 componentes y la cual puede ser representada como una matriz 4x4. A manera de ejemplo, las 16 componentes del tensor <span style="font-weight: bold;">T = </span><span>(T</span><sub>μν</sub>), expresadas en forma de matriz, tienen el siguiente aspecto:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqhu179mkbo7kaNntKL9znApU2h8zVshYddz9dLzss0XRjkFX2e2mE5O6OryLwaCsXMB_iNu5NUNYgdfiMdqhiaQeU2pXVCDmoyo3OJ9A2QCkBsw2TZhv1orNGEwgFJgYIZhX8Nxm7tNyH/s1600-h/tensor_energia-impulso.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 212px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqhu179mkbo7kaNntKL9znApU2h8zVshYddz9dLzss0XRjkFX2e2mE5O6OryLwaCsXMB_iNu5NUNYgdfiMdqhiaQeU2pXVCDmoyo3OJ9A2QCkBsw2TZhv1orNGEwgFJgYIZhX8Nxm7tNyH/s400/tensor_energia-impulso.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320570144795401154" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En su formulación de la ecuación fundamental de la Teoría General de la Relatividad, Einstein siguió el ejemplo de Maxwell en su derivación de las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo, para las cuales Maxwell utilizó notación <span style="font-weight: bold;">vectorial</span> con lo cual las fórmulas generales simplificadas se vuelven independientes del tipo de coordenadas (Cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.) que se utilicen para describir algún fenómeno electromagnético en particular. Puesto que la formulación de la Teoría General de la Relatividad requiere de un espacio de cuatro dimensiones (cuatri-dimensional), el uso de vectores no es suficiente para la simplificación de todo hasta reducirlo a una fórmula (o a unas cuantas fórmulas), se requiere el uso de notación <span style="font-weight: bold;">tensorial</span>. Sin embargo, es importante señalar aquí que los vectores, esas magnitudes físicas que tienen dirección y sentido tales como la aceleración de un automóvil o la fuerza que se le aplica a una palanca, en realidad <span style="font-style: italic;">también son tensores</span>, <span style="font-weight: bold;">tensores de orden uno</span>. Y de hecho, todas las demás magnitudes físicas conocidas como escalares, esas magnitudes físicas que no tienen dirección y sentido tales como la temperatura de un objeto, <span style="font-style: italic;">también son tensores</span>, <span style="font-weight: bold;">tensores de orden cero</span>. Al estar hablando de tensores, debe ir quedando claro que tendremos que ir un paso más allá del cálculo infinitesimal ordinario que se enseña en los bachilleratos, tendremos que familiarizarnos con las técnicas del <span style="font-weight: bold;">cálculo diferencial absoluto</span>, hoy mejor conocido como el <span style="font-weight: bold;">cálculo tensorial</span>, inventado por el matemático italiano Gregorio Ricci y publicado por su alumno Tullio Levi-Civita en un libro que sigue siendo de actualidad hoy en día, <span style="font-style: italic;">The Absolute Differential Calculus</span>.<br /><br />La ecuación tensorial básica de la Relatividad General, expresada en función de coordenadas generalizadas (las cuales como ya se dijo pueden ser Cartesianas, polares, etc.) y escrita de la siguiente manera (usando subíndices):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span><span>G</span></span><sub>μν</sub><span> = 8</span><span>π</span><span><span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">G</span>T</span><sub>μν</sub><br /></div><br />adquiere su forma más sencilla cuando en el espacio circundante no hay nada de masa ni energía presentes, en cuyo caso todos los componentes del tensor <span>T</span><sub>μν</sub> son iguales a cero, lo cual equivale a decir que el tensor <span style="font-weight: bold;">T</span> = <span>(T</span><sub>μν</sub>) es igual al <span style="font-weight: bold;">tensor cero </span><span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(0, 153, 0);">0</span></span>, o sea <span style="font-weight: bold;">T</span><span style="font-weight: bold;"> </span><span style="font-weight: bold;">= <span style="color: rgb(0, 153, 0);">0</span></span> lo que a su vez implica que <span style="font-weight: bold;">G</span><span style="font-weight: bold;"> = <span style="color: rgb(0, 153, 0);">0</span></span>. <span style="font-style: italic;">Para que el espacio-tiempo en alguna región del Universo sea plano, Lorentziano, propio de la Teoría Especial de la Relatividad, la condición fundamental es que el tensor de Einstein <span style="font-weight: bold;">G</span> sea igual al tensor cero</span>.<br /><br />Como ya se mencionó, el conjunto de ecuaciones representadas de esta manera (tensorial) es conocido como las <span style="font-weight: bold;">ecuaciones de campo</span>. Si utilizamos <span style="font-weight: bold;">coordenadas Cartesianas</span> (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> , x<sub>3</sub>), entonces como una de las coordenadas es la coordenada que corresponde a la variable tiempo t tanto la variable μ como la variable ν pueden representar a cualquiera de las <span style="font-style: italic;">cuatro</span> coordenadas del espacio-tiempo (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> , x<sub>3</sub> , t). Hasta aquí hemos estado utilizando coordenadas Cartesianas, rectangulares, pero podemos usar cualquier otro tipo de coordenadas adecuadas a nuestros propósitos. Si utilizamos <span style="font-weight: bold;">coordenadas esféricas</span> (r, θ, φ) para especificar la distancia radial, el ángulo del cenit θ y el ángulo azimutal φ, entonces en el espacio <span style="font-style: italic;">cuatri-dimensional</span> (r, θ, φ, t) también tanto la variable μ como la variable ν pueden representar a cualquiera de las cuatro coordenadas en este espacio-tiempo especificado por estas coordenadas esféricas, de modo tal que varios valores típicos de <span><span>G</span></span><sub>μν</sub> y de <span>T</span><sub>μν </sub>vendrían siendo:<br /><br /><div style="text-align: center;">G<sub>rθ</sub> , G<sub>θφ</sub> , G<sub>φt</sub><br /><br />T<sub>tθ</sub> , T<sub>rr</sub> , T<sub>φθ</sub><br /></div><br />Es importante resaltar aquí que, por simetría <span><span>G</span></span><sub>μν</sub>= <span><span>G</span></span><sub>νμ</sub>, de modo tal que, por ejemplo:<br /><br /><div style="text-align: center;">G<sub>rθ</sub> = G<sub>θr</sub><br /><br />G<sub>φt</sub> = G<sub>tφ</sub><br /></div><br />Igualando los componentes respectivos de <span><span>G</span></span><sub>μν</sub> y <span>T</span><sub>μν</sub> en una ecuación tensorial para un caso particular, tenemos un sistema de ecuaciones con el cual en principio podemos resolver el problema matemáticamente, lo cual a primera vista parecería fácil. Desafortunadamente, las ecuaciones que involucran al <span style="font-style: italic;">tensor de curvatura de Einstein</span> <span style="font-weight: bold;"><span>G</span></span> son ecuaciones <span style="font-style: italic;">diferenciales</span>, ecuaciones que involucran derivadas, así que el problema ya no es tan fácil. Peor aún, las ecuaciones diferenciales resultantes por lo general resultan ser ecuaciones diferenciales no-lineares, precisamente la situación matemática más difícil de todas. Para dar mayor detalle, la forma precisa de la curvatura del espacio-tiempo está determinada por un total de 12 ecuaciones del tipo que en matemáticas se conoce como ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas acopladas. Esto nos limita severamente la cantidad de problemas que pueden ser resueltos de manera <span style="font-style: italic;">exacta</span> bajo algún sistema de coordenadas, llevándonos a considerar casos especiales como el caso en el que la masa de uno de un par de cuerpos es mucho mayor que la masa del otro cuerpo que tiene cerca. Aún así, hay triunfos espectaculares, como el logrado por Karl Schwarzschild, el cual en una solución matemática dada a las ecuaciones de campo de Einstein (una solución que impresionó a este último porque no creía factible la posibilidad de encontrar soluciones exactas a sus ecuaciones de campo) sentó las bases para la predicción de la existencia de los <span style="font-weight: bold;">agujeros negros</span>, regiones del espacio-tiempo con un campo gravitacional tan intenso que ni siquiera a la misma luz puede escapar.<br /><br />El que el espacio-tiempo pueda ser objeto de una torsión (curvatura) causada por la cercanía de masa-energía tiene implicaciones directas tanto para el <span style="font-style: italic;">espacio</span> medido por diferentes observadores como para el <span style="font-style: italic;">tiempo</span> medido por diferentes observadores. En el caso del espacio, éste va experimentando una <span style="font-style: italic;">contracción relativista</span> conforme un cuerpo se va acercando a un objeto de masa apreciable como la Tierra:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIfsc1jqqXnfMpdmZunFUR_oG5EG4KhNI8Fo2y6P6ANNsB9Gfoh_7mqOC9KP90ZGk7-McyeGGwN5hpQbswugrkVyD0nlupAHXO7-qAEST5dOTTD3S-J4h5z7CcrvUifsLt4Xq2KQDnRczW/s1600-h/efecto_gravedad_sobre_el_espacio-tiempo_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 317px; height: 373px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIfsc1jqqXnfMpdmZunFUR_oG5EG4KhNI8Fo2y6P6ANNsB9Gfoh_7mqOC9KP90ZGk7-McyeGGwN5hpQbswugrkVyD0nlupAHXO7-qAEST5dOTTD3S-J4h5z7CcrvUifsLt4Xq2KQDnRczW/s400/efecto_gravedad_sobre_el_espacio-tiempo_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5343920743345535266" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Del mismo modo, en el caso del tiempo, éste va experimentando una dilatación relativista conforme el cuerpo se va acercando a la Tierra:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkQOshZdo70zyoXa50be0_MWvmMSOeg0xOwplZuKZKa5pKjiHBMXZp5z9L1LyEfHUkMbFPEwDULtOvop_VzR1zDxhfWqsOBauMBFcnmliIO6xayRV6V4XtxfV-Hx-DTuYCPkszObSGV38h/s1600-h/efecto_gravedad_sobre_el_espacio-tiempo_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 317px; height: 373px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkQOshZdo70zyoXa50be0_MWvmMSOeg0xOwplZuKZKa5pKjiHBMXZp5z9L1LyEfHUkMbFPEwDULtOvop_VzR1zDxhfWqsOBauMBFcnmliIO6xayRV6V4XtxfV-Hx-DTuYCPkszObSGV38h/s400/efecto_gravedad_sobre_el_espacio-tiempo_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5343921032644251586" border="0" /></a><br /></div><br /><br />El principio de equivalencia nos permite entender mejor algo que había quedado en cierta forma inconcluso y pendiente en una entrada previa titulada “Una teoría libre de asimetrías y de paradojas”, <span style="font-style: italic;">la paradoja de los gemelos</span>. En dicha entrada se había señalado que la razón por la cual uno de los gemelos envejece más que el otro es porque existe una asimetría en la cual uno de los gemelos permanece en estado de reposo mientras que el otro que viaja en una nave espacial experimenta una aceleración para ponerse en marcha hacia la estrella (o el planeta) distante, experimenta otra aceleración para detenerse y dar la vuelta en sentido contrario (lo cual equivale a un cambio en los marcos de referencia) y experimenta otra aceleración para encaminarse de regreso hacia la Tierra. Como lo acabamos de ver, en un campo gravitacional el tiempo se dilata. Pero de acuerdo con el principio de equivalencia, desde el punto de vista relativista no existe diferencia alguna entre el estar en un campo gravitacional y el estar en un marco de referencia acelerado (ambos con la misma magnitud de aceleración). Entonces el tiempo medido por un viajero en una nave espacial que se está acelerando está dilatado igualmente que si se encontrara situado dentro de un campo gravitacional.<span style="font-style: italic;"></span> Con ello, queda explicada cualitativamente la paradoja de los gemelos. Ponerle números al asunto requiere la formulación matemática precisa dada por Einstein, lo cual requiere acceder a las herramientas propias del cálculo tensorial.<br /><br />A continuación tenemos una página del manuscrito escrito por Einstein dando forma a su <span style="font-style: italic;">Teoría General de la Relatividad</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_abuLF_pFbicdPVdGqw2gtIE4VkTiED8dxS0dzMnbujBoknRA9Gr_Bq96LrEOJsUwwxtfWjSG-CRqMudLHniFAtwQSMW5VVK15yVDkGPijZ548n_c4_Jt59sDyv1pElhaebdfXppIWZXS/s1600-h/Annalen_der_Physik_1916_manuscrito_relatividad_general.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 258px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_abuLF_pFbicdPVdGqw2gtIE4VkTiED8dxS0dzMnbujBoknRA9Gr_Bq96LrEOJsUwwxtfWjSG-CRqMudLHniFAtwQSMW5VVK15yVDkGPijZ548n_c4_Jt59sDyv1pElhaebdfXppIWZXS/s400/Annalen_der_Physik_1916_manuscrito_relatividad_general.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328394768007407410" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En la misma publicación científica <span style="font-style: italic;">Annalen der Physik</span> en donde en 1905 Einstein dió a conocer al mundo la Teoría Especial de la Relatividad, once años después se publicó en 1916 en Leipzig la primera introducción a la Relatividad General en el volumen 49 del <span style="font-style: italic;">Annalen der Physik</span>, bajo el título “Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie”, un trabajo en la cual se avanzó por vez primera el concepto revolucionario de que la atracción de la gravedad es el resultado de una curvatura en el espacio-tiempo y no el resultado de una fuerza entre dos cuerpos como lo había propuesto Newton:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnynE7_taynrc9wTU9J16d2vHxnWMVEQ_YbD9a7a_ya6tpgSUAbKCldbgL55Gg8SB8RKTWeqlSv072ZJbqFUD2GZlqsYnttrOe6ZBtLJLzO93WOORREwH_jd6I7N8lCcwA9sM3ShWJp7To/s1600-h/Annalen_der_Physik_1916_publicacion_relatividad_general.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 352px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnynE7_taynrc9wTU9J16d2vHxnWMVEQ_YbD9a7a_ya6tpgSUAbKCldbgL55Gg8SB8RKTWeqlSv072ZJbqFUD2GZlqsYnttrOe6ZBtLJLzO93WOORREwH_jd6I7N8lCcwA9sM3ShWJp7To/s400/Annalen_der_Physik_1916_publicacion_relatividad_general.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5328395590499903378" border="0" /></a><br /><div style="text-align: left;"><br /></div></div><br />Por el interés histórico que pueda despertar en los estudiosos sobre el tema así como por la visión que nos puede dar sobre la manera en la cual Einstein fue dando forma matemática a su Teoría General de la Relatividad, se ha incluído como acompañante de esta obra un apéndice en el que se reproducen algunas de las páginas manuscritas del libro de apuntes (cuaderno de notas) de Einstein dentro del cual fue anotando las ideas conforme se iban desarrollando en su mente con el paso de los meses y los años, el cual ha sido puesto bajo el título “Relatividad General: Manuscritos originales”.<br /><br />Como ya se señaló, el salto de un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> a un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span> requerirá de un uso intensivo no sólo de las herramientas del cálculo infinitesimal, requerirá del manejo de cuatro dimensiones a la vez mediante el cálculo infinitesimal extendido a las cuatro dimensiones, lo cual requerirá sistematizar las herramientas que ya teníamos dentro de otro conjunto de técnicas conocidas como el <span style="font-style: italic;">análisis tensorial</span> o <span style="font-style: italic;">cálculo tensorial</span> en el cual extendemos el concepto de magnitudes físicas como la temperatura y la masa sin dirección y sentido (escalares) así como de la velocidad y la aceleración (vectores) que poseen dirección y sentido a una nueva cantidad física: los tensores.<br /><br />Las ecuaciones de campo de Einstein no son la única teoría concebida para explicar matemáticamente el fenómeno de la gravedad. Un ejemplo de otras teorías alternas lo constituye la <span style="font-weight: bold;">teoría de gravitación Brans-Dicke</span> (el principal competidor) desarrollada en 1961, la cual también es capaz de explicar la deflexión de la luz en presencia de un campo gravitacional así como la precesión de las órbitas de los planetas en torno al Sol, y contiene además características muy peculiares tales como el hecho de que la constante de gravitación universal <span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">G</span> no es realmente una constante e inclusive lo que la sustituye dentro de la teoría Brans-Dicke puede variar de lugar así como en el tiempo. Esta teoría, a diferencia de la Relatividad General de Einstein que es una teoría de índole puramente tensorial, es una teoría <span style="font-style: italic;">escalar-tensorial</span> en el sentido de que la interacción gravitacional depende tanto de lo que llamamos un campo escalar así como del campo tensorial propio de la Relatividad General. Ambas teorías concuerdan con los datos observados experimentalmente hasta la fecha. Sin embargo, en comparación con la fórmula tensorial básica de la Relatividad General <span style="font-weight: bold;"><span>G</span> = 8</span><b style="font-weight: bold;">π</b><span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic; color: rgb(255, 0, 0);">G</span>T</span>, las dos ecuaciones de la teoría Brans-Dicke:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN0QAg7Nv-xwbXRLfyy_hj50WhMBUyWoUkPtfxp7XDJPkxvx6idYu-to35ATUi_s5fkSVFux8mVFiERJATVvd2uGQ3Du8wMOZuzrnnwYDrn7AFZqVNz8bFfIeffr0GXOfqR2sFITHkgkeW/s1600-h/ecuacion_de_campo_teoria_Brans-Dicke_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 126px; height: 43px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN0QAg7Nv-xwbXRLfyy_hj50WhMBUyWoUkPtfxp7XDJPkxvx6idYu-to35ATUi_s5fkSVFux8mVFiERJATVvd2uGQ3Du8wMOZuzrnnwYDrn7AFZqVNz8bFfIeffr0GXOfqR2sFITHkgkeW/s400/ecuacion_de_campo_teoria_Brans-Dicke_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351810615530562658" border="0" /></a><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0GvVEwqYm3oaBMkTzHYBl1QzJdS8SNP9S87Y8U10rkT0izoYvmqHc1bA9l3Fqx-EekuB9sHeZfqFTjkNOGhoJusBE__Px-82tErUHwQt-dAfTZbqGho3ExqUnCEr8us-3wpyxo84F0PmZ/s1600-h/ecuacion_de_campo_teoria_Brans-Dicke_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 87px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0GvVEwqYm3oaBMkTzHYBl1QzJdS8SNP9S87Y8U10rkT0izoYvmqHc1bA9l3Fqx-EekuB9sHeZfqFTjkNOGhoJusBE__Px-82tErUHwQt-dAfTZbqGho3ExqUnCEr8us-3wpyxo84F0PmZ/s400/ecuacion_de_campo_teoria_Brans-Dicke_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351810748226789794" border="0" /></a><br /></div><br />en donde T<sub>ab</sub> es el tensor tensión-energía (o tensor energía-impulso) y φ es el campo escalar introducido en la teoría Brans-Dicke y que está ausente en la Relatividad General de Einstein, ciertamente muestran un aspecto mucho más intimidante. El consenso actual entre la mayoría de la comunidad científica es de que, a menos de que haya alguna razón importante para reemplazar a la Relatividad General Einsteniana con la más complicada teoría Brans-Dicke, no hay razones fundamentales de peso ni ventaja alguna en irnos de lo moderadamente complicado (Einstein) a lo más complejamente elaborado (Brans-Dicke y otras teorías) que, al menos filosóficamente, descansan sobre bases mucho más endebles.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-67635743778270110732009-03-18T19:20:00.000-07:002009-08-18T11:43:57.544-07:0019: Predicciones, confirmaciones, y reflexiones<span style="font-weight: bold;">Relatividad General: Predicciones y confirmaciones de la teoría</span><br /><br /><br />En 1916, Einstein propuso tres hechos experimentales para confirmar la veracidad de la Teoría General de la Relatividad:<br /><br />1) La precesión anómala de la órbita del planeta Mercurio alrededor del Sol.<br /><br />2) La deflexión de los rayos luminosos ocasionada por la curvatura en el espacio-tiempo producida por el Sol en la cercanía a dicha estrella.<br /><br />3) El corrimiento hacia el rojo de la luz ocasionado por la gravedad.<br /><br />El primer gran triunfo de la Relatividad General fue, indudablemente, la explicación satisfactoria de la precesión anómala de la órbita del planeta Mercurio alrededor del Sol en concordancia con los datos experimentales. De hecho, en la derivación de sus ecuaciones tensoriales para formalizar matemáticamente a la Relatividad General, Einstein obtuvo entre los primeros resultados intermedios la explicación a la precesión anómala de Mercurio.<br /><br />De acuerdo con las leyes de Kepler deducidas a partir de datos astronómicos y confirmadas por Newton mediante su ley de atracción universal, los planetas del sistema solar al trasladarse alrededor del Sol describen órbitas en forma de elipse, con el Sol ocupando uno de los focos de la elipse:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTgNhOw3YWezTJuOLUve0EnBi8wRs2HptM6dlLXJJX53a0LKJUm_EGRxFybE-W-xrK2a6DwfqQkOyrod6vXy7O9TU7J3d9qO4ByIcYD9cGFTlT-JWMLy6skk9124QEeZvwONcqu0gq4BvG/s1600-h/orbita_eliptica.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 316px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTgNhOw3YWezTJuOLUve0EnBi8wRs2HptM6dlLXJJX53a0LKJUm_EGRxFybE-W-xrK2a6DwfqQkOyrod6vXy7O9TU7J3d9qO4ByIcYD9cGFTlT-JWMLy6skk9124QEeZvwONcqu0gq4BvG/s400/orbita_eliptica.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5347360182247935426" border="0" /></a><br /></div><br /><br />La trayectoria elíptica se mantiene invariable bajo la formulación matemática de las leyes de Newton, no hay absolutamente nada que pueda hacer cambiar dichas órbitas elípticas excepto la proximidad ocasional de otro planeta que introduzca alguna alteración en el recorrido causada por esa fuerza de atracción gravitacional extra. Sin embargo, en el caso del planeta Mercurio, el planeta del sistema solar más cercano al Sol, su punto de máxima aproximación, su <i>perihelio</i> (del griego <i>peri</i> que significa “cerca de” y <i>helios</i> que significa Sol) que está situado en el extremo derecho de la órbita de la figura de arriba, no siempre ocurre en el mismo lugar, sino que va cambiando de lugar año con año. Esta rotación gradual de la órbita elíptica de Mercurio es conocida como <b>precesión</b>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRbG-TwtozYiR2ZmC0aeRg1NzE24Ow6S3ECZPCN_oJTmrXI8QMOBlZU37yt4vRn5KF8-kCd3ZyXi3jZS50own_mhT6sBFyPjvov4J65WsUDRtzI2wCyBpA6m_cKoUs6RMxPsBk1N1b2C2B/s1600-h/precesion_relativista_del_perihelio_de_Mercurio.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 250px; height: 232px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRbG-TwtozYiR2ZmC0aeRg1NzE24Ow6S3ECZPCN_oJTmrXI8QMOBlZU37yt4vRn5KF8-kCd3ZyXi3jZS50own_mhT6sBFyPjvov4J65WsUDRtzI2wCyBpA6m_cKoUs6RMxPsBk1N1b2C2B/s400/precesion_relativista_del_perihelio_de_Mercurio.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5347361774608460690" border="0" /></a><br /></div><br /><br />La precesión de la órbita no es algo que sea peculiar a Mercurio, ya que todas las órbitas planetarias tienen su propia precesión, este es un efecto predicho por la teoría de Newton como consecuencia del “jaloneo” gravitacional de un planeta sobre otro cuando dos planetas se aproximan (también hay “jaloneos” múltiples cuando varios planetas se alinean a lo largo de una línea imaginaria radial hacia el Sol, aunque los efectos sobre la precesión no son detectables por su pequeñez). Lo importante en todo caso es si las predicciones hechas por Newton están de acuerdo matemáticamente con la magnitud de las precesiones observadas a través del telescopio. No basta con entender cualitativamente el origen de algún efecto, los argumentos que explican el efecto tienen que estar respaldados por datos numéricos para poder darle credibilidad a la teoría que explica el efecto. La precesión de las órbitas alrededor del Sol de todos los planetas parecían estar bien explicadas en base a las ecuaciones de Newton. Pero Mercurio parecía ser la excepción.<br /><br />Vista desde la Tierra, la precesión de la órbita de Mercurio tiene un valor (angular) de unos 5600 segundos de arco por siglo (un segundo de arco es igual a 1/3600 de grado). Las ecuaciones de Newton, tomando en consideración todos los efectos gravitacionales de los demás planetas sobre Mercurio, así como la deformación ligera del Sol debida a su propia rotación, más el hecho de que la Tierra no es un marco inercial de referencia en virtud de su propia rotación y traslación alrededor del Sol, predicen mediante las fórmulas de Newton una precesión de 5557 segundos de arco por siglo. Existe entonces una discrepancia de 43 segundos de arco por siglo, la cual no puede ser eliminada aún suponiendo que haya algunos errores experimentales de medición solventados con mediciones astronómicas cada vez más refinadas. Y esta discrepancia no puede ser explicada usando las fórmulas de Newton.<br /><br />Se puede objetar con desconfianza, no sin cierta razón, el que una deflexión angular tan pequeña ocurriendo de una órbita a la siguiente pueda ser medida con tanta precisión con simples observaciones astronómicas obtenidas mediante telescopios inclusive desde antes de la formulación de la Relatividad General. Sin embargo, después de unos cincuenta años de observaciones astronómicas y de estar recabando datos, la precesión <span style="font-style: italic;">acumulada</span> es ya de cincuenta tantos con respecto a la que tuvo lugar entre el primer año y el siguiente, y con sólo dividir entre 50 la precesión acumulada entre el primer año y el año cincuentavo obtenemos una aproximación razonablemente buena, la cual va mejorando conforme el efecto acumulado de más precesiones con el paso de más años se va volviendo más discernible en la mesa de los datos.<br /><br />Aunque se propusieron muchas explicaciones “ad-hoc” para explicar la diferencia entre la precesión de la órbita del planeta Mercurio predicha por las ecuaciones de Newton y la precesión observada con mediciones astronómicas (por ejemplo, el suponer que había cierta cantidad de polvo estelar entre Mercurio y el Sol) estas explicaciones jamás pudieron ser confirmadas (las sondas espaciales que han sido enviadas a dicha región del sistema solar no han encontrado evidencia alguna de la existencia de polvo estelar entre Mercurio y el Sol).<br /><br />En contraste, basándose en su Teoría General de la Relatividad, Einstein pudo explicar correctamente, sin necesidad de tener que hacer corrección alguna, esa precesión extra de 43 segundos de arco por siglo del planeta Mercurio. Aunque todas las mediciones astronómicas anteriores habían sido hechas mediante telescopios convencionales, las mediciones más precisas en la actualidad son hechas mediante radar. En base a estas mediciones más exactas, la precesión de la órbita de Mercurio tiene un valor de 5599.7 segundos de arco por siglo.<br /><br />Fue el 18 de noviembre de 1915, poco antes de obtener las ecuaciones finales de campo de la Relatividad General, cuando Einstein basándose en las ecuaciones de campo del vacío publicó una derivación de la precesión orbital de Mercurio, la cual terminó siendo parte sin cambio alguno de la teoría que estaba próxima a ser concluída. Ya desde 1907 le había escrito a Conrad Habicht que estaba trabajando en una teoría de gravitación que esperaba que pudiera explicar la precesión anómala de Mercurio. Ocho años después, logró obtener exitosamente el resultado que esperaba obtener, comentándole a un amigo que estuvo sobrecogido por la emoción por varios días después de haber establecido una conexión sólida entre la teoría y las observaciones astronómicas. La demostración que publicó formalmente en 1915 es matemáticamente interesante, no sólo por la manera en la cual obtuvo la ecuación del movimiento de las ecuaciones de campo del vacío (<span style="font-style: italic;">vacuum field equations</span>), sino por el método que utilizó para inferir la cantidad de precesión a partir de dicha ecuación, sin contar con el beneficio de la solución esféricamente simétrica de Schwarzschild, la cual fue encontrada por éste último a menos de un mes después cuando trabajaba en su puesto en el frente de guerra ruso. Careciendo de la solución esférica <span style="font-style: italic;">exacta</span> a las ecuaciones de campo que sería encontrada por Schwarzschild, Einstein trabajó con una aproximación a la solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo del vacío, escribiendo su métrica “aproximada” empleando coordenadas Cartesianas (rectangulares), la cual escrita en coordenadas polares toma la siguiente forma:<br /><br /><div style="text-align: center;">(dτ)² = (1 - 2M/r) (dt)² - (1 + 2M/r) (dr)² - r² (dθ)² - r² sen² (θ) (dφ)²<br /></div><br />Schwarzschild pronto demostró que el coeficiente de (dr)<sup>2</sup> debería ser realmente (1<span style="font-family:Symbol;">-</span>2m/r)<sup><span style="font-family:Symbol;">-</span>1</sup>, lo cual está de acuerdo con la aproximación de Einstein únicamente hasta el primer orden en M/r. Dado el alto grado de simetría (esférica) en este caso, no es difícil obtener la solución exacta a partir de las ecuaciones de campo, pero el mismo Einstein no había anticipado que una solución exacta a las ecuaciones de campo pudiera existir.<br /><br />En referencia a la derivación empleada por Einstein, el gran matemático David Hilbert, el cual también estaba trabajando en una teoría de campo unificado basándose en parte en la naciente teoría gravitacional de Einstein, le escribió con cierta envidia lo siguiente:<br /><blockquote>“... felicitaciones en su conquista del movimiento del perihelio. Si yo pudiera calcular tan rápidamente como usted, en mis ecuaciones el electrón debe corresponder capitulando, y simultáneamente el átomo de hidrógeno debería presentar sus disculpas sobre el por qué no produce radiación.”</blockquote>De acuerdo con la Relatividad General, el <span style="font-style: italic;">desplazamiento angular del perihelio por revolución</span> δφ (se entiende aquí por revolución una órbita completa del planeta aunque dicha órbita no se “cierre”) a causa de la corrección relativística a la órbita elíptica Newtoniana clásica está dado por la siguiente fórmula (cuyo resultado está dado en radianes por cada revolución completa alrededor del Sol):<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHC3y2cGH8mfMNV3u2ra-ro3BYfX1XJIvIB39y_az-Ez1fHO1AuObK8CXAuUBAOWNbrLYZb2Fdf_DGjvp9FJM-eJYI0Xp2Bc3HqhFxn6VzpftdWQ6RXQ7t6Sa5q27Y8GseyoZSCkNF3R3v/s1600-h/desplazamiento_angular_del_perihelio_por_relatividad_general.png"><img style="cursor: pointer; width: 175px; height: 50px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHC3y2cGH8mfMNV3u2ra-ro3BYfX1XJIvIB39y_az-Ez1fHO1AuObK8CXAuUBAOWNbrLYZb2Fdf_DGjvp9FJM-eJYI0Xp2Bc3HqhFxn6VzpftdWQ6RXQ7t6Sa5q27Y8GseyoZSCkNF3R3v/s400/desplazamiento_angular_del_perihelio_por_relatividad_general.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5349936778670898578" border="0" /></a><br /></div><br />En esta relación el parámetro <span style="font-style: italic;">a</span> es lo que llamamos el <span style="font-style: italic;">semieje mayor de la órbita</span> (igual a la mitad del diámetro mayor de la elipse) y <span style="font-style: italic;">e</span> es la excentricidad de la elipse (en el caso de un círculo, <span style="font-style: italic;">e</span> = 0 y no hay excentricidad, y entre mayor sea <span style="font-style: italic;">e</span> tanto más elongada será la elipse). En algunos textos tradicionales, la cantidad <span style="font-style: italic;">a</span>(1-<span style="font-style: italic;">e</span>²) es conocida como el <span style="font-style: italic;">latus rectum</span>. (Para una órbita circular, el<span style="font-style: italic;"> semi-latus rectum</span> es igual al radio de la órbita.) Puesto que la distancia del perihelio <span style="font-style: italic;">p</span> está relacionada al semieje mayor mediante <span style="font-style: italic;">p</span> = <span style="font-style: italic;">a</span>(1-<span style="font-style: italic;">e</span>), podemos escribir también:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5yyc4vu5FSVHhcA67cJk39RTrG8t_xNJLOt5WRocysyaf48UIBxJYddd3yuumc8g-_-xW9p8pncGzhh-3GaPeFFpHYNdkEAZ2uXQeedP60fJNjlZWVk1AGIj3uuMRv0eDuf_A7-2PCd2o/s1600-h/desplazamiento_angular_del_perihelio_por_relatividad_general_2.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 170px; height: 50px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5yyc4vu5FSVHhcA67cJk39RTrG8t_xNJLOt5WRocysyaf48UIBxJYddd3yuumc8g-_-xW9p8pncGzhh-3GaPeFFpHYNdkEAZ2uXQeedP60fJNjlZWVk1AGIj3uuMRv0eDuf_A7-2PCd2o/s400/desplazamiento_angular_del_perihelio_por_relatividad_general_2.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5349939849082149538" border="0" /></a><br /></div><br />La fracción <span style="font-style: italic;">GM/c²</span> es igual a la mitad de una distancia conocida como el <span style="font-style: italic;">radio de Schwarazschild</span>. Poniendo valores:<br /><br /><div style="text-align: center;">Constante de Gravitación Universal = G = 6.674215·10<sup>-11</sup> m<sup>3</sup>/kg-seg²<br /><br />Masa del Sol = M = 1.99·10<sup>30</sup> Kilogramos<br /></div><br />encontramos que para el Sol:<br /><br /><div style="text-align: center;">GM/c² = (6.674215·10<sup>-11</sup>) (1.99·10<sup>30</sup>) /(3·10<sup>8</sup>)² = 1.476 Kilómetros<br /></div><br />Esta es una distancia muy pequeña si la comparamos con la distancia del perihelio de Mercurio de 46 millones de kilómetros al centro del Sol. Por lo tanto, el desplazamiento angular del perihelio por revolución es una cantidad muy pequeña.<br /><br />Utilizando directamente la fórmula de arriba, obtenemos δφ = 4.99·10<sup>-7</sup> radianes por órbita, lo cual utilizando la conversión:<br /><br /><div style="text-align: center;"> 2π radianes = 360 grados = 21,600 minutos = 1.296·10<sup>6</sup> segundos<br /><br />1 segundo de arco = 1" arco = 4.848·10<sup>-6</sup> radianes<br /></div><br />encontramos que equivale a (4.99·10<sup>-7</sup>)/(4.848·10<sup>-6</sup>) = 0.103 segundos de arco por revolución, y puesto que Mercurio le dá la vuelta al Sol cada 87.969 días o bien:<br /><br /><div style="text-align: center;">(87.969 días) /(365 días/año) = 0.241 año/revolución<br /><div style="text-align: left;"><br />entonces el desplazamiento angular δφ de la órbita a causa de la precesión es igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">δφ = (0.103"/revolución) /(0.241 año/revolución)<br /></div><br /><div style="text-align: center;">δφ = 0.43"/año = 43"/siglo<br /></div></div></div><br />que es justamente lo requerido para explicar la discrepancia observada astronómicamente en la precesión de la órbita de Mercurio, la cual no puede ser explicada mediante la aplicación de la ley de la gravitación universal de Newton.<br /><br />La derivación de la fórmula para el desplazamiento angular del perihelio por revolución no es un asunto muy complicado si empezamos con la solución exacta a las ecuaciones de Einstein conocida bajo una simetría esférica, o sea empleando la <span style="font-style: italic;">métrica de Schwarzschild</span>, a partir de la cual podemos obtener directamente la ecuación de movimiento de una partícula en proximidad a un astro de masa grande como el Sol. Si el lector desea anticiparse un poco al material que será tratado posteriormente, puede encontrar dos derivaciones de la fórmula en el enlace <span style="font-style: italic;">Wikipedia</span> proporcionado al final de esta entrada, en la sección titulada “Precession of elliptical orbits”. Sin embargo, el lector tal vez quiera esperar un poco hasta que tratemos temas tales como los tensores, las métricas y las geodésicas antes de intentar comprender plenamente lo que hay detrás de la derivación de la fórmula.<br /><br />Habiendo aceptado la noción de que la presencia de cualquier cantidad de masa en el espacio-tiempo introduce una curvatura en el mismo, la Relatividad General nos prepara para una de sus predicciones que junto con la explicación de la precesión anómala del planeta Mercurio fue la primera en ser confirmada experimentalmente: <span style="font-weight: bold;">la curvatura de la trayectoria de un rayo de luz en presencia de un campo gravitacional intenso</span>.<br /><br />Todavía hasta los tiempos de James Clerk Maxwell, el padre de la teoría del electromagnetismo, e inclusive después de él, no había razón alguna para suponer que la luz pudiera interactuar de modo alguno con un campo gravitacional. Siendo la luz una onda electromagnética carente de masa, se trataba de fenómenos completamente diferentes, y punto. De las cuatro ecuaciones de Maxwell no era posible deducir ni obtener interacción alguna ya sea de carácter eléctrico o magnético con la gravedad de la Tierra o cualquier otro cuerpo, la fórmula para la fuerza de atracción la gravedad no entraba en ellas. Sin embargo, la Teoría General de la Relatividad no tardó en cambiar el panorama.<br /><br />Primero que nada, debe sernos claro que un observador que esté en reposo con respecto a un rayo de luz y un observador que esté acelerándose con respecto al mismo rayo de luz verán al rayo de luz de maneras distintas. El observador que está en reposo sin estar sujeto a aceleración alguna verá a un rayo de luz viajar en línea recta. En cambio, un observador que esté acelerándose verá al rayo de luz <span style="font-style: italic;">seguir una trayectoria curva</span>. Esto se vuelve más claro considerando el siguiente experimento hipotético:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqOKGZ0rY8gEiZPVnYkKgr_Hhuo9jZQDPskfn0eIAEj9DE6Fq-ErTql-eqIc93QPAfgbQjU7R0LI1qKF5rdUEMiY5OW6yQeJoVFM3xTlUbuXMlQKiXBUX6P3Skxiqj31G9byU9seorfEzs/s1600-h/luz_curva.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 305px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqOKGZ0rY8gEiZPVnYkKgr_Hhuo9jZQDPskfn0eIAEj9DE6Fq-ErTql-eqIc93QPAfgbQjU7R0LI1qKF5rdUEMiY5OW6yQeJoVFM3xTlUbuXMlQKiXBUX6P3Skxiqj31G9byU9seorfEzs/s400/luz_curva.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317966669519845122" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En la plataforma de lanzamiento de la nave que suponemos que se está acelerando rápidamente con la ayuda de motores muy potentes, la vista que tiene un observador descansando sobre la plataforma de lanzamiento de un rayo de luz que es disparado horizontalmente desde una lámpara montada sobre la plataforma de lanzamiento es precisamente de un rayo de luz horizontal. Eso es lo que vería al ver a la nave despegando al mismo tiempo a una aceleración enorme. Pero la vista que tiene un viajero que va adentro de la nave de ese mismo rayo de luz es diferente, ya que lo que él ve es un rayo de luz que se va curveando hacia abajo.<br /><br />Supóngase que tomamos a nuestro viajero de ferrocarril con el cual empezamos nuestra discusión sobre el tema de la relatividad en la entrada “El movimiento absoluto”, y lo movemos a un elevador especial, el cual tiene una ventana al exterior, de modo tal que el movimiento de nuestro viajero ya no será llevado a cabo horizontalmente sino verticalmente. Supóngase que inicialmente está reposo con respecto a un observador externo que dispara un rayo de luz horizontal. Nuestro pasajero en el elevador verá también al rayo de luz desplazarse horizontalmente. Si el elevador se está desplazando hacia arriba a una gran velocidad que se mantiene constante, entonces por los efectos propios de los dos postulados de la Teoría Espacial de la Relatividad con los cuales descubrimos los efectos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud el rayo de luz recorrerá una distancia mayor tal y como lo ve nuestro viajero desde su ventanilla de observación:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiMVqbDAvZVS0VrLUqVqEr_IBBk77QxlwjY7m_1mlmTla7zIkeVHtDUoQ_Gnkf0FryncSITjyF8lwcVTuUDxRri2FL7wd9UTFadw5qDc9iv4MX0FI75FuFCuHvFY5arkjMMJLeJluih2ig/s1600-h/efectos_relativisticos.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 280px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiMVqbDAvZVS0VrLUqVqEr_IBBk77QxlwjY7m_1mlmTla7zIkeVHtDUoQ_Gnkf0FryncSITjyF8lwcVTuUDxRri2FL7wd9UTFadw5qDc9iv4MX0FI75FuFCuHvFY5arkjMMJLeJluih2ig/s400/efectos_relativisticos.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5323991638075228754" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Al estarse moviendo el elevador a una velocidad <span style="font-style: italic;">constante</span>, nuestro viajero no experimenta fuerza alguna que le permita determinar si es él quien está en movimiento en un elevador que está subiendo o si la persona fuera del elevador con la linterna de luz en la mano es la que está bajando a gran velocidad provocando que el rayo de luz tome la ruta de una línea recta inclinada. Pero si el elevador va cambiando bruscamente de velocidad, moviéndose hacia arriba a velocidades cada vez más cercanas a la velocidad de la luz, nuestro viajero sabe perfectamente que él está sujeto a una aceleración producida ya sea por unos motores potentes puestos debajo del elevador impulsándolo hacia arriba a velocidades cada vez mayores, y esto lo confirmará al asomarse por la ventanilla y ver que el rayo de luz toma una trayectoria curva.<br /><br />Ahora apelaremos al <span style="font-style: italic;">principio de equivalencia</span> de la Relatividad General que nos dice que estar en un marco de referencia acelerado es equivalente a estar en reposo en un campo gravitacional. Si esto es cierto, entonces un rayo de luz que pase cerca de un campo gravitacional será desviado experimentando una curvatura en su trayectoria. Puesto de otra manera, un rayo de luz que pase cerca de un planeta será desviado de su dirección rectilínea. Sin embargo, aquí no hay atracción gravitacional alguna que esté siendo ejercida sobre el rayo de luz, en virtud de que la atracción gravitacional postulada por Isaac Newton no existe. Lo que sucede es que el rayo de luz se mueve a lo largo de la curvatura introducida en una región del espacio-tiempo por la presencia de un objeto con una cantidad apreciable de masa. Esto quiere decir que si llega a nosotros un rayo de luz de una estrella distante, y ese rayo de luz ha pasado cerca de uno de los planetas exteriores de nuestro sistema solar, ese rayo será desviado y la posición en el cielo en la que nosotros vemos a dicha estrella no es su posición verdadera. Esto está ilustrado en el siguiente dibujo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh1SjCwM6QB0ixyn0dB6WnakhCu9NWQOR4d9w_KRmj93Rbhgy0Q7U6igOK5sNaXq680p7oVo-6U09btA2Sob_No4tKizV_lV-78DmWIc4PplunA5L6QROtH4Wgn54J4qqyjBOp0YOL4W2s/s1600-h/curvatura_en_espacio-tiempo.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 250px; height: 287px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh1SjCwM6QB0ixyn0dB6WnakhCu9NWQOR4d9w_KRmj93Rbhgy0Q7U6igOK5sNaXq680p7oVo-6U09btA2Sob_No4tKizV_lV-78DmWIc4PplunA5L6QROtH4Wgn54J4qqyjBOp0YOL4W2s/s400/curvatura_en_espacio-tiempo.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317971262844443090" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><br />La estrella cuya luz nos llega desde muy lejos, en su posición verdadera, sufre una desviación en su trayectoria a causa de la curvatura introducida en el espacio-tiempo por el planeta cerca del cual pasa el rayo de luz. Si nos dejamos guiar por la línea recta a lo largo de la cual viaja directamente hacia nosotros la luz de la estrella, terminaremos creyendo que la estrella está situada en el lado derecho en donde aparece la estrella en la parte superior del dibujo. Pero la estrella está realmente situada a la izquierda de esta ilusión óptica, que bien pudieramos llamar <span style="font-style: italic;">ilusión óptica gravitacional</span>.<br /><br />Es importante dejar otra cosa en claro: aunque la trayectoria que sigue un rayo de luz puede ser desviada en presencia de un campo gravitacional intenso, <span style="font-weight: bold;">la luz mantiene exactamente su misma velocidad en presencia de un campo gravitacional, ni aumenta ni disminuye su velocidad</span>. Sigue siendo la misma referencia absoluta, universal, que no cambia ni en la Teoría Especial de la Relatividad ni en la Teoría General de la Relatividad. Sin embargo, al tomar una trayectoria curvilínea en vez de continuar adelante siguiendo una trayectoria en línea recta, <span style="font-style: italic;">un rayo de luz nos puede confirmar de inmediato si en el lugar por donde está pasando el espacio-tiempo ha dejado de ser plano adquiriendo una curvatura</span>.<br /><br />Para confirmar la predicción teórica de la deflexión de los rayos luminosos ocasionada por la curvatura en el espacio-tiempo producida por el Sol, nuestra estrella más cercana, el 29 de mayo de 1919 poco después de la Primera Guerra Mundial se llevó a cabo una expedición encabezada por Sir Arthur Eddington a la isla de Príncipe cerca de Africa, en donde se esperaba un eclipse solar total. Normalmente, la luz que nos llega de las estrellas lejanas y que pasa cerca del borde exterior del disco solar no se puede distinguir a causa de la brillantez de la misma luz solar. Sin embargo, si el disco del Sol es cubierto por un cuerpo opaco lo suficientemente grande, como el de la Luna durante un eclipse, entonces la luz solar ya no opaca totalmente a la luz de las estrellas que llega hasta nosotros pasando por dicho borde. En principio, una fotografía de la región del Universo situada justo detrás del Sol al momento de ser tomada durante el eclipse solar, comparada con otra fotografía tomada de esa misma región con el Sol fuera del camino en virtud del movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, debe mostrarnos a las estrellas más cercanas entre sí al crearse el efecto óptico por la desviación relativista gravitatoria de la luz de esas estrellas al pasar cerca del Sol que cuando las vemos en una noche obscura. A continuación tenemos el “negativo” fotográfico de una de las placas tomadas durante esa famosa expedición (el término “negativo” fotográfico, una inversión de la luminosidad mostrada por una placa, tal vez no sea muy claro para las nuevas generaciones acostumbradas a las cámaras fotográficas digitales sin haber conocido las cámaras “antigüitas” basadas en soluciones de plata, y una comparación equivalente sería imaginarnos a la placa como una placa de rayos-X aunque en realidad no lo es):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWhhIH-tq49kWa3mmSbPqNM1MKQ_pyYXsVFSmhqlnc-WiwI3e0v49mrtRi0BSc6i3jUuwTCiONHHN2rjdAfquOxtGyFuHs8hDkbU_UkVKkL9cThN-qF_K6dHU0jEoaKZr7tOhDvgmcNrpL/s1600-h/negativo_fotografico_eclipse_Solar.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 250px; height: 321px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWhhIH-tq49kWa3mmSbPqNM1MKQ_pyYXsVFSmhqlnc-WiwI3e0v49mrtRi0BSc6i3jUuwTCiONHHN2rjdAfquOxtGyFuHs8hDkbU_UkVKkL9cThN-qF_K6dHU0jEoaKZr7tOhDvgmcNrpL/s400/negativo_fotografico_eclipse_Solar.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5357664637485347666" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Los resultados positivos anunciados por Eddington en su tiempo fueron aplaudidos como una confirmación de la Relatividad General, aunque eventualmente esos resultados estuvieron siendo puestos en tela de duda por las incertidumbres experimentales astronómicas capaces de ser confundidas con efectos relativistas. Si nos fijamos en la placa fotográfica, pese a la oclusión del astro solar ocasionada por la Luna, la posición de las estrellas situadas alrededor del Sol así como la nitidez de las mismas no es algo tan pronunciado como pudiera esperarse. Aún así, Eddington y otros astrónomos, en su interpretación de los resultados obtenidos, encontraron suficiente evidencia para considerar a los resultados como una confirmación de la Relatividad General. De cualquier manera, hay otro efecto similar de confirmación astronómica que en su tiempo no se le había ocurrido ni siquiera al mismo Einstein:<span style="font-style: italic;"> la creación de imágenes dobles o inclusive múltiples por el efecto conocido como <span style="font-weight: bold;">lentes gravitacionales</span></span>. Y la detección de este efecto es posible llevarla a cabo en un cielo totalmente obscuro, porque la masa que desvía los rayos luminosos que nos llegan de las estrellas no es la masa del Sol brillante tan cercano a nosotros sino otra masa grande que incluso puede ser opaca (como una estrella de neutrones) situada entre nosotros y dichas estrellas. La siguiente ilustración nos muestra cómo es posible que se formen imágenes dobles, de las cuales ya se han corroborado varias:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIEcyui_ApiJ5xwn3f7FdwSPjvaQC4qeS8jJxmR6zwz7RCEo5D7QuRwDqmoGw9E5W1QJ8X0Bc6hgstP6VyNcMi8a0YytNWGeMOaHfnVS8wiuHK0_K8e9-H2jpgEd9BA4JH_YqFSqMj4uBy/s1600-h/efecto_lentes_gravitacionales.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 303px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIEcyui_ApiJ5xwn3f7FdwSPjvaQC4qeS8jJxmR6zwz7RCEo5D7QuRwDqmoGw9E5W1QJ8X0Bc6hgstP6VyNcMi8a0YytNWGeMOaHfnVS8wiuHK0_K8e9-H2jpgEd9BA4JH_YqFSqMj4uBy/s400/efecto_lentes_gravitacionales.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5357668027169043314" border="0" /></a><br /></div><br /><br />A continuación tenemos una fotografía tomada por el telescopio espacial Hubble que nos muestra de manera concluyente un ejemplo de lente gravitacional:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-R5yGQ34G8IMIbZHpC7K3TeIoxoMogomXugyGtAWfGPLImMYWZ6SA_e7OYwORk0Ub1ez_Sy_h-3A05T_S-PaVvpxkqMkQgKfMBTwzxv-BLQifmFYa-vgkw8wpbmlsWQzOl8I7WHM5YX29/s1600-h/lente_gravitacional_G2237-0305.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 361px; height: 302px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-R5yGQ34G8IMIbZHpC7K3TeIoxoMogomXugyGtAWfGPLImMYWZ6SA_e7OYwORk0Ub1ez_Sy_h-3A05T_S-PaVvpxkqMkQgKfMBTwzxv-BLQifmFYa-vgkw8wpbmlsWQzOl8I7WHM5YX29/s400/lente_gravitacional_G2237-0305.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5371374266391186658" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En esta fotografía, lo que en las puntas parecen ser cuatro estrellas situadas en forma de cruz (la configuración es conocida como la <span style="font-style: italic;">Cruz de Einstein</span>) en realidad son imágenes <span style="font-style: italic;">de la misma estrella</span>, una estrella quásar designada en el catálogo astronómico internacional como G2237+0305. El cuerpo central en realidad es una galaxia situada entre nosotros y la estrella, la galaxia CGCG 378-15 que está actuando como una lente gravitacional desviando los rayos luminosos de la quásar de modo tal que nos llegan cuatro imágenes de la misma estrella a la Tierra.<br /><br />En la entrada “El efecto Doppler relativista” correspondiente a la Teoría Especial de la Relatividad, vimos cómo cuando en el espacio libre un viajero con una fuente luminosa en sus manos se está alejando de nosotros la frecuencia de las ondas luminosas que nos llega de su lámpara es menor no sólo por el efecto del corrimiento Doppler sino por los efectos relativistas de la dilatación del tiempo. Esto supone que la fuente está <span style="font-style: italic;">en movimiento</span> alejándose de nosotros.<br /><br />Pero en la Relatividad General, no es necesario que una fuente luminosa se esté alejando de nosotros a gran velocidad para que la frecuencia de una señal emitida desde la fuente nos llegue disminuída a nosotros. Podemos estar siempre a la misma distancia de otro observador (digamos unos mil millones de kilómetros) y sin embargo un haz luminoso que nos envíe el observador que él ve de color azul nos puede llegar de color verde o rojo. Para que esto ocurra, el observador que nos manda el haz de luz debe estar en la superficie de un planeta o de un cuerpo celeste con un campo gravitacional intenso, con lo cual la curvatura provocada en lo que de otro modo sería un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> hace que la coordenada del tiempo se dilate en la superficie del cuerpo masivo con respecto al tiempo medido en el espacio libre exterior por un observador en reposo libre del campo gravitacional. La fórmula para la <span style="font-weight: bold;">dilatación gravitacional</span><span style="font-weight: bold;"> del tiempo</span> medida por un reloj situado dentro de un campo gravitacional es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglyUi8c27QX2_25O5PTTcgRPBlSxykp6Gvv6EEhoxEFTHgX42_uSrUP8Y8ln5vZZxGrLQw6y-857U9KdD-UJh22p3ulGYEaezJ8y2YI1DFNZ2JiN85wq0382qjEtE6m4C_rzxS8lSDofJg/s1600-h/formula_para_la_dilatacion_del_tiempo.gif"><img style="cursor: pointer; width: 167px; height: 112px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglyUi8c27QX2_25O5PTTcgRPBlSxykp6Gvv6EEhoxEFTHgX42_uSrUP8Y8ln5vZZxGrLQw6y-857U9KdD-UJh22p3ulGYEaezJ8y2YI1DFNZ2JiN85wq0382qjEtE6m4C_rzxS8lSDofJg/s400/formula_para_la_dilatacion_del_tiempo.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5348025099329991682" border="0" /></a><br /></div><br />en donde T es el intervalo de tiempo medido por un observador que se encuentra en el espacio libre alejado del campo gravitacional. Se recalca aquí que esta dilatación del tiempo es distinta a la dilatación del tiempo tratada dentro de la Teoría Especial de la Relatividad. Esta misma fórmula, para el campo gravitacional de la Tierra en su superficie, se convierte en:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9wcETGdzcspGj5l9MNn8jbbEaCHir1l-GAw8CA2ewIkTWu0Un9ZlRKoVUm3Z5_3HwZNIcE_hOiQaM1HC-CDp7VhZghdYXduqPcnTjiNBh7NSp8vwW2CVrwmz6wqqCzdt6KK_ty54LjsdP/s1600-h/formula_para_la_dilatacion_del_tiempo_en_la_superficie_de_la_Tierra.png"><img style="cursor: pointer; width: 163px; height: 117px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9wcETGdzcspGj5l9MNn8jbbEaCHir1l-GAw8CA2ewIkTWu0Un9ZlRKoVUm3Z5_3HwZNIcE_hOiQaM1HC-CDp7VhZghdYXduqPcnTjiNBh7NSp8vwW2CVrwmz6wqqCzdt6KK_ty54LjsdP/s400/formula_para_la_dilatacion_del_tiempo_en_la_superficie_de_la_Tierra.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5348026644771587186" border="0" /></a><br /></div><br />Utilizando la expansión binomial por series:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-XRKOiE89iSjtG6Lc2VwMdL8MsUaqOhQuXUYqHtzm8robgZ6ckjbdpFrI76eYw8tp2xxxvuFga0Y2-ox06HTlG7utWD7_9LHYPj88dgkJb1DoHAJF-60TkyhqcePPkSL5XVvt0vL2y5q2/s1600-h/expansion_binomial.png"><img style="cursor: pointer; width: 352px; height: 77px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-XRKOiE89iSjtG6Lc2VwMdL8MsUaqOhQuXUYqHtzm8robgZ6ckjbdpFrI76eYw8tp2xxxvuFga0Y2-ox06HTlG7utWD7_9LHYPj88dgkJb1DoHAJF-60TkyhqcePPkSL5XVvt0vL2y5q2/s400/expansion_binomial.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5348028331223952882" border="0" /></a><br /></div><br />y los valores de g = 9.8 metros/seg² para la superficie de la Tierra así como R = 6.38·10<sup>6 </sup>metros para el radio medio de la Tierra, encontramos que:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoPSPwo3X3YIR2fVXyUz5HXkb516E12wxdYLjV_ZH52v1-DYS3m_JbVH51Zul2IvArjL9Bo1LbBzD6qvizkt7WzrXaGaZ_U7Fbzufpdp-iZyEFwLUeXPgiahjMR2c17FdY2l6HPVMmXJUm/s1600-h/aproximacion_numerica_a_dilatacion_de_tiempo_gravitacional.png"><img style="cursor: pointer; width: 292px; height: 101px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoPSPwo3X3YIR2fVXyUz5HXkb516E12wxdYLjV_ZH52v1-DYS3m_JbVH51Zul2IvArjL9Bo1LbBzD6qvizkt7WzrXaGaZ_U7Fbzufpdp-iZyEFwLUeXPgiahjMR2c17FdY2l6HPVMmXJUm/s400/aproximacion_numerica_a_dilatacion_de_tiempo_gravitacional.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5348029700348055122" border="0" /></a><br /></div><br />con lo cual se antoja extremadamente difícil el poder medir en la superficie de la Tierra un corrimiento al rojo gravitacional.<br /><br />Puesto que la gravedad dilata al tiempo, al estar lejos de una estrella masiva tenemos que esperar más para ver pasar la siguiente cresta de una onda luminosa que los observadores que estén en la superficie de la estrella masiva. Puesto que la luz viaja siempre a la misma velocidad, este incremento en el período de tiempo de cresta a cresta de la onda luminosa implica que la longitud de onda λ será mayor al llegar a nosotros que al salir disparada del cuerpo masivo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVe9ymve_70_CSgtkkJJ3DsYjpGDyBN2puvvbE_3PTlaQ0NoHoC4K6dCEtJEYMMsta1ahVcAb_GyMqy6SYIuYl1QrEmvFNgkF08cZWzFCCqTGZLS9ijmIYIKoJDogsKJEOrW2s6JVNIHPt/s1600-h/corrimiento_al_rojo_gravitacional_por_dilatacion_del_tiempo.png"><img style="cursor: pointer; width: 371px; height: 281px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVe9ymve_70_CSgtkkJJ3DsYjpGDyBN2puvvbE_3PTlaQ0NoHoC4K6dCEtJEYMMsta1ahVcAb_GyMqy6SYIuYl1QrEmvFNgkF08cZWzFCCqTGZLS9ijmIYIKoJDogsKJEOrW2s6JVNIHPt/s400/corrimiento_al_rojo_gravitacional_por_dilatacion_del_tiempo.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5347668821696776562" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En otras palabras, hay un corrimiento hacia el rojo causado por el campo gravitacional, el cual no tiene absolutamente nada que ver con el efecto Doppler ya que el cuerpo masivo puede estar siempre estacionario (a la misma distancia) de nosotros y el corrimiento al rojo ocurrirá de todas maneras. Este efecto de corrimiento hacia el rojo ocasionado por un campo gravitacional intenso y el cual no tiene nada que ver con el efecto Doppler causado por un movimiento del cuerpo alejándose de nosotros es conocido como el <span style="font-weight: bold;">corrimiento al rojo gravitacional</span> ó <span style="font-weight: bold;">desplazamiento Einstein</span>.<br /><br />El corrimiento al rojo gravitacional es una consecuencia directa del Principio de Equivalencia de la Relatividad General, ya que de acuerdo a dicho principio cualquier corrimiento de frecuencia que pueda ser ocasionado por una fuente que se está acelerando<span style="font-style: italic;"> alejándose</span> de nosotros (lo cual ya hemos tratado en la entrada “El efecto Doppler relativista”) también puede ser producido por un campo gravitacional. Por lo tanto, el corrimiento al rojo que se puede esperar como consecuencia de un campo gravitacional puede ser relacionado directamente con el corrimiento Doppler relativista que se obtiene de una fuente luminosa que se está alejando de nosotros. Para una velocidad V de la fuente luminosa suficientemente baja en comparación con la velocidad de la luz, el desplazamiento Doppler está dado por la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = f<sub>0</sub> [ 1 + V/c]<br /></div><br />Para una aceleración constante a (como es el caso con la gravedad de la Tierra) con la cual el observador al recorrer una distancia L se ha acelerado a una velocidad V en un tiempo L/c, la expresión se transforma en:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = f<sub>0</sub> [ 1 + aL/c²]<br /></div><br />Y el símil de esta fórmula <span style="font-style: italic;">en un campo gravitacional</span> será, reemplazando la aceleración por g:<br /><br /><div style="text-align: center;">f = f<sub>0</sub> [ 1 + gL/c²]<br /></div><br />Desde la óptica de la mecánica cuántica y el principio de la conservación de la energía, no es difícil ver el por qué un haz luminoso debe experimentar un corrimiento hacia el rojo cuando es emitido en presencia de un campo gravitacional intenso. Considérese el siguiente<span style="font-style: italic;"> gedanken</span> (experimento hipotético) que fue propuesto inicialmente por el mismo Einstein, en el cual tenemos una torre alta de altura h y desde la cual dejamos caer libremente hacia el suelo con una aceleración g desde lo alto de la torre una partícula cuya masa en reposo es <span style="font-weight: bold;">m</span><sub style="font-weight: bold;">0</sub> y cuya energía de movimiento al tocar el suelo es convertida totalmente por algún procedimiento ingenioso en un fotón de haz luminoso <span style="font-weight: bold;">γ</span> de frecuencia f:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2e5ctftL4X6e6rZlMBvT4rex7c9nvsSkvLMRmxCtm9xsuIZLQyCVq_l4E2UpKUDTNAuczNiCilqm4fPGeDuThRylQUSPI5aPYUPb3aLx1lqRqun_Sc5gPxbaip2e_I22cwDxskRGtQttR/s1600-h/gedanken_corrimiento_al_rojo_gravitacional.png"><img style="cursor: pointer; width: 209px; height: 234px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2e5ctftL4X6e6rZlMBvT4rex7c9nvsSkvLMRmxCtm9xsuIZLQyCVq_l4E2UpKUDTNAuczNiCilqm4fPGeDuThRylQUSPI5aPYUPb3aLx1lqRqun_Sc5gPxbaip2e_I22cwDxskRGtQttR/s400/gedanken_corrimiento_al_rojo_gravitacional.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5347670206477876914" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Al caer libremente hacia la superficie de la Tierra por la acción de la gravedad, la partícula toca el suelo con una velocidad v. Puesto que toda la energía potencial E<sub>p</sub> que tenía la partícula fue convertida en energía cinética E<sub>c</sub>, esta velocidad será igual a:<br /><br /><div style="text-align: center;">E<sub>p </sub>= E<sub>c</sub><br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">m</span>gh = ½<span style="color: rgb(255, 0, 0);">m</span>v²<br /><br />v = √<span style="text-decoration: overline;">2gh</span><br /></div><br />De este modo, un observador al pie de la torre medirá en la partícula una energía total E igual a la energía en reposo E<sub>0</sub> de la partícula más su energía cinética E<sub>c</sub>:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = E<sub>0</sub> + E<sub>c</sub><br /><br />E = <span>m</span><sub>0</sub>c² + ½<span style="color: rgb(0, 0, 0);">m</span>v²<br /></div><br />Esto nos indica que al haber dejado caer a la partícula inicialmente en reposo desde lo alto de la torre <span style="font-style: italic;">hemos ganado energía</span>. La energía no es simplemente E<sub>0</sub> sino E. Supongamos ahora que el observador al pie de la torre tiene un método ingenioso que puede utilizar para convertir toda esta energía E en un fotón luminoso que envía hacia lo alto de la torre. Este es un procedimiento que no viola las leyes de conservación puesto que la Tierra absorbe el <span style="font-style: italic;">momentum</span> del fotón pero no su energía. Si el fotón no cambia <span style="font-style: italic;">en nada</span>, entonces va a llegar a lo alto de la torre con la misma energía que tenía al momento de ser enviado desde el pie de la torre. Después de llegar a lo alto de la torre, el fotón es convertido nuevamente por otro procedimiento ingenioso a una partícula cuya masa en reposo es m'<sub>0</sub> siendo su energía E'<sub>0</sub>. Pero ahora tenemos una masa <span style="font-style: italic;">con un contenido energético total mayor que el que teníamos antes</span>. Si repetimos el proceso dejando caer la partícula desde lo alto de la torre, ganará todavía más energía, la cual al ser convertida la partícula en un fotón enviado hacia lo alto de la torre se sumará a la energía <span style="font-style: italic;">extra </span>que ya se había adquirido antes. En pocas palabras, estamos terminando con más energía que la que teníamos cuando empezamos. <span style="font-style: italic;">Se está creando energía de la nada</span>. Sin embargo, si algo nos ha mostrado la Naturaleza que ha sido confirmado por todos los experimentos habidos y por haber, es que no hay nada gratis tratándose de cuestiones de energía. La energía simplemente no aparece de la nada gratuitamenete, cuando lo hace podemos estar seguros de que hay un déficit en otro lado que neutraliza la ganancia. Es así como sospechamos que la energía en reposo E'<sub>0</sub> que tiene la masa al ser devuelta como un fotón hacia lo alto de la torre debe ser igual a la energía en reposo <span style="font-style: italic;">original</span> E<sub>0</sub> con la cual se dejó caer a la partícula desde lo alto de la torre (o lo que es lo mismo, la masa de la partícula que llega a lo alto de la torre debe ser la misma que la masa de la partícula que fue dejada caer desde la torre), ya que de no ser así podríamos obtener un movimiento perpetuo<span style="font-style: italic;"> con la energía ganada por la partícula al caer de lo alto de la torre</span>. Pero desde hace ya bastantes años que la ciencia descartó la posibilidad de máquinas de movimiento perpetuo. Ahora bien, de acuerdo con la mecánica cuántica, la energía E<sub>f</sub> de un fotón depende <span style="font-style: italic;">única y exclusivamente de la frecuencia f del fotón</span> de acuerdo con la siguiente fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;">E<sub>f</sub> = <span style="font-style: italic; color: rgb(51, 51, 255);">h </span>f<br /></div><br />en donde <span style="font-style: italic; color: rgb(51, 51, 255);">h</span> es la <span style="font-style: italic;">constante de Planck</span>. Esto nos lleva a concluír que la energía del fotón al ser enviado desde el suelo hasta lo alto de la torre <span style="font-style: italic;">no es igual a la energía con la cual el fotón llega a lo alto de la torre</span>, la energía debe ser necesariamente menor ya que de otra manera podríamos construír una máquina de movimiento perpetuo violando el segundo principio de la termodinámica que excluye la posibilidad de poder construír máquinas de movimiento perpetuo. Y la única manera en la cual el fotón puede llegar a lo alto de la torre con una energía menor a la que tenía cuando fue enviado desde el suelo hacia la torre es llegando con una frecuencia que la que tenía cuando fue enviado; en otras palabras, <span style="font-style: italic;">experimentando un corrimiento hacia el rojo</span>. En principio, la frecuencia del fotón se va corriendo hacia el rojo conforme el fotón se va alejando del campo gravitacional, y al llegar a la torre la energía perdida por el fotón debe ser exactamente igual a la energía cinética ganada por la masa al caer desde lo alto de la torre. Ni creación ni desaparición de energía, tal y como lo pide el principio de la conservación de la energía (o mejor dicho, el principio de la conservación de la masa-energía).<br /><br />Imaginemos un edificio situado sobre la superficie de un planeta con un campo gravitacional intenso. Entonces, al menos teóricamente, el tiempo correrá más lentamente en el primer piso del edificio que en cualquiera de los pisos superiores (para una persona ordinaria esta diferencia será indetectable):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0CifwGiMXQNZt5ZsipPRfdsj75cvHuLRxh7qOyiFIsDkkLyl3gLpBiXi8TFxxxToJxJDyWyw8-b6c-s48-SF-1e4rKBa-CTCRDyiJWjNXvOvUrnuFXpOXb-3e6sFYI2LSglE_cvDazPtp/s1600-h/corrimiento_al_rojo_gravitacional_1.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 251px; height: 378px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0CifwGiMXQNZt5ZsipPRfdsj75cvHuLRxh7qOyiFIsDkkLyl3gLpBiXi8TFxxxToJxJDyWyw8-b6c-s48-SF-1e4rKBa-CTCRDyiJWjNXvOvUrnuFXpOXb-3e6sFYI2LSglE_cvDazPtp/s400/corrimiento_al_rojo_gravitacional_1.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5347672404894761746" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Entonces, por el efecto de la dilatación del tiempo, la onda luminosa se irá estirando conforme sube del primer piso al segundo piso y hacia los pisos superiores del edificio:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgS5UzfbNDN668bpqMIE4KdNYm6CqecgUhETP-B_M9-X69R7a6E9Tc9GoywC1xvFfQXDZ-C-ilYUu85n9LU2uS-LYBThyphenhyphenK2nkjxzoHqQoFGxxoPN2a64B5by4xLDcP9YHRHN9k2d1s3aRwD/s1600-h/corrimiento_al_rojo_gravitacional_2.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 251px; height: 378px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgS5UzfbNDN668bpqMIE4KdNYm6CqecgUhETP-B_M9-X69R7a6E9Tc9GoywC1xvFfQXDZ-C-ilYUu85n9LU2uS-LYBThyphenhyphenK2nkjxzoHqQoFGxxoPN2a64B5by4xLDcP9YHRHN9k2d1s3aRwD/s400/corrimiento_al_rojo_gravitacional_2.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5347672725819413250" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Aunque resulte difícil de creer, el corrimiento al rojo gravitacional ha sido verificado experimentalmente aquí mismo en la Tierra utilizando el <span style="font-style: italic;">efecto Mössbauer</span> (descubierto en 1957 por el físico Rudolf Mössbauer, un efecto que tiene que ver con la emisión y absorción resonante y libre de retroceso de rayos gamma por parte de átomos de un sólido). El experimento, conocido como el <span style="font-style: italic;">experimento Pound-Rebka</span>, fue efectuado en 1959 por R. V. Pound y G. A. Rebka Jr. en el Jefferson Physical Laboratory de la Universidad de Harvard utilizando una variación de la espectroscopía Mössbauer basada en el efecto del mismo nombre. Para ello se utilizaron dos emisores separados a una altura de 22.6 metros, uno apuntando hacia abajo y el otro apuntando hacia arriba, con detectores situados en los extremos opuestos:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoek64DUsnbxptGotZZjq9x2DdL1HIEJ-kuuao547KROtdXYtSqqG9oXY-mhLQCgk6DrCfs4mMFEkree4hPGa1sRiq5DoyR5V_hZW8-Uu8-2eejfUV-iHmf3mqvYkyANqor89lpNYkdHZ9/s1600-h/experimento_torre_de_Harvard.png"><img style="cursor: pointer; width: 267px; height: 342px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoek64DUsnbxptGotZZjq9x2DdL1HIEJ-kuuao547KROtdXYtSqqG9oXY-mhLQCgk6DrCfs4mMFEkree4hPGa1sRiq5DoyR5V_hZW8-Uu8-2eejfUV-iHmf3mqvYkyANqor89lpNYkdHZ9/s400/experimento_torre_de_Harvard.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5348007728519544546" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En base a lo que se ha señalado anteriormente, la fórmula para obtener el cambio debido al corrimiento al rojo gravitacional es:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiSA9hVDCT0WGy95GOzVt5Mna4TEwjVbz9f4eijK7qAWjetBfyFFTjg2XwDc5pg3LtBKo4Z6BdTBnjgHJGY1JVnlLU6uOqFbFxlQKkXRoQqXRLyY-OVFpW56nKvEoDt6dlvxtiplu4-nJ9/s1600-h/cambio_de_frecuencia_por_corrimiento_al_rojo_gravitacional.png"><img style="cursor: pointer; width: 186px; height: 64px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiSA9hVDCT0WGy95GOzVt5Mna4TEwjVbz9f4eijK7qAWjetBfyFFTjg2XwDc5pg3LtBKo4Z6BdTBnjgHJGY1JVnlLU6uOqFbFxlQKkXRoQqXRLyY-OVFpW56nKvEoDt6dlvxtiplu4-nJ9/s400/cambio_de_frecuencia_por_corrimiento_al_rojo_gravitacional.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5348008568354400658" border="0" /></a><br /></div><br />En una diferencia de altura de 22.6 metros el corrimiento al rojo por la diferencia entre la gravedad de la Tierra a esa diferencia en la altura es de apenas 4.92·10<sup>-15</sup>, pero gracias al efecto Mossbauer utilizando rayos gamma con una energía de 14.4 KeV del hierro-57, se encontró que los resultados experimentales confirmaron que las predicciones de la Relatividad General estaban apoyadas por las observaciones con un nivel del 10% de confianza, refinándose más tarde el resultado por Pound y Snider consiguiéndose mejorar el nivel de confianza hasta un 1% de confianza. El experimento fue repetido con ambos emisores y detectores colocados <span style="font-style: italic;">al mismo nivel sobre la superficie de la Tierra</span> en vez de ser colocados a alturas diferentes, aunque manteniendo la separación de 22.6 metros, y se encontró que la frecuencia de cada señal al ser emitida era la misma que la frecuencia que tenía la señal al ser recibida por el detector situado a 22.6 metros de distancia al mismo nivel sobre la superficie de la Tierra. Los corrimientos de frecuencia cuando los emisores y detectores están separados <span style="font-style: italic;">verticalmente</span>, no cuando están separados horizontalmente, resultan ser iguales a los predichos por las fórmulas obtenidas de la Relatividad General. Se considera que fue el experimento Pound-Rebka, cuyos resultados fueron <a href="http://prola.aps.org/abstract/PRL/v3/i9/p439_1">publicados</a> en 1959 por el <span style="font-style: italic;">Physical Review Letters</span>, el que introdujo una era de pruebas de <i>precisión</i> de la Relatividad General.<br /><br />Desafortunadamente el corrimiento hacia el rojo por efecto de un campo gravitacional ocasionado desde la superficie de un astro se confunde con el corrimiento hacia el rojo debido al movimiento rápido con el cual el astro se está alejando de nosotros que produce su propio efecto relativista, lo cual hace que los efectos se combinen dando como consecuencia un solo resultado, el corrimiento hacia el rojo, pero sin quedar muy claro cuánto de ese corrimiento hacia el rojo puede ser ocasionado por el efecto del campo gravitacional y cuánto se puede deber al efecto Doppler relativista al estarse alejando el astro rápidamente de nosotros. Inclusive en la actualidad esto sigue siendo un tema de controversia que no se ha resuelto del todo y sigue siendo objeto de una investigación intensa.<br /><br />Al empezar a cubrir el tema de la Teoría Especial de la Relatividad en una entrada anterior titulada “Las consecuencias directas de la teoría”, se señaló que el tiempo medido por un satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra como ocurre con cada uno de los 24 satélites utilizados por el Sistema de Posicionamiento Global ó Global Positioning System (GPS) será más lento que el tiempo medido en la Tierra. Este es un efecto relativista debido enteramente a la Teoría Especial de la Relatividad, cuando aún no se había desarrollado la Relatividad General, cuando aún no se sabía que los cambios en la gravedad de la Tierra con la altura también podían introducir sus propios efectos relativistas de dilatación del tiempo. Esto significa que para un satélite que está en órbita dándole vueltas a la Tierra, el <span style="font-style: italic;">efecto relativista total</span> tiene que ser calculado sumando el efecto relativista debido al movimiento relativo entre el satélite y la Tierra junto con el efecto relativista debido a la diferencia que hay entre la gravedad de la superficie de la Tierra y la gravedad a una altura de más de 500 kilómetros sobre la superficie de la Tierra. (Esta complicación no ocurre desde luego tratándose de los satélites artificiales <span style="font-style: italic;">geoestacionarios</span>, los cuales se mueven en la misma dirección de la rotación de la Tierra de modo tal que parecen estar suspendidos en el aire a gran altura sobre nosotros sin cambiar de posición; en tal caso la única corrección relativista por efectos de dilatación del tiempo que hay que aplicar es la que predice la Relatividad General, en todos los demás casos hay que combinar ambos efectos.) No es inusual encontrarse con la necesidad de tener que aplicar <span style="font-weight: bold;">correcciones relativistas combinadas </span>motivadas por el hecho de que, además de las correciones relativistas requeridas para compensar por los efectos causados por la Teoría Especial de la Relatividad, a estos efectos tengamos que agregar los efectos relativistas causados por la gravedad. Esto lo podemos expresar mediante la siguiente fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrqy8E5iuT_qjCiTlr0FvaY0hNCUgWwEakoycoIuG4l6CNl2qZlJJA2PRKdPey06ErjKelTIMxmGdQk-kXOIzJGTC2ijFuMFzxby5GHe7yp0fU5QM3FoGUdULuyeImx8uIQh7GSusqaBgy/s1600-h/formula_combinacion_efectos_relativistas.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 107px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrqy8E5iuT_qjCiTlr0FvaY0hNCUgWwEakoycoIuG4l6CNl2qZlJJA2PRKdPey06ErjKelTIMxmGdQk-kXOIzJGTC2ijFuMFzxby5GHe7yp0fU5QM3FoGUdULuyeImx8uIQh7GSusqaBgy/s400/formula_combinacion_efectos_relativistas.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5351298284123303906" border="0" /></a><br /></div><br />Otra consecuencia interesante de la Relatividad General concierne algo que posiblemente al mismo Newton le despertó sospechas. De acuerdo con la teoría de la gravitación universal, dos cuerpos se atraen en razón directa del producto de sus masas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad. Así es como la Tierra mantiene a la Luna dentro de una órbita aproximadamente circular en torno a la Tierra. La fuerza de atracción ejercida por la Tierra sobre la Luna es la misma ya sea que la Tierra esté girando con un movimiento de rotación sobre su eje o que permanezca estática frente a la Luna. Esto quiere decir que si la Tierra empezara a girar con mayor velocidad angular, la Luna no sentiría efecto alguno, porque la fuerza de atracción propuesta por Newton no tiene absolutamente nada que ver con la cantidad de energía rotacional que posea la Tierra, únicamente depende de la masa de la Tierra y la distancia de la Tierra a la Luna. Sin embargo, un planeta en rotación definitivamente posee cierta cantidad de energía, definida clásicamente mediante la siguiente fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;">E = ½Iω²<br /></div><br />en donde ω es la velocidad angular de la Tierra y I es el momento de inercia de la Tierra, la cual si es considerada como un objeto aproximadamente esférico de radio R y de densidad constante entonces para fines de cálculo posee un momento de inercia I que está dado por la fórmula:<br /><br /><div style="text-align: center;">I = 2MR²/5<br /></div><br />Considerando la cantidad de masa M que posee la Tierra (5.98·10<sup>24</sup> kilogramos) y un movimiento de rotación con un período de 24 horas, estamos hablando aquí de una cantidad considerable de energía de movimiento. ¿Cómo es posible que tanta energía no produzca absolutamente ningún efecto así sea minúsculo sobre el cuerpo que está siendo objeto de atracción? Esto quiere decir que si pudieramos ocultar a la Tierra detrás de una cortina plana que le impidiera a un astronauta ver a la Tierra desde la Luna, éste no tendría forma alguna de saber si la Tierra está estática, girando lentamente o girando a gran velocidad, a menos de que la lámina sea levantada y se le permita ver a la Tierra. La formulación matemática de las leyes de Newton no permite establecer diferencia alguna. La ley de Newton para la gravitación universal no permite que esta energía rotacional pueda ser tomada en consideración aunque pueda variar enormemente, algo que posiblemente habrá frustrado al mismo Newton dejándolo con dudas sobre los alcances de su teoría.<br /><br />Desde la perspectiva de la Relatividad General, la masa M de la Tierra es equivalente a cierta cantidad de energía E en base a la relación E = mc², de modo tal que si decimos que la <span style="font-style: italic;">energía en reposo</span> resultante <span style="font-style: italic;">de la masa de la Tierra</span> es la que está manteniendo a la Luna en su órbita, estaríamos en lo correcto. Pero al hablar del equivalente energético de la masa M de la Tierra, estamos utilizando un concepto en el cual podemos incluír sin problema alguno <span style="font-style: italic;">la energía rotacional de la Tierra</span>. En la Relatividad General, tanto la masa como la energía son capaces de provocar una curvatura en el espacio-tiempo, porque han sido unificadas bajo un solo concepto en la Teoría Especial de la Relatividad. Si la Tierra no girase en torno a su propio eje, si estuviese estática frente a la Luna, entonces todo su contenido energético sería el que deriva de su masa. Pero al estar girando la Tierra, su contenido energético es mayor en virtud de que al contenido energético resultante de la masa (la<span style="font-style: italic;"> energía en repos</span>o) hay que sumarle el contenido energético resultante de la rotación. En otras palabras, la energía total de la Tierra es igual a la energía equivalente de su masa sumada a la energía angular en virtud de su movimiento de rotación:<br /><br /><div style="text-align: center;">E<sub>total</sub> = E<sub>masa</sub> + E<sub>rotacion</sub><br /><br />E<sub>total</sub> = Mc² + ½Iω²<br /></div><br />Al introducir en el lado derecho de la ecuación tensorial<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">curvatura espacio-tiempo = energía total</span><br /></div><br />la energía extra producida por la rotación de la Tierra, se provocará una curvatura en el espacio-tiempo aún mayor que la que produciría la Tierra si estuviese estática, lo cual hará que la Tierra parezca “jalar” con mayor fuerza la Luna hacia la Tierra. De este modo, tenemos dos conclusiones completamente diferentes:<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Newton</span>: La rotación de un cuerpo no tiene efecto alguno sobre la atracción gravitacional que ejerce sobre otro cuerpo.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Einstein</span>: La rotación de un cuerpo tendrá un efecto directo adicional en la curvatura del espacio-tiempo que a su vez dicta la órbita del cuerpo que esté girando en torno a él, lo cual se traducirá directamente en una atracción gravitacional mayor.<br /><br />Otra predicción de la Relatividad General es la de la existencia de los <span style="font-weight: bold;">hoyos negros</span> o <span style="font-weight: bold;">agujeros negros</span>, cuerpos con tanta masa y tanta “atracción gravitacional” que ni siquiera la luz puede escapar de ellos. Interesantemente, esta misma predicción había sido hecha también por la mecánica Newtoniana, aunque por las razones equivocadas. A partir de las ecuaciones de Newton, se puede demostrar con poca dificultad que para un cuerpo grande de radio <span style="font-weight: bold;">r</span> y de masa <span style="font-weight: bold;">M</span> la velocidad de escape para un proyectil lanzado verticalmente desde la superficie de dicho objeto no depende de la masa del cuerpo lanzado (el cual suponemos pequeño) sino de la masa del cuerpo grande y de su radio. Para un objeto lanzado verticalmente desde el planeta Tierra, esta velocidad resulta ser de 11.2 kilómetros por segundo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVWPVfpuFYfpHK1yUq_y4NaYMixOAhBFEQGBRB84ZVW-XMJIzGk0tjW_cQBSW2-rQTLkPqBhh1BhD_SB-JaNSSKu5ehA07nxo2yDOPw_ezBLE3F03hs9fIFzzaIbCgDZRgRQzK1MAUN3Ar/s1600-h/velocidad_de_escape.gif"><img style="cursor: pointer; width: 366px; height: 195px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVWPVfpuFYfpHK1yUq_y4NaYMixOAhBFEQGBRB84ZVW-XMJIzGk0tjW_cQBSW2-rQTLkPqBhh1BhD_SB-JaNSSKu5ehA07nxo2yDOPw_ezBLE3F03hs9fIFzzaIbCgDZRgRQzK1MAUN3Ar/s400/velocidad_de_escape.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317975484545567218" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Puesto que la velocidad de la luz es de 300 mil kilómetros por segundo, podemos calcular bajo la mecánica Newtoniana qué tanta masa <span style="font-weight: bold;">M</span> debe tener concentrada un planeta de radio <span style="font-weight: bold;">r</span> para que la velocidad vertical de escape de dicho planeta sea exactamente igual a la velocidad de la luz. Y si el planeta, con el mismo radio, tiene una cantidad de masa <span style="font-weight: bold;">M</span> mayor que ésta, la luz no podrá escapar de la “atracción gravitacional” del planeta.<br /><br />Pero bajo la mecánica Einsteniana, la “atracción gravitacional” no existe. Lo que sucede es que la curvatura que va siendo introducida en una región de espacio-tiempo por una cantidad cada vez mayor de masa llega a tal extremo que se perfora un punto en esa región de espacio-tiempo, al cual matemáticamente se le conoce como una <span style="font-weight: bold;">singularidad</span>. En ese punto, la caída en la curvatura conduce directamente hacia el infinito:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_3LxxXB-ZGFsCw3F_V1fO58IqE-5kXUAH6ilxG1NoD1eDMWqWkoQu6AUn-A3xsmCZvkOnTsRJjb8-9wy2Mm4QcJBp6MUgKwbF6H7j2PPwhqTTNxl3E6NruFUu8jWy7SlZLxExU7G_TCbV/s1600-h/agujero_negro_1.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_3LxxXB-ZGFsCw3F_V1fO58IqE-5kXUAH6ilxG1NoD1eDMWqWkoQu6AUn-A3xsmCZvkOnTsRJjb8-9wy2Mm4QcJBp6MUgKwbF6H7j2PPwhqTTNxl3E6NruFUu8jWy7SlZLxExU7G_TCbV/s400/agujero_negro_1.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317978618554970498" border="0" /></a><br /></div><br /><br />De este modo, en aquella región del cosmos en donde haya un hoyo negro, tenemos lo que es ni más ni menos que una perforación matemática en el espacio-tiempo:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTP-Kjny3RKIS3syGn6I2UeAAH4Y_Dmz-HjOFlprOISNUZKqmQv_SXDgBnIRrFRuinPVheHwIJEMsjjAzEgNgkdj3ifm5XULYbj0JVyEarfAPgQPeZrYSRUNJbYQja_39RB_D6_qMaMPHG/s1600-h/agujero_negro_2.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 379px; height: 381px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTP-Kjny3RKIS3syGn6I2UeAAH4Y_Dmz-HjOFlprOISNUZKqmQv_SXDgBnIRrFRuinPVheHwIJEMsjjAzEgNgkdj3ifm5XULYbj0JVyEarfAPgQPeZrYSRUNJbYQja_39RB_D6_qMaMPHG/s400/agujero_negro_2.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317979963810097810" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En principio, un agujero negro es un objeto totalmente invisible, puesto que si es capaz de tragarse la luz impidiendo que pueda salir del mismo confirmación visual alguna que pueda darnos una pista de su existencia, ni siquiera sabemos que está allí. La detección del mismo se tiene que llevar a cabo por métodos indirectos como cuando está devorando una estrella o como cuando tiene una estrella en órbita en torno suyo. El estudio de estos objetos exóticos se verá posteriormente en mayor detalle cuando se hayan sentado las bases matemáticas requeridas para poder entender lo que está sucediendo dentro y fuera de los agujeros negros.<br /><br />Además de las tres pruebas originales propuestas por Einstein en 1916 para confirmar experimentalmente la Teoría General de la Relatividad, gracias a los avances recientes en la astronomía y en la astrofísica constantemente se están dando a conocer nuevas verificaciones de la teoría que solidifican su credibilidad. Una búsqueda aleatoria en Internet nos puede mostrar en poco tiempo artículos como el publicado el 14 de septiembre de 2006 por el sitio <a href="http://www.sciencedaily.com/">ScienceDaily</a> bajo el título “General Relativity Survives Gruelling Pulsar Test: Einstein At Least 99.95 Percent Right”, que se traduce del inglés como “La Relatividad General Sobrevive Extenuante Prueba de Pulsar: Einstein Correcto en Al Menos 99.95 por ciento”, accesible en el enlace:<br /><br />http://www.sciencedaily.com/releases/2006/09/060914094623.htm<br /><br />Del mismo sitio, se puede citar otro artículo publicado el 4 de julio de 2008 bajo el título “Einstein Estaba en lo Cierto, Afirman Astrofísicos”, que se traduce del inglés como “Einstein Was Right, Astrophysicists Say”, accesible en el enlace:<br /><br />http://www.sciencedaily.com/releases/2008/07/080703140721.htm<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Dos filosofías opuestas</span><br /><br /><br />Hagamos ahora una comparación entre la <span style="font-weight: bold;">mecánica Newtoniana</span> de Sir Isaac Newton basada en el concepto del movimiento absoluto y la <span style="font-weight: bold;">mecánica Einsteniana</span> basada en el concepto del movimiento relativo.<br /><br />La mecánica Newtoniana basa su creencia en el concepto de <span style="font-weight: bold;">acción-a-distancia</span>, la creencia de que entre dos cuerpos celestes flotando en el espacio existe una forma de atracción universal, la cual se puede expresar mediante una fórmula que nos dice que dicha fuerza de atracción es directamente proporcional al producto de las masas <span style="font-weight: bold;">M</span> y <span style="font-weight: bold;">m</span> de dos cuerpos que se atraen, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia <span style="font-weight: bold;">r</span> que separa los centros geométricos de dichas cuerpos:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzl8XkR17oaf8FVc7ZeFHev5hQ3bW1pOnjfsRFIoDZr_mgDqP0FUBwQPFkFJ-9eDpzmupqVOVaQWkbAHrJ-PsnYgpppCBuRCGIsqTltlf8G9PzuAQHQna9hwM4UfAtvqxn_Lb_kfg2wPqf/s1600-h/gravedad_Newtoniana.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 313px; height: 138px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzl8XkR17oaf8FVc7ZeFHev5hQ3bW1pOnjfsRFIoDZr_mgDqP0FUBwQPFkFJ-9eDpzmupqVOVaQWkbAHrJ-PsnYgpppCBuRCGIsqTltlf8G9PzuAQHQna9hwM4UfAtvqxn_Lb_kfg2wPqf/s400/gravedad_Newtoniana.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317941409444941426" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Newton creía que un cuerpo podía ejercer una fuerza de atracción sobre otro cuerpo a través del espacio intermedio entre dichos cuerpos, y su formulación de su ley de atracción universal requería que tal “acción a distancia” ocurriera de manera <span style="font-weight: bold;">instantánea</span>, sin límite alguno impuesto a la rapidez de tal interacción. Aquí la velocidad de la luz no era obstáculo alguno, y si bien un rayo de luz tarda cierto tiempo en llegar desde la Tierra hasta el planeta Marte, los efectos de la atracción gravitatoria universal Newtoniana de un cuerpo sobre otro eran instantáneos aunque dichos cuerpos estuviesen situados en extremos opuestos de una galaxia. La velocidad de la luz ni siquiera aparece en la fórmula de Newton. Esta hipótesis que nos dice que si tenemos dos cuerpos celestes pesados separados el uno del otro a una distancia de mil trillones de kilómetros y uno de dichos cuerpos es alejado súbitamente del otro (al ser golpeado por un asteroide enorme, por ejemplo), de alguna manera el otro cuerpo “sabe” instantáneamente lo que ocurrió a esa enorme distancia. Es un efecto que se antoja más como un truco de magia que como una teoría científica seria.<br /><br />La enorme influencia ejercida por los conceptos filosóficos de Newton, el cual creía firmemente en la existencia del espacio absoluto y del tiempo absoluto, no tardó en ser aplicada en las primeras leyes que se fueron formulando para los fenómenos eléctricos y magnéticos, empezando con la Ley de Coulomb, la cual a primera vista parece una calca de la ley de gravitación universal de Newton por la manera en la que está formulada: Dos cargas eléctricas se atraen (o se repelen, dependiendo del signo de las cargas) en razón directa del producto de las magnitudes de las cargas y en razón inversa al cuadrado de la distancia que las separa.<br /><br />La ley de Coulomb, al igual que la ley de Newton, también se basa en la creencia de un efecto de “acción a distancia”, el cual se propaga instantáneamente entre dos cargas eléctricas sin importar la distancia que haya entre dichas cargas.<br /><br />En contraste, la mecánica Einsteniana niega por completo la existencia de los efectos instantáneos y casi mágicos de la “acción a distancia”, niega por completo la existencia de una fuerza de atracción gravitatoria universal entre dos cuerpos celestes. El concepto de la “acción a distancia” es reemplazado por otro concepto, el concepto de que la presencia de cualquier cantidad de masa o de energía introduce una curvatura en el espacio cuatri-dimensional que de otra manera sería perfectamente plano, y esta curvatura es precisamente la que explica los movimientos de los planetas alrededor del Sol y todos los demás fenómenos celestes.<br /><br />En una región del universo completamente desprovista de la cercanía de objeto alguno, el diagrama espacio-tiempo de Minkowski de tal región es perfectamente plano, porque no hay nada que introduzca curvatura alguna en dicho diagrama:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGbCu1NCRYTUmkkmRLtbCX3ACz7W6Gtsdi7m1eUrBv6Y3wmdmIM_XcEq5RnvYXvVPbdINWWm1T7yfy7B4Q3sGfVdgMQABC1ss1A8p6UsA0dgqJDO__kK80a6r2L03DnSXXwwzx9PHo1jRV/s1600-h/espacio-tiempo_plano.JPG"><img style="cursor: pointer; width: 360px; height: 200px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGbCu1NCRYTUmkkmRLtbCX3ACz7W6Gtsdi7m1eUrBv6Y3wmdmIM_XcEq5RnvYXvVPbdINWWm1T7yfy7B4Q3sGfVdgMQABC1ss1A8p6UsA0dgqJDO__kK80a6r2L03DnSXXwwzx9PHo1jRV/s400/espacio-tiempo_plano.JPG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317949933902071490" border="0" /></a></div><br /><br />Pero la sola presencia de un objeto cualesquiera introduce una curvatura en el plano espacio-tiempo cuya magnitud dependerá de la magnitud de la masa que produzca dicha curvatura, siendo la curvatura mayor en tanto mayor sea la masa. Es así como el Sol en torno al cual gira nuestro planeta introduce su propia curvatura la región del espacio-tiempo que está ocupando (por cierto, el marco de la figura de abajo no es un rombo con el lado inferior más pequeño que el lado superior, la forma aparente de trapecio no es más que una ilusión óptica, del mismo modo que la mecánica Newtoniana no es más que una ilusión que prevaleció por muchos años):<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwhf5SZVkyL57j49WipAg_K-IVkzUXybG_y4kFFdByTl85oiGqTSxCmLwX6vuOMaO3KfPTX_dJNrB3brtm4aGBemumidUhRpO0ANhi2Vnm8xNkoacPrlE8Y7WcolHf8Qy5n2A4E-KJ-m1h/s1600-h/curvatura_en_espacio-tiempo_Sol.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 344px; height: 200px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwhf5SZVkyL57j49WipAg_K-IVkzUXybG_y4kFFdByTl85oiGqTSxCmLwX6vuOMaO3KfPTX_dJNrB3brtm4aGBemumidUhRpO0ANhi2Vnm8xNkoacPrlE8Y7WcolHf8Qy5n2A4E-KJ-m1h/s400/curvatura_en_espacio-tiempo_Sol.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317951025254750162" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Bajo la mecánica Einsteniana, cuando un objeto pequeño está en la proximidad de un objeto masivo, rodará enfilándose hacia el objeto masivo a causa de la curvatura en el continuo espacio-tiempo del mismo modo en que una canica rodará hacia una pequeña región que esté situada a una altura menor que la altura a la cual se encuentra:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6VX8GwxncmPnXYc1xHgc9_E09ZdHvSojFDgOg6BgiDS4VEr45FC-X1-rUsqV3vrAFrJBWKPsD8xxicBWZEMqSy82uWStxnPKyXG9-uz7G0xdDvDDI7XtdtlT6mg4CT1fgd7-_GSRqHBdm/s1600-h/atraccion_gravitatoria_Einsteniana.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 369px; height: 308px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6VX8GwxncmPnXYc1xHgc9_E09ZdHvSojFDgOg6BgiDS4VEr45FC-X1-rUsqV3vrAFrJBWKPsD8xxicBWZEMqSy82uWStxnPKyXG9-uz7G0xdDvDDI7XtdtlT6mg4CT1fgd7-_GSRqHBdm/s400/atraccion_gravitatoria_Einsteniana.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317952768640360386" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Si el cuerpo pequeño no está enfilado directamente hacia el objeto de mayor tamaño sino que va a pasar de lado, entonces la curvatura en el espacio-tiempo provocada por el objeto mayor lo jalará haciéndolo caer en una espiral hacia él. Si el cuerpo pequeño va viajando con suficiente rapidez al irse acercando hacia el cuerpo mayor, entonces no caerá sino que <span style="font-style: italic;">entrará en órbita permanente alrededor del cuerpo</span>. Esto es posible porque si el cuerpo que servirá de centro orbital (en torno al cual girará otro cuerpo) tiene suficiente masa, entonces <span style="font-weight: bold;">hará que el espacio-tiempo se cierre sobre sí mismo</span> produciendo las trayectorias curvas cerradas que el cuerpo en movimiento seguirá en torno al cuerpo alrededor del cual estará girando. Esta es la verdadera razón, de acuerdo con la Relatividad General, por la cual la Tierra gira alrededor del Sol, no porque haya una fuerza de atracción entre dos masas según lo propuso Newton. Esta es esencialmente la explicación Einsteniana moderna de la mecánica celeste.<br /><br />En nuestro sistema solar, no sólo el Sol produce una hendidura en el espacio-tiempo introduciendo una curvatura que le permite mantener a todos los planetas del sistema solar girando en torno suyo, también cada planeta introduce su propia hendidura que le permite tener sus propios satélites. Es así como tenemos un conjunto de hendiduras en el espacio-tiempo de nuestro sistema solar:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh59j4P6ubEL7rV2ektltC3ITanlxR23h7t8YElu3VQCF7T__HHWh8IHV8XoET1WAJGtS_LE7246m7YhYh0DX8AZRanTn4ZLMfCSDPCfMkmvOYqjCwjXJ5iVPduaysVZWJ1wQEqNKJ5h4sW/s1600-h/gravedad_Einsteniana.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh59j4P6ubEL7rV2ektltC3ITanlxR23h7t8YElu3VQCF7T__HHWh8IHV8XoET1WAJGtS_LE7246m7YhYh0DX8AZRanTn4ZLMfCSDPCfMkmvOYqjCwjXJ5iVPduaysVZWJ1wQEqNKJ5h4sW/s400/gravedad_Einsteniana.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5317955542369004546" border="0" /></a><br /></div><br /><br />De este modo, la Teoría de la Relatividad reemplaza todo el concepto filosófico en el que estaban basadas las ideas de Newton por otro concepto que está más acorde con resultados experimentales que están siendo obtenidos en la actualidad.<br /><br />Se puede encontrar una explicación moderna, detallada, a la explicación de la precesión de la órbita de Mercurio alrededor del Sol, en el siguiente enlace Wikipedia;<br /><br />http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem_in_general_relativityArmando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-48732638304411988412009-03-18T19:10:00.000-07:002009-07-05T19:52:51.160-07:0020: Introducción al cálculo tensorialLa formulación básica de la Teoría General de la Relatividad es una formulación matemática en notación <span style="font-style: italic;">tensorial</span>, usando tensores, y es por ello que se vuelve necesario dar una idea de lo que son estos objetos matemáticos que llamamos tensores. En vez de empezar con una definición axiomática (formal) de lo que es un tensor, postpondremos dicha definición para después, empezando en cambio con una definición <span style="font-style: italic;">intuitiva</span>.<br /><br />Aunque sin algo que le corresponda en el mundo físico real, podemos definir matemáticamente en un plano de dos dimensiones un “campo de números” como el siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">φ = 0.2x + 0.1y<br /></div><br />De este modo, al par (x,y) = (1,1) le corresponde el número φ = 0.3, y así sucesivamente. Tabulando algunos números y poniéndolos en el plano tendríamos una distribución de números como la que se muestra a continuación:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ_vlhpdXAx1hSfl9H5kSshS_tLck9Fg3D-YVlozmSIR4vnKUg7CxlDhof-9JqCCdHJKmrqPWgmp-SB9DHv2hUT8saim05eTxrVnaWsbjRkeo_pByXR1diW8_A6ApmyjR-Br98s0QbI95w/s1600-h/campo_de_escalares.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ_vlhpdXAx1hSfl9H5kSshS_tLck9Fg3D-YVlozmSIR4vnKUg7CxlDhof-9JqCCdHJKmrqPWgmp-SB9DHv2hUT8saim05eTxrVnaWsbjRkeo_pByXR1diW8_A6ApmyjR-Br98s0QbI95w/s400/campo_de_escalares.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5323963814911237202" border="0" /></a><br /></div><br /><br />A cada punto en el plano x-y le corresponde un número. Así, podemos “sembrar” un campo de números, de <span style="font-style: italic;">escalares</span>, con lo que tenemos un <span style="font-style: italic;">campo de escalares</span> o simplemente un <span style="font-weight: bold;">campo escalar</span>.<br /><br />Una cantidad <span style="font-weight: bold;">escalar</span> Q, la cual no tiene dirección ni sentido y se representa con un simple número (como la masa m de un cuerpo o su temperatura T) es un <span style="font-weight: bold;">tensor de orden cero</span>. Esta cantidad, por ser un simple número, permanece igual ya sea que se le considere en un espacio de dos dimensiones, de tres dimensiones, o inclusive en un espacio que posea cualquier número de dimensiones.<br /><br />Una cantidad <span style="font-weight: bold;">vectorial</span> <span style="font-weight: bold;">V</span>, a la cual definitivamente le podemos asignar dirección y sentido (como la velocidad que lleva un avión moviéndose horizontalmente hacia la derecha a una velocidad de 30 metros por segundo y hacia arriba a 40 metros por segundo) y se representa como una <span style="font-style: italic;">n-pla</span> de números (un par de números ordenados cuando se trata de un vector en dos dimensiones, un triplete de números ordenados cuando se trata del mismo vector trazado en tres dimensiones, un cuádruple ordenado de números cuando se trata de un vector trazado en un espacio cuatri-dimensional, etc.) es un <span style="font-weight: bold;">tensor de orden uno</span> en un espacio n-dimensional.<br /><br />Una cantidad tensorial <span style="font-weight: bold;">T</span><sub style="font-weight: bold;">rs</sub> en donde empleamos dos sub-índices es una extensión de los conceptos anteriores, también a un espacio n-dimensional, denotado como <span style="font-weight: bold;">tensor de orden dos</span>. Los componentes <span style="font-weight: bold;">T</span><sub style="font-weight: bold;">ij</sub> de un tensor de orden dos se pueden representar mediante ese arreglo rectangular de números conocido como <span style="font-weight: bold;">matriz</span>:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCijjKylSiH5_YVip_I42-MSxkBrPvF3i6UdB4eUFzUfK5Et0y7ZplaawmUdF2VAbe2p5_cD1k30XyR6XoNUvEL-Uvq2DC3xB-WjvmsmNeB2CX24u5BFKrcDckoTLeYtuNOLHabXpggMzJ/s1600-h/matriz_general.png"><img style="cursor: pointer; width: 285px; height: 155px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCijjKylSiH5_YVip_I42-MSxkBrPvF3i6UdB4eUFzUfK5Et0y7ZplaawmUdF2VAbe2p5_cD1k30XyR6XoNUvEL-Uvq2DC3xB-WjvmsmNeB2CX24u5BFKrcDckoTLeYtuNOLHabXpggMzJ/s400/matriz_general.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320897646366853778" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En todo lo que hemos señalado anteriormente, hemos supuesto que al hablar de un tensor de orden cero (una cantidad escalar), un tensor de orden uno (una cantidad vectorial) o un tensor de orden dos, estamos haciendo referencia a algo que es representado en el espacio n-dimensional como un punto, como en el caso de la masa que se representada simbólicamente con su centro de masa especificado en cierta posición, o como el vector velocidad de un avión que en un instante dado se especifica sobre cierto punto de origen (no necesariamente el punto de origen del sistema de coordenadas utilizado para representar el vector con la flechita usual) el cual va cambiando de lugar conforme el avión se va trasladando de un punto a otro. Pero hay muchas situaciones físicas en las cuales se vuelve necesario extender las definiciones anteriores.<br /><br />Supóngase que estamos midiendo la temperatura no de una esferita metálica muy pequeña que por su tamaño está completamente a la misma temperatura, sino de una placa metálica rectangular uno de cuyos bordes laterales está tocando un horno con los otros tres bordes tocando un recipiente de agua. Al llevarse a cabo una transmisión del calor del borde caliente a los tres bordes fríos, no podemos hablar de que toda la placa esté a una sola temperatura. Un punto de la placa estará a una temperatura <span style="font-weight: bold;">T</span><sub style="font-weight: bold;">1</sub>, otro punto de la placa estará a una temperatura <span style="font-weight: bold;">T</span><sub style="font-weight: bold;">2</sub>, otro punto de la placa estará a una temperatura <span style="font-weight: bold;">T</span><sub style="font-weight: bold;">3</sub>, en fin, teóricamente hay una cantidad infinitamente grande de puntos dentro de la placa, y cada uno de ellos tendrá su propia temperatura en un momento dado (la distribución de temperaturas en un caso así tratándose de una placa rectangular se obtiene mediante una ecuación diferencial que involucra derivadas parciales de segundo orden conocida como la ecuación de Laplace). En este caso, tenemos un ejemplo de lo que viene siendo un <span style="font-weight: bold;">campo escalar</span> en un plano, con cada punto en el plano especificando un valor escalar distinto (que en este caso es la temperatura) para el plano. Si representamos la distribución de temperaturas en la placa rectangular poniendo a la placa en un plano de coordenadas y asignándo a la tercera coordenada el valor de la temperatura en cada punto de la placa, tendremos algo como lo siguiente:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwlLzQfAu6__y1CMHJeS8eBR3_3JUVwsJ7kigVsV3C9eO70bv05zSE-NxTJJSSnlj7pIKMwYlklxe9Jhlgj_1SFUb3zsziD3iXW2D1-fwTLiCdHrmNQN6WZTsdUvDzyzqRNoNGfOCSKJoH/s1600-h/campo_escalar.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwlLzQfAu6__y1CMHJeS8eBR3_3JUVwsJ7kigVsV3C9eO70bv05zSE-NxTJJSSnlj7pIKMwYlklxe9Jhlgj_1SFUb3zsziD3iXW2D1-fwTLiCdHrmNQN6WZTsdUvDzyzqRNoNGfOCSKJoH/s400/campo_escalar.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320902614933690658" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Como podemos ver, la placa tendrá su temperatura máxima de 500 grados en el punto (i,j) = (20,0), y la temperatura en cada punto de la placa va descendiendo (y con ello la altura de la superficie que une las alturas de las temperaturas) conforme nos vamos alejando de dicho punto que es el más caliente. Este es un ejemplo de un <span style="font-weight: bold;">campo escalar en dos dimensiones</span>.<br /><br />Si lo deseamos, podemos utilizar un cubo metálico en lugar de una placa metálica poniendo uno de los lados del cubo en contacto completo con el horno y los otros cinco lados en contacto con un medio frío. Nuevamente, dentro del cubo tenemos una distribución distinta de temperaturas en el espacio tridimensional, tenemos entonces un ejemplo de lo que viene siendo un<span style="font-weight: bold;"> campo escalar en un espacio de tres dimensiones</span>.<br /><br />Además de poder asignar un escalar a cada punto en el espacio para representar cierta situación física, podemos también asignar un <span style="font-style: italic;">vector</span> a cada punto en el espacio para representar algo que no puede ser representado con un solo punto. Un ejemplo de ello es el flujo de una corriente de agua que está entrando de un torbellino. Obviamente, dentro de un torbellino, cada molécula del agua apuntará hacia una dirección diferente, y el comportamiento del conjunto no puede ser representado con un solo vector. Se necesita todo un enjambre de vectores para poder representar la situación. Este enjambre de vectores es lo que nos define un <span style="font-weight: bold;">campo vectorial</span>. A continuación tenemos la representación gráfica de tal torbellino mediante un campo vectorial:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6rZFPCq81CKPN8YD-DMj53rhEBcBiWHb0w0Lu2sdyjYl2NQpbA9gljZGs31Padw9MT21DXP7kW1a4cfiWZb2fYcOJC8GI5vFuUPPdFnFb0EB6XvHgMVgLUDe-ZDC_9_r_ZiZt7I6Ip-Es/s1600-h/campo_vectorial_en_rotacion.png"><img style="cursor: pointer; width: 300px; height: 300px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6rZFPCq81CKPN8YD-DMj53rhEBcBiWHb0w0Lu2sdyjYl2NQpbA9gljZGs31Padw9MT21DXP7kW1a4cfiWZb2fYcOJC8GI5vFuUPPdFnFb0EB6XvHgMVgLUDe-ZDC_9_r_ZiZt7I6Ip-Es/s400/campo_vectorial_en_rotacion.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320905160824533298" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Obsérvese que el torbellino es más intenso en el centro, por el grosor y la longitud con la que hemos representado las flechas vectoriales de la velocidad asignadas a cada uno de los puntos en el plano. Lo que tenemos arriba es la representación gráfica de un <span style="font-weight: bold;">campo vectorial en un espacio de dos dimensiones</span>, el cual a veces se puede representar matemáticamente como una <span style="font-style: italic;">función vectorial</span> <span style="font-weight: bold;">V</span>(<span style="font-style: italic;">x</span>,<span style="font-style: italic;">y</span>) en la que a cada punto del plano identificado con la coordenada <span style="font-style: italic;">x</span> y con la coordenada <span style="font-style: italic;">y</span> se le asigna un valor específico <span style="font-weight: bold;">V</span> al vector ligado a dicho punto.<br /><br />Para ciertos problemas, la interpretación del campo vectorial puede requerir un poco más de imaginación, como es el caso del siguiente campo vectorial:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPKvfaP1xJF89FF3DpPtf6noX1355HOLwDvWAsjn6ct5zFxpVsCD3GVEwaBUNX8Efi7lC8LpWcx3CqYvq948OxjzPeBc0l7uA31XzecTe1_LjRgaCPDgdZv-VJ2g1hv86gNA_IyKXLLaBI/s1600-h/campo_vectorial.jpg"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 243px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPKvfaP1xJF89FF3DpPtf6noX1355HOLwDvWAsjn6ct5zFxpVsCD3GVEwaBUNX8Efi7lC8LpWcx3CqYvq948OxjzPeBc0l7uA31XzecTe1_LjRgaCPDgdZv-VJ2g1hv86gNA_IyKXLLaBI/s400/campo_vectorial.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5320907463378683986" border="0" /></a><br /></div><br /><br />En una situación física real, en donde los fenómenos ocurren no en un plano sino en un espacio de tres dimensiones, obviamente requerimos un <span style="font-weight: bold;">campo vectorial en un espacio de tres dimensiones</span>, representado como <span style="font-weight: bold;">V</span>(<span style="font-style: italic;">x</span>,<span style="font-style: italic;">y</span>,<span style="font-style: italic;">z</span>) Si lo deseamos, aunque nuestra intuición geométrica no nos ayude, podemos extender este concepto matemáticamente a un <span style="font-weight: bold;">campo vectorial en un espacio de n-dimensiones</span>.<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">V</span> (<span style="font-style: italic;"> </span>x<sub>1</sub> , x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> , ... , x<sub>n</sub>)<br /></div><br />Así como hemos hablado de campos escalares y de campos vectoriales, podemos hablar también acerca de <span style="font-weight: bold;">campos tensoriales</span>. Del mismo modo en que lo hicimos con las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales, a cada punto en un plano podemos asignarle un tensor. <span style="font-style: italic;">Esta es esencialmente la idea detrás de un campo tensorial</span>. Si lo hacemos en un plano, estaríamos hablando de un <span style="font-weight: bold;">campo tensorial en un espacio de dos dimensiones</span>. Si lo hacemos en un espacio tridimensional, estaríamos hablando de un campo tensorial en un espacio de tres dimensiones. Y si lo hacemos <span style="font-style: italic;">matemáticamente</span> podemos hablar de un <span style="font-weight: bold;">campo tensorial en un espacio de n-dimensiones</span>.<br /><br /><span style="font-style: italic;">En la Teoría General de la Relatividad, el fondo del asunto se maneja con un campo tensorial de cuatro dimensiones</span>.<br /><br />De este modo, a cada punto en un espacio cuatri-dimensional con coordenadas (<span style="font-style: italic;"> </span>x<sub>1</sub> , x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> , x<sub>4</sub>) le podemos asignar un <span style="font-style: italic;">tensor cuatri-dimensional</span>. Y cada punto, en el caso de un tensor <span style="font-weight: bold;">T</span><sub style="font-weight: bold;">rs</sub> en donde los sub-índices <span style="font-weight: bold;">r</span> y <span style="font-weight: bold;">s</span> corran de uno a cuatro (o de cero a tres, que es lo mismo), tendrá asignado un total de 16 valores numéricos, <span style="font-style: italic;">las componentes del tensor</span>.<br /><br />Frecuentemente, al manejar temas relacionados con la Teoría General de la Relatividad, se recurre frecuentemente a una simplificación notacional conocida como la <span style="font-weight: bold;">convención de sumación de Einstein</span>, con la cual debemos estar familiarizados si queremos entender los libros especializados sobre el tema de la Teoría General de la Relatividad.<br /><br />La convención de sumación, la cual en ciertos casos reemplaza al familiar símbolo de sumación <span style="font-weight: bold;">Σ</span> (letra griega <span style="font-style: italic;">sigma</span> mayúscula) utilizado para representar sumaciones:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgq7qzOezcVqX4eN4DzPTJ3E58Nkf90aocGuB9Sh0L_P53lr5CpL3WJ5BekAPFhJ3PRwckQ15UlddvnvpPVmdIitRrKJlU6lPSKFDhqul8ViAKgYNmbKzUK2X62ax3cTGibXa9lCI_kUWLv/s1600-h/ejemplo_simbolo_sigma_de_sumacion.png"><img style="cursor: pointer; width: 273px; height: 70px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgq7qzOezcVqX4eN4DzPTJ3E58Nkf90aocGuB9Sh0L_P53lr5CpL3WJ5BekAPFhJ3PRwckQ15UlddvnvpPVmdIitRrKJlU6lPSKFDhqul8ViAKgYNmbKzUK2X62ax3cTGibXa9lCI_kUWLv/s400/ejemplo_simbolo_sigma_de_sumacion.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5322010656021201298" border="0" /></a><br /></div><br />nos propone que cuando en una expresión tengamos un término en dicha expresión con índices <span style="font-style: italic;">repetidos</span> sobre los cuales se lleva a cabo una suma, en lugar de utilizar el símbolo de sumación <span style="font-weight: bold;">Σ</span> podemos prescindir del símbolo dejando que los índices repetidos se conviertan en los indicadores de la sumación, debiendo especificar (en caso de que no se sobreentienda) el número n de veces en que se habrá de llevar a cabo la sumación.<br /><br />La convención sólo es válida para índices <span style="font-style: italic;">repetidos</span>, de modo tal que el siguiente símbolo:<br /><br /><div style="text-align: center;">A<sub>ij</sub>B<sub>k</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span><br /></div><br />no representa sumación alguna, y en este caso los índices i, j y k son llamados <span style="font-weight: bold;">índices libres</span>. Cuando hay una sumación, los índices utilizados para representar dicha sumación son conocidos como <span style="font-weight: bold;">índices monigote</span> (<span style="font-style: italic;">dummy indexes</span>).<br /><br />Para adquirir destreza en tan importante simplificación notacional, a continuación veremos unos problemas de práctica.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Expandir la fórmula a</span><sub style="font-style: italic;">i</sub><span style="font-style: italic;">b</span><sub style="font-style: italic;">i</sub><span style="font-style: italic;"> para n=6.</span><br /><br />En el término tenemos repetido el índice i, y por lo tanto este es el índice monigote, de modo tal que de acuerdo a la convención de sumación aquí tenemos una sumación que debe ser expandida a:<br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>1</sub>b<sub>1</sub><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>2</sub>b<sub>2</sub><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>3</sub>b<sub>3</sub><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>4</sub>b<sub>4</sub> + a<sub>5</sub>b<sub>5</sub> + a<sub>6</sub>b<sub>6</sub><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA:</span> <span style="font-style: italic;">Escribir completamente la expresión R</span><sup style="font-style: italic;">i</sup><sub style="font-style: italic;">jki</sub><span style="font-style: italic;"> (n=4).</span> <span style="font-style: italic;">¿Cuáles son los índices libres?</span><br /><br />En el término tenemos repetido el índice i que es el índice sobre el cual se debe llevar a cabo la sumación:<br /><br /><div style="text-align: center;">R<sup>1</sup><sub>jk1</sub> + R<sup>2</sup><sub>jk2</sub> + R<sup>3</sup><sub>jk3</sub> + R<sup>4</sup><sub>jk4</sub><br /></div><br />Los índices libres son j y k, con lo cual si también para ellos se tiene n=4 hay un total de 16 expresiones como la anterior para todas las combinaciones posibles de números.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA:</span> <span style="font-style: italic;">Simplificar notacionalmente lo siguiente con la convención de sumación, especificando el valor de n</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>13</sub>b<sub>13</sub> + a<sub>23</sub>b<sub>23</sub> + a<sub>33</sub>b<sub>33</sub><br /></div><br />La expresión condensada con la convención de sumación será:<br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>i3</sub>b<sub>i3</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>(n = 3)<br /></div><br />Como puede verse, la convención de sumación es el equivalente de un sistema de taquigrafía con el que podemos reducir todo lo que tenemos que escribir al estar manejando un tema como el que nos ocupa.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Escribir completamente la expresión a</span><sub style="font-style: italic;">ii</sub><span style="font-style: italic;">x</span><sub style="font-style: italic;">k</sub><span style="font-style: italic;"> para n=4.</span><br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>ii</sub>x<sub>k</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> = a<sub>11</sub>x<sub>k</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>22</sub>x<sub>k</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>33</sub>x<sub>k</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>44</sub>x<sub>k</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span><br /><br />a<sub>ii</sub>x<sub>k</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> = (a<sub>11</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>22</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>33</sub> + a<sub>44</sub>) x<sub>k</sub><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA:</span> <span style="font-style: italic;">Escribir completamente la expresión a</span><sub style="font-style: italic;">ij</sub><span style="font-style: italic;">x</span><sub style="font-style: italic;">j</sub><span style="font-style: italic;"> para n=4.</span><br /><br /><div style="text-align: center;">a<sub>ij</sub>x<sub>j</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span> = a<sub>i1</sub>x<sub>1</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255); font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span> + a<sub>i2</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>i3</sub>x<sub>3</sub> + a<sub>i4</sub>x<sub>4</sub><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Escribir de la manera más compacta que se pueda el siguiente sistema de ecuaciones que representan una transformación linear:</span><br /><br /><div style="text-align: center;">y<sub>1</sub> = c<sub>11</sub>x<sub>1</sub>+ c<sub>12</sub>x<sub>2</sub><br /><br />y<sub>2</sub> = c<sub>21</sub>x<sub>1</sub>+ c<sub>22</sub>x<sub>2</sub><br /></div><br />Usando la convención de sumación, podemos llevar a cabo la primera simplificación en cada una de las ecuaciones:<br /><br /><div style="text-align: center;">y<sub>1</sub> = c<sub>1j</sub>x<sub>j</sub><br /><br />y<sub>2</sub> = c<sub>2j</sub>x<sub>j</sub><br /></div><br />La segunda simplificación sobre lo mismo la podemos llevar a cabo usando el <span style="font-style: italic;">índice libre</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">y<sub>i</sub> = c<sub>ij</sub>x<sub>i</sub><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Escribir explícitamente el sistema de ecuaciones representado en forma compacta mediante la convención de sumación como</span><br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>i</sub> = a<sub>ir</sub>T<sub>r</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>(n = 4)<br /></div><br />Llevando a cabo la expansión sumatoria sobre el índice monigote r que es el índice repetido:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>i</sub> = a<sub>i1</sub>T<sub>1</sub> + a<sub>i2</sub>T<sub>2</sub> + a<sub>i3</sub>T<sub>3</sub> + a<sub>i4</sub>T<sub>4</sub><br /></div><br />El índice libre nos proporciona cuatro ecuaciones de transformación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline; color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">1</sub> = a<sub>11</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">1</sub> + a<sub>12</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">2</sub> + a<sub>13</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">3</sub> + a<sub>14</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">4</sub><br /><br /><span style="text-decoration: overline; color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">2</sub> = a<sub>21</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">1</sub> + a<sub>22</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">2</sub> + a<sub>23</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">3</sub> + a<sub>24</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">4</sub><br /><br /><span style="text-decoration: overline; color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">3</sub> = a<sub>31</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">1</sub> + a<sub>32</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">2</sub> + a<sub>33</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">3</sub> + a<sub>34</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">4</sub><br /><br /><span style="text-decoration: overline; color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">4</sub> = a<sub>41</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">1</sub> + a<sub>42</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">2</sub> + a<sub>43</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">3</sub> + a<sub>44</sub><span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">4</sub><br /></div><br />En este último problema, si suponemos que lo que se está describiendo es algo así como una transformación de Lorentz de un marco de referencia S de un observador a otro marco de referencia S' de otro observador, el lector se habrá dado cuenta de que en lugar de utilizarse las comillas individuales para denotar cada componente transformado (por ejemplo <span style="font-weight: bold;">z</span> al ser transformado a <span style="font-weight: bold;">z'</span>) se están utilizado barras (líneas) horizontales puestas sobre cada componente (así <span style="color: rgb(204, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(204, 0, 0);">3</sub> es transformado a <span style="text-decoration: overline; color: rgb(51, 51, 255);">T</span><sub style="color: rgb(51, 51, 255);">3</sub>). Aunque en muchos textos sobre la Teoría General de la Relatividad y sobre el Cálculo Tensorial el uso de las comillas se sigue reteniendo para tal propósito, el aferrarse a la simbología de las comillas tiene sus inconvenientes. El principal inconveniente es que las comillas no sólo son más difíciles de distinguir en comparación con las barras horizontales superiores, sino que en expresiones en las cuales se utilizan junto con superíndices (por ejemplo, <span style="font-weight: bold;">R'</span><sup style="font-weight: bold;">2</sup>) hay ocasiones en las cuales las comillas incluso se pueden confundir con el número “1”. Encima de ello, está el hecho de que dentro de la Teoría General de la Relatividad, en donde se tiene que hacer uso intensivo de las herramientas del cálculo infinitesimal, la comilla se puede utilizar para indicar la <span style="font-style: italic;">derivada</span> de una función como en el ejemplo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">y' = dy/dx<br /></div><br />Es por ello que, para reducir lo más que se pueda las posibles confusiones en la lectura de las expresiones matemáticas, se ha preferido recurrir aquí al uso de las barras superiores. De cualquier manera, no debe quedar duda en el lector de que en muchos otros textos en donde se mantiene el uso de las comillas para denotar a los componentes de un objeto tras un cambio de coordenadas, la comilla es completamente equivalente a la barra horizontal superior que estamos utilizando aquí. De este modo, las siguientes dos expresiones ambas representan lo mismo:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijCDu-yLkzgmAKp0l6lyXnvMPzG6QP01JXA4SyT3zggf0hMIzfKe3jYpEg_u-eB3wteXqkjfx9kGCYhGZ0icC4TtVrJgUL6GsCQ9zXzWr44Qe_YJSSph5HDcfmc5Mz5HYusV7JEw3KieeO/s1600-h/comillas_y_lineas.png"><img style="cursor: pointer; width: 203px; height: 58px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijCDu-yLkzgmAKp0l6lyXnvMPzG6QP01JXA4SyT3zggf0hMIzfKe3jYpEg_u-eB3wteXqkjfx9kGCYhGZ0icC4TtVrJgUL6GsCQ9zXzWr44Qe_YJSSph5HDcfmc5Mz5HYusV7JEw3KieeO/s400/comillas_y_lineas.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5324989307510790930" border="0" /></a><br /></div><br />Se deben formular también aquí las siguientes dos advertencias sobre la convención de sumación de Einstein:<br /><br />(1) La convención de sumación solo es aplicable a índices <span style="font-style: italic;">repetidos</span>, como lo es el caso de la expresión A<sub>i</sub>A<sub>i</sub> que no puede ser “simplificada” a (A<sub>i</sub>)² porque pierde totalmente su sentido original que es:<br /><br /><div style="text-align: center;">A<sub>i</sub>A<sub>i</sub> = A<sub>1</sub>A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub>A<sub>2</sub> + A<sub>3</sub>A<sub>3</sub> + A<sub>4</sub>A<sub>4</sub> + ... + A<sub>n</sub>A<sub>n</sub><br /></div><br /><div style="text-align: center;">A<sub>i</sub>A<sub>i</sub> = A<sub>1</sub>² + A<sub>2</sub>² + A<sub>3</sub>² + A<sub>4</sub>² + ... + A²<sub>n</sub><br /></div><br />(2) La convención de sumación solo es aplicable a un índice que aparece <span style="font-style: italic;">no más de dos veces</span> en una expresión. Un término como A<sub>i</sub><sub>i</sub>X<sub>i</sub> no representa sumación alguna. Sin embargo, un término cualquiera puede contener más de un par de índices repetidos, sobre lo cual no hay restricción alguna.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Suponiendo que (dx</span><sup style="font-style: italic;">0</sup><span style="font-style: italic;">,dx</span><sup style="font-style: italic;">1</sup><span style="font-style: italic;">,dx</span><sup style="font-style: italic;">2</sup><span style="font-style: italic;">,dx</span><sup style="font-style: italic;">3</sup><span style="font-style: italic;">) = (dt, dx, dy, dz) y que</span><br /><br /><div style="text-align: center;">ds² = g<sub>ij</sub> dx<sup>i </sup>dx<sup>j</sup><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>(n = 4),<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">llevar a cabo la expansión de ds²</span>.<br /><br />En este caso tenemos dos índices monigote, <span style="color: rgb(51, 51, 255);">i</span> y<span style="color: rgb(51, 51, 255);"> j</span>. Llevando a cabo la expansión de acuerdo con lo que nos dicta la convención de sumación para índices repetidos, tendremos lo siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">ds² = g<sub>0</sub><sub>0</sub><span>(dx</span><sup>0</sup><span>)(dx</span><sup>0</sup>) + g<sub>0</sub><sub>1</sub><span>(dx</span><sup>0</sup><span>)(dx</span><sup>1</sup>) + g<sub>0</sub><sub>2</sub><span>(dx</span><sup>0</sup><span>)(dx</span><sup>2</sup>) + g<sub>0</sub><sub>3</sub><span>(dx</span><sup>0</sup><span>)(dx</span><sup>3</sup>)<br />+ g<sub>1</sub><sub>0</sub><span>(dx</span><sup>1</sup><span>)(dx</span><sup>0</sup>) + g<sub>11</sub><span>(dx</span><sup>1</sup><span>)(x</span><sup>1</sup>) + g<sub>1</sub><sub>2</sub><span>(dx</span><sup>1</sup><span>)(dx</span><sup>2</sup>) + g<sub>1</sub><sub>3</sub><span>(dx</span><sup>1</sup><span>)(dx</span><sup>3</sup>)<br />+ g<sub>20</sub><span>(d</span><span>x</span><sup>2</sup><span>)(dx</span><sup>0</sup>) + g<sub>21</sub><span>(dx</span><sup>2</sup><span>)(dx</span><sup>1</sup>) + g<sub>22</sub><span>(dx</span><sup>2</sup><span>)(dx</span><sup>2</sup>) + g<sub>23</sub><span>(dx</span><sup>2</sup><span>)(dx</span><sup>3</sup>)<br />+ g<sub>30</sub><span>(</span><span>dx</span><sup>3</sup><span>)(dx</span><sup>0</sup>) + g<sub>21</sub><span>(dx</span><sup>3</sup><span>)(dx</span><sup>1</sup>) + g<sub>32</sub><span>(dx</span><sup>3</sup><span>)(dx</span><sup>2</sup>) + g<sub>33</sub><span>(dx</span><sup>3</sup><span>)(dx</span><sup>3</sup>)<br /></div><br />Reemplazando los <span>dx</span><sup>r</sup><span> por las coordenadas que representan:<br /><br /></span><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhK19rN4bS3TXl5hyphenhyphenPahsodrnBkfwXIrIA3t78YX6GxycESwlvZ_saCFm7XCQko2SuHkwHOMqa3lNCegmSueLS6hmO0TSf6DAKAZADFLOsxxle7uUTZNZmW-48T7kprok5Sk7Bq65Coxf8j/s1600-h/metrica_relatividad_general.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 172px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhK19rN4bS3TXl5hyphenhyphenPahsodrnBkfwXIrIA3t78YX6GxycESwlvZ_saCFm7XCQko2SuHkwHOMqa3lNCegmSueLS6hmO0TSf6DAKAZADFLOsxxle7uUTZNZmW-48T7kprok5Sk7Bq65Coxf8j/s400/metrica_relatividad_general.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5324223092204269458" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Si hacemos g<sub>ij</sub> = 0 para todos los casos en los que los índices son diferentes (i≠j), y hacemos g<sub>00</sub> = -1, g<sub>11</sub> = 1, g<sub>22</sub> = 1 y g<sub>33</sub> = 1, lo anterior se reduce a:<br /><br /><div style="text-align: center;">ds² = <span>-(dt</span><span>)²</span> + <span>(dx</span><span>)²</span> + <span>(dy</span><span>)</span><sup>2</sup> + <span>(dz</span><span>)²</span><br /></div><br />Esto nos debe parecer ya familiar. <span style="font-style: italic;">Es la distancia (intervalo) infinitesimal entre dos eventos diferentes muy cercanos el uno al otro que ocurren en un espacio-tiempo relativístico plano (Lorentziano)</span>. Y esto solo ocurre cuando los índices en el símbolo g<sub>ij</sub> son iguales y corresponden a los valores de los g<sub>ij</sub> que se han indicado arriba y los valores g<sub>ij</sub> son iguales a cero cuando los índices en el símbolo son diferentes (i≠j). Si a estas alturas el lector está empezando a sospechar que esto es lo que produce la diferencia fundamental entre un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> y un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span>, estará en lo correcto.<br /><br />Además de la convención de sumación de Einstein, tenemos un símbolo que se utiliza frecuentemente en la simplificación notacional, el <span style="font-weight: bold;">delta de Kronecker</span> δ<sub>ij</sub>, definido de la manera siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">δ<sub> ij</sub> = 1<span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>para i = j<br /><br />δ<sub> ij</sub> = 0<span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>para i ≠ j<br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Llevar a cabo la expansión de</span><br /><br /><div style="text-align: center;">δ<span style=""><sub>i</sub></span><span style=""><sub>j</sub></span> <span style="">x<sub>i</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>j</sub></span><span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span>(n = 3)<br /></div><br />Aplicando la definición del delta de Kronecker, tenemos:<br /><br /><div style="text-align: center;">δ<sub> ij</sub> <span style="">x<sub>i</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>j</sub></span> = <span style="">1x<sub>1</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>1</sub></span> + 0<span style="">x<sub>1</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>2</sub></span> + 0<span style="">x<sub>1</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>3 </sub></span>+ 0<span style="">x<sub>2</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>1</sub></span> + 1<span style="">x<sub>2</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>2</sub></span> + 0<span style="">x<sub>2</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>3</sub></span> + 0<span style="">x<sub>3</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>1</sub></span> + 0<span style="">x<sub>3</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>2</sub></span><span style=""><sub></sub></span> + 1<span style="">x<sub>3</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>3</sub></span><br /><br />δ<sub> ij</sub> <span style="">x<sub>i</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>j</sub></span> = <span style="">x<sub>1</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>1</sub></span> + <span style="">x<sub>2</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>2</sub></span> + <span style="">x<sub>3</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>3</sub></span><br /><br />δ<sub> ij</sub> <span style="">x<sub>i</sub></span><sup> </sup><span style="">x<sub>j</sub></span> = (<span style="">x<sub>1</sub></span>)² + (<span style="">x<sub>2</sub></span>)² + (<span style="">x<sub>3</sub></span>)²<br /></div><br />Expuestas las ideas y conceptos anteriores, definimos ahora formalmente a un <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(51, 51, 255);">vector</span> covariante</span><span style="font-weight: bold;"> T</span><sub style="font-weight: bold;">r</sub> en un espacio de n-dimensiones (o más rigurosamente, un <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">tensor</span> coavariante de orden 1</span> en un espacio de n-dimensiones) como toda aquella n-pla (T<sub>1</sub>, T<sub>2</sub> , T<sub>3</sub> , ... , T<sub>n</sub>) de componentes que puedan ser transformados a otra n-pla de componentes (<span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub>, <span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub> , <span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>3</sub> , ... , <span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>n</sub>) de acuerdo con la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguCqE4tDI_54vXIhatCt074Ff9GAXywrQB_YZA0So6XAoQ8EjD_a53pSWf7kECtueaZvTSNM2RaEB1pPyMMTjf6qVZzUHUlc2BK1sjGmYJkkQHSv-7izOz2UVSoumjonZyqMjCocO919u1/s1600-h/tensor_covariante_orden_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 108px; height: 52px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguCqE4tDI_54vXIhatCt074Ff9GAXywrQB_YZA0So6XAoQ8EjD_a53pSWf7kECtueaZvTSNM2RaEB1pPyMMTjf6qVZzUHUlc2BK1sjGmYJkkQHSv-7izOz2UVSoumjonZyqMjCocO919u1/s400/tensor_covariante_orden_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5352837354019836546" border="0" /></a><br /></div><br />en donde usamos el símbolo <span style="">∂</span> para denotar la diferenciación parcial de una variable con respecto a otra de varias variables que son mantenidas constantes al llevar a cabo la diferenciación parcial como lo muestra el siguiente ejemplo:<br /><br /><div style="text-align: center;">u = xy²e<sup>xz</sup><br /></div><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGJ378etxSQRxn3xQHfDpSVN0LGjOu_U3be5eE3U43VF216SYdBC-c6PUTO9n0RsHEm-xk-muTlziBrg6EU6EhUn4l-38gnH1rZdc-rqqxBm2ZEAvFg6xVhJ9suBFf14ItOBIDQyjEyoDy/s1600-h/ejemplo_de_derivadas_parciales.png"><img style="cursor: pointer; width: 200px; height: 170px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGJ378etxSQRxn3xQHfDpSVN0LGjOu_U3be5eE3U43VF216SYdBC-c6PUTO9n0RsHEm-xk-muTlziBrg6EU6EhUn4l-38gnH1rZdc-rqqxBm2ZEAvFg6xVhJ9suBFf14ItOBIDQyjEyoDy/s400/ejemplo_de_derivadas_parciales.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5321621544951050306" border="0" /></a><br /></div><br />Obsérvese con cuidado que, en virtud de los índices repetidos que tenemos en la definición del tensor covariante de orden uno, la convención de sumación ha entrado automáticamente en acción sobre el índice monigote r. Sin la convención de sumación, esta expresión se escribe (metiendo el símbolo <span style="font-style: italic;">sigma</span> de sumación) como:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>i</sub> = <span style="font-size:180%;">Σ</span><sub> r</sub> (<span style="">∂x</span><sup>r</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span> <sup>i</sup>) T<sub>r</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>r=1, 2, 3, ... , n<br /></div><br />Para un espacio de dos dimensiones, la anterior definición de un vector covariante (que por lo pronto llamaremos simplemente vector) nos produce la siguiente relación de transformaciones llevando a cabo la sumación sobre el índice monigote j (el índice repetido):<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>i</sub> = (<span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>1</sup><span style=""></span>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span> <sup>i</sup>) T<sub>1</sub> + (<span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>2</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span> <sup>i</sup>) T<sub>2</sub><br /></div><br />que a su vez nos produce las siguientes relaciones a través del índice libre i:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub> = (<span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>1</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>1</sup>) T<sub>1</sub> + (<span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>2</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>1</sup>) T<sub>2</sub><sub></sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>para i=1<br /></div><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub> = (<span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>1</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>2</sup>) T<sub>1</sub> + (<span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>2</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>2</sup>) T<sub>2</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>para i=2<br /></div><br />Consideremos un vector <span style="font-weight: bold;">T = </span>(T<sub>1</sub>,T<sub>2</sub>) = (4,3) en un espacio de <span style="font-style: italic;">dos</span> dimensiones para el cual la transformación de coordenadas está dada por los siguientes valores:<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span></span><div style="text-align: center;"><span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>1</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>1</sup> <span style=""><sub></sub></span>= 0.500<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span> <span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>2</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>1</sup> = -0.866<br /><br /><span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>1</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>2</sup> = 0.866<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span> <span style="">∂</span><span style="">x</span><sup>2</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>2</sup> = 0.500<br /></div><br />Entonces la transformación de los componentes del vector <span style="font-weight: bold;">T</span>= (T<sub>1</sub>,T<sub>2</sub>) = <span style="font-weight: bold;">T</span>(4,3) hacia los componentes del vector que le corresponde <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span> = (<span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub>,<span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub>) después de la transformación estará dada por el siguiente conjunto de ecuaciones:<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span></span><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub> = 0.5 T<sub>1</sub> - 0.866 T<sub>2</sub><br /><br /><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub> = 0.866 T<sub>1</sub> + 0.5 T<sub>2</sub><br /></div><br />Poniendo números:<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub> = 0.5 T<sub>1</sub> - 0.866 T<sub>2</sub><br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub> = (<span style="">0.500</span>) 4 + (<span style="">-0.866</span>) 3<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub> = 2.0 -2.6 = -0.6<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub> = 0.866 T<sub>1</sub> + 0.5 T<sub>2</sub><br /><sub><br /></sub><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub> = (<span style="">0.866</span>) 4 + (0.500) 3<br /><br /><span style="text-decoration: overline;"></span><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub> = 3.464 + 1.5 = 4.964<br /><br />Es así como obtenemos el nuevo vector <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span> = (<span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub>,<span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub>) = (-0.6, 4.964).<br /><br />Los mismos cálculos los podríamos haber llevado a cabo empleando notación matricial:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxrv9ahAc4Mcf3AvVcJpa1Iy31PbE4wmJiGMMl8ulpSriG-k9RGUoE-NQ38IwJDyIHhpb2oUKaT0ev9UOq7fqYrVv3j79pPlTgszYp4rMnzh_F-OvhnGdmPx0UtEFhfP8IVFLr_FUSZ7P7/s1600-h/ejemplo_numerico_de_transformacion_de_vector.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 269px; height: 102px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxrv9ahAc4Mcf3AvVcJpa1Iy31PbE4wmJiGMMl8ulpSriG-k9RGUoE-NQ38IwJDyIHhpb2oUKaT0ev9UOq7fqYrVv3j79pPlTgszYp4rMnzh_F-OvhnGdmPx0UtEFhfP8IVFLr_FUSZ7P7/s400/ejemplo_numerico_de_transformacion_de_vector.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5353931892894814754" border="0" /></a><br /></div><br />Ahora calcularemos la longitud ║<span style="font-weight: bold;">T</span>║ del vector <span style="font-weight: bold;">T= </span>(4,3):<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span>║<span style="font-weight: bold;">T</span>║² = 4² + 3² = 25<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span>║<span style="font-weight: bold;">T</span>║ = 5<br /><br />Veamos ahora cuál es la longitud del vector ║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span>║:<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span>║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span>║² = (-0.6)² + (4.964)² = 0.36 + 24.64 = 25.0<br /><br /><span style=""><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span></span>║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span><span style="font-weight: bold;"></span>║ = 5<br /><br /><span style="font-style: italic;">El vector</span> <span style="font-weight: bold;">T</span> <span style="font-style: italic;">tiene la misma longitud</span> ║<span style="font-weight: bold;">T</span>║ <span style="font-style: italic;">que la que tiene el vector</span> <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span><span style="font-weight: bold;"></span>. Y este resultado no aplica únicamente al vector<span style="font-weight: bold;"> T= </span>(4,3) bajo este cambio de coordenadas. <span style="font-style: italic;">Aplica a cualquier vector</span> bajo este cambio de coordenadas, lo cual no es difícil de demostrar:<br /><br /><div style="text-align: center;">║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span>║² = (<span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>1</sub>)² + (<span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>2</sub>)²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span><span style="font-weight: bold;"></span>║² = [(<span style="">0.500</span>) T<sub>1</sub> + (<span style="">-0.866</span>) T<sub>2</sub>]² + [(<span style="">0.866</span>) T<sub>1</sub> + (0.500) T<sub>2</sub>)]²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span><span style="font-weight: bold;"></span>║² = 0.25T<sub>1</sub>² <span style="color: rgb(255, 0, 0);">- 0.433T</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">1</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">2</sub> + 0.75T<sub>2</sub> ² + 0.75T<sub>1</sub>² <span style="color: rgb(255, 0, 0);">+ 0.433T</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">1</sub><span style="color: rgb(255, 0, 0);">T</span><sub style="color: rgb(255, 0, 0);">2</sub> + 0.25T<sub>2</sub>²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span>║² = (T<sub>1</sub>)² + (T<sub>2</sub>)²<br /></div><br /><div style="text-align: center;">║<span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span>║² = ║<span style="font-weight: bold;">T</span>║²<br /></div><br />No todas las transformaciones tienen esta propiedad de preservar intacta la longitud de un vector. El lector puede comprobarlo dando otros valores numéricos a las transformaciones y llevando a cabo sus propios cálculos.<br /><br />Si ponemos énfasis en la representación<span style="font-style: italic;"> matricial</span> de las operaciones que hemos llevado a cabo, representando a la matriz como <span style="font-weight: bold;">M</span>, podemos ver a dicha matriz como un <span style="font-weight: bold;">operador</span> (o más propiamente dicho, como un <span style="font-weight: bold;">operador matricial</span>) que al ser aplicado sobre un vector <span style="font-weight: bold;">T</span> en un sistema de coordenadas (x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>) lo transforma en otro vector <span style="text-decoration: overline; font-weight: bold;">T</span> relativo a otro sistema de coordenadas (<span style=""> x'<sub>1</sub></span>,<span style="">x'<sub>2</sub></span>). Y como la longitud de un vector cualesquiera es preservada bajo el cambio de coordenadas ordenado por la transformación del ejemplo que acabamos de ver, no nos queda ninguna duda de que para dicho ejemplo el vector en sí permanece<span style="font-weight: bold;"> invariante</span>. Y si un vector cualesquiera puede permanecer invariante bajo cierto cambio de coordenadas como es el caso del ejemplo que acabamos de ver, se sobreentiende que también un <span style="font-style: italic;">campo vectorial</span> permanecerá invariante bajo dicha transformación. <span style="font-weight: bold;">Este es precisamente el tipo de transformaciones que necesitamos en una Teoría General de la Relatividad, aplicadas sobre los vectores de un espacio de cuatro dimensiones (4-vectores), porque bajo este tipo de transformaciones las leyes de la Naturaleza permanecen invariantes</span>. Este es ni más ni menos el <span style="font-style: italic;">principio de covariancia</span>, extendido de la Teoría Especial de la Relatividad a la Teoría General de la Relatividad. El principio adquiere ahora una naturaleza universal.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Expresar en notación de matriz las ecuaciones de transformación para un tensor covariante de orden uno para N = 3.</span><br /><br />Representando a los tensores como vectores columna, las ecuaciones de transformación se pueden representar en forma matricial de la siguiente manera:<br /><br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgL6bQ-d0Os05n1zN7eTKg4Mh95chNYErABp-D2tUQU1d5CdivunQ8_E0UUD6mqkHrVpk1CxSOKCaLlicGUm5hNlSB5gZG57DctZjj9mCmG4aQ7MB4__D3dKeN-LD_FQGggtPD6XK0GpM7H/s1600-h/representacion_matricial_ecuaciones_transformacion_tensor_covariante.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 375px; height: 139px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgL6bQ-d0Os05n1zN7eTKg4Mh95chNYErABp-D2tUQU1d5CdivunQ8_E0UUD6mqkHrVpk1CxSOKCaLlicGUm5hNlSB5gZG57DctZjj9mCmG4aQ7MB4__D3dKeN-LD_FQGggtPD6XK0GpM7H/s400/representacion_matricial_ecuaciones_transformacion_tensor_covariante.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5353934496472370194" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Con un ligero cambio de notación, introducimos ahora formalmente la definición de un <span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);">vector </span><span style="font-weight: bold;">contravariante</span> <span style="font-weight: bold;">T</span><sup style="font-weight: bold;">q</sup> en un espacio de n-dimensiones (o más rigurosamente, un <span style="font-weight: bold;"><span style="color: rgb(255, 0, 0);">tensor</span> contravariante de orden 1</span>) como toda aquella n-pla (T<sup>1</sup>, T<sup>2</sup> , T<sup>3</sup> , ... , T<sup>n</sup>) de componentes que puedan ser transformados a otra n-pla de componentes (<span style="text-decoration: overline;">T</span><sup>1</sup>, <span style="text-decoration: overline;">T</span><sup>2</sup> , <span style="text-decoration: overline;">T</span><sup>3</sup> , ... , <span style="text-decoration: overline;">T</span><sup>n</sup>) de acuerdo con la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtnTndOvaWnFENOMlDgRJHtNiOlJMGWZFyT-yLyjlMP5pS-YyPIpayKx4o_HuacMkrJ5U1OuLQ8wvsCunyp0V3Czu7-Kx8VWnl6QWmEPkIg-AQng0VzBT3pKDrJDrVZw1YA-8AHSGUBSSM/s1600-h/tensor_contravariante_orden_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 119px; height: 56px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtnTndOvaWnFENOMlDgRJHtNiOlJMGWZFyT-yLyjlMP5pS-YyPIpayKx4o_HuacMkrJ5U1OuLQ8wvsCunyp0V3Czu7-Kx8VWnl6QWmEPkIg-AQng0VzBT3pKDrJDrVZw1YA-8AHSGUBSSM/s400/tensor_contravariante_orden_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5352840174216419154" border="0" /></a><br /></div><br />Sin la convención de sumación, esto se escribe explícitamente como:<br /><br /><div style="text-align: center;">(<span style="text-decoration: overline;">T</span>) <sup>i</sup> = <span style="font-size:180%;">Σ</span><sub> r</sub> (<span style="">∂x</span><sup>i</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>r</sup>) T<sup>r</sup><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>r=1, 2, 3, ... , n<br /></div><br />Se hace hincapié aquí en que <span style="font-weight: bold;">los índices superscriptos en cada uno de los componentes</span> <span style="text-decoration: overline;">T</span><sup> i</sup> <span style="font-weight: bold;">no indican exponenciación matemática, sólo denotan la posición de cada componente del vector contravariante dentro de la n-pla ordenada</span> (esto al principio puede ser causa de mucha confusión al igual que el empleo de la convención de sumación de Einstein para notación tensorial).<br /><br />Los vectores covariantes y los vectores contravariantes siempre van de la mano juntos, y carece de sentido hablar de uno de ellos sin que haga acto de presencia el otro. En este sentido, la convención adoptada aquí de simbolizar a los componentes de los vectores covariantes con índices subscriptos y a los componentes de los vectores contravariantes con índices superscriptos utilizada en muchos libros es completamente arbitraria; igualmente podríamos haber adoptado la convención (también utilizada en muchos otros libros) de simbolizar a los componentes de los vectores covariantes con índices superscriptos y a los componentes de los vectores contravariantes con índices subscriptos. Lo importante es tener una manera simbólica de distinguir entre los vectores covariantes y los vectores contravariantes del mismo modo que en las ecuaciones de transformación de Lorentz empleadas en la Teoría Especial de la Relatividad utilizamos las comillas para distinguir los componentes del marco de referencia de un observador en movimiento con respecto al marco de referencia de un observador (en reposo); igual podríamos haber invertido la asignación de las comillas sin alterar la distinción que estamos haciendo entre los dos marcos de referencia.<br /><br />En el espacio-tiempo <span style="font-weight: bold;">plano</span> de cuatro dimensiones propio de la Teoría Especial de la Relatividad (marco de referencia Lorentziano o inercial), no tiene objeto alguno hacer una distinción entre vectores covariantes y vectores contravariantes (se aprovecha aquí la ocasión para señalar que la palabra<span style="font-style: italic;"> covariante</span> utilizada para la definición de vectores con índices superscriptos no tiene nada que ver con el <span style="font-style: italic;">principio de covariancia</span> mencionado en la entrada “Invariantes”, lo cual lamentablemente también puede ser causa de muchas confusiones entre los principiantes); ambos son la misma cosa. Sin embargo, en el espacio-tiempo <span style="font-weight: bold;">curvo</span> de cuatro dimensiones propio de la Teoría General de la Relatividad, la diferencia entre un vector covariante y un vector contravariante se vuelve más que obvia. Esta es una de las complejidades inevitables que resultan de saltar de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo curvo.<br /><br />Un observador que esté dentro de un elevador <span style="font-style: italic;">en caída libre</span> en presencia de un campo gravitacional no se dará cuenta de ello haciendo experimentos con rayos de luz <span style="font-style: italic;">dentro de su elevador</span>, porque todo estará en caída libre junto con él en un marco de referencia Lorentziano, su espacio-tiempo es <span style="font-style: italic;">plano</span>. Pero un observador externo alejado de dicho campo gravitacional lo verá de un modo distinto, lo verá acelerándose en un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">curvo</span>. Este salto de un entorno linear a un entorno curvo no-linear es lo que nos obliga a recurrir al uso del cálculo infinitesimal, al uso de ecuaciones diferenciales, específicamente a las derivadas parciales que requerimos para poder analizar los cambios que toman lugar en un espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones. En la Teoría Especial de la Relatividad, pasamos de un espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> (marco de referencia S) a otro espacio-tiempo <span style="font-style: italic;">plano</span> (marco de referencia S') o viceversa con la ayuda de las ecuaciones de transformación de Lorentz, pero en la Teoría General de la Relatividad pasamos de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo<span style="font-style: italic;"> curvo</span> o viceversa, o peor aún de un espacio-tiempo curvo a otro espacio-tiempo curvo complicando aún más el asunto. En la Teoría Especial de la Relatividad en donde siempre considerábamos a una partícula en movimiento rectilíneo uniforme trasladándose a velocidad constante, su <span style="font-style: italic;">línea del universo</span> (world line) en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski siempre era una línea recta para cualquier observador. Pero en la Teoría General de la Relatividad en donde la partícula puede cambiar la dirección de su movimiento a causa de una aceleración producida por un campo gravitacional (como lo es el caso de los cometas) su línea del universo deja de ser una línea recta para todos los observadores externos, y entendiblemente requerimos de las herramientas del cálculo infinitesimal para poder analizar este movimiento no-linear.<br /><br />El siguiente paso en las generalizaciones (abstracciones) que estaremos llevando a cabo consistirá en extender las definiciones que se han dado arriba del tensor covariante y del tensor contravariante hacia tensores de orden superior, construyendo una aritmética de tensores en base a las definiciones básicas y buscando en todo momento considerar aquellas transformaciones que puedan preservar intactas, invariables, ciertas características no de un campo escalar o de un campo vectorial sino de un <span style="font-style: italic;">campo tensorial</span>, al igual que como lo hemos encontrado en los ejemplos puestos arriba para un campo vectorial. Esto requerirá entrar en mayor detalle en las herramientas del cálculo tensorial, lo cual será cubierto en entradas posteriores.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-4177703079221644519.post-75529948125727108072009-03-18T19:08:00.000-07:002009-07-24T18:26:45.359-07:0022: Tensores de orden superior y mixtosUna vez que hemos definido lo que es un tensor covariante de orden uno y lo que es un tensor contravariante de orden uno, cuyas componentes son diferenciadas la una de la otra únicamente por el uso de sub-índices y super-índices respectivamente, el siguiente paso natural consiste en extender estas definiciones para definir un <span style="font-weight: bold;">tensor de orden dos</span>, ya sea <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sub>ij</sub>) ó <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>ij</sup>), usando dos índices para ello.<br /><br />Definimos ahora formalmente a un <span style="font-weight: bold;">tensor covariante</span><span style="font-weight: bold;"> T de orden dos</span> en un espacio de n-dimensiones como todo aquél conjunto ordenado de componentes (T<sub>ij</sub>) que puedan ser transformados de acuerdo con la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>pr</sub> = <span style="font-size:180%;">Σ</span><sub> r</sub> <span style="font-size:180%;">Σ</span><sub> s</sub> (<span style="">∂</span>x<sup>q</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>p</sup>) (<span style="">∂</span>x<sup>s</sup>/<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>r</sup>) T<sub>qs</sub><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>q, s =1, 2, 3, ... , n<br /></div><br />Obsérvese que al igual que como ocurrió con el tensor covariante de orden uno, los componentes del tensor covariante de orden dos también son representados mediantes sub-índices. Obsérvese también que la doble sumación nos genera un arreglo de componentes que pueden ser ubicados en una rejilla cuadrada de números, <span style="font-style: italic;">en una matriz</span>. Obsérvese también que tenemos el producto de dos sumaciones, posibilitándose en cada una de ellas el empleo de la convención de sumación por tener repetidos los índices q y s en el doble sumando. Prescindimos, pues, de los símbolos <span style="font-size:180%;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Σ</span> </span>de sumación entendiéndose la sumación implicada en cada caso por el índice repetido:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxv1o4SxxU8ZTcBDDeX-0YJCXYYiU4XloiuAJS_LpkEjoyYcoJYiYXs3DLdJEE8Dja0d26HoLdduiTemcSDEf-DcE1K-IjFVCoEfXIWSnIq-5sMINlxIzz1djPKP8fGRE07zLKIah09orY/s1600-h/tensor_covariante_orden_2.PNG"><img style="cursor: pointer; width: 182px; height: 62px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxv1o4SxxU8ZTcBDDeX-0YJCXYYiU4XloiuAJS_LpkEjoyYcoJYiYXs3DLdJEE8Dja0d26HoLdduiTemcSDEf-DcE1K-IjFVCoEfXIWSnIq-5sMINlxIzz1djPKP8fGRE07zLKIah09orY/s400/tensor_covariante_orden_2.PNG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5352866150661252146" border="0" /></a><br /></div><br />La definición anterior se puede extender a la de un tensor covariante de orden tres, ó de orden cuatro, ó de cualquier otro orden superior, estableciendo la misma regla de transformación que se debe cumplir como se ha señalado arriba.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Escribir explícitamente, sin ninguna abreviatura matemática, las relaciones de transformación para un tensor covariante <span style="font-weight: bold;">T</span> de orden dos en un espacio de dos dimensiones.</span><br /><br />En un espacio de dos dimensiones, un tensor covariante de orden dos estará especificado por cuatro componentes, a saber: T<sub>11</sub>, T<sub>12</sub>, T<sub>21</sub> y T<sub>22</sub>; los cuales al ser transformados de acuerdo a la definición del tensor producirán cuatro componentes denotados como <span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>11</sub>, <span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>12</sub>, <span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>21</sub> y <span style="text-decoration: overline;">T</span><sub>22</sub>. Las cuatro relaciones de transformación son las siguientes, empezando por la primera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijkbInjAG85_aB9cnA1Xk-gSKuorMg4uti3USmM-2jjIDrjb7nxxppB53PKNDn17IF_Jz5eDhInkhuCOFvGIFUAki9CWNVtBU5Bpv0URCjO4iO-fcmMw98au6oPGQPQ94iUy7xMMxdFZSh/s1600-h/expansion_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 346px; height: 145px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijkbInjAG85_aB9cnA1Xk-gSKuorMg4uti3USmM-2jjIDrjb7nxxppB53PKNDn17IF_Jz5eDhInkhuCOFvGIFUAki9CWNVtBU5Bpv0URCjO4iO-fcmMw98au6oPGQPQ94iUy7xMMxdFZSh/s400/expansion_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5355166752168638690" border="0" /></a><br /></div><br />seguida por la segunda:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjintsg6qGlFnh2wBmBj2ql-KMi5KOccNP5GUnDLKADqDQF1LP-dCZplfB57gnKqLm56fYp9oObIYu3NDB_30cq5TKYkADt8AarjDCtXhDpFVnUP0jkBi5S9oBqA8rp-rAZRDvDcBqPuHu3/s1600-h/expansion_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 347px; height: 148px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjintsg6qGlFnh2wBmBj2ql-KMi5KOccNP5GUnDLKADqDQF1LP-dCZplfB57gnKqLm56fYp9oObIYu3NDB_30cq5TKYkADt8AarjDCtXhDpFVnUP0jkBi5S9oBqA8rp-rAZRDvDcBqPuHu3/s400/expansion_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5355166909180353218" border="0" /></a><br /></div><br />seguida por la tercera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgetrp6YA5U1GKFp1qhlKhwtTuBlj_12TvX4V9WwY8KEH6EezYSDNvcigZU13yuotpBhLE2gteDMiH4nS7PHibsBJK0VdAGZ9MCCPZtnxkjAsm1WCVLqYdouBVsQbJXQyM1pXKTZWAWaG7L/s1600-h/expansion_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 349px; height: 141px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgetrp6YA5U1GKFp1qhlKhwtTuBlj_12TvX4V9WwY8KEH6EezYSDNvcigZU13yuotpBhLE2gteDMiH4nS7PHibsBJK0VdAGZ9MCCPZtnxkjAsm1WCVLqYdouBVsQbJXQyM1pXKTZWAWaG7L/s400/expansion_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5355167234666488258" border="0" /></a><br /></div><br />y por último, la cuarta:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyfNHMu3y3cwbcXfVsOTt2Ok1qTSqK31l_MeIRlpOitne-iQxAz_CESyMEF5xYz6wkDpBnopJeHUpO1kbtkMKopDffTJ4_c_TiPWha9YSDQrz5OJoCwFcXQJYKqPY0TYYQAVHw3x3glSme/s1600-h/expansion_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 352px; height: 145px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyfNHMu3y3cwbcXfVsOTt2Ok1qTSqK31l_MeIRlpOitne-iQxAz_CESyMEF5xYz6wkDpBnopJeHUpO1kbtkMKopDffTJ4_c_TiPWha9YSDQrz5OJoCwFcXQJYKqPY0TYYQAVHw3x3glSme/s400/expansion_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5355167439375343394" border="0" /></a><br /></div><br />Habiendo definido formalmente al tensor covariante de orden dos, pasamos a definir al <span style="font-weight: bold;">tensor contravariante T de orden dos</span> en un espacio de n-dimensiones como todo aquél conjunto ordenado de componentes (T<sup>ij</sup>) que puedan ser transformados a de acuerdo con la siguiente relación:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="text-decoration: overline;">T</span><sup>pr</sup> = <span style="font-size:180%;">Σ</span><sub> q</sub> <span style="font-size:180%;">Σ</span><sub> s</sub> (<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>p</sup><span style="">/∂</span>x<sup>q</sup>) (<span style="">∂</span><span style="text-decoration: overline;">x</span><sup>r</sup><span style="">/</span><span style="">∂</span>x<sup>s</sup>) T<sup>qs</sup><span style="color: rgb(255, 255, 255);">____</span>q, s = 1, 2, 3, ... , n<br /></div><br />Obsérvese que los componentes del tensor contravariante de orden dos son representados mediantes dos super-índices. Obsérvese que también en este caso que la doble sumación nos genera un arreglo de componentes que pueden ser ubicados en una matriz. Obsérvese también que tenemos el producto de dos sumaciones, posibilitándose en cada una de ellas el empleo de la convención de sumación por tener repetidos los índices r y s en el doble sumando. Prescindimos, pues, de los símbolos <span style="font-size:180%;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Σ</span> </span>de sumación entendiéndose la sumación implicada en cada caso por el índice repetido:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAILBfWYsWuzbCOircdTsL5VeiJrTehQHkYsqMzgXC-oTxEe03ARdh0hXuEvVtBb0pd2bAQHmcnYHb46KTRsOM9JQFIZieOuamcH83fTdyM-8riPQxi1rF7EMsU4yOMe7vwOwqJg4DWUwI/s1600-h/tensor_contravariante_orden_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 175px; height: 53px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAILBfWYsWuzbCOircdTsL5VeiJrTehQHkYsqMzgXC-oTxEe03ARdh0hXuEvVtBb0pd2bAQHmcnYHb46KTRsOM9JQFIZieOuamcH83fTdyM-8riPQxi1rF7EMsU4yOMe7vwOwqJg4DWUwI/s400/tensor_contravariante_orden_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5352866651083692450" border="0" /></a><br /></div><br />La definición anterior se puede extender a la de un tensor contravariante de orden tres, o de orden cuatro, o de cualquier otro orden superior, estableciendo la misma regla de transformación que se debe cumplir como se ha señalado arriba.<br /><br />Siempre distinguiremos a un tensor covariante de orden <span style="font-style: italic;">n</span> de un tensor contravariante del mismo orden mediante la colocación de los índices, los componentes de un tensor covariante serán <span style="font-weight: bold;">sub</span>-índices mientras que los componentes de un tensor contravariantes serán <span style="font-weight: bold;">super</span>-índices, <span style="font-style: italic;">aclarándose que esta convención no es universal</span> ya que en muchos textos y documentos se utilizan los sub-índices para denotar a los tensores contravariantes y a los super-índices para denotar a los tensores covariantes. Lo importante en todo caso es no confundir a uno con otro una vez que se ha establecido un acuerdo en seguir cierta convención.<br /><br />Habiendo establecido la existencia de tensores covariantes y contravariantes de orden n, podemos definir un concepto que consiste en una combinación de ambos, el <span style="font-style: italic;">tensor mixto</span>, el cual consiste en una extensión de las definiciones aplicadas anteriormente a los componentes del tensor según la colocación de sus índices.<br /><br />Decimos que un <span style="font-weight: bold;">tensor mixto</span> es un <span style="font-weight: bold;">tensor covariante de orden N y contravariante de orden M</span>, cuando cada uno de sus componentes está especificado por N sub-índices y M super-índices, aplicándose las mismas reglas de transformación que ya vimos con anterioridad. Es frecuente encontrar la notación:<br /><br /><div style="text-align: center;"> <a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJLc3KKZ0l4atDdN7dp0tikB_Aj3JxMSXNz3pTbAyx98V4OPPja8mhRIUiTqT3ecd5VgcOQr3IDb4DS2a3pN2TRSxXMk-xx93Xz1B6yif81SG2OFVhlrAxwMu3giaHErAQvWH5Wr-XtcI-/s1600-h/matriz_01.png"><img style="cursor: pointer; width: 53px; height: 52px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJLc3KKZ0l4atDdN7dp0tikB_Aj3JxMSXNz3pTbAyx98V4OPPja8mhRIUiTqT3ecd5VgcOQr3IDb4DS2a3pN2TRSxXMk-xx93Xz1B6yif81SG2OFVhlrAxwMu3giaHErAQvWH5Wr-XtcI-/s400/matriz_01.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5352528130101862418" border="0" /></a><br /></div><br />para referirnos a un tensor mixto contravariante de orden M y covariante de orden N. Al hablar del <span style="font-weight: bold;">orden de un tensor mixto</span> nos estamos refiriendo a la cantidad total de índices (sub-índices y super-índices) empleados para especificar al tensor.<br /><br />El tensor mixto más elemental de todos es el tensor contravariante de orden uno y covariante de orden uno, el cual es un tensor de orden dos, simbolizado ya sea como ya sea <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>i</sup><sub>j</sub>) ó como <span style="font-weight: bold;">T</span> = ((T<sub>j</sub><sup>i</sup>), y el cual está definido de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgc40i_F4g-wN7EuwianbD9AtmE0WZBU63_DT-ON0TDdKPCTyLj_aoFNUXGSnrUd9Rgq-S_zd-cjQSIiZsHdjwfz1FbCzbkA9Uzv66lwC2I7oVHG6_H-5ZF9C-SBWyq_9Gs-xViMAoa7SL8/s1600-h/definicion_tensor_mixto.png"><img style="cursor: pointer; width: 181px; height: 64px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgc40i_F4g-wN7EuwianbD9AtmE0WZBU63_DT-ON0TDdKPCTyLj_aoFNUXGSnrUd9Rgq-S_zd-cjQSIiZsHdjwfz1FbCzbkA9Uzv66lwC2I7oVHG6_H-5ZF9C-SBWyq_9Gs-xViMAoa7SL8/s400/definicion_tensor_mixto.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5354319153021147090" border="0" /></a><br /></div><br />Así como hemos defininido al tensor de orden dos, ya sea covariante, contravariante o mixto, podemos definir un <span style="font-weight: bold;">tensor de orden tres</span>, ya sea covariante, contravariante, o mixto, habiendo cinco posibilidades:<br /><br /><div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sub>ijk</sub>)<span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span><span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>ijk</sup>)<span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span><span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>ij</sup><sub>k</sub>)<span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span><span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sub>ij</sub><sup>k</sup>)<span style="color: rgb(255, 255, 255);">__</span><span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>i</sup><sub>jk</sub>)<br /></div><br />Desafortunadamente, ya no es posible representar los componentes de un tensor de orden tres o de un tensor de orden mayor que tres en forma de un arreglo rectangular de números, en forma matricial. Pero podemos imaginar a los componentes del tensor de orden tres ordenados dentro de un <span style="font-style: italic;">cubo matricial tri-dimensional</span> como el siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinE8mYkfSgpjE9KcrtC-oF-rU64w9xUDYeDb2ZV4-CXjrCCJ3OObaSIm4idNXkMXnahr2b8WmfWHVFv2fVJ9WPSFeGf7ES2ysChT95lRsXnAPz1urYb1yl2PFWi3fWxp_cQQCgRsOMzUrI/s1600-h/tensor_orden_3_cubo_matricial.gif"><img style="cursor: pointer; width: 318px; height: 233px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinE8mYkfSgpjE9KcrtC-oF-rU64w9xUDYeDb2ZV4-CXjrCCJ3OObaSIm4idNXkMXnahr2b8WmfWHVFv2fVJ9WPSFeGf7ES2ysChT95lRsXnAPz1urYb1yl2PFWi3fWxp_cQQCgRsOMzUrI/s400/tensor_orden_3_cubo_matricial.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5345771942912995762" border="0" /></a><br /></div><br />El <span style="font-style: italic;">tensor generalizado </span>puede ser representado de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj62qz0EXvLUOuEdOToC9Vy4LILZ1DvEoNxPihEpR4hFA6AOFhxXN29FmqM-LkgYXSoi1UtHhf17tIseV4AlF-G3mJFNBhYEqqTKu-OTXPKEBTva3jo1wIcZVBGyJJ5GtIWc2YQPA5GUq6d/s1600-h/tensor_general.png"><img style="cursor: pointer; width: 90px; height: 26px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj62qz0EXvLUOuEdOToC9Vy4LILZ1DvEoNxPihEpR4hFA6AOFhxXN29FmqM-LkgYXSoi1UtHhf17tIseV4AlF-G3mJFNBhYEqqTKu-OTXPKEBTva3jo1wIcZVBGyJJ5GtIWc2YQPA5GUq6d/s400/tensor_general.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5352827837451784514" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Clasificar cada uno de los siguientes tensores según su tipo.</span><br /><br />a) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sub>ijk</sub>)<br /><br />b) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>αβ</sup><sub>γδε</sub>)<br /><br />c) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>pqrs</sup><sub>tuv</sub>)<br /><br />a) Este es un tensor de covariante de orden tres.<br /><br />b) Este es un tensor de orden cinco, contravariante de orden dos y covariante de orden tres.<br /><br />c) Este es un tensor de orden siete, contravariante de orden cuatro y covariante de orden tres.<br /><br />La ley de transformación para un tensor de orden mixto no es más que una generalización de las leyes de transformación que ya se habían definido para tensores covariantes y contravariantes:<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieJdTJlbf2tKSI0fSGmLufBaHZYfP6F3gbVaiGHSWB5K6l_LJFipPrLtMsO-uYavVm1i_7FN__PxoZP3twqHQOzZGFE19YzlUXKzte7ts68gNfhUNKeNZR1M83W77DnwEUqaQrrkYe1xhs/s1600-h/ley_de_transformacion_de_tensores.png"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 51px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieJdTJlbf2tKSI0fSGmLufBaHZYfP6F3gbVaiGHSWB5K6l_LJFipPrLtMsO-uYavVm1i_7FN__PxoZP3twqHQOzZGFE19YzlUXKzte7ts68gNfhUNKeNZR1M83W77DnwEUqaQrrkYe1xhs/s400/ley_de_transformacion_de_tensores.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5352835589631958754" border="0" /></a><br /></div><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Escríbase la ley de transformación para cada uno de los siguiente tensores.</span><br /><br />1) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>i</sup><sub>jk</sub>)<br /><br />2) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>ij</sup><sub>k</sub>)<br /><br />3) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>ijk</sup><sub>m</sub>)<br /><br />4) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>mn</sup><sub>ijk</sub>)<br /><br />5) <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>qst</sup><sub>kl</sub>)<br /><br />Extendiendo las definiciones de transformación para tensores covariantes y para tensores contravariantes podemos escribir lo siguiente:<br /><br />1)<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNe7U3sqk6AElAFxw8o5ryP2Lt3406WyfPNExQnAC5dJ00qEysGYB-ynxib4rhVOqaFfV_u2zm_U9XEjsDr0fkpwzzc_c4644P71-7yDSgGyD2_XfT0ovzgYvicDUdvjeQjMHmrerKHpoy/s1600-h/resolucion_1.png"><img style="cursor: pointer; width: 239px; height: 64px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNe7U3sqk6AElAFxw8o5ryP2Lt3406WyfPNExQnAC5dJ00qEysGYB-ynxib4rhVOqaFfV_u2zm_U9XEjsDr0fkpwzzc_c4644P71-7yDSgGyD2_XfT0ovzgYvicDUdvjeQjMHmrerKHpoy/s400/resolucion_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5354302200382703106" border="0" /></a><br /></div><br />2)<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrqPaNVE5s0MaZihfkD2PtbUXc_kJyvuKvazAMtbgSTJRtyUURGrdL5quMUcqI5C1GOJ7iJ36olrXr9u0lSUm5d6Ldp_HJhyphenhyphen1DhYQNd7SdaIKDZo6KjhyphenhyphenVdGd-XNY3aF9kGBse_S-fVoak/s1600-h/resolucion_4.png"><img style="cursor: pointer; width: 243px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrqPaNVE5s0MaZihfkD2PtbUXc_kJyvuKvazAMtbgSTJRtyUURGrdL5quMUcqI5C1GOJ7iJ36olrXr9u0lSUm5d6Ldp_HJhyphenhyphen1DhYQNd7SdaIKDZo6KjhyphenhyphenVdGd-XNY3aF9kGBse_S-fVoak/s400/resolucion_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5354312769074615570" border="0" /></a><br /></div><br />3)<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiG8zNgOb5gTGv1tAuyFbXs3HDrx0MAvWy9BuoGpRWLUwOkdUYFOg5wBJ_0MsB1gVsMniQSE501E0auawnGsoFybkvdFt47YYAbRo8jv1RL_5Pexc20UoYD3jabGWZneaHZNF0pb1tDMUbA/s1600-h/resolucion_5.png"><img style="cursor: pointer; width: 313px; height: 65px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiG8zNgOb5gTGv1tAuyFbXs3HDrx0MAvWy9BuoGpRWLUwOkdUYFOg5wBJ_0MsB1gVsMniQSE501E0auawnGsoFybkvdFt47YYAbRo8jv1RL_5Pexc20UoYD3jabGWZneaHZNF0pb1tDMUbA/s400/resolucion_5.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5354315058079824226" border="0" /></a><br /></div><br />4)<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy1AGB1ZNikta5XeDlkz2jzq2jg7Wh55_KvBCyXD635bO5j8PZ2S-M47eTpGnRVSOL6b3ZmTxkeCZfZ4E-HdyPj846nU0cg1EORQcTTtMByy0FpZQjQ9ze8dL_N3Kl20sjgyia3B7H-ByK/s1600-h/resolucion_2.png"><img style="cursor: pointer; width: 348px; height: 63px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy1AGB1ZNikta5XeDlkz2jzq2jg7Wh55_KvBCyXD635bO5j8PZ2S-M47eTpGnRVSOL6b3ZmTxkeCZfZ4E-HdyPj846nU0cg1EORQcTTtMByy0FpZQjQ9ze8dL_N3Kl20sjgyia3B7H-ByK/s400/resolucion_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5354306460591983618" border="0" /></a><br /></div><br /><br />5)<br /><br /><div style="text-align: center;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_w_q7__QrqSVH1O_XGTMizNa6crzj5N0dod72ZY__BYkVLJXDBop2H9yIYLaJdM5x1wQaG3nRyZgbzNPDGMw0WAb7_YfqcZL1TxaLs3A54oTgjeX3e_rzw8YUdoY-d2Npi2zY08hzlOgI/s1600-h/resolucion_3.png"><img style="cursor: pointer; width: 361px; height: 64px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_w_q7__QrqSVH1O_XGTMizNa6crzj5N0dod72ZY__BYkVLJXDBop2H9yIYLaJdM5x1wQaG3nRyZgbzNPDGMw0WAb7_YfqcZL1TxaLs3A54oTgjeX3e_rzw8YUdoY-d2Npi2zY08hzlOgI/s400/resolucion_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5354309818930913458" border="0" /></a><br /></div><br /><br />Estudiando las leyes de transformación obtenidas para los tensores del problema anterior, podemos deducir una regla muy sencilla para escribir rápidamente y en forma segura la ley de transformación para cualquier tensor contravariante de orden M y covariante de orden N: refiriéndonos al último tensor <span style="font-weight: bold;">T</span> = (T<sup>qst</sup><sub>kl</sub>) obsérvese que las posiciones relativas de los índices <span style="font-style: italic;">p</span>, <span style="font-style: italic;">r</span>, <span style="font-style: italic;">m</span>, <span style="font-style: italic;">i</span>,<span style="font-style: italic;"> j</span> en el lado izquierdo de la transformación son las mismas que las posiciones de los mismos índices en el lado derecho. Puesto que estos índices están asociados con las coordenadas <span style="text-decoration: overline; color: rgb(255, 0, 0);">x</span> y puesto que los índices <span style="font-style: italic;">q</span>, <span style="font-style: italic;">s</span>, <span style="font-style: italic;">t</span>, <span style="font-style: italic;">k</span>, <span style="font-style: italic;">l</span> están asociados respectivamente con los índices <span style="font-style: italic;">p</span>, <span style="font-style: italic;">r</span>, <span style="font-style: italic;">m</span>, <span style="font-style: italic;">i</span>,<span style="font-style: italic;"> j</span>, la ley de transformación se puede escribir de inmediato.<br /><br />Habiendo definido los tensores mixtos, definiremos ahora el tensor mixto más sencillo de todos, el <span style="font-weight: bold;">tensor delta Kronecker</span>, simbolizado como<span style="font-weight: bold;"> δ </span>= (δ <sup>i </sup><sub>j</sub>). Como podemos verlo por la forma en la cual está escrito, el tensor delta Kronecker es un tensor contravariante de orden uno y covariante de orden uno, cuyas componentes están definidas de la siguiente manera:<br /><br /><div style="text-align: center;">δ <sup>i </sup><sub>j</sub> = 1<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___ </span>para i = j<br /><br />δ <sup>i </sup><sub>j</sub> = 0<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___ </span>para i ≠ j<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">No se confunda el tensor delta Kronecker</span> <span style="font-weight: bold;">δ</span> <span style="font-style: italic;">con el delta Kronecker que es utilizado en el álgebra ordinaria</span>. Esta es precisamente una de las razones para haber definido el tensor delta Kronecker como un tensor mixto, con un índice arriba y el otro índice abajo. Y podemos demostrar (esto se hará posteriormente) que el tensor delta Kronecker es un tensor porque se transforma de acuerdo con la definición para un tensor mixto covariante de orden uno y contravariante de orden uno.<br /><br />En la práctica, al estar efectuando cálculos con ecuaciones tensoriales, hay un detalle que podemos utilizar ventajosamente a nuestro favor:<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Los componentes de todo tensor (covariante ó contravariante) de orden dos siempre se pueden representar en forma de matriz. Del mismo modo, una operación matemática tensorial que involucre tensores de orden dos siempre se puede llevar a cabo con operaciones matriciales</span>.<br /><br />De éste modo, una <span style="font-style: italic;">ecuación tensorial</span> como la siguiente expresada en notación de índices (obsérvese que, por tener dos índices doblemente repetidos en la ecuación, se debe aplicar la convención de sumación <span style="font-style: italic;">dos veces</span> si es que se desea eliminar los <span style="color: rgb(51, 51, 255);">índices monigote</span> <span style="font-style: italic;">i</span> y <span style="font-style: italic;">j</span> dejando únicamente los índices libres r y s):<br /><br /><div style="text-align: center;">g<sub>ij</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>i</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>j</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> = g<sub>rs</sub><br /></div><br />en donde cada elemento <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>p</sup></sup><sub><sub>q</sub></sub> se puede ubicar dentro de una matriz A, puede ser escrita como la siguiente <span style="font-style: italic;">ecuación matricial</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">A<sup>T</sup>GA = G<br /></div><br />en donde A<sup>T</sup> es simplemente la transpuesta de la matriz A en donde intercambiamos los renglones por las columnas.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">PROBLEMA</span>: <span style="font-style: italic;">Si</span> G = (g<sub>ij</sub>) <span style="font-style: italic;">representa los 16 componentes de una matriz 4x4 tales que</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">g<sub>00</sub><span style="font-size:100%;"> </span>= 1<br /><br />g<sub>11</sub><span style="font-size:100%;"> </span>= g<sub>22</sub><span style="font-size:100%;"> </span>= g<sub>33</sub><span style="font-size:100%;"> </span>= <span style="font-weight: bold;"></span>g<sub>33</sub><span style="font-size:100%;"> </span>= -1<br /><br />g<sub>ij</sub><span style="font-size:100%;"> </span>= 0 <span style="font-weight: bold;"></span> para todo i ≠ j<br /></div><br /><span style="font-style: italic;">y si suponemos que en el elemento </span><span style="font-style: italic;font-size:100%;" >a</span><sup style="font-style: italic;"><sup> p</sup></sup><sub style="font-style: italic;"><sub>q</sub></sub><span style="font-style: italic;"> el superíndice p representa el renglón y el subíndice q representa la columna de la matriz A en donde está colocado el elemento, demostrar que la ecuación tensorial</span><br /><br /><div style="text-align: center;">g<sub>ij</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>i</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>j</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> = g<sub>rs</sub><br /></div><br /><span style="font-style: italic;">representa lo mismo que lo que representa la ecuación matricial</span><br /><br /><div style="text-align: center;">A<sup>T</sup>GA = G<br /></div><br />La resolución de este problema requiere demostrar que ambas expresiones, tanto la ecuación tensorial como la ecuación matricial, generan el mismo conjunto de ecuaciones.<br /><br />Si trabajamos primero sobre la ecuación tensorial, podemos llevar a cabo una expansión sobre el primer índice monigote <span style="font-style: italic;">i</span> de conformidad con lo que nos dicta la convención de sumación para índices repetidos, con lo cual obtenemos la <span style="font-style: italic;">primera expansión</span>:<br /><br /><div style="text-align: center;">g<sub>0j</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>j</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + g<sub>1j</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>j</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + g<sub>2j</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>2</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>j</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + g<sub>3j</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>3</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>j</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> = g<sub>rs</sub><br /></div><br />Trabajando ahora sobre el segundo índice monigote <span style="font-style: italic;">j</span> de acuerdo a la convención de sumación, obtenemos una expresión explícita en la que tenemos sumados 16 términos del lado izquierdo de la ecuación:<br /><br /><div style="text-align: center;">g<sub>00</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + g<sub>01</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + g<sub>02</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>2</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + g<sub>03</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>3</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub><br /><br />+ g<sub>10</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + + g<sub>11</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + + g<sub>12</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>2</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub> + + g<sub>13</sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>r</sub></sub><span style="font-size:100%;"> a</span><sup><sup>3</sup></sup><sub><sub>s</sub></sub><br /><br />+ ...<br /><br />= g<sub>rs</sub><br /></div><br />Tenemos así una expresión con dos <span style="font-style: italic;">índices libres</span>, <span style="font-style: italic;">r</span> y <span style="font-style: italic;">s</span>. Para cada combinación de los índices <span style="font-style: italic;">r</span> y <span style="font-style: italic;">s</span> podemos obtener una relación específica, como la siguiente:<br /><br /><div style="text-align: center;">(<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>2</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>3</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² = 1<br /></div><br />En total, obtenemos 16 ecuaciones diferentes, después de algo de álgebra laboriosa. Las ecuaciones obtenidas se pueden resumir mediante las siguientes tres relaciones generales:<br /><br /><div style="text-align: center;">(<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>2</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>3</sup></sup><sub><sub>0</sub></sub>)² = 1<br /><br />(<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>1</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>2</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub>)² + (<span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>3</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub>)² = <span style="font-weight: bold;">-</span>1<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>para j = 1, 2, 3<br /><br /><span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>i</sub></sub> <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub> - <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>i</sub></sub> <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub> - <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>i</sub></sub> <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub> - <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>i</sub></sub> <span style="font-size:100%;">a</span><sup><sup>0</sup></sup><sub><sub>j</sub></sub> = 0<span style="color: rgb(255, 255, 255);">___</span>para todo i ≠ j<br /></div><br />Si llevamos a cabo ahora la multiplicación matricial A<sup>T</sup>GA igualando la matriz resultante a la matriz G, <span style="font-style: italic;">obtenemos las mismas 16 ecuaciones que habíamos obtenido expandiendo la ecuación tensorial</span>, lo cual resuelve el problema. Al resolverlo, el lector se dará cuenta de que recurriendo a una representación matricial podemos avanzar de manera mucho más rápida que si lo hacemos trabajando directamente sobre la ecuación tensorial.<br /><br />Se había señalado con anterioridad que así como una expresión vectorial en un espacio multi-dimensional representa físicamente un <span style="font-style: italic;">campo vectorial</span>, del mismo modo una expresión tensorial en un espacio multi-dimensional representa físicamente un <span style="font-style: italic;">campo tensorial</span>. Como acabamos de verlo, en el caso de los tensores de orden dos una ecuación tensorial se puede reescribir como una ecuación matricial, y por lo tanto no es de extrañar que al utilizar la representación matricial estemos hablando de un <span style="font-weight: bold;">campo matricial</span>. Sin embargo, un campo tensorial descrito por un tensor de orden dos y un campo matricial vienen siendo lo mismo a fin de cuentas, aunque el manejo matemático del asunto sea diferente en ambos casos.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.com